Úkol 1. Zjistěte, zda je soustava vektorů lineárně nezávislá. Systém vektorů bude definován maticí systému, jejíž sloupce se skládají ze souřadnic vektorů.

.

Řešení. Nechte lineární kombinaci rovná se nule. Zapsáním této rovnosti v souřadnicích získáme následující soustavu rovnic:

.

Takový systém rovnic se nazývá trojúhelníkový. Má jediné řešení. . Proto ty vektory jsou lineárně nezávislé.

Úkol 2. Zjistěte, zda je soustava vektorů lineárně nezávislá.

.

Řešení. vektory jsou lineárně nezávislé (viz Úloha 1). Dokažme, že vektor je lineární kombinací vektorů . Vektorové expanzní koeficienty jsou určeny ze soustavy rovnic

.

Tento systém, stejně jako trojúhelníkový, má jedinečné řešení.

Proto systém vektorů lineárně závislé.

Komentář. Jsou volány matice jako v problému 1 trojúhelníkový a v problému 2 – stupňovitý trojúhelníkový . Otázka lineární závislosti soustavy vektorů je snadno vyřešena, pokud je matice složená ze souřadnic těchto vektorů stupňovitě trojúhelníková. Pokud matice ne zvláštní druh, poté použijte elementární řetězcové transformace , při zachování lineárních vztahů mezi sloupy, může být redukován na stupňovitý trojúhelníkový tvar.

Elementární řetězcové transformace matice (EPS) se nazývají následující operace s maticí:

1) permutace čar;

2) násobení řetězce nenulovým číslem;

3) přidání dalšího řetězce k řetězci, vynásobeného libovolným číslem.

Úkol 3. Najděte maximum lineárně nezávislého subsystému a vypočítejte hodnost systému vektorů

.

Řešení. Zredukujeme matici systému pomocí EPS do stupňovitého trojúhelníkového tvaru. Pro vysvětlení postupu bude řádek s číslem matice k transformaci označen symbolem . Sloupec za šipkou ukazuje akce, které mají být provedeny na řádcích převedené matice, aby se získaly řádky nové matice.

.

Je zřejmé, že první dva sloupce výsledné matice jsou lineárně nezávislé, třetí sloupec je jejich lineární kombinací a čtvrtý nezávisí na prvních dvou. vektory se nazývají základní. Tvoří maximální lineárně nezávislý subsystém systému a hodnost systému je tři.

Základ, souřadnice

Úkol 4. Najděte bázi a souřadnice vektorů v této bázi na množině geometrických vektorů, jejichž souřadnice splňují podmínku .

Řešení. Množina je rovina procházející počátkem. Libovolná báze v rovině se skládá ze dvou nekolineárních vektorů. Souřadnice vektorů ve zvolené bázi jsou určeny řešením příslušné soustavy lineárních rovnic.

Tento problém lze vyřešit ještě jiným způsobem, kdy základ najdete podle souřadnic.

Souřadnice prostory nejsou souřadnicemi v rovině, protože jsou spojeny vztahem , to znamená, že nejsou nezávislí. Nezávislé proměnné a (nazývají se volné) jednoznačně určují vektor v rovině, a proto je lze zvolit jako souřadnice v . Pak základ sestává z vektorů ležících a odpovídajících množinám volných proměnných A , to je .

Úkol 5. Najděte základ a souřadnice vektorů v tomto základu na množině všech vektorů v prostoru , jejichž liché souřadnice jsou navzájem stejné.

Řešení. Zvolíme, jako v předchozí úloze, souřadnice v prostoru .

Protože , pak volné proměnné jednoznačně definují vektor od a jsou tedy souřadnicemi. Odpovídající základ tvoří vektory .

Úkol 6. Najděte základ a souřadnice vektorů v tomto základu na množině všech matic formuláře , Kde jsou libovolná čísla.

Řešení. Každá matice z může být jednoznačně reprezentována jako:

Tento vztah je expanzí vektoru z hlediska báze
se souřadnicemi .

Úkol 7. Najděte rozměr a základ lineárního rozpětí soustavy vektorů

.

Řešení. Pomocí EPS transformujeme matici ze souřadnic systémových vektorů do stupňovitého trojúhelníkového tvaru.

.

sloupců poslední matice jsou lineárně nezávislé a sloupce jsou jejich prostřednictvím lineárně vyjádřeny. Proto ty vektory tvoří základ , A .

Komentář. Základ v zvoleno nejednoznačně. Například vektory tvoří také základ .

Definice. Lineární kombinace vektorů a 1 , ..., a n s koeficienty x 1 , ..., x n se nazývá vektor

x 1 a 1 + ... + x n a n .

triviální, jsou-li všechny koeficienty x 1 , ..., x n rovny nule.

Definice. Nazývá se lineární kombinace x 1 a 1 + ... + x n a n netriviální, jestliže alespoň jeden z koeficientů x 1 , ..., x n není roven nule.

lineárně nezávislý, pokud neexistuje žádná netriviální kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru .

To znamená, že vektory a 1, ..., a n jsou lineárně nezávislé, pokud x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 právě tehdy, když x 1 = 0, ..., x n = 0.

Definice. Nazývají se vektory a 1 , ..., a n lineárně závislé, pokud existuje netriviální kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru .

Vlastnosti lineárně závislých vektorů:

Pro 2 a 3 rozměrné vektory.

Dva lineárně závislé vektory jsou kolineární. (Kolineární vektory jsou lineárně závislé.) .

Pro 3-rozměrné vektory.

Tři lineárně závislé vektory jsou koplanární. (Tři koplanární vektory jsou lineárně závislé.)

• Pro n-rozměrné vektory.

  n + 1 vektorů je vždy lineárně závislých.

