Koncepty matematické očekávání M(X) a rozptyl D(X) zavedené dříve pro diskrétní náhodnou veličinu lze rozšířit na spojité náhodné veličiny.
· Matematické očekávání M(X) spojitá náhodná veličina X je definována rovností:
za předpokladu, že tento integrál konverguje.
· Disperze D(X) spojitá náhodná veličina X je definována rovností:
· Standardní odchylkaσ( X) spojitá náhodná veličina je definována rovností:
Všechny vlastnosti matematického očekávání a disperze uvažované dříve pro diskrétní náhodné veličiny jsou platné i pro spojité.
Problém 5.3.Náhodná hodnota X dáno diferenciální funkcí F(X):
Nalézt M(X), D(X), σ( X), a P(1 < X< 5).
Řešení:
M(X)= =
+ = 8/9 0+9/6 4/6=31/18,
D(X)=
= = /
P 1 =
Úkoly
5.1. X
F(X), a
R(‒1/2 < X< 1/2).
5.2. Spojitá náhodná veličina X dáno distribuční funkcí:
Najděte diferenciální distribuční funkci F(X), a
R(2π /9< X< π /2).
5.3. Spojitá náhodná veličina X
Najděte: a) číslo S; b) M(X), D(X).
5.4. Spojitá náhodná veličina X dáno distribuční hustotou:
Najděte: a) číslo S; b) M(X), D(X).
5.5. X:
Najdi) F(X) a nakreslete jeho graf; b) M(X), D(X), σ( X); c) pravděpodobnost, že ve čtyřech nezávislých pokusech hodnota X bere přesně 2násobek hodnoty patřící do intervalu (1;4).
5.6. Je dána hustota rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X:
Najdi) F(X) a nakreslete jeho graf; b) M(X), D(X), σ( X); c) pravděpodobnost, že ve třech nezávislých pokusech hodnota X bude mít přesně dvojnásobek hodnoty patřící do intervalu .
5.7. Funkce F(X) se uvádí jako:
S X; b) distribuční funkce F(X).
5.8. Funkce F(X) se uvádí jako:
Najděte: a) hodnotu konstanty S, při které funkcí bude hustota pravděpodobnosti nějaké náhodné veličiny X; b) distribuční funkce F(X).
5.9. Náhodná hodnota X, soustředěný na interval (3;7), je dán distribuční funkcí F(X)= X má hodnotu: a) menší než 5, b) ne menší než 7.
5.10. Náhodná hodnota X, soustředěný na interval (-1; 4), je dán distribuční funkcí F(X)= . Najděte pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá hodnoty: a) menší než 2, b) menší než 4.
5.11.
Najděte: a) číslo S; b) M(X); c) pravděpodobnost R(X > M(X)).
5.12. Náhodná veličina je dána diferenciální distribuční funkcí:
Najdi) M(X); b) pravděpodobnost R(X ≤ M(X)).
5.13. Časové rozložení je dáno hustotou pravděpodobnosti:
Dokázat to F(X) je skutečně rozdělení hustoty pravděpodobnosti.
5.14. Je dána hustota rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X:
Najděte číslo S.
5.15. Náhodná hodnota X rozložené podle Simpsonova zákona (rovnoramenný trojúhelník) na úsečce [-2; 2] (obr. 5.4). Najděte analytický výraz pro hustotu pravděpodobnosti F(X) na celé číselné řadě.
Rýže. 5.4 Obr. 5.5
5.16. Náhodná hodnota X distribuovány podle zákona pravoúhlý trojuhelník" v intervalu (0; 4) (obr. 5.5). Najděte analytický výraz pro hustotu pravděpodobnosti F(X) na celé číselné řadě.
Odpovědi
P (-1/2<X<1/2)=2/3.
P(2π /9<X< π /2)=1/2.
5.3. A) S= 1/6, b) M(X)=3, c) D(X)=26/81.
5.4. A) S= 3/2, b) M(X)=3/5, c) D(X)=12/175.
b) M(X)= 3 , D(X)= 2/9, σ( X)= /3.
b) M(X)=2 , D(X)= 3, σ( X)= 1,893.
5.7. a) c =; b)
5.8. A) S= 1/2; b)
5.9. a) 1/4; b) 0.
5.10. a) 3/5; b) 1.
5.11. A) S= 2; b) M(X)= 2; v 1- ln 2 2 ≈ 0,5185.
5.12. A) M(X)= π /2; b) 1/2
Definice 13.1. Náhodná veličina X se nazývá oddělený, pokud má konečný nebo spočetný počet hodnot.
Definice 13.2. Zákon rozdělení náhodné veličiny X je množina dvojic čísel ( , ), kde jsou možné hodnoty náhodné veličiny a jsou pravděpodobnosti, se kterými náhodná veličina tyto hodnoty nabývá, tzn. =P( X= ) a =1.
