Juure eraldamine on astendamise pöördtehing. See tähendab, et eraldades arvu X juure, saame arvu, mis ruudus annab sama arvu X.

Juure eemaldamine on üsna lihtne toiming. Ruudude tabel võib ekstraheerimist hõlbustada. Sest kõiki ruute ja juuri pole võimalik peast meelde jätta ning numbrid võivad olla suured.

Arvu juure eraldamine

kaevandamine ruutjuur number on lihtne. Pealegi saab seda teha mitte kohe, vaid järk-järgult. Võtke näiteks avaldis √256. Esialgu on teadmatul inimesel raske kohe vastust anda. Siis astume samme. Esiteks jagame lihtsalt arvuga 4, millest võtame juurena välja valitud ruudu.

Loosimine: √(64 4), siis võrdub see väärtusega 2√64. Ja nagu teate, korrutustabeli järgi 64 = 8 8. Vastus on 2*8=16.

Registreeruge kursusele "Kiirendada peast loendamist, MITTE peast aritmeetikat", et õppida kiiresti ja õigesti liitma, lahutama, korrutama, jagama, ruutarvud ja isegi juurduma. 30 päeva jooksul õpid kasutama lihtsaid nippe aritmeetiliste toimingute lihtsustamiseks. Iga õppetund sisaldab uusi võtteid, selgeid näiteid ja kasulikke ülesandeid.

Kompleksne juurte ekstraheerimine

Ruutjuurt ei saa arvutada negatiivsetest arvudest, sest iga ruudus on positiivne arv!

Kompleksarv on arv i, mille ruudus on -1. See on i2=-1.

Matemaatikas on arv, mis saadakse, võttes arvu -1 juure.

See tähendab, et on võimalik arvutada juur negatiivne arv, kuid see kehtib juba kõrgema matemaatika, mitte kooli kohta.

Vaatleme sellise juure ekstraheerimise näidet: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Juurkalkulaator Internetis

Meie kalkulaatori abil saate arvutada ruutjuurest arvu eraldamise:

Juur väljavõtmist sisaldavate avaldiste teisendamine

Radikaalavaldiste teisendamise olemus seisneb radikaalarvu lammutamises lihtsamateks, millest saab välja võtta juure. Näiteks 4, 9, 25 ja nii edasi.

Võtame näite, √625. Jagame radikaalavaldise arvuga 5. Saame √(125 5), kordame toimingut √(25 25), kuid me teame, et 25 on 52. Seega on vastus 5*5=25.

Kuid on numbreid, mille juurt ei saa selle meetodiga arvutada ja peate lihtsalt teadma vastust või omama käepärast ruutude tabelit.

√289=√(17*17)=17

Tulemus

Matemaatika paremaks mõistmiseks oleme kaalunud ainult jäämäe tippu - registreeruge meie kursusele: kiirendage peast loendamist - MITTE peast aritmeetikat.

Kursusel ei õpi sa mitte ainult kümneid nippe lihtsustatud ja kiireks korrutamiseks, liitmiseks, korrutamiseks, jagamiseks, protsentide arvutamiseks, vaid töötad need välja ka spetsiaalsetes ülesannetes ja õppemängudes! Ka vaimne loendamine nõuab palju tähelepanu ja keskendumist, mida treenitakse aktiivselt huvitavate probleemide lahendamisel.

On aeg lahti võtta juure ekstraheerimise meetodid. Need põhinevad juurte omadustel, eelkõige võrdusel, mis kehtib iga mittenegatiivse arvu b kohta.

Allpool käsitleme omakorda peamisi juurte ekstraheerimise meetodeid.

Alustame kõige lihtsamast juhtumist – naturaalarvudest juurte eraldamine ruutude tabeli, kuubitabeli jne abil.

Kui ruutude, kuubikute jms tabelid. pole käepärast, on loogiline kasutada juure eraldamise meetodit, mis hõlmab juurarvu lagundamist lihtsateks teguriteks.

Eraldi tasub peatuda, mis on võimalik paaritute astendajatega juurte puhul.

Lõpuks kaaluge meetodit, mis võimaldab teil järjestikku leida juure väärtuse numbrid.

Alustame.

Kasutades ruutude tabelit, kuubikute tabelit jne.

Kõige lihtsamal juhul võimaldavad ruutude, kuubikute jms tabelid juuri välja tõmmata. Mis need tabelid on?

Täisarvude ruutude tabel vahemikus 0 kuni 99 (näidatud allpool) koosneb kahest tsoonist. Tabeli esimene tsoon asub hallil taustal, kindla rea ​​ja veeru valimisega saab teha numbri vahemikus 0 kuni 99. Näiteks valime rea 8 kümnest ja veeru 3 ühikust, sellega fikseerisime numbri 83. Teine tsoon hõivab ülejäänud tabeli. Iga selle lahter asub kindla rea ​​ja kindla veeru ristumiskohas ning sisaldab vastava arvu ruutu vahemikus 0 kuni 99 . Meie valitud 8 kümnest koosneva rea ​​ja ühe veeru 3 ristumiskohas on lahter numbriga 6889, mis on arvu 83 ruut.

Kuubikute tabelid, arvude 0 kuni 99 neljanda astme tabelid ja nii edasi on sarnased ruutude tabeliga, ainult et need sisaldavad teises tsoonis kuupe, neljandaid astmeid jne. vastavad numbrid.

Ruudude, kuubikute, neljandate astmete jne tabelid. võimaldab eraldada ruutjuuri, kuupjuuri, neljandaid juuri jne. vastavalt nendes tabelites toodud numbritest. Selgitame nende rakendamise põhimõtet juurte kaevandamisel.

Oletame, et peame arvust a eraldama n-nda astme juure, samas kui arv a sisaldub n-nda astme tabelis. Selle tabeli järgi leiame arvu b nii, et a=b n . Siis , seega on arv b soovitud n-nda astme juur.

Näitena näitame, kuidas kuubitabeli abil eraldatakse 19683 kuupjuur. Kuubikute tabelist leiame numbri 19 683, sellest leiame, et see arv on kuup numbrist 27, seega .

On selge, et n-nda astme tabelid on juurte kaevandamisel väga mugavad. Sageli pole neid aga käepärast ja nende koostamine nõuab teatud aega. Pealegi on sageli vaja välja võtta juured numbritest, mida vastavates tabelites pole. Sellistel juhtudel tuleb juurte eraldamiseks kasutada muid meetodeid.

Juurarvu lagundamine algteguriteks

Üsna mugav viis naturaalarvust juure eraldamiseks (juhul, kui juur on muidugi eraldatud), on tüviarvu lagundamine algteguriteks. Tema olemus on järgmine: pärast seda on üsna lihtne esitada seda kraadina soovitud indikaatoriga, mis võimaldab teil saada juure väärtuse. Selgitame seda punkti.

Olgu naturaalarvust a eraldatud n-astme juur ja selle väärtus võrdub b-ga. Sel juhul on võrdus a=b n tõene. Number b nagu mis tahes naturaalarv saab esitada kõigi selle algtegurite p 1 , p 2 , ..., p m korrutisena kujul p 1 p 2 ... p m ja juurarv a on antud juhul esitatud kujul (p 1 p 2 ... p m) n. Kuna arvu lagundamine algteguriteks on kordumatu, näeb juurarvu a lagundamine algteguriteks välja selline (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , mis võimaldab arvutada juure väärtuse kui .

Pange tähele, et kui juurarvu a faktoriseerimist ei saa esitada kujul (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , siis sellisest arvust a ei eraldata n-nda astme juur täielikult.

Sellega tegeleme näidete lahendamisel.

Näide.

Võtke 144 ruutjuur.

Lahendus.

Kui pöörduda eelmises lõigus toodud ruutude tabeli poole, on selgelt näha, et 144=12 2 , millest selgub, et 144 ruutjuur on 12 .

Kuid selle punkti valguses huvitab meid, kuidas juur ekstraheeritakse, lagundades juurarvu 144 algteguriteks. Vaatame seda lahendust.

Laguneme 144 algteguriteks:

See tähendab, et 144 = 2 2 2 2 3 3 . Saadud lagunemise põhjal saab läbi viia järgmised teisendused: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Seega .

Kasutades juurte astme ja omaduste omadusi, võiks lahuse formuleerida veidi teisiti: .

Vastus:

Materjali koondamiseks kaaluge veel kahe näite lahendusi.

Näide.

Arvutage juurväärtus.

Lahendus.

Juurearvu 243 algfaktorisatsioon on 243=3 5 . Seega .

Vastus:

Näide.

Kas juure väärtus on täisarv?

Lahendus.

Sellele küsimusele vastamiseks jagame juurarvu algteguriteks ja vaatame, kas seda saab esitada täisarvu kuubikuna.

Meil on 285 768=2 3 3 6 7 2 . Saadud lagunemist ei esitata täisarvu kuubina, kuna algteguri 7 aste ei ole kolmekordne. Seetõttu ei võeta kuupjuurt 285 768 täielikult.

Vastus:

Ei.

Murdarvudest juurte eraldamine

On aeg välja mõelda, kuidas juur on ekstraheeritud murdarv. Olgu murrujuurarv kirjutatud kujul p/q . Jagatise juure omaduse järgi on tõene järgmine võrdsus. Sellest võrdsusest järeldub murdosa juure reegel: Murru juur on võrdne jagatisega, mis jagatakse lugeja juure nimetaja juurega.

Vaatame näidet juure murdmisest.

Näide.

Millest on ruutjuur harilik murd 25/169 .

Lahendus.

Ruuttabeli järgi leiame, et algmurru lugeja ruutjuur on 5 ja nimetaja ruutjuur on 13. Siis . See lõpetab juure eraldamise tavalisest fraktsioonist 25/169.

Vastus:

Kümnendmurru või segaarvu juur ekstraheeritakse pärast juurarvude asendamist tavaliste murrudega.

Näide.

Võtke kümnendkoha 474.552 kuupjuur.

Lahendus.

Kujutage ette originaali kümnend hariliku murru kujul: 474,552=474552/1000. Siis . Jääb välja võtta kuupjuured, mis on saadud murdosa lugejas ja nimetajas. Sest 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 = 78 3 ja 1 000 = 10 3, siis Ja . Jääb ainult arvutused lõpule viia .

Vastus:

.

Negatiivse arvu juure eraldamine

Eraldi tasub peatuda negatiivsetest arvudest juurte eraldamisel. Juurte uurimisel ütlesime, et kui juure eksponendiks on paaritu arv, siis negatiivne arv võib olla juure märgi all. Andsime sellistele tähistele järgmise tähenduse: negatiivse arvu −a ja juure 2 n−1 paaritu astendaja jaoks on meil . See võrdsus annab reegel negatiivsetest arvudest paaritute juurte eraldamiseks: negatiivsest arvust juure eraldamiseks peate eraldama juure vastupidise positiivse arvu juurest ja panema tulemuse ette miinusmärgi.

Vaatleme näidislahendust.

Näide.

Leidke juurväärtus.

Lahendus.

Teisendame algse avaldise nii, et juurmärgi alla ilmuks positiivne arv: . Nüüd asendame segaarvu tavalise murruga: . Rakendame juure harilikust murdosast eraldamise reeglit: . Jääb välja arvutada saadud murdosa lugejas ja nimetajas olevad juured: .

Siin on lahenduse kokkuvõte: .

Vastus:

.

Bitipõhine juurväärtuse leidmine

Üldjuhul on juure all arv, mida ülalkirjeldatud tehnikaid kasutades ei saa esitada ühegi arvu n-nda astmena. Kuid samal ajal on vaja teada antud juure väärtust, vähemalt kuni teatud märgini. Sel juhul saate juure eraldamiseks kasutada algoritmi, mis võimaldab teil järjekindlalt saada soovitud arvu numbrite piisav arv väärtusi.

Selle algoritmi esimene samm on välja selgitada, mis on juurväärtuse kõige olulisem bitt. Selleks tõstetakse arvud 0, 10, 100, ... järjestikku astmeni n, kuni saadakse juurarvu ületav arv. Siis näitab arv, mille tõstsime eelmises etapis astmeni n, vastavat kõrget järjekorda.

Näiteks kaaluge seda algoritmi sammu viie ruutjuure eraldamisel. Võtame arvud 0, 10, 100, ... ja paneme need ruutudesse, kuni saame arvu, mis on suurem kui 5 . Meil on 0 2 = 0<5 , 10 2 =100>5 , mis tähendab, et kõige olulisem number on ühikunumber. Selle biti ja ka madalamate väärtuste leiate juurekstraktsiooni algoritmi järgmistest sammudest.

Kõik algoritmi järgmised sammud on suunatud juure väärtuse järjestikusele täpsustamisele, kuna leitakse juure soovitud väärtuse järgmiste numbrite väärtused, alustades kõrgeimast ja liikudes madalaima. . Näiteks juure väärtus esimeses etapis on 2, teises - 2,2, kolmandas - 2,23 ja nii edasi 2,236067977 ... . Kirjeldame, kuidas bittide väärtused leitakse.

Bittide leidmine toimub nende võimalike väärtuste 0, 1, 2, ..., 9 loendamisega. Sel juhul arvutatakse paralleelselt vastavate arvude n-ndad astmed ja neid võrreldakse juurarvuga. Kui mingil etapil ületab astme väärtus radikaalarvu, siis loetakse eelmisele väärtusele vastav numbri väärtus leituks ja kui seda ei juhtu, siis toimub üleminek juure eraldamise algoritmi järgmisele sammule. siis selle numbri väärtus on 9 .

Selgitame kõiki neid punkte, kasutades sama näidet viie ruutjuure eraldamiseks.

Esiteks leidke ühikute numbri väärtus. Kordame väärtusi 0, 1, 2, …, 9, arvutades vastavalt 0 2, 1 2, …, 9 2, kuni saame väärtuse, mis on suurem kui radikaalarv 5. Kõik need arvutused on mugavalt esitatud tabeli kujul:

Seega on ühiku numbri väärtus 2 (kuna 2 2<5 , а 2 3 >5). Liigume edasi kümnenda koha väärtuse leidmise juurde. Sel juhul paneme numbrid 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ruutu, võrreldes saadud väärtusi juurarvuga 5:

Alates 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , siis kümnenda koha väärtus on 2 . Saate jätkata sajandikukoha väärtuse leidmist:

Nii leitakse viie juure järgmine väärtus, see on võrdne 2,23-ga. Ja nii saate jätkata väärtuste leidmist: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materjali konsolideerimiseks analüüsime vaadeldava algoritmi abil juure eraldamist sajandiku täpsusega.

Esiteks määratleme vanem numbri. Selleks kuubime arvud 0, 10, 100 jne. kuni saame arvu, mis on suurem kui 2151.186. Meil on 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , seega on kõige olulisem number kümnend.

Määratleme selle väärtuse.

Alates 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186 , siis kümnendkoha väärtus on 1 . Liigume edasi üksuste juurde.

Seega on ühe koha väärtus 2 . Liigume kümne juurde.

Kuna isegi 12,9 3 on radikaalarvust 2 151,186 väiksem, on kümnenda koha väärtus 9. Jääb teha algoritmi viimane samm, see annab meile juure väärtuse vajaliku täpsusega.

Selles etapis leitakse juure väärtus kuni sajandikuteni: .

Selle artikli kokkuvõtteks tahaksin öelda, et juurte ekstraheerimiseks on palju muid viise. Kuid enamiku ülesannete jaoks piisab ülaltoodud ülesannetest.

Bibliograafia.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: õpik 8 lahtrile. õppeasutused.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. jt.Algebra ja analüüsi algus: Õpik üldharidusasutuste 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele).

Juhend

Vali radikaalarv selline tegur, mille alt eemaldamine juur kehtiv avaldis – vastasel juhul läheb operatsioon kaotsi. Näiteks kui märgi all juur mille astendaja on kolm (kuupjuur) on väärt number 128, siis saab sildi alt välja võtta nt. number 5. Samal ajal juur number 128 tuleb jagada 5 kuubikuga: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1,024. Kui märgi all on murdarvu olemasolu juur ei ole vastuolus probleemi tingimustega, on see sellisel kujul võimalik. Kui vajate lihtsamat varianti, siis jagage radikaalavaldis esmalt sellisteks täisarvulisteks teguriteks, millest ühe kuupjuur on täisarv number m Näiteks: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Kasutage juurarvu tegurite valimiseks, kui arvu astet pole mõtetes võimalik välja arvutada. See kehtib eriti nende kohta juur m astendajaga, mis on suurem kui kaks. Kui teil on juurdepääs Internetile, saate teha arvutusi Google'i ja Nigma otsingumootoritesse sisseehitatud kalkulaatorite abil. Näiteks kui teil on vaja leida suurim täisarvuline tegur, mida saab kuupmeetri märgist välja võtta juur numbri 250 jaoks minge Google'i veebisaidile ja sisestage päring "6 ^ 3", et kontrollida, kas sildi alt on võimalik välja võtta juur kuus. Otsingumootor näitab tulemust 216. Kahjuks ei saa 250 jagada ilma jäägita sellega number. Seejärel sisestage päring 5^3. Tulemuseks on 125 ja see võimaldab jagada 250 teguriteks 125 ja 2, mis tähendab selle märgist välja võtmist juur number 5 sealt lahkumas number 2.

Allikad:

• kuidas seda juure alt välja võtta
• Toote ruutjuur

Võtke alt välja juurüks teguritest on vajalik olukordades, kus peate matemaatilist avaldist lihtsustama. On juhtumeid, kui vajalikke arvutusi pole kalkulaatori abil võimalik teha. Näiteks kui numbrite asemel kasutatakse muutujate tähti.

Juhend

Jagage radikaalavaldis lihtsateks teguriteks. Vaadake, milline teguritest kordub sama arv kordi, näidatud näitajates juur, või enama. Näiteks peate võtma arvu a juure neljanda astmeni. Sel juhul saab arvu esitada kujul a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. indikaator juur sel juhul vastab faktor a3. See tuleb märgist välja võtta.

Võimaluse korral eraldage saadud radikaalide juur eraldi. kaevandamine juur on astendusega pöördvõrdeline algebraline tehe. kaevandamine juur arvust suvaline aste, leidke arv, mis selle suvalise astmeni tõstmisel annab tulemuseks antud arvu. Kui ekstraheerimine juur ei saa toota, jätke radikaalne väljend märgi alla juur nii nagu see on. Ülaltoodud toimingute tulemusena teete alt eemaldamise märk juur.

Seotud videod

Märge

Olge radikaalse avaldise kui teguritena kirjutamisel ettevaatlik - selles etapis esinev viga põhjustab valesid tulemusi.

Abistavad nõuanded

Juurte eraldamisel on mugav kasutada spetsiaalseid tabeleid või logaritmiliste juurte tabeleid – see vähendab oluliselt õige lahenduse leidmise aega.

Allikad:

• juure eemaldamise märk 2019. aastal

Algebraavaldiste lihtsustamine on vajalik paljudes matemaatika valdkondades, sealhulgas kõrgema astme võrrandite lahendamisel, diferentseerimisel ja integreerimisel. Selleks kasutatakse mitmeid meetodeid, sealhulgas faktoriseerimist. Selle meetodi rakendamiseks peate leidma ja välja võtma ühise faktor taga sulgudes.

Juhend

Võttes välja ühise teguri sulgudes- üks levinumaid lagundamise meetodeid. Seda tehnikat kasutatakse pikkade algebraavaldiste struktuuri lihtsustamiseks, s.t. polünoomid. Üldine võib olla arv, mono- või binoomne ning selle leidmiseks kasutatakse korrutamise jaotusomadust.

Arv. Vaadake tähelepanelikult iga polünoomi koefitsiente, et näha, kas neid saab jagada sama arvuga. Näiteks avaldises 12 z³ + 16 z² - 4 on ilmne faktor 4. Pärast teisendamist saate 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Teisisõnu on see arv kõigi koefitsientide kõige vähem levinud täisarvu jagaja.

Mononoomiline Määrake, kas polünoomi igas liikmes on sama muutuja. Oletame, et see on nii, vaadake nüüd koefitsiente, nagu eelmisel juhul. Näide: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Selle polünoomi iga element sisaldab muutujat z. Lisaks on kõik koefitsiendid 3-kordsed. Seetõttu on ühiseks teguriks monoom 3 z: 3 z (3 z³ - 2 z² + 5 z - 1).

Binoom. For sulgudesüldine faktor kahest , muutuja ja arv, mis on üldine polünoom. Seega, kui faktor-binoom ei ole ilmne, siis tuleb leida vähemalt üks juur. Tõstke esile polünoomi vaba liige, see on koefitsient ilma muutujata. Nüüd rakendage asendusmeetodit vaba liikme kõigi täisarvude jagajate ühisavaldisele.

Mõelge: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Kontrollige, kas 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 täisarvuline jagaja. Leidke z1 lihtsa asendusega = 1 ja z2 = 2, nii sulgudes binoomid (z - 1) ja (z - 2) saab välja võtta. Ülejäänud avaldise leidmiseks kasutage veeruks järjestikust jagamist.

Matemaatika ja füüsika kursusest erinevate ülesannete lahendamisel seisavad õpilased ja üliõpilased sageli silmitsi vajadusega välja tuua teise, kolmanda või n-nda astme juured. Muidugi pole infotehnoloogia ajastul sellist probleemi kalkulaatoriga keeruline lahendada. Siiski on olukordi, kus elektroonilist assistenti pole võimalik kasutada.

Näiteks on keelatud paljudele eksamitele elektroonikat kaasa võtta. Lisaks ei pruugi kalkulaator käepärast olla. Sellistel juhtudel on kasulik teada vähemalt mõnda meetodit radikaalide käsitsi arvutamiseks.

Üks lihtsamaid viise juurte arvutamiseks on kasutades spetsiaalset tabelit. Mis see on ja kuidas seda õigesti kasutada?

Tabelit kasutades leiate suvalise arvu ruudu vahemikus 10 kuni 99. Samal ajal on tabeli ridadel kümneid väärtusi, veergudes aga ühikuväärtusi. Rea ja veeru ristumiskohas olev lahter sisaldab kahekohalise arvu ruutu. Ruudu 63 arvutamiseks tuleb leida rida väärtusega 6 ja veerg väärtusega 3. Ristmikult leiame lahtri numbriga 3969.

Kuna juure eraldamine on kvadratuurstamise pöördtehing, tuleb selle toimingu tegemiseks teha vastupidist: esmalt leidke lahter numbriga, mille radikaali soovite arvutada, seejärel määrake vastus veeru ja rea ​​väärtuste põhjal. Näiteks kaaluge ruutjuure 169 arvutamist.

Leiame tabelist selle numbriga lahtri, horisontaalselt määrame kümned - 1, vertikaalselt leiame need - 3. Vastus: √169 = 13.

Samamoodi saate vastavate tabelite abil välja arvutada kuup- ja n-nda astme juured.

Meetodi eeliseks on selle lihtsus ja täiendavate arvutuste puudumine. Puudused on ilmsed: meetodit saab kasutada ainult piiratud arvude vahemiku jaoks (arv, mille juures leitakse juur, peab jääma vahemikku 100–9801). Lisaks ei tööta see, kui antud numbrit tabelis pole.

Peamine faktoriseerimine

Kui ruutude tabelit pole käepärast või selle abiga oli juurt võimatu leida, võite proovida lagundage juure all olev arv algteguriteks. Algtegurid on need, mida saab täielikult (ilma jäägita) jagada ainult iseendaga või ühega. Näited võiksid olla 2, 3, 5, 7, 11, 13 jne.

Mõelge juure arvutamisele näite √576 abil. Jagame selle lihtsateks teguriteks. Saame järgmise tulemuse: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Kasutades juurte põhiomadust √a² = a, vabaneme juurtest ja ruutudest, mille järel arvutame vastuse: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Mida teha, kui mõnel teguril pole oma paari? Näiteks kaaluge √54 arvutamist. Pärast faktooringut saame tulemuse järgmisel kujul: Mitteeemaldatava osa võib jätta juure alla. Enamiku geomeetria ja algebra ülesannete puhul loetakse selline vastus lõplikuks. Kuid kui on vaja ligikaudseid väärtusi arvutada, võite kasutada meetodeid, mida arutatakse hiljem.

Heroni meetod

Mida teha, kui peate vähemalt ligikaudselt teadma, mis on ekstraheeritud juur (kui täisarvu pole võimalik saada)? Kiire ja üsna täpne tulemus saadakse Heroni meetodi rakendamisel.. Selle olemus seisneb ligikaudse valemi kasutamises:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kus R on arv, mille juur tuleb arvutada, a on lähim arv, mille juurväärtus on teada.

Vaatame, kuidas meetod praktikas töötab, ja hindame selle täpsust. Arvutame välja, millega √111 võrdub. Lähim arv 111-le, mille juur on teada, on 121. Seega R = 111, a = 121. Asendage valemis olevad väärtused:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Nüüd kontrollime meetodi täpsust:

10,55² = 111,3025.

Meetodi viga oli ligikaudu 0,3. Kui meetodi täpsust on vaja parandada, võite korrata varem kirjeldatud samme:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Kontrollime arvutuse täpsust:

10,536² = 111,0073.

Pärast valemi korduvat rakendamist muutus viga üsna tähtsusetuks.

Juure arvutamine veergu jagamise teel

See ruutjuure väärtuse leidmise meetod on pisut keerulisem kui eelmised. Siiski on see ilma kalkulaatorita teiste arvutusmeetodite seas kõige täpsem..

Oletame, et peate leidma ruutjuure täpsusega 4 kohta pärast koma. Analüüsime arvutusalgoritmi suvalise arvu 1308.1912 näitel.

1. Jagage paberileht vertikaalse joonega kaheks osaks ja tõmmake sellest paremale, veidi ülemisest servast allapoole. Kirjutame numbri vasakule küljele, jagades selle 2-kohalisteks rühmadeks, liikudes koma paremale ja vasakule. Vasakpoolne esimene number võib olla ilma paarita. Kui numbrist paremal pool märk puudub, siis tuleb lisada 0. Meie puhul saame 13 08.19 12.
2. Valime suurima arvu, mille ruut on väiksem või võrdne esimese numbrirühmaga. Meie puhul on see 3. Kirjutame selle paremasse ülaossa; 3 on tulemuse esimene number. Paremal allosas tähistame 3 × 3 = 9; seda läheb vaja järgnevateks arvutusteks. Lahutage veerus 13-st 9, saame ülejäänud 4.
3. Lisame järgmise numbripaari jäägile 4; saame 408.
4. Korrutage üleval paremal olev arv 2-ga ja kirjutage see all paremale, lisades sellele _ x _ =. Saame 6_ x _ =.
5. Mõttekriipsude asemel peate asendama sama arvu, mis on väiksem või võrdne 408-ga. Saame 66 × 6 \u003d 396. Kirjutame üleval paremale 6, kuna see on tulemuse teine ​​number. Lahutage 408-st 396, saame 12.
6. Kordame samme 3-6. Kuna alla kantud arvud on arvu murdosas, on vaja pärast 6 panna üleval paremale koma. Kirjutame kahekordse tulemuse kriipsudega: 72_ x _ =. Sobiv arv oleks 1: 721 × 1 = 721. Kirjutame vastuseks üles. Lahutame 1219 - 721 = 498.
7. Teeme eelmises lõigus toodud toimingute jada veel kolm korda, et saada vajalik arv komakohti. Kui märke pole edasisteks arvutusteks piisavalt, tuleb vasakul olevale praegusele numbrile lisada kaks nulli.

Selle tulemusena saame vastuse: √1308.1912 ≈ 36.1689. Kui kontrollite toimingut kalkulaatoriga, saate veenduda, et kõik märgid on õigesti määratud.

Ruutjuure väärtuse bitipõhine arvutamine

Meetod on väga täpne. Lisaks on see üsna arusaadav ega nõua valemite meeldejätmist ega keerulist tegevusalgoritmi, kuna meetodi olemus on õige tulemuse valimine.

Eraldame juure arvust 781. Vaatleme üksikasjalikult toimingute jada.

1. Uurige, milline ruutjuure väärtus on suurim. Selleks paneme ruudu 0, 10, 100, 1000 jne ja uurime, kumma vahel juurarv asub. Saame selle 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Võtame kümnete väärtuse. Selleks tõstame kordamööda astmeni 10, 20, ..., 90, kuni saame arvu, mis on suurem kui 781. Meie puhul saame 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. Tulemuse n väärtus jääb 20 piiresse< n <30.
3. Sarnaselt eelmise sammuga valitakse ühikute numbri väärtus. Teeme vaheldumisi ruudu 21,22, ..., 29: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Saame, et 78247.< n < 28.
4. Iga järgmine number (kümnendik, sajandik jne) arvutatakse ülaltoodud viisil. Arvutused tehakse kuni nõutava täpsuse saavutamiseni.

Enne kalkulaatorite tulekut arvutasid õpilased ja õpetajad ruutjuuri käsitsi. Arvu ruutjuure käsitsi arvutamiseks on mitu võimalust. Mõned neist pakuvad vaid ligikaudset lahendust, teised annavad täpse vastuse.

Sammud

Peamine faktoriseerimine

Tegutsege juurarv teguriteks, mis on ruutarvud. Olenevalt juurnumbrist saad ligikaudse või täpse vastuse. Ruutarvud on arvud, millest saab võtta terve ruutjuure. Tegurid on arvud, mille korrutamisel saadakse algne arv. Näiteks arvu 8 tegurid on 2 ja 4, kuna 2 x 4 = 8, arvud 25, 36, 49 on ruutarvud, kuna √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Ruuttegurid on tegurid, mis on ruutarvud. Esiteks proovige juurarv ruututeguriteks faktoriseerida.

• Näiteks arvutage ruutjuur 400-st (käsitsi). Esmalt proovige arvutada 400 ruutteguriteks. 400 on 100 kordne, st jagub 25-ga - see on ruutarv. Jagades 400 25-ga, saad 16. Arv 16 on samuti ruutarv. Seega saab 400 arvestada ruutteguriteks 25 ja 16, st 25 x 16 = 400.
• Selle saab kirjutada järgmiselt: √400 = √(25 x 16).

1. Mõne liikme korrutise ruutjuur on võrdne iga liikme ruutjuure korrutisega, see tähendab √(a x b) = √a x √b. Kasutage seda reeglit ja võtke iga ruutteguri ruutjuur ja korrutage vastuse leidmiseks tulemused.

   • Meie näites võtke 25 ja 16 ruutjuur.
     • √ (25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Kui radikaalarv ei muutu kaheks ruutteguriks (ja see on enamikul juhtudel), ei saa te täpset vastust täisarvuna leida. Kuid saate probleemi lihtsustada, kui jagate juurarvu ruutteguriks ja tavaliseks teguriks (arv, millest ei saa võtta kogu ruutjuurt). Seejärel võtate ruutjuure ja hariliku teguri juure.

   • Näiteks arvutage arvu 147 ruutjuur. Arvu 147 ei saa arvestada kahe ruutteguriga, kuid selle saab arvestada järgmiste teguritega: 49 ja 3. Lahendage ülesanne järgmiselt:
     • = √ (49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Vajadusel hinnake juure väärtust. Nüüd saate juure väärtust hinnata (leida ligikaudne väärtus), võrreldes seda ruutarvude juurte väärtustega, mis on juurarvule kõige lähemal (mõlemal pool arvujoont). Juure väärtuse saate kümnendmurruna, mis tuleb korrutada juuremärgi taga oleva arvuga.

   • Läheme tagasi meie näite juurde. Juurarv on 3. Sellele lähimad ruuduarvud on arvud 1 (√1 = 1) ja 4 (√4 = 2). Seega jääb √3 väärtus 1 ja 2 vahele. Kuna √3 väärtus on tõenäoliselt lähemal 2-le kui 1-le, on meie hinnang: √3 = 1,7. Korrutame selle väärtuse juurmärgi numbriga: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Kui teete arvutused kalkulaatoriga, saate 12,13, mis on meie vastusele üsna lähedal.
     • See meetod töötab ka suurte arvude puhul. Võtke näiteks √35. Juurarv on 35. Sellele lähimad ruuduarvud on numbrid 25 (√25 = 5) ja 36 (√36 = 6). Seega jääb √35 väärtus 5 ja 6 vahele. Kuna √35 väärtus on palju lähemal 6-le kui 5-le (kuna 35 on ainult 1 võrra väiksem kui 36), võime väita, et √35 on veidi väiksem kui 6. Kalkulaatoriga kontrollides saame vastuseks 5,92 - meil oli õigus.

4. Teine võimalus on jagada juurarv algteguriteks. Algtegurid on arvud, mis jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Kirjutage algtegurid ritta ja leidke identsete tegurite paarid. Selliseid tegureid saab juure märgist välja võtta.

   • Näiteks arvutage ruutjuur 45-st. Jaotame juurarvu algteguriteks: 45 \u003d 9 x 5 ja 9 \u003d 3 x 3. Seega √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 saab juurmärgist välja võtta: √45 = 3√5. Nüüd saame hinnata √5.
   • Mõelge veel ühele näitele: √88.
     • = √ (2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Teil on kolm kordajat 2; võta paar tükki ja võta juure märgist välja.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Nüüd saame hinnata √2 ja √11 ning leida ligikaudse vastuse.

   Ruutjuure käsitsi arvutamine

   Veergude jaotuse kasutamine

   1. See meetod hõlmab pika jagamisega sarnast protsessi ja annab täpse vastuse. Kõigepealt tõmmake vertikaalne joon, mis jagab lehe kaheks pooleks, ja seejärel tõmmake horisontaaljoon paremale ja veidi alla lehe ülaserva vertikaaljooneni. Nüüd jaga juurarv arvupaarideks, alustades komajärgsest murdosast. Seega on number 79520789182.47897 kirjutatud kujul "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Näiteks arvutame ruutjuure arvust 780.14. Tõmmake kaks joont (nagu on näidatud pildil) ja kirjutage vasakus ülanurgas olevaks numbriks "7 80, 14". On normaalne, et esimene number vasakult on paaritu number. Vastus (antud arvu juur) kirjutatakse üleval paremale.

   2. Arvestades vasakult esimest arvupaari (või ühte numbrit), leidke suurim täisarv n, mille ruut on väiksem või võrdne kõnealuse arvupaariga (või ühe arvuga). Teisisõnu leidke ruutnumber, mis on vasakult esimesele numbripaarile (või üksikarvule) kõige lähemal, kuid väiksem kui, ja võtke selle ruutarvu ruutjuur; saad numbri n. Kirjutage leitud n paremasse ülanurka ja kirjutage üles ruut n all paremale.

      • Meie puhul on esimene number vasakul number 7. Järgmisena 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Lahutage äsja leitud arvu n ruut esimesest numbripaarist (või ühest arvust) vasakult. Arvutuse tulemus kirjuta alamjaotuse alla (arvu n ruut).

      • Meie näites lahutage 7-st 4, et saada 3.

   4. Võtke teine ​​numbripaar maha ja kirjutage see eelmises etapis saadud väärtuse kõrvale. Seejärel kahekordistage paremas ülanurgas olev arv ja kirjutage tulemus all paremale, millele on lisatud "_×_=".

      • Meie näites on teine ​​numbripaar "80". Kirjutage "80" pärast 3. Seejärel kahekordistades ülevalt paremalt numbrit annab 4. Kirjutage "4_×_=" all paremalt.

   5. Täitke paremal pool olevad lüngad.

      • Kui meie puhul paneme sidekriipsude asemele arvu 8, siis 48 x 8 \u003d 384, mis on rohkem kui 380. Seetõttu on 8 liiga suur arv, aga 7 on hea. Kirjutage kriipsude asemel 7 ja saage: 47 x 7 \u003d 329. Kirjutage ülalt paremalt 7 - see on numbri 780.14 soovitud ruutjuure teine ​​koht.

   6. Lahutage saadud arv vasakul olevast praegusest arvust. Kirjutage eelmise sammu tulemus vasakpoolse praeguse arvu alla, leidke erinevus ja kirjutage see lahutatud numbri alla.

      • Meie näites lahutage 380-st 329, mis võrdub 51-ga.

   7. Korrake 4. sammu. Kui lammutatud arvupaar on algarvu murdosa, siis asetage täisarvu ja murdosa eraldaja (koma) ülalt paremalt soovitud ruutjuuresse. Vasakul kandke järgmine numbripaar alla. Kahekordistage number paremas ülanurgas ja kirjutage tulemus all paremale, millele on lisatud "_×_=".

      • Meie näites on järgmine lammutatav arvupaar arvu 780.14 murdosa, seega asetage täisarvu ja murdosa eraldaja ülalt paremalt soovitud ruutjuuresse. Lammutage 14 ja kirjutage alla vasakus servas. Topelt ülemine parem (27) on 54, nii et kirjutage "54_×_=" all paremale.

   8. Korrake samme 5 ja 6. Leidke parempoolsete kriipsude asemel suurim arv (kriipsude asemel tuleb asendada sama arv), et korrutamistulemus oleks väiksem või võrdne vasakpoolse praeguse arvuga.

      • Meie näites on 549 x 9 = 4941, mis on väiksem kui praegune arv vasakul (5114). Kirjutage üleval paremale 9 ja lahutage vasakpoolsest praegusest arvust korrutamise tulemus: 5114 - 4941 = 173.

   9. Kui teil on vaja ruutjuure jaoks leida rohkem komakohti, kirjutage praeguse numbri kõrvale vasakul nullipaar ja korrake samme 4, 5 ja 6. Korrake samme, kuni saate vajaliku vastuse täpsuse (number kümnendkohad).

   Protsessi mõistmine

   Selle meetodi valdamiseks kujutlege ruudu S pindalana arvu, mille ruutjuure peate leidma. Sel juhul otsite sellise ruudu külje L pikkust. Arvutage L väärtus, mille puhul L² = S.

   Sisestage oma vastuses iga numbri jaoks täht. Tähistage A-ga esimene number L väärtuses (soovitud ruutjuur). B on teine ​​number, C kolmas ja nii edasi.

   Määrake iga esinumbri paari jaoks täht. Tähistage S a väärtuse S esimest numbripaari, S b -ga teist numbripaari jne.

   Selgitage selle meetodi seost pika jagamisega. Nagu jagamistehte puhul, kus iga kord huvitab meid ainult üks jaguva arvu järgmine number, töötame ruutjuure arvutamisel numbripaariga järjestikku (selleks, et saada ruutjuure väärtuses järgmine number) .

   1. Vaatleme arvu S esimest numbripaari Sa (meie näites Sa = 7) ja leidke selle ruutjuur. Sel juhul on ruutjuure otsitava väärtuse esimene number A selline number, mille ruut on väiksem või võrdne S a (st otsime sellist A, mis rahuldab ebavõrdsust A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Oletame, et peame jagama 88962 7-ga; siin on esimene samm sarnane: arvestame jaguva arvu 88962 esimest numbrit (8) ja valime suurima arvu, mis 7-ga korrutades annab väärtuse, mis on väiksem või võrdne 8-ga. See tähendab, et me otsime arv d, mille võrratus on tõene: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Kujutage vaimselt ette ruutu, mille pindala peate arvutama. Otsite L-i, st ruudu külje pikkust, mille pindala on S. A, B, C on arvud L. Võite selle kirjutada erinevalt: 10A + B \u003d L (kahe jaoks -kohaline number) või 100A + 10B + C \u003d L (kolmekohalise numbri jaoks) ja nii edasi.

      • Lase (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Pidage meeles, et 10A+B on arv, mille B tähistab ühtesid ja A kümneid. Näiteks kui A=1 ja B=2, siis 10A+B võrdub arvuga 12. (10A+B)² on kogu ruudu pindala, 100A² on suure sisemise ruudu pindala, B² on väikese sisemise ruudu pindala, 10A × B on kummagi kahe ristküliku pindala. Lisades kirjeldatud jooniste pindalad, leiate algse ruudu pindala.