Příklady úloh pro lineární závislost a lineární nezávislost vektorů:

Příklad 1. Zkontrolujte, zda jsou vektory a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) lineárně nezávislé .

Řešení:

Vektory budou lineárně závislé, protože rozměr vektorů je menší než počet vektorů.

Příklad 2. Zkontrolujte, zda jsou vektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) lineárně nezávislé.

Řešení:

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + x3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

odečíst druhý od prvního řádku; přidat druhý řádek ke třetímu řádku:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Toto řešení ukazuje, že systém má mnoho řešení, to znamená, že existuje nenulová kombinace hodnot čísel x 1 , x 2 , x 3 tak, že lineární kombinace vektorů a , b , c je rovna na nulový vektor, například:

A + b + c = 0

což znamená, že vektory a , b , c jsou lineárně závislé.

Odpovědět: vektory a , b , c jsou lineárně závislé.

Příklad 3. Zkontrolujte, zda jsou vektory a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) lineárně nezávislé.

Řešení: Pojďme najít hodnoty koeficientů, při kterých bude lineární kombinace těchto vektorů rovna nulovému vektoru.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Tuto vektorovou rovnici lze zapsat jako soustavu lineárních rovnic

	x1 + x2 = 0
	x1 + 2x2 - x3 = 0
	x1 + 2x3 = 0

Tento systém řešíme Gaussovou metodou

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

odečíst první od druhého řádku; odečtěte první od třetího řádku:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

odečíst druhý od prvního řádku; přidejte druhý řádek ke třetímu řádku.

Lineární závislost a lineární nezávislost vektorů.
Základy vektorů. Afinní souřadnicový systém

V publiku je vozík s čokoládami a dnes každý návštěvník dostane sladkou dvojici - analytickou geometrii s lineární algebrou. Tento článek se dotkne dvou částí vyšší matematiky najednou a uvidíme, jak spolu vycházejí v jednom obalu. Dejte si pauzu, jezte Twix! ... sakra, no, argumentovat nesmysly. I když v pořádku, nebudu bodovat, nakonec by měl být ke studiu pozitivní přístup.

Lineární závislost vektorů, lineární nezávislost vektorů, vektorový základ a další pojmy mají nejen geometrický výklad, ale především algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohledu lineární algebry není zdaleka vždy tím „obyčejným“ vektorem, který můžeme zobrazit v rovině nebo v prostoru. Důkaz nemusíte hledat daleko, zkuste nakreslit vektor pětirozměrného prostoru . Nebo vektor počasí, pro který jsem právě šel do Gismetea: - teplota a atmosférický tlak, resp. Příklad je samozřejmě nesprávný z hlediska vlastností vektorového prostoru, ale přesto nikdo nezakazuje formalizovat tyto parametry jako vektor. Dech podzimu...

Ne, nebudu vás nudit teorií, lineární vektorové prostory, úkolem je rozumět definice a věty. Nové termíny (lineární závislost, nezávislost, lineární kombinace, báze atd.) jsou z algebraického hlediska použitelné pro všechny vektory, příklady však budou uvedeny geometricky. Vše je tedy jednoduché, přístupné a vizuální. Kromě problémů analytické geometrie se budeme zabývat také některými typickými úlohami algebry. Pro zvládnutí látky je vhodné seznámit se s lekcemi Vektory pro figuríny A Jak vypočítat determinant?

Lineární závislost a nezávislost rovinných vektorů.
Rovinná báze a afinní souřadnicový systém

Zvažte rovinu vašeho počítačového stolu (stačí stůl, noční stolek, podlaha, strop, cokoliv se vám líbí). Úkol se bude skládat z následujících akcí:

1) Vyberte základ roviny. Zhruba řečeno, deska stolu má délku a šířku, takže je intuitivně jasné, že k sestavení základu jsou potřeba dva vektory. Jeden vektor zjevně nestačí, tři vektory jsou příliš mnoho.

2) Na základě zvoleného základu nastavit souřadnicový systém(souřadnicová mřížka) pro přiřazení souřadnic všem položkám v tabulce.

Nebuďte překvapeni, zpočátku budou vysvětlení na prstech. Navíc na vašem. Prosím umístěte ukazováček levé ruky na okraj desky stolu tak, aby se díval na monitor. Toto bude vektor. Nyní místo malíček pravé ruky na hranu stolu stejným způsobem - tak, aby směřoval na obrazovku monitoru. Toto bude vektor. Usmívej se, vypadáš skvěle! Co lze říci o vektorech? Datové vektory kolineární, což znamená lineárně vyjádřili jeden přes druhého:
, dobře, nebo naopak: , kde je nenulové číslo.

Obrázek této akce můžete vidět v lekci. Vektory pro figuríny, kde jsem vysvětlil pravidlo pro násobení vektoru číslem.

Postaví vaše prsty základ v rovině počítačového stolu? Očividně ne. Kolineární vektory se pohybují tam a zpět sama směr, zatímco rovina má délku a šířku.

Takové vektory se nazývají lineárně závislé.

Odkaz: Slova "lineární", "lineární" označují skutečnost, že v matematických rovnicích, výrazech nejsou žádné mocniny, krychle, jiné mocniny, logaritmy, sinusy atd. Existují pouze lineární (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárně závislé právě tehdy, jsou-li kolineární.

Překřížte prsty na stole tak, aby mezi nimi byl jakýkoli úhel kromě 0 nebo 180 stupňů. Dva rovinné vektorylineárně Ne jsou závislé právě tehdy, když nejsou kolineární. Základ je tedy přijat. Není třeba se stydět, že základ se ukázal jako „šikmý“ s nekolmými vektory různých délek. Velmi brzy uvidíme, že pro jeho konstrukci je vhodný nejen úhel 90 stupňů, ale nejen jednotkové vektory stejné délky

Žádný rovinný vektor jediná možnost rozšířen, pokud jde o základ:
, kde jsou reálná čísla . Volají se čísla vektorové souřadnice v tomto základu.