Nejjednodušší formou zadání diskrétní náhodné veličiny je tabulka, která uvádí možné hodnoty náhodné veličiny a jejich odpovídající pravděpodobnosti. Taková tabulka se nazývá blízko distribuce diskrétní náhodná veličina.
| X | … | … | |||
| R | … | … |
Distribuční řadu lze znázornit graficky. V tomto případě je úsečka vynesena na svislé ose a pravděpodobnost je vynesena na souřadnici. Body se souřadnicemi ( , ) jsou spojeny segmenty a získávají tzv. přerušovanou čáru distribuční polygon, což je jedna z forem upřesnění zákona rozdělení diskrétní náhodné veličiny.
Příklad 13.3. Sestrojte distribuční polygon náhodné veličiny X s distribuční řadou
| X | ||||
| R | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,4 |
Definice 13.4.Říkáme, že diskrétní náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametry ( n,p), pokud může nabývat nezáporných celočíselných hodnot k {1,2,…,n) s pravděpodobnostmi Р( X=x)= .
Distribuční řada má tvar:
| X | … | k | … | n | ||
| R | … | … |
Součet pravděpodobností = =1.
Definice 13.5.Říká se, že diskrétní forma náhodné veličiny X Má to Poissonovo rozdělení s parametrem (>0), pokud nabývá celočíselné hodnoty k(0,1,2,…) s pravděpodobnostmi Р( X = k)= .
Distribuční řada má podobu
| X | … | k | … | ||
| R | … | … |
Protože expanze v Maclaurinově řadě má následující tvar, pak součet pravděpodobností = = =1.
Označit podle X počet pokusů, které mají být dokončeny před prvním výskytem události A v nezávislých pokusech, pokud je pravděpodobnost výskytu A v každém z nich rovna p (0<p <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями X jsou přirozená čísla.
Definice 13.6.Říká se, že náhodná veličina X Má to geometrické rozložení s parametrem p (0<p <1), если она принимает натуральные значения k N s pravděpodobnostmi Р(Х=k)= , kde . Distribuční rozsah:
| X | … | n | … | |||
| R | … | … |
Součet pravděpodobností = = =1.
Příklad 13.7. Mince se hodí 2x. Sestavte distribuční řadu náhodné veličiny X počtu výskytů „erbu“.
P2(0)= =; P2(1)===0,5; P2(2) = =.
| X | |||
| R |
Distribuční série bude mít podobu:
Příklad 13.8. Z pistole se střílí až do prvního zásahu do cíle. Pravděpodobnost zásahu jednou ranou je 0,6. zasáhne při 3. výstřelu.
Protože p=0,6, q=0,4, k=3, pak P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096.
14 Numerické charakteristiky diskrétních náhodných veličin
Distribuční zákon zcela charakterizuje náhodnou veličinu, ale často je neznámá, takže se musíte omezit na méně informací. Někdy je ještě výhodnější použít čísla (parametry), které popisují náhodnou veličinu celkem. Jmenují se číselné charakteristiky náhodná proměnná. Patří mezi ně: matematické očekávání, rozptyl atd.
Definice 14.1. matematické očekávání Diskrétní náhodná veličina se nazývá součet součinů všech jejích možných hodnot a jejich pravděpodobností. Označte matematické očekávání náhodné veličiny X přes M X=M( X)=E X.
Pokud náhodná veličina X má konečný počet hodnot, pak M X= .
Pokud náhodná veličina X má spočítatelný počet hodnot, pak M X= ,
a matematické očekávání existuje, pokud řada konverguje absolutně.
Poznámka 14.2. Matematické očekávání je určité číslo přibližně rovné určité hodnotě náhodné veličiny.
Příklad 14.3. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny X, zná jeho distribuční řadu
| X | |||
| R | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
M X=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.
Příklad 14.4. Najděte matematické očekávání počtu výskytů události A v jednom pokusu, je-li pravděpodobnost události A je rovný p.
Náhodná hodnota X- počet výskytů události A v jednom testu. Může nabývat hodnot = 1 ( A stalo) s pravděpodobností p a =0 s pravděpodobností , tj. distribuční série
MS=C*l=C.
Poznámka 14.6. Součin konstantní hodnoty C diskrétní náhodnou veličinou X Definováno jako diskrétní náhodná veličina C X, jehož možné hodnoty se rovnají součinům konstanty С a možných hodnot X, pravděpodobnosti těchto hodnot С X se rovnají pravděpodobnostem odpovídajících možných hodnot X.
Nemovitost 14.7. Konstantní faktor lze vyjmout ze znamení očekávání:
SLEČNA X)=C∙M X.
Pokud náhodná veličina X má distribuční číslo
| X | … | … | |||
| R | … | … |
Náhodné proměnné distribuční řady
| CX | … | … | |||
| R | … | … |
SLEČNA X)= = = С∙М( X).
Definice 14.8. Volají se náhodné proměnné , ,… nezávislý, pokud pro , i=1,2,…,n
Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)
Pokud jako = , i=1,2,…,n, pak získáme z (1)
R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:
( , ,…, ) = () ()... () (2)
pro společnou distribuční funkci náhodných veličin , ,…, , kterou lze také brát jako definici nezávislosti náhodné veličiny.
Nemovitost 14.9. Matematické očekávání součinu 2 nezávislý náhodné proměnné se rovná součinu jejich matematických očekávání:
M( XY)=M X∙M Na.
Nemovitost 14.10. Matematické očekávání součtu 2 náhodných proměnných se rovná součtu jejich matematických očekávání:
M( X+Y)=M X+M Na.
Poznámka 14.11. Vlastnosti 14.9 a 14.10 lze zobecnit na případ několika náhodných veličin.
Příklad 14.12. Najděte matematické očekávání součtu počtu bodů, které mohou vypadnout při hodu 2 kostkami.
Nechat X počet bodů hodených na první kostce, Na počet bodů hodených na druhé kostce. Mají stejnou distribuční řadu:
| X | ||||||
| R |
Poté M X=M Na= (1+2+3+4+5+6)= = . M( X+Y)=2* =7.
Věta 14.13. Matematické očekávání počtu výskytů události A PROTI n nezávislých pokusů se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu události v každém pokusu: M X=np.
Nechat X– počet výskytů události A PROTI n nezávislé testy. – počet výskytů události A PROTI i- ten test, i=1,2,…,n. Potom = + +…+ . Podle vlastností matematického očekávání M X= . Z příkladu 14,4M X i=p, i=1,2,…,n, proto M X= =np.
Definice 14.14.disperze náhodná veličina se nazývá číslo D X=M( X-M X) 2 .
Definice 14.15.Standardní odchylka náhodná proměnná X volané číslo =.
Poznámka 14.16. Disperze je míra šíření hodnot náhodné proměnné kolem jejího matematického očekávání. Je vždy nezáporná. Pro výpočet rozptylu je vhodnější použít jiný vzorec:
D X=M( X-M X) 2 = M( X 2 - 2X∙ M X+ (M X) 2) = M( X 2) – 2M( X∙ M X) + M(M X) 2 = =M( X 2)-M X∙ M X+(M X) 2 = M( X 2) - (M X) 2 .
Odtud D X=M( X 2) - (M X) 2 .
Příklad 14.17. Najděte rozptyl náhodné veličiny X, daný řadou distribucí
| X | |||
| P | 0,1 | 0,6 | 0,3 |
M X=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M( X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;
D X=13.3-(3,5) 2 =1,05.
Vlastnosti disperze
Nemovitost 14.18. Disperze konstantní hodnoty je 0:
DC = M(C-MC)2 = M(C-C)2=0.
Nemovitost 14.19. Konstantní faktor lze ze znaménka disperze vyjmout jeho umocněním
DC X) = C2D X.
D(CX)=M(C-CM X) 2 \u003d M (C (X-M X) 2) = C2M( X-M X)2 = C2D X.
Nemovitost 14.20. Rozptyl součtu 2 nezávislý náhodné proměnné se rovná součtu rozptylů těchto proměnných
D( X+Y)=D X+D Y.
D( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( x2+ 2XY+Y2) - (M X+ M Y) 2 = =M( X) 2 + 2M X M Y+M( Y 2)-(M( X) 2 + 2M X M Y+M( Y) 2) = M( X 2)-(M X) 2 + M( Y 2)-(M Y) 2 = D X+D Y.
Závěr 14.21. Rozptyl součtu několika nezávislý náhodné veličiny se rovná součtu jejich rozptylů.
Věta 14.22. Rozptyl počtu výskytů události A PROTI n nezávislé testy, v každém z nich pravděpodobnost p) 2 =). Proto D +2,
NÁHODNÉ HODNOTY
Příklad 2.1. Náhodná hodnota X dáno distribuční funkcí
Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek testu X bude nabývat hodnot mezi (2,5; 3,6).
Řešení: X v intervalu (2.5; 3.6) lze určit dvěma způsoby:
Příklad 2.2. Při jakých hodnotách parametrů A A V funkce F(X) = A + Be - x může být distribuční funkcí pro nezáporné hodnoty náhodné proměnné X.
Řešení: Protože všechny možné hodnoty náhodné proměnné X patří do intervalu , pak aby funkce byla distribuční funkcí pro X, nemovitost by měla obsahovat:
.
Odpovědět: 
.
Příklad 2.3. Náhodná veličina X je dána distribuční funkcí
Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek čtyř nezávislých pokusů bude hodnota X přesně 3 krát nabude hodnotu patřící do intervalu (0,25; 0,75).
