"Funktsiooni kriitilised punktid" - kriitilised punktid. Kriitiliste punktide hulgas on äärmuspunkte. Ekstreemumi vajalik tingimus. Vastus: 2. Definitsioon. Aga kui f" (x0) = 0, siis ei pea punkt x0 olema ekstreemumipunkt. Ekstreemumipunktid (kordus). Funktsiooni kriitilised punktid. Ekstreemumipunktid.

“Koordinaatide tasapind 6. klass” - matemaatika 6. klass. 1. X. 1. Leidke ja kirjutage üles punktide A, B, C, D koordinaadid: -6. Koordinaatide tasapind. O. -3. 7. U.

"Funktsioonid ja nende graafikud" - Järjepidevus. Funktsiooni suurim ja väikseim väärtus. Pöördfunktsiooni mõiste. Lineaarne. Logaritmiline. Monotoonne. Kui k > 0, siis moodustatud nurk on teravnurk, kui k< 0, то угол тупой. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать. Х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

“Funktsioonid 9. klass” – funktsioonide aritmeetilised tehted. [+] – liitmine, [-] – lahutamine, [*] – korrutamine, [:] – jagamine. Sellistel juhtudel räägime funktsiooni graafilisest täpsustamisest. Elementaarfunktsioonide klassi moodustamine. Võimsusfunktsioon y=x0,5. Iovlev Maksim Nikolajevitš, RMOU Radužskaja keskkooli 9. klassi õpilane.

“Õppetunni puutuja võrrand” – 1. Selgitage funktsiooni graafiku puutuja mõistet. Leibniz käsitles suvalise kõvera puutuja joonistamise probleemi. ALGORITM FUNKTSIOONI y=f(x) GRAAFIKU PUTUTU VÕRRANDI TÖÖTAMISEKS. Tunni teema: Test: leia funktsiooni tuletis. Tangensi võrrand. Fluxion. 10. klass. Dešifreerige see, mida Isaac Newton nimetas tuletisfunktsiooniks.

"Ehitage funktsiooni graafik" - antakse funktsioon y=3cosx. Funktsiooni y=m*sin x graafik. Joonistage funktsiooni graafik. Sisu: Antud funktsioon: y=sin (x+?/2). Graafiku y=cosx venitamine piki y-telge. Jätkamiseks klõpsake nuppu l. Hiire nupp. Arvestades funktsiooni y=cosx+1. Graafiku nihe y=sinx vertikaalselt. Arvestades funktsiooni y=3sinx. Graafiku y=cosx horisontaalnihe.

Teemas on kokku 25 ettekannet

Lineaarne funktsioon nimetatakse vormi funktsiooniks y = kx + b, mis on määratletud kõigi reaalarvude hulgal. Siin k– kalle (reaalarv), b – vaba tähtaeg (reaalarv), x- sõltumatu muutuja.

Erijuhul, kui k = 0, saame konstantse funktsiooni y = b, mille graafik on Ox-teljega paralleelne sirge, mis läbib punkti koordinaatidega (0; b).

Kui b = 0, siis saame funktsiooni y = kx, mis on otsene proportsionaalsus.

b – segmendi pikkus, mis on ära lõigatud sirgjoonega piki Oy telge, lugedes lähtepunktist.

Koefitsiendi geomeetriline tähendus k – kaldenurk otse härja telje positiivsesse suunda, arvestatuna vastupäeva.

Lineaarfunktsiooni omadused:

1) Lineaarfunktsiooni määratluspiirkond on kogu reaaltelg;

2) Kui k ≠ 0, siis on lineaarfunktsiooni väärtuste vahemik kogu reaaltelg. Kui k = 0, siis koosneb lineaarfunktsiooni väärtuste vahemik arvust b;

3) Lineaarfunktsiooni ühtlus ja veidrus sõltuvad koefitsientide väärtustest k Ja b.

a) b ≠ 0, k = 0, seega, y = b – paaris;

b) b = 0, k ≠ 0, seega y = kx – paaritu;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, seega y = kx + b – üldkuju funktsioon;

d) b = 0, k = 0, seega y = 0 – nii paaris kui paaritu funktsioonid.

4) Lineaarfunktsioonil ei ole perioodilisuse omadust;

5) Ristumispunktid koordinaattelgedega:

Härg: y = kx + b = 0, x = -b/k, järelikult (-b/k; 0)– lõikepunkt abstsissteljega.

Oy: y = 0k + b = b, järelikult (0; b)– lõikepunkt ordinaatteljega.

Märkus: kui b = 0 Ja k = 0, siis funktsioon y = 0 muutub muutuja mis tahes väärtuse korral nulliks X. Kui b ≠ 0 Ja k = 0, siis funktsioon y = b ei kao muutuja ühegi väärtuse korral X.

6) Märgi püsivuse intervallid sõltuvad koefitsiendist k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– positiivne millal x alates (-b/k; +∞),

y = kx + b– negatiivne millal x alates (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– positiivne millal x alates (-∞; -b/k),

y = kx + b– negatiivne millal x alates (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b positiivne kogu määratlusvahemikus,

k = 0, b< 0; y = kx + b negatiivne kogu määratlusvahemikus.

7) Lineaarfunktsiooni monotoonsuse intervallid sõltuvad koefitsiendist k.

k > 0, järelikult y = kx + b suureneb kogu määratlusvaldkonna ulatuses,

k< 0 , järelikult y = kx + b väheneb kogu määratluspiirkonna ulatuses.

8) Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon. Sirge konstrueerimiseks piisab kahe punkti teadmisest. Sirge asukoht koordinaattasandil sõltub koefitsientide väärtustest k Ja b. Allpool on tabel, mis seda selgelt illustreerib.

Arvfunktsiooni mõiste. Funktsiooni määramise meetodid. Funktsioonide omadused.

Numbrifunktsioon on funktsioon, mis toimib ühest numbriruumist (hulgast) teise numbriruumi (hulga).

Funktsiooni määratlemiseks on kolm peamist võimalust: analüütiline, tabel ja graafiline.

1. Analüütiline.

Funktsiooni määramise meetodit valemi abil nimetatakse analüütiliseks. See meetod on matil peamine. analüüs, kuid praktikas pole see mugav.

2. Funktsiooni määramise tabelimeetod.

Funktsiooni saab määrata argumentide väärtusi ja neile vastavaid funktsiooniväärtusi sisaldava tabeli abil.

3. Funktsiooni määramise graafiline meetod.

Funktsioon y=f(x) on graafiliselt antud, kui selle graafik on koostatud. See funktsiooni määramise meetod võimaldab funktsiooni väärtusi määrata ainult ligikaudselt, kuna graafiku koostamine ja sellelt funktsiooni väärtuste leidmine on seotud vigadega.

Funktsiooni omadused, mida tuleb selle graafiku koostamisel arvesse võtta:

1) Funktsiooni määratluspiirkond.

funktsiooni domeen, see tähendab, need väärtused, mida funktsiooni F =y (x) argument x võib võtta.

2) Suurenevate ja kahanevate funktsioonide intervallid.

Funktsiooni nimetatakse suurendamiseks vaadeldaval intervallil, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni y(x) suuremale väärtusele. See tähendab, et kui vaadeldavast intervallist võetakse kaks suvalist argumenti x 1 ja x 2 ning x 1 > x 2, siis y(x 1) > y(x 2).

Funktsiooni nimetatakse kahanevaks vaadeldaval intervallil, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni y(x) väiksemale väärtusele. See tähendab, et kui vaadeldavast intervallist võetakse kaks suvalist argumenti x 1 ja x 2 ja x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funktsiooni nullid.

Punkte, kus funktsioon F = y (x) lõikub abstsissteljega (need saadakse võrrandi y(x) = 0 lahendamisel), nimetatakse funktsiooni nullideks.

4) Paaris- ja paaritu funktsioonid.

Funktsiooni nimetatakse paariks, kui kõigi ulatuse argumentide väärtuste jaoks

y(-x) = y(x).

Paarisfunktsiooni graafik on ordinaadi suhtes sümmeetriline.

Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui kõigi argumendi väärtuste jaoks definitsioonipiirkonnast

y(-x) = -y(x).

Paarisfunktsiooni graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline.

Paljud funktsioonid pole paaris ega paaritud.

5) Funktsiooni perioodilisus.

Funktsiooni nimetatakse perioodiliseks, kui on olemas arv P, nii et kõigi argumendi väärtuste jaoks definitsioonipiirkonnast

y(x + P) = y(x).

