Leidke jaotusfunktsioon F(x). Pideva juhusliku suuruse matemaatiline ootus. Lahendusnäide Juhuslikul muutujal on jaotustihedus kujul

matemaatiline ootus diskreetne juhuslik muutuja kutsus:

Lõpmatu väärtuste hulga korral on (4.4) paremal pool jada ja me võtame arvesse ainult neid X väärtusi, mille jaoks see jada absoluutselt läheneb.

M(X) on juhusliku suuruse keskmine eeldatav väärtus. Sellel on järgmised omadused:

1) M(C)=C, kus C=konst

2) M(CX) = CM(X) (4,5)

3) M (X+Y)=M(X)+M(Y), mis tahes X ja Y korral.

4) M (XY) = M (X) M(Y), kui X ja Y on sõltumatud.

Juhusliku muutuja väärtuste hajutamise astet selle keskmise väärtuse ümber hinnata M(X)= A mõisteid tutvustatakse dispersioonD(X) ja keskmine ruut (standard) hälve . dispersioon helistas oodatud väärtus ruudus vahe (X- ), need. :

D(X) = M(X- ) 2 = p i ,

Kus =M(X); defineeritud kui Ruutjuur dispersioonist, st. .

Dispersiooni arvutamiseks kasutage valemit:

(4.6)

Dispersiooni ja standardhälbe omadused:

1) D(C)=0, kus C=konst

2) D(CX)=C2D(X), (CX)= çCç(X) (4,7)

3) D(X+Y) =D(X)+D(Y),

kui X ja Y on sõltumatud.

Suuruste ja suurus langeb kokku juhusliku suuruse X enda mõõtmega ning D(X) mõõde on võrdne juhusliku suuruse X mõõtme ruuduga.

4.3. Matemaatilised tehted juhuslike suurustega.

Laske juhuslikul suurusel X võtta väärtused tõenäosustega ja juhuslikul suurusel Y saada väärtused juhusliku suuruse X tõenäosusväärtustega. Seetõttu on selle jaotusseadus kujul tabel 4.2:

Tabel 4.2

			...
			...

Ruut juhuslik suurus X, st. , on uus juhuslik suurus, mis samade tõenäosustega nagu juhuslik suurus X võtab väärtused, mis on võrdsed selle väärtuste ruutudega.

Summa juhuslikud muutujad X ja Y on uus juhuslik muutuja, mis võtab kõik vormi väärtused tõenäosustega, mis väljendavad tõenäosust, et juhuslik suurus X saab väärtuse ja Y - väärtuse, see on

(4.8)

Kui juhuslikud suurused X ja Y on sõltumatud, siis:

Juhuslike suuruste X ja Y erinevus ja korrutis on defineeritud sarnaselt.

Erinevus juhuslikud muutujad X ja Y on uus juhuslik muutuja, mis võtab kõik väärtused kujul ja tööd- kõik vormi väärtused tõenäosustega, mis on määratud valemiga (4.8) ja kui juhuslikud suurused X ja Y on sõltumatud, siis valemiga (4.9).

4.4. Bernoulli ja Poissoni distributsioonid.

Mõelge n identse kordustesti jadale, mis vastavad järgmistele tingimustele:

1. Igal katsel on kaks tulemust, mida nimetatakse eduks ja ebaõnnestumiseks.

Need kaks tulemust on omavahel kokkusobimatud ja vastandlikud sündmused.

2. Edu tõenäosus, mida tähistatakse p-ga, jääb katsest katseni konstantseks. Ebaõnnestumise tõenäosust tähistatakse q-ga.

3. Kõik n katset on sõltumatud. See tähendab, et sündmuse toimumise tõenäosus üheski n-st korduvast katsest ei sõltu teiste katsete tulemustest.

Tõenäosus, et n sõltumatus korduvas katses, millest igaühes sündmuse toimumise tõenäosus on võrdne , toimub sündmus täpselt m korda (mis tahes järjestuses), on võrdne

(4.10)

Avaldist (4.10) nimetatakse Bernoulli valemiks.

Sündmuse toimumise tõenäosus:

a) vähem kui m korda,

b) rohkem kui m korda,

c) vähemalt m korda,

d) mitte rohkem kui m korda - leitakse vastavalt vastavalt valemitele:

Binoom on diskreetse juhusliku suuruse X jaotuse seadus – sündmuse esinemiste arv n sõltumatus katses, millest igaühes on sündmuse toimumise tõenäosus võrdne p-ga; võimalike väärtuste tõenäosused X = 0,1,2,..., m,...,n arvutatakse Bernoulli valemi abil (tabel 4.3).