Řešení: Pravděpodobnost dosažení hodnoty X v intervalu (0,25; 0,75) najdeme podle vzorce:
Příklad 2.4. Pravděpodobnost, že míč zasáhne koš při jednom hodu je 0,3. Sestavte zákon rozdělení počtu zásahů ve třech hodech.
Řešení: Náhodná hodnota X- počet zásahů do koše při třech hodech - může nabývat hodnot: 0, 1, 2, 3. Pravděpodobnosti, že X
X:
Příklad 2.5. Dva střelci provedou jeden výstřel na cíl. Pravděpodobnost, že jej zasáhne první střelec, je 0,5, druhý - 0,4. Zapište zákon rozdělení počtu zásahů do cíle.
Řešení: Najděte zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X- počet zásahů do cíle. Nechť je událostí zásah do terče prvním střelcem a - zásah druhým střelcem a - jejich netrefí.
Sestavme zákon rozdělení pravděpodobnosti SV X:
Příklad 2.6. Testují se 3 prvky, které pracují nezávisle na sobě. Doba (v hodinách) bezporuchového provozu prvků má funkce hustoty rozložení: za prvé: F 1 (t) =1-E- 0,1 t, za druhé: F 2 (t) = 1-E- 0,2 t, za třetí: F 3 (t) =1-E- 0,3 t. Najděte pravděpodobnost, že v časovém intervalu od 0 do 5 hodin: selže pouze jeden prvek; pouze dva prvky selžou; všechny tři prvky selžou.
Řešení: Použijme definici generující funkce pravděpodobností:
Pravděpodobnost, že v nezávislých pokusech, v prvním z nich pravděpodobnost výskytu události A rovná se , ve druhém atd., událost A se objeví právě jednou, je roven koeficientu at v expanzi generující funkce v mocninách . Najděte pravděpodobnost selhání, respektive neporušení prvního, druhého a třetího prvku v časovém intervalu od 0 do 5 hodin:
Vytvořme generující funkci:
Koeficient at je roven pravděpodobnosti, že událost A se objeví přesně třikrát, tedy pravděpodobnost selhání všech tří prvků; koeficient at se rovná pravděpodobnosti, že selžou právě dva prvky; koeficient at je roven pravděpodobnosti, že selže pouze jeden prvek.
Příklad 2.7. Je dána hustota pravděpodobnosti F(X) náhodná proměnná X:
Najděte distribuční funkci F(x).
Řešení: Použijeme vzorec:
.
Distribuční funkce má tedy tvar:
Příklad 2.8. Zařízení se skládá ze tří nezávisle ovládacích prvků. Pravděpodobnost selhání každého prvku v jednom experimentu je 0,1. Sestavte zákon rozdělení počtu neúspěšných prvků v jednom experimentu.
Řešení: Náhodná hodnota X- počet prvků, které selhaly v jednom experimentu - může nabývat hodnot: 0, 1, 2, 3. Pravděpodobnosti, že X nabývá těchto hodnot, zjistíme podle Bernoulliho vzorce:
Dostáváme tedy následující zákon rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X:
Příklad 2.9. V množství 6 dílů jsou 4 standardní díly. Náhodně byly vybrány 3 položky. Sestavte zákon rozdělení počtu normalizovaných dílů mezi vybrané.
Řešení: Náhodná hodnota X- počet normalizovaných dílů mezi vybranými - může nabývat hodnot: 1, 2, 3 a má hypergeometrické rozložení. Pravděpodobnosti, že X
Kde -- počet dílů v šarži;
-- počet standardních dílů v šarži;
– počet vybraných dílů;
-- počet standardních dílů z vybraných.
.
.
.
Příklad 2.10. Náhodná veličina má hustotu distribuce
kde a nejsou známy, ale , a a . Najít a .
Řešení: V tomto případě náhodná veličina X má trojúhelníkové rozdělení (Simpsonovo rozdělení) na intervalu [ a, b]. Číselné charakteristiky X:
Proto, 
. Řešením tohoto systému dostaneme dvě dvojice hodnot: . Protože podle stavu problému nakonec máme: 
.
Odpovědět: .
Příklad 2.11. V průměru u 10 % smluv pojišťovna vyplácí pojistné částky v souvislosti se vznikem pojistné události. Vypočítejte matematické očekávání a rozptyl počtu takových smluv mezi čtyřmi náhodně vybranými.
Řešení: Matematické očekávání a rozptyl lze nalézt pomocí vzorců:
.
Možné hodnoty SV (počet smluv (ze čtyř) se vznikem pojistné události): 0, 1, 2, 3, 4.
Pro výpočet pravděpodobností různého počtu smluv (ze čtyř), za které byly vyplaceny pojistné částky, používáme Bernoulliho vzorec:
.
Distribuční řada CV (počet smluv se vznikem pojistné události) má tvar:
| 0,6561 | 0,2916 | 0,0486 | 0,0036 | 0,0001 |
Odpovědět: , .
Příklad 2.12. Z pěti růží jsou dvě bílé. Napište distribuční zákon pro náhodnou veličinu vyjadřující počet bílých růží mezi dvěma odebranými současně.
Řešení: Ve vzorku dvou růží nemusí být buď žádná bílá růže, nebo může být jedna nebo dvě bílé růže. Proto náhodná veličina X může nabývat hodnot: 0, 1, 2. Pravděpodobnosti, že X nabývá těchto hodnot, zjistíme podle vzorce:
Kde -- počet růží;
-- počet bílých růží;
– počet současně odebraných růží;
-- počet bílých růží mezi odebranými.
.
.
.
Pak bude zákon rozdělení náhodné veličiny vypadat takto:
Příklad 2.13. Z 15 sestavených jednotek potřebuje 6 dodatečné mazání. Vypracujte zákon o rozdělení počtu jednotek, které potřebují dodatečné mazání, mezi pět náhodně vybraných z celkového počtu.
Řešení: Náhodná hodnota X- počet jednotek, které potřebují dodatečné mazání mezi pěti vybranými - může nabývat hodnot: 0, 1, 2, 3, 4, 5 a má hypergeometrické rozložení. Pravděpodobnosti, že X nabývá těchto hodnot, zjistíme podle vzorce:
Kde -- počet sestavených jednotek;
-- počet jednotek vyžadujících dodatečné mazání;
– počet vybraných agregátů;
-- počet jednotek, které potřebují dodatečné mazání mezi vybranými.
.
.
.
.
.
.
Pak bude zákon rozdělení náhodné veličiny vypadat takto:
Příklad 2.14. Z 10 hodinek přijatých k opravě potřebuje 7 celkové vyčištění mechanismu. Hodinky nejsou seřazeny podle typu opravy. Mistr, který chce najít hodinky, které je třeba vyčistit, je jednu po druhé prohlíží, a když takové hodinky najde, zastaví další prohlížení. Najděte matematické očekávání a rozptyl počtu sledovaných hodin.
Řešení: Náhodná hodnota X- počet jednotek, které potřebují dodatečné mazání mezi pěti vybranými - může nabývat následujících hodnot: 1, 2, 3, 4. Pravděpodobnosti, že X nabývá těchto hodnot, zjistíme podle vzorce:
.
.
.
.
Pak bude zákon rozdělení náhodné veličiny vypadat takto:
Nyní spočítejme číselné charakteristiky veličiny:
Odpovědět: , .
Příklad 2.15.Účastník zapomněl poslední číslici telefonního čísla, které potřebuje, ale pamatuje si, že je lichá. Najděte matematické očekávání a rozptyl počtu vytočení, které provedl, než trefil požadované číslo, pokud náhodně vytočí poslední číslici a v budoucnu nevytočí volanou číslici.
Řešení: Náhodná proměnná může nabývat hodnot: . Protože účastník v budoucnu nevytočí volanou číslici, pravděpodobnosti těchto hodnot jsou stejné.
Sestavme distribuční řadu náhodné veličiny:
| 0,2 |
Vypočítejme matematické očekávání a rozptyl počtu pokusů o vytočení:
Odpovědět: , .
Příklad 2.16. Pravděpodobnost poruchy při zkouškách spolehlivosti je u každého zařízení řady rovna p. Určete matematické očekávání počtu zařízení, která selhala, pokud budou testována N spotřebiče.
Řešení: Diskrétní náhodná proměnná X je počet vadných zařízení v N nezávislé testy, v každém z nich je pravděpodobnost selhání rovna p, rozdělené podle binomického zákona. Matematické očekávání binomického rozdělení se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti, že událost nastane v jednom pokusu:
Příklad 2.17. Diskrétní náhodná veličina X nabývá 3 možných hodnot: s pravděpodobností ; s pravděpodobností a s pravděpodobností . Najít a vědět, že M( X) = 8.
Řešení: Používáme definice matematického očekávání a zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny:
Shledáváme: .
Příklad 2.18. Oddělení technické kontroly kontroluje standardnost výrobků. Pravděpodobnost, že položka je standardní, je 0,9. Každá várka obsahuje 5 položek. Najděte matematické očekávání náhodné veličiny X- počet šarží, z nichž každá obsahuje přesně 4 standardní produkty, pokud 50 šarží podléhá ověřování.
Řešení: V tomto případě jsou všechny provedené experimenty nezávislé a pravděpodobnosti, že každá šarže obsahuje přesně 4 standardní produkty, jsou stejné, proto lze matematické očekávání určit podle vzorce:
,
kde je počet stran;
Pravděpodobnost, že dávka obsahuje přesně 4 standardní položky.
Pravděpodobnost zjistíme pomocí Bernoulliho vzorce:
Odpovědět: 
.
Příklad 2.19. Najděte rozptyl náhodné veličiny X– počet výskytů události A ve dvou nezávislých studiích, pokud jsou pravděpodobnosti výskytu události v těchto studiích stejné a je známo, že M(X) = 0,9.
Řešení: Problém lze vyřešit dvěma způsoby.
1) Možné hodnoty CB X: 0, 1, 2. Pomocí Bernoulliho vzorce určíme pravděpodobnosti těchto událostí:
,
,
.
Pak distribuční zákon X vypadá jako:
Z definice matematického očekávání určíme pravděpodobnost:
Pojďme najít rozptyl SW X:
.
2) Můžete použít vzorec:
.
Odpovědět: 
.
Příklad 2.20. Matematické očekávání a směrodatná odchylka normálně rozdělené náhodné veličiny X jsou 20 a 5. Najděte pravděpodobnost, že jako výsledek testu X bude mít hodnotu obsaženou v intervalu (15; 25).
Řešení: Pravděpodobnost zásahu normální náhodné veličiny X na úseku od do je vyjádřen pomocí Laplaceovy funkce:
Příklad 2.21. Je dána funkce: 
Při jaké hodnotě parametru C tato funkce je hustota distribuce nějaké spojité náhodné veličiny X? Najděte matematické očekávání a rozptyl náhodné veličiny X.
Řešení: Aby funkce byla distribuční hustotou nějaké náhodné proměnné , musí být nezáporná a musí splňovat vlastnost:
.
Proto:
Vypočítejte matematické očekávání pomocí vzorce:
.
Vypočítejte rozptyl pomocí vzorce:
T je p. Je nutné najít matematické očekávání a rozptyl této náhodné veličiny.
Řešení: Zákon rozdělení diskrétní náhodné veličiny X - počet výskytů události v nezávislých pokusech, z nichž každá je pravděpodobnost výskytu události , se nazývá binomický. Matematické očekávání binomického rozdělení se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobnosti výskytu jevu A v jednom pokusu:
.
Příklad 2.25. Na cíl jsou vypáleny tři nezávislé výstřely. Pravděpodobnost zásahu každého výstřelu je 0,25. Určete směrodatnou odchylku počtu zásahů třemi výstřely.
Řešení: Protože se provádějí tři nezávislé pokusy a pravděpodobnost výskytu události A (zásah) v každém pokusu je stejná, budeme předpokládat, že diskrétní náhodná proměnná X - počet zásahů na cíl - je rozdělena podle binomu zákon.
Rozptyl binomického rozdělení se rovná součinu počtu pokusů a pravděpodobností výskytu a nenastávání události v jednom pokusu:
Příklad 2.26. Průměrný počet klientů, kteří navštíví pojišťovnu za 10 minut, jsou tři. Najděte pravděpodobnost, že během následujících 5 minut dorazí alespoň jeden zákazník.
Průměrný počet zákazníků přicházejících za 5 minut: 
. .
Příklad 2.29.Čekací doba na aplikaci ve frontě procesoru se řídí exponenciálním distribučním zákonem s průměrnou hodnotou 20 sekund. Najděte pravděpodobnost, že další (libovolný) požadavek bude čekat na procesor déle než 35 sekund.
Řešení: V tomto příkladu očekávání 
a míra selhání je .
Potom požadovaná pravděpodobnost je:
Příklad 2.30. Skupina 15 studentů pořádá setkání v sále s 20 řadami po 10 sedadlech. Každý student si náhodně sedne do sálu. Jaká je pravděpodobnost, že na sedmém místě v řadě nebudou více než tři lidé?
Řešení:
Příklad 2.31.
Pak podle klasické definice pravděpodobnosti:
Kde -- počet dílů v šarži;
-- počet nestandardních dílů v šarži;
– počet vybraných dílů;
-- počet nestandardních dílů mezi vybranými.
Pak bude distribuční zákon náhodné veličiny následující.
Příklady řešení úloh na téma "Náhodné veličiny".
Úkol 1 . V loterii je vydáno 100 tiketů. Hrálo se o jednu výhru 50 USD. a deset výher po 10 USD. Najděte zákon rozdělení hodnoty X - náklady na možný zisk.
Řešení. Možné hodnoty X: x 1 = 0; X 2 = 10 a x 3 = 50. Protože je 89 „prázdných“ tiketů, pak p 1 = 0,89, pravděpodobnost výhry je 10 c.u. (10 vstupenek) – str 2 = 0,10 a za výhru 50 c.u. –p 3 = 0,01. Tím pádem:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Snadné ovládání: .
Úkol 2. Pravděpodobnost, že se kupující s reklamou produktu předem seznámil, je 0,6 (p = 0,6). Selektivní kontrola kvality reklamy je prováděna dotazováním kupujících před prvním, kdo si inzerát předem prostudoval. Vytvořte sérii rozdělení počtu dotazovaných kupujících.
Řešení. Podle podmínky úlohy p = 0,6. Od: q=1 -p = 0,4. Dosazením těchto hodnot dostaneme: a vytvořte distribuční řadu:
|
pí |
0,24 |
Úkol 3. Počítač se skládá ze tří nezávisle fungujících prvků: systémové jednotky, monitoru a klávesnice. Při jediném prudkém zvýšení napětí je pravděpodobnost selhání každého prvku 0,1. Na základě Bernoulliho rozdělení sestavte distribuční zákon pro počet poruchových prvků při přepětí v síti.
Řešení. Zvážit Bernoulliho distribuce(nebo binomický): pravděpodobnost, že v n testy, událost A se objeví přesně k jednou: 
, nebo:
|
q n |
p n |
V Vraťme se k úkolu.
Možné hodnoty X (počet selhání):
x 0 = 0 - žádný z prvků selhal;
x 1 =1 - porucha jednoho prvku;
x 2 =2 - porucha dvou prvků;
x 3 =3 - porucha všech prvků.
Protože podle podmínky p = 0,1, pak q = 1 – p = 0,9. Pomocí Bernoulliho vzorce dostaneme
, ,
, .
Ovládání: .
Proto požadovaný distribuční zákon:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Úkol 4. Vyrobeno 5000 nábojů. Pravděpodobnost, že jedna kazeta je vadná 
. Jaká je pravděpodobnost, že v celé dávce budou právě 3 vadné kazety?
Řešení. Použitelný Poissonovo rozdělení: toto rozdělení se používá k určení pravděpodobnosti, že za předpokladu velmi velké
počet pokusů (hromadných pokusů), v každém z nich je pravděpodobnost události A velmi malá, událost A nastane kkrát: 
, Kde .
Zde n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Najdeme , pak požadovanou pravděpodobnost: 
.
Úkol 5. Při výstřelu před prvním zásahem s pravděpodobností zásahu p = 0,6 pro výstřel, musíte najít pravděpodobnost, že k zásahu dojde při třetím výstřelu.
Řešení. Aplikujme geometrické rozdělení: nechť jsou provedeny nezávislé pokusy, z nichž každý má událost A pravděpodobnost výskytu p (a nevyskytnutí q = 1 - p). Zkoušky končí, jakmile nastane událost A.
Za takových podmínek je pravděpodobnost, že událost A nastane v k-tém testu, určena vzorcem: . Zde p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Proto .
Úkol 6. Nechť je dán zákon rozdělení náhodné veličiny X:
Najděte matematické očekávání.
Řešení. .
Všimněte si, že pravděpodobnostní význam matematického očekávání je průměrná hodnota náhodné veličiny.
Úkol 7. Najděte rozptyl náhodné veličiny X s následujícím zákonem o rozdělení:
Řešení. Tady .
Zákon rozdělení čtverce X 2 :
|
X 2 |
|||
Požadovaná odchylka: .
Disperze charakterizuje míru odchylky (rozptylování) náhodné veličiny od jejího matematického očekávání.
Úkol 8. Nechť je náhodná veličina dána rozdělením:
|
10m |
|||
Najděte jeho číselné charakteristiky.
Řešení: m, m 2 ,
M 2 , m.
O náhodné veličině X lze říci buď - její matematické očekávání je 6,4 m s rozptylem 13,04 m 2 , nebo - jeho matematické očekávání je 6,4 m s odchylkou m. Druhá formulace je zjevně jasnější.
Úkol 9.
Náhodná hodnota X dáno distribuční funkcí: 
.
Najděte pravděpodobnost, že v důsledku testu hodnota X nabude hodnoty obsažené v intervalu 
.
Řešení. Pravděpodobnost, že X bude nabývat hodnoty z daného intervalu, je rovna přírůstku integrální funkce v tomto intervalu, tzn. . V našem případě a tedy
.
Úkol 10. Diskrétní náhodná veličina X dáno distribučním zákonem:
Funkce Najít distribuci F(x ) a vytvořte jeho graf.
Řešení. Od distribuční funkce
Pro 
, Že
na ;
na ;
na ;
na ;
Relevantní graf:
Úkol 11. Spojitá náhodná veličina X dáno diferenciální distribuční funkcí: 
.
Najděte pravděpodobnost zásahu X do intervalu
Řešení. Všimněte si, že se jedná o speciální případ zákona o exponenciálním rozdělení.
Použijme vzorec: 
.
Úkol 12. Najděte číselné charakteristiky diskrétní náhodné veličiny X dané distribučním zákonem:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2:
|
je Laplaceova funkce.………………………………………………………
An - náhodná proměnná X nabyla hodnoty An.
Je zřejmé, že součet událostí A1 A2, . , An je určitá událost, protože náhodná proměnná nutně nabývá alespoň jedné z hodnot x1, x2, xn.
