Ezekkel a tulajdonságokkal hajtjuk végre az integrál transzformációját annak érdekében, hogy az egyik elemi integrálba kerüljön, és további számításokat végezzünk.

1. A határozatlan integrál deriváltja egyenlő az integrandusszal:

2. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal:

3. Valamely függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével:

4. Az integrál előjelből kivehető egy állandó tényező:

Ráadásul a ≠ 0

5. Az összeg (különbség) integrálja egyenlő az integrálok összegével (különbség):

6. A tulajdonság a 4. és 5. tulajdonság kombinációja:

Ezenkívül a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. A határozatlan integrál invariancia tulajdonsága:

Ha akkor

8. Ingatlan:

Ha akkor

Valójában ez a tulajdonság a változóváltoztatási módszerrel történő integráció speciális esete, amelyről a következő részben részletesebben is lesz szó.

Vegyünk egy példát:

Először az 5-ös, majd a 4-es tulajdonságot alkalmaztuk, majd az antiderivatív táblát használtuk és megkaptuk az eredményt.

Online integrálszámítógépünk algoritmusa támogatja az összes fent felsorolt ​​tulajdonságot, és könnyen talál részletes megoldást integráljára.

A differenciálszámításban a probléma megoldva: az adott ƒ(x) függvény alatt keresse meg annak deriváltját(vagy differenciálmű). Az integrálszámítás megoldja az inverz problémát: megtalálni az F (x) függvényt F "(x) \u003d ƒ (x) (vagy differenciál) deriváltjának ismeretében. A kívánt F (x) függvényt az ƒ (x) függvény antideriváltjának nevezzük.

Az F(x) függvényt meghívjuk primitívƒ(x) függvény az (a; b) intervallumon, ha bármely x є (a; b) egyenlőség

F "(x)=ƒ(x) (vagy dF(x)=ƒ(x)dx).

Például, az y \u003d x 2, x є R antiderivatív függvény egy függvény, mivel

Nyilvánvaló, hogy az antiderivatívek is bármilyen funkciót töltenek be

ahol C konstans, mert

29. Tétel. 1. Ha az F(x) függvény az ƒ(x) függvény antideriváltja az (a;b) ponton, akkor ƒ(x) összes antideriváltjának halmazát az F(x)+C képlet adja meg, ahol C egy állandó szám.

▲ Az F(x)+C függvény az ƒ(x) antideriváltja.

Valóban, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Legyen F(x) valami más, az F(x-től eltérő) ƒ(x) antiderivatív függvény, azaz Ф "(x)=ƒ(x). Ekkor bármely x є (a; b) esetén megkapjuk

Ez pedig azt jelenti (lásd a 25.1. következményt).

ahol C egy állandó szám. Ezért Ф(х)=F(x)+С.▼

Az F(x)+C primitív függvények halmazát ƒ(x)-hez hívjuk a ƒ(x) függvény határozatlan integráljaés a ∫ ƒ(x) dx szimbólummal jelöljük.

Tehát definíció szerint

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Itt ƒ(x)-t hívják integrand, ƒ(x)dx — integrand, X - integrációs változó, ∫ -jel határozatlan integrál .

Egy függvény határozatlan integráljának megtalálásának műveletét e függvény integrációjának nevezzük.

A geometriailag határozatlan integrál az y \u003d F (x) + C "párhuzamos" görbék családja (C minden egyes számértéke a család egy bizonyos görbéjének felel meg) (lásd 166. ábra). Az egyes antiderivatívák (görbék) grafikonját ún integrálgörbe.

Minden függvénynek van határozatlan integrálja?

Van egy tétel, amely szerint „minden (a;b)-n folytonos függvénynek van antideriváltája ezen az intervallumon”, következésképpen egy határozatlan integrál.

Megjegyezzük a határozatlan integrál számos tulajdonságát, amelyek a definíciójából következnek.

1. A határozatlan integrál differenciálja egyenlő az integrandusszal, a határozatlan integrál származéka pedig egyenlő az integrandusszal:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

Valóban, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Ennek a tulajdonságnak köszönhetően az integráció helyességét a differenciálás igazolja. Például az egyenlőség

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

igaz, mivel (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Valamely függvény differenciáljának határozatlan integrálja egyenlő ennek a függvénynek és egy tetszőleges állandónak az összegével:

∫dF(x)=F(x)+C.

Igazán,

3. A konstans tényező kivehető az integrál előjelből:

α ≠ 0 egy állandó.

Igazán,

(C 1 / a \u003d C.)

4. Véges számú folytonos függvény algebrai összegének határozatlan integrálja egyenlő a függvények tagjainak integráljainak algebrai összegével:

Legyen F"(x)=ƒ(x) és G"(x)=g(x). Akkor

ahol C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (Az integrációs képlet változatlansága).