Tabel 4.3

Õnnestuste arv X=m				...	m	...	n
Tõenäosus P				...		...

Kuna valemi (4.10) parem pool tähistab binoomlaienduse üldist liiget, nimetatakse seda jaotusseadust nn. binoom. Juhusliku suuruse X jaoks, mis on jaotatud binoomseaduse järgi, on meil.

Definitsioon 13.1. Juhuslikku muutujat X nimetatakse diskreetne, kui see võtab piiratud või loendatava arvu väärtusi.

Definitsioon 13.2. Juhusliku suuruse X jaotuse seadus on arvupaaride hulk ( , ), kus on juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja tõenäosus, millega juhuslik suurus need väärtused võtab, s.t. =P( X= ), ja =1.

Diskreetse juhusliku suuruse määramise lihtsaim vorm on tabel, mis loetleb juhusliku suuruse võimalikud väärtused ja nende vastavad tõenäosused. Sellist tabelit nimetatakse levitamise lähedal diskreetne juhuslik suurus.

X			…		…
R			…		…

Jaotussarja saab esitada graafiliselt. Sel juhul joonistatakse abstsiss piki ordinaati ja tõenäosus piki ordinaati. Punktid koordinaatidega ( , ) ühendatakse lõikudega ja saadakse katkendlik joon jaotuspolügoon, mis on üks diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduse täpsustamise vorme.

Näide 13.3. Konstrueerida jaotusjadaga juhusliku suuruse X jaotuspolügoon

X
R	0,1	0,3	0,2	0,4

Definitsioon 13.4. Me ütleme, et diskreetsel juhuslikul muutujal X on binoomjaotus parameetritega ( n, lk), kui see võib võtta mittenegatiivseid täisarvulisi väärtusi k {1,2,…,n) tõenäosustega Р( X=x)= .

Jaotussarja vorm on:

X			…	k	…	n
R			…		…

Tõenäosuste summa = =1.

Definitsioon 13.5.Öeldakse, et juhusliku suuruse diskreetne vorm X Sellel on Poissoni jaotus parameetriga (>0), kui see võtab täisarvulisi väärtusi k(0,1,2,…) tõenäosustega Р( X=k)= .

Jaotussarjal on vorm

X			…	k	…
R			…		…

Kuna Maclaurini reas on laiendusel järgmine kuju, siis tõenäosuste summa = = =1.

Tähistage X katsete arv, mis tuleb lõpetada enne sündmuse esimest esinemist A sõltumatutes katsetes, kui A esinemise tõenäosus neist igaühes on võrdne lk (0<lk <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями X on naturaalarvud.

Definitsioon 13.6. Nad ütlevad, et juhuslik muutuja X Sellel on geomeetriline jaotus parameetriga lk (0<lk <1), если она принимает натуральные значения k N tõenäosustega Р(Х=k)= , kus . Jaotusvahemik:

X				…	n	…
R				…		…

Tõenäosuste summa = = =1.

Näide 13.7. Münti visatakse 2 korda. Koostada "vapi" esinemiste arvu juhusliku suuruse X jaotusjada.

P2(0)= =; P2 (1) = = = 0,5; P 2 (2) = = .

X
R

Jaotusseeria on järgmisel kujul:

Näide 13.8. Püssi tulistatakse kuni esimese tabamuseni sihtmärgile. Ühe lasuga tabamise tõenäosus on 0,6. tabab 3. lasuga.

Kuna lk=0,6, q=0,4, k=3, siis P( A)= =0,4 2 *0,6=0,096.

14 Diskreetsete juhuslike suuruste arvulised karakteristikud

Jaotusseadus iseloomustab juhuslikku suurust täielikult, kuid sageli on see teadmata, mistõttu tuleb piirduda vähema infoga. Mõnikord on isegi kasulikum kasutada juhuslikku suurust summaarselt kirjeldavaid numbreid (parameetreid). Neid kutsutakse numbrilised omadused juhuslik muutuja. Nende hulka kuuluvad: matemaatiline ootus, dispersioon jne.

Definitsioon 14.1. matemaatiline ootus Diskreetset juhuslikku muutujat nimetatakse kõigi selle võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summaks. Tähistage juhusliku suuruse matemaatilist ootust X läbi M X=M( X)=E X.

Kui juhuslik suurus X võtab lõpliku arvu väärtusi, siis M X= .

Kui juhuslik suurus X võtab loendatava arvu väärtusi, siis M X= ,

ja matemaatiline ootus on olemas, kui seeria läheneb absoluutselt.

Märkus 14.2. Matemaatiline ootus on teatud arv, mis on ligikaudu võrdne juhusliku suuruse teatud väärtusega.

Näide 14.3. Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus X, teades selle levitamise seeriat

X
R	0,1	0,6	0,3

M X=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Näide 14.4. Leidke sündmuse esinemiste arvu matemaatiline ootus Aühes katses, kui sündmuse tõenäosus A on võrdne lk.

Juhuslik väärtus X- sündmuse toimumise arv Aühes testis. See võib võtta väärtusi =1 ( A juhtus) suure tõenäosusega lk ja =0 tõenäosusega , st. levitamise seeriad

Seega MS=C*1=C.

Märkus 14.6. Konstantse väärtuse C korrutis diskreetse juhusliku suurusega X Määratletakse diskreetse juhusliku muutujana C X, mille võimalikud väärtused on võrdsed konstandi С ja võimalike väärtuste korrutistega X, nende väärtuste tõenäosused С X on võrdsed vastavate võimalike väärtuste tõenäosustega X.

Kinnistu 14.7. Konstantse teguri saab ootusmärgist välja võtta:

PRL X)=C∙M X.

Kui juhuslik suurus X omab jaotusnumbrit

X			…		…
R			…		…

Juhusliku muutuja jaotusrea

SH			…		…
R			…		…

PRL X)= = = С∙М( X).

Definitsioon 14.8. Nimetatakse juhuslikke muutujaid , ,… sõltumatu, kui jaoks, i=1,2,…,n

Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)

Kui as = , i=1,2,…,n, siis saame tulemusest (1)

R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:

( , ,…, ) = () ()... () (2)

juhuslike suuruste ühisjaotusfunktsiooni jaoks ,…, , mida võib võtta ka juhusliku suuruse sõltumatuse definitsioonina.

Kinnistu 14.9. Korrutise 2 matemaatiline ootus sõltumatu juhuslikud muutujad on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega:

M( XY)=M X∙M Kell.

Kinnistu 14.10. Kahe juhusliku suuruse summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga:

M( X+Y)=M X+M Kell.

Märkus 14.11. Omadusi 14.9 ja 14.10 saab üldistada mitme juhusliku suuruse puhul.

Näide 14.12. Leidke 2 täringu viskamisel välja kukkuda võivate punktide summa matemaatiline ootus.

Lase X esimese täringu peale visatud punktide arv, Kell teisel täringul visatud punktide arv. Neil on sama jaotusseeria:

X
R

Siis M X=M Kell= (1+2+3+4+5+6)= = . M( X+Y)=2* =7.

Teoreem 14.13. Sündmuse esinemiste arvu matemaatiline ootus A V n sõltumatud katsed on võrdne katsete arvu ja igas katses sündmuse toimumise tõenäosuse korrutisega: M X=np.

Lase X– sündmuse esinemiste arv A V n sõltumatud testid. – sündmuse esinemiste arv A V i- see test, i=1,2,…,n. Siis = + +…+ . Vastavalt matemaatilise ootuse omadustele M X= . Näitest 14,4M X i=p,i=1,2,…,n, seega M X= =np.

Definitsioon 14.14.dispersioon juhuslikku muutujat nimetatakse arvuks D X=M( X-M X) 2 .

Definitsioon 14.15.Standardhälve juhuslik muutuja X kutsutud number =.

Märkus 14.16. Dispersioon on juhusliku suuruse väärtuste levimise mõõt selle matemaatilise ootuse ümber. See on alati mittenegatiivne. Dispersiooni arvutamiseks on mugavam kasutada teist valemit:

D X=M( X-M X) 2 = M( X 2 - 2X∙ M X+ (M X) 2) = M( X 2) - 2M( X∙ M X) + M(M X) 2 = =M( X 2)-M X∙ M X+(M X) 2 = M( X 2) – (M X) 2 .

Siit D X=M( X 2) – (M X) 2 .

Näide 14.17. Leidke juhusliku suuruse dispersioon X, mis on antud mitme jaotusega

X
P	0,1	0,6	0,3

M X=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; M( X 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;

D X=13.3-(3,5) 2 =1,05.

Dispersiooniomadused

Kinnistu 14.18. Konstantse väärtuse dispersioon on 0:

DC = M(C-MC)2 = M(C-C)2 = 0.

Kinnistu 14.19. Konstantteguri saab dispersioonimärgist välja võtta selle ruudustamisel

D(C X) =C 2 D X.

D(CX)=M(C-CM X) 2 \u003d M (C (X-M X) 2) = C 2 M( X-M X) 2 = C 2 D X.

