A lineáris függvény y=kx+b alakú függvény, ahol x független változó, k és b tetszőleges számok.
A lineáris függvény grafikonja egy egyenes.

1. Egy függvénygrafikon ábrázolásához, szükségünk van a függvény grafikonjához tartozó két pont koordinátáira. Ezek megtalálásához fel kell venni két x értéket, be kell cserélni a függvény egyenletébe, és ki kell számítani belőlük a megfelelő y értékeket.

Például az y= x+2 függvény ábrázolásához célszerű x=0 és x=3, ekkor ezeknek a pontoknak az ordinátái egyenlők lesznek y=2 és y=3 értékekkel. Az A(0;2) és B(3;3) pontokat kapjuk. Kössük össze őket, és kapjuk meg az y= x+2 függvény grafikonját:

2. Az y=kx+b képletben a k számot arányossági tényezőnek nevezzük:
ha k>0, akkor az y=kx+b függvény növekszik
ha k
A b együttható a függvény grafikonjának eltolódását mutatja az OY tengely mentén:
ha b>0, akkor az y=kx+b függvény grafikonját az y=kx függvény grafikonjából kapjuk úgy, hogy az OY tengely mentén b egységet felfelé tolunk
ha b
Az alábbi ábra az y=2x+3 függvények grafikonjait mutatja; y=½x+3; y=x+3

Vegye figyelembe, hogy ezekben a függvényekben a k együttható Nulla felett,és a funkciók azok növekvő. Sőt, minél nagyobb a k értéke, annál nagyobb az egyenes dőlésszöge az OX tengely pozitív irányához képest.

Minden függvényben b=3 - és azt látjuk, hogy minden gráf a (0;3) pontban metszi az OY tengelyt.

Tekintsük most az y=-2x+3 függvények grafikonjait; y=½ x+3; y=-x+3

Ezúttal minden függvényben a k együttható nullánál kisebbés jellemzői csökken. A b=3 együttható, és a grafikonok, mint az előző esetben, a (0;3) pontban keresztezik az OY tengelyt.

Tekintsük az y=2x+3 függvények grafikonjait; y=2x; y=2x-3

Most minden függvényegyenletben a k együtthatók 2-vel egyenlők. És kaptunk három párhuzamos egyenest.

De a b együtthatók eltérőek, és ezek a grafikonok különböző pontokban metszik az OY tengelyt:
Az y=2x+3 (b=3) függvény grafikonja a (0;3) pontban metszi az OY tengelyt.
Az y=2x (b=0) függvény grafikonja a (0;0) pontban - az origóban - keresztezi az OY tengelyt.
Az y=2x-3 (b=-3) függvény grafikonja a (0;-3) pontban metszi az OY tengelyt.

Tehát, ha ismerjük a k és b együtthatók előjeleit, akkor azonnal el tudjuk képzelni, hogy néz ki az y=kx+b függvény grafikonja.
Ha k 0

Ha k>0 és b>0, akkor az y=kx+b függvény grafikonja így néz ki:

Ha k>0 és b, akkor az y=kx+b függvény grafikonja így néz ki:

Ha k, akkor az y=kx+b függvény grafikonja így néz ki:

Ha k=0, akkor az y=kx+b függvény y=b függvénnyel alakul, és a grafikonja így néz ki:

Az y=b függvény grafikonjának minden pontjának ordinátája egyenlő b Ha b=0, akkor az y=kx (egyenes arányosság) függvény grafikonja átmegy az origón:

3. Külön megjegyezzük az x=a egyenlet grafikonját. Ennek az egyenletnek a grafikonja az OY tengellyel párhuzamos egyenes, amelynek minden pontjában x=a abszcissza van.

Például az x=3 egyenlet grafikonja így néz ki:
Figyelem! Az x=a egyenlet nem függvény, mivel az argumentum egy értéke a függvény különböző értékeinek felel meg, ami nem felel meg a függvény definíciójának.

