Laske funktsioonil y = f(x) on määratletud intervallil [ a, b ], a < b. Teeme järgmised toimingud:

1) poolitada [ a, b] punktid a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b peal n osalised segmendid [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) igas osalises segmendis [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, valige suvaline punkt ja arvutage selles punktis funktsiooni väärtus: f(z i ) ;

3) leida töid f(z i ) · Δ x i , kus on osalise segmendi pikkus [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) koostada integraalsumma funktsioonid y = f(x) segmendil [ a, b ]:

Geomeetrilisest vaatenurgast on see summa σ nende ristkülikute pindalade summa, mille alused on osalised segmendid [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ] ja kõrgused on f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) vastavalt (joonis 1). Tähistage λ suurima osalise segmendi pikkus:

5) leida integraalsumma piir, millal λ → 0.

Definitsioon. Kui integraalsummal (1) on lõplik piir ja see ei sõltu lõigu tükeldamise meetodist [ a, b] osalisteks lõikudeks ega ka punktide valikust z i neis, siis seda piiri nimetatakse kindel integraal funktsioonist y = f(x) segmendil [ a, b] ja tähistatud

Seega

Sel juhul funktsioon f(x) kutsutakse integreeritav peal [ a, b]. Numbrid a Ja b nimetatakse integratsiooni alumiseks ja ülemiseks piiriks, f(x) on integrand, f(x ) dx- integrand, x– integratsioonimuutuja; joonelõik [ a, b] nimetatakse integratsiooni intervalliks.

1. teoreem. Kui funktsioon y = f(x) on pidev intervallil [ a, b], siis on see sellel intervallil integreeritav.

Samade integreerimispiiridega kindel integraal on võrdne nulliga:

Kui a > b, siis määrame definitsiooni järgi

2. Kindla integraali geomeetriline tähendus

Laske segmendil [ a, b] pidev mittenegatiivne funktsioon y = f(x ) . Kurviline trapets nimetatakse jooniseks, mis on ülalt piiratud funktsiooni graafikuga y = f(x), alt - härja telje järgi, vasakule ja paremale - sirgjoontega x = a Ja x = b(Joonis 2).

Mittenegatiivse funktsiooni kindel integraal y = f(x) geomeetrilisest vaatepunktist võrdne pindalaga kõverjooneline trapets, mis on ülalt piiratud funktsiooni graafikuga y = f(x), vasakul ja paremal - joonelõikude kaupa x = a Ja x = b, altpoolt - härja telje segmendi võrra.

3. Kindla integraali põhiomadused

1. Tähendus kindel integraal ei sõltu integratsioonimuutuja tähistusest:

2. Kindla integraali märgist saab välja võtta konstantse teguri:

3. Kahe funktsiooni algebralise summa kindel integraal on võrdne nende funktsioonide kindlate integraalide algebralise summaga:

4.if funktsioon y = f(x) on integreeritav [ a, b] Ja a < b < c, See

5. (keskmise väärtuse teoreem). Kui funktsioon y = f(x) on pidev intervallil [ a, b], siis sellel lõigul on selline punkt, et

4. Newtoni-Leibnizi valem

2. teoreem. Kui funktsioon y = f(x) on pidev intervallil [ a, b] Ja F(x) on selle segmendi mis tahes selle antiderivaat, siis kehtib järgmine valem:

mida nimetatakse Newtoni-Leibnizi valem. Erinevus F(b) - F(a) on kirjutatud järgmiselt:

kus tähemärki nimetatakse kahekordseks metamärgiks.

Seega saab valemi (2) kirjutada järgmiselt:

Näide 1 Arvutage integraal

Lahendus. Sest integrand f(x ) = x 2 suvalisel antiderivaadil on vorm

Kuna Newtoni-Leibnizi valemis võib kasutada mis tahes antiderivaati, võtame integraali arvutamiseks antiderivaadi, millel on kõige lihtsam vorm:

5. Muutuja muutumine kindlas integraalis

3. teoreem. Laske funktsioonil y = f(x) on pidev intervallil [ a, b]. Kui:

1) funktsioon x = φ ( t) ja selle tuletis φ "( t) on pidevad ;

2) funktsiooni väärtuste hulk x = φ ( t) jaoks on segment [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, siis valem

mida nimetatakse muutuva valemi muutumine kindlas integraalis .

Erinevalt määramatu integraal, sel juhul ei ole vajalik algse integreerimismuutuja juurde naasmiseks piisab vaid uute integreerimispiiride α ja β leidmisest (selleks on vaja muutuja jaoks lahendada t võrrandid φ ( t) = a ja φ ( t) = b).

Asenduse asemel x = φ ( t) saate kasutada asendust t = g(x) . Sel juhul muutuja suhtes uute integratsioonipiiride leidmine t lihtsustab: α = g(a) , β = g(b) .

Näide 2. Arvutage integraal

Lahendus. Võtame kasutusele uue muutuja valemi järgi. Võrrandi mõlemad pooled ruudustades saame 1 + x= t 2 , kus x= t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Leiame integratsioonile uued piirid. Selleks asendame valemis vanad piirid x= 3 ja x= 8. Saame: , kust t= 2 ja a = 2; , kus t= 3 ja β = 3. Niisiis,

Näide 3 Arvutama

Lahendus. Lase u=ln x, siis , v = x. Valemi (4) järgi

See artikkel räägib üksikasjalikult kindla integraali peamistest omadustest. Need on tõestatud Riemanni ja Darbouxi integraali kontseptsiooni abil. Kindla integraali arvutamine läheb läbi tänu 5 omadusele. Ülejäänud neist kasutatakse erinevate väljendite hindamiseks.

Enne kindla integraali põhiomaduste juurde üleminekut tuleb veenduda, et a ei ületaks b .

Kindla integraali põhiomadused

Definitsioon 1

Funktsioon y \u003d f (x), mis on defineeritud x \u003d a jaoks, on sarnane õiglase võrdsusega ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

Tõestus 1

Siit näeme, et kattuvate piiridega integraali väärtus on võrdne nulliga. See on Riemanni integraali tagajärg, sest iga integraali summa σ mis tahes jaotuse jaoks intervallil [ a ; a ] ja mis tahes punktide ζ i valik võrdub nulliga, sest x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , seega saame, et integraalfunktsioonide piirväärtus on null.

2. definitsioon

Segmendiga integreeritava funktsiooni jaoks [ a ; b ] , tingimus ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x on täidetud.

Tõestus 2

Teisisõnu, kui muuta lõimimise ülemist ja alumist piiri kohati, siis integraali väärtus muudab väärtuse vastupidiseks. See omadus on võetud Riemanni integraalist. Lõigu jaotuse numeratsioon algab aga punktist x = b.

3. määratlus

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x kasutatakse y = f (x) ja y = g (x) tüüpi integreeritavate funktsioonide jaoks, mis on defineeritud intervallil [ a ; b] .

Tõestus 3

Kirjutage funktsiooni y = f (x) ± g (x) integraalsumma etteantud punktide valikuga ζ i segmentideks jaotamiseks: σ f ± σ g

kus σ f ja σ g on lõigu jagamise funktsioonide y = f (x) ja y = g (x) integraalsummad. Pärast piirini jõudmist λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 saame, et lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Riemanni definitsiooni järgi on see väljend samaväärne.

4. määratlus

Konstantteguri väljavõtmine kindla integraali märgist. Integreeritav funktsioon intervallist [ a ; b ] suvalise väärtusega k omab kehtivat võrratust kujul ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Tõestus 4

Kindla integraali omaduse tõestus on sarnane eelmisega:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 k σ = lim λ → ζ 0) ∫ a b k f ( x) d x = k ∫ a b f (x) d x

Definitsioon 5

Kui funktsioon kujul y = f (x) on integreeritav intervallil x koos a ∈ x , b ∈ x , saame ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

Tõestus 5

Omadus loetakse kehtivaks c ∈ a korral; b , c ≤ a ja c ≥ b korral. Tõestus viiakse läbi sarnaselt eelmiste omadustega.

Definitsioon 6

Kui funktsioonil on võime olla lõimitav [ a ; b ] , siis on see teostatav iga sisesegmendi c korral ; d ∈ a; b.

Tõestus 6

Tõestus põhineb Darboux omadusel: kui lõigu olemasolevale partitsioonile lisada punktid, siis alumine Darboux' summa ei vähene ja ülemine ei suurene.

Definitsioon 7

Kui funktsioon on integreeritav [ a ; b ] alates f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 iga x ∈ a väärtuse korral; b , siis saame, et ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

Omadust saab tõestada Riemanni integraali definitsiooni abil: mis tahes integraalsumma lõigu ja punktide ζ i mis tahes valiku jaotuspunktide jaoks tingimusel, et f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 on mittenegatiivne.

Tõestus 7

Kui funktsioonid y = f (x) ja y = g (x) on lõigul [ a ; b ] , siis loetakse kehtivaks järgmised ebavõrdsused:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Tänu väitele teame, et integreerimine on vastuvõetav. Seda järeldust kasutatakse muude omaduste tõendamisel.

Definitsioon 8

Integreeritava funktsiooni y = f (x) korral lõigust [ a ; b ] meil on kehtiv võrratus kujul ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Tõestus 8

Meil on, et - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Eelnevast omadusest saime, et võrratust saab integreerida termini haaval ja see vastab ebavõrdsusele kujul - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Selle topeltvõrratuse saab kirjutada ka teisel kujul: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definitsioon 9

Kui funktsioonid y = f (x) ja y = g (x) on lõigust [ a ; b ] g (x) ≥ 0 korral mis tahes x ∈ a korral; b , saame ebavõrdsuse kujul m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , kus m = m i n x ∈ a ; b f (x) ja M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

Tõestus 9

Tõestus toimub sarnaselt. M ja m loetakse suurimateks ja väikseim väärtus funktsioon y = f (x) , defineeritud lõigust [ a ; b ] , siis m ≤ f (x) ≤ M . Topeltvõrratus on vaja korrutada funktsiooniga y = g (x) , mis annab topeltvõrratuse väärtuse kujul m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . See on vaja integreerida segmendile [ a ; b ] , siis saame tõestatava väite.

Tagajärg: Kui g (x) = 1, muutub ebavõrdsus m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

Esimene keskmine valem

Definitsioon 10

Kui y = f (x) on integreeritav intervalliga [ a ; b ] kus m = m i n x ∈ a ; b f (x) ja M = m a x x ∈ a ; b f (x) on arv μ ∈ m ; M , mis sobib ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Tagajärg: Kui funktsioon y = f (x) on pidev lõigust [ a ; b ] , siis on olemas selline arv c ∈ a ; b , mis rahuldab võrdsust ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

Keskmine keskmise väärtuse esimene valem üldistatud kujul

Definitsioon 11

Kui funktsioonid y = f (x) ja y = g (x) on lõigust [ a ; b ] kus m = m i n x ∈ a ; b f (x) ja M = m a x x ∈ a ; b f (x) ja g (x) > 0 iga x ∈ a väärtuse korral; b. Seega on olemas arv μ ∈ m ; M , mis rahuldab võrdsust ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Teine keskmise väärtuse valem

Definitsioon 12

Kui funktsioon y = f (x) on lõigust [ a ; b ] , ja y = g (x) on monotoonne, siis on arv, mis c ∈ a ; b , kus saame õiglase võrdsuse kujul ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Antiderivatiivne funktsioon ja määramatu integraal

Fakt 1. Integreerimine on diferentseerimise vastand, nimelt funktsiooni taastamine selle funktsiooni teadaolevast tuletisest. Funktsioon taastati sel viisil F(x) kutsutakse primitiivne funktsiooni jaoks f(x).

Definitsioon 1. Funktsioon F(x f(x) teatud intervalliga X, kui kõigi väärtuste puhul x sellest intervallist võrdsus F "(x)=f(x), see tähendab seda funktsiooni f(x) on antiderivatiivse funktsiooni tuletis F(x). .

Näiteks funktsioon F(x) = patt x on funktsiooni antiderivaat f(x) = cos x tervel arvureal, kuna mis tahes x väärtuse korral (patt x)" = (cos x) .

Definitsioon 2. Funktsiooni määramatu integraal f(x) on kõigi selle antiderivaatide kogu. See kasutab tähistust

∫

f(x)dx

,

kus on märk ∫ nimetatakse integraalmärgiks, funktsiooniks f(x) on integrand ja f(x)dx on integrand.

Seega, kui F(x) on mingi antiderivaat f(x), See

∫

f(x)dx = F(x) +C

Kus C - suvaline konstant (konstant).

Funktsiooni antiderivaatide hulga tähenduse mõistmiseks määramata integraalina on sobiv järgmine analoogia. Olgu uks (traditsiooniline puituks). Selle funktsioon on "olla uks". Millest uks tehtud on? Puult. See tähendab, et integrandi "olla uks" antiderivaatide hulk, see tähendab selle määramatu integraal, on funktsioon "olla puu + C", kus C on konstant, mis antud kontekstis võib tähistada näiteks puuliiki. Nii nagu uks valmistatakse mõne tööriistaga puidust, "tehakse" funktsiooni tuletis antiderivatiivsest funktsioonist valem, mille õppisime tuletist uurides .

Siis on tavaliste objektide ja neile vastavate primitiivide funktsioonide tabel ("olla uks" - "olla puu", "olla lusikas" - "olla metall" jne) sarnane põhiliste määramatute integraalide tabeliga, mis antakse allpool. Määramatute integraalide tabelis on toodud levinud funktsioonid, näidates ära antiderivaadid, millest need funktsioonid on "valmistatud". Määramata integraali leidmise probleemide osana on antud sellised integrandid, mida saab integreerida otse ilma erilise pingutuseta ehk määramata integraalide tabeli järgi. Keerulisemate ülesannete puhul tuleb integrand esmalt teisendada, et saaks kasutada tabeliintegraale.

Fakt 2. Funktsiooni taastamisel antiderivatiivina peame arvestama suvalise konstandiga (konstandiga) C ja selleks, et mitte kirjutada antiderivaatide loendit erinevate konstantidega 1 kuni lõpmatuseni, peate üles kirjutama antiderivaatide komplekti suvalise konstandiga C, niimoodi: 5 x³+C. Niisiis, antiderivaati avaldisesse kaasatakse suvaline konstant (konstant), kuna antiderivaat võib olla funktsioon, näiteks 5 x³+4 või 5 x³+3 ja 4 või 3 või muu konstant eristamisel kaob.

Seadistame integratsiooniprobleemi: antud funktsiooni jaoks f(x) leida selline funktsioon F(x), mille tuletis on võrdne f(x).

Näide 1 Leia funktsiooni antiderivaatide hulk

Lahendus. Selle funktsiooni jaoks on funktsioon antiderivaat

Funktsioon F(x) nimetatakse funktsiooni antiderivatiiviks f(x), kui tuletis F(x) on võrdne f(x), või diferentsiaal, mis on sama asi F(x) on võrdne f(x) dx, st.

(2)

Seetõttu on funktsioon funktsiooni jaoks antiderivatiiv. Kuid see pole ainus antiderivaat. Need on ka funktsioonid

Kus KOOS on suvaline konstant. Seda saab kontrollida diferentseerimisega.

Seega, kui funktsiooni jaoks on üks antiderivatiiv, siis selle jaoks on olemas lõpmatu hulk antituletisi, mis erinevad konstantse liitmise võrra. Kõik funktsiooni antiderivaadid on kirjutatud ülaltoodud kujul. See tuleneb järgmisest teoreemist.

Teoreem (formaalne faktiväide 2). Kui F(x) on funktsiooni antiderivaat f(x) teatud intervalliga X, siis mis tahes muu antiderivaat jaoks f(x) samal intervallil saab esitada kui F(x) + C, Kus KOOS on suvaline konstant.

Järgmises näites pöördume juba integraalide tabeli poole, mis esitatakse lõikes 3, määramata integraali omaduste järel. Teeme seda enne kogu tabeliga tutvumist, et ülaltoodu olemus oleks selge. Ja pärast tabelit ja atribuute kasutame neid integreerimisel tervikuna.

Näide 2 Leidke antiderivaatide komplektid:

Lahendus. Leiame antiderivatiivsete funktsioonide komplekte, millest need funktsioonid on "valmistatud". Integraalide tabelist valemeid mainides nõustuge praegu lihtsalt sellega, et sellised valemid on olemas, ja uurime ebamääraste integraalide tabelit täies mahus veidi edasi.

1) Valemi (7) rakendamine integraalide tabelist for n= 3, saame

2) Kasutades integraalide tabelist valemit (10). n= 1/3, meil on

3) Alates

siis valemi (7) järgi at n= -1/4 leid

Integraalmärgi alla nad funktsiooni ennast ei kirjuta f ja selle korrutis diferentsiaali järgi dx. Seda tehakse peamiselt selleks, et näidata, millist muutujat antiderivaati otsitakse. Näiteks,

, ;

siin on mõlemal juhul integrand võrdne , kuid selle määramatud integraalid osutuvad vaadeldavatel juhtudel erinevateks. Esimesel juhul käsitletakse seda funktsiooni muutuja funktsioonina x, ja teises - funktsioonina z .

Funktsiooni määramatu integraali leidmise protsessi nimetatakse selle funktsiooni integreerimiseks.

Määramatu integraali geomeetriline tähendus

Olgu kõvera leidmine nõutav y=F(x) ja me juba teame, et puutuja kalde puutuja igas selle punktis on antud funktsioon f(x) selle punkti abstsiss.

Vastavalt tuletise geomeetrilisele tähendusele puutuja kalde puutuja antud kõvera punktis y=F(x) võrdne tuletise väärtusega F"(x). Niisiis, me peame leidma sellise funktsiooni F(x), mille jaoks F"(x)=f(x). Ülesandes nõutav funktsioon F(x) on tuletatud f(x). Probleemi tingimust ei rahulda mitte üks kõver, vaid kõverate perekond. y=F(x)- üks neist kõveratest ja mis tahes muu kõvera saab sellest saada paralleeltõlke teel piki telge Oy.

Nimetame antiderivatiivse funktsiooni graafikut f(x) integraalkõver. Kui F"(x)=f(x), siis funktsiooni graafik y=F(x) on integraalkõver.

Fakt 3. Määramatu integraal on geomeetriliselt esindatud kõigi integraalikõverate perekonnaga nagu alloleval pildil. Iga kõvera kaugus lähtepunktist määratakse suvalise integratsioonikonstandi (konstandi) abil C.

Määramata integraali omadused

Fakt 4. Teoreem 1. Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga ja diferentsiaal on võrdne integrandiga.

Fakt 5. Teoreem 2. Funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal f(x) on võrdne funktsiooniga f(x) kuni konstantse tähtajani , st.

(3)

Teoreemid 1 ja 2 näitavad, et diferentseerimine ja integreerimine on vastastikku pöördtehted.

Fakt 6. Teoreem 3. Integrandi konstantse teguri saab välja võtta määramata integraali märgist , st.

Neid omadusi kasutatakse integraali teisenduste läbiviimiseks, et viia see ühte elementaarintegraalidest ja edasiseks arvutamiseks.

1. Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga:

2. Määramatu integraali diferentsiaal on võrdne integrandiga:

3. Mõne funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga:

4. Integraalimärgist saab välja võtta konstantse teguri:

Lisaks a ≠ 0

5. Summa (vahe) integraal on võrdne integraalide summaga (vahega):

6. Atribuut on atribuutide 4 ja 5 kombinatsioon:

Veelgi enam, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Määramatu integraali muutumatus:

Kui siis

8. Kinnisvara:

Kui siis

Tegelikult on see omadus muutuja muutmise meetodil integreerimise erijuhtum, millest räägitakse üksikasjalikumalt järgmises jaotises.

Kaaluge näidet:

Kõigepealt rakendasime omadust 5, seejärel omadust 4, seejärel kasutasime antiderivatiivide tabelit ja saime tulemuse.

Meie veebipõhise integraalikalkulaatori algoritm toetab kõiki ülaltoodud omadusi ja leiab hõlpsalt teie integraalile üksikasjaliku lahenduse.

Neid omadusi kasutatakse integraali teisenduste läbiviimiseks, et viia see ühte elementaarintegraalidest ja edasiseks arvutamiseks.

1. Määramatu integraali tuletis on võrdne integrandiga:

2. Määramatu integraali diferentsiaal on võrdne integrandiga:

3. Mõne funktsiooni diferentsiaali määramatu integraal on võrdne selle funktsiooni ja suvalise konstandi summaga:

4. Integraalimärgist saab välja võtta konstantse teguri:

Lisaks a ≠ 0

5. Summa (vahe) integraal on võrdne integraalide summaga (vahega):

6. Atribuut on atribuutide 4 ja 5 kombinatsioon:

Veelgi enam, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Määramatu integraali muutumatus:

Kui siis

8. Kinnisvara:

Kui siis

Tegelikult on see omadus muutuja muutmise meetodil integreerimise erijuhtum, millest räägitakse üksikasjalikumalt järgmises jaotises.

Kaaluge näidet:

Kõigepealt rakendasime omadust 5, seejärel omadust 4, seejärel kasutasime antiderivatiivide tabelit ja saime tulemuse.

Meie veebipõhise integraalikalkulaatori algoritm toetab kõiki ülaltoodud omadusi ja leiab hõlpsalt teie integraalile üksikasjaliku lahenduse.