Kinnistu 14.20. Summa 2 dispersioon sõltumatu juhuslikud muutujad on võrdne nende muutujate dispersioonide summaga

D( X+Y)=D X+D Y.

D( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( x2+ 2XY+Y2) - (M X+ M Y) 2 = =M( X) 2 +2 miljonit X M Y+M( Y 2)-(M( X) 2 +2 miljonit X M Y+M( Y) 2)= M( X 2)-(M X) 2 +M( Y 2)-(M Y) 2 = D X+D Y.

Järeldus 14.21. Mitme summa dispersioon sõltumatu juhuslikud muutujad on võrdne nende dispersioonide summaga.

Teoreem 14.22. Sündmuse esinemiste arvu hälve A V n sõltumatud testid, millest igaühes on tõenäosus p) 2 =). Seega D +2,

1. harjutus. Pideva juhusliku suuruse X jaotustihedus on järgmine:
Leia:
a) parameeter A ;
b) jaotusfunktsioon F(x) ;
c) juhusliku suuruse X tabamise tõenäosus vahemikus ;
d) matemaatiline ootus MX ja dispersioon DX .
Joonistage funktsioonid f(x) ja F(x) .

2. ülesanne. Leidke integraalfunktsiooniga antud juhusliku suuruse X dispersioon.

3. ülesanne. Leidke jaotusfunktsiooni antud juhusliku suuruse X matemaatiline ootus.

4. ülesanne. Mõne juhusliku suuruse tõenäosustihedus on antud järgmiselt: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Leia koefitsient A , jaotusfunktsioon F(x) , matemaatiline ootus ja dispersioon, samuti tõenäosus, et juhuslik muutuja saab väärtuse vahemikus . Joonistage f(x) ja F(x) graafikud.

Ülesanne. Mõne pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on esitatud järgmiselt:

Määrake parameetrid a ja b , leidke tõenäosustiheduse f(x) avaldis, matemaatiline ootus ja dispersioon, samuti tõenäosus, et juhuslik muutuja saab väärtuse vahemikus . Joonistage f(x) ja F(x) graafikud.

Leiame jaotusfunktsiooni tuletise jaotustiheduse funktsiooni.
F'=f(x)=a
Teades, et leiame parameetri a:

või 3a = 1, millest a = 1/3
Leiame parameetri b järgmiste omaduste hulgast:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1, kust b = -1/3
Seetõttu on jaotusfunktsioon: F(x) = (x-1)/3

Oodatud väärtus.

Dispersioon.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
Leidke tõenäosus, et juhuslik muutuja saab intervallis väärtuse
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

Näide nr 1. Pideva juhusliku suuruse X tõenäosusjaotuse tihedus f(x) on antud. Nõutud:

Määrake koefitsient A.
leida jaotusfunktsioon F(x) .
skemaatiliselt joonistada F(x) ja f(x) .
leida X matemaatiline ootus ja dispersioon.
leida tõenäosus, et X võtab väärtuse vahemikust (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
Lahendus:

Juhusliku suuruse X annab jaotustihedus f(x):

Leidke tingimusest parameeter A:

või
14/3*A-1=0
kus,
A = 3/14

Jaotusfunktsiooni saab leida valemiga.

JUHUSLIKUD VÄÄRTUSED

Näide 2.1. Juhuslik väärtus X jaotusfunktsiooni poolt antud

Leidke tõenäosus, et testi tulemusena X võtab väärtused vahemikus (2,5; 3,6).

Lahendus: X intervallis (2,5; 3,6) saab määrata kahel viisil:

Näide 2.2. Millistel parameetrite väärtustel A Ja IN funktsiooni F(x) = A + Be - x võib olla juhusliku muutuja mittenegatiivsete väärtuste jaotusfunktsioon X.

Lahendus: Kuna kõik juhusliku suuruse võimalikud väärtused X kuuluvad intervalli , siis selleks, et funktsioon oleks jaotusfunktsioon jaoks X, peaks vara kuuluma:

Vastus: .

Näide 2.3. Juhusliku suuruse X annab jaotusfunktsioon

Leidke tõenäosus, et nelja sõltumatu katse tulemusel väärtus X täpselt 3 korda võtab intervallile kuuluva väärtuse (0,25; 0,75).

Lahendus: Väärtuse tabamise tõenäosus X intervallis (0,25; 0,75) leiame valemiga:

Näide 2.4. Tõenäosus, et pall ühel viskel korvi tabab, on 0,3. Koostage tabamuste arvu jaotumise seadus kolmel viskel.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- tabamuste arv korvis kolme viskega - võib võtta väärtused: 0, 1, 2, 3. Tõenäosused, et X

Näide 2.5. Kaks laskurit sooritavad ühe lasu märklauda. Esimese laskuri tabamise tõenäosus on 0,5, teise - 0,4. Kirjutage üles sihtmärgi tabamuste arvu jaotuse seadus.