Také to říkají vektorprezentované ve formuláři lineární kombinace základní vektory. To znamená, že výraz se nazývá vektorový rozkladzáklad nebo lineární kombinace základní vektory.

Například, jeden může říkat, že vektor je rozšířen v ortonormálním základě letadla, nebo jeden může říkat, že to je reprezentováno jako lineární kombinace vektorů.

Pojďme formulovat základní definice formálně: rovinný základ je dvojice lineárně nezávislých (nekolineárních) vektorů, , kde žádný rovinný vektor je lineární kombinací základních vektorů.

Podstatným bodem definice je fakt, že se berou vektory v určitém pořadí. základny To jsou dvě zcela odlišné základny! Jak se říká, malíček levé ruky nelze posunout na místo malíčku pravé ruky.

Na základ jsme přišli, ale nestačí nastavit souřadnicovou mřížku a přiřadit souřadnice každé položce na vašem počítači. Proč ne dost? Vektory jsou volné a putují po celé rovině. Jak tedy přiřadit souřadnice těm malým špinavým tečkám v tabulce, které zbyly z divokého víkendu? Je potřeba výchozí bod. A takovým referenčním bodem je bod všem známý – počátek souřadnic. Pochopení souřadnicového systému:

Začnu „školním“ systémem. Již v úvodní lekci Vektory pro figuríny Zdůraznil jsem některé rozdíly mezi pravoúhlým souřadnicovým systémem a ortonormální bází. Zde je standardní obrázek:

Když se mluví o pravoúhlý souřadnicový systém, pak nejčastěji znamenají počátek, souřadnicové osy a měřítko podél os. Zkuste do vyhledávače zadat „pravoúhlý souřadnicový systém“ a uvidíte, že mnoho zdrojů vám řekne o souřadnicových osách známých z 5.–6. ročníku a o tom, jak zakreslit body do roviny.

Na druhou stranu se zdá, že ano pravoúhlý systém souřadnice mohou být určeny z hlediska ortonormálního základu. A skoro je. Formulace zní takto:

původ, A ortonormální základní sada Kartézský souřadnicový systém roviny . Tedy pravoúhlý souřadnicový systém rozhodně je definována jedním bodem a dvěma jednotkovými ortogonálními vektory. Proto vidíte výkres, který jsem uvedl výše - v geometrických úlohách se často (ale zdaleka ne vždy) kreslí vektory i souřadné osy.

Myslím, že to každý pochopí pomocí bodu (původu) a ortonormálního základu JAKÝKOLI BOD roviny a JAKÝKOLI VEKTOR roviny lze přiřadit souřadnice. Obrazně řečeno, „všechno v letadle se dá očíslovat“.

Musí být souřadnicové vektory jednotkové? Ne, mohou mít libovolnou nenulovou délku. Uvažujme bod a dva ortogonální vektory libovolné nenulové délky:

Takový základ se nazývá ortogonální. Počátek souřadnic s vektory definují souřadnicovou mřížku a libovolný bod roviny, libovolný vektor má své vlastní souřadnice v dané bázi. Například, nebo. Zjevná nepříjemnost spočívá v tom, že vektory souřadnic obecně mají jiné délky než jednota. Jsou-li délky rovny jedné, získá se obvyklý ortonormální základ.

! Poznámka : v ortogonální základně, stejně jako níže v afinních základech roviny a prostoru, jsou uvažovány jednotky podél os PODMIŇOVACÍ ZPŮSOB. Například jedna jednotka na úsečce obsahuje 4 cm, jedna jednotka na ose 2 cm.Tato informace stačí k převodu „nestandardních“ souřadnic na „naše obvyklé centimetry“, pokud je to nutné.

A druhá otázka, která už byla vlastně zodpovězena - je úhel mezi základními vektory nutně roven 90 stupňům? Ne! Jak říká definice, základní vektory musí být pouze nekolineární. Úhel tedy může být jakýkoli kromě 0 a 180 stupňů.

Volal se bod v letadle původ, A nekolineární vektory, , set afinní souřadnicový systém roviny :

Někdy se tento souřadnicový systém nazývá šikmý Systém. Body a vektory jsou na obrázku znázorněny jako příklady:

Jak jste pochopili, afinní souřadnicový systém je ještě méně pohodlný, vzorce pro délky vektorů a segmentů, které jsme zvažovali ve druhé části lekce, v něm nefungují. Vektory pro figuríny, mnoho lahodných vzorců souvisejících skalární součin vektorů. Ale platí pravidla pro sčítání vektorů a násobení vektoru číslem, vzorce pro dělení segmentu v tomto ohledu a také některé další typy problémů, které budeme brzy zvažovat.

A závěr je ten, že nejvhodnějším konkrétním případem afinního souřadnicového systému je kartézský pravoúhlý systém. Proto ona, její vlastní, musí být nejčastěji vidět. ... Nicméně vše v tomto životě je relativní - je mnoho situací, ve kterých je vhodné mít šikmý (nebo nějaký jiný, např. polární) souřadnicový systém. Ano, a humanoidům takové systémy mohou přijít na chuť =)

Přejděme k praktické části. Všechny problémy v této lekci platí jak pro pravoúhlý souřadný systém, tak pro obecný afinní případ. Není zde nic složitého, veškerý materiál je dostupný i školákovi.

Jak určit kolinearitu rovinných vektorů?

Typická věc. Aby byly dva rovinné vektory jsou kolineární, je nutné a postačující, aby jejich příslušné souřadnice byly proporcionální.V podstatě se jedná o zpřesnění souřadnic po souřadnicích zřejmého vztahu.

Příklad 1

a) Zkontrolujte, zda jsou vektory kolineární .
b) Tvoří vektory základ? ?

Řešení:
a) Zjistěte, zda existuje pro vektory koeficient proporcionality tak, aby byly splněny rovnosti:

Určitě vám řeknu o „foppish“ verzi aplikace tohoto pravidla, která v praxi funguje docela dobře. Cílem je okamžitě sestavit poměr a zjistit, zda je správný:

Udělejme poměr z poměrů odpovídajících souřadnic vektorů:

Zkracujeme:
, takže odpovídající souřadnice jsou úměrné,

Vztah by mohl být vytvořen a naopak, toto je ekvivalentní možnost:

Pro vlastní testování lze využít skutečnost, že kolineární vektory jsou lineárně vyjádřeny přes sebe. V tomto případě existují rovnosti . Jejich platnost lze snadno zkontrolovat pomocí elementárních operací s vektory:

b) Dva rovinné vektory tvoří základ, pokud nejsou kolineární (lineárně nezávislé). Zkoumáme kolinearitu vektorů . Vytvořme systém:

Z první rovnice vyplývá, že , z druhé rovnice vyplývá, že , což znamená, systém je nekonzistentní(žádná řešení). Odpovídající souřadnice vektorů tedy nejsou proporcionální.

Závěr: vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Zjednodušená verze řešení vypadá takto:

Sestavte poměr z odpovídajících souřadnic vektorů :
, proto jsou tyto vektory lineárně nezávislé a tvoří základ.

Recenzenti většinou tuto možnost neodmítají, ale problém nastává v případech, kdy se některé souřadnice rovnají nule. Takhle: . Nebo takhle: . Nebo takhle: . Jak se zde propracovat k podílu? (Opravdu nelze dělit nulou). Z tohoto důvodu jsem zjednodušené řešení nazval „foppish“.

Odpovědět: a) , b) formulář.

Malý kreativní příklad pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 2

Při jaké hodnotě parametru vektory bude kolineární?

Ve vzorovém řešení je parametr nalezen prostřednictvím podílu.

Existuje elegantní algebraický způsob, jak zkontrolovat kolinearitu vektorů. Systematizujme své znalosti a přidejte je jako pátý bod:

Pro dva rovinné vektory jsou následující tvrzení ekvivalentní:

2) vektory tvoří základ;
3) vektory nejsou kolineární;

+ 5) determinant složený ze souřadnic těchto vektorů je nenulový.

resp. následující opačné výroky jsou ekvivalentní:
1) vektory jsou lineárně závislé;
2) vektory netvoří základ;
3) vektory jsou kolineární;
4) vektory mohou být lineárně vyjádřeny navzájem;
+ 5) determinant složený ze souřadnic těchto vektorů je roven nule.

Velmi, velmi doufám, že v tuto chvíli již rozumíte všem termínům a prohlášením, se kterými jste se setkali.

Podívejme se blíže na nový, pátý bod: dva rovinné vektory jsou kolineární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic daných vektorů roven nule:. Chcete-li tuto funkci používat, samozřejmě musíte být schopni najít determinanty.

my se rozhodneme Příklad 1 druhým způsobem:

a) Vypočítejte determinant, složený ze souřadnic vektorů :
, takže tyto vektory jsou kolineární.

b) Dva rovinné vektory tvoří základ, pokud nejsou kolineární (lineárně nezávislé). Vypočítejme determinant složený ze souřadnic vektorů :
, proto jsou vektory lineárně nezávislé a tvoří základ.

Odpovědět: a) , b) formulář.

Vypadá mnohem kompaktněji a hezčí než řešení s proporcemi.

Pomocí uvažovaného materiálu je možné stanovit nejen kolinearitu vektorů, ale také dokázat rovnoběžnost segmentů, přímek. Zvažte několik problémů se specifickými geometrickými tvary.

Příklad 3

Jsou dány vrcholy čtyřúhelníku. Dokažte, že čtyřúhelník je rovnoběžník.

Důkaz: Není potřeba vytvářet výkres v problému, protože řešení bude čistě analytické. Pamatujte na definici rovnoběžníku:
Rovnoběžník Nazývá se čtyřúhelník, ve kterém jsou protilehlé strany po párech rovnoběžné.

Je tedy nutné prokázat:
1) rovnoběžnost protilehlých stran a;
2) rovnoběžnost protilehlých stran a .

dokazujeme:

1) Najděte vektory:

2) Najděte vektory:

Výsledkem je stejný vektor („podle školy“ - stejné vektory). Kolinearita je zcela zřejmá, ale je lepší se rozhodnout správně, s uspořádáním. Vypočítejte determinant složený ze souřadnic vektorů:
, takže tyto vektory jsou kolineární a .

Závěr: opačné stranyčtyřúhelníky jsou párově rovnoběžné, takže je to podle definice rovnoběžník. Q.E.D.

Více dobrých a jiných čísel:

Příklad 4

Jsou dány vrcholy čtyřúhelníku. Dokažte, že čtyřúhelník je lichoběžník.

Pro přesnější formulaci důkazu je samozřejmě lepší získat definici lichoběžníku, ale stačí si jen zapamatovat, jak vypadá.

To je úkol pro nezávislé rozhodnutí. Kompletní řešení na konci lekce.

A nyní je čas se pomalu přesunout z letadla do vesmíru:

Jak určit kolinearitu prostorových vektorů?

Pravidlo je velmi podobné. Aby dva prostorové vektory byly kolineární, je nutné a postačující, aby jejich odpovídající souřadnice byly úměrné.

Příklad 5

Zjistěte, zda jsou následující prostorové vektory kolineární:

A);
b)
PROTI)

Řešení:
a) Zkontrolujte, zda existuje koeficient úměrnosti pro odpovídající souřadnice vektorů:

Systém nemá žádné řešení, což znamená, že vektory nejsou kolineární.

"Zjednodušené" se provede kontrolou poměru. V tomto případě:
– odpovídající souřadnice nejsou proporcionální, což znamená, že vektory nejsou kolineární.

Odpovědět: vektory nejsou kolineární.

b-c) Toto jsou body pro nezávislé rozhodnutí. Vyzkoušejte to dvěma způsoby.

Existuje metoda pro kontrolu kolinearity prostorových vektorů a prostřednictvím determinantu třetího řádu, tato metoda je popsána v článku Křížový součin vektorů.

Podobně jako v případě roviny lze uvažované nástroje použít ke studiu rovnoběžnosti prostorových segmentů a čar.

Vítejte v druhé sekci:

Lineární závislost a nezávislost trojrozměrných prostorových vektorů.
Prostorová báze a afinní souřadnicový systém

Mnoho zákonitostí, které jsme zvažovali v letadle, bude platit i pro vesmír. Snažil jsem se minimalizovat shrnutí teorie, protože lví podíl informací už byl přežvýkaný. Přesto doporučuji si pozorně přečíst úvodní část, protože se objeví nové termíny a pojmy.

Nyní místo roviny počítačového stolu prozkoumejme trojrozměrný prostor. Nejprve si vytvoříme jeho základ. Někdo je teď uvnitř, někdo venku, ale v žádném případě se nemůžeme zbavit tří dimenzí: šířky, délky a výšky. Ke konstrukci základny jsou tedy zapotřebí tři prostorové vektory. Jeden nebo dva vektory nestačí, čtvrtý je nadbytečný.

A opět se zahřejeme na prstech. Zvedněte prosím ruku a roztáhněte ji různými směry palec, ukazováček a prostředníček. Budou to vektory, dívají se různými směry, mají různé délky a mají různé úhly mezi sebou. Gratulujeme, základ trojrozměrného prostoru je připraven! Mimochodem, nemusíte to učitelům demonstrovat, bez ohledu na to, jak kroutíte prsty, ale nemůžete uniknout definicím =)

Dále si položíme důležitou otázku, zda nějaké tři vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru? Zatlačte pevně třemi prsty na desku počítače. Co se stalo? Tři vektory jsou umístěny ve stejné rovině a zhruba řečeno, ztratili jsme jedno z měření - výšku. Takové vektory jsou koplanární a zcela evidentně není vytvořen základ trojrozměrného prostoru.

Nutno podotknout, že koplanární vektory nemusí ležet ve stejné rovině, mohou být v rovnoběžných rovinách (jen to nedělejte prsty, takhle vypadl jen Salvador Dalí =)).

Definice: volají se vektory koplanární pokud existuje rovina, se kterou jsou rovnoběžné. Zde je logické dodat, že pokud taková rovina neexistuje, pak vektory nebudou koplanární.

Tři koplanární vektory jsou vždy lineárně závislé, to znamená, že jsou lineárně vyjádřeny přes sebe. Pro jednoduchost si opět představte, že leží ve stejné rovině. Za prvé, vektory nejsou pouze koplanární, ale mohou být také kolineární, potom může být jakýkoli vektor vyjádřen prostřednictvím jakéhokoli vektoru. Ve druhém případě, pokud například vektory nejsou kolineární, pak je třetí vektor vyjádřen přes ně jedinečným způsobem: (a proč je snadné uhodnout z materiálů z předchozí části).

Opak je také pravdou: tři nekoplanární vektory jsou vždy lineárně nezávislé, to znamená, že se navzájem nevyjadřují. A samozřejmě pouze takové vektory mohou tvořit základ trojrozměrného prostoru.

Definice: Základ trojrozměrného prostoru se nazývá trojice lineárně nezávislých (nekoplanárních) vektorů, odebrané v určitém pořadí, zatímco libovolný vektor prostoru jediná možnost expanduje v daném základě , kde jsou souřadnice vektoru v daném základě

Pro připomenutí můžete také říci, že vektor je reprezentován jako lineární kombinace základní vektory.

Koncept souřadnicového systému je zaveden úplně stejným způsobem jako v případě roviny, stačí jeden bod a libovolné tři lineárně nezávislé vektory:

původ, A nekoplanární vektory, odebrané v určitém pořadí, set afinní souřadnicový systém trojrozměrného prostoru :

Rozhodně, mřížka"šikmé" a nepohodlné, ale přesto nám to sestrojený souřadnicový systém umožňuje rozhodně určit souřadnice libovolného vektoru a souřadnice libovolného bodu v prostoru. Podobně jako v rovině nebudou v afinním souřadnicovém systému prostoru fungovat některé vzorce, které jsem již zmínil.

Nejznámější a nejpohodlnější speciální případ afinního souřadnicového systému, jak každý může hádat, je pravoúhlý prostorový souřadnicový systém:

bod v prostoru tzv původ, A ortonormální základní sada Kartézský souřadnicový systém prostoru . známý obrázek:

Než přistoupíme k praktickým úkolům, informace znovu systematizujeme:

Pro tři prostorové vektory jsou následující tvrzení ekvivalentní:
1) vektory jsou lineárně nezávislé;
2) vektory tvoří základ;
3) vektory nejsou koplanární;
4) vektory nelze vzájemně lineárně vyjádřit;
5) determinant, složený ze souřadnic těchto vektorů, je odlišný od nuly.

Opačné výroky jsou myslím pochopitelné.

Lineární závislost / nezávislost prostorových vektorů se tradičně kontroluje pomocí determinantu (položka 5). Zbývající praktické úlohy budou mít výrazně algebraický charakter. Je čas pověsit geometrickou hůl na hřebík a ohánět se baseballovou pálkou z lineární algebry:

Tři prostorové vektory jsou koplanární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic daných vektorů roven nule: .

