4. ülesanne.

Rööpküliku pikkusega 4√6 üks diagonaalidest moodustab alusega 60° nurga ja teine ​​diagonaal moodustab sama alusega 45° nurga. Leidke teine ​​diagonaal.

Lahendus.

1. AO = 2√6.

2. Rakenda siinuse teoreem kolmnurgale AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Vastus: 12.

5. ülesanne.

Rööpküliku külgedega 5√2 ja 7√2 on väiksem nurk diagonaalide vahel võrdne rööpküliku väiksema nurgaga. Leidke diagonaalide pikkuste summa.

Lahendus.

Olgu d 1, d 2 rööpküliku diagonaalid ning diagonaalide ja rööpküliku väiksema nurga vaheline nurk on φ.

1. Loendame kaks erinevat
selle piirkonna viise.

S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f,

S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f.

Saame võrrandi 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f või

2 5√2 7√2 = d 1 d 2;

2. Kasutades rööpküliku külgede ja diagonaalide vahelist suhet, kirjutame võrdsuse

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2 .

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Koostame süsteemi:

(p 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Korrutage süsteemi teine ​​võrrand 2-ga ja lisage see esimesele.

Saame (d 1 + d 2) 2 = 576. Seega Id 1 + d 2 I = 24.

Kuna d 1, d 2 on rööpküliku diagonaalide pikkused, siis d 1 + d 2 = 24.

Vastus: 24.

6. ülesanne.

Rööpküliku küljed on 4 ja 6. Diagonaalide vaheline teravnurk on 45 o. Leidke rööpküliku pindala.

Lahendus.

1. Kolmnurgast AOB kirjutame koosinusteoreemi kasutades üles seose rööpküliku külje ja diagonaalide vahel.

AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB.

4 2 \u003d (p 1/2) 2 + (d 2/2) 2-2 (d 1/2) (d 2/2) cos 45 o;

d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64.

2. Samamoodi kirjutame seose kolmnurga AOD jaoks.

Me arvestame sellega<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Saame võrrandi d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

3. Meil ​​on süsteem
(p 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(p 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144.

Lahutades teisest võrrandist esimese, saame 2d 1 d 2 √2 = 80 või

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10.

Märge: Selles ja eelmises ülesandes ei ole vaja süsteemi täielikult lahendada, kuna selles ülesandes on pindala arvutamiseks vaja diagonaalide korrutist.

Vastus: 10.

Ülesanne 7.

Rööpküliku pindala on 96 ja selle küljed on 8 ja 15. Leidke väiksema diagonaali ruut.

Lahendus.

1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Teeme valemis asendus.

Saame 96 = 8 15 sin VAD. Seega patt VAD = 4/5.

2. Leia cos BAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 HALB = 1. cos 2 HALB = 9/25.

Vastavalt ülesande seisukorrale leiame väiksema diagonaali pikkuse. Diagonaal BD on väiksem, kui nurk BAD on terav. Siis HALB = 3/5.

3. Kolmnurgast ABD koosinusteoreemi kasutades leiame diagonaali BD ruudu.

BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD cos BAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145.

Vastus: 145.

Kas teil on küsimusi? Kas te ei tea, kuidas geomeetriaprobleemi lahendada?
Juhendaja abi saamiseks - registreeru.
Esimene tund on tasuta!

saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.

Paralleelogramm on nelinurk, mille küljed on paarikaupa paralleelsed.

Sellel joonisel on vastasküljed ja nurgad üksteisega võrdsed. Rööpküliku diagonaalid lõikuvad ühes punktis ja poolitavad selle. Parallelogrammi ala valemid võimaldavad leida väärtusi külgede, kõrguse ja diagonaalide kaudu. Rööpkülikut saab esitada ka erijuhtudel. Neid peetakse ristkülikuks, ruuduks ja rombiks.
Esiteks vaatleme näidet rööpküliku pindala arvutamisest kõrguse ja selle külje järgi, kuhu see on langetatud.

Seda juhtumit peetakse klassikaliseks ja see ei vaja täiendavat uurimist. Parem on kaaluda kahe külje pindala ja nendevahelise nurga arvutamise valemit. Arvutamisel kasutatakse sama meetodit. Kui on antud küljed ja nendevaheline nurk, arvutatakse pindala järgmiselt:

Oletame, et meile on antud rööpkülik külgedega a = 4 cm, b = 6 cm. Nende vaheline nurk on α = 30°. Leiame piirkonna:

Rööpküliku pindala diagonaalides

Rööpküliku pindala valem diagonaalides võimaldab teil väärtuse kiiresti leida.
Arvutuste tegemiseks vajate diagonaalide vahel asuva nurga väärtust.

Vaatleme näidet rööpküliku pindala arvutamisest läbi diagonaalide. Olgu antud rööpkülik diagonaalidega D = 7 cm, d = 5 cm, mille vaheline nurk on α = 30°. Asendage andmed valemis:

Näide rööpküliku pindala arvutamisest läbi diagonaali andis meile suurepärase tulemuse - 8,75.

Teades rööpküliku pindala valemit diagonaalis, saate lahendada palju huvitavaid probleeme. Vaatame ühte neist.

Ülesanne: Antud rööpkülik pindalaga 92 ruutmeetrit. vaata punkt F asub selle külje BC keskel. Leiame trapetsi ADFB pindala, mis asub meie rööpkülikul. Alustuseks joonistame kõik, mis saime vastavalt tingimustele.
Läheme lahenduseni:

Meie tingimuste kohaselt on ah \u003d 92 ja vastavalt sellele on meie trapetsi pindala võrdne

Enne rööpküliku pindala leidmise õppimist peame meeles pidama, mis on rööpkülik ja mida nimetatakse selle kõrguseks. Rööpkülik on nelinurk, mille vastasküljed on paarikaupa paralleelsed (asuvad paralleelsel sirgel). Rist, mis on tõmmatud seda külge sisaldava sirge vastaskülje suvalisest punktist, nimetatakse rööpküliku kõrguseks.

Ruut, ristkülik ja romb on rööpküliku erijuhud.

Rööpküliku pindala on tähistatud kui (S).

Valemid rööpküliku pindala leidmiseks

S=a*h, kus a on alus, h on aluse külge tõmmatud kõrgus.

S=a*b*sinα, kus a ja b on alused ning α on aluste a ja b vaheline nurk.

S \u003d p * r, kus p on poolperimeeter, r on rööpkülikule kantud ringi raadius.

Vektorite a ja b moodustatud rööpküliku pindala on võrdne antud vektorite korrutise mooduliga, nimelt:

Vaatleme näidet nr 1: Antud on rööpkülik, mille külg on 7 cm ja kõrgus 3 cm. Kuidas leida rööpküliku pindala, vajame lahendamiseks valemit.

Seega S = 7x3. S = 21. Vastus: 21 cm 2.

Vaatleme näidet nr 2: alused on 6 ja 7 cm ning aluste vaheline nurk on 60 kraadi. Kuidas leida rööpküliku pindala? Lahenduseks kasutatav valem:

Seega leiame kõigepealt nurga siinuse. Siinus 60 \u003d 0,5, vastavalt S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Vastus: 21 cm 2.

Loodan, et need näited aitavad teil probleeme lahendada. Ja pidage meeles, peamine on valemite tundmine ja tähelepanelikkus

Paralleelogrammi ala

1. teoreem

Rööpküliku pindala on defineeritud kui selle külje pikkuse korrutis sellele tõmmatud kõrgusega.

kus $a$ on rööpküliku külg, $h$ on selle külje kõrgus.

Tõestus.

Olgu meile antud rööpkülik $ABCD$ $AD=BC=a$. Joonistame kõrgused $DF$ ja $AE$ (joonis 1).

Pilt 1.

On ilmne, et arv $FDAE$ on ristkülik.

\[\angle BAE=(90)^0-\nurk A,\ \] \[\angle CDF=\nurk D-(90)^0=(180)^0-\nurk A-(90)^0 =(90)^0-\angle A=\angle BAE\]

Seega, kuna $CD=AB,\ DF=AE=h$, $\kolmnurk BAE=\kolmnurk CDF$, siis $I$ võrra kolmnurga võrdsuse test. Siis

Nii et vastavalt ristküliku pindala teoreemile:

Teoreem on tõestatud.

2. teoreem

Rööpküliku pindala on määratletud kui selle külgnevate külgede pikkuse korrutis nende külgede vahelise nurga siinusega.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a,\b$ on rööpküliku küljed, $\alpha $ on nendevaheline nurk.

Tõestus.

Olgu meile antud rööpkülik $ABCD$, mille $BC=a,\ CD=b,\ \angle C=\alpha $. Joonistage kõrgus $DF=h$ (joonis 2).

Joonis 2.

Siinuse definitsiooni järgi saame

Seega

Seega, teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

Kolmnurga pindala

3. teoreem

Kolmnurga pindala on defineeritud kui pool selle külje pikkuse ja sellele tõmmatud kõrguse korrutisest.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a$ on kolmnurga külg, $h$ on selle külje kõrgus.

Tõestus.

Joonis 3

Nii et teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

4. teoreem

Kolmnurga pindala on defineeritud kui pool selle külgnevate külgede pikkuse korrutisest nende külgede vahelise nurga siinus.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

kus $a,\b$ on kolmnurga küljed, $\alpha $ on nendevaheline nurk.

Tõestus.

Olgu meile antud kolmnurk $ABC$, mille $AB=a$. Joonistage kõrgus $CH=h$. Ehitame selle kuni rööpkülikuni $ABCD$ (joonis 3).

Ilmselgelt $\triangle ACB=\kolmnurk CDB$ $I$ võrra. Siis

Nii et teoreemi $1$ järgi:

Teoreem on tõestatud.

Trapetsi piirkond

5. teoreem

Trapetsi pindala on defineeritud kui pool selle aluste pikkuste korrutisest selle kõrgusega.

Matemaatiliselt saab selle kirjutada järgmiselt

Tõestus.

Olgu meile antud trapets $ABCK$, kus $AK=a,\ BC=b$. Joonistame sellesse kõrgused $BM=h$ ja $KP=h$ ning diagonaali $BK$ (joonis 4).

Joonis 4

Teoreemi järgi $3$ saame

Teoreem on tõestatud.

Ülesande näide

Näide 1

Leidke võrdkülgse kolmnurga pindala, kui selle külje pikkus on $a.$

Lahendus.

Kuna kolmnurk on võrdkülgne, on kõik selle nurgad võrdsed $(60)^0$.

Siis on meil teoreemi $4$ järgi

Vastus:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Pange tähele, et selle ülesande tulemust saab kasutada mis tahes antud küljega võrdkülgse kolmnurga pindala leidmiseks.

Geomeetriline ala- geomeetrilise kujundi arvtunnus, mis näitab selle kujundi suurust (pinnaosa, mida piirab selle kujundi suletud kontuur). Pindala suurust väljendatakse selles sisalduvate ruutühikute arvuga.

Kolmnurga pindala valemid

1. Kolmnurga pindala valem külje ja kõrguse jaoks
   Kolmnurga pindala võrdne poolega kolmnurga külje pikkuse ja sellele küljele tõmmatud kõrguse pikkusest
   
2. Kolmnurga pindala valem, millel on kolm külge ja piiritletud ringi raadius
   
3. Kolmnurga pindala valem, millel on kolm külge ja sisse kirjutatud ringi raadius
   Kolmnurga pindala on võrdne kolmnurga poolperimeetri ja sisse kirjutatud ringi raadiuse korrutisega.
   
kus S on kolmnurga pindala,
- kolmnurga külgede pikkused,
- kolmnurga kõrgus,
- nurk külgede ja
- sisse kirjutatud ringi raadius,
R - piiritletud ringi raadius,

Ruutpinna valemid

1. Ruudu pindala valem, võttes arvesse külje pikkust
   ruudu pindala on võrdne selle külje pikkuse ruuduga.
2. Ruudu pindala valem, arvestades diagonaali pikkust
   ruudu pindala võrdne poolega selle diagonaali pikkuse ruudust.
   

   S=	1	2
   	2

kus S on ruudu pindala,
on ruudu külje pikkus,
on ruudu diagonaali pikkus.

Ristküliku pindala valem

Ristküliku ala on võrdne selle kahe külgneva külje pikkuste korrutisega

kus S on ristküliku pindala,
on ristküliku külgede pikkused.

Rööpküliku pindala valemid

1. Paralleelogrammi pindala valem külje pikkuse ja kõrguse jaoks
   Paralleelogrammi ala
2. Rööpküliku pindala valem, millel on kaks külge ja nendevaheline nurk
   Paralleelogrammi ala võrdub selle külgede pikkuste korrutisega nendevahelise nurga siinusega.
   

   a b sinα

kus S on rööpküliku pindala,
on rööpküliku külgede pikkused,
on rööpküliku kõrgus,
on rööpküliku külgede vaheline nurk.

Rombi pindala valemid

1. Rombi pindala valem antud külje pikkuse ja kõrgusega
   Rombi piirkond on võrdne selle külje pikkuse ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisega.
2. Rombi pindala valem, võttes arvesse külje pikkust ja nurka
   Rombi piirkond on võrdne tema külje pikkuse ruudu ja rombi külgede vahelise nurga siinuse korrutisega.
3. Rombi pindala valem selle diagonaalide pikkustest
   Rombi piirkond on võrdne poolega tema diagonaalide pikkuste korrutisest.
kus S on rombi pindala,
- rombi külje pikkus,
- rombi kõrguse pikkus,
- rombi külgede vaheline nurk,
1, 2 - diagonaalide pikkused.

Trapetsi pindala valemid

1. Heroni valem trapetsi jaoks

   kus S on trapetsi pindala,
   - trapetsi aluste pikkus,
   - trapetsi külgede pikkus,