See artikkel käsitleb paralleelseid sirgeid ja paralleelseid sirgeid. Esmalt esitatakse paralleelsete joonte definitsioon tasapinnal ja ruumis, tutvustatakse tähistusi, tuuakse paralleeljoonte näiteid ja graafilisi illustratsioone. Järgmisena käsitletakse sirgete paralleelsuse märke ja tingimusi. Kokkuvõttes on toodud sirgete paralleelsuse tõestamise tüüpiliste ülesannete lahendused, mis on antud mõne sirge võrrandiga. ristkülikukujuline süsteem koordinaadid tasapinnal ja kolmemõõtmelises ruumis.

Leheküljel navigeerimine.

Rööpjooned – põhiteave.

Definitsioon.

Nimetatakse kahte tasapinna sirget paralleelselt, kui neil pole ühiseid punkte.

Definitsioon.

Nimetatakse kahte joont kolmemõõtmelises ruumis paralleelselt, kui need asuvad samal tasapinnal ja neil pole ühiseid punkte.

Pange tähele, et klausel "kui need asuvad samal tasapinnal" ruumi paralleelsete joonte määratluses on väga oluline. Selgitame seda punkti: kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis, millel ei ole ühiseid punkte ja mis ei asu samal tasapinnal, ei ole paralleelsed, vaid lõikuvad.

Siin on mõned paralleelsete joonte näited. Märkmiku lehe vastasservad asuvad paralleelsetel joontel. Sirged jooned, mida mööda maja seina tasapind lõikub lae ja põranda tasapindadega, on paralleelsed. Paralleelsete joontena võib käsitleda ka raudteerööpaid tasasel maal.

Paralleelsete joonte tähistamiseks kasutage sümbolit "". See tähendab, et kui sirged a ja b on paralleelsed, saame lühidalt kirjutada a b.

Pange tähele: kui sirged a ja b on paralleelsed, siis võime öelda, et sirge a on paralleelne sirgega b ja ka sirge b paralleelne sirgega a.

Ütleme välja avalduse, mis mängib oluline roll paralleelsete sirgete uurimisel tasapinnal: punktist, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda väidet aktsepteeritakse faktina (seda ei saa tõestada teadaolevate planimeetria aksioomide põhjal) ja seda nimetatakse paralleelsete sirgete aksioomiks.

Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi on lihtne tõestada ülaltoodud paralleelsete sirgete aksioomi abil (selle tõestuse leiate 10.–11. klasside geomeetriaõpikust, mis on loetletud artikli lõpus kirjanduse loetelus).

Ruumi puhul kehtib teoreem: läbi mis tahes ruumipunkti, mis ei asu antud sirgel, läbib üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. Seda teoreemi saab hõlpsasti tõestada ülaltoodud paralleelse joone aksioomi abil.

Sirgede paralleelsus - paralleelsuse märgid ja tingimused.

Märk sirgete paralleelsusest on piisav seisukord sirgete paralleelsus ehk tingimus, mille täitmine tagab sirgete paralleelsuse. Teisisõnu, selle tingimuse täitmine on piisav joonte paralleelsuse tuvastamiseks.

Samuti on olemas vajalikud ja piisavad tingimused sirgete paralleelsusele tasapinnal ja ruumilises ruumis.

Selgitagem fraasi "vajalik ja piisav tingimus paralleelsete joonte jaoks" tähendust.

Paralleelsete joonte piisava tingimusega oleme juba tegelenud. Ja mis on" vajalik tingimus sirgete paralleelsus"? Nimetusest “vajalik” selgub, et paralleeljoonte puhul on selle tingimuse täitmine vajalik. Ehk kui joonte paralleelsuse vajalik tingimus ei ole täidetud, siis pole sirged paralleelsed. Seega paralleelsete joonte jaoks vajalik ja piisav tingimus on tingimus, mille täitmine on paralleelsete sirgete jaoks nii vajalik kui ka piisav. See tähendab, et ühest küljest on see joonte paralleelsuse märk ja teisest küljest on see omadus, mis paralleelsetel sirgel on.

Enne joonte paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamist on soovitav meelde tuletada mitmeid abidefinitsioone.

Sekantne joon on sirge, mis lõikab kahte etteantud mittekattuvat sirget.

Kui kaks sirget ristuvad põikisuunaga, moodustub kaheksa väljakujunemata. Sirgede paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse sõnastamisel kasutatakse nn risti lamades, vastav Ja ühepoolsed nurgad. Näitame neid joonisel.

Teoreem.

Kui tasapinna kahte sirget lõikub põiki, siis nende paralleelsuse jaoks on vajalik ja piisav, et lõikuvad nurgad on võrdsed või vastavad nurgad on võrdsed või ühepoolsete nurkade summa on võrdne 180 kraadid.

Näitame selle tasapinna sirgete paralleelsuse vajaliku ja piisava tingimuse graafilise illustratsiooni.

Tõestused nende sirgete paralleelsuse tingimuste kohta leiate 7.-9.klassi geomeetriaõpikutest.

Pange tähele, et neid tingimusi saab kasutada ka kolmemõõtmelises ruumis – peaasi, et kaks sirget ja sekant asetseksid samal tasapinnal.

Siin on veel mõned teoreemid, mida sageli kasutatakse sirgete paralleelsuse tõestamiseks.

Teoreem.

Kui tasapinna kaks sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestus tuleneb paralleelsete sirgete aksioomist.

Sarnane tingimus on paralleelsete joonte jaoks kolmemõõtmelises ruumis.

Teoreem.

Kui kaks sirget ruumis on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed. Selle kriteeriumi tõestusest räägitakse 10. klassi geomeetriatundides.

Illustreerime esitatud teoreeme.

Esitame veel ühe teoreemi, mis võimaldab tõestada sirgete paralleelsust tasapinnal.

Teoreem.

Kui tasapinna kaks sirget on risti kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed.

