– určitě budou úkoly na trigonometrii. Trigonometrie se často nelíbí pro potřebu nacpat obrovské množství obtížných vzorců, které se to hemží siny, kosiny, tečenami a kotangens. Stránky již jednou radily, jak si zapamatovat zapomenutý vzorec, na příkladu vzorce Euler a Peel.

A v tomto článku se pokusíme ukázat, že stačí pevně znát pouze pět jednoduchých goniometrických vzorců a vědět o zbytku hlavní myšlenka a vynášej je za pochodu. Je to jako s DNA: není uložena v molekule. kompletní výkresy hotová živá bytost. Spíše obsahuje návod na jeho sestavení z dostupných aminokyselin. Takže v trigonometrii, když známe některé obecné principy, získáme všechny potřebné vzorce z malého souboru těch, které je třeba mít na paměti.

Budeme se spoléhat na následující vzorce:

Ze vzorců pro součty sinus a kosinus, když víme o paritě funkce kosinus a lichosti funkce sinus, dosadíme -b místo b, získáme vzorce pro rozdíly:

1. Sinus rozdílu: hřích(a-b) = hříchAcos(-b)+cosAhřích(-b) = hříchAcosb-cosAhříchb
2. Kosinus rozdílu: cos(a-b) = cosAcos(-b)-hříchAhřích(-b) = cosAcosb+hříchAhříchb

Vložením a = b do stejných vzorců získáme vzorce pro sinus a kosinus dvojitých úhlů:

1. Sinus dvojitého úhlu: hřích2a = hřích(a+a) = hříchAcosA+cosAhříchA = 2hříchAcosA
2. Kosinus dvojitého úhlu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-hříchAhříchA = cos2a-hřích2a

Vzorce pro další vícenásobné úhly se získají podobně:

1. Sinus trojitého úhlu: hřích3a = hřích(2a+a) = hřích2acosA+cos2ahříchA = (2hříchAcosA)cosA+(cos2a-hřích2a)hříchA = 2hříchAcos2a+hříchAcos2a-hřích 3 a = 3 hříchAcos2a-hřích 3 a = 3 hříchA(1-hřích2a)-hřích 3 a = 3 hříchA-4hřích 3a
2. Kosinus trojitého úhlu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-hřích2ahříchA = (cos2a-hřích2a)cosA-(2hříchAcosA)hříchA = cos 3 a- hřích2acosA-2hřích2acosA = cos 3 a-3 hřích2acosA = cos 3 a-3 (1- cos2a)cosA = 4cos 3 a-3 cosA

Než budeme pokračovat, podívejme se na jeden problém.
Dáno: úhel je ostrý.
Najděte jeho kosinus if
Řešení zadané jedním studentem:
Protože , Že hříchA= 3,a cosA = 4.
(z matematického humoru)

Takže definice tečny spojuje tuto funkci se sinem i kosinusem. Ale můžete získat vzorec, který dává spojení tečny pouze s kosinusem. Abychom ji odvodili, vezmeme základní trigonometrickou identitu: hřích 2 A+cos 2 A= 1 a vydělte to cos 2 A. Dostaneme:

Takže řešení tohoto problému by bylo:

(Protože úhel je ostrý, znaménko + se bere při extrakci kořene)

Těžko zapamatovatelný vzorec pro tangens součtu je další. Vydejme to takto:

Okamžitě se zobrazí a

Ze vzorce kosinus pro dvojitý úhel můžete získat vzorce sinus a kosinus pro poloviční úhly. Chcete-li to provést, na levé straně vzorce dvojitého úhlu kosinus:
cos2 A = cos 2 A-hřích 2 A
přidáme jednotku a vpravo - trigonometrickou jednotku, tj. součet druhých mocnin sinus a kosinus.
cos2a+1 = cos2a-hřích2a+cos2a+hřích2a
2cos 2 A = cos2 A+1
Vyjadřování cosA přes cos2 A a provedením změny proměnných dostaneme:

Znaménko se bere v závislosti na kvadrantu.