Upozorňuji na drobnou technickou nuanci: souřadnice vektorů lze zapisovat nejen do sloupců, ale i do řádků (hodnota determinantu se od toho nezmění - viz vlastnosti determinantů). Ale mnohem lepší je to ve sloupcích, protože je to výhodnější pro řešení některých praktických problémů.

Pro ty čtenáře, kteří na metody výpočtu determinantů trochu zapomněli, nebo se možná vůbec špatně orientují, doporučuji jednu ze svých nejstarších lekcí: Jak vypočítat determinant?

Příklad 6

Zkontrolujte, zda následující vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru:

Řešení: Ve skutečnosti celé řešení spočívá ve výpočtu determinantu.

a) Vypočítejte determinant složený ze souřadnic vektorů (determinant je rozšířen na prvním řádku):

, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé (nikoli koplanární) a tvoří základ trojrozměrného prostoru.

Odpovědět: tyto vektory tvoří základ

b) Toto je bod pro nezávislé rozhodnutí. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Nechybí ani kreativní úkoly:

Příklad 7

Při jaké hodnotě parametru budou vektory koplanární?

Řešení: Vektory jsou koplanární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic daných vektorů roven nule:

V podstatě je nutné vyřešit rovnici s determinantem. Vlétáme do nul jako draci do jerboa - nejvýhodnější je otevřít determinant ve druhém řádku a okamžitě se zbavit mínusů:

Provádíme další zjednodušení a redukujeme záležitost na nejjednodušší lineární rovnice:

Odpovědět: na

Zde je snadné to zkontrolovat, k tomu je třeba dosadit výslednou hodnotu do původního determinantu a ujistit se, že to je jejím znovuotevřením.

Na závěr se zamysleme nad dalším typickým problémem, který má spíše algebraický charakter a je tradičně zahrnut do kurzu lineární algebry. Je to tak běžné, že si zaslouží samostatné téma:

Dokažte, že 3 vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru
a najděte souřadnice 4. vektoru v daném základu

Příklad 8

Jsou uvedeny vektory. Ukažte, že vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru a najděte v tomto základu souřadnice vektoru.

Řešení: Nejprve se vypořádejme s podmínkou. Podle podmínky jsou dány čtyři vektory, a jak vidíte, v nějakém základu již mají souřadnice. Co je základ - nezajímá nás. A následující věc je zajímavá: tři vektory mohou dobře tvořit nový základ. A první krok je zcela shodný s řešením příkladu 6, je nutné zkontrolovat, zda jsou vektory skutečně lineárně nezávislé:

Vypočítejte determinant složený ze souřadnic vektorů:

, proto jsou vektory lineárně nezávislé a tvoří základ trojrozměrného prostoru.

! Důležité : vektorové souřadnice Nezbytně zapsat do sloupců determinant, ne řetězce. V opačném případě nastane zmatek v dalším algoritmu řešení.

V tomto článku se budeme zabývat:

• co jsou kolineární vektory;
• jaké jsou podmínky pro kolineární vektory;
• jaké jsou vlastnosti kolineárních vektorů;
• jaká je lineární závislost kolineárních vektorů.

Definice 1

Kolineární vektory jsou vektory, které jsou rovnoběžné se stejnou přímkou ​​nebo leží na stejné přímce.

Příklad 1

Podmínky pro kolineární vektory

Dva vektory jsou kolineární, pokud platí některá z následujících podmínek:

• podmínka 1 . Vektory a a b jsou kolineární, pokud existuje číslo λ takové, že a = λ b ;
• stav 2 . Vektory a a b jsou kolineární v rovné zacházení souřadnice:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• stav 3 . Vektory a a b jsou za podmínky rovnosti kolineární vektorový produkt a nulový vektor:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Poznámka 1

Podmínka 2 nelze použít, pokud je jedna z vektorových souřadnic nulová.

Poznámka 2

Podmínka 3 použitelné pouze pro ty vektory, které jsou uvedeny v prostoru.

Příklady úloh pro studium kolinearity vektorů

Příklad 1

Zkoumáme kolinearitu vektorů a \u003d (1; 3) a b \u003d (2; 1).

jak se rozhodnout?

V tomto případě je nutné použít 2. podmínku kolinearity. Pro dané vektory to vypadá takto:

Ta rovnost je špatná. Z toho můžeme usoudit, že vektory a a b jsou nekolineární.

Odpovědět : a | | b

Příklad 2

Jaká hodnota m vektoru a = (1 ; 2) ab = (- 1 ; m) je nutná, aby vektory byly kolineární?

jak se rozhodnout?

Pomocí druhé kolineární podmínky budou vektory kolineární, pokud jsou jejich souřadnice proporcionální:

To ukazuje, že m = -2.

Odpovědět: m = -2.

Kritéria pro lineární závislost a lineární nezávislost systémů vektorů

Teorém

Systém vektorů ve vektorovém prostoru je lineárně závislý pouze v případě, že jeden z vektorů systému lze vyjádřit v podmínkách zbytku vektorů systému.

Důkaz

Nechť soustavu e 1 , e 2 , . . . , e n je lineárně závislá. Zapišme lineární kombinaci tohoto systému rovnou nulovému vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

ve kterém alespoň jeden z koeficientů kombinace není roven nule.

Nechť a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Obě strany rovnosti dělíme nenulovým koeficientem:

a k - 1 (ak - 1 a 1) e1 + (ak - 1 a k) ek +. . . + (ak - 1 a n) e n = 0

Označit:

Ak - 1 a m , kde m ∈ 1 , 2 , . . . , k-1, k + 1, n

V tomto případě:

p1e1+. . . + βk - 1 ek - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

nebo ek = (-p1)e1+. . . + (- β k - 1) ek - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +. . . + (- β n) a n

Z toho vyplývá, že jeden z vektorů systému je vyjádřen pomocí všech ostatních vektorů systému. Což bylo požadováno k prokázání (p.t.d.).

