Definitsioon. Prisma- see on hulktahukas, mille kõik tipud asuvad kahel paralleelsel tasapinnal ja samal kahel tasapinnal on prisma kaks tahku, mis on vastavalt võrdsed hulknurgad paralleelsed küljed, ja kõik servad, mis neil tasapindadel ei asu, on paralleelsed.

Kutsutakse kahte võrdset nägu prisma alused(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Kõiki teisi prisma tahke nimetatakse külgmised näod(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Kõik külgmised näod moodustuvad prisma külgpind .

Prisma kõik külgpinnad on rööpkülikukujulised .

Servad, mis ei asu alustel, nimetatakse prisma külgservadeks ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prisma diagonaal nimetatakse lõiku, mille otsteks on prisma kaks tippu, mis ei asu selle ühel küljel (AD 1).

Prisma aluseid ühendava ja mõlema põhjaga korraga risti oleva lõigu pikkus on nn. prisma kõrgus .

Määramine:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kõigepealt märgitakse möödasõidu järjekorras ühe aluse tipud ja seejärel samas järjekorras teise tipud; iga külgserva otsad on tähistatud samade tähtedega, ainult tipud asuvad üks alus on tähistatud tähtedega ilma indeksita ja teine ​​- indeksiga)

Prisma nimetus on seotud nurkade arvuga joonisel, mis asub selle aluses, näiteks joonisel 1 on alus viisnurk, mistõttu prisma nn. viisnurkne prisma. Aga kuna sellisel prismal on 7 tahku, siis see seitsmeeeder(2 tahku on prisma alused, 5 tahku on rööpkülikukujulised, on selle külgpinnad)

Sirgete prismade seas paistab silma konkreetne tüüp: tavalised prismad.

Sirget prismat nimetatakse õige, kui selle alused on korrapärased hulknurgad.

Parallelepiped

risttahukas- parempoolne rööptahukas, mille põhi on ristkülik.

Omadused ja teoreemid:

,

kus d on ruudu diagonaal;
a - ruudu külg.

Prisma idee annab:

• mitmesugused arhitektuurilised struktuurid;
• Laste mänguasjad;
• pakkimiskastid;
• disainesemed jne.

Prisma kogu- ja külgpindala

S täis \u003d S pool + 2S põhi,

Kus S täis- kogupindala, S pool- külgpindala, S peamine- baaspindala

Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne aluse perimeetri ja prisma kõrguse korrutisega.

S pool\u003d P peamine * h,

Kus S pool on sirge prisma külgpinna pindala,

P main - sirge prisma aluse ümbermõõt,

h on sirge prisma kõrgus, mis on võrdne külgservaga.

Prisma maht

Prisma ruumala on võrdne aluse pindala ja kõrguse korrutisega.

Videokursus "Saa A" sisaldab kõiki edukaks tegemiseks vajalikke teemasid eksami sooritamine matemaatikas 60-65 punkti. Täiesti kõik ülesanded 1-13 profiilieksam matemaatika. Sobib ka matemaatika Basic USE läbimiseks. Kui soovid sooritada eksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!

Ettevalmistuskursus eksamiks 10-11 klassidele, samuti õpetajatele. Kõik vajalik matemaatika eksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei sajapalline tudeng ega humanist.

Kogu vajalik teooria. Kiired viisid eksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik 1. osa asjakohased ülesanded FIPI ülesannete pangast on analüüsitud. Kursus vastab täielikult USE-2018 nõuetele.

Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.

Sajad eksamiülesanded. Tekstülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad probleemide lahendamise algoritmid. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi USE ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, arendus ruumiline kujutlusvõime. Trigonomeetria nullist – ülesandeni 13. Tuupimise asemel mõistmine. Keeruliste mõistete visuaalne selgitus. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Lahenduse alus väljakutseid pakkuvad ülesanded Eksami 2 osa.

Polyhedra

Stereomeetria peamine uurimisobjekt on kolmemõõtmelised kehad. Keha on mingi pinnaga piiratud ruumiosa.

hulktahukas Keha, mille pind koosneb lõplikust arvust tasapinnalistest hulknurkadest, nimetatakse. Hulktahukat nimetatakse kumeraks, kui see asub oma pinnal oleva iga tasapinnalise hulknurga tasapinna ühel küljel. Sellise tasandi ja hulktahuka pinna ühisosa nimetatakse serv. Kumera hulktahuka tahud on lamedad kumerad hulknurgad. Nägude külgi nimetatakse hulktahuka servad, ja tipud hulktahuka tipud.

Näiteks kuubik koosneb kuuest ruudust, mis on selle tahud. See sisaldab 12 serva (ruutude külgi) ja 8 tippu (ruutude tippe).

Lihtsamad hulktahukad on prismad ja püramiidid, mida uurime edasi.

Prisma

Prisma definitsioon ja omadused

prisma nimetatakse hulktahukaks, mis koosneb kahest paralleeltasandil paiknevast tasapinnalisest hulknurgast, mis on kombineeritud paralleeltranslatsiooni teel, ja kõigist nende hulknurkade vastavaid punkte ühendavatest segmentidest. Hulknurki nimetatakse prisma alused, ja hulknurkade vastavaid tippe ühendavad segmendid on prisma külgmised servad.

Prisma kõrgus nimetatakse kauguseks selle aluste tasapindade vahel (). Nimetatakse lõiku, mis ühendab prisma kahte tippu, mis ei kuulu samasse tahku prisma diagonaal(). Prismat nimetatakse n-kivisüsi kui selle alus on n-nurk.

Igal prismal on järgmised omadused, mis tulenevad sellest, et prisma alused ühendatakse paralleeltõlkega:

1. Prisma alused on võrdsed.

2. Prisma külgmised servad on paralleelsed ja võrdsed.

Prisma pind koosneb alustest ja külgmine pind. Prisma külgpind koosneb rööpkülikutest (see tuleneb prisma omadustest). Prisma külgpinna pindala on külgpindade pindalade summa.

sirge prisma

Prismat nimetatakse sirge kui selle külgmised servad on alustega risti. Vastasel juhul nimetatakse prismat kaldus.

Sirge prisma küljed on ristkülikud. Sirge prisma kõrgus on võrdne selle külgpindadega.

täisprisma pind on külgpinna ja aluste pindalade summa.

Õige prisma nimetatakse sirgeks prismaks korrapärane hulknurk baasis.

Teoreem 13.1. Sirge prisma külgpinna pindala on võrdne prisma perimeetri ja kõrguse korrutisega (või samaväärselt külgservaga).

Tõestus. Sirge prisma külgpinnad on ristkülikud, mille alused on prisma aluste hulknurkade küljed ja kõrgused on prisma külgmised servad. Siis definitsiooni järgi on külgpindala:

,

kus on sirge prisma aluse ümbermõõt.

Parallelepiped

Kui rööpkülikud asuvad prisma alustel, siis nimetatakse seda rööptahukas. Rööptahuka kõik tahud on rööpkülikukujulised. Sel juhul on rööptahuka vastasküljed paralleelsed ja võrdsed.

Teoreem 13.2. Rööptahuka diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja lõikepunkt jagatakse pooleks.

Tõestus. Mõelge näiteks kahele suvalisele diagonaalile ja . Sest rööptahuka tahud on rööptahukad, siis ja , mis tähendab, et vastavalt T-le umbes kaks sirget, mis on paralleelsed kolmandaga . Lisaks tähendab see, et jooned ja asuvad samal tasapinnal (tasapinnal). See tasapind lõikab paralleelseid tasapindu ja mööda paralleelseid jooni ja . Seega on nelinurk rööpkülik ja rööpküliku omaduse järgi lõikuvad selle diagonaalid ja lõikepunkt pooleks, mida tuli tõestada.

Nimetatakse parempoolset rööptahukat, mille alus on ristkülik risttahukas. Kõik risttahuka küljed on ristkülikud. Ristkülikukujulise rööptahuka mitteparalleelsete servade pikkusi nimetatakse selle lineaarseteks mõõtmeteks (mõõtmisteks). Seal on kolm suurust (laius, kõrgus, pikkus).

Teoreem 13.3. Ruutkujulises diagonaalis võrdub iga diagonaali ruut selle kolme mõõtme ruutude summaga (tõestatud Pythagorase T kahekordse rakendamisega).

Nimetatakse ristkülikukujulist rööptahukat, mille kõik servad on võrdsed kuubik.

Ülesanded

13.1 Mitu diagonaali teeb n- süsinikuprisma

13.2 Kaldkujulises kolmnurkprismas on külgservade vahelised kaugused 37, 13 ja 40. Leia kaugus suurema külgpinna ja vastaskülje serva vahel.

13.3 Läbi korrapärase kolmnurkse prisma alumise aluse külje tõmmatakse tasapind, mis lõikub külgpindadega mööda segmente, mille vaheline nurk on . Leidke selle tasandi kaldenurk prisma aluse suhtes.

Tahke geomeetria kursuse kooli õppekavas alustatakse kolmemõõtmeliste kujundite uurimist tavaliselt lihtsa geomeetrilise kehaga - prisma hulktahukast. Selle aluste rolli täidavad 2 võrdset hulknurka, mis asuvad paralleelsel tasapinnal. Erijuhtum on tavaline nelinurkne prisma. Selle alused on 2 identset korrapärast nelinurka, mille küljed on risti ja millel on rööpküliku kuju (või ristkülikukujuline, kui prisma ei ole kaldu).

Kuidas prisma välja näeb

Tavaline nelinurkne prisma on kuusnurk, mille põhjas on 2 ruutu ja külgpinnad on kujutatud ristkülikutega. Teine nimi sellele geomeetriline kujund- sirge rööptahukas.

Allpool on näidatud nelinurkse prisma joonis.

Pildil ka näha kõige olulisemad elemendid, mis moodustavad geomeetrilise keha. Neid nimetatakse tavaliselt:

Mõnikord leiate geomeetria probleemidest lõigu mõiste. Määratlus kõlab järgmiselt: lõik on kõik mahulise keha punktid, mis kuuluvad lõiketasandisse. Lõige on risti (ristib joonise servi 90 kraadise nurga all). Ristkülikukujulise prisma puhul arvestatakse ka diagonaallõiget (maksimaalne ehitatavate sektsioonide arv on 2), mis läbib 2 serva ja aluse diagonaale.

Kui lõige on joonistatud nii, et lõiketasand ei ole paralleelne ei aluste ega külgpindadega, on tulemuseks kärbitud prisma.

Redutseeritud prismaelementide leidmiseks kasutatakse erinevaid suhteid ja valemeid. Mõned neist on teada planimeetria käigus (näiteks prisma aluse pindala leidmiseks piisab, kui meenutada ruudu pindala valemit).

Pindala ja maht

Prisma ruumala määramiseks valemi abil peate teadma selle aluse ja kõrguse pindala:

V = Sprim h

Kuna tavalise tetraeedrilise prisma alus on küljega ruut a, Valemi saate kirjutada täpsemal kujul:

V = a² h

Kui me räägime kuubist - tavaline prisma koos võrdse pikkusega, laius ja kõrgus, arvutatakse maht järgmiselt:

Prisma külgpinna leidmise mõistmiseks peate ette kujutama selle pühkimist.

Jooniselt on näha, et külgpind koosneb 4 võrdsest ristkülikust. Selle pindala arvutatakse aluse perimeetri ja joonise kõrguse korrutisena:

Sside = Pos h

Kuna ruudu ümbermõõt on P = 4a, valem on järgmisel kujul:

Sside = 4a h

Kuubiku jaoks:

Sside = 4a²

Prisma kogupindala arvutamiseks lisage külgpinnale 2 aluspinda:

Täis = Sside + 2Sbase

Nelinurkse korrapärase prisma puhul on valem järgmine:

Täis = 4a h + 2a²

Kuubi pindala jaoks:

Täis = 6a²

Teades ruumala või pindala, saate arvutada geomeetrilise keha üksikud elemendid.

Prisma elementide leidmine

Sageli esineb probleeme, mille puhul on antud maht või teada külgpinna väärtus, kus on vaja määrata aluse külje pikkus või kõrgus. Sellistel juhtudel saab tuletada valemeid:

• põhja külje pikkus: a = Sside / 4h = √(V / h);
• kõrgus või külgribi pikkus: h = külg / 4a = V / a²;
• baaspindala: Sprim = V / h;
• külgne näopiirkond: Külg gr = külg / 4.

Diagonaallõike pindala määramiseks peate teadma diagonaali pikkust ja joonise kõrgust. Ruudu jaoks d = a√2. Seetõttu:

Sdiag = ah√2

Prisma diagonaali arvutamiseks kasutatakse valemit:

dprize = √(2a² + h²)

Et mõista, kuidas ülaltoodud suhteid rakendada, võite harjutada ja lahendada mõned lihtsad ülesanded.

Näited probleemidest koos lahendustega

Siin on mõned matemaatika riigilõpueksamitel ilmuvad ülesanded.

1. harjutus.

Liiv valatakse tavalise nelinurkse prisma kujuga kasti. Selle nivoo kõrgus on 10 cm.Mis on liiva tase, kui viia see sama kujuga, kuid 2 korda pikema põhjapikkusega anumasse?

Seda tuleks argumenteerida järgmiselt. Liiva kogus esimeses ja teises konteineris ei muutunud, st selle maht neis on sama. Aluse pikkuse saate määratleda kui a. Sel juhul on esimese kasti aine maht:

V₁ = ha² = 10a²

Teise kasti puhul on aluse pikkus 2a, kuid liivataseme kõrgus pole teada:

V₂ = h(2a)² = 4ha²

Kuna V1 = V2, võib väljendeid võrdsustada:

10a² = 4ha²

Pärast võrrandi mõlema poole vähendamist a² võrra saame:

Selle tulemusena saab uus liivatase h = 10/4 = 2,5 cm.

2. ülesanne.

ABCDA₁B₁C₁D₁ on tavaline prisma. On teada, et BD = AB₁ = 6√2. Leidke keha kogupindala.

Et oleks lihtsam mõista, millised elemendid on teada, võite joonistada joonise.

Kuna me räägime tavalisest prismast, siis võib järeldada, et alus on ruut diagonaaliga 6√2. Külgpinna diagonaalil on sama väärtus, seetõttu külgne nägu on ka ruudu kuju, mis on võrdne alusega. Selgub, et kõik kolm mõõdet – pikkus, laius ja kõrgus – on võrdsed. Võime järeldada, et ABCDA₁B₁C₁D₁ on kuubik.

Mis tahes serva pikkus määratakse teadaoleva diagonaali kaudu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Kogupindala leitakse kuubi valemiga:

Täis = 6a² = 6 6² = 216

3. ülesanne.

Ruum on renoveerimisel. On teada, et selle põrand on ruudu kujuga, mille pindala on 9 m². Ruumi kõrgus on 2,5 m Mis on madalaim hind ruumi tapetseerimiseks, kui 1 m² maksab 50 rubla?

Kuna põrand ja lagi on ruudukujulised, see tähendab korrapärased nelinurgad ja selle seinad on horisontaalsete pindadega risti, võime järeldada, et tegemist on korrapärase prismaga. On vaja kindlaks määrata selle külgpinna pindala.

Ruumi pikkus on a = √9 = 3 m.

Väljak kaetakse tapeediga Külg = 4 3 2,5 = 30 m².

Selle ruumi tapeedi madalaim hind on 50 30 = 1500 rubla.

Seega piisab ristkülikukujulise prisma ülesannete lahendamiseks ruudu ja ristküliku pindala ja ümbermõõdu arvutamise oskusest, samuti ruumala ja pindala leidmise valemite tundmisest.

Kuidas leida kuubi pindala