Podobně, odečtením jedničky od levé strany rovnosti a součtu druhých mocnin sinus a kosinus od pravé, dostaneme:
cos2a-1 = cos2a-hřích2a-cos2a-hřích2a
2hřích 2 A = 1-cos2 A

A konečně, abychom převedli součet goniometrických funkcí na součin, použijeme následující techniku. Řekněme, že potřebujeme reprezentovat součet sinů jako součin hříchA+hříchb. Zaveďme proměnné x a y takové, že a = x+y, b+x-y. Pak
hříchA+hříchb = hřích(x+y)+ hřích(x-y) = hřích X cos y+ cos X hřích y+ hřích X cos y- cos X hřích y=2 hřích X cos y Vyjádřeme nyní x a y pomocí a a b.

Protože a = x+y, b = x-y, pak . Proto

Můžete okamžitě odstoupit

1. Vzorec pro rozdělení součin sinu a kosinu PROTI množství: hříchAcosb = 0.5(hřích(a+b)+hřích(a-b))

Vzorce pro převod rozdílu sinů a součtu a rozdílu kosinus na součin, stejně jako pro dělení součinů sinů a kosinus na součet doporučujeme procvičit a odvodit sami. Po absolvování těchto cvičení si důkladně osvojíte dovednost odvozování goniometrických vzorců a neztratíte se ani v tom nejtěžším testu, olympiádě nebo testování.

Nebudu se vás snažit přesvědčit, abyste nepsali cheaty. Napsat! Včetně cheatů na trigonometrii. Později plánuji vysvětlit, proč jsou cheaty potřeba a proč jsou cheaty užitečné. A zde jsou informace o tom, jak se neučit, ale některé si zapamatovat trigonometrické vzorce. Takže - trigonometrie bez cheat sheetu! Asociace používáme k zapamatování.

1. Sčítací vzorce:

Kosiny vždy „vycházejí v párech“: kosinus-kosinus, sinus-sinus. A ještě jedna věc: kosiny jsou „neadekvátní“. „Všechno není v pořádku“ pro ně, a tak změní znaménka: „-“ na „+“ a naopak.

Sinusy - "mix": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Vzorce součtů a rozdílů:

kosiny vždy „jdou ve dvojicích“. Přidáním dvou kosinus - "buchty", dostaneme pár kosinus - "koloboky". A když odečteme, koloboky rozhodně nedostaneme. Dostáváme pár sinů. Také s mínusem dopředu.

Sinusy - "mix" :

3. Vzorce pro převod součinu na součet a rozdíl.

Kdy získáme pár kosinus? Při sčítání kosinus. Proto

Kdy získáme pár sinus? Při odečítání kosinů. Odtud:

"Míchání" se získá jak sčítáním, tak odečítáním sinů. Co je zábavnější: sčítání nebo odečítání? Přesně tak, sklopte. A pro vzorec vezměte dodatek:

V prvním a třetím vzorci je součet v závorce. Přeskupení míst termínů nemění součet. Pořadí je důležité pouze u druhého vzorce. Ale abychom nebyli zmateni, pro snadné zapamatování ve všech třech vzorcích v prvních závorkách bereme rozdíl

a za druhé - částka

Cheat sheets v kapse vám dá klid: pokud zapomenete vzorec, můžete si ho zkopírovat. A dodají vám jistotu: pokud se vám nepodaří použít cheat sheet, můžete si vzorce snadno zapamatovat.

Pojmy sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou hlavní kategorie trigonometrie, odvětví matematiky, a jsou nerozlučně spjaty s definicí úhlu. Vlastnictví tohoto matematická věda vyžaduje zapamatování a porozumění vzorcům a teorémům, stejně jako rozvinuté prostorové myšlení. To je důvod, proč trigonometrické výpočty často způsobují potíže školákům a studentům. Chcete-li je překonat, měli byste se lépe seznámit s goniometrickými funkcemi a vzorci.

Pojmy v trigonometrii

Abyste pochopili základní pojmy trigonometrie, musíte se nejprve rozhodnout, co to je. pravoúhlý trojuhelník a úhel v kruhu a proč jsou s nimi spojeny všechny základní trigonometrické výpočty. Trojúhelník, ve kterém jeden z úhlů měří 90 stupňů, je obdélníkový. Historicky byla tato postava často používána lidmi v architektuře, navigaci, umění a astronomii. V souladu s tím, studiem a analýzou vlastností tohoto obrázku, lidé dospěli k výpočtu odpovídajících poměrů jeho parametrů.

Hlavní kategorie spojené s pravoúhlými trojúhelníky jsou přepona a nohy. Přepona - protější strana trojúhelníku pravý úhel. Nohy jsou další dvě strany. Součet úhlů libovolných trojúhelníků je vždy 180 stupňů.

Sférická trigonometrie je úsek trigonometrie, který se ve škole nestuduje, ale v aplikovaných vědách, jako je astronomie a geodézie, ji vědci používají. Zvláštností trojúhelníku ve sférické trigonometrii je, že má vždy součet úhlů větší než 180 stupňů.

Úhly trojúhelníku

V pravoúhlém trojúhelníku je sinus úhlu poměr nohy opačné k požadovanému úhlu k přeponě trojúhelníku. V souladu s tím je kosinus poměr sousední větve a přepony. Obě tyto hodnoty mají vždy velikost menší než jedna, protože přepona je vždy delší než noha.

Tangenta úhlu - hodnota, rovný poměru opačnou stranu k sousední straně požadovaného úhlu nebo sinus na kosinus. Kotangens je zase poměr přilehlé strany požadovaného úhlu k opačné straně. Kotangens úhlu lze také získat vydělením jedničky hodnotou tečny.

Jednotkový kruh

Jednotková kružnice v geometrii je kružnice, jejíž poloměr je roven jedné. Taková kružnice je sestrojena v kartézském souřadnicovém systému se středem kružnice shodným s počátečním bodem a počáteční poloha vektoru poloměru je určena podél kladného směru osy X (osa úsečky). Každý bod na kružnici má dvě souřadnice: XX a YY, tedy souřadnice úsečky a pořadnice. Výběrem libovolného bodu na kružnici v rovině XX a puštěním kolmice z ní na osu úsečky získáme pravoúhlý trojúhelník tvořený poloměrem k vybranému bodu (označený písmenem C), kolmici nakreslenou k ose X (průsečík je označen písmenem G) a úsečka osou úsečky mezi počátkem (bod je označen písmenem A) a průsečíkem G. Výsledný trojúhelník ACG je pravoúhlý trojúhelník vepsaný do kružnice, kde AG je přepona a AC a GC jsou nohy. Úhel mezi poloměrem kružnice AC a segmentem osy úsečky s označením AG je definován jako α (alfa). Takže cos α = AG/AC. Vzhledem k tomu, že AC je poloměr jednotkové kružnice a je roven jedné, ukáže se, že cos α=AG. Stejně tak hřích α=CG.

Navíc, pokud znáte tato data, můžete určit souřadnici bodu C na kružnici, protože cos α=AG a sin α=CG, což znamená, že bod C má dané souřadnice (cos α;sin α). Když víme, že tečna je rovna poměru sinusu ke kosinu, můžeme určit, že tan α = y/x a cot α = x/y. Když vezmete v úvahu úhly v záporném souřadnicovém systému, můžete vypočítat, že hodnoty sinus a kosinus některých úhlů mohou být záporné.

Výpočty a základní vzorce

Hodnoty goniometrických funkcí

Po zvážení podstaty goniometrických funkcí prostřednictvím jednotkového kruhu můžeme odvodit hodnoty těchto funkcí pro některé úhly. Hodnoty jsou uvedeny v tabulce níže.

Nejjednodušší goniometrické identity

Rovnice, ve kterých pod znaménkem goniometrické funkce je neznámá hodnota, se nazývají trigonometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k - libovolné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. hřích x = 1, x = π/2 + 2πk.
3. sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, žádná řešení.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x = -1, x = π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, žádná řešení.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. tan x = 0, x = π/2 + πk.
2. tan x = a, x = arctan α + πk.

Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je libovolné celé číslo:

1. postýlka x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x = a, x = arcctg α + πk.

Redukční vzorce

Tato kategorie konstantních vzorců označuje metody, pomocí kterých můžete přejít od goniometrických funkcí tvaru k funkcím argumentu, to znamená snížit sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu libovolné hodnoty na odpovídající ukazatele úhlu úhlu. interval od 0 do 90 stupňů pro větší pohodlí výpočtů.

Vzorce pro redukční funkce pro sinus úhlu vypadají takto:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = sin α.

Pro kosinus úhlu:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Použití výše uvedených vzorců je možné při dodržení dvou pravidel. Za prvé, pokud lze úhel reprezentovat jako hodnotu (π/2 ± a) nebo (3π/2 ± a), hodnota funkce se změní:

• od hříchu k cos;
• od cos k hříchu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkce zůstane nezměněna, jestliže úhel může být reprezentován jako (π ± a) nebo (2π ± a).

Za druhé, znaménko redukované funkce se nemění: pokud bylo původně kladné, zůstává. To samé s negativními funkcemi.

Sčítací vzorce

Tyto vzorce vyjadřují hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens součtu a rozdílu dvou úhlů rotace prostřednictvím jejich goniometrické funkce. Typicky jsou úhly označovány jako α a β.

Vzorce vypadají takto:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tyto vzorce platí pro libovolné úhly α a β.

Vzorce dvojitého a trojitého úhlu

Goniometrické vzorce dvojitého a trojitého úhlu jsou vzorce, které vztahují funkce úhlů 2α a 3α k goniometrickým funkcím úhlu α. Odvozeno ze sčítacích vzorců:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2 α.
3. tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Přechod od součtu k produktu

Uvážíme-li, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohoto vzorce získáme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobně sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Přechod od produktu k součtu

Tyto vzorce vyplývají z identit přechodu součtu na součin:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Redukční vzorce

V těchto identitách lze druhé mocniny a kubické mocniny sinus a kosinus vyjádřit jako sinus a kosinus první mocniny vícenásobného úhlu:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzální substituce

Vzorce pro univerzální goniometrickou substituci vyjadřují goniometrické funkce pomocí tangens polovičního úhlu.

• sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• postýlka x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), přičemž x = π + 2πn.

Speciální případy

Zvláštní případy prvoků goniometrické rovnice jsou uvedeny níže (k je libovolné celé číslo).

Podíl pro sinus:

Hodnota hříchu x	hodnota x
0	πk
1	π/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	π/6 + 2πk nebo 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk nebo -5π/6 + 2πk
√2/2	π/4 + 2πk nebo 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk nebo -3π/4 + 2πk
√3/2	π/3 + 2πk nebo 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk nebo -2π/3 + 2πk

Podíl pro kosinus:

hodnota cos x	hodnota x
0	π/2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Podíl pro tečnu:

hodnota tg x	hodnota x
0	πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3/3	π/6 + πk
-√3/3	-π/6 + πk
√3	π/3 + πk
-√3	-π/3 + πk

Podíl pro kotangens:

hodnota ctg x	hodnota x
0	π/2 + πk
1	π/4 + πk
-1	-π/4 + πk
√3	π/6 + πk
-√3	-π/3 + πk
√3/3	π/3 + πk
-√3/3	-π/3 + πk

Věty

Věta o sinech

Existují dvě verze věty – jednoduchá a rozšířená. Jednoduchá věta siny: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto případě jsou a, b, c strany trojúhelníku a α, β, γ jsou opačné úhly.

