Kõiki nähtusi ei mõõdeta kvantitatiivsel skaalal nagu 1, 2, 3 ... 100500 ... Mitte alati ei saa nähtus omandada lõpmatus või suurel hulgal erinevaid olekuid. Näiteks võib inimese sugu olla kas M või F. Laskur kas tabab märklauda või läheb mööda. Hääletada saab kas poolt või vastu jne. ja nii edasi. Teisisõnu peegeldavad sellised andmed alternatiivse atribuudi olekut – kas "jah" (sündmus on toimunud) või "ei" (sündmust pole toimunud). Tulevat sündmust (positiivset tulemust) nimetatakse ka "eduks".
Selliste andmetega katseid nimetatakse Bernoulli skeem, kuulsa Šveitsi matemaatiku auks, kes leidis, et suure arvu katsete korral kaldub positiivsete tulemuste suhe katsete koguarvusse selle sündmuse toimumise tõenäosust.
Alternatiivne funktsioonimuutuja
Selleks, et analüüsis kasutada matemaatilist aparaati, tuleks selliste vaatluste tulemused numbrilisel kujul kirja panna. Selleks omistatakse positiivsele tulemusele number 1, negatiivsele - 0. Teisisõnu, tegemist on muutujaga, mis võib võtta ainult kaks väärtust: 0 või 1.
Mis kasu sellest saab? Tegelikult mitte vähem kui tavaandmetest. Niisiis, positiivsete tulemuste arvu on lihtne kokku lugeda – piisab, kui kõik väärtused kokku võtta, s.t. kõik 1 (õnnestus). Võite minna kaugemale, kuid selleks peate sisse viima paar tähistust.
Esimene asi, mida tuleb märkida, on see, et positiivsetel tulemustel (mis võrdub 1) on teatav tõenäosus. Näiteks mündiviskega peade saamine on ½ või 0,5. Seda tõenäosust tähistatakse traditsiooniliselt ladina tähega lk. Seetõttu on alternatiivse sündmuse toimumise tõenäosus 1-p, mida tähistatakse ka tähisega q, see on q = 1 – p. Neid tähistusi saab visuaalselt süstematiseerida muutuva jaotusplaadi kujul X.
Saime nimekirja võimalikest väärtustest ja nende tõenäosustest. saab arvutada oodatud väärtus Ja dispersioon. Ootus on kõigi võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa:
Arvutame eeldatava väärtuse ülaltoodud tabelite tähiste abil.
Selgub, et alternatiivse märgi matemaatiline ootus on võrdne selle sündmuse tõenäosusega - lk.
Nüüd määratleme, milline on alternatiivse tunnuse dispersioon. Dispersioon on matemaatilisest ootusest kõrvalekallete keskmine ruut. Üldvalem (diskreetsete andmete jaoks) on järgmine:
Siit tuleneb ka alternatiivse funktsiooni dispersioon:
On lihtne näha, et selle dispersiooni maksimaalne väärtus on 0,25 (at p=0,5).
Standardhälve – dispersiooni juur:
Maksimaalne väärtus ei ületa 0,5.
Nagu näete, on nii matemaatiline ootus kui ka alternatiivse märgi dispersioon väga kompaktse kujuga.
Juhusliku suuruse binoomjaotus
Vaatame olukorda teise nurga alt. Tõepoolest, keda huvitab, et keskmine peade kaotus ühel viskel on 0,5? Seda on isegi võimatu ette kujutada. Huvitavam on tõstatada küsimus etteantud arvu visete jaoks ette tulevate peade arvu kohta.
Teisisõnu huvitab teadlast sageli teatud arvu edukate sündmuste toimumise tõenäosus. See võib olla testitud partii defektsete toodete arv (1 - defektne, 0 - hea) või taastumiste arv (1 - terve, 0 - haige) jne. Selliste "edukate" arv on võrdne muutuja kõigi väärtuste summaga X, st. üksikute tulemuste arv.
Juhuslik väärtus B nimetatakse binoomseks ja see võtab väärtused 0 kuni n(at B= 0 - kõik osad on head, koos B = n- kõik osad on defektsed). Eeldatakse, et kõik väärtused xüksteisest sõltumatud. Vaatleme binoommuutuja põhiomadusi, st määrame selle matemaatilise ootuse, dispersiooni ja jaotuse.
Binoommuutuja ootust on väga lihtne saada. Väärtuste summa matemaatiline ootus on iga lisandväärtuse matemaatiliste ootuste summa ja see on kõigile ühesugune, seetõttu:
Näiteks peade arvu ootus 100 viske korral on 100 × 0,5 = 50.
Nüüd tuletame binoommuutuja dispersiooni valemi. Sõltumatute juhuslike suuruste summa dispersioon on dispersioonide summa. Siit
Standardhälve vastavalt
100 mündiviske jaoks standardhälve kotkaste arv on
Ja lõpuks võtame arvesse binoomsuuruse jaotust, s.t. tõenäosus, et juhuslik väärtus B võtab erinevaid tähendusi k, Kus 0≤k≤n. Mündi puhul võib see probleem kõlada järgmiselt: kui suur on tõenäosus saada 100 viskega 40 pead?
Arvutusmeetodi mõistmiseks kujutame ette, et münti visatakse vaid 4 korda. Kumbki pool võib iga kord välja kukkuda. Küsime endalt: kui suur on tõenäosus saada 4 viskest 2 pead. Iga vise on üksteisest sõltumatu. See tähendab, et suvalise kombinatsiooni saamise tõenäosus võrdub iga üksiku viske korral antud tulemuse tõenäosuste korrutisega. Olgu O pead ja P sabad. Siis võib näiteks üks meile sobivatest kombinatsioonidest välja näha OOPP, see tähendab:
Sellise kombinatsiooni tõenäosus on võrdne kahe pea tõusmise tõenäosuse ja veel kahe mittetõusmise tõenäosuse korrutisega (pöördsündmus arvutatakse järgmiselt 1-p), st. 0,5 × 0,5 × (1–0,5) × (1–0,5) = 0,0625. See on ühe meile sobiva kombinatsiooni tõenäosus. Aga küsimus oli kotkaste koguarvus, mitte mingis kindlas järjekorras. Seejärel peate lisama kõigi kombinatsioonide tõenäosused, milles on täpselt 2 kotkast. On selge, et need on kõik ühesugused (toode ei muutu tegurite kohtade muutmisest). Seetõttu peate arvutama nende arvu ja seejärel korrutama sellise kombinatsiooni tõenäosusega. Loeme kokku kõik 2 kotka 4 viske kombinatsioonid: RROO, RORO, ROOR, ORRO, OROR, OORR. Ainult 6 võimalust.
Seetõttu on soovitav tõenäosus saada 4 viske peale 2 pead 6×0,0625=0,375.
Sel viisil loendamine on aga tüütu. Juba 10 mündi puhul on toore jõuga valikute koguarvu hankimine väga keeruline. Sellepärast targad inimesed ammu leiutas valemi, mis arvutab erinevate kombinatsioonide arvu n elemendid poolt k, Kus n on elementide koguarv, k on elementide arv, mille paigutusvõimalusi arvutatakse. Kombineeritud valem n elemendid poolt k on:
Sarnased asjad toimuvad kombinatoorika rubriigis. Saadan sinna kõik, kes soovivad oma teadmisi täiendada. Sellest, muide, ka binoomjaotuse nimi (ülaltoodud valem on Newtoni binoomjaotuse laienduskoefitsient).
Tõenäosuse määramise valemit saab kergesti üldistada mis tahes arvule n Ja k. Selle tulemusena on binoomjaotuse valemil järgmine vorm.
Korrutage sobivate kombinatsioonide arv nende ühe tõenäosusega.
Praktiliseks kasutamiseks piisab lihtsalt binoomjaotuse valemi teadmisest. Ja te ei pruugi isegi teada – allpool on näidatud, kuidas Exceli abil tõenäosust määrata. Aga parem on teada.
Kasutame seda valemit, et arvutada tõenäosus saada 100 viskega 40 pead:
Või ainult 1,08%. Võrdluseks, selle katse matemaatilise ootuse tõenäosus ehk 50 pead on 7,96%. Binoomväärtuse maksimaalne tõenäosus kuulub matemaatilisele ootusele vastavale väärtusele.
Binoomjaotuse tõenäosuste arvutamine Excelis
Kui kasutate ainult paberit ja kalkulaatorit, on binoomjaotuse valemiga arvutused hoolimata integraalide puudumisest üsna keerulised. Näiteks väärtus 100! - sisaldab rohkem kui 150 tähemärki. Varem ja ka praegu kasutati selliste koguste arvutamiseks ligikaudseid valemeid. Hetkel on soovitav kasutada spetsiaalset tarkvara, näiteks MS Excelit. Seega saab iga kasutaja (isegi hariduselt humanist) kergesti arvutada binoomjaotusega juhusliku muutuja väärtuse tõenäosust.
Materjali koondamiseks kasutame Excelit esialgu tavalise kalkulaatorina, s.o. Teeme samm-sammult arvutuse binoomjaotuse valemi abil. Arvutame näiteks 50 pea saamise tõenäosuse. Allpool on pilt arvutuse sammude ja lõpptulemusega.
Nagu näete, on vahetulemused sellise mastaabiga, et ei mahu lahtrisse, kuigi neid kasutatakse kõikjal lihtsad funktsioonid tüübid: TEGUR (arvutav faktoriaal), VÕIMSUS (arvu tõstmine astmeni), samuti korrutamis- ja jagamisoperaatorid. Pealegi on see arvutus üsna tülikas, igal juhul pole see kompaktne, kuna kaasatud paljud rakud. Ja jah, sellest on raske aru saada.
Üldiselt pakub Excel binoomjaotuse tõenäosuste arvutamiseks valmis funktsiooni. Funktsiooni kutsutakse BINOM.DIST.
Õnnestumiste arv on edukate katsete arv. Meil on neid 50.
Katsete arv - visete arv: 100 korda.
Õnnestumise tõenäosus – ühe viske peale peade saamise tõenäosus on 0,5.
Integraalne - näidatakse kas 1 või 0. Kui 0, siis arvutatakse tõenäosus P(B=k); kui 1, siis arvutatakse binoomjaotusfunktsioon, s.t. kõigi tõenäosuste summa alates B = 0 enne B=k kaasa arvatud.
Vajutame OK ja saame sama tulemuse nagu ülal, ainult kõik arvutati ühe funktsiooni järgi.
Väga mugav. Katse huvides paneme viimase parameetri 0 asemele 1. Saame 0,5398. See tähendab, et 100 mündiviske korral on tõenäosus saada päid vahemikus 0 kuni 50 peaaegu 54%. Ja alguses tundus, et peaks olema 50%. Üldiselt tehakse arvutused lihtsalt ja kiiresti.
Tõeline analüütik peab mõistma, kuidas funktsioon käitub (milline on selle jaotus), seega arvutame kõigi väärtuste tõenäosused vahemikus 0 kuni 100. See tähendab, küsigem endalt: kui suur on tõenäosus, et ükski kotkas ei kuku? et kukub 1 kotkas, 2, 3 , 50, 90 või 100. Arvutus on näidatud järgmisel pildil. Sinine joon on binoomjaotus ise, punane punkt on teatud arvu õnnestumiste tõenäosus k.
Võib küsida, kas pole binoomjaotus sarnane... Jah, väga sarnane. Isegi De Moivre (aastal 1733) ütles, et suurte valimite puhul läheneb binoomjaotus (ma ei tea, kuidas seda siis nimetati), kuid keegi ei kuulanud teda. Ainult Gauss ja seejärel Laplace 60–70 aasta pärast taasavastasid ja uurisid neid hoolikalt tavaline seadus levitamine. Ülaltoodud graafik näitab selgelt, et maksimaalne tõenäosus langeb matemaatilisele ootusele ja sellest kõrvalekaldudes väheneb see järsult. Täpselt nagu tavaline seadus.
Binoomjaotusel on suur praktiline tähtsus, seda esineb üsna sageli. Exceli abil tehakse arvutused lihtsalt ja kiiresti.
Binoomjaotus on diskreetselt muutuva juhusliku suuruse üks olulisemaid tõenäosusjaotusi. Binoomjaotus on arvu tõenäosusjaotus m sündmus A V nüksteisest sõltumatud vaatlused. Sageli sündmus A nimetatakse vaatluse "edu" ja vastupidine sündmus - "ebaõnnestumine", kuid see nimetus on väga tingimuslik.
Binoomjaotuse tingimused:
- viidi läbi kokku n katsed, milles sündmus A võib tekkida või mitte;
- sündmus A igas katses võib juhtuda sama tõenäosusega lk;
- testid on üksteisest sõltumatud.
Tõenäosus, et sisse n testüritus A täpselt m korda, saab arvutada Bernoulli valemi abil:
Kus lk- sündmuse toimumise tõenäosus A;
q = 1 - lk on vastupidise sündmuse toimumise tõenäosus.
Selgitame välja miks on binoomjaotus ülalkirjeldatud viisil seotud Bernoulli valemiga . Sündmus – kordaminekute arv kell n testid on jagatud mitmeks valikuks, millest igaühes saavutatakse edu m katsumused ja ebaõnnestumised - sisse n - m testid. Kaaluge ühte neist valikutest - B1 . Tõenäosuste liitmise reegli kohaselt korrutame vastupidiste sündmuste tõenäosused:
,
ja kui me tähistame q = 1 - lk, See
.
Sama tõenäosusega on mõni muu valik, milles m edu ja n - m ebaõnnestumisi. Selliste valikute arv on võrdne võimaluste arvuga n proovi saada m edu.
Kõigi tõenäosuste summa m sündmuse number A(numbrid 0 kuni n) on võrdne ühega:
kus iga liige on Newtoni binoomi liige. Seetõttu nimetatakse vaadeldavat jaotust binoomjaotuseks.
Praktikas on sageli vaja arvutada tõenäosused "kõige rohkem m edu sisse n testid" või "vähemalt m edu sisse n testid". Selleks kasutatakse järgmisi valemeid.
Integraalfunktsioon, see tähendab tõenäosus F(m), mis sisse n vaatlusüritus A enam ei tule müks kord, saab arvutada järgmise valemi abil:
Omakorda tõenäosus F(≥m), mis sisse n vaatlusüritus A tule vähemalt müks kord, arvutatakse järgmise valemiga:
Mõnikord on mugavam arvutada tõenäosus, et sisse n vaatlusüritus A enam ei tule m korda, vastupidise sündmuse tõenäosuse kaudu:
.
Millist valemit kasutada, sõltub sellest, milline neist sisaldab vähem termineid.
Binoomjaotuse karakteristikud arvutatakse järgmiste valemite abil .
Oodatud väärtus: .
dispersioon: .
Standardhälve: .
Binoomjaotus ja arvutused MS Excelis
Binoomjaotuse tõenäosus P n ( m) ja integraalfunktsiooni väärtus F(m) saab arvutada MS Exceli funktsiooni BINOM.DIST abil. Vastava arvutuse aken on näidatud allpool (suurendamiseks klõpsake hiire vasakut nuppu).
MS Excel nõuab järgmiste andmete sisestamist:
- õnnestumiste arv;
- testide arv;
- õnnestumise tõenäosus;
- integraal - loogiline väärtus: 0 - kui teil on vaja arvutada tõenäosus P n ( m) ja 1 – kui tõenäosus F(m).
Näide 1 Ettevõtte juht võttis kokku info viimase 100 päeva müüdud kaamerate arvu kohta. Tabelis on kokku võetud teave ja arvutatud tõenäosus, et teatud arv kaameraid müüakse päevas.
Päev lõpeb kasumiga, kui müüakse 13 või enam kaamerat. Tõenäosus, et päev töötatakse kasumiga:
Tõenäosus, et päev töötatakse tulutult:
Olgu tõenäosus, et päev töötatakse välja kasumiga, konstantne ja võrdne 0,61-ga ning päevas müüdavate kaamerate arv ei sõltu päevast. Seejärel saate kasutada binoomjaotust, kus sündmus A- päev töötatakse välja kasumiga, - ilma kasumita.
Tõenäosus, et 6 päeva jooksul töötatakse kõik kasumiga välja:
.
Sama tulemuse saame MS Exceli funktsiooni BINOM.DIST abil (integraali väärtuseks on 0):
P 6 (6 ) = BINOM.DIST(6; 6; 0,61; 0) = 0,052.
Tõenäosus, et 6 päevast töötatakse kasumiga 4 või enam päeva:
Kus 
,
,
Kasutades MS Exceli funktsiooni BINOM.DIST, arvutame välja tõenäosuse, et 6 päevast saab kasumiga mitte rohkem kui 3 päeva (integraalväärtuse väärtus on 1):
P 6 (≤3 ) = BINOM.DIST(3; 6; 0,61; 1) = 0,435.
Tõenäosus, et 6 päeva jooksul töötatakse kõik kahjumiga:
,
Sama näitaja arvutame MS Exceli funktsiooni BINOM.DIST abil:
P 6 (0 ) = BINOM.DIST(0; 6; 0,61; 0) = 0,0035.
Lahendage probleem ise ja seejärel vaadake lahendust
Näide 2 Urnis on 2 valget ja 3 musta palli. Urnist võetakse pall välja, värvitakse ja pannakse tagasi. Katset korratakse 5 korda. Valgete pallide ilmumiste arv on diskreetne juhuslik suurus X, jaotatud binoomseaduse järgi. Koostage juhusliku suuruse jaotuse seadus. Määrake režiim, matemaatiline ootus ja dispersioon.
Jätkame koos probleemide lahendamist
Näide 3 Kulleriteenistusest läks objektidele n= 5 kullerit. Iga kuller tõenäosusega lk= 0,3 hilineb objekti jaoks sõltumata teistest. Diskreetne juhuslik suurus X- hilinenud kullerite arv. Koostage selle juhusliku suuruse jaotusseeria. Leidke selle matemaatiline ootus, dispersioon, standardhälve. Leidke tõenäosus, et vähemalt kaks kullerit jäävad objektidele hiljaks.
Tõenäosusteooria on meie elus nähtamatult kohal. Me ei pööra sellele tähelepanu, kuid igal sündmusel meie elus on üks või teine tõenäosus. Arvestades võimalike stsenaariumide suurt hulka, on meil vaja kindlaks teha neist kõige tõenäolisem ja kõige vähem tõenäoline. Selliseid tõenäosusandmeid on kõige mugavam analüüsida graafiliselt. Levitamine võib meid selles aidata. Binoom on üks lihtsamaid ja täpsemaid.
Enne otse matemaatika ja tõenäosusteooria juurde asumist mõelgem välja, kes oli esimene, kes seda tüüpi jaotuse välja mõtles ja milline on selle kontseptsiooni matemaatilise aparaadi arengulugu.
Lugu
Tõenäosuse mõiste on tuntud juba iidsetest aegadest. Muistsed matemaatikud aga ei omistanud sellele erilist tähtsust ja suutsid panna aluse vaid teooriale, millest sai hiljem tõenäosusteooria. Nad lõid mõned kombinatoorsed meetodid, mis aitasid suuresti neid, kes hiljem teooria ise lõid ja arendasid.
XVII sajandi teisel poolel algas tõenäosusteooria põhimõistete ja meetodite kujunemine. Tutvustati juhuslike suuruste definitsioonid, lihtsate ja mõnede keerukate sõltumatute ja sõltuvate sündmuste tõenäosuse arvutamise meetodid. Sellise huvi juhuslike muutujate ja tõenäosuste vastu dikteeris hasartmäng: iga inimene tahtis teada, millised on tema võimalused mängu võita.
Järgmiseks sammuks oli matemaatilise analüüsi meetodite rakendamine tõenäosusteoorias. Selle ülesande võtsid endale silmapaistvad matemaatikud nagu Laplace, Gauss, Poisson ja Bernoulli. Just nemad viisid selle matemaatika valdkonna uuele tasemele. James Bernoulli avastas binoomjaotuse seaduse. Muide, nagu hiljem teada saame, tehti selle avastuse põhjal veel mitmeid, mis võimaldasid luua normaaljaotuse seaduse ja palju muud.
Nüüd, enne kui binoomjaotust kirjeldama hakkame, värskendame mälus veidi tõenäoliselt juba koolipingist ununenud tõenäosusteooria mõisteid.
Tõenäosusteooria alused
Vaatleme selliseid süsteeme, mille tulemusena on võimalikud ainult kaks tulemust: "edu" ja "ebaõnnestumine". Seda on lihtne mõista näitega: viskame mündi, aimates, et sabad kukuvad välja. Iga võimaliku sündmuse (sabade langemine - "edu", peade langemine - "ei õnnestu") tõenäosus on 50 protsenti, kui münt on ideaalselt tasakaalus ja puuduvad muud tegurid, mis võivad katset mõjutada.
See oli kõige lihtsam sündmus. Kuid on ka keerulised süsteemid, milles sooritatakse järjestikuseid toiminguid, ja nende toimingute tulemuste tõenäosus on erinev. Näiteks kaaluge järgmist süsteemi: kastis, mille sisu me ei näe, on kuus täiesti identset palli, kolm paari sinist, punast ja valget värvi. Peame saama paar palli juhuslikult. Vastavalt sellele, tõmmates esimesena välja ühe valge palli, vähendame kordades tõenäosust, et järgmisena saame ka valge palli. See juhtub seetõttu, et objektide arv süsteemis muutub.
Järgmises osas vaatleme keerukamaid matemaatilisi mõisteid, mis toovad meid lähedale sõnade "normaaljaotus", "binoomjaotus" jms tähendusele.
Matemaatilise statistika elemendid
Statistikas, mis on tõenäosusteooria üks rakendusvaldkondi, on palju näiteid, kus analüüsimiseks vajalikke andmeid pole selgesõnaliselt antud. See tähendab, et mitte arvudes, vaid jaotuse vormis tunnuste järgi, näiteks soo järgi. Selleks, et rakendada sellistele andmetele matemaatilist aparaadi ja teha saadud tulemustest mõningaid järeldusi, on vaja lähteandmed teisendada numbrivormingusse. Reeglina omistatakse selle rakendamiseks positiivsele tulemusele väärtus 1 ja negatiivsele 0. Nii saame statistilisi andmeid, mida saab analüüsida matemaatiliste meetoditega.
Järgmine samm juhusliku suuruse binoomjaotuse mõistmisel on määrata juhusliku suuruse dispersioon ja matemaatiline ootus. Sellest räägime järgmises jaotises.
Oodatud väärtus
Tegelikult pole matemaatilise ootuse mõistmine keeruline. Mõelge süsteemile, milles on palju erinevaid sündmusi oma erineva tõenäosusega. Matemaatiliseks ootuseks nimetatakse väärtust, mis võrdub nende sündmuste väärtuste korrutistega (matemaatilisel kujul, millest me rääkisime viimases jaotises) ja nende toimumise tõenäosusega.
Binoomjaotuse matemaatiline ootus arvutatakse sama skeemi järgi: võtame juhusliku suuruse väärtuse, korrutame selle positiivse tulemuse tõenäosusega ja seejärel võtame saadud andmed kõigi muutujate kohta kokku. Neid andmeid on väga mugav esitada graafiliselt – nii on paremini tajutav erinevus erinevate väärtuste matemaatiliste ootuste vahel.
Järgmises osas räägime teile veidi teisest mõistest – juhusliku suuruse dispersioonist. See on tihedalt seotud ka sellise mõistega nagu binoomtõenäosuse jaotus ja on sellele iseloomulik.
Binoomjaotuse dispersioon
See väärtus on tihedalt seotud eelmisega ja iseloomustab ka statistiliste andmete jaotust. See tähistab väärtuste kõrvalekallete keskmist ruutu nende matemaatilistest ootustest. See tähendab, et juhusliku suuruse dispersioon on juhusliku suuruse väärtuse ja selle matemaatilise ootuse vaheliste erinevuste ruudu summa, mis on korrutatud selle sündmuse tõenäosusega.
Üldiselt on see kõik, mida peame dispersiooni kohta teadma, et mõista, mis on binoomne tõenäosusjaotus. Liigume nüüd oma põhiteema juurde. Nimelt, mis peitub sellise pealtnäha üsna keerulise väljendi "binoomjaotusseadus" taga.
Binoomjaotus
Alustuseks mõistame, miks see jaotus on binoomne. See pärineb sõnast "binom". Võib-olla olete kuulnud Newtoni binoomarvust – valemist, mida saab kasutada mis tahes kahe arvu a ja b summa laiendamiseks n mis tahes mittenegatiivse astmeni.
Nagu te ilmselt juba arvasite, on Newtoni binoomvalem ja binoomjaotuse valem peaaegu samad. Ainult selle erandiga, et teisel on konkreetsete suuruste jaoks rakendatav väärtus ja esimene on ainult üldine matemaatiline tööriist, mille rakendused praktikas võivad olla erinevad.
Jaotusvalemid
Binoomjaotusfunktsiooni saab kirjutada järgmiste terminite summana:
(n!/(n-k)!k!)*p k *q n-k
Siin n on sõltumatute juhuslike katsete arv, p on edukate tulemuste arv, q on ebaõnnestunud tulemuste arv, k on katse arv (see võib võtta väärtusi 0 kuni n),! - faktoriaali määramine, selline arvu funktsioon, mille väärtus on võrdne kõigi selleni tõusvate arvude korrutisega (näiteks arvu 4 puhul: 4!=1*2*3*4= 24).
Lisaks saab binoomjaotusfunktsiooni kirjutada mittetäieliku beetafunktsioonina. See on aga juba keerulisem definitsioon, mida kasutatakse vaid keeruliste statistikaülesannete lahendamisel.
Binoomjaotus, mille näiteid eespool vaatlesime, on tõenäosusteoorias üks lihtsamaid jaotuse tüüpe. Samuti on olemas normaaljaotus, mis on binoomjaotuse tüüp. Seda on kõige sagedamini kasutatav ja seda on kõige lihtsam arvutada. Samuti on olemas Bernoulli jaotus, Poissoni jaotus, tingimuslik jaotus. Kõik need iseloomustavad graafiliselt konkreetse protsessi tõenäosuspiirkondi erinevates tingimustes.
Järgmises osas käsitleme selle matemaatilise aparaadi rakendamisega seotud aspekte päris elu. Esmapilgul tundub muidugi, et tegemist on järjekordse matemaatilise asjaga, mis nagu ikka, päriselus rakendust ei leia ja mida peale matemaatikute endi pole üldjuhul vaja. See aga nii ei ole. Lõppude lõpuks on kõik distributsioonitüübid ja nende graafilised esitused loodud eranditult praktilisi eesmärke, ja mitte teadlaste kapriisina.
Rakendus
Jaotuse kõige olulisem rakendus on statistikas, sest see nõuab kompleksne analüüs palju andmeid. Nagu praktika näitab, on väga paljudel andmemassiividel ligikaudu sama väärtuste jaotus: väga madalate ja väga kõrgete väärtuste kriitilised piirkonnad sisaldavad reeglina vähem elemente kui keskmised väärtused.
Suurte andmemassiivide analüüs on vajalik mitte ainult statistikas. See on asendamatu näiteks füüsikalises keemias. Selles teaduses kasutatakse seda paljude suuruste määramiseks, mis on seotud aatomite ja molekulide juhuslike vibratsioonide ja liikumisega.
Järgmises osas arutleme, kui oluline on selliseid kasutada statistilised mõisted, binoomina juhusliku suuruse jaotus sisse Igapäevane elu sinu ja minu jaoks.
Miks ma seda vajan?
Paljud inimesed küsivad endalt seda küsimust, kui tegemist on matemaatikaga. Ja muide, matemaatikat ei kutsuta asjata teaduste kuningannaks. See on füüsika, keemia, bioloogia, majanduse alus ja kõigis neis teadustes kasutatakse ka mingit jaotust: kas see on diskreetne binoomjaotus või normaaljaotus, pole vahet. Ja kui me vaatame ümbritsevat maailma lähemalt, siis näeme, et matemaatikat kasutatakse kõikjal: igapäevaelus, tööl ja isegi inimsuhteid saab statistiliste andmete kujul esitada ja analüüsida (seda muide , teevad need, kes töötavad teabe kogumisega seotud eriorganisatsioonides).
Räägime nüüd veidi sellest, mida teha, kui peate selle teema kohta palju rohkem teadma, kui selles artiklis kirjeldasime.
Selles artiklis esitatud teave pole kaugeltki täielik. Jaotamise vormis on palju nüansse. Binoomjaotus, nagu me juba teada saime, on üks peamisi tüüpe, millel tervik matemaatika statistika ja tõenäosusteooria.
Kui teil tekib huvi või seoses oma tööga, peate selle teema kohta palju rohkem teadma, peate tutvuma erialakirjandusega. Alusta ülikoolikursusega matemaatiline analüüs ja jõuda tõenäosusteooria osani. Kasuks tulevad ka teadmised seeriate valdkonnas, sest binoomne tõenäosusjaotus pole midagi muud kui järjestikuste liikmete jada.
Järeldus
Enne artikli lõpetamist tahaksime teile öelda veel ühe huvitava asja. See puudutab otseselt meie artikli teemat ja kogu matemaatikat üldiselt.
Paljud inimesed ütlevad, et matemaatika on kasutu teadus ja miski, mida nad koolis õppisid, polnud neile kasulik. Kuid teadmised pole kunagi üleliigsed ja kui miski pole teile elus kasulik, tähendab see, et te lihtsalt ei mäleta seda. Kui teil on teadmisi, saavad nemad teid aidata, aga kui teil neid pole, ei saa te neilt abi oodata.
Niisiis, uurisime binoomjaotuse mõistet ja kõiki sellega seotud määratlusi ning rääkisime, kuidas seda meie elus rakendatakse.
Muidugi tuleks kumulatiivse jaotusfunktsiooni arvutamisel kasutada mainitud seost binoom- ja beetajaotuse vahel. See meetod on kindlasti parem kui otsene liitmine, kui n > 10.
Klassikalistes statistikaõpikutes soovitatakse binoomjaotuse väärtuste saamiseks sageli kasutada piirteoreemidel põhinevaid valemeid (nt Moivre-Laplace'i valem). Tuleb märkida, et puhtalt arvutuslikust vaatenurgast nende teoreemide väärtus on nullilähedane, eriti praegu, kui pea iga laua peal on võimas arvuti. Ülaltoodud lähenduste peamiseks puuduseks on nende täiesti ebapiisav täpsus enamiku rakenduste jaoks tüüpiliste n väärtuste jaoks. Mitte väiksemaks puuduseks on selgete soovituste puudumine ühe või teise lähenduse rakendatavuse kohta (standardtekstides on esitatud ainult asümptootilised sõnastused, neile ei kaasne täpsushinnanguid ja seetõttu on neist vähe kasu). Ütleksin, et mõlemad valemid kehtivad ainult n puhul< 200 и для совсем грубых, ориентировочных расчетов, причем делаемых “вручную” с помощью статистических таблиц. А вот связь между биномиальным распределением и бета-распределением позволяет вычислять биномиальное распределение достаточно экономно.
Ma ei käsitle siin kvantiilide leidmise probleemi: diskreetsete jaotuste puhul on see triviaalne ja nendes probleemides, kus sellised jaotused tekivad, pole see reeglina asjakohane. Kui kvantiile on endiselt vaja, soovitan probleemi ümber sõnastada nii, et see töötaks p-väärtustega (vaadeldud olulisusega). Siin on näide: mõne loendusalgoritmi rakendamisel tuleb igal etapil kontrollida statistilist hüpoteesi binoomjuhusliku suuruse kohta. Klassikalise lähenemise kohaselt on igal etapil vaja arvutada kriteeriumi statistika ja võrrelda selle väärtust kriitilise hulga piiriga. Kuna aga algoritm on loenduslik, on vaja iga kord uuesti määrata kriitilise hulga piir (valimi suurus ju muutub sammuti), mis suurendab ebaproduktiivselt ajakulusid. Kaasaegne lähenemine soovitab vaadeldava olulisuse välja arvutada ja võrrelda usaldustõenäosusega, säästes kvantiilide otsimisel.
Seetõttu ei arvuta järgmised koodid pöördfunktsiooni, selle asemel on antud funktsioon rev_binomialDF, mis arvutab ühe katse õnnestumise tõenäosuse p, arvestades katsete arvu n, nende õnnestumiste arvu m ja väärtust y nende m õnnestumiste saamise tõenäosusest. See kasutab ülalmainitud seost binoom- ja beetajaotuse vahel.
Tegelikult võimaldab see funktsioon teil saada usaldusvahemike piirid. Tõepoolest, oletame, et saame m õnnestumist n binoomkatses. Nagu teate, on kahepoolne vasakpoolne piir usaldusvahemik kui parameetri p usaldusnivooga on 0, kui m = 0 ja for on võrrandi lahend 
. Samamoodi on parempiir 1, kui m = n, ja for on võrrandi lahend 
. See tähendab, et vasakpoolse piiri leidmiseks peame võrrandi lahendama 
, ja õige otsimiseks - võrrandit 
. Need on lahendatud funktsioonides binom_leftCI ja binom_rightCI , mis tagastavad vastavalt kahepoolse usaldusvahemiku ülemise ja alumise piiri.
Tahan märkida, et kui absoluutselt uskumatut täpsust pole vaja, siis piisavalt suure n korral võite kasutada järgmist lähendust [B.L. van der Waerden, Matemaatiline statistika. M: IL, 1960, Ch. 2, sek. 7]: 
, kus g on normaaljaotuse kvantiil. Selle lähenduse väärtus seisneb selles, et on väga lihtsaid lähendusi, mis võimaldavad arvutada normaaljaotuse kvantiile (vt normaaljaotuse arvutamise teksti ja selle viite vastavat osa). Minu praktikas (peamiselt n > 100 puhul) andis see lähendus umbes 3-4 numbrit, mis on reeglina täiesti piisav.
Järgmiste koodidega arvutamiseks on vaja faile betaDF.h , betaDF.cpp (vt beetalevitamise jaotist), samuti logGamma.h , logGamma.cpp (vt lisa A). Näete ka funktsioonide kasutamise näidet.
binomialDF.h faili
| #ifndef __BINOMIAL_H__ #include "betaDF.h" double binomialDF(topeltkatsed, topelt õnnestumised, topelt p); /* * Olgu sõltumatute vaatluste "katsetused" * edukuse tõenäosusega "p". * Arvutage tõenäosus B(edumised|katsed,p), et õnnestumiste arv * on vahemikus 0 kuni "edukad" (kaasa arvatud). */ double rev_binomialDF(double katsed, topelt õnnestumised, double y); /* * Olgu vähemalt m õnnestumise * tõenäosus y teada Bernoulli skeemi katsetes. Funktsioon leiab ühe katse õnnestumise tõenäosuse p *. * * Arvutustes kasutatakse järgmist seost * * 1 - p = rev_Beta(katsed-edumised| õnnestumised+1, y). */ double binom_leftCI(double katsed, topelt õnnestumised, topelttase); /* Olgu sõltumatute vaatluste * "katsetused" igas * õnnestumise tõenäosusega "p" ja õnnestumiste arv on "edu". * Kahepoolse usaldusvahemiku * vasak piir arvutatakse olulisuse taseme tasemega. */ double binom_rightCI(double n, topelt õnnestumised, topelttase); /* Olgu sõltumatute vaatluste * "katsetused" igas * õnnestumise tõenäosusega "p" ja õnnestumiste arv on "edu". * Kahepoolse usaldusvahemiku * parempiir arvutatakse olulisuse taseme tasemega. */ #endif /* Lõpeb #ifndef __BINOMIAL_H__ */ |
binomialDF.cpp faili
| /**************************************************** **** **********/ /* Binoomjaotus */ /******************************** ********************************/ #kaasa |
Tere! Me juba teame, mis on tõenäosusjaotus. See võib olla diskreetne või pidev ja oleme õppinud, et seda nimetatakse tõenäosustiheduse jaotuseks. Nüüd uurime paari levinumat jaotust. Oletame, et mul on münt ja õige münt ning ma viskan seda 5 korda. Samuti defineerin juhusliku muutuja X, tähistan seda suure tähega X, see võrdub "kotkaste" arvuga 5 viskamisel. Võib-olla on mul 5 münti, viskan need kõik korraga ja loen mitu pead ma sain. Või mul võiks olla üks münt, ma võiksin seda 5 korda ümber visata ja lugeda, mitu korda ma sain pead. See pole tegelikult oluline. Aga oletame, et mul on üks münt ja ma viskan seda 5 korda. Siis pole meil mingit ebakindlust. Nii et siin on minu juhusliku muutuja definitsioon. Nagu me teame, on juhuslik muutuja tavalisest muutujast veidi erinev, see on pigem funktsioon. See annab katsele teatud väärtuse. Ja see juhuslik suurus on üsna lihtne. Lihtsalt loendame, mitu korda kukkus “kotkas” pärast 5 viskamist välja - see on meie juhuslik suurus X. Mõelgem, millised võivad meie puhul olla erinevate väärtuste tõenäosused? Niisiis, kui suur on tõenäosus, et X (suurtäht X) on 0? Need. Kui suur on tõenäosus, et pärast 5 viset ei tule see kunagi pähe? Noh, see on tegelikult sama, mis tõenäosus saada mõni "saba" (just, väike ülevaade tõenäosusteooriast). Sa peaksid saama mõned "sabad". Kui suur on nende "sabade" tõenäosus? See on 1/2. Need. see peaks olema 1/2 korda 1/2, 1/2, 1/2 ja uuesti 1/2. Need. (1/2)⁵. 1⁵=1, jaga 2⁵-ga, s.o. juures 32. Täiesti loogiline. Niisiis... Ma kordan natuke seda, mida me tõenäosusteooria osas läbi elasime. See on oluline selleks, et mõista, kuhu me praegu liigume ja kuidas tegelikult diskreetne jaotus tõenäosused. Niisiis, kui suur on tõenäosus, et saame pea täpselt ühe korra? Noh, esimese viske peale võisid pead kerkida. Need. see võiks olla selline: "kotkas", "sabad", "sabad", "sabad", "sabad". Või teisel viskel võivad pead kerkida. Need. võiks olla selline kombinatsioon: "sabad", "pead", "sabad", "sabad", "sabad" jne. Üks "kotkas" võib välja kukkuda pärast ükskõik millist 5 viskamist. Kui suur on iga sellise olukorra tõenäosus? Peade saamise tõenäosus on 1/2. Seejärel korrutatakse "sabade" saamise tõenäosus 1/2-ga 1/2, 1/2, 1/2. Need. iga sellise olukorra tõenäosus on 1/32. Nagu ka olukorra tõenäosus, kus X=0. Tegelikult on peade ja sabade mis tahes erijärjestuse tõenäosus 1/32. Nii et selle tõenäosus on 1/32. Ja selle tõenäosus on 1/32. Ja sellised olukorrad tekivad seetõttu, et “kotkas” võib kukkuda ükskõik millise 5 viske peale. Seetõttu on tõenäosus, et täpselt üks “kotkas” kukub välja, 5 * 1/32, s.o. 5/32. Üsna loogiline. Nüüd algab huvitav. Kui suur on tõenäosus… (kirjutan kõik näited erineva värviga)… kui suur on tõenäosus, et minu juhuslik suurus on 2? Need. Ma viskan münti 5 korda ja kui suur on tõenäosus, et see langeb täpselt 2 korda? See on huvitavam, eks? Millised kombinatsioonid on võimalikud? See võib olla pead, pead, sabad, sabad, sabad. See võib olla ka pead, sabad, pead, sabad, sabad. Ja kui arvate, et need kaks "kotkast" võivad seista kombinatsiooni erinevates kohtades, võite veidi segadusse sattuda. Te ei saa enam mõelda paigutustele nii, nagu me siin eespool tegime. Kuigi ... saate, riskite ainult segadusse sattuda. Sa pead aru saama ühest asjast. Kõigi nende kombinatsioonide puhul on tõenäosus 1/32. ½*½*½*½*½. Need. iga nende kombinatsioonide tõenäosus on 1/32. Ja me peaksime mõtlema, kui palju on selliseid kombinatsioone, mis meie seisundit rahuldavad (2 "kotkast")? Need. tegelikult peate ette kujutama, et mündiviskeid on 5 ja peate neist valima 2, mille puhul "kotkas" kukub välja. Teeskleme, et meie 5 viskamist on ringis, samuti kujutame ette, et meil on ainult kaks tooli. Ja me ütleme: „Okei, kes teist istub nendele Kotkaste toolidele? Need. kellest teist saab "kotkas"? Ja meid ei huvita, millises järjekorras nad maha istuvad. Toon sellise näite, lootes, et see on teile selgem. Ja võiksite vaadata mõningaid tõenäosusteooria õpetusi sellel teemal, kui räägin Newtoni binoomarvust. Sest seal ma süvenen selle kõigesse lähemalt. Kui aga nii arutlete, saate aru, mis on binoomkoefitsient. Sest kui mõelda nii: OK, mul on 5 viset, milline vise maandab esimesed pead? Noh, siin on 5 võimalust, milline klapp toob esimesed pead. Ja kui palju võimalusi teisele "kotkale"? Noh, esimene vise, mida me juba kasutasime, võttis ühe võimaluse peatada. Need. kombo üks peaasend on juba ühe viskega hõivatud. Nüüd on jäänud 4 viset, mis tähendab, et teine "kotkas" võib langeda ühele neljast viskest. Ja sa nägid seda siin. Valisin 1. viskel pea ja eeldasin, et neljast järelejäänud viskest ühel korral peaksid ka pead kerkima. Seega on siin ainult 4 võimalust. Kõik, mida ma ütlen, on see, et esimese pea jaoks on teil 5 erinevat asendit, millele see võib maanduda. Ja teisele on jäänud vaid 4 positsiooni. Mõtle selle üle. Kui me niimoodi arvutame, võetakse arvesse järjekorda. Kuid meie jaoks pole praegu vahet, millises järjekorras "pead" ja "sabad" välja kukuvad. Me ei ütle, et see on "kotkas 1" või "kotkas 2". Mõlemal juhul on see lihtsalt "kotkas". Võiksime eeldada, et see on pea 1 ja see on pea 2. Või võib olla ka vastupidi: see võib olla teine "kotkas" ja see on "esimene". Ja ma ütlen seda sellepärast, et on oluline mõista, kus kasutada paigutusi ja kus kasutada kombinatsioone. Meid ei huvita järjestus. Nii et tegelikult on meie sündmusel ainult 2 päritoluviisi. Nii et jagame selle 2-ga. Ja nagu hiljem näete, on see 2! meie ürituse tekkeviisid. Kui oleks 3 pead, siis oleks 3! ja ma näitan teile, miks. Nii et see oleks... 5*4=20 jagatud 2-ga on 10. Seega on 32-st 10 erinevat kombinatsiooni, kus sul on kindlasti 2 pead. Nii et 10*(1/32) võrdub 10/32, millega see võrdub? 5/16. Kirjutan läbi binoomkoefitsiendi. See on väärtus siin ülaosas. Kui järele mõelda, on see sama, mis 5! jagatud ... Mida see 5 * 4 tähendab? 5! on 5*4*3*2*1. Need. kui mul on siin vaja ainult 5 * 4, siis võin selle jaoks jagada 5! 3 eest! See võrdub 5*4*3*2*1 jagatud 3*2*1-ga. Ja alles jääb ainult 5 * 4. Seega on see sama, mis see lugeja. Ja siis, sest meid ei huvita jada, siin on vaja 2. Tegelikult 2!. Korrutage 1/32-ga. See oleks tõenäosus, et tabaksime täpselt 2 pead. Kui suur on tõenäosus, et saame päid täpselt 3 korda? Need. tõenäosus, et x=3. Nii et sama loogika kohaselt võivad pead esmakordselt esineda 1-l viiest ümberpööramisest. Peade teistkordne esinemine võib ilmneda ühel neljast järelejäänud viskest. Kolmas peade esinemine võib ilmneda ühel kolmest järelejäänud viskest. Mitu erinevat võimalust on 3 viske korraldamiseks? Mitu võimalust on üldiselt 3 objekti oma kohale paigutamiseks? See on 3! Ja saate selle välja mõelda või võiksite uuesti vaadata õpetusi, kus ma seda üksikasjalikumalt selgitasin. Aga kui võtta näiteks tähed A, B ja C, siis on 6 võimalust, kuidas neid järjestada. Neid võib pidada rubriikideks. Siin võib olla ACB, CAB. See võib olla BAC, BCA ja... Mis on viimane variant, mida ma ei nimetanud? CBA. 3 erineva eseme paigutamiseks on 6 võimalust. Jagame 6-ga, sest me ei taha neid 6 uuesti lugeda erinevatel viisidel sest käsitleme neid samaväärsetena. Siin meid ei huvita, kui palju viskeid päid saab. 5*4*3… Selle saab ümber kirjutada kui 5!/2!. Ja jagage see veel 3-ga!. Selline ta on. 3! võrdub 3*2*1. Kolmikud kahanevad. Sellest saab 2. Sellest saab 1. Taaskord 5*2, st. on 10. Iga olukorra tõenäosus on 1/32, seega on see jällegi 5/16. Ja see on huvitav. Tõenäosus, et saate 3 pead, on sama kui tõenäosus, et saate 2 pead. Ja selle põhjus... Noh, põhjuseid, miks see juhtus, on palju. Aga kui järele mõelda, siis tõenäosus saada 3 pead on sama kui 2 saba saamise tõenäosus. Ja tõenäosus saada 3 saba peaks olema sama, mis tõenäosus saada 2 pead. Ja on hea, et väärtused nii toimivad. Hästi. Kui suur on tõenäosus, et X=4? Saame kasutada sama valemit, mida kasutasime varem. See võib olla 5*4*3*2. Niisiis, siia kirjutame 5 * 4 * 3 * 2 ... Mitu erinevat võimalust on 4 objekti paigutamiseks? See on 4!. 4! - see on tegelikult see osa, siinsamas. See on 4*3*2*1. Seega see tühistab, jättes 5. Seejärel on iga kombinatsiooni tõenäosus 1/32. Need. see on võrdne 5/32. Jällegi pange tähele, et tõenäosus saada päid 4 korda on võrdne tõenäosusega, et pead kerkivad 1 korda. Ja see on mõistlik, sest. 4 pead on sama mis 1 saba. Ütlete: noh, ja millisel viskamisel see "saba" välja kukub? Jah, selleks on 5 erinevat kombinatsiooni. Ja igaühel neist on tõenäosus 1/32. Ja lõpuks, kui suur on tõenäosus, et X=5? Need. pea püsti 5 korda järjest. See peaks olema selline: "kotkas", "kotkas", "kotkas", "kotkas", "kotkas". Iga pea tõenäosus on 1/2. Korrutate need ja saate 1/32. Võite minna teist teed. Kui nendes katsetes on 32 võimalust pea ja saba saamiseks, siis see on vaid üks neist. Siin oli selliseid viise 32-st 5. Siin - 10 32-st. Sellegipoolest oleme arvutused läbi viinud ja nüüd oleme valmis tõenäosusjaotuse joonistamiseks. Aga minu aeg on läbi. Lubage mul jätkata järgmises õppetükis. Ja kui teil on tuju, võib-olla joonistage enne vaatamist järgmine õppetund? Varsti näeme!