Sarnane teoreem on ka ruumijoonte kohta.

Teoreem.

Kui kaks sirget kolmemõõtmelises ruumis on sama tasapinnaga risti, siis on nad paralleelsed.

Joonistame nendele teoreemidele vastavad pildid.

Kõik eelpool sõnastatud teoreemid, kriteeriumid ning vajalikud ja piisavad tingimused sobivad suurepäraselt sirgete paralleelsuse tõestamiseks geomeetria meetoditega. See tähendab, et kahe antud sirge paralleelsuse tõestamiseks peate näitama, et need on paralleelsed kolmanda sirgega, või näitama risti asetsevate nurkade võrdsust jne. Geomeetriatundides lahendatakse palju sarnaseid probleeme Keskkool. Samas tuleb tähele panna, et paljudel juhtudel on mugav kasutada koordinaatmeetodit sirgete paralleelsuse tõestamiseks tasapinnal või ruumilises ruumis. Sõnastame ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis määratud sirgete paralleelsuse vajalikud ja piisavad tingimused.

Sirgete paralleelsus ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis.

Artikli selles lõigus sõnastame paralleelsete joonte jaoks vajalikud ja piisavad tingimused ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, olenevalt neid sirgeid määratlevate võrrandite tüübist ning pakume ka üksikasjalikke lahendusi iseloomulikele probleemidele.

Alustame kahe sirge paralleelsuse tingimusega tasapinnal ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy. Tema tõestus põhineb sirge suunavektori definitsioonil ja tasapinnal oleva sirge normaalvektori definitsioonil.

Teoreem.

Selleks, et kaks mittekattuvat sirget oleksid tasapinnas paralleelsed, on vajalik ja piisav, et nende sirgete suunavektorid on kollineaarsed või nende sirgete normaalvektorid on kollineaarsed või ühe sirge suunavektor on normaalsega risti teise rea vektor.

Ilmselt taandatakse tasapinna kahe sirge paralleelsuse tingimuseks (joonte suunavektorid või sirgete normaalvektorid) või (ühe sirge suunavektor ja teise sirge normaalvektor). Seega, kui ja on sirgete a ja b suunavektorid ja Ja on vastavalt sirgete a ja b normaalvektorid, siis kirjutatakse sirgete a ja b paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus , või , või , kus t on mõni reaalarv. Sirgete a ja b juhikute ja (või) normaalvektorite koordinaadid omakorda leitakse teadaolevate joonte võrrandite abil.

Eelkõige siis, kui tasapinnal olev sirge a ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy määratleb üldise sirgjoone võrrandi kujul ja sirgjoon b - , siis on nende sirgete normaalvektoritel vastavalt koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus kirjutatakse kujul .

Kui sirgele a vastab kuju nurkkoefitsiendiga sirge võrrand ja sirgele b-, siis nende sirgete normaalvektoritel on koordinaadid ja ning nende sirgete paralleelsuse tingimus on kujul . Järelikult, kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal olevad sirged on paralleelsed ja neid saab määrata nurkkoefitsientidega sirgete võrranditega, siis on sirgete nurkkoefitsiendid võrdsed. Ja vastupidi: kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis tasapinnal olevaid mittekattuvad sirged saab määrata võrdsete nurkkoefitsientidega sirge võrranditega, siis on sellised sirged paralleelsed.

Kui sirge a ja sirge b ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on määratud vormi tasapinnal oleva sirge kanooniliste võrranditega Ja , või sirge parameetrilised võrrandid vormi tasapinnal Ja vastavalt on nende sirgete suunavektoritel koordinaadid ja ning sirgete a ja b paralleelsuse tingimus on kirjutatud kujul .

Vaatame mitme näite lahendusi.

Näide.

Kas jooned on paralleelsed? Ja ?

Lahendus.

Kirjutame sirge võrrandi lõikude kaupa ümber sirge üldvõrrandi kujul: . Nüüd näeme, et see on joone normaalne vektor , a on sirge normaalvektor. Need vektorid ei ole kollineaarsed, kuna pole olemas reaalarvu t, mille jaoks võrdus ( ). Järelikult ei ole täidetud tasapinna sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus, mistõttu antud sirged ei ole paralleelsed.

Vastus:

Ei, jooned ei ole paralleelsed.

Näide.

Kas sirged ja paralleelsed?

Lahendus.

Taandagem sirge kanooniline võrrand nurkkoefitsiendiga sirge võrrandiks: . Ilmselgelt ei ole sirgete ja võrrandid samad (sel juhul oleksid antud sirged samad) ja sirgete nurkkoefitsiendid on võrdsed, seega on algsed sirged paralleelsed.

Teine lahendus.

Esiteks näitame, et algsed sirged ei lange kokku: võtame sirge suvalise punkti, näiteks (0, 1), selle punkti koordinaadid ei rahulda sirge võrrandit, seetõttu ei lange sirged kokku. Nüüd kontrollime nende sirgete paralleelsuse tingimuse täitmist. Sirge normaalvektor on vektor ja sirge suunavektor on vektor. Arvutame ja: . Järelikult on vektorid ja risti, mis tähendab, et antud sirgete paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus on täidetud. Seega on jooned paralleelsed.

Vastus:

Antud sirged on paralleelsed.

Ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi sirgete paralleelsuse tõestamiseks kolmemõõtmelises ruumis kasutage järgmist vajalikku ja piisavat tingimust.

Teoreem.

Divergentsete sirgete paralleelsuse jaoks kolmemõõtmelises ruumis on vajalik ja piisav, et nende suunavektorid oleksid kollineaarsed.

Seega, kui ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis kolmemõõtmelises ruumis on sirgete võrrandid teada ja tuleb vastata küsimusele, kas need sirged on paralleelsed või mitte, siis tuleb leida nende sirgete suunavektorite koordinaadid ja kontrollida suunavektorite kollineaarsuse tingimuse täitmist. Teisisõnu, kui Ja - sirgjoonte suunavektorid antud sirgel on koordinaadid ja . Sest , See. Seega on täidetud kahe sirge paralleelsuse vajalik ja piisav tingimus ruumis. See tõestab sirgete paralleelsust Ja .

Bibliograafia.

• Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geomeetria. 7. – 9. klass: õpik üldharidusasutustele.
• Atanasjan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geomeetria. Õpik keskkooli 10-11 klassile.
• Pogorelov A.V., Geomeetria. Õpik 7-11 klassile üldharidusasutustes.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Kõrgem matemaatika. Esimene köide: lineaaralgebra ja analüütilise geomeetria elemendid.
• Iljin V.A., Poznyak E.G. Analüütiline geomeetria.

Kõigepealt vaatame erinevust märgi, omaduse ja aksioomi mõistete vahel.

Definitsioon 1

Sign nad nimetavad teatud fakti, mille järgi saab huviobjekti kohta tehtud otsuse tõesust kindlaks teha.

Näide 1

Sirged on paralleelsed, kui nende põikisuunad moodustavad võrdsed ristnurgad.

2. definitsioon

Kinnisvara on sõnastatud juhul, kui usutakse kohtuotsuse õiglusesse.

Näide 2

Kui paralleelsed sirged on paralleelsed, moodustavad nende põikisuunad võrdsed ristnurgad.

3. definitsioon

Aksioom nad nimetavad väidet, mis ei vaja tõestust ja mida aktsepteeritakse tõena ilma selleta.

Igal teadusel on aksioomid, millel põhinevad hilisemad otsused ja nende tõendid.

Paralleelsete sirgete aksioom

Mõnikord aktsepteeritakse paralleelsirgete ühe omadusena paralleelsete sirgete aksioomi, kuid samal ajal põhinevad selle kehtivusel teised geomeetrilised tõestused.

1. teoreem

Läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, saab tasapinnale tõmmata ainult ühe sirge, mis on antud sirgega paralleelne.

Aksioom ei vaja tõestust.

Paralleelsete joonte omadused

2. teoreem

Kinnistu 1. Paralleelsete joonte transitiivsusomadused:

Kui üks kahest paralleelsest sirgest on paralleelne kolmandaga, on teine ​​joon sellega paralleelne.

Omadused nõuavad tõendit.

Tõestus:

Olgu kaks paralleelset sirget $a$ ja $b$. Rida $c$ on paralleelne joonega $a$. Kontrollime, kas sel juhul on sirge $c$ paralleelne ka sirgega $b$.

Selle tõestamiseks kasutame vastupidist väidet:

Kujutagem ette, et on võimalik, et sirge $c$ on paralleelne ühe sirgega, näiteks sirgega $a$, ja lõikub teise sirgega $b$ mingis punktis $K$.

Vastuolu saame paralleelsete sirgete aksioomi järgi. Selle tulemuseks on olukord, kus kaks sirget ristuvad ühes punktis, pealegi paralleelselt sama sirgega $a$. See olukord on võimatu, seetõttu ei saa jooned $b$ ja $c$ ristuda.

Seega on tõestatud, et kui üks kahest paralleelsest sirgest on paralleelne kolmanda sirgega, siis teine ​​sirge on paralleelne kolmanda sirgega.

3. teoreem

Vara 2.

Kui ühte kahest paralleelsest sirgest lõikab kolmas, siis lõikub sellega ka teine ​​sirge.

Tõestus:

Olgu kaks paralleelset sirget $a$ ja $b$. Samuti olgu mõni sirge $c$, mis lõikab ühte paralleelsirgetest, näiteks sirge $a$. On vaja näidata, et joon $c$ lõikab ka teist rida, joont $b$.

Ehitame tõestuse vastuolu abil.

Kujutame ette, et joon $c$ ei ristu sirgega $b$. Siis läbivad punkti $K$ kaks sirget $a$ ja $c$, mis ei ristu sirgega $b$, st on sellega paralleelsed. Kuid see olukord on vastuolus paralleelsete joonte aksioomiga. See tähendab, et eeldus oli vale ja joon $c$ lõikub sirgega $b$.

Teoreem on tõestatud.

Nurkade omadused, mis moodustavad kaks paralleelset sirget ja sekanti: vastasnurgad on võrdsed, vastavad nurgad on võrdsed, * ühepoolsete nurkade summa on $180^(\circ)$.

Näide 3

Antud kaks paralleelset sirget ja kolmas sirge, mis on risti ühega neist. Tõesta, et see sirge on risti teise paralleelse sirgega.

Tõestus.

Olgu meil sirged $a \parallel b$ ja $c \perp a$.

Kuna sirge $c$ lõikub sirgega $a$, siis paralleelsete sirgete omaduse järgi lõikub see ka sirgega $b$.

Paralleelseid sirgeid $a$ ja $b$ lõikuv sekant $c$ moodustab nendega risti asetsevad võrdsed sisenurgad.

Sest $c \perp a$, siis on nurgad $90^(\circ)$.

Seetõttu $c \perp b$.

Tõestus on täielik.

Paralleelsed jooned. Paralleeljoonte omadused ja märgid

1. Paralleelide aksioom. Läbi see punkt Saate tõmmata maksimaalselt ühe sirge, mis on paralleelne antud sirgega.

2. Kui kaks sirget on paralleelsed sama sirgega, siis on nad üksteisega paralleelsed.

3. Kaks sirget, mis on risti sama sirgega, on paralleelsed.

4. Kui kaks paralleelset sirget lõikuvad kolmandaga, on moodustatud sisemised ristnurgad võrdsed; vastavad nurgad on võrdsed; sisemised ühepoolsed nurgad on kokku kuni 180°.

5. Kui kahe sirge lõikumisel kolmandaga tekivad võrdsed sisemised ristnurgad, siis on sirged paralleelsed.

6. Kui kahe sirge lõikumisel kolmandaga tekivad võrdsed vastavad nurgad, siis on sirged paralleelsed.

7. Kui kaks sirget lõikuvad kolmandikuga, on sisemiste ühekülgsete nurkade summa 180°, siis on sirged paralleelsed.

Thalese teoreem. Kui nurga ühele küljele on paigutatud võrdsed segmendid ja nende otstest tõmmatakse paralleelsed jooned, mis lõikuvad nurga teist külge, siis asetatakse võrdsed segmendid ka nurga teisele küljele.

Proportsionaalse segmendi teoreem. Nurga külgi lõikuvad paralleelsed jooned lõikasid neist välja proportsionaalsed segmendid.

Kolmnurk. Kolmnurkade võrdsuse märgid.

1. Kui ühe kolmnurga kaks külge ja nendevaheline nurk on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe külje ja nendevahelise nurgaga, siis on kolmnurgad kongruentsed.

2. Kui ühe kolmnurga külg ja kaks külgnevat nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga külg- ja kahe külgneva nurgaga, siis on kolmnurgad kongruentsed.

3. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on kolmnurgad kongruentsed.

Täisnurksete kolmnurkade võrdsuse märgid

1. Kahel küljel.

2. Mööda jalga ja hüpotenuusi.

3. Hüpotenuusi ja teravnurga järgi.

4. Mööda jalga ja teravnurka.

Teoreem kolmnurga nurkade summast ja selle tagajärgedest

1. Kolmnurga sisenurkade summa on 180°.

2. Kolmnurga välisnurk on võrdne kahe temaga mittekülgneva sisenurga summaga.

3. Kumera n-nurga sisenurkade summa on võrdne

4. He-goni välisnurkade summa on 360°.

5. Nurgad, mille küljed on üksteisega risti, on võrdsed, kui mõlemad on teravad või mõlemad nürid.

6. Külgnevate nurkade poolitajate vaheline nurk on 90°.

7. Sisemiste ühekülgsete nurkade poolitajad paralleelsete sirgjoonte ja põiksuunaga on risti.

Võrdhaarse kolmnurga põhiomadused ja tunnused

1. Võrdhaarse kolmnurga aluse nurgad on võrdsed.

2. Kui kolmnurga kaks nurka on võrdsed, siis on see võrdhaarne.

3. Võrdhaarse kolmnurga mediaan, poolitaja ja aluse külge tõmmatud kõrgus langevad kokku.

4. Kui kolmnurga suvaline lõigupaar langeb kokku kolmnurgas – mediaan, poolitaja, kõrgus merepinnast, siis on see võrdhaarne.

Kolmnurga ebavõrdsus ja selle tagajärjed

1. Kolmnurga kahe külje summa on suurem kui selle kolmas külg.

2. Polüliini lülide summa on suurem kui algust ühendav segment

esimene link viimase lõpuga.

3. Kolmnurga suurema nurga vastas asub suurem külg.

4. Kolmnurga suurema külje vastas asub suurem nurk.

5. Hüpotenuus täisnurkne kolmnurk rohkem jalga.

6. Kui ühest punktist sirgele tõmmata risti- ja kaldjooned, siis

1) rist on lühem kui kaldus;

2) suurem kaldus vastab suuremale projektsioonile ja vastupidi.

Kolmnurga keskjoon.

Kolmnurga kahe külje keskpunkte ühendavat lõiku nimetatakse kolmnurga keskjooneks.

Kolmnurga keskjoone teoreem.

Kolmnurga keskjoon on paralleelne kolmnurga küljega ja võrdne poolega sellest.

Teoreemid kolmnurga mediaanide kohta

1. Kolmnurga mediaanid lõikuvad ühes punktis ja jagavad selle tipust lugedes suhtega 2:1.

2. Kui kolmnurga mediaan on võrdne poolega küljest, kuhu see on tõmmatud, siis on kolmnurk täisnurkne.

3. Tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga mediaan täisnurk, võrdub poolega hüpotenuusist.

Kolmnurga külgedega risti olevate poolitajate omadus. Kolmnurga külgedega risti asetsevad poolitajad lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurga ümber piiratud ringjoone keskpunkt.

Kolmnurga kõrgusteoreem. Kolmnurga kõrgusi sisaldavad sirged lõikuvad ühes punktis.

Kolmnurga poolitaja teoreem. Kolmnurga poolitajad lõikuvad ühes punktis, mis on kolmnurka kantud ringi keskpunkt.

Kolmnurga poolitaja omadus. Kolmnurga poolitaja jagab selle külje segmentideks, mis on võrdelised ülejäänud kahe küljega.

Kolmnurkade sarnasuse märgid

1. Kui ühe kolmnurga kaks nurka on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kahe nurgaga, siis on kolmnurgad sarnased.

2. Kui ühe kolmnurga kaks külge on vastavalt võrdelised teise kahe küljega ja nende külgede vahelised nurgad on võrdsed, siis on kolmnurgad sarnased.

3. Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdelised teise kolmnurga kolme küljega, siis on kolmnurgad sarnased.

Sarnaste kolmnurkade pindalad

1. Sarnaste kolmnurkade pindalade suhe on võrdne sarnasuskordaja ruuduga.

2. Kui kahel kolmnurgal on võrdsed nurgad, siis on nende pindalad seotud neid nurki ümbritsevate külgede korrutisega.

Täisnurkses kolmnurgas

1. Täisnurkse kolmnurga jalg on võrdne hüpotenuusi ja vastassuuna siinuse või selle jalaga külgneva teravnurga koosinuse korrutisega.

2. Täisnurkse kolmnurga haru võrdub teise haruga, mis on korrutatud vastassuunalise puutujaga või selle haruga külgneva teravnurga kotangensiga.

3. 30° nurga vastas asetsev täisnurkse kolmnurga jalg võrdub poolega hüpotenuusist.