Ha , ahol u=φ(x) tetszőleges függvény, amelynek folytonos deriváltja van.

▲ Legyen x a független változó, ƒ(x) - folyamatos funkcióés F(x) az antideriváltja. Akkor

Állítsuk be most u=φ(x), ahol φ(x) egy folytonosan differenciálható függvény. Tekintsünk egy F(u)=F(φ(x)) komplex függvényt. A függvény első differenciáljának alakjának változatlansága miatt (lásd 160. o.)

Innen▼

Így a határozatlan integrál képlete érvényben marad, függetlenül attól, hogy az integrációs változó független változó-e, vagy annak bármely függvénye, amelynek folytonos deriváltja van.

Tehát a képletből x-et u-ra cserélve (u=φ(x)) azt kapjuk

Különösen,

Példa 29.1. Keresse meg az integrált

ahol C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

29.2. példa. Keresse meg az integrált megoldást:

• 29.3. Az alapvető határozatlan integrálok táblázata

Kihasználva azt a tényt, hogy az integráció a differenciálódás inverze, a differenciálszámítás megfelelő képleteinek megfordításával (differenciáltáblázat) és a határozatlan integrál tulajdonságainak felhasználásával egy alapintegrál táblázatot kaphatunk.

Például, mert

d(sin u)=cos u . du,

Számos táblázatos képlet származtatását adjuk meg az integráció főbb módszereinek mérlegelésekor.

Az alábbi táblázat integráljait táblázatos integráloknak nevezzük. Fejből kell tudni őket. Az integrálszámításban nincsenek egyszerű és univerzális szabályok az antiderivatívák megtalálására elemi függvények, mint a differenciálszámításban. Az antiderivátumok megtalálásának (azaz egy függvény integrálásának) módszerei olyan módszerek jelzésére redukálódnak, amelyek egy adott (kívánt) integrált táblázatossá teszik. Ezért szükséges a táblázatos integrálok ismerete és felismerése.

Figyeljük meg, hogy az alapintegrálok táblázatában a and integrációs változó független változót és független változó függvényét is jelölheti (az integrációs képlet invariancia tulajdonsága szerint).

Az alábbi képletek érvényességét úgy ellenőrizhetjük, hogy a jobb oldalon lévő differenciálművet vesszük, amely egyenlő lesz a képlet bal oldalán lévő integrandusszal.

Bizonyítsuk be például a 2. képlet érvényességét. Az 1/u függvény definiált és folytonos u minden nullától eltérő értékére.

Ha u > 0, akkor ln|u|=lnu, akkor Ezért

Ha te<0, то ln|u|=ln(-u). НоEszközök

Tehát a 2-es képlet helyes. Hasonlóképpen nézzük meg a 15. képletet:

Alapintegrálok táblázata

Barátok! Megbeszélésre hívjuk Önt. Ha van véleményed, írd meg nekünk kommentben.

Ebben a cikkben a határozott integrál főbb tulajdonságait soroljuk fel. E tulajdonságok többségét Riemann és Darboux határozott integrál fogalma alapján bizonyítjuk.

A határozott integrál kiszámítása gyakran az első öt tulajdonság felhasználásával történik, ezért szükség esetén hivatkozunk rájuk. A határozott integrál többi tulajdonságait főként különféle kifejezések kiértékelésére használjuk.

Mielőtt továbblépne a határozott integrál alapvető tulajdonságai, egyetértünk abban, hogy a nem haladja meg a b -t.

Az x = a -ra definiált y = f(x) függvényre az egyenlőség igaz.

Vagyis az azonos integrálási határértékekkel rendelkező határozott integrál értéke nulla. Ez a tulajdonság a Riemann-integrál definíciójának következménye, mivel ebben az esetben az intervallum bármely partíciójára és bármely pontválasztásra minden integrálösszeg egyenlő nullával, mivel ezért az integrálösszegek határa nulla.

Egy szegmensbe integrálható függvény esetében megvan .

Más szóval, amikor az integráció felső és alsó határát felcseréljük, a határozott integrál értéke megfordul. A határozott integrálnak ez a tulajdonsága a Riemann-integrál fogalmából is következik, csak egy szakasz partíciójának számozása az x = b pontból induljon ki.

intervallumon integrálható y = f(x) és y = g(x) függvényekre.

Bizonyíték.

Felírjuk a függvény integrál összegét a szegmens adott partíciójára és egy adott pontválasztásra:

ahol és az y = f(x) és y = g(x) függvények integrálösszegei a szegmens adott partíciójára.

Átlépés a határig: azt kapjuk, hogy a Riemann-integrál definíciója szerint ekvivalens a bizonyított tulajdonság állításával.

A konstans tényező kivehető a határozott integrál előjeléből. Azaz egy y = f(x) szegmensre és egy tetszőleges k számra integrálható függvény esetén az egyenlőség .

A határozott integrál ezen tulajdonságának bizonyítása teljesen hasonló az előzőhöz:


Legyen az y = f(x) függvény integrálható az X , és intervallumon és akkor .

Ez a tulajdonság mind és a vagy -ra érvényes.

A bizonyítás elvégezhető a határozott integrál előző tulajdonságai alapján.

Ha egy függvény integrálható egy szegmensbe, akkor bármely belső szegmensbe is integrálható.

A bizonyítás a Darboux összegek tulajdonságán alapul: ha új pontokat adunk a szegmens meglévő partíciójához, akkor az alsó Darboux összeg nem csökken, a felső pedig nem növekszik.

Ha az y = f(x) függvény integrálható az intervallumra és az argumentum bármely értékére, akkor .

Ezt a tulajdonságot a Riemann-integrál definíciója bizonyítja: a szegmens tetszőleges felosztási pontjaira és a pontokra adott integrálösszeg nem negatív (nem pozitív).

Következmény.

Egy intervallumra integrálható y = f(x) és y = g(x) függvényekre a következő egyenlőtlenségek érvényesek:


Ez az állítás azt jelenti, hogy az egyenlőtlenségek integrálása megengedhető. Ezt a következményt használjuk a következő tulajdonságok bizonyítására.

Legyen integrálható az y = f(x) függvény a szakaszon, akkor az egyenlőtlenség .

Bizonyíték.

Ez nyilvánvaló . Az előző tulajdonságban megállapítottuk, hogy az egyenlőtlenség tagról tagra integrálható, tehát ez igaz . Ez a kettős egyenlőtlenség így írható fel .

Legyen az y = f(x) és y = g(x) függvény integrálható az argumentum intervallumára és tetszőleges értékére, akkor , Ahol És .

A bizonyítás is hasonló módon történik. Mivel m és M az y = f(x) függvény legkisebb és legnagyobb értéke a szakaszon, akkor . Ha a kettős egyenlőtlenséget megszorozzuk az y = g(x) nemnegatív függvénnyel, a következő kettős egyenlőtlenséghez jutunk. A szegmensre integrálva jutunk el a bizonyítandó állításhoz.

Következmény.

Ha felvesszük g(x) = 1 , akkor az egyenlőtlenség alakját veszi fel .

Az átlag első képlete.

Legyen az y = f(x) függvény integrálható a szakaszon, és , akkor van egy olyan szám, hogy .

Következmény.

Ha az y = f(x) függvény folytonos a szakaszon, akkor van olyan szám, amelyre .

Az átlagérték első képlete általánosított formában.

Legyen az y = f(x) és y = g(x) függvények integrálhatók az intervallumon, és , és g(x) > 0 az argumentum bármely értékéhez. Aztán van egy olyan szám .

Az átlag második képlete.

Ha egy szakaszon az y = f(x) függvény integrálható és y = g(x) monoton, akkor létezik olyan szám, amelyre az egyenlőség .

Ez a cikk részletesen szól a határozott integrál főbb tulajdonságairól. Ezek bizonyítása a Riemann és Darboux integrál fogalmával történik. A határozott integrál számítása 5 tulajdonságnak köszönhetően megy. A többit különféle kifejezések értékelésére használják.

Mielőtt áttérnénk a határozott integrál főbb tulajdonságaira, meg kell győződni arról, hogy a nem haladja meg a b -t.

Határozott integrál alapvető tulajdonságai

1. definíció

Az x \u003d a-hoz definiált y \u003d f (x) függvény hasonló a ∫ a a f (x) d x \u003d 0 igazságos egyenlőséghez.

1. bizonyíték

Innen látjuk, hogy az egybeeső határértékekkel rendelkező integrál értéke nulla. Ez a Riemann-integrál következménye, mert minden σ integrálösszeg bármely partícióra az [ a ; a ] és a ζ i pontok bármely választása nullával egyenlő, mert x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , így azt kapjuk, hogy az integrálfüggvények határértéke nulla.

2. definíció

A szegmensre integrálható függvényre [ a ; b ] , a ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x feltétel teljesül.

2. bizonyítás

Más szóval, ha helyenként megváltoztatja az integráció felső és alsó határát, akkor az integrál értéke az ellenkezőjére változtatja az értéket. Ez a tulajdonság a Riemann integrálból származik. A szakasz felosztásának számozása azonban az x = b pontból indul.

3. definíció

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x az y = f (x) és y = g (x) típusú integrálható függvényekhez használatos az [ a ; b] .

3. bizonyítás

Írja fel az y = f (x) ± g (x) függvény integrálösszegét adott ζ i pontválasztású szegmensekre történő felosztáshoz: σ f ± σ g

ahol σ f és σ g az y = f (x) és y = g (x) függvények integrálösszegei a szakasz felosztásához. A határértékre való átlépés után λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 azt kapjuk, hogy lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Riemann definíciójából ez a kifejezés egyenértékű.

4. definíció

A konstans tényező kivonása a határozott integrál előjeléből. Integrálható függvény az [ a ; b ] tetszőleges k értékkel rendelkezik ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x alakú egyenlőtlenséggel.

4. bizonyítás

A határozott integrál tulajdonságának bizonyítása hasonló az előzőhöz:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ∫ a b k f ( x) d x = k ∫ a b f (x) d x

5. definíció

Ha egy y = f (x) alakú függvény integrálható egy x intervallumon a ∈ x , b ∈ x , akkor ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

5. bizonyítás

A tulajdonságot érvényesnek tekintjük c ∈ a esetén; b , ha c ≤ a és c ≥ b . A bizonyítás az előző tulajdonságokhoz hasonlóan történik.

6. definíció

Amikor egy függvény képes integrálni a szegmensből [ a ; b ], akkor ez bármely c belső szegmensre megvalósítható; d ∈ a; b.

6. bizonyítás

A bizonyítás a Darboux tulajdonságon alapul: ha egy szegmens egy meglévő partíciójához pontokat adunk, akkor az alsó Darboux összeg nem csökken, a felső pedig nem növekszik.

7. definíció

Ha egy függvény integrálható [ a ; b ] -ból f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 x ∈ a bármely értékére; b , akkor azt kapjuk, hogy ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

A tulajdonság a Riemann-integrál definíciójával igazolható: tetszőleges integrálösszeg a szakasz és a ζ i pontok tetszőleges választására azzal a feltétellel, hogy f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 nem negatív.

7. bizonyítás

Ha az y = f (x) és y = g (x) függvények integrálhatók az [ a ; b ] , akkor a következő egyenlőtlenségeket tekintjük érvényesnek:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; b

Az állításnak köszönhetően tudjuk, hogy az integráció megengedhető. Ezt a következményt más tulajdonságok bizonyításánál is felhasználjuk.

8. definíció

Egy y = f (x) integrálható függvényre az [ a ; b ] érvényes egyenlőtlenségünk van ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x alakú.

8. bizonyítás

Azt kaptuk, hogy - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Az előző tulajdonságból azt kaptuk, hogy az egyenlőtlenség tagonként integrálható, és egy - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x alakú egyenlőtlenségnek felel meg. Ez a kettős egyenlőtlenség más formában is felírható: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

9. definíció

Ha az y = f (x) és y = g (x) függvényeket integráljuk az [ a ; b ] ha g (x) ≥ 0 bármely x ∈ a esetén; b , egy m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x alakú egyenlőtlenséget kapunk, ahol m = m i n x ∈ a ; b f (x) és M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

9. bizonyítás

A bizonyítás is hasonló módon történik. M és m tekinthető a legnagyobbnak és a legkisebb érték függvény y = f (x) , az [ a ; b ] , akkor m ≤ f (x) ≤ M . A kettős egyenlőtlenséget meg kell szorozni az y = g (x) függvénnyel, ami az m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) alakú kettős egyenlőtlenség értékét kapja. Integrálni kell a szegmensre [ a ; b ] , akkor megkapjuk a bizonyítandó állítást.

Következmény: g (x) = 1 esetén az egyenlőtlenség m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) lesz.

Első átlagképlet

10. definíció

Ha y = f (x) integrálható az [ a ; b ] ahol m = m i n x ∈ a ; b f (x) és M = m a x x ∈ a ; b f (x) van egy μ ∈ m szám; M , amely illeszkedik ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Következmény: Amikor az y = f (x) függvény folytonos az [ a ; b ], akkor van egy c ∈ a szám; b , amely kielégíti a ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a egyenlőséget.

Az átlagérték első képlete általánosított formában

11. definíció

Amikor az y = f (x) és y = g (x) függvények integrálhatók az [ a ; b ] ahol m = m i n x ∈ a ; b f (x) és M = m a x x ∈ a ; b f (x) és g (x) > 0 x ∈ a bármely értékére; b. Tehát van egy μ ∈ m szám; M , amely kielégíti a ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x egyenlőséget.

Második átlagérték képlet

12. definíció

Amikor az y = f (x) függvény integrálható az [ a ; b ] , és y = g (x) monoton, akkor van egy szám, amely c ∈ a ; b , ahol a ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x formájú igazságos egyenlőséget kapjuk

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt