Pöördekeha ruumala saab arvutada valemi abil:

Valemis peab arv olema integraali ees. Nii ka juhtus – kõik, mis elus keerleb, on selle konstandiga seotud.

Arvan, et valminud joonise põhjal on lihtne ära arvata, kuidas seada integreerimise piirid “a” ja “olla”.

Funktsioon... mis see funktsioon on? Vaatame joonist. Lamedat kujundit piirab ülaosas olev paraboolgraafik. See on funktsioon, mis on valemis ette nähtud.

Praktilistes ülesannetes võib lame kuju mõnikord asuda telje all. See ei muuda midagi – integrand valemis on ruudus: seega integraal on alati mittenegatiivne , mis on väga loogiline.

Arvutame pöörleva keha ruumala järgmise valemi abil:

Nagu ma juba märkisin, osutub integraal peaaegu alati lihtsaks, peamine on olla ettevaatlik.

Vastus:

Oma vastuses peate märkima mõõtme – kuupühikud. See tähendab, et meie pöörlemiskehas on umbes 3,35 "kuubikut". Miks kuubik ühikut? Sest kõige universaalsem koostis. Võib olla kuupsentimeetrit, võib olla kuupmeetrit, võib olla kuupkilomeetrit jne, nii palju rohelisi mehikesi suudab teie fantaasia lendavasse taldrikusse panna.

Näide 2

Leidke keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber joontega piiratud kujundi telje,

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Vaatleme kahte keerulisemat probleemi, millega ka praktikas sageli kokku puututakse.

Näide 3

Arvutage keha ruumala, mis saadakse, pöörates ümber joonise abstsisstelje, mis on piiratud joontega , ja

Lahendus: kujutame joonisel lamedat joonist, mis on piiratud joontega ,,,, unustamata, et võrrand määrab telje:

Soovitud kujund on varjutatud sinisega. Kui see pöörleb ümber oma telje, osutub see nelja nurgaga sürrealistlikuks sõõrikuks.

Arvutame pöördekeha ruumala kui kehade mahtude erinevus.

Kõigepealt vaatame punasega ringis olevat joonist. Kui see pöörleb ümber telje, saadakse kärbitud koonus. Tähistame selle kärbikoonuse ruumala tähisega.

Mõelge figuurile, mis on roheliselt ümbritsetud. Kui pöörate seda kujundit ümber telje, saate ka kärbitud koonuse, ainult veidi väiksema. Tähistame selle helitugevust.

Ja ilmselgelt on mahtude erinevus täpselt meie “sõõriku” maht.

Pöördekeha ruumala leidmiseks kasutame standardvalemit:

1) Punasega ümbritsetud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

2) Rohelise ringiga joonistatud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

3) Soovitud pöörlemiskeha maht:

Vastus:

On uudishimulik, et sel juhul saab lahendust kontrollida kärbikoonuse ruumala arvutamise kooli valemi abil.

Otsus ise kirjutatakse sageli lühemalt, umbes nii:

Nüüd puhkame veidi ja räägime teile geomeetrilistest illusioonidest.

Tihti on inimestel köidetega seotud illusioone, mida märkas raamatus Perelman (teine). Meelelahutuslik geomeetria. Vaadake lahendatud ülesande lamedat joonist - selle pindala tundub olevat väike ja pöördekeha maht on veidi üle 50 kuupühiku, mis tundub liiga suur. Muide, keskmine inimene joob terve elu jooksul ära 18-ruutmeetrise ruumi samaväärse vedeliku, mis, vastupidi, tundub liiga väike kogus.

Üldiselt oli NSV Liidu haridussüsteem tõesti parim. Seesama 1950. aastal ilmunud Perelmani raamat arendab väga hästi, nagu humorist ütles, mõtlemist ja õpetab otsima probleemidele originaalseid, ebastandardseid lahendusi. Lugesin hiljuti mõne peatüki suure huviga uuesti läbi, soovitan, see on kättesaadav isegi humanistidele. Ei, ei pea naeratama, et pakkusin vaba aega, eruditsioon ja lai silmaring suhtlemisel on tore asi.

Pärast lüürilist kõrvalepõiget on lihtsalt sobiv lahendada loominguline ülesanne:

Näide 4

Arvutage joontega piiratud tasapinnalise kujundi telje ümber pöörlemisel tekkinud keha ruumala,, kus.

See on näide, mille saate ise lahendada. Pange tähele, et kõik juhtumid esinevad sagedusalas, ehk teisisõnu on tegelikult antud integratsioonile valmis piirid. Joonistage trigonomeetriliste funktsioonide graafikud õigesti, tuletan teile meelde õppetunni materjali graafikute geomeetrilised teisendused : kui argument on jagatud kahega: , siis venitatakse graafikud piki telge kaks korda. Soovitav on leida vähemalt 3-4 punkti trigonomeetriliste tabelite järgi joonise täpsemaks lõpuleviimiseks. Täislahendus ja vastus tunni lõpus. Muide, ülesannet saab lahendada ratsionaalselt ja mitte väga ratsionaalselt.

Välja arvatud tasapinnalise kujundi pindala leidmine kindla integraali abil (vt 7.2.3.) teema kõige olulisem rakendus on pöördekeha ruumala arvutamine. Materjal on lihtne, aga lugeja peab olema valmis: pead oskama lahendada määramatud integraalid keskmise keerukusega ja rakendage Newtoni-Leibnizi valemit kindel integraal, n Samuti on vaja tugevaid joonistamisoskusi. Üldiselt on integraalarvutuses palju huvitavaid rakendusi, kasutades kindlat integraali, saate arvutada kujundi pindala, pöörleva keha ruumala, kaare pikkuse, keha pindala; ja palju muud. Kujutage ette mingit lamedat kujundit koordinaattasandil. Tutvustatakse? ... Nüüd saab seda kujundit ka pöörata ja pöörata kahel viisil:

– ümber x-telje ;

– ümber ordinaattelje .

Vaatame mõlemat juhtumit. Eriti huvitav on teine ​​pööramisviis, kuid tegelikult on lahendus peaaegu sama, mis tavalisemal ümber x-telje pööramisel. Alustame kõige populaarsema pöörlemisviisiga.

Lameda kujundi ümber telje pööramisel tekkiva keha ruumala arvutamine HÄRG

Näide 1

Arvutage keha ruumala, mis saadakse joontega piiratud kujundi pööramisel ümber telje.

Lahendus: Nagu piirkonna leidmise probleemis, lahendus algab lameda kujundi joonistamisega. Ehk siis lennukis XOY on vaja konstrueerida joonis, mis on piiratud joontega ja ärge unustage, et võrrand määrab telje. Siinne joonis on üsna lihtne:

Soovitud lame kuju on varjutatud sinisega; see on see, mis pöörleb ümber telje. Pöörlemise tulemusena on tulemuseks kergelt munajas lendav taldrik, mille teljel on kaks teravat tippu HÄRG, sümmeetriline telje suhtes HÄRG. Tegelikult on kehal matemaatiline nimi, vaata teatmeteosest.

Kuidas arvutada pöördekeha ruumala? Kui keha tekib ümber telje pöörlemise tulemusenaHÄRG, on see vaimselt jagatud väikese paksusega paralleelseteks kihtideks dx, mis on teljega risti HÄRG. Kogu keha maht on ilmselgelt võrdne selliste elementaarkihtide mahtude summaga. Iga kiht, nagu ümmargune sidruniviil, on madala silindri kõrgusega dx ja aluse raadiusega f(x). Siis on ühe kihi ruumala aluspinna π korrutis f 2 silindri kõrguse kohta ( dx) või π∙ f 2 (x)∙dx. Ja kogu pöörlemiskeha pindala on elementaarmahtude summa või vastav kindel integraal. Pöördekeha ruumala saab arvutada järgmise valemi abil:

.

Kuidas seada lõimimise “a” ja “olla” piire, saab valminud jooniselt hõlpsasti aimata. Funktsioon... mis see funktsioon on? Vaatame joonist. Tasapinna kujund on piiratud ülaosas oleva parabooli graafikuga. See on funktsioon, mis on valemis ette nähtud. Praktilistes ülesannetes võib lame kuju mõnikord asuda telje all HÄRG. See ei muuda midagi - valemis olev funktsioon on ruudus: f 2 (x), seega pöörde keha maht on alati mittenegatiivne, mis on väga loogiline. Arvutame pöörleva keha ruumala järgmise valemi abil:

.

Nagu me juba märkisime, osutub integraal peaaegu alati lihtsaks, peamine on olla ettevaatlik.

Vastus:

Oma vastuses peate märkima mõõtme – kuupühikud. See tähendab, et meie pöörlemiskehas on umbes 3,35 "kuubikut". Miks kuubik ühikut? Sest see on kõige universaalsem koostis. Võib olla kuupsentimeetrit, võib olla kuupmeetrit, võib olla kuupkilomeetrit jne, nii palju rohelisi mehikesi suudab teie fantaasia lendavasse taldrikusse panna.

Näide 2

Leia ümber telje pöörlemisel tekkinud keha ruumala HÄRG joontega piiratud joonis , , .

See on näide, mille saate ise lahendada. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Näide 3

Arvutage keha ruumala, mis on saadud joontega , , ja ümber abstsisstelje pööramisel.

Lahendus: Kujutagem joonisel lamedat kujundit, mida piiravad jooned , , , , unustamata, et võrrand x= 0 määrab telje OY:

Soovitud kujund on varjutatud sinisega. Kui see pöörleb ümber telje HÄRG tulemuseks on tasane nurgeline sõõrik (kahe koonilise pinnaga seib).

Arvutame pöördekeha ruumala kui kehade mahtude erinevus. Kõigepealt vaatame punasega ringis olevat joonist. Kui see pöörleb ümber telje HÄRG tulemuseks on kärbitud koonus. Tähistame selle kärbikoonuse ruumala tähisega V 1 .

Mõelge figuurile, mis on roheliselt ümbritsetud. Kui pöörate seda kujundit ümber telje HÄRG, siis saad samasuguse kärbikoonuse, ainult veidi väiksema. Tähistame selle mahtu tähisega V 2 .

On ilmne, et mahtude erinevus V = V 1 - V 2 on meie “sõõriku” maht.

Pöördekeha mahu leidmiseks kasutame standardvalemit:

1) Punasega ümbritsetud kujund on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

2) Rohelise ringiga joonis on ülalt piiratud sirgjoonega, seega:

3) Soovitud pöördekoguse maht:

Vastus:

Huvitav on see, et antud juhul saab lahendust kontrollida kärbikoonuse ruumala arvutamise koolivalemi abil.

Otsus ise kirjutatakse sageli lühemalt, umbes nii:

I. Revolutsiooni kehade mahud. Eeluurige XII peatüki lõikeid 197, 198 G. M. Fikhtengoltsi õpikust * Analüüsige üksikasjalikult punktis 198 toodud näiteid.

508. Arvuta ellipsi ümber Hrja telje pööramisel tekkinud keha ruumala.

Seega

530. Leia pindala, mis moodustub sinusoidkaare y = sin x ümber Ox-telje pöörlemisel punktist X = 0 punktist X = It.

531. Arvutage koonuse pindala kõrgusega h ja raadiusega r.

532. Arvuta moodustunud pindala

astroidi pöörlemine x3 -)- y* - a3 ümber Ox-telje.

533. Arvutage pindala, mis moodustub kõvera silmuse 18 ug - x (6 - x) z pööramisel ümber Ox-telje.

534. Leidke ringjoone X2 - j - (y-3)2 = 4 ümber Ox-telje pöörlemisel tekkiva toruse pind.

535. Arvuta pindala, mis tekib ringi pöörlemisel X = kulu, y = asint ümber Ox-telje.

536. Arvutage pindala, mis moodustub kõvera x = 9t2, y = St - 9t3 silmuse pöörlemisel ümber Ox-telje.

537. Leia pindala, mis tekib kõvera kaare x = e*sint, y = el maksumus ümber Ox-telje pööramisel

t = 0 kuni t = —.

538. Näidake, et tsükloidkaare x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) ümber Oy telje pöörlemisel tekkiv pind on võrdne 16 u2 o2.

539. Leia pind, mis saadakse kardioidi ümber polaartelje pööramisel.

540. Leia lemniskaadi pöörlemisel tekkiv pindala Ümber polaartelje.

IV peatüki lisaülesanded

Tasapinnaliste kujundite alad

541. Leidke kogu kõveraga piiratud ala Ja telg Ox.

542. Leidke kõveraga piiratud piirkonna pindala

Ja telg Ox.

543. Leidke piirkonna pindala osa, mis asub esimeses kvadrandis ja on piiratud kõveraga

l koordinaatteljed.

544. Leidke sees oleva piirkonna pindala

silmused:

545. Leidke kõvera ühe ahelaga piiratud ala:

546. Leidke tsükli sees oleva piirkonna pindala:

547. Leidke kõveraga piiratud piirkonna pindala

Ja telg Ox.

548. Leidke kõveraga piiratud piirkonna pindala

Ja telg Ox.

549. Leidke Oxr-teljega piiratud piirkonna pindala

sirge ja kõver

lame kuju ümber telje

Näide 3

Arvestades tasapinnalist joonist, mis on piiratud joontega , , .

1) Leidke nende joontega piiratud lameda kujundi pindala.

2) Leidke keha ruumala, mis on saadud nende joontega piiratud tasapinnalise kujundi pööramisel ümber telje.

Tähelepanu! Isegi kui soovite lugeda ainult teist punkti, siis kõigepealt Tingimata loe esimest!

Lahendus: Ülesanne koosneb kahest osast. Alustame ruudust.

1) Teeme joonise:

On lihtne näha, et funktsioon määrab parabooli ülemise haru ja funktsioon määrab parabooli alumise haru. Meie ees on triviaalne parabool, mis "lebab küljel".

Soovitud kujund, mille pindala tuleb leida, on varjutatud sinisega.

Kuidas leida figuuri pindala? Seda võib leida "tavalisel" viisil. Lisaks leitakse joonise pindala pindalade summana:

– segmendil;

- segmendil.

Sellepärast:

On olemas ratsionaalsem lahendus: see seisneb pöördfunktsioonidele üleminekus ja piki telge integreerimises.

Kuidas jõuda pöördfunktsioonide juurde? Jämedalt öeldes peate väljendama "x" kuni "y". Kõigepealt vaatame parabooli:

Sellest piisab, kuid veendume, et sama funktsiooni saab tuletada alumisest harust:

Sirge joonega on lihtsam:

Nüüd vaadake telge: palun kallutage oma pead perioodiliselt 90 kraadi paremale, kui selgitate (see pole nali!). Vajalik joonis asub segmendil, mida tähistab punane punktiirjoon. Sel juhul asub segmendil sirgjoon parabooli kohal, mis tähendab, et joonise pindala tuleks leida teile juba tuttava valemi abil:. Mis on valemis muutunud? Ainult kiri ja ei midagi enamat.

! Märge : Telje integreerimise piirid tuleks asetadarangelt alt üles !

Piirkonna leidmine:

Segmendis seega:

Pange tähele, kuidas ma integreerimise läbi viisin, see on kõige ratsionaalsem viis ja ülesande järgmises lõigus selgub, miks.

Lugejatele, kes kahtlevad integreerimise õigsuses, leian tuletised:

Saadakse algne integrandi funktsioon, mis tähendab, et integreerimine viidi läbi õigesti.

Vastus:

2) Arvutame selle kujundi ümber telje pöörlemisel tekkiva keha ruumala.

Joonistan joonise veidi teistsuguse kujundusega:

Niisiis, sinisega varjutatud kujund pöörleb ümber telje. Tulemuseks on "hõljuv liblikas", mis pöörleb ümber oma telje.

Pöörleva keha ruumala leidmiseks integreerime piki telge. Kõigepealt peame minema pöördfunktsioonide juurde. Seda on juba tehtud ja üksikasjalikult kirjeldatud eelmises lõigus.

Nüüd kallutame pea uuesti paremale ja uurime oma figuuri. Ilmselt tuleks ruumalade erinevusena leida pöörleva keha ruumala.

Pöörame punase ringiga figuuri ümber telje, mille tulemuseks on kärbitud koonus. Tähistagem seda mahtu .

Pöörame roheliselt ringitatud figuuri ümber telje ja tähistame seda saadud pöörlemiskeha mahuga.

Meie liblika maht võrdub mahtude erinevusega.

Pöördekeha ruumala leidmiseks kasutame valemit:

Mis vahe on eelmises lõigus toodud valemist? Ainult kirjas.

Kuid integratsiooni eelist, millest ma hiljuti rääkisin, on palju lihtsam leida kui integrandi esmalt 4. astmele tõstmist.

Vastus:

Pange tähele, et kui sama lamedat kujundit pöörata ümber telje, saate loomulikult täiesti erineva pöörlemiskeha, erineva helitugevusega.

Näide 7

Arvutage keha ruumala, mis moodustub pöörlemisel ümber telje kõveratega piiratud kujundi ja .

Lahendus: Teeme joonise:

Teel tutvume veel mõnede funktsioonide graafikutega. Siin on huvitav paarisfunktsiooni graafik...

Pöördekeha mahu leidmiseks piisab, kui kasutada figuuri paremat poolt, mille varjutasin siniseks. Mõlemad funktsioonid on paaris, nende graafikud on telje suhtes sümmeetrilised ja meie joonis on sümmeetriline. Seega langeb ümber telje pöörlev varjutatud parempoolne osa kindlasti kokku vasaku varjutamata osaga. või . Tegelikult ma ise kindlustan end alati nii, et asendan leitud pöördfunktsiooni paar graafikupunkti.

Nüüd kallutame oma pead paremale ja märkame järgmist:

– telje kohal oleval lõigul on funktsiooni graafik;

Loogiline on eeldada, et pöördekeha ruumala tuleks otsida pöörlevate kehade ruumalade summana!

Kasutame valemit:

Sel juhul.

C sisaldub intervallis. Seega saame jällegi lisatermini Langrangi vormi. 5. Järeldus. Kursusetöös antakse kindla ja ebaõige integraali definitsioonid ja tüübid ning käsitletakse kindla integraali mõningate rakenduste küsimusi. Eelkõige Wallise valem, millel on ajalooline tähendus kui arvu p esimene esitus hõlpsalt arvutatava...

Tüübifunktsiooni kindel integraal tähistab numbriliselt kõverjoonelise trapetsi pindala, mis on piiratud kõveratega x=0, y=a, y=b ja y= (joonis 1). Selle pindala või kindla integraali arvutamiseks on kaks meetodit - trapetsi meetod (joonis 2) ja keskmiste ristkülikute meetod (joonis 3). Riis. 1. Kurviline trapets. Riis. 2. Trapetsi meetod. Riis. 3. Keskmiste ristkülikute meetod. Meetodite järgi...

N (suurendades lõimimiste arvu), suureneb integraalide ligikaudse arvutamise täpsus Laboriülesanne 1) Kirjutage programmid kindla integraali arvutamiseks kasutades meetodeid: keskmine, täisnurkne ristkülik, trapets ja Simpsoni meetod. Tehke järgmiste funktsioonide integreerimine: 1. f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 astmelisel lõigul, 2. f(x)= f(x) = f(x)= ...

... (TABL-protseduur) ja integraal. 4. Järeldus ja järeldused. Seega on ilmne, et kindlate integraalide arvutamisel kvadratuurivalemite ja eriti Tšebõševi valemi abil ei anna see meile täpset väärtust, vaid ainult ligikaudset. Integraali usaldusväärsele väärtusele võimalikult lähedale jõudmiseks peate suutma õigesti valida arvutamise meetodi ja valemi. Samuti...