4. Kui täisnurkse kolmnurga jalg on võrdne poolega hüpotenuusist, siis selle jala vastasnurk on 30°.

5. R = ; r = , kus a, b on jalad ja c on täisnurkse kolmnurga hüpotenuus; r ja R on vastavalt sissekirjutatud ja piiritletud ringide raadiused.

Pythagorase teoreem ja Pythagorase teoreemi pöörd

1. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.

2. Kui kolmnurga külje ruut on võrdne selle kahe teise külje ruutude summaga, siis on kolmnurk täisnurkne.

Proportsionaalne tähendab täisnurkses kolmnurgas.

Täisnurga tipust tõmmatud täisnurkse kolmnurga kõrgus on keskmine võrdeline jalgade projektsioonidega hüpotenuusile ja iga jalg on võrdeline hüpotenuusiga ja selle projektsiooniga hüpotenuusile.

Meetrilised suhted kolmnurgas

1. Koosinuste teoreem. Kolmnurga külje ruut on võrdne kahe teise külje ruutude summaga, ilma nende külgede kahekordse korrutuseta nendevahelise nurga koosinusega.

2. Koosinusteoreemi järeldus. Rööpküliku diagonaalide ruutude summa on võrdne selle kõigi külgede ruutude summaga.

3. Kolmnurga mediaani valem. Kui m on küljele c tõmmatud kolmnurga mediaan, siis m = , kus a ja b on kolmnurga ülejäänud küljed.

4. Siinuste teoreem. Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega.

5. Siinuste üldistatud teoreem. Kolmnurga külje ja vastasnurga siinuse suhe on võrdne ümber kolmnurga ümbritsetud ringi läbimõõduga.

Kolmnurga pindala valemid

1. Kolmnurga pindala on võrdne poolega aluse ja kõrguse korrutisest.

2. Kolmnurga pindala on võrdne poolega selle kahe külje ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest.

3. Kolmnurga pindala on võrdne selle poolperimeetri ja sisse kirjutatud ringi raadiuse korrutisega.

4. Kolmnurga pindala on võrdne selle kolme külje korrutisega, mis on jagatud piiritletud ringi raadiuse neljakordsega.

5. Heroni valem: S=, kus p on poolperimeeter; a, b, c - kolmnurga küljed.

Võrdkülgse kolmnurga elemendid. Olgu h, S, r, R küljega a võrdkülgse kolmnurga sissekirjutatud ja piiritletud ringide kõrgus, pindala ja raadiused. Siis
Nelinurgad

Paralleelogramm. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed.

Rööpküliku omadused ja märgid.

1. Diagonaal jagab rööpküliku kaheks võrdseks kolmnurgaks.

2. Rööpküliku vastasküljed on paarides võrdsed.

3. Rööpküliku vastasnurgad on paarides võrdsed.

4. Rööpküliku diagonaalid lõikuvad ja poolitavad lõikepunktis.

5. Kui nelinurga vastasküljed on paarikaupa võrdsed, siis on see nelinurk rööpkülik.

6. Kui nelinurga kaks vastaskülge on võrdsed ja paralleelsed, siis on see nelinurk rööpkülik.

7. Kui nelinurga diagonaalid poolitatakse lõikepunktiga, siis on see nelinurk rööpkülik.

Nelinurga külgede keskpunktide omadus. Iga nelinurga külgede keskpunktid on rööpküliku tipud, mille pindala on võrdne poolega nelinurga pindalast.

Ristkülik. Täisnurgaga rööpkülikut nimetatakse ristkülikuks.

Ristküliku omadused ja omadused.

1. Ristküliku diagonaalid on võrdsed.

2. Kui rööpküliku diagonaalid on võrdsed, siis on see rööpkülik ristkülik.

Ruut. Ruut on ristkülik, mille kõik küljed on võrdsed.

Romb. Romb on nelinurk, mille kõik küljed on võrdsed.

Rombi omadused ja märgid.

1. Rombi diagonaalid on risti.

2. Rombi diagonaalid jagavad tema nurgad pooleks.

3. Kui rööpküliku diagonaalid on risti, siis on see rööpkülik romb.

4. Kui rööpküliku diagonaalid poolitavad selle nurgad, siis on see rööpkülik romb.

Trapets. Trapets on nelinurk, mille ainult kaks vastaskülge (alust) on paralleelsed. Trapetsi keskjoon on lõik, mis ühendab mitteparalleelsete külgede (külgede) keskpunkte.

1. Trapetsi keskjoon on paralleelne alustega ja võrdne nende poolsummaga.

2. Trapetsi diagonaalide keskpunkte ühendav segment võrdub poolega aluste erinevusest.

Trapetsi märkimisväärne omadus. Trapetsi diagonaalide lõikepunkt, külgede pikenduste ja aluste keskkoha lõikepunkt asuvad samal sirgel.

Võrdhaarne trapets. Trapetsi nimetatakse võrdhaarseks, kui selle küljed on võrdsed.

Võrdhaarse trapetsi omadused ja tunnused.

1. Võrdhaarse trapetsi aluse nurgad on võrdsed.

2. Võrdhaarse trapetsi diagonaalid on võrdsed.

3. Kui trapetsi aluse nurgad on võrdsed, siis on see võrdhaarne.

4. Kui trapetsi diagonaalid on võrdsed, siis on see võrdhaarne.

5. Võrdhaarse trapetsi külgkülje projektsioon alusele võrdub poolega aluste erinevusest ja diagonaali projektsioon on võrdne poolega aluste summast.

Nelinurga pindala valemid

1. Rööpküliku pindala on võrdne aluse ja kõrguse korrutisega.

2. Rööpküliku pindala on võrdne selle külgnevate külgede ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega.

3. Ristküliku pindala on võrdne selle kahe külgneva külje korrutisega.

4. Rombi pindala on võrdne poolega selle diagonaalide korrutisest.

5. Trapetsi pindala on võrdne poole aluste summa ja kõrguse korrutisega.

6. Nelinurga pindala on võrdne poolega selle diagonaalide ja nendevahelise nurga siinuse korrutisest.

7. Heroni valem nelinurga jaoks, mille ümber saab kirjeldada ringjoont:

S = , kus a, b, c, d on selle nelinurga küljed, p on poolperimeeter ja S on pindala.

Sarnased arvud

1. Sarnaste arvude vastavate lineaarsete elementide suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendiga.

2. Sarnaste arvude pindalade suhe on võrdne sarnasuskoefitsiendi ruuduga.

Regulaarne hulknurk.

Olgu a n külg tavaline n-nurk, ning r n ja R n on sissekirjutatud ja piiritletud ringide raadiused. Siis

Ring.

Ringjoon on tasandi punktide geomeetriline asukoht, mis asuvad antud punktist, mida nimetatakse ringi keskpunktiks, sama positiivse kauguse kaugusel.

Ringi põhiomadused

1. Kõõluga risti olev läbimõõt jagab kõõlu ja selle all olevad kaared pooleks.

2. Kõõlu keskosa läbiv läbimõõt, mis ei ole läbimõõt, on selle kõõluga risti.

3. Risti poolitaja kuni akord läbib ringi keskpunkti.

4. Võrdsed akordid paiknevad võrdsel kaugusel ringi keskpunktist.

5. Ringjoone akordid, mis on keskpunktist võrdsel kaugusel, on võrdsed.

6. Ringjoon on sümmeetriline selle mis tahes läbimõõdu suhtes.

7. Paralleelsete kõõlude vahele jääva ringjoone kaared on võrdsed.

8. Kahest akordist on keskmest vähem kaugemal asuv suurem.

9. Läbimõõt on ringi suurim kõõl.

Ringi puutuja. Sirget, millel on ringjoonega üks ühine punkt, nimetatakse ringi puutujaks.

1. Puutuja on risti raadiusega, mis on tõmmatud kokkupuutepunkti.

2. Kui ringi punkti läbiv sirgjoon a on risti selle punkti raadiusega, siis sirge a on ringi puutuja.

3. Kui punkti M läbivad sirged puudutavad ringi punktides A ja B, siis MA = MB ja ﮮAMO = ﮮBMO, kus punkt O on ringi keskpunkt.

4. Nurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt asub selle nurga poolitajal.

Puutuja ringid. Öeldakse, et kaks ringi puudutavad, kui neil on üks ühine punkt (puutepunkt).

1. Kahe ringi kokkupuutepunkt asub nende keskpunktide joonel.

2. Raadiuste r ja R ringid keskpunktidega O 1 ja O 2 puutuvad väliselt kokku siis ja ainult siis, kui R + r = O 1 O 2.

3. R ​​ja R ringid (r

4. Ringjooned keskpunktidega O 1 ja O 2 puudutavad väljastpoolt punktis K. Teatud sirgjoon puudutab neid ringjooni erinevates punktides A ja B ning lõikub punktis C läbiva punkti K läbiva ühispuutujaga. Siis ﮮAK B = 90° ja ﮮO 1 CO 2 = 90°.

5. Kahe raadiusega r ja R puutujaringi ühise välispuutuja segment on võrdne ühiste väliste puutujate vahele jääva ühise sisepuutuja segmendiga. Mõlemad segmendid on võrdsed.

Ringiga seotud nurgad

1. Ringjoone kaare suurus võrdub sellele toetuva kesknurga suurusega.

2. Sisse kirjutatud nurk võrdub poolega selle kaare nurga väärtusest, millele see toetub.

3. Sama kaare sisse kirjutatud nurgad on võrdsed.

4. Lõikuvate kõõlude vaheline nurk on võrdne poolega kõõlude poolt lõigatud vastaskaarte summast.

5. Nurk kahe ringjoonest väljapoole lõikuva vahel on võrdne ringile sekantide poolt lõigatud kaare poole vahega.

6. Puutepunktist tõmmatud puutuja ja kõõlu vaheline nurk võrdub poolega selle kõõlu poolt ringjoonele välja lõigatud kaare nurga väärtusest.

Ringakordide omadused

1. Kahe ristuva ringi keskpunktide joon on risti nende ühise kõõluga.

2. Punktis E lõikuva ringjoone kõõlude AB ja CD lõikude pikkuste korrutised on võrdsed, st AE EB = CE ED.

Sissekirjutatud ja piiritletud ringid

1. Korrapärase kolmnurga sissekirjutatud ja piiritletud ringide keskpunktid langevad kokku.

2. Täisnurkse kolmnurga ümber piiritletud ringi keskpunkt on hüpotenuusi keskpunkt.

3. Kui nelinurka saab kirjutada ringjoone, siis selle summad vastasküljed on võrdsed.

4. Kui nelinurka saab kirjutada ringi, siis on tema vastasnurkade summa 180°.

5. Kui nelinurga vastasnurkade summa on 180°, siis saab selle ümber tõmmata ringi.

6. Kui trapetsi saab sisse kirjutada ringjoone, siis on trapetsi külg nähtav ringjoone keskpunktist täisnurga all.

7. Kui trapetsi saab sisse kirjutada ringjoone, siis on ringi raadius keskmine võrdeline lõikudega, milleks puutepunkt külje jagab.

8. Kui hulknurka saab kirjutada ringi, siis on selle pindala võrdne hulknurga poolperimeetri ja selle ringi raadiuse korrutisega.

Tangensi ja sekanti teoreem ja selle järelm

1. Kui ühest punktist tõmmatakse ringile puutuja ja sekant, siis võrdub kogu sekandi ja selle välimise osa korrutis puutuja ruuduga.

2. Kogu lõike ja selle välisosa korrutis antud punkti ja ringjoone korral on konstantne.

Raadiusega R ringi ümbermõõt on võrdne C= 2πR

Kahe sirge paralleelsuse märgid

Teoreem 1. Kui kaks sirget lõikuvad sekantiga:

ristatud nurgad on võrdsed või

vastavad nurgad on võrdsed või

ühepoolsete nurkade summa on 180°, siis

jooned on paralleelsed(Joonis 1).