Rozšířená sinusová věta pro libovolný trojúhelník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V této identitě R označuje poloměr kružnice, do které je daný trojúhelník vepsán.

Kosinová věta

Identita je zobrazena následovně: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Ve vzorci jsou a, b, c strany trojúhelníku a α je úhel opačný ke straně a.

Věta tečny

Vzorec vyjadřuje vztah mezi tečnami dvou úhlů a délkou protilehlých stran. Strany jsou označeny a, b, c a odpovídající opačné úhly jsou α, β, γ. Vzorec teorému tečny: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).

Kotangensová věta

Spojuje poloměr kružnice vepsané do trojúhelníku s délkou jeho stran. Jsou-li a, b, c strany trojúhelníku a A, B, C úhly proti nim, r je poloměr vepsané kružnice a p je poloobvod trojúhelníku, platí následující identity jsou platné:

• postýlka A/2 = (p-a)/r;
• postýlka B/2 = (p-b)/r;
• dětská postýlka C/2 = (p-c)/r.

Aplikace

Trigonometrie není pouze teoretická věda spojená s matematickými vzorci. Jeho vlastnosti, věty a pravidla využívají v praxi různá odvětví lidské činnosti – astronomie, letecká a námořní navigace, hudební nauka, geodézie, chemie, akustika, optika, elektronika, architektura, ekonomie, strojírenství, měřicí práce, počítačová grafika, kartografie, oceánografie a mnoho dalších.

Sinus, kosinus, tangens a kotangens jsou základními pojmy trigonometrie, s jejichž pomocí lze matematicky vyjádřit vztahy mezi úhly a délkami stran v trojúhelníku a najít požadované veličiny pomocí identit, vět a pravidel.

V tomto článku budeme hovořit o univerzální trigonometrická substituce. Zahrnuje vyjádření sinusu, kosinusu, tečny a kotangens libovolného úhlu prostřednictvím tečny polovičního úhlu. Navíc se taková výměna provádí racionálně, to znamená bez kořenů.

Nejprve si napíšeme vzorce vyjadřující sinus, kosinus, tangens a kotangens pomocí tangens polovičního úhlu. Dále si ukážeme odvození těchto vzorců. Na závěr se podívejme na pár příkladů použití univerzální trigonometrické substituce.

Navigace na stránce.

Sinus, kosinus, tečna a kotangens přes tečnu polovičního úhlu

Nejprve si napišme čtyři vzorce vyjadřující sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu přes tangens polovičního úhlu.

Uvedené vzorce jsou platné pro všechny úhly, pod kterými jsou definovány tečny a kotangensy v nich zahrnuté:

Odvozování vzorců

Rozeberme si odvození vzorců vyjadřujících sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlu přes tangens polovičního úhlu. Začněme vzorci pro sinus a kosinus.

Představme sinus a kosinus pomocí vzorců pro dvojitý úhel jako A respektive. Nyní výrazy A píšeme jej ve tvaru zlomků se jmenovatelem 1 as A . Dále na základě hlavní goniometrické identity nahradíme jednotky ve jmenovateli součtem druhých mocnin sinu a kosinu, po čemž dostaneme A . Nakonec vydělíme čitatele a jmenovatele výsledných zlomků (jeho hodnota se liší od nuly za předpokladu, že ). V důsledku toho celý řetězec akcí vypadá takto:


A

Tím je odvozování vzorců vyjadřujících sinus a kosinus přes tangens polovičního úhlu dokončeno.

Zbývá odvodit vzorce pro tečnu a kotangens. Nyní, s ohledem na vzorce získané výše, oba vzorce a , okamžitě získáme vzorce vyjadřující tečnu a kotangens přes tangens polovičního úhlu:

Takže jsme odvodili všechny vzorce pro univerzální goniometrickou substituci.

Příklady použití univerzální goniometrické substituce

Nejprve se podívejme na příklad použití univerzální trigonometrické substituce při transformaci výrazů.

Příklad.

