Předpokládá se, že problém stereometrie na profilová zkouška v matematice - pouze pro vynikající studenty. Že jeho řešení vyžaduje zvláštní nadání a tajemné „prostorové myšlení“, které mají od narození jen vzácní šťastlivci.

Je to tak?

Naštěstí je vše mnohem jednodušší. jak se tak krásně říká" prostorové myšlení“, nejčastěji znamená znalost základů stereometrie a schopnost stavět kresby.

Nejprve je nutná znalost stereometrických vzorců. V našich tabulkách " Mnohostěny "A" Rotační tělesa "Jsou uvedeny všechny vzorce, podle kterých se počítají objemy a povrchy trojrozměrných těles.

Za druhé - sebevědomé řešení problémů v geometrii uvedených v části 1 (první 12 POUŽÍVEJTE úkoly). Jedná se o úlohy planimetrické i stereometrické.

A co je nejdůležitější, k vyřešení úlohy 14 budete potřebovat základní axiomy a věty stereometrie. Nejlepší je, když si zakoupíte učebnici geometrie pro ročníky 10-11 (autor - A. V. Pogorelov nebo L. S. Atanasyan) a odpovíte na níže uvedené otázky. Zapište si definice a tvrzení vět do sešitu. Dělejte nákresy. Zkuste větu dokázat sami.

Při práci na tomto úkolu si formulujte - jaký je mezi tím rozdíl definice a znak. Existuje například definice rovnoběžnosti přímky a roviny - a znak rovnoběžnosti přímky a roviny. Jaký je mezi nimi rozdíl?

Je velmi dobré, když si úkol uděláte sami a poté si zkontrolujete odpovědi. Všechny odpovědi naleznete na našem webu v této sekci.

Stereometrický program.

1. Rovina v prostoru. Dokončete frázi: Rovina může být nakreslena skrz ...

   (Uveďte čtyři odpovědi).

2. Umístění rovin v prostoru Dokončete větu: Jestliže dvě roviny mají společný bod potom oni...
3. Rovnoběžnost přímky a roviny. Definice a znak.
4. Co je to šikmé a šikmé promítání. Výkres.
5. Úhel mezi přímkou ​​a rovinou.
6. Kolmost přímky a roviny. Definice a znak.
7. Křížení rovných čar. Úhel mezi protínajícími se čarami. Vzdálenost mezi protínajícími se čarami.
8. Vzdálenost od přímky k rovině s ní rovnoběžnou.
9. Paralelnost rovin. Definice a znak.
10. Kolmost roviny. Definice a znak.
11. Dokonči větu: a) Průsečíky dvou rovnoběžných rovin třetí rovinou...

    b) Úseky rovnoběžných čar uzavřených mezi rovnoběžnými rovinami...

Zde je několik jednoduchá pravidla pro řešení problémů ve stereometrii:

Existují dva hlavní způsoby, jak řešit problémy ze stereometrie na zkoušce z matematiky. První je klasický: praktická aplikace definic, vět a vlastností, jejichž seznam je uveden výše. Druhý -

C2 USE v matematice.

Základem pyramidy je čtverec
dva boční plochy této pyramidy jsou kolmé k rovině její základny,
jeho další dvě boční plochy svírají se základní rovinou stejné dihedrální úhly,
z nichž každý je roven 30 stupňům.
Výška pyramidy je sqrt(2).
Najděte oblast bočního povrchu pyramidy.

Řešení C2 Jednotná státní zkouška z matematiky.

C2 USE v matematice.

Průměr obvodu podstavy válce je 26, tvořící čára válce 21. Rovina protíná jeho podstavy po tětivách délky 24 a 10. Najděte tečnu úhlu mezi touto rovinou a rovinou podstavy válce.

Řešení C2 Jednotná státní zkouška z matematiky.

Nechť AB=10 a C1D1 = 24 jsou tětivy, podél kterých řez protíná základny válce. Roviny základen jsou rovnoběžné, takže AB a C1D1 jsou také rovnoběžné.

Spuštěním kolmiček z bodů C1 a D1 na rovinu OAB získáme úsečku CD rovnou C1D1. Nechť K, L a L1 jsou středy akordů AB, CD a C1D1.

Úhel mezi rovinou řezu a základní rovinou válce bude rovný úhlu L1KL. Jeho tečnu najdeme od pravoúhlého trojúhelníku L1LK: tg(L1KL) = LL1/LK.

LL1 = tvořící čára válce = 21
LK=LO+OK.

Z pravoúhlého trojúhelníku CLO:
LO = sqrt(CO^2-CL^2) = sqrt(13^2-12^2) = 5

Z pravoúhlého trojúhelníku AKO:
OK = sqrt(AO^2-AK^2) = sqrt(13^2-5^2) = 12

Tg(L1KL) = LL1/LK = 21/17

Podmínka úkolu C2:

V pravidelném šestibokém jehlanu SABCDEF
základní strana AB=√3, boční hrana SA = √7. Najděte vzdálenost od vrcholu A k rovině BCS.

Řešení:

Všimněte si, že AD je rovnoběžná s BC, a tedy s celou rovinou BCS.
To znamená, že všechny body přímky AD jsou stejně vzdálené od roviny BCS.

Nechť SH je výška trojúhelníku BCS, SO je kolmice svržená z bodu S do roviny podstavy jehlanu a bod O patří do AD. Požadovaná vzdálenost bude délka výšky OM pravoúhlého trojúhelníku SOH.

1) Najděte OH z rovnostranného trojúhelníku OBC: OH = BC*sqrt(3)/2 = 3/2

2) Najděte SH z pravoúhlého trojúhelníku BHS: SH = sqrt(SB^2-BH^2) = sqrt(sqrt(7)^2-(sqrt(3)/2)^2) = 5/2

3) Najděte SO z pravoúhlého trojúhelníku SOH: SO = sqrt(SH^2-OH^2) = 4/2

4) Požadovanou vzdálenost OM, když známe všechny strany pravoúhlého trojúhelníku SOH, lze například najít napsáním výrazu pro jeho obsah dvěma různými způsoby:

S \u003d SO * OH / 2 \u003d SH * OM / 2,

Kde OM = SO*OH/SH = 4*3/5 = 6/5

Odpovědět: 6/5

Podmínka úkolu C2:

V pravidelné trojúhelníkové pyramidě ABCS se základnou ABC jsou hrany známé: AB \u003d 5 kořenů ze 3, SC \u003d 13.
Najděte úhel, který svírá rovina podstavy a přímka procházející středem hran AS a BC.

Řešení:

1. Protože SABC je pravidelný jehlan, pak ABC je rovnostranný trojúhelník a zbývající plochy jsou stejné rovnoramenné trojúhelníky.
To znamená, že všechny strany základny jsou 5*sqrt(3) a všechny boční žebra se rovnají 13.

2. Nechť D je střed BC, E střed AS, SH výška od bodu S k základně jehlanu, Ep výška od bodu E k základně jehlanu.

3. Najděte AD z pravoúhlého trojúhelníku CAD pomocí Pythagorovy věty. Získáte 15/2 = 7,5.

4. Protože je pyramida pravidelná, je bod H průsečíkem výšek/střednic/osů trojúhelníku ABC, což znamená, že dělí AD v poměru 2:1 (AH=2*AD).

5. Najděte SH z pravoúhlého trojúhelníku ASH. AH=AD*2/3 = 5, AS = 13, podle Pythagorovy věty SH = sqrt(13^2-5^2) = 12.

6. Trojúhelníky AEp a ASH jsou oba pravoúhlé a mají společný úhel A, tedy podobný. Za předpokladu, AE = AS/2, tedy jak Ap = AH/2, tak Ep = SH/2.

7. Zbývá uvažovat pravoúhlý trojúhelník EDp (nás jen zajímá úhel EDp).
Ep = SH/2 = 6;
Dp = AD*2/3 = 5;

Úhlová tečna EDp = Ep/Dp = 6/5,
Úhel EDp = arctg(6/5)

Odpovědět:

Podmínka úkolu C2:

v rovnoramenném pravoúhlý trojuhelník jedna z nohou leží v rovině a a druhá s ní svírá úhel 45 stupňů. Najděte úhel mezi přeponou daného trojúhelníku a danou rovinou.

Řešení:

Trojúhelník ABC, úhel C - vpravo, BC patří do roviny.
AC = BC = x, AB = x*sqrt(2)
Pusťme kolmici AA1 k rovině a.

Požadovaný úhel je úhel A1BA.

Úhel A1CA je 45 stupňů, úhel AA1C je pravý úhel. AA1 = AC*sin(45 stupňů) = x/sqrt(2).

sin(A1BA) = AA1/AB = (x/sqrt(2))/(x*sqrt(2)) = 1/2

Úhel A1BA = arcsin(1/2) = 30 stupňů.

Metodický rozvoj řešení úloh C2 u Jednotné státní zkoušky z matematiky.

Vysvětlivka

Úloha C2 odkazuje na úkoly pokročilá úroveň Potíže s podrobnou odpovědí.

Při plnění úkolu v odpovědním formuláři č. 2 by mělo být zaznamenáno úplné zdůvodněné rozhodnutí a odpověď. Vyžaduje se, aby provedené výpočty byly konzistentní a logické, klíčové body rozhodnutí byly zdůvodněny a matematické pojmy a symboly jsou použity správně. Problém C2 je středně složitý stereometrický problém, proveditelný pro většinu úspěšných absolventů. Úplné správné řešení úlohy C2 se odhaduje na 2 body.

Hodnocení plnění úkolů druhé části je prováděno odborníky na základě speciálně vyvinutého systému kritérií vycházejícího z následujících požadavků. Způsob a forma zápisu řešení může být libovolná, řešení však musí být matematicky gramotné, úplné a zdůvodněné. Zároveň se hodnotí pokrok absolventa při řešení problému. Při řešení problému můžete bez důkazů a odkazů použít jakákoli matematická fakta obsažená v učebnicích a učební pomůcky schválené nebo doporučené Ministerstvem školství a vědy Ruské federace.

Vytvořte výkres, který odpovídá stavu (pokud je to možné, nejvizuálnější),

Popište postavu, zapamatujte si definici, vlastnosti, znaky,

Určete závislosti mezi prvky

Důvod z otázky problému, postupně za použití daných podmínek.

V minulé roky při řešení problémů C2 je často nutné najít vzdálenost a úhly:

Od bodu k řádku;

Z bodu do roviny;

Mezi protínajícími se čarami nebo najděte úhel mezi:

Rovné & Plane & Angle;

Roviny a úhel.

Pro mnoho moderních studentů je obtížný úkol orientovat se v geometrických pojmech, větách, znacích nebo vytvářet potřebné konstrukce a zpravidla je pro ně jednodušší naučit se určitou sadu vzorců a používat jeden algoritmus. Proto chci navrhnout algoritmus pro řešení C2 založený na souřadnicové metodě, který nevyžaduje žádnou konstrukci, ale je analytický.

Práce je zaměřena na přípravu studentů ke zkoušce. Uvažuje: příklady řešení úloh pro zjištění vzdálenosti mezi protínajícími se přímkami, úhel mezi komplexními rovinami, úhel mezi přímkou ​​a rovinou. Řešení problémů vyplývá z analýzy teoretického materiálu. Navržené úlohy lze zvážit v hodinách určených pro přípravu studentů na zkoušku a v hodinách na témata: "Úhel mezi přímkou ​​a rovinou", "Úhel mezi rovinami", "Vzdálenost mezi křižujícími se přímkami".

Teoretický materiál

Hledání vzdáleností:

Ukažte na řádek

1 způsob - vektor

M1(x1, y1, z1) - libovolný bod v prostoru, od kterého potřebujete zjistit vzdálenost k přímce ℓ. Bod M0 (x0, y0, z0), libovolný bod patřící přímce ℓ, (a , b , c ) - souřadnice směrového vektoru přímky ℓ.

2cestný - analytický

1. Z přímky a bodu sestrojte trojúhelník, tzn. spoj bod, od kterého hledáme vzdálenost, s libovolnými dvěma body na přímce

2. Hledáme všechny strany výsledného trojúhelníku pomocí vzorce pro vzdálenosti mezi dvěma body:

3. Potom pomocí kosinové věty hledáme kosinus libovolného úhlu trojúhelníku

4. Pomocí hlavního trigonometrická identita najít sinus tohoto úhlu

5. Podle vzorce S \u003d 1 / 2ab sin A oblast tohoto trojúhelníku

6. Hledáme výšku prodlouženou z daného bodu k dané přímce pomocí plochy trojúhelníku S = 1/2ah

Příklad

V pravidelném šestibokém hranolu ABCDEF A1B1C1D 1E 1F, jehož strany základny jsou 4 a boční hrany jsou 1, zjistěte vzdálenost od bodu B k přímce F 1 E 1.

1 způsob

SA=
, A (
;0;0)

B(
; -2;0)

F 1 (
;4;1)

E 1 (
;6;1)

Zapišme souřadnice směrového vektoru pro přímku F 1E 1 (
;-2;0), nechť F 1 (
;4;1) je bod na přímce.

Najděte vzdálenost pomocí vzorce:

2 způsob:

Uvažujme ∆BF 1E 1

BF1 =

BE1=

cosB=
, Pak hříchB=

S ∆BF 1E 1=
, při znalosti plochy ∆BF 1E 1 najdeme výšku 14=1/2*4 *BH , kde BH je výška vytažená z vrcholu B, tzn. vzdálenost od bodu B k přímce F 1E 1.

BH=7

úkoly:

V pravidelném šestibokém hranolu ABCDEF A1B1C1D 1E 1F, jehož základní strany jsou 4 a boční hrany jsou 3, zjistěte vzdálenost od bodu B k přímce C 1 D 1.

Odpovědět:

2. ukažte na rovinu

Nechť je nutné najít vzdálenost od bodu P (x 1; y 1; z 1) k rovině Ax + By + Cz + D \u003d 0, kde (A; B; C) jsou souřadnice normály roviny.

Vzorec pro zjištění vzdálenosti mezi bodem a rovinou

Potíže mohou nastat při psaní rovnice roviny.

Sestavení rovinné rovnice je redukováno na řešení soustavy tří neznámých, skládající se z rovnic získaných dosazením tří bodů ležících v rovině do rovinného vzorce.

Příklad:

V pravidelném 3stranném jehlanu je strana základny 12 cm. Najděte vzdálenost od středu základny k boční ploše, pokud je úhel vzepětí na okraji základny π/3

H(
; 6; 0)

B(0;12;0); C(
6;0); S(
;6;6)

Napišme rovnici roviny:

B: 12V+D=0, pak D=-12V

C:
A+6B+D=0, A=

S:
A+6B+6C+D=0; C=

Napišme rovnici roviny:

cm

Odpověď: 3 cm

Úkoly

Délka hrany krychle AC ​​1 je rovna 1. Najděte vzdálenost od vrcholu B k rovině ASD 1

Odpovědět:

3. z přímky do roviny a mezi rovinami

Řešení těchto problémů je redukováno na řešení problému zjištění vzdálenosti od bodu k rovině. Je potřeba vzít bod patřící přímce a ve druhém případě bod patřící do jedné z rovin a tak zjistit vzdálenost bodu k rovině.

4. mezi křižujícími se liniemi

Nejběžnějším způsobem určení vzdálenosti mezi šikmými čarami je použití vektorové metody. Je nalezen vektor, který má stejnou délku jako společná kolmice k šikmým čarám a kolmý k jakémukoli nenulovému vektoru umístěnému na každé z těchto čar. Na základě rovnosti k nule skalárního součinu dvou kolmých vektorů získáme soustavu rovnic, která nám umožňuje určit souřadnice hledaného vektoru.

Je dána jednotková krychle ABCDA 1 B 1C1 D1 . Tečka M - střední žebro BB 1 . Nalézt vzdálenost mezi přímými reproduktory 1 a DM .

Nechte body R A Qjsou takové, že segmentPQ - Všeobecné kolmo k protínání Přímo AC1 A DM . Pak PQ - vektor, který je kolmý vektory AC1 A DM Za napiš správnou rovnici:

Z toho to dostáváme PQ = MQ + BM + AB + P A

Vektor
kolineární vecto RU DM , tj. existuje takové čísloA, Co
.

(-1;1;1/2)

Proto vektor MQ má souřadnice ( A ;- A ;-1/2 A )

vektory VM (0;0;1/2) A AB(0; 1; 0).

Vektor AR kolineární k vektoru AC 1, tj. existuje takovýčíslo β, Co
a sledovatco je důležité, vektorRA má souřadnice (- β;-β;-β ). Skládací che pneumatika vektor, dostaneme, že coordi natami vektor PQ budou čísla

(A -β;1-A -p;1/2-1/2A -β)

Množství A A β definovat ze systému:

;
;

PQ=

Odpovědět:

Úkoly

V pyramidě D ABC jsou známy délky žeber AB = AC = D B = D C = 13cm, DA = 6cm, BC = 24cm. Najděte vzdálenost mezi přímkami D A a BC.

Odpověď: 4 cm

V pravidelný čtyřstěn abeceda s hranou rovnou 1 bodu M - střední žebro slunce, tečka N- střední AB. Najděte vzdálenost mezi čarami CN A DM .

Odpovědět:

V pravidelném šestibokém hranolu ABCDEFA1B1C1D1E1F1, jehož hrany se rovnají l, najděte vzdálenost mezi úsečkami AB1 a BC1.

Odpovědět;

Hledání rohů

mezi přímkami

Tento úkol je redukován na nalezení kosinusu úhlu mezi směrovými vektory těchto čar.

Úkol

V krychli ABCDA1B1C1D1 najděte úhel mezi úsečkami AD1 a DE1,

kde E je střed hrany CC1

D Pro jistotu vezměme hranu krychle jako 1.

úkoly:

1. Ve správném trojboký hranol ABCA1B1C1 , jehož hrany jsou rovné 1 , najděte úhel mezi úsečkami AC1 a B1C

Odpovědět:

2. V pravidelném šestibokém jehlanu MABCDEF se stranami základny rovnými 1 a bočními hranami rovnými 2 najděte kosinus úhlu mezi MB a AD .

Odpověď: ¼

2. Mezi přímkou ​​a rovinou

Tento problém se redukuje na nalezení kosinusu úhlu mezi normálou k rovině a směrovacím vektorem přímky.

Ax + By + Cz + D \u003d 0, kde (A; B; C) jsou souřadnice normály roviny. A(x 1; y 1; z 1)

Chcete-li najít souřadnice normály, musíte napsat rovnici roviny pomocí známých souřadnic tří bodů (viz problém hledání vzdálenosti od bodu k rovině)

|
hřích (plochý; rovný)=

Úkol: V pravidelném čtyřbokém jehlanu MABCD, jehož všechny hrany se rovnají 1, je bod E středem hrany MC. Najděte sinus úhlu mezi přímkou ​​DE a rovinou AMB.