Přiměřenost

Nechť je jeden z vektorů lineárně vyjádřen v termínech všech ostatních vektorů systému:

e k = y 1 e 1 +. . . + γ k - 1 ek - 1 + y k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Přeneseme vektor e k na pravou stranu této rovnosti:

0 = y 1 e 1 +. . . + γ k - 1 ek - 1 - ek + y k + 1 ek + 1 + . . . + γ n e n

Protože koeficient vektoru ek je roven - 1 ≠ 0 , dostáváme netriviální reprezentaci nuly soustavou vektorů e 1 , e 2 , . . . , e n , a to zase znamená, že daný systém vektorů je lineárně závislý. Což bylo požadováno k prokázání (p.t.d.).

Následek:

• Systém vektorů je lineárně nezávislý, když žádný z jeho vektorů nelze vyjádřit v podmínkách všech ostatních vektorů systému.
• Systém vektorů, který obsahuje jeden nebo dva nulové vektory stejný vektor, je lineárně závislý.

Vlastnosti lineárně závislých vektorů

1. Pro 2- a 3-rozměrné vektory je splněna podmínka: dva lineárně závislé vektory jsou kolineární. Dva kolineární vektory jsou lineárně závislé.
2. Pro 3-rozměrné vektory je splněna podmínka: tři lineárně závislé vektory jsou koplanární. (3 koplanární vektory - lineárně závislé).
3. Pro n-rozměrné vektory je splněna podmínka: n + 1 vektorů je vždy lineárně závislých.

Příklady řešení úloh pro lineární závislost nebo lineární nezávislost vektorů

Příklad 3

Zkontrolujme vektory a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 pro lineární nezávislost.

Řešení. Vektory jsou lineárně závislé, protože rozměr vektorů je menší než počet vektorů.

Příklad 4

Zkontrolujme vektory a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 pro lineární nezávislost.

Řešení. Najdeme hodnoty koeficientů, při kterých se lineární kombinace bude rovnat nulovému vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorovou rovnici zapíšeme ve tvaru lineární:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Tento systém řešíme Gaussovou metodou:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. řádku odečteme 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Odečtěte 2. od 1. řádku, přidejte 2. ke 3.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Z řešení vyplývá, že systém má mnoho řešení. To znamená, že existuje nenulová kombinace hodnot takových čísel x 1 , x 2 , x 3, pro kterou se lineární kombinace a , b , c rovná nulovému vektoru. Proto vektory a , b , c jsou lineárně závislé. ​​​​​​​

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Námi představený lineární operace s vektory umožňují vytvářet různé výrazy pro vektorové veličiny a transformovat je pomocí vlastností nastavených pro tyto operace.

Na základě dané sady vektorů a 1 , ... a n můžete sestavit výraz ve tvaru

kde a 1 , ..., an jsou libovolná reálná čísla. Tento výraz se nazývá lineární kombinace vektorů a 1, ..., a n . Čísla α i , i = 1, n , jsou lineární kombinační koeficienty. Množina vektorů se také nazývá vektorový systém.

V souvislosti se zavedeným pojmem lineární kombinace vektorů vyvstává problém popsat množinu vektorů, kterou lze zapsat jako lineární kombinaci daného systému vektorů a 1 , ..., a n . Kromě toho jsou přirozené otázky po podmínkách, za kterých dochází k zobrazení vektoru ve formě lineární kombinace, a na jedinečnost takového zobrazení.

Definice 2.1. Volají se vektory a 1 , ..., an lineárně závislé, pokud existuje taková množina koeficientů α 1 , ... , α n , že

α 1 a 1 + ... + α n a n = 0 (2.2)

a alespoň jeden z těchto koeficientů je nenulový. Pokud zadaná množina koeficientů neexistuje, zavolají se vektory lineárně nezávislý.

Jestliže α 1 = ... = α n = 0, pak samozřejmě α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. S ohledem na to můžeme říci toto: vektory a 1 , ... a n jsou lineárně nezávislé, pokud z rovnosti (2.2) vyplývá, že všechny koeficienty α 1 , ... , α n jsou rovny nule.

Následující věta vysvětluje, proč se nový koncept nazývá termínem „závislost“ (nebo „nezávislost“), a poskytuje jednoduché kritérium pro lineární závislost.

Věta 2.1. Aby vektory a 1 , ..., an , n > 1 byly lineárně závislé, je nutné a postačující, aby jeden z nich byl lineární kombinací ostatních.

◄ Nezbytnost. Předpokládejme, že vektory a 1 , ..., an jsou lineárně závislé. Podle definice 2.1 lineární závislosti je v rovnosti (2.2) vlevo alespoň jeden nenulový koeficient, například α 1 . Ponecháme-li první člen na levé straně rovnosti, přesuneme zbytek na pravou stranu, přičemž jejich znaménka změníme jako obvykle. Podělením výsledné rovnosti α 1 dostaneme

a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n / α 1 ⋅ a n

těch. reprezentace vektoru a 1 jako lineární kombinace zbývajících vektorů a 2 , ..., an .

Přiměřenost. Nechť například první vektor a 1 může být reprezentován jako lineární kombinace zbývajících vektorů: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n . Přenesením všech členů z pravé strany na levou dostaneme a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, tzn. lineární kombinace vektorů a 1 , ..., an s koeficienty α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, rovnými nulový vektor. V této lineární kombinaci nejsou všechny koeficienty rovny nule. Podle definice 2.1 jsou vektory a 1 , ..., an lineárně závislé.