Lineaarfunktsioon, selle omadused ja graafik.

Lineaarfunktsioon on vormi funktsioon y = kx + b, mis on määratletud kõigi reaalarvude hulgal.

k- kalle (reaalarv)

b- näiv termin (reaalarv)

x- sõltumatu muutuja.

· Erijuhul, kui k = 0, saame konstantse funktsiooni y = b, mille graafik on koordinaatidega (0; b) punkti läbiv Ox-teljega paralleelne sirge.

· Kui b = 0, siis saame funktsiooni y = kx, mis on otsene proportsionaalsus.

o Koefitsiendi b geomeetriline tähendus on lõigu pikkus, mille sirgjoon piki Oy telge ära lõikab, lugedes alguspunktist.

o Koefitsiendi k geomeetriline tähendus on sirge kaldenurk Ox-telje positiivse suuna suhtes, arvutatuna vastupäeva.

Lineaarfunktsiooni omadused:

1) Lineaarfunktsiooni määratluspiirkond on kogu reaaltelg;

2) Kui k ≠ 0, siis on lineaarfunktsiooni väärtuste vahemik kogu reaaltelg.

Kui k = 0, koosneb lineaarfunktsiooni väärtuste vahemik arvust b;

3) Lineaarfunktsiooni ühtlus ja paaritus sõltuvad koefitsientide k ja b väärtustest.

a) b ≠ 0, k = 0, seega y = b – paaris;

b) b = 0, k ≠ 0, seega y = kx – paaritu;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, seega y = kx + b on üldkuju funktsioon;

d) b = 0, k = 0, seetõttu on y = 0 nii paaris kui paaritu funktsioon.

4) Lineaarfunktsioonil puudub perioodilisuse omadus;

5) Lõikepunktid koordinaattelgedega:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, seega (-b/k; 0) on lõikepunkt x-teljega.

Oy: y = 0k + b = b, seega (0; b) on ordinaadi lõikepunkt.

Kommenteeri. Kui b = 0 ja k = 0, siis funktsioon y = 0 kaob muutuja x mis tahes väärtuse korral. Kui b ≠ 0 ja k = 0, siis funktsioon y = b ei kao muutuja x ühegi väärtuse puhul.

6) Konstantse märgi intervallid sõltuvad koefitsiendist k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b – positiivne punktis x alates (-b/k; +∞),

y = kx + b – negatiivne x (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b – positiivne punktis x alates (-∞; -b/k),

y = kx + b – negatiivne x (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b on positiivne kogu määratluspiirkonnas,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Lineaarfunktsiooni monotoonsusintervallid sõltuvad koefitsiendist k.

k > 0, seega y = kx + b suureneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funktsioon y = ax 2 + bx + c, selle omadused ja graafik.

Funktsiooni y = ax 2 + bx + c (a, b, c on konstandid, a ≠ 0) nimetatakse ruutkeskne Lihtsamal juhul y = ax 2 (b = c = 0) on graafik kõverjoon, mis läbib alguspunkti. Funktsiooni y = ax 2 graafikuna kasutatav kõver on parabool. Igal paraboolil on sümmeetriatelg, mida nimetatakse parabooli telg. Parabooli ja tema telje lõikepunkti O nimetatakse parabooli tipp.

Graafi saab koostada järgmise skeemi järgi: 1) Leia parabooli tipu koordinaadid x 0 = -b/2a; y 0 = y(x 0). 2) Konstrueerime veel mitu punkti, mis kuuluvad parabooli juurde, konstrueerimisel saame kasutada parabooli sümmeetriat sirge x = -b/2a suhtes. 3) Ühendage näidatud punktid sujuva joonega. Näide. Joonistage funktsioon b = x 2 + 2x - 3. Lahendused. Funktsiooni graafik on parabool, mille harud on suunatud ülespoole. Parabooli tipu abstsiss x 0 = 2/(2 ∙1) = -1, selle ordinaadid y(-1) = (1) 2 + 2(-1) - 3 = -4. Seega on parabooli tipp punkt (-1; -4). Koostame väärtuste tabeli mitme punkti jaoks, mis asuvad parabooli sümmeetriateljest paremal - sirge x = -1. Funktsiooni omadused.