Tõestus. Piirdume juhtumi 1 tõestamisega.

Olgu ristuvad sirged a ja b risti ning nurgad AB võrdsed. Näiteks ∠ 4 = ∠ 6. Tõestame, et a || b.

Oletame, et sirged a ja b ei ole paralleelsed. Seejärel lõikuvad nad mingis punktis M ja seetõttu on üks nurkadest 4 või 6 kolmnurga ABM välisnurk. Määratluse huvides olgu ∠ 4 kolmnurga ABM välisnurk ja ∠ 6 sisenurk. Kolmnurga välisnurga teoreemist järeldub, et ∠ 4 on suurem kui ∠ 6 ja see on vastuolus tingimusega, mis tähendab, et sirged a ja 6 ei saa ristuda, seega on nad paralleelsed.

Järeldus 1. Kaks erinevat sirget sama sirgega risti asetseval tasapinnal on paralleelsed(Joonis 2).

Kommenteeri. Seda, kuidas me just tõestasime teoreemi 1 juhtumit 1, nimetatakse tõestusmeetodiks vastuolu või absurdsusele taandamisega. See meetod sai oma eesnime, kuna argumendi alguses tehakse eeldus, mis on vastupidine (vastupidine) tõestatavale. Seda nimetatakse absurdi viimiseks seetõttu, et tehtud oletuse põhjal arutledes jõuame absurdse järelduseni (absurdini). Sellise järelduse saamine sunnib meid tagasi lükkama alguses tehtud oletuse ja leppima sellega, mis vajas tõestamist.

Ülesanne 1. Ehitage sirge, mis läbib antud punkti M ja on paralleelne antud sirgega a, mis ei läbi punkti M.

Lahendus. Joonistame sirge p läbi punkti M risti sirgjoonega a (joonis 3).

Seejärel joonestame sirge b läbi punkti M risti sirgega p. Sirg b on paralleelne joonega a vastavalt teoreemi 1 järeldusele.

Vaadeldavast probleemist järeldub oluline järeldus:
läbi punkti, mis ei asu antud sirgel, on alati võimalik tõmmata antud sirgega paralleelne sirge.

Paralleelsete joonte peamine omadus on järgmine.

Paralleelsete sirgete aksioom. Läbi antud punkti, mis ei asu antud sirgel, läbib ainult üks sirgega paralleelne sirge.

Vaatleme mõningaid sellest aksioomist tulenevaid paralleelsirgete omadusi.

1) Kui sirge lõikub ühega kahest paralleelsest sirgest, siis ta lõikub ka teisega (joonis 4).

2) Kui kaks erinevat sirget on paralleelsed kolmanda sirgega, siis on nad paralleelsed (joonis 5).

Õige on ka järgmine teoreem.

Teoreem 2. Kui kaks paralleelset sirget lõikub ristiga, siis:

ristnurgad on võrdsed;

vastavad nurgad on võrdsed;

ühepoolsete nurkade summa on 180°.

Järeldus 2. Kui sirge on risti ühega kahest paralleelsest sirgest, siis on see risti ka teisega(vt joonis 2).

Kommenteeri. Teoreemi 2 nimetatakse 1. teoreemi pöördväärtuseks. 1. teoreemi järeldus on teoreemi 2 tingimus. 1. teoreemi tingimus on teoreemi 2 järeldus. Igal teoreemil ei ole pöördväärtust, st kui antud teoreem on tõene, siis võib pöördteoreem olla väär.

Selgitame seda vertikaalnurkade teoreemi näitel. Selle teoreemi saab sõnastada järgmiselt: kui kaks nurka on vertikaalsed, siis on need võrdsed. Vastupidine teoreem oleks: kui kaks nurka on võrdsed, siis on nad vertikaalsed. Ja see pole muidugi tõsi. Kaks võrdsed nurgad ei pea olema üldse vertikaalne.

Näide 1. Kaks paralleelset joont ristuvad kolmandikuga. Teatavasti on kahe sisemise ühepoolse nurga erinevus 30°. Leidke need nurgad.

Lahendus. Laske joonisel 6 täita tingimus.

See peatükk on pühendatud paralleelsete joonte uurimisele. Nii nimetatakse kahte tasapinna sirget, mis ei ristu. Näeme keskkonnas paralleelsete joonte segmente - need on ristkülikukujulise laua kaks serva, raamatukaane kaks serva, kaks trollibussi riba jne. Paralleelsed jooned mängivad geomeetrias väga olulist rolli. Selles peatükis saate teada, millised on geomeetria aksioomid ja mis on paralleelsete sirgete aksioomid, üks kuulsamaid geomeetria aksioome.

Lõikes 1 märkisime, et kahel sirgel on kas üks ühine punkt, st need ristuvad või neil pole üht ühine punkt st nad ei ristu.

Definitsioon

Sirgete a ja b paralleelsust tähistatakse järgmiselt: a || b.

Joonisel 98 on näidatud sirged a ja b, mis on risti sirgega c. Lõikes 12 tuvastasime, et sellised sirged a ja b ei lõiku, st on paralleelsed.

Riis. 98

Paralleelsete joonte kõrval arvestatakse sageli ka paralleelseid segmente. Neid kahte segmenti nimetatakse paralleelselt, kui need asuvad paralleelsetel joontel. Joonisel 99 on segmendid AB ja CD paralleelsed (AB || CD), kuid segmendid MN ja CD ei ole paralleelsed. Sarnaselt määratakse lõigu ja sirge (joon. 99, b), kiire ja sirge, lõigu ja kiire, kahe kiire paralleelsus (joon. 99, c).

Riis. 99 Kahe sirge paralleelsuse märgid

Sirget koos nimetatakse sekant sirgete a ja b suhtes, kui see lõikub nendega kahes punktis (joon. 100). Kui sirged a ja b lõikuvad põikisuunalise c-ga, moodustub kaheksa nurka, mis on joonisel 100 tähistatud numbritega. Mõnel nende nurkade paaril on erilised nimed:

risti nurgad: 3 ja 5, 4 ja 6;
ühepoolsed nurgad: 4 ja 5, 3 ja 6;
vastavad nurgad: 1 ja 5, 4 ja 8, 2 ja 6, 3 ja 7.

Riis. 100

Vaatleme nende nurgapaaridega seotud kahe sirge kolme paralleelsuse märki.

Teoreem

Tõestus

Olgu nurkade AB ristuvad sirged a ja b võrdsed: ∠1 = ∠2 (joon. 101, a).

Tõestame, et a || b. Kui nurgad 1 ja 2 on õiged (joonis 101, b), on sirged a ja b risti sirgega AB ja seega paralleelsed.

Riis. 101

Vaatleme juhtumit, kui nurgad 1 ja 2 ei ole õiged.

Lõigu AB keskosast O tõmbame sirgele a risti OH (joon. 101, c). Sirgjoonel b punktist B eraldame lõigu ВН 1, mis on võrdne lõiguga AH, nagu on näidatud joonisel 101, c, ja joonistame lõigu OH 1. Kolmnurgad OHA ja OH 1 B on mõlemalt poolt võrdsed ja nendevaheline nurk (AO = VO, AN = BH 1, ∠1 = ∠2), seega ∠3 = ∠4 ja ∠5 = ∠6. Võrdusest ∠3 = ∠4 järeldub, et punkt H 1 asub kiire OH jätkul, st punktid H, O ja H 1 asuvad samal sirgel ning võrrandist ∠5 = ∠6 järeldub, et nurk 6 on sirgjoon (kuna nurk 5 on täisnurk). Niisiis, sirged a ja b on risti sirgega HH 1, seega on nad paralleelsed. Teoreem on tõestatud.

Teoreem

Tõestus

Olgu vastavad nurgad võrdsed, kui sirged a ja b ristuvad ristiga c, näiteks ∠1 =∠2 (joonis 102).

Riis. 102

Kuna nurgad 2 ja 3 on vertikaalsed, siis ∠2 = ∠3. Nendest kahest võrdsusest järeldub, et ∠1 = ∠3. Kuid nurgad 1 ja 3 on risti, seega sirged a ja b on paralleelsed. Teoreem on tõestatud.

Teoreem

Tõestus

Laske sirgjoonte a ja b ristumiskoht ristiga c liida ühepoolsed nurgad, mis on võrdsed 180°, näiteks ∠1 + ∠4 = 180° (vt joonis 102).

Kuna nurgad 3 ja 4 on kõrvuti, siis ∠3 + ∠4 = 180°. Nendest kahest võrdsusest järeldub, et ristnurgad 1 ja 3 on võrdsed, seega sirged a ja b on paralleelsed. Teoreem on tõestatud.

Praktilised viisid paralleelsete sirgete konstrueerimiseks

Paralleelsete joonte märgid on paralleelsete joonte konstrueerimise meetodite aluseks, kasutades erinevaid praktikas kasutatavaid vahendeid. Mõelge näiteks paralleeljoonte konstrueerimise meetodile, kasutades joonistusruutu ja joonlauda. Punkti M läbiva ja antud sirgega a paralleelse sirge konstrueerimiseks rakendame sirgele a joonistusruudu ja sellele joonlaua, nagu on näidatud joonisel 103. Seejärel, liigutades ruutu mööda joonlauda, ​​tagame et punkt M on ruudu küljel ja tõmmake sirgjoon b. Sirged a ja b on paralleelsed, kuna vastavad nurgad, mis on joonisel 103 tähistatud tähtedega α ja β, on võrdsed.

Riis. 103 Joonisel 104 on kujutatud meetod paralleelsete joonte konstrueerimiseks risttala abil. Seda meetodit kasutatakse joonistamise praktikas.

Riis. 104 Sarnast meetodit kasutatakse ka puusepatööde tegemisel, kus paralleelsete joonte tähistamiseks kasutatakse plokki (kaks hingega kinnitatud puitlauda, ​​joon. 105).

Riis. 105

Ülesanded

186. Joonisel 106 ristuvad sirged a ja b sirgega c. Tõesta, et a || b, kui:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° ja nurk 7 on kolm korda suurem kui nurk 3.

Riis. 106

187. Tõesta joonise 107 andmete põhjal, et AB || D.E.

Riis. 107

188. Segmendid AB ja CD ristuvad oma kohal ühine keskpaik. Tõesta, et sirged AC ja BD on paralleelsed.

189. Kasutades joonisel 108 toodud andmeid, tõesta, et BC || A.D.

Riis. 108

190. Joonisel 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Tõesta, et DE || AC.

Riis. 109

191. Lõik BK on kolmnurga ABC poolitaja. Läbi punkti K tõmmatakse sirgjoon, mis lõikub küljega BC punktis M nii, et BM = MK. Tõesta, et sirged KM ja AB on paralleelsed.

192. Kolmnurga ABC nurk A on 40° ja nurk ALL, mis külgneb nurgaga ACB, on 80°. Tõesta, et nurga ALL poolitaja on paralleelne sirgega AB.

193. Kolmnurgas ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Läbi tipu B tõmmatakse sirgjoon BD nii, et kiir BC on nurga ABD poolitaja. Tõesta, et sirged AC ja BD on paralleelsed.

194. Joonista kolmnurk. Selle kolmnurga iga tipu kaudu tõmmake joonistusruudu ja joonlaua abil vastasküljega paralleelne sirgjoon.

195. Joonesta kolmnurk ABC ja märgi küljele AC punkt D. Punkti D kaudu tõmmake ruudu ja joonlaua abil sirgjooned, mis on paralleelsed kolmnurga kahe teise küljega.