Definice a kritérium lineární závislosti jsou formulovány tak, že implikují přítomnost dvou nebo více vektorů. Lze však hovořit i o lineární závislosti jednoho vektoru. Abychom si tuto možnost uvědomili, místo "vektory jsou lineárně závislé" musíme říci "systém vektorů je lineárně závislý". Je snadné vidět, že výraz "systém jednoho vektoru je lineárně závislý" znamená, že tento jediný vektor je nulový (v lineární kombinaci je pouze jeden koeficient a nesmí se rovnat nule).

Pojem lineární závislosti má jednoduchý geometrický výklad. Tento výklad je objasněn následujícími třemi tvrzeními.

Věta 2.2. Dva vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když jsou kolineární.

◄ Jsou-li vektory a a b lineárně závislé, pak jeden z nich, například a, je vyjádřen přes druhý, tzn. a = λb pro nějaké reálné číslo λ. Podle definice 1.7 funguje vektory číslem, vektory a a b jsou kolineární.

Nyní nechť jsou vektory aab kolineární. Pokud jsou oba nulové, je zřejmé, že jsou lineárně závislé, protože jakákoli jejich lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. Nechť jeden z těchto vektorů není roven 0, například vektor b. Označme λ poměr délek vektorů: λ = |а|/|b|. Kolineární vektory mohou být jednosměrný nebo opačnými směry. V druhém případě změníme znaménko λ. Potom při kontrole Definice 1.7 vidíme, že a = λb. Podle věty 2.1 jsou vektory a a b lineárně závislé.

Poznámka 2.1. V případě dvou vektorů, s přihlédnutím ke kritériu lineární závislosti, lze dokázanou větu přeformulovat následovně: dva vektory jsou kolineární právě tehdy, když jeden z nich je reprezentován jako součin druhého číslem. Toto je vhodné kritérium pro kolinearitu dvou vektorů.

Věta 2.3. Tři vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když jsou koplanární.

◄ Jsou-li tři vektory a, b, c lineárně závislé, pak podle věty 2.1 je jeden z nich, například a, lineární kombinací ostatních: a = βb + γс. Spojme počátky vektorů b a c v bodě A. Pak budou mít vektory βb, γc společný počátek v bodě A a rovnoběžník praví jejich součet, těch. vektor a, bude vektor se začátkem A a konec, což je vrchol rovnoběžníku postaveného na summandových vektorech. Všechny vektory tedy leží ve stejné rovině, to znamená, že jsou koplanární.

Nechť vektory a, b, c jsou koplanární. Pokud je jeden z těchto vektorů nulový, pak je zřejmé, že půjde o lineární kombinaci ostatních. Stačí vzít všechny koeficienty lineární kombinace rovné nule. Můžeme tedy předpokládat, že všechny tři vektory nejsou nulové. Kompatibilní Start tyto vektory v společný bod O. Jejich konce nechť jsou body A, B, C (obr. 2.1). Nakreslete přímky bodem C rovnoběžné s přímkami procházejícími dvojicemi bodů O, A a O, B. Průsečíky označíme A" a B", získáme rovnoběžník OA"CB", tedy OC" = OA" + OB " . Vektor OA" a nenulový vektor a= OA jsou kolineární, a proto první z nich lze získat vynásobením druhého reálným číslem α:OA" = αOA . Podobně OB" = βOB , β ∈ R. Výsledkem je, že OC" = α OA + βOB , tj. vektor c je lineární kombinací vektorů a a b. Podle věty 2.1 jsou vektory a, b, c lineárně závislé.

Věta 2.4. Jakékoli čtyři vektory jsou lineárně závislé.

◄ Důkaz se řídí stejným schématem jako ve větě 2.3. Uvažujme libovolné čtyři vektory a, b, c a d. Pokud je jeden ze čtyř vektorů nula nebo jsou mezi nimi dva kolineární vektory nebo tři ze čtyř vektorů jsou koplanární, pak jsou tyto čtyři vektory lineárně závislé. Pokud jsou například vektory a a b kolineární, pak můžeme sestavit jejich lineární kombinaci αa + βb = 0 s nenulovými koeficienty a poté k této kombinaci přidat zbývající dva vektory, přičemž jako koeficienty vezmeme nuly. Dostaneme lineární kombinaci čtyř vektorů rovných 0, ve kterých jsou nenulové koeficienty.

Můžeme tedy předpokládat, že mezi vybranými čtyřmi vektory nejsou žádné nulové, žádné dva nejsou kolineární a žádné tři nejsou koplanární. Jako jejich společný počátek zvolíme bod O. Pak konce vektorů a, b, c, d budou nějaké body A, B, C, D (obr. 2.2). Bodem D vedeme tři roviny rovnoběžné s rovinami ОВС, OCA, OAB a nechť A", B", С" jsou průsečíky těchto rovin s přímkami OA, OB, OS, resp. OA"C"B"C" B"DA", a na jeho hranách vycházejících z vrcholu O leží vektory a,b,c. Protože čtyřúhelník OC"DC" je rovnoběžník, pak OD = OC" + OC Segment OS" je zase diagonální rovnoběžník OA"C"B", takže OC" = OA" + OB" a OD = OA" + OB" + OC" .

Zbývá poznamenat, že dvojice vektorů OA ≠ 0 a OA" , OB ≠ 0 a OB" , OC ≠ 0 a OC" jsou kolineární, a proto můžeme zvolit koeficienty α, β, γ tak, aby OA" = aOA, OB" = pOB a OC" = yOC. Nakonec dostaneme OD = αOA + βOB + γOC . V důsledku toho je vektor OD vyjádřen pomocí zbývajících tří vektorů a všechny čtyři vektory jsou podle věty 2.1 lineárně závislé.