Proto P (A1 È A2 È . È An) = 1.
Kromě toho jsou události A1, A2, ., An nekompatibilní, protože náhodná proměnná v jednom experimentu může nabývat pouze jedné z hodnot x1, x2, ., xn. Větou o sčítání pro neslučitelné události získáme
P(A1)+P(A2)+ .+P(An)=1,
tj. p1+p2+. +pn = 1, nebo zkráceně
Proto součet všech čísel umístěných ve druhém řádku tabulky 1, která udává zákon rozdělení náhodné veličiny X, musí být roven jedné.
PŘÍKLAD 1. Nechť náhodná proměnná X je počet hozených bodů při hodu kostkou. Najděte distribuční zákon (ve formě tabulky).
Náhodná proměnná X nabývá hodnot
x1=1, x2=2, …, x6=6
s pravděpodobnostmi
p1= p2 = … = p6 =
Distribuční zákon je dán tabulkou:
tabulka 2
PŘÍKLAD 2. Binomické rozdělení. Uvažujme náhodnou veličinu X - počet výskytů jevu A v sérii nezávislých experimentů, z nichž se A vyskytuje s pravděpodobností p.
Náhodná proměnná X může samozřejmě nabývat jedné z následujících hodnot:
0, 1, 2, ., k, ., n.
Pravděpodobnost události spočívající v tom, že náhodná veličina X nabude hodnoty rovné k, je určena Bernoulliho vzorcem:
Рn(k)= kde q=1- р.
Takové rozdělení náhodné veličiny se nazývá binomické rozdělení nebo Bernoulliho rozdělení. Bernoulliho rozdělení je zcela specifikováno dvěma parametry: počtem n všech pokusů a pravděpodobností p, s jakou událost nastane v každém jednotlivém pokusu.
Podmínka pro binomické rozdělení má tvar:
K prokázání platnosti této rovnosti stačí v identitě
(q+px)n= 
zadejte x=1.
PŘÍKLAD 3. Poissonovo rozdělení. Toto je název rozdělení pravděpodobnosti formuláře:
P(k)= 
.
Je určena jediným (kladným) parametrem a. Pokud je ξ náhodná veličina, která má Poissonovo rozdělení, pak odpovídající parametr a - je průměrná hodnota této náhodné veličiny:
a=Mξ=, kde M je matematické očekávání.
Náhodná proměnná je:
PŘÍKLAD 4. exponenciální distribuce.
Je-li čas náhodná veličina, označme ji τ, takže
kde 0<λ=const, t ³ 0, причем, если t=0, то P(t)=0.
Střední hodnota náhodné veličiny t je:
Distribuční hustota má tvar:
4) Normální rozdělení
Nechť jsou nezávislé, shodně rozdělené náhodné veličiny a nech 
Jsou-li členy dostatečně malé a číslo n dostatečně velké, - jsou-li pro n à ∞ matematické očekávání náhodné veličiny Мξ a rozptylu Dξ rovné Dξ=M(ξ–Мξ)2 takové, že Мξ~ а, Dξ~σ2, tedy
- normální nebo gaussovské rozdělení
.
5) Geometrické rozložení. Označme ξ počet pokusů předcházejících prvnímu „úspěchu“. Pokud předpokládáme, že každý test trvá jednotku času, pak můžeme ξ považovat za dobu čekání do prvního „úspěchu“. Distribuce vypadá takto:
Р(k)=p(1-p)k, (k=0, 1, 2) p>0
6) Hypergeometrické rozložení.
Existuje N - objektů, mezi nimi n - "zvláštních objektů". Mezi všemi objekty je náhodně vybráno k-objektů. Najděte pravděpodobnost, že mezi vybranými objekty je rovno r - "zvláštní objekty". Distribuce vypadá takto:
7) Pascalovo rozdělení.
Nechť x je celkový počet "selhání" předcházejících příchodu r-tého "úspěchu". Distribuce vypadá takto:
Distribuční funkce má tvar:
Ekvipravděpodobné rozdělení znamená, že náhodná veličina x může nabývat libovolné hodnoty na intervalu se stejnou pravděpodobností. V tomto případě se hustota distribuce vypočítá jako 
Grafy hustoty distribuce a distribuční funkce jsou uvedeny níže.
Před vysvětlením pojmu „bílý šum“ je nutné uvést řadu definic.
Náhodná funkce je funkcí nenáhodného argumentu t, který je pro každou pevnou hodnotu argumentu náhodnou veličinou. Pokud je například U náhodná veličina, pak je funkce X(t)=t2U náhodná.
Úsek náhodné funkce je náhodná proměnná odpovídající pevné hodnotě argumentu náhodné funkce. Náhodnou funkci lze tedy považovat za množinu náhodných veličin (X(t)), v závislosti na parametru t.