Dejte výraz na výraz obsahující pouze jednu goniometrickou funkci.

Řešení.

Odpovědět:

.

Bibliografie.

• Algebra: Učebnice pro 9. třídu. prům. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Education, 1990.- 272 s.: ill.- isbn 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a počátky analýzy: Učebnice. pro 10-11 tříd. prům. škola - 3. vyd. - M.: Vzdělávání, 1993. - 351 s.: nemoc. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začátek analýzy: Proc. pro 10-11 tříd. obecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14. vyd. - M.: Vzdělávání, 2004. - 384 s.: il. - ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro studenty technických škol): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.

V tomto článku se na to podíváme komplexně. Základní trigonometrické identity představují rovnosti, které vytvářejí spojení mezi sinusem, kosinusem, tečnou a kotangens jednoho úhlu a umožňují najít kteroukoli z těchto goniometrických funkcí prostřednictvím známého jiného úhlu.

Okamžitě uveďme hlavní trigonometrické identity, které budeme v tomto článku analyzovat. Zapišme si je do tabulky a níže uvedeme výstup těchto vzorců a poskytneme potřebná vysvětlení.

Navigace na stránce.

Vztah mezi sinusem a kosinusem jednoho úhlu

Někdy nemluví o hlavních trigonometrických identitách uvedených v tabulce výše, ale o jedné jediné základní trigonometrická identita druh . Vysvětlení této skutečnosti je poměrně jednoduché: rovnosti jsou získány z hlavní goniometrické identity po dělení obou jejích částí pomocí resp. A vyplývají z definic sinus, kosinus, tangens a kotangens. O tom si povíme podrobněji v následujících odstavcích.

To znamená, že je to rovnost, která je zvláště zajímavá a která dostala název hlavní trigonometrické identity.

Před prokázáním hlavní goniometrické identity uvedeme její formulaci: součet druhých mocnin sinu a kosinu jednoho úhlu je shodně roven jedné. Teď to dokažme.

Základní trigonometrická identita se velmi často používá při proměna trigonometrické výrazy . Umožňuje nahradit součet druhých mocnin sinu a kosinu jednoho úhlu jedničkou. Neméně často se základní trigonometrická identita používá v obráceném pořadí: jednotka je nahrazena součtem druhých mocnin sinu a kosinu libovolného úhlu.

Tangenta a kotangens přes sinus a kosinus

Identity spojující tečnu a kotangensu se sinem a kosinusem jednoho úhlu pohledu a vyplývají bezprostředně z definic sinus, kosinus, tangens a kotangens. Ve skutečnosti je sinus podle definice y, kosinus je osa x, tečna je poměr ordináty k úsečce, tj. a kotangens je poměr úsečky k ose pořadnice, tj. .

Díky takové samozřejmosti identit a Tangenta a kotangensa jsou často definovány nikoli poměrem úseček a pořadnic, ale poměrem sinusových a kosinusových. Tangenta úhlu je tedy poměr sinusu ke kosinusu tohoto úhlu a kotangens je poměr kosinu a sinu.

Na závěr tohoto odstavce je třeba poznamenat, že identity a probíhají pro všechny úhly, pod kterými dávají goniometrické funkce v nich obsažené smysl. Vzorec je tedy platný pro libovolné , kromě (jinak bude mít jmenovatel nulu a my jsme nedefinovali dělení nulou) a vzorec - pro všechny , odlišné od , kde z je libovolné .

Vztah mezi tečnou a kotangens

Ještě zřetelnější trigonometrická identita než předchozí dvě je identita spojující tečnu a kotangens jednoho úhlu tvaru . Je jasné, že platí pro jakékoli jiné úhly než , jinak není tečna ani kotangens definována.

Důkaz vzorce velmi jednoduché. Podle definice a odkud . Důkaz mohl být proveden trochu jinak. Od té doby , Že .

Tangenta a kotangens stejného úhlu, pod kterým dávají smysl, jsou tedy .