Selles õppetükis õpime, kuidas ruudukujulisi trinoomid lineaarseteks teguriteks lagundada. Selleks on vaja meelde tuletada Vieta teoreemi ja selle pöördväärtust. See oskus aitab meil ruudukujulisi trinoomid kiiresti ja mugavalt lineaarseteks teguriteks lagundada ning samuti lihtsustada avaldistest koosnevate murdude vähendamist.

Nii et tagasi ruutvõrrandi juurde, kus .

Seda, mis meil on vasakul küljel, nimetatakse ruudukujuliseks trinoomiks.

Teoreem on tõsi: Kui on ruuttrinoomi juured, on identsus tõene

Kus on juhtiv koefitsient, on võrrandi juured.

Nii et meil on ruutvõrrand- ruuttrinoomi, kus ruutvõrrandi juuri nimetatakse ka ruuttrinoomi juurteks. Seega, kui meil on ruudukujulise trinoomi juured, jagatakse see trinoomi lineaarseteks teguriteks.

Tõestus:

Tõestus see fakt sooritatakse Vieta teoreemi abil, mida käsitlesime eelmistes tundides.

Tuletagem meelde, mida Vieta teoreem meile ütleb:

Kui on juured ruudu kolmik, mille jaoks , Siis .

See teoreem eeldab järgmist väidet, et .

Näeme, et Vieta teoreemi järgi, st asendades need väärtused ülaltoodud valemiga, saame järgmise avaldise

Q.E.D.

Tuletame meelde, et tõestasime teoreemi, et kui ruuttrinoomi juured on, siis on lagunemine kehtiv.

Tuletame nüüd meelde ruutvõrrandi näidet, mille juured valisime Vieta teoreemi abil. Sellest faktist saame tänu tõestatud teoreemile järgmise võrdsuse:

Nüüd kontrollime selle fakti õigsust, lihtsalt laiendades sulgusid:

Näeme, et faktoreerisime õigesti ja iga trinoomi, kui sellel on juured, saab selle teoreemi järgi valemi järgi lineaarseteks teguriteks faktoristada

Siiski kontrollime, kas mõne võrrandi puhul on selline faktoriseerimine võimalik:

Võtame näiteks võrrandi. Kõigepealt kontrollime diskriminandi märki

Ja me peame meeles, et õpitud teoreemi täitmiseks peab D olema suurem kui 0, seetõttu on sel juhul uuritud teoreemi järgi faktooring võimatu.

Seetõttu sõnastame uue teoreemi: kui ruuttrinoomil pole juuri, siis ei saa seda lineaarseteks teguriteks lagundada.

Niisiis, oleme kaalunud Vieta teoreemi, võimalust lagundada ruuttrinoomi lineaarseteks teguriteks, ja nüüd lahendame mitu ülesannet.

Ülesanne nr 1

Selles rühmas lahendame probleemi püstitatud probleemile vastupidiselt. Meil oli võrrand ja me leidsime selle juured, mis lagunesid teguriteks. Siin teeme vastupidi. Oletame, et meil on ruutvõrrandi juured

Pöördülesanne on järgmine: kirjutage ruutvõrrand nii, et need oleksid selle juured.

Selle probleemi lahendamiseks on 2 võimalust.

Kuna on võrrandi juured, siis on ruutvõrrand, mille juured on antud numbrid. Nüüd avame sulud ja kontrollime:

See oli esimene viis, kuidas lõime ruutvõrrandi antud juurtega, millel pole muid juuri, kuna igal ruutvõrrandil on maksimaalselt kaks juurt.

See meetod hõlmab Vieta pöördteoreemi kasutamist.

Kui on võrrandi juured, siis nad vastavad tingimusele, et .

Redutseeritud ruutvõrrandi jaoks , , st antud juhul , ja .

Seega oleme loonud ruutvõrrandi, millel on antud juured.

Ülesanne nr 2

Peate murdosa vähendama.

Meil on lugejas trinominaal ja nimetajas trinoom ning trinomaalid võivad olla faktoriseeritud, aga ei pruugi. Kui nii lugeja kui ka nimetaja on faktoriseeritud, võib nende hulgas olla võrdseid tegureid, mida saab taandada.

Kõigepealt on vaja lugeja faktoriseerida.

Esmalt peate kontrollima, kas seda võrrandit saab faktoreerida, leidma diskrimineerija . Kuna , siis oleneb märk korrutisest (peaks olema väiksem kui 0), antud näite puhul s.t. antud võrrand on juured.

Lahendamiseks kasutame Vieta teoreemi:

Sel juhul, kuna tegemist on juurtega, on üsna keeruline juuri lihtsalt üles korjata. Aga näeme, et koefitsiendid on tasakaalus, st kui eeldame, et , ja asendame selle väärtuse võrrandisse, siis saadakse järgmine süsteem: st 5-5=0. Seega oleme valinud selle ruutvõrrandi ühe juurtest.

Teist juurt otsime asendades võrrandisüsteemi juba teadaoleva, näiteks , s.o. .

Seega oleme leidnud ruutvõrrandi mõlemad juured ja saame selle arvutamiseks asendada nende väärtused algsesse võrrandisse:

Tuletage meelde algne probleem, meil oli vaja murdosa vähendada.

Proovime probleemi lahendada, asendades lugeja asemel .

Ei tohi unustada, et sel juhul ei saa nimetaja olla võrdne 0-ga, st.

Kui need tingimused on täidetud, oleme algmurru taandanud kujule .

Ülesanne nr 3 (ülesanne parameetriga)

Millistel parameetri väärtustel on ruutvõrrandi juurte summa

Kui selle võrrandi juured on olemas, siis , küsimus on millal.

Plaan - õppetunni kokkuvõte (MBOU "Tšernomorskaja Keskkool№2"

Õpetaja nimi

Ponomarenko Vladislav Vadimovitš

Üksus

Algebra

Tunni kuupäev

19.09.2018

№ õppetund

Klass

9B

Tunni teema

(KTP järgi)

Ruuttrinoomi lagunemine teguriteks

eesmärkide seadmine

- hariv: õpetada õpilastele ruudukujulise trinoomi faktoriseerimist, õpetada faktoriseerimisalgoritmi rakendamist ruudukujuline kolmik näidete lahendamisel võta arvesse GIA andmebaasi ülesandeid, mis kasutavad ruudukujulise trinoomi teguriteks faktoriseerimise algoritmi

- arendada: arendada koolilastes oskust sõnastada probleeme, pakkuda välja nende lahendamise viise, soodustada kooliõpilaste oskuste arengut tuua esile kognitiivses objektis põhiline.

- hariv: aidata õpilastel teadvustada ühistegevuse väärtust, soodustada laste enesekontrolli, enesehindamise ja õppetegevuse enesekorrigeerimise oskuste kujunemist.

Tunni tüüp

õppimine ja uute teadmiste esmane kinnistamine.

Varustus:

multimeedia projektor, ekraan, arvuti, didaktiline materjal, õpikud, märkmikud, esitlusõppetundi

Tundide ajal

1. Korraldamise aeg: õpetaja tervitab õpilasi, kontrollib tunniks valmisolekut.

Motiveerib õpilasi:

Tänases ühistegevuse tunnis kinnitame Poya sõnu (slaid 1) (“Teie lahendatav ülesanne võib olla väga tagasihoidlik, kuid kui see paneb proovile uudishimu ja kui lahendate selle ise, siis saate seda teha. kogemus, mis aitab avada meele pingeid ja nautida võidurõõmu.” Poya uks.)

Sõnum Poya kohta (2. slaid)

Ma tahan teie uudishimu proovile panna. Mõelge GIA ülesandele. Joonistage funktsioon .

Kas suudame võidurõõmu nautida ja selle ülesande täita? (probleemne olukord).

Kuidas seda probleemi lahendada?

- Koostage selle probleemi lahendamiseks tegevuskava.

Parandab tunniplaani, kommenteerib iseseisva töö põhimõtet.

Iseseisev töö(jaga klassile voldikud iseseisva töö tekstiga) (Lisa 1)

Iseseisev töö

Korruta:

x 2 - 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2x 2 - 7x - 4.

Vähenda murdosa:

LibisemaVastustega enesekontrolliks.

Küsimus klassile:

Milliseid polünoomi faktoriseerimise meetodeid kasutasite?

Kas olete suutnud kõik polünoomid faktoriseerida?

Kas kõiki murde saab vähendada?

Probleem 2:Libisema

Kuidas polünoomi faktoriseerida

2 x 2 – 7 x – 4?

Kuidas murdosa vähendada?

Frontaalne uuring:

Mis on polünoomid

2 x 2 – 7 x– 4 jax 2 – 5 x +6?

Defineerige ruudukujuline trinoom.

Mida me teame ruudukujulise trinoomi kohta?

Kuidas selle juuri leida?

Mis määrab juurte arvu?

Võrrelge neid teadmisi sellega, mida peame teadma, ja sõnastage tunni teema. (Pärast seda kuvatakse ekraanil tunni teema)Libisema

Seadke tunni eesmärkLibisema

Vaatame lõpptulemustLibisema

Küsimus klassile:Kuidas seda probleemi lahendada?

Klass töötab rühmades.

Ülesanne gruppidele:

otsige sisukorrast üles soovitud leht, lugege pliiats käes 4. punkti, tõstke esile põhiidee, koostage algoritm, mille abil saab mistahes ruudu trinoomi faktoriseerida.

Kontrollige, kas klass on ülesande täitnud ( esitöö):

Mis on peamine idee punkt 4?Libisema(ekraanil valem ruudukujulise trinoomi faktoriteks faktoriseerimiseks).

algoritm ekraanil.Libisema

1. Võrdsusta ruudukujuline trinoom nulliga.

2. Leia diskriminant.

3. Leia ruudukujulise trinoomi juured.

4. Asenda leitud juured valemisse.

5. Vajadusel sisestage sulgudesse juhtiv koefitsient.

Veel üksväike probleem : kui D=0, kas on võimalik ruudukujulist trinoomi faktoriseerida ja kui jah, siis kuidas?

(Uurimine rühmades).

Libisema(ekraanil:

Kui D = 0, siis
.

Kui ruutkolminoomil pole juuri,

siis ei saa seda arvesse võtta.)

Tuleme tagasi ülesande juurde iseseisvas töös. Kas me saame nüüd ruudu kolmnoomid faktoriseerida2 x 2 – 7 x– 4 jax 2 – 5 x +6?

Klass töötab iseseisvalt, korrutab, nõrkade õpilastega töötan individuaalselt.

Libisema(koos lahusega)Vastastikune kontroll

Kas saame murdosa vähendada?

Vähendage murdosa, kutsun tugeva õpilase tahvlisse.

Tuleme tagasi ülesande juurdeGIA-st. Kas saame nüüd funktsiooni graafiku kujutada?

Mis on selle funktsiooni graafik?

Joonistage oma märkmikusse funktsiooni graafik.

Test (Koosiseseisev töö)2. lisa

Enesekontroll ja enesehindamineÕpilastele jagati voldikud (lisa 3), kuhu tuleb oma vastused kirja panna. Need annavad hindamiskriteeriumid.

Hindamiskriteeriumid:

3 ülesannet - hinnang "4"

4 ülesannet - hinne "5"

Peegeldus:(libisema)

1. Täna õppetunnis, mille õppisin ...

2. Täna tunnis kordasin ...

3. Ma parandasin…

4. Mulle meeldis ...

5. Panin endale tunnis tegevuse eest hinde ...

6. Mis tüüpi tööd tekitasid raskusi ja nõuavad kordamist ...

7. Kas oleme saavutanud kavandatud tulemuse?

Slaid: Aitäh õppetunni eest!

Lisa 1

Iseseisev töö

Korruta:

x 2 - 3x;

x 2 – 9;

x 2 – 8x + 16;

x 2 + x - 2;

2a 2 – 2b 2 –a + b;

2 x 2 – 7 x – 4.

Vähenda murdosa:

2. lisa

Test

1 variant

faktoriseerida?

x 2 - 8x+ 7;

x 2 - 8x+ 16 ;

x 2 - 8x+ 9;

x 2 - 8x+ 1 7.

2 x 2 – 9 x – 5 = 2( x – 5)(…)?

Vastus:_________ .

Vähendage murdosa:

x – 3;

x + 3;

x – 4;

teine ​​vastus.

Test

2. variant

Milline ruutkolminom ei saa olla pfaktoriseerida?

5 x 2 + x+ 1;

⅓ x 2 -8x+ 2;

0,1 x 2 + 3 x - 5;

x 2 + 4 x+ 5.

Millise polünoomiga tuleks ellips asendada, et oleks võrdsus:2 x 2 + 5 x – 3 = 2( x + 3)(…)?

Vastus:_________ .

Vähendage murdosa:

3 x 2 – 6 x – 15;

0,25(3 x - 1);

0,25( x - 1);

teine ​​vastus.

Lisa 3

Kirjutage vastused üles.

Hindamiskriteeriumid:

Õigesti tehtud: ülesanne 2 - hinne "3"

3 ülesannet - hinnang "4"

4 ülesannet - hinne "5"

Ülesanne number 1

Ülesanne number 2

Ülesanne number 3

1 variant

2. variant

Selles õppetükis õpime, kuidas ruudukujulisi trinoomid lineaarseteks teguriteks lagundada. Selleks on vaja meelde tuletada Vieta teoreemi ja selle pöördväärtust. See oskus aitab meil ruudukujulisi trinoomid kiiresti ja mugavalt lineaarseteks teguriteks lagundada ning samuti lihtsustada avaldistest koosnevate murdude vähendamist.

Nii et tagasi ruutvõrrandi juurde, kus .

Seda, mis meil on vasakul küljel, nimetatakse ruudukujuliseks trinoomiks.

Teoreem on tõsi: Kui on ruuttrinoomi juured, on identsus tõene

Kus on juhtiv koefitsient, on võrrandi juured.

Niisiis, meil on ruutvõrrand - ruuttrinoomil, kus ruutvõrrandi juuri nimetatakse ka ruuttrinoomi juurteks. Seega, kui meil on ruudukujulise trinoomi juured, jagatakse see trinoomi lineaarseteks teguriteks.

Tõestus:

Selle fakti tõestamiseks kasutatakse Vieta teoreemi, mida käsitlesime eelmistes tundides.

Tuletagem meelde, mida Vieta teoreem meile ütleb:

Kui on juured ruudu kolmik, mille jaoks , Siis .

See teoreem eeldab järgmist väidet, et .

Näeme, et Vieta teoreemi järgi, st asendades need väärtused ülaltoodud valemiga, saame järgmise avaldise

Q.E.D.

Tuletame meelde, et tõestasime teoreemi, et kui ruuttrinoomi juured on, siis on lagunemine kehtiv.

Tuletame nüüd meelde ruutvõrrandi näidet, mille juured valisime Vieta teoreemi abil. Sellest faktist saame tänu tõestatud teoreemile järgmise võrdsuse:

Nüüd kontrollime selle fakti õigsust, lihtsalt laiendades sulgusid:

Näeme, et faktoreerisime õigesti ja iga trinoomi, kui sellel on juured, saab selle teoreemi järgi valemi järgi lineaarseteks teguriteks faktoristada

Siiski kontrollime, kas mõne võrrandi puhul on selline faktoriseerimine võimalik:

Võtame näiteks võrrandi. Kõigepealt kontrollime diskriminandi märki

Ja me peame meeles, et õpitud teoreemi täitmiseks peab D olema suurem kui 0, seetõttu on sel juhul uuritud teoreemi järgi faktooring võimatu.

Seetõttu sõnastame uue teoreemi: kui ruuttrinoomil pole juuri, siis ei saa seda lineaarseteks teguriteks lagundada.

Niisiis, oleme kaalunud Vieta teoreemi, võimalust lagundada ruuttrinoomi lineaarseteks teguriteks, ja nüüd lahendame mitu ülesannet.

Ülesanne nr 1

Selles rühmas lahendame probleemi püstitatud probleemile vastupidiselt. Meil oli võrrand ja me leidsime selle juured, mis lagunesid teguriteks. Siin teeme vastupidi. Oletame, et meil on ruutvõrrandi juured

Pöördülesanne on järgmine: kirjutage ruutvõrrand nii, et need oleksid selle juured.

Selle probleemi lahendamiseks on 2 võimalust.

Kuna on võrrandi juured, siis on ruutvõrrand, mille juurtele on antud arvud. Nüüd avame sulud ja kontrollime:

See oli esimene viis, kuidas lõime ruutvõrrandi antud juurtega, millel pole muid juuri, kuna igal ruutvõrrandil on maksimaalselt kaks juurt.

See meetod hõlmab Vieta pöördteoreemi kasutamist.

Kui on võrrandi juured, siis nad vastavad tingimusele, et .

Redutseeritud ruutvõrrandi jaoks , , st antud juhul , ja .

Seega oleme loonud ruutvõrrandi, millel on antud juured.

Ülesanne nr 2

Peate murdosa vähendama.

Meil on lugejas trinominaal ja nimetajas trinoom ning trinomaalid võivad olla faktoriseeritud, aga ei pruugi. Kui nii lugeja kui ka nimetaja on faktoriseeritud, võib nende hulgas olla võrdseid tegureid, mida saab taandada.

Kõigepealt on vaja lugeja faktoriseerida.

Esmalt peate kontrollima, kas seda võrrandit saab faktoreerida, leidma diskrimineerija . Kuna , siis oleneb märk korrutisest (peab olema väiksem kui 0), selles näites , st antud võrrandil on juured.

Lahendamiseks kasutame Vieta teoreemi:

Sel juhul, kuna tegemist on juurtega, on üsna keeruline juuri lihtsalt üles korjata. Aga näeme, et koefitsiendid on tasakaalus, st kui eeldame, et , ja asendame selle väärtuse võrrandisse, siis saadakse järgmine süsteem: st 5-5=0. Seega oleme valinud selle ruutvõrrandi ühe juurtest.

Teist juurt otsime asendades võrrandisüsteemi juba teadaoleva, näiteks , s.o. .

Seega oleme leidnud ruutvõrrandi mõlemad juured ja saame selle arvutamiseks asendada nende väärtused algsesse võrrandisse:

Tuletage meelde algne probleem, meil oli vaja murdosa vähendada.

Proovime probleemi lahendada, asendades lugeja asemel .

Ei tohi unustada, et sel juhul ei saa nimetaja olla võrdne 0-ga, st.

Kui need tingimused on täidetud, oleme algmurru taandanud kujule .

Ülesanne nr 3 (ülesanne parameetriga)

Millistel parameetri väärtustel on ruutvõrrandi juurte summa

Kui selle võrrandi juured on olemas, siis , küsimus on millal.

See veebikalkulaator on loodud funktsiooni faktoriseerimiseks.

Näiteks faktoriseerige: x 2 /3-3x+12 . Kirjutame selle kujul x^2/3-3*x+12 . Võite kasutada ka seda teenust, kus kõik arvutused salvestatakse Wordi vormingus.

Näiteks lagundage terminiteks. Kirjutame selle kujul (1-x^2)/(x^3+x) . Lahenduse edenemise vaatamiseks klõpsake nuppu Kuva sammud . Kui teil on vaja saada tulemus Wordi vormingus, kasutage seda teenust.

Märge: arv "pi" (π) kirjutatakse pi ; ruutjuur kui sqrt , nt sqrt(3) , tg puutuja kirjutatakse tan . Vastuse saamiseks vaadake jaotist Alternatiiv.

1. Kui on antud lihtne avaldis, näiteks 8*d+12*c*d , siis avaldise faktoriseerimine tähendab avaldise faktoristamist. Selleks peate leidma ühised tegurid. Kirjutame selle avaldise järgmiselt: 4*d*(2+3*c) .
2. Väljendage korrutist kahe binoomina: x 2 + 21yz + 7xz + 3xy . Siin peame juba leidma mitmeid ühiseid tegureid: x(x + 7z) + 3y(x + 7z). Võtame välja (x+7z) ja saame: (x+7z)(x + 3y) .

vaata ka Polünoomide jagamine nurgaga (näidatud on kõik veeruga jagamise etapid)

Kasulik on faktoriseerimise reeglite õppimisel lühendatud korrutusvalemid, mille abil saab selgeks, kuidas ruuduga sulgusid avada:

1. (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = a 2 +2ab+b 2
2. (a-b) 2 = (a-b) (a-b) = a 2 -2ab+b 2
3. (a+b)(a-b) = a 2 - b 2
4. a 3 +b 3 = (a+b) (a 2 -ab+b 2)
5. a 3 -b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
6. (a+b) 3 = (a+b) (a+b) 2 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3
7. (a-b) 3 = (a-b) (a-b) 2 = a 3 -3a 2 b + 3ab 2 -b 3

Faktoringmeetodid

Pärast mõne triki õppimist faktoriseerimine Lahendusi saab liigitada järgmiselt:

1. Lühendatud korrutusvalemite kasutamine.
2. Otsige ühist tegurit.

On toodud 8 näidet polünoomide faktoriseerimisest. Need sisaldavad näiteid ruut- ja bikvadraatvõrrandite lahendamisest, rekursiivsete polünoomide näiteid ning näiteid kolmanda ja neljanda astme polünoomide täisarvude juurte leidmisest.

Sisu

Vaata ka: Polünoomide faktooringu meetodid
Ruutvõrrandi juured
Kuupvõrrandite lahendus

1. Näited ruutvõrrandi lahendusega

Näide 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

Võtke x välja 2 sulgude jaoks:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Võrrandi juured:
, .

.

Näide 1.2

Kolmanda astme polünoomi faktoriseerimine:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

Võtame x sulgudest välja:
.
Lahendame ruutvõrrandi x 2 + 6 x + 9 = 0:
Selle diskrimineerija on .
Kuna diskriminant on võrdne nulliga, on võrrandi juured kordsed: ;
.

Siit saame polünoomi lagunemise teguriteks:
.

Näide 1.3

Viienda astme polünoomi faktoriseerimine:
x 5–2 x 4 + 10 x 3.

Võtke x välja 3 sulgude jaoks:
.
Lahendame ruutvõrrandi x 2–2 x + 10 = 0.
Selle diskrimineerija on .
Kuna diskriminant on väiksem kui null, on võrrandi juured keerulised: ;
, .

Polünoomi faktoriseerimine on järgmine:
.

Kui meid huvitab reaalkoefitsientidega faktooring, siis:
.

Näited polünoomide faktooreerimiseks valemite abil

Näited bikvadraatsete polünoomidega

Näide 2.1

Bikvadraatpolünoomi kordamine:
x 4 + x 2 - 20.

Rakenda valemid:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

Näide 2.2

Bikvadraadiks taandatava polünoomi faktoriseerimine:
x 8 + x 4 + 1.

Rakenda valemid:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

Näide 2.3 rekursiivse polünoomiga

Rekursiivse polünoomi faktoriseerimine:
.

Rekursiivsel polünoomil on paaritu aste. Seetõttu on selle juur x = - 1 . Jagame polünoomi x-ga - (-1) = x + 1. Selle tulemusena saame:
.
Teeme asendused:
, ;
;


;
.

Täisarvujuurtega polünoomide faktoringu näited

Näide 3.1

Polünoomi faktoriseerimine:
.

Oletame, et võrrand

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3-6 6 2 + 11 6-6 = 60.

Niisiis, oleme leidnud kolm juurt:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
Kuna algne polünoom on kolmanda astmega, ei ole sellel rohkem kui kolm juurt. Kuna oleme leidnud kolm juurt, on need lihtsad. Siis
.

Näide 3.2

Polünoomi faktoriseerimine:
.

Oletame, et võrrand

sellel on vähemalt üks täisarvu juur. Siis on see arvu jagaja 2 (liige ilma x ). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
-2, -1, 1, 2 .
Asendage need väärtused ükshaaval:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.

Niisiis, oleme leidnud ühe juure:
x 1 = -1 .
Jagame polünoomi x - x-ga 1 = x - (-1) = x + 1:


Siis
.

Nüüd peame lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Kui eeldame, et sellel võrrandil on täisarvu juur, siis on see arvu jagaja 2 (liige ilma x ). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2 .
Asendage x = -1 :
.

Seega oleme leidnud teise juur x 2 = -1 . Nagu eelmisel juhul, oleks võimalik polünoomi jagada arvuga , kuid rühmitame terminid:
.