4. Két egyenes párhuzamosságának feltétele:

Az y=k 1 x+b 1 függvény grafikonja párhuzamos az y=k 2 x+b 2 függvény grafikonjával, ha k 1 =k 2

5. A feltétel, hogy két egyenes merőleges legyen:

Az y=k 1 x+b 1 függvény grafikonja merőleges az y=k 2 x+b 2 függvény grafikonjára, ha k 1 *k 2 =-1 vagy k 1 =-1/k 2

6. Az y=kx+b függvény grafikonjának metszéspontjai a koordinátatengelyekkel.

OY tengellyel. Az OY tengelyhez tartozó bármely pont abszcissza nullával egyenlő. Ezért az OY tengellyel való metszéspont megtalálásához x helyett nullát kell helyettesítenie a függvény egyenletében. y=b-t kapunk. Azaz az OY tengellyel való metszéspontnak vannak koordinátái (0;b).

Az x tengellyel: Az x tengelyhez tartozó bármely pont ordinátája nulla. Ezért az OX tengellyel való metszéspont megtalálásához a függvény egyenletében y helyett nullát kell behelyettesíteni. 0=kx+b-t kapunk. Ezért x=-b/k. Vagyis az OX tengellyel való metszéspontnak vannak koordinátái (-b / k; 0):

1. Lineáris törtfüggvény és grafikonja

Az y = P(x) / Q(x) alakú függvényt, ahol P(x) és Q(x) polinomok, tört racionális függvénynek nevezzük.

Valószínűleg már ismeri a racionális számok fogalmát. Hasonlóképpen racionális függvények olyan függvények, amelyek két polinom hányadosaként ábrázolhatók.

Ha egy tört racionális függvény két lineáris függvény - elsőfokú polinomok - hányadosa, azaz. nézet funkció

y = (ax + b) / (cx + d), akkor ezt tört lineárisnak nevezzük.

Figyeljük meg, hogy az y = (ax + b) / (cx + d) függvényben c ≠ 0 (egyébként a függvény lineárissá válik y = ax/d + b/d) és hogy a/c ≠ b/d (egyébként a függvény állandó). A lineáris-tört függvény minden valós számra definiálva van, kivéve x = -d/c. A lineáris-törtfüggvények grafikonjai formailag nem különböznek az általunk ismert y = 1/x gráftól. Meghívjuk azt a görbét, amely az y = 1/x függvény grafikonja túlzás. Ha x abszolút értékben korlátlanul nő, az y = 1/x függvény abszolút értékben korlátlanul csökken, és a grafikon mindkét ága megközelíti az abszcissza tengelyt: a jobb felülről, a bal pedig alulról. A hiperbola ágai által megközelített vonalakat annak nevezzük aszimptoták.

1. példa

y = (2x + 1) / (x - 3).

Megoldás.

Jelöljük ki az egész részt: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Most könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: eltolás 3 egységnyi szegmenssel jobbra, nyújtás az Oy tengely mentén 7-szeresre és eltolás 2 egységszegmenssel felfelé.

Bármely y = (ax + b) / (cx + d) tört ugyanúgy felírható, kiemelve az „egész részt”. Következésképpen az összes lineáris-törtfüggvény grafikonja a koordinátatengelyek mentén különféle módon eltolt és az Oy tengely mentén kifeszített hiperbolák.

Egy tetszőleges grafikon felépítéséhez lineáris törtfüggvény egyáltalán nem szükséges átalakítani az ezt a függvényt meghatározó törtet. Mivel tudjuk, hogy a gráf hiperbola, elég lesz megtalálni azokat az egyeneseket, amelyekhez az ágai közelítenek - az x = -d/c és y = a/c hiperbola-aszimptotákat.

2. példa

Keresse meg az y = (3x + 5)/(2x + 2) függvény gráfjának aszimptotáit!

Megoldás.

A függvény nincs definiálva, ha x = -1. Ezért az x = -1 egyenes függőleges aszimptotaként szolgál. A vízszintes aszimptota megtalálásához nézzük meg, hogy az y(x) függvény értékei mihez közelednek, amikor az x argumentum abszolút értékben nő.

Ehhez elosztjuk a tört számlálóját és nevezőjét x-szel:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Mint x → ∞, a tört 3/2-re hajlik. Ezért a vízszintes aszimptota az y = 3/2 egyenes.

3. példa

Ábrázolja az y = (2x + 1)/(x + 1) függvényt!

Megoldás.

Kiválasztjuk a tört „egész részét”:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Most már könnyen belátható, hogy ennek a függvénynek a grafikonját az y = 1/x függvény grafikonjából kapjuk a következő transzformációkkal: 1 egységnyi eltolás balra, szimmetrikus megjelenítés az Ox-hoz képest, és 2 egységnyi intervallumnyi eltolás felfelé az Oy tengely mentén.

Definíciós tartomány D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

ÉrtéktartományE(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Metszéspontok tengelyekkel: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). A függvény a definíciós tartomány mindegyik intervallumán növekszik.

Válasz: 1. ábra.

2. Tört-racionális függvény

Tekintsünk egy y = P(x) / Q(x) alakú tört racionális függvényt, ahol P(x) és Q(x) az elsőnél magasabb fokú polinomok.

Példák ilyen racionális függvényekre:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) vagy y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ha az y = P(x) / Q(x) függvény két, az elsőnél magasabb fokszámú polinom hányadosa, akkor a gráfja általában bonyolultabb lesz, és néha nehéz lehet pontosan megépíteni, minden részlettel együtt. Azonban gyakran elég azokhoz hasonló technikákat alkalmazni, amelyekkel fentebb már találkoztunk.

Legyen a tört megfelelő (n< m). Известно, что любую несократимую racionális törtábrázolható, ráadásul egyedi módon, véges számú elemi tört összegeként, amelynek formáját a Q(x) tört nevezőjének valós tényezők szorzatára való kiterjesztésével határozzuk meg:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + ... +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Nyilvánvaló, hogy egy tört racionális függvény grafikonja megkapható elemi törtek grafikonjainak összegeként.

Tört racionális függvények ábrázolása

Tekintsünk több módot egy tört-racionális függvény ábrázolására.

4. példa

Ábrázoljuk az y = 1/x 2 függvényt.

Megoldás.

Az y \u003d x 2 függvény grafikonját használjuk az y \u003d 1 / x 2 grafikon ábrázolásához, és a grafikonok „osztásának” módszerét használjuk.

D(y) tartomány = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Értéktartomány E(y) = (0; +∞).

Nincsenek metszéspontok a tengelyekkel. A funkció egyenletes. Növekszik minden x-re a (-∞; 0) intervallumból, x esetén csökken 0-tól +∞-ig.

Válasz: 2. ábra.

5. példa

Ábrázolja az y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) függvényt.

Megoldás.

D(y) tartomány = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \u003d -x / 3 + 1/3.

Itt a faktoring, redukció és lineáris függvényre redukció technikáját alkalmaztuk.

Válasz: 3. ábra.

6. példa

Ábrázolja az y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) függvényt.

Megoldás.

A definíciós tartomány D(y) = R. Mivel a függvény páros, a gráf szimmetrikus az y tengelyre. Az ábrázolás előtt ismét átalakítjuk a kifejezést az egész rész kiemelésével:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Figyeljük meg, hogy a tört-racionális függvény képletében az egész rész kiválasztása az egyik legfontosabb a grafikonok ábrázolásakor.

Ha x → ±∞, akkor y → 1, azaz, az y = 1 egyenes vízszintes aszimptota.

Válasz: 4. ábra.

7. példa

Tekintsük az y = x/(x 2 + 1) függvényt, és próbáljuk meg pontosan megtalálni a legnagyobb értékét, pl. a legtöbb csúcspont a grafikon jobb fele. Ennek a grafikonnak a pontos felépítéséhez a mai tudás nem elegendő. Nyilvánvaló, hogy a görbénk nem "kúszhat" nagyon magasra, hiszen a nevező gyorsan elkezdi „előzni” a számlálót. Nézzük meg, hogy a függvény értéke egyenlő lehet-e 1-gyel. Ehhez meg kell oldani az x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 egyenletet. Ennek az egyenletnek nincs valódi gyökere. Tehát a feltevésünk téves. Hogy megtalálja a legtöbbet nagyon fontos függvény, meg kell találnia, hogy melyik legnagyobb A-ra lesz megoldása az A \u003d x / (x 2 + 1) egyenletnek. Cseréljük ki az eredeti egyenletet másodfokúra: Ax 2 - x + A = 0. Ennek az egyenletnek van megoldása, ha 1 - 4A 2 ≥ 0. legmagasabb érték A = 1/2.

Válasz: 5. ábra, max y(x) = ½.

Van kérdésed? Nem tudja, hogyan kell függvénygrafikonokat készíteni?
Ha oktatói segítséget szeretne kérni - regisztráljon.
Az első óra ingyenes!

oldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges.

Tudás alapvető elemi függvények, tulajdonságaