Az algebrai polinomok számításakor a számítások egyszerűsítése érdekében használjuk rövidített szorzóképletek. Összesen hét ilyen képlet létezik. Mindegyiket fejből kell ismerni.

Emlékeztetni kell arra is, hogy a képletekben az "a" és "b" helyett számok és bármilyen más algebrai polinom is szerepelhet.

A négyzetek különbsége

Emlékezik!

A négyzetek különbsége két szám egyenlő e számok különbségének és összegüknek a szorzatával.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

• 15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 − 4b 2, ahol 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

összeg négyzet

Emlékezik!

Két szám összegének négyzete egyenlő az első szám négyzetével, plusz az első szám és a második szám és a második szám szorzatának kétszeresével.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Vegye figyelembe, hogy ezzel a csökkentett szorzóképlettel könnyen megtehető keresse meg a nagy számok négyzeteit számológép vagy hosszú szorzás nélkül. Magyarázzuk meg egy példával:

Keresse meg a 112 2 számot.

• Bontsuk fel a 112-t olyan számok összegére, amelyek négyzetére jól emlékszünk.
  112 = 100 + 1
• A számok összegét zárójelbe írjuk, és a zárójelek fölé négyzetet teszünk.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Használjuk a négyzetösszeg képletet:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Ne feledje, hogy a négyzetösszeg képlet minden algebrai polinomra is érvényes.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Figyelem!

(a + b) 2 nem egyenlő (a 2 + b 2)

A különbség négyzete

Emlékezik!

Két szám különbségének négyzete egyenlő az első szám négyzete mínusz az első és a második szorzatának kétszerese plusz a második szám négyzete.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Érdemes megjegyezni egy nagyon hasznos átalakítást is:

(a - b) 2 = (b - a) 2

A fenti képletet a zárójelek egyszerű bővítésével bizonyítjuk:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

összeg kocka

Emlékezik!

A két szám összegének kockája egyenlő az első szám kockájával, plusz az első szám négyzetének háromszorosával, a másodikkal, plusz az első szám szorzatával, a második négyzetével plusz a második kockájával.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Hogyan emlékezzünk az összegkockára

Emlékezni erre a "szörnyű" képletre meglehetősen egyszerű.

• Tanuld meg, hogy az "egy 3" az elején jön.
• A középen lévő két polinom együtthatója 3.
• Emlékezzünk vissza, hogy a nulla hatványhoz tartozó bármely szám 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Könnyen belátható, hogy a képletben az "a" fok csökkenése és a "b" fok növekedése figyelhető meg. Ezt ellenőrizheti:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Figyelem!

(a + b) 3 nem egyenlő a 3 + b 3-mal

különbség kocka

Emlékezik!

különbség kocka két szám egyenlő az első szám kockájával, mínusz az első szám négyzetének háromszorosával, a másodikéval plusz az első szám és a második négyzetének szorzatával, mínusz a második kockájával.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Ezt a képletet az előzőhöz hasonlóan emlékeznek, de csak a „+” és „-” jelek váltakozását figyelembe véve. Az „a 3” első tag előtt van egy „+” (a matematika szabályai szerint nem írjuk). Ez azt jelenti, hogy a következő tag előtt „-”, majd ismét „+” stb.

(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kockák összege

Nem tévesztendő össze az összegkockával!

Emlékezik!

Kockák összege egyenlő két szám összegének a különbség nem teljes négyzetével való szorzatával.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2)

A kockák összege két zárójel szorzata.

• Az első zárójel két szám összege.
• A második zárójel a számok különbségének nem teljes négyzete. A különbség nem teljes négyzetét kifejezésnek nevezzük:
  (a 2 − ab + b 2)
  Ez a négyzet hiányos, mivel középen a duplaszorzat helyett a számok közönséges szorzata található.

A kockák különbsége

Nem tévesztendő össze a különbségkockával!

Emlékezik!

A kockák különbsége egyenlő két szám különbségének az összeg nem teljes négyzetével való szorzatával.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Legyen óvatos karakterek írásakor.

Rövidített szorzóképletek alkalmazása

Emlékeztetni kell arra, hogy a fenti képleteket jobbról balra is használjuk.

A tankönyvekben található sok példa arra készült, hogy képletekkel állítsa össze a polinom vissza.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Letöltheti a táblázatot a rövidített szorzás összes képletével a " szakaszban

Lesznek egy önálló megoldásra vonatkozó feladatok is, amelyekre a válaszokat láthatjátok.

A rövidített szorzási képletek lehetővé teszik a kifejezések - polinomok - azonos átalakításait. Segítségükkel a polinomok faktorálhatók, és a képleteket fordított sorrendben használva a binomiálisok, négyzetek és kockák szorzatai polinomként ábrázolhatók. Tekintsük az összes általánosan elfogadott rövidített szorzási képletet, azok származtatását, a kifejezések e képletekkel történő azonos átalakítására vonatkozó gyakori feladatokat, valamint a házi feladatokat (a válaszokat hivatkozások nyitják meg).

összeg négyzet

Az összeg négyzetének képlete az egyenlőség

(két szám összegének négyzete egyenlő az első szám négyzetével, plusz az első szám és a második szám és a második szám szorzatának kétszeresével).

Ahelyett aÉs b tetszőleges szám behelyettesíthető ebbe a képletbe.

Az összeg-négyzet képletet gyakran használják a számítások egyszerűsítésére. Például,

A négyzetösszeg képlet segítségével a polinom faktorizálható, azaz két azonos tényező szorzataként ábrázolható.

1. példa

.

2. példaÍrd meg polinomiális kifejezésként

Megoldás. Az összeg négyzetének képletével azt kapjuk, hogy

A különbség négyzete

A különbség négyzetének képlete az egyenlőség

(két szám különbségének négyzete egyenlő az első szám négyzete mínusz az első szám és a második szám szorzatának kétszerese plusz a második szám négyzete).

A négyzetes különbség képletet gyakran használják a számítások egyszerűsítésére. Például,

A különbség négyzetes képletével a polinom faktorizálható, azaz két azonos tényező szorzataként ábrázolható.

A képlet a polinom polinommal való szorzásának szabályából következik:

5. példaÍrd meg polinomiális kifejezésként

Megoldás. A különbség négyzetének képletével azt kapjuk, hogy

.

Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást

Teljes négyzetkiválasztás

A másodfokú polinom gyakran tartalmazza az összeg vagy a különbség négyzetét, de rejtett formában tartalmazza. Ahhoz, hogy a teljes négyzetet egyértelműen megkapjuk, transzformálni kell a polinomot. Ehhez általában a polinom egyik tagját duplaszorzatként ábrázoljuk, majd ugyanazt a számot hozzáadjuk a polinomhoz, és kivonjuk belőle.

7. példa

Megoldás. Ez a polinom a következőképpen alakítható át:

Itt bemutattuk az 5 x 5/2-es duplaszorzat formájában x, hozzáadjuk a polinomhoz és kivonjuk belőle ugyanazt a számot, majd a binomiális összeg négyzetes képletét alkalmazzuk.

Tehát bebizonyítottuk az egyenlőséget

,

egyenlő egy teljes négyzettel plusz a számmal.

8. példa Tekintsünk egy másodfokú polinomot

Megoldás. Végezzük el rajta a következő átalakításokat:

Itt mutatjuk be a 8 x kettős termék formájában x 4-gyel, hozzáadva a polinomhoz és kivonva belőle ugyanazt a számot 4², a különbség négyzet képletét alkalmazta a binomiálisra x − 4 .

Tehát bebizonyítottuk az egyenlőséget

,

megmutatja, hogy egy másodfokú polinom

egyenlő egy teljes négyzettel plusz a −16 számmal.

Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást

összeg kocka

Az összeg-kocka képlete az egyenlőség

(Két szám összegének kockája egyenlő az első szám kockájával, plusz az első és a második szám négyzetének háromszorosával, plusz az első szám és a második szám négyzetének szorzatával, plusz a kockával a második szám).

Az összeg-kocka képlet a következőképpen származik:

10. példaÍrd meg polinomiális kifejezésként

Megoldás. Az összegkockák képlete szerint azt kapjuk

Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást

különbség kocka

A különbség kocka képlete az egyenlőség

(Két szám különbségének kockája egyenlő az első szám kockájával mínusz az első és a második szám négyzetének háromszorosa, plusz az első szám és a második szám négyzetének szorzatának háromszorosa mínusz a szám kockája a második szám).

Az összegkocka képlet segítségével a polinom faktorokra bontható, azaz három azonos tényező szorzataként ábrázolható.

A különbség kocka képlete a következőképpen származik:

12. példa.Írd meg polinomiális kifejezésként

Megoldás. A különbségkocka képlet segítségével azt kapjuk

Alkalmazza saját maga a rövidített szorzási képletet, majd nézze meg a megoldást

A négyzetek különbsége

A négyzetek különbségének képlete az egyenlőség

(két szám négyzetének különbsége egyenlő e számok összegének és különbségük szorzatával).

Az összeg-kocka képlet segítségével az alak bármely polinomja faktorizálható.

A képlet bizonyítását a polinomok szorzási szabályával kaptuk meg:

14. példaÍrja fel a szorzatot polinomként!

.

Megoldás. A négyzetek különbségi képletével azt kapjuk, hogy

15. példa Tényezőkre bont

Megoldás. Ez a kifejezett kifejezés semmilyen identitásra nem illeszkedik. De a 16-os szám 4-es bázisú hatványként is ábrázolható: 16=4². Ekkor az eredeti kifejezés más formát ölt:

,

és ez a négyzetek különbségének képlete, és ezt a képletet alkalmazva azt kapjuk

Az előző leckében a faktorizációval foglalkoztunk. Két módszert sajátítottunk el: a közös tényező zárójelből való kiemelését és a csoportosítást. Ebben az oktatóanyagban a következő hatékony módszer: rövidített szorzóképletek. Röviden - FSU.

A rövidített szorzóképletek (összeg és különbség négyzete, összeg és különbség kocka, négyzetek különbsége, kockák összege és különbsége) elengedhetetlenek a matematika minden ágában. Használják kifejezések egyszerűsítésére, egyenletek megoldására, polinomok szorzására, törtek redukálására, integrálok megoldására stb. stb. Röviden: minden oka megvan rá, hogy foglalkozzunk velük. Tudja meg, honnan származnak, miért van rájuk szükség, hogyan emlékezzünk rájuk és hogyan alkalmazzuk őket.

Értjük?)

Honnan származnak a rövidített szorzóképletek?

A 6-os és 7-es egyenlőségeket nem a megszokott módon írják fel. Mint az ellenkezője. Ez szándékos.) Minden egyenlőség balról jobbra és jobbról balra egyaránt működik. Egy ilyen rekordban világosabb, honnan származik az FSO.

Szorzásból veszik őket.) Például:

(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2

Ennyi, semmi tudományos trükk. Csak megszorozzuk a zárójeleket, és hasonlókat adunk. Ez így alakul minden rövidített szorzóképlet. rövidítve A szorzás azért van, mert magukban a képletekben nincs zárójelek szorzása és hasonlók redukálása. Csökkentett.) Az eredmény azonnal adott.

Az FSU-nak fejből kell tudnia. Az első három nélkül nem álmodhat hármasról, a többi nélkül - körülbelül négyesről öttel.)

Miért van szükségünk rövidített szorzóképletekre?

Két oka van annak, hogy megtanuljuk ezeket a képleteket, sőt meg is jegyezzük. Az első - egy kész válasz a gépen drámaian csökkenti a hibák számát. De nem ez a fő ok. És itt a második...

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanulás – érdeklődéssel!)

függvényekkel, származékokkal ismerkedhet meg.

Az egyik első olyan téma, amelyet az algebrai kurzuson tanulmányoznak, a rövidített szorzás képlete. A 7. osztályban a legegyszerűbb helyzetekben használatosak, amikor a kifejezésben fel kell ismerni az egyik képletet, és faktorozni kell a polinomot, vagy fordítva, gyorsan négyzetre vagy kockára kell vágni az összeget vagy a különbséget. A jövőben az FSU-t egyenlőtlenségek és egyenletek gyors megoldására, sőt néhány numerikus kifejezés kiszámítására is használják számológép nélkül.

Hogyan néz ki a képletek listája?

7 alapvető képlet létezik, amelyek lehetővé teszik a zárójelben lévő polinomok gyors szorzását.

Néha ez a lista egy negyedik fokú bővítést is tartalmaz, amely a bemutatott identitásokból következik, és a következő formában van:

a 4 - b 4 = (a - b) (a + b) (a2 + b2).

Minden egyenlőségnek van párja (összeg - különbség), kivéve a négyzetek különbségét. A négyzetek összegére nincs képlet.

A többi egyenlőség könnyen megjegyezhető.:

Nem szabad elfelejteni, hogy az FSO-k minden esetben és bármilyen érték mellett működnek. aÉs b: tetszőleges számok és egész kifejezések is lehetnek.

Abban a helyzetben, amikor hirtelen nem emlékszik, melyik jel van a képletben egy vagy másik kifejezés előtt, kinyithatja a zárójeleket, és ugyanazt az eredményt kaphatja, mint a képlet használata után. Például, ha probléma merült fel a különbség kocka FSU-jának alkalmazásakor, akkor meg kell írni az eredeti kifejezést és végezze el a szorzást egyesével:

(a - b)³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Ennek eredményeként az összes ilyen tag redukálása után ugyanazt a polinomot kaptuk, mint a táblázatban. Ugyanezek a manipulációk elvégezhetők az összes többi FSO-val.

FSO alkalmazása egyenletek megoldására

Például meg kell oldania egy egyenletet, amely tartalmazza 3. fokú polinom:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Az iskolai tanterv nem veszi figyelembe a kockaegyenletek megoldásának univerzális technikáit, és az ilyen feladatokat leggyakrabban egyszerűbb módszerekkel (például faktorizációval) oldják meg. Ha észreveszi, hogy az azonosság bal oldala az összeg kockájára hasonlít, akkor az egyenlet egyszerűbb formában is felírható:

(x + 1)³ = 0.

Egy ilyen egyenlet gyökerét szóban számítják ki: x=-1.

Az egyenlőtlenségeket hasonló módon oldják meg. Például meg tudjuk oldani az egyenlőtlenséget x³ - 6x² + 9x > 0.

Mindenekelőtt a kifejezést faktorokra kell bontani. Először ki kell venni a konzolokat x. Ezek után ügyeljen arra, hogy a zárójelben lévő kifejezés átváltható a különbség négyzetére.

Ezután meg kell találnia azokat a pontokat, ahol a kifejezés nulla értéket vesz fel, és meg kell jelölnie azokat a számegyenesen. Adott esetben ezek 0 és 3 lesznek. Ezután az intervallum módszerrel határozzuk meg, hogy x milyen intervallumokban fog megfelelni az egyenlőtlenség feltételének.

Az FSO-k hasznosak lehetnek a végrehajtásban néhány számítás számológép segítsége nélkül:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Ezenkívül a kifejezések faktorálásával könnyedén csökkentheti a törteket és egyszerűsítheti a különféle algebrai kifejezéseket.

Példák a 7-8. osztályos feladatokra

Befejezésül két feladatot elemezünk és oldunk meg a rövidített szorzóképletek algebrában való alkalmazására.

1. feladat Egyszerűsítse a kifejezést:

(m + 3)² + (3 m + 1) (3 m - 1) - 2 m (5 m + 3).

Megoldás. A feladat feltételében a kifejezés egyszerűsítése, azaz a zárójelek kinyitása, a szorzás és a hatványozás műveleteinek elvégzése, valamint az összes ilyen kifejezés behozatala szükséges. A kifejezést feltételesen három részre osztjuk (a kifejezések számának megfelelően), és egyenként nyissuk meg a zárójeleket, lehetőség szerint az FSU használatával.

• (m + 3)² = m² + 6m + 9(négyzetösszeg);
• (3 m + 1) (3 m - 1) = 9 m² - 1(négyzetek különbsége);
• Az utolsó tagban szorzást kell végrehajtania: 2 m (5 m + 3) = 10 m² + 6 m.

Helyettesítse az eredményeket az eredeti kifejezésben:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

A jelek figyelembevételével kinyitjuk a zárójeleket, és hasonló kifejezéseket adunk:

m² + 6 m + 9 + 9 m² 1 - 10 m² - 6 m = 8.

2. feladat Oldja meg az ismeretlen k-t tartalmazó egyenletet 5 hatványára:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k3.

Megoldás. Ebben az esetben az FSO-t és a csoportosítási módszert kell használni. Az utolsó és utolsó előtti kifejezést át kell vinnünk az identitás jobb oldalára.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

A közös szorzót a jobb és a bal részből veszik (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Minden átkerül az egyenlet bal oldalára úgy, hogy a 0 a jobb oldalon marad:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Ismét ki kell venni a közös tényezőt:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Az első kapott tényezőből levezethetjük k. A rövid szorzási képlet szerint a második tényező azonos lesz (k + 2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

A négyzetek különbségi képletével:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Mivel a szorzat 0, ha legalább egy tényezője nulla, nem lesz nehéz megtalálni az egyenlet összes gyökerét:

1. k = 0;
2. k-1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

A szemléltető példák alapján megérthető, hogyan kell megjegyezni a képleteket, azok különbségeit, és számos gyakorlati problémát is megoldhat az FSU használatával. A feladatok egyszerűek, és nem lehet nehéz elvégezni.

Az algebrai polinomok egyszerűsítése érdekében léteznek rövidített szorzóképletek. Nincs belőlük olyan sok, és könnyen megjegyezhetők, de emlékezned kell rájuk. A képletekben használt jelölés bármilyen formát ölthet (szám vagy polinom).

Az első rövidített szorzási képletet ún négyzetek különbsége. Ez abban rejlik, hogy az egyik szám négyzetéből kivonjuk a második szám négyzetét, amely egyenlő e számok különbségével, valamint szorzatukkal.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Az érthetőség kedvéért elemezzük:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

A második képlet kb négyzetek összege. Úgy hangzik, hogy két érték négyzetes összege egyenlő az első érték négyzetével, az első érték kétszeres szorzata és a második szorzata hozzáadódik, a második érték négyzete pedig hozzáadódik hozzájuk.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Ennek a képletnek köszönhetően sokkal könnyebbé válik egy nagy szám négyzetének kiszámítása számítógépes technológia használata nélkül.

Tehát például: a 112-es négyzet lesz
1) Kezdetben a 112-t olyan számokká elemezzük, amelyek négyzetei ismerősek számunkra
112 = 100 + 12
2) A kapott értéket zárójelbe, négyzetbe írjuk
112 2 = (100+12) 2
3) A képletet alkalmazva a következőket kapjuk:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

A harmadik képlet az különbség négyzet. Ami azt mondja, hogy két egymásból kivont érték négyzetesen egyenlő azzal, hogy az első négyzetes értékből kivonjuk az első érték kétszeres szorzatát, szorozva a másodikkal, és hozzáadjuk a második érték négyzetét. .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

ahol (a - b) 2 egyenlő (b - a) 2 -vel. Ennek bizonyítására (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

A negyedik rövidített szorzási képletet ún összeg kocka. Ami így hangzik: a kocka értékének két tagja egyenlő az 1 értékű kockával, ehhez hozzáadjuk az 1 érték hármasszorzatát, szorozva a 2. értékkel, az 1 értékű hármasszorzat szorozva 2 négyzetével. érték hozzáadódik hozzájuk, plusz a második kockás érték.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Az ötödik, ahogy már megértetted, az úgynevezett különbség kocka. Amely megtalálja az értékek közötti különbségeket, hiszen a kocka első jelöléséből kivonjuk az első megnevezés hármasszorzatát, szorozva a másodikkal, az első megjelölés hármasszorzatát szorozva a második megjelölés négyzetével. , mínusz a második jelölés a kockában.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

A hatodik ún kockák összege. A kockák összege egyenlő két tag szorzatával, megszorozva a különbség hiányos négyzetével, mivel középen nincs megduplázott érték.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Másképpen azt is mondhatjuk, hogy a kockaösszeg két zárójelben lévő szorzatnak nevezhető.

A hetedik és utolsó ún kockák különbsége(könnyű összetéveszteni a különbségkocka képlettel, de ezek más dolgok). A kockák különbsége egyenlő két mennyiség különbségének szorzatával az összeg hiányos négyzetével, mivel középen nincs megduplázott érték.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Így csak 7 képlet van a rövidített szorzáshoz, ezek hasonlítanak egymásra és könnyen megjegyezhetőek, csak az a lényeg, hogy ne keveredjünk össze a jelekben. Fordított sorrendben is használhatóak, és jó néhány ilyen feladatot összegyűjtöttek a tankönyvek. Legyen óvatos, és sikerülni fog.

Ha kérdése van a képletekkel kapcsolatban, feltétlenül írja meg a megjegyzésekben. Örömmel válaszolunk Önnek!

Ha szülési szabadságon van, de pénzt szeretne keresni. Csak kövesse az Internetes üzlet linkjét az Oriflame-mel. Minden nagyon részletesen le van írva és bemutatva. Érdekes lesz!