Lahendus: Leia diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadus X- sihtmärgi tabamuste arv. Olgu sündmuseks esimese laskuri tabamus märklauale ja - teise laskuri tabamus ja - vastavalt nende möödalaskmised.

Koostame SV tõenäosusjaotuse seaduse X:

Näide 2.6. Testitud on 3 elementi, mis töötavad üksteisest sõltumatult. Elementide rikkevaba töö ajal (tundides) on jaotustiheduse funktsioonid: esimeseks: F 1 (t) =1-e- 0,1 t, teiseks: F 2 (t) = 1-e- 0,2 t, kolmanda jaoks: F 3 (t) =1-e- 0,3 t. Leidke tõenäosus, et ajavahemikus 0 kuni 5 tundi: ainult üks element ebaõnnestub; ainult kaks elementi ebaõnnestuvad; kõik kolm elementi ebaõnnestuvad.

Lahendus: Kasutame tõenäosuste genereeriva funktsiooni definitsiooni:

Tõenäosus, et sõltumatutes katsetes, millest esimeses sündmuse toimumise tõenäosus A võrdub , teises jne sündmusega A ilmub täpselt üks kord, on võrdne genereeriva funktsiooni laienduskoefitsiendiga astmetes . Leiame vastavalt esimese, teise ja kolmanda elemendi ebaõnnestumise ja mittetõrke tõenäosused ajavahemikus 0 kuni 5 tundi:

Loome genereeriva funktsiooni:

Koefitsient at on võrdne tõenäosusega, et sündmus A ilmub täpselt kolm korda, see tähendab kõigi kolme elemendi ebaõnnestumise tõenäosust; koefitsient at on võrdne tõenäosusega, et täpselt kaks elementi ebaõnnestuvad; koefitsient at on võrdne tõenäosusega, et ainult üks element ebaõnnestub.

Näide 2.7. Arvestades tõenäosustihedust f(x) juhuslik suurus X:

Leidke jaotusfunktsioon F(x).

Lahendus: Kasutame valemit:

Seega on jaotusfunktsioonil vorm:

Näide 2.8. Seade koosneb kolmest iseseisvalt töötavast elemendist. Iga elemendi ebaõnnestumise tõenäosus ühes katses on 0,1. Koostage ühes katses ebaõnnestunud elementide arvu jaotusseadus.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- elementide arv, mis ühes katses ebaõnnestusid - võib võtta väärtused: 0, 1, 2, 3. Tõenäosused, et X võtab need väärtused, leiame Bernoulli valemiga:

Seega saame järgmise juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse seaduse X:

Näide 2.9. Seal on 4 standardosa 6 osast. Juhuslikult valiti välja 3 eset. Koostage standardosade arvu jaotumise seadus valitud osade vahel.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- standardosade arv valitud osade hulgas - võib võtta väärtusi: 1, 2, 3 ja sellel on hüpergeomeetriline jaotus. Tõenäosused, et X

Kus -- osade arv partiis;

-- standardosade arv partiis;

– valitud osade arv;

-- standardosade arv valitud hulgas.

Näide 2.10. Juhuslikul suurusel on jaotustihedus

kus ja ei ole teada, kuid , a ja . Otsige üles ja.

Lahendus: Sel juhul juhuslik suurus X on kolmnurkjaotus (Simpsoni jaotus) vahemikus [ a, b]. Numbrilised omadused X:

Seega . Selle süsteemi lahendamisel saame kaks väärtuste paari: . Kuna vastavalt probleemi olukorrale on meil lõpuks: .

Vastus: .

Näide 2.11. Keskmiselt 10% lepingute puhul maksab kindlustusselts kindlustussummasid seoses kindlustusjuhtumi toimumisega. Arvutage selliste lepingute arvu matemaatiline ootus ja dispersioon nelja juhuslikult valitud lepingu vahel.

Lahendus: Matemaatilise ootuse ja dispersiooni saab leida valemite abil:

SV võimalikud väärtused (lepingute arv (neljast) kindlustusjuhtumi toimumisega): 0, 1, 2, 3, 4.

Arvutame Bernoulli valemi abil erineva arvu lepingute (neljast) tõenäosuse, mille eest kindlustussummad maksti:

CV jaotusseeria (kindlustusjuhtumi toimumisega lepingute arv) on kujul:


	0,6561	0,2916	0,0486	0,0036	0,0001

Vastus: ,.

Näide 2.12. Viiest roosist kaks on valged. Kirjutage juhusliku suuruse jaotusseadus, mis väljendab valgete rooside arvu kahe samaaegselt võetud roosi hulgas.

Lahendus: Kahest roosist koosnevas proovis ei pruugi valget roosi olla või võib olla üks või kaks valget roosi. Seetõttu juhuslik muutuja X võib võtta väärtusi: 0, 1, 2. Tõenäosused, et X võtab need väärtused, leiame valemiga:

Kus -- rooside arv;

-- valgete rooside arv;

– samaaegselt võetud rooside arv;

-- valgete rooside arv võetud rooside hulgas.

Siis on juhusliku suuruse jaotuse seadus järgmine:

Näide 2.13. 15 kokkupandud seadme hulgast vajavad 6 täiendavat määrimist. Koostage lisamäärimist vajavate ühikute arvu jaotusseadus viie juhuslikult valitud koguarvu hulgast.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- täiendavat määrimist vajavate ühikute arv viie valitud hulgast - võib võtta väärtusi: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ja sellel on hüpergeomeetriline jaotus. Tõenäosused, et X võtab need väärtused, leiame valemiga:

Kus -- kokkupandud üksuste arv;

-- täiendavat määrimist vajavate üksuste arv;

– valitud agregaatide arv;

-- täiendavat määrimist vajavate ühikute arv valitud hulgast.

Siis on juhusliku suuruse jaotuse seadus järgmine:

Näide 2.14. Remondi saabunud 10-st kellast 7 vajavad mehhanismi üldist puhastust. Kellasid ei sorteerita remondi tüübi järgi. Meister, soovides leida puhastamist vajavat käekella, uurib neid ükshaaval ja olles sellise kella leidnud, lõpetab edasise vaatamise. Leidke vaadatud tundide arvu matemaatiline ootus ja dispersioon.

Lahendus: Juhuslik väärtus X- täiendavat määrimist vajavate seadmete arv viie valitud hulgast - võib võtta järgmisi väärtusi: 1, 2, 3, 4. Tõenäosused, et X võtab need väärtused, leiame valemiga:

Siis on juhusliku suuruse jaotuse seadus järgmine:

Nüüd arvutame koguse numbrilised omadused:

Vastus: ,.

Näide 2.15. Tellija on unustanud vajaliku telefoninumbri viimase numbri, kuid mäletab, et see on paaritu. Leidke enne soovitud numbri tabamist tehtud valimiste arvu matemaatiline ootus ja dispersioon, kui ta valib viimase numbri juhuslikult ega vali edaspidi valitud numbrit.

Lahendus: Juhuslik muutuja võib võtta järgmisi väärtusi: . Kuna abonent ei vali tulevikus valitud numbrit, on nende väärtuste tõenäosused võrdsed.

Koostame juhusliku suuruse jaotusseeria:


	0,2

Arvutame välja valimiskatsete arvu matemaatilise ootuse ja dispersiooni:

Vastus: ,.

Näide 2.16. Rikke tõenäosus töökindlustestide ajal iga seeria seadme puhul on võrdne lk. Määrake testimise korral ebaõnnestunud seadmete arvu matemaatiline ootus N seadmed.

Lahendus: Diskreetne juhuslik muutuja X on rikkis olevate seadmete arv N sõltumatud testid, millest igaühe ebaõnnestumise tõenäosus on võrdne p, jagatud binoomseaduse järgi. Binoomjaotuse matemaatiline ootus on võrdne katsete arvu ja sündmuse toimumise tõenäosuse korrutisega ühes katses:

Näide 2.17. Diskreetne juhuslik suurus X võtab 3 võimalikku väärtust: tõenäosusega ; tõenäosusega ja tõenäosusega . Leidke ja teades, et M( X) = 8.

Lahendus: Kasutame matemaatilise ootuse määratlusi ja diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadust:

Leiame:.

Näide 2.18. Tehnilise kontrolli osakond kontrollib toodete standardsust. Tõenäosus, et toode on standardne, on 0,9. Iga partii sisaldab 5 eset. Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus X- partiide arv, millest igaüks sisaldab täpselt 4 standardtoodet, kui kontrollitakse 50 partiid.

Lahendus: Sel juhul on kõik läbiviidud katsed sõltumatud ja tõenäosus, et iga partii sisaldab täpselt 4 standardtoodet, on sama, seetõttu saab matemaatilise ootuse määrata valemiga:

kus on osapoolte arv;

Tõenäosus, et partii sisaldab täpselt 4 standardartiklit.

Leiame tõenäosuse Bernoulli valemi abil:

Vastus: .

Näide 2.19. Leidke juhusliku suuruse dispersioon X– sündmuse esinemiste arv A kahes sõltumatus katses, kui sündmuse toimumise tõenäosus nendes katsetes on sama ja on teada, et M(X) = 0,9.

Lahendus: Probleemi saab lahendada kahel viisil.

1) Võimalikud CB väärtused X: 0, 1, 2. Bernoulli valemi abil määrame nende sündmuste tõenäosused:

, , .

Siis levitamise seadus X paistab nagu:

Matemaatilise ootuse definitsioonist määrame tõenäosuse:

Leiame SW dispersiooni X:

2) Võite kasutada valemit:

Vastus: .

Näide 2.20. Normaaljaotusega juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja standardhälve X on vastavalt 20 ja 5. Leidke tõenäosus, et testi tulemusena X võtab intervallis (15; 25) sisalduva väärtuse.

Lahendus: Tavalise juhusliku suuruse tabamise tõenäosus X Lõigul alates kuni väljendatakse Laplace'i funktsiooniga:

Näide 2.21. Antud funktsioon:

Millise parameetri väärtuse juures C see funktsioon on mingi pideva juhusliku suuruse jaotustihedus X? Leidke juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon X.

Lahendus: Selleks, et funktsioon oleks mõne juhusliku suuruse jaotustihedus, peab see olema mittenegatiivne ja rahuldama omadust:

Seega:

Arvutage matemaatiline ootus järgmise valemi abil:

Arvutage dispersioon järgmise valemi abil:

T on lk. On vaja leida selle juhusliku suuruse matemaatiline ootus ja dispersioon.

Lahendus: Diskreetse juhusliku suuruse X jaotusseadust - sündmuse esinemiste arvu sõltumatutes katsetes, milles igaühes sündmuse toimumise tõenäosus on , nimetatakse binoomseks. Binoomjaotuse matemaatiline ootus on võrdne katsete arvu ja sündmuse A toimumise tõenäosuse korrutisega ühes katses:

Näide 2.25. Sihtmärki tehakse kolm iseseisvat lasku. Iga löögi tabamise tõenäosus on 0,25. Määrake kolme löögiga tabamuste arvu standardhälve.

Lahendus: Kuna sooritatakse kolm sõltumatut katset ja sündmuse A (tabamus) esinemise tõenäosus igas katses on sama, siis eeldame, et diskreetne juhuslik suurus X – sihtmärgi tabamuste arv – jaotub binoomväärtuse järgi. seadus.

Binoomjaotuse dispersioon võrdub katsete arvu ja sündmuse toimumise ja mittetoimumise tõenäosuste korrutisega ühes katses:

Näide 2.26. Keskmine 10 minuti jooksul kindlustusseltsi külastavate klientide arv on kolm. Leidke tõenäosus, et järgmise 5 minuti jooksul saabub vähemalt üks klient.

Keskmine 5 minutiga saabuvate klientide arv: . .

Näide 2.29. Rakenduse ooteaeg protsessori järjekorras järgib eksponentsiaalset jaotusseadust, mille keskmine väärtus on 20 sekundit. Leia tõenäosus, et järgmine (suvaline) päring ootab protsessorit rohkem kui 35 sekundit.

Lahendus: Selles näites ootus ja ebaõnnestumiste määr on .

Siis on soovitud tõenäosus:

Näide 2.30. 15-liikmeline õpilasrühm peab koosolekut saalis, kus on 20 rida, millest igaühes on 10 istekohta. Iga õpilane võtab saalis istet juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et järjestikusel seitsmendal kohal ei ole rohkem kui kolm inimest?

Lahendus:

Näide 2.31.

Siis vastavalt tõenäosuse klassikalisele määratlusele:

Kus -- osade arv partiis;

-- mittestandardsete osade arv partiis;

– valitud osade arv;

-- mittestandardsete osade arv valitud osade hulgas.

Siis on juhusliku suuruse jaotusseadus järgmine.

Näiteid ülesannete lahendamisest teemal "Juhuslikud muutujad".

Ülesanne 1 . Loosimisel antakse välja 100 piletit. Mängiti üks 50 USD suurune võit. ja kümme võitu, igaüks 10 dollarit. Leidke väärtuse X jaotusseadus - võimaliku kasu maksumus.

Lahendus. X-i võimalikud väärtused: x 1 = 0; x 2 = 10 ja x 3 = 50. Kuna “tühja” pileteid on 89, siis lk 1 = 0,89, võidu tõenäosus on 10 c.u. (10 piletit) – lk 2 = 0,10 ja võidu puhul 50 c.u. –lk 3 = 0,01. Seega:


	0,89	0,10	0,01

Lihtne juhtida: .

Ülesanne 2. Tõenäosus, et ostja on toote kuulutusega eelnevalt tutvunud, on 0,6 (p = 0,6). Reklaami valikuline kvaliteedikontroll viiakse läbi ostjate küsitlemisega enne esimest, kes on kuulutusega eelnevalt tutvunud. Tehke intervjueeritud ostjate arvu jaotusseeria.

Lahendus. Vastavalt ülesande tingimusele p = 0,6. Alates: q=1 -p = 0,4. Nende väärtuste asendamisel saame: ja koostage jaotusseeria:


pi		0,24

Ülesanne 3. Arvuti koosneb kolmest iseseisvalt töötavast elemendist: süsteemiplokist, monitorist ja klaviatuurist. Ühe järsu pingetõusu korral on iga elemendi rikke tõenäosus 0,1. Koostage Bernoulli jaotuse põhjal jaotusseadus võrgu võimsuse tõusu ajal ebaõnnestunud elementide arvu kohta.

Lahendus. Kaaluge Bernoulli jaotus(või binoom): tõenäosus, et n testides, ilmub sündmus A täpselt k üks kord: või:


	q n					lk n

IN tuleme tagasi ülesande juurde.

X võimalikud väärtused (tõrgete arv):

x 0 =0 - ükski element ei ebaõnnestunud;

x 1 =1 - ühe elemendi rike;

x 2 =2 - kahe elemendi rike;

x 3 =3 - kõigi elementide rike.

Kuna tingimuse järgi p = 0,1, siis q = 1 – p = 0,9. Kasutades Bernoulli valemit, saame

, ,

, .

Kontroll: .

Seetõttu on soovitud jaotusseadus:


	0,729	0,243	0,027	0,001

4. ülesanne. Toodetud 5000 padrunit. Tõenäosus, et üks kassett on defektne . Kui suur on tõenäosus, et kogu partiis on täpselt 3 defektset kassetti?

Lahendus. Kohaldatav Poissoni jaotus: seda jaotust kasutatakse tõenäosuse määramiseks, et väga suur

katsete arv (masskatsed), millest igaühes on sündmuse A tõenäosus väga väike, sündmus A toimub k korda: , Kus.

Siin n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Leiame siis soovitud tõenäosuse: .

5. ülesanne. Lases enne esimest tabamust tabamise tõenäosusega p = 0,6 löögi puhul, tuleb leida tõenäosus, et tabamus toimub kolmandal lasul.

Lahendus. Rakendame geomeetrilist jaotust: tehakse sõltumatud katsed, millest igaühes on sündmuse A toimumise tõenäosus p (ja mittetoimumine q = 1 - p). Katsed lõpevad niipea, kui sündmus A toimub.

Sellistel tingimustel määratakse tõenäosus, et sündmus A leiab aset k-ndas testis, valemiga: . Siin p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Seetõttu .

6. ülesanne. Olgu antud juhusliku suuruse X jaotuse seadus:

Leidke matemaatiline ootus.

Lahendus. .

Pange tähele, et matemaatilise ootuse tõenäosuslik tähendus on juhusliku suuruse keskmine väärtus.

Ülesanne 7. Leidke juhusliku suuruse X dispersioon järgmise jaotusseadusega:

Lahendus. Siin .

X ruudu jaotusseadus 2 :

X 2

Nõutav dispersioon: .

Dispersioon iseloomustab juhusliku suuruse kõrvalekaldumise (hajumise) astet selle matemaatilisest ootusest.

Ülesanne 8. Olgu juhuslik suurus antud jaotusega:

			10 m

Leidke selle numbrilised omadused.

Lahendus: m, m 2 ,

M 2 , m.

Juhusliku suuruse X kohta võib öelda kas - selle matemaatiline ootus on 6,4 m dispersiooniga 13,04 m 2 , või - selle matemaatiline ootus on 6,4 m hälbega m. Teine sõnastus on ilmselt selgem.

Ülesanne 9. Juhuslik väärtus X annab jaotusfunktsioon:
.

Leia tõenäosus, et testi tulemusena omandab väärtus X intervallis sisalduva väärtuse .

Lahendus. Tõenäosus, et X võtab antud intervallist väärtuse, on võrdne integraalfunktsiooni juurdekasvuga selles intervallis, s.t. . Meie puhul ja seega