Lineaarne funktsioon

Lineaarne funktsioon on funktsioon, mida saab määrata valemiga y = kx + b,

kus x on sõltumatu muutuja, k ja b on mõned arvud.

Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon.

Kutsutakse numbrit k sirgjoone kalle– funktsiooni y = kx + b graafik.

Kui k > 0, siis sirge y = kx + b kaldenurk telje suhtes X vürtsikas; kui k< 0, то этот угол тупой.

Kui sirgete kalded, mis on kahe lineaarfunktsiooni graafikud, on erinevad, siis need sirged lõikuvad. Ja kui nurkkoefitsiendid on samad, siis on jooned paralleelsed.

Funktsiooni graafik y=kx +b, kus k ≠ 0, on sirge y = kx paralleelne sirge.

Otsene proportsionaalsus.

Otsene proportsionaalsus on funktsioon, mida saab määrata valemiga y = kx, kus x on sõltumatu muutuja, k on nullist erinev arv. Kutsutakse numbrit k otsese proportsionaalsuse koefitsient.

Otsese proportsionaalsuse graafik on koordinaatide alguspunkti läbiv sirgjoon (vt joonis).

Otsene proportsionaalsus on lineaarfunktsiooni erijuhtum.

Funktsiooni omadusedy=kx:

Pöördvõrdelisus

Pöördvõrdelisus nimetatakse funktsiooniks, mida saab määrata valemiga:

k
y = -
x

Kus x on sõltumatu muutuja ja k– nullist erinev arv.

Pöördproportsionaalsuse graafik on kõver, mida nimetatakse hüperbool(vt pilti).

Kõvera puhul, mis on selle funktsiooni graafik, telg x Ja y toimida asümptootidena. Asümptoot- see on sirgjoon, millele kõvera punktid lähenevad, kui nad liiguvad lõpmatusse.

k
Funktsiooni omadusedy = -:
x

Vaatleme funktsiooni y=k/y. Selle funktsiooni graafik on sirge, mida matemaatikas nimetatakse hüperbooliks. Hüperbooli üldvaade on näidatud alloleval joonisel. (Graafik näitab funktsiooni y võrdub k jagatuna x-ga, mille puhul k on üks.)

On näha, et graafik koosneb kahest osast. Neid osi nimetatakse hüperbooli harudeks. Samuti väärib märkimist, et iga hüperbooli haru läheneb ühes suunas, mis on koordinaatide telgedele lähemal. Koordinaatide telgi nimetatakse sel juhul asümptootideks.

Üldiselt nimetatakse asümptootideks kõiki sirgeid, millele funktsiooni graafik lõpmatult läheneb, kuid ei jõua nendeni. Hüperboolil, nagu paraboolil, on sümmeetriateljed. Ülaltoodud joonisel kujutatud hüperbooli jaoks on see sirge y=x.

Vaatame nüüd kahte levinud hüperbooli juhtumit. Funktsiooni y = k/x graafik k ≠0 korral on hüperbool, mille harud asuvad kas esimeses ja kolmandas koordinaatnurgas, kui k>0, või teises ja neljandas koordinaatnurgas, jaoks k<0.

Funktsiooni y = k/x põhiomadused, kui k>0

Funktsiooni y = k/x graafik, kui k>0

5. y>0 x>0 juures; y6. Funktsioon väheneb nii intervallil (-∞;0) kui ka intervallil (0;+∞).

10. Funktsiooni väärtuste vahemik on kaks avatud intervalli (-∞;0) ja (0;+∞).

Funktsiooni y = k/x põhiomadused k jaoks<0

Funktsiooni y = k/x graafik k juures<0

1. Punkt (0;0) on hüperbooli sümmeetriakese.

2. Koordinaatide teljed – hüperbooli asümptoodid.

4. Funktsiooni määratluspiirkond on kõik x, välja arvatud x=0.

5. y>0 x0 juures.

6. Funktsioon suureneb nii intervallil (-∞;0) kui ka intervallil (0;+∞).

7. Funktsioon ei ole piiratud ei alt ega ülevalt.

8. Funktsioonil ei ole ei maksimum- ega miinimumväärtust.

9. Funktsioon on pidev intervallil (-∞;0) ja intervallil (0;+∞). Kui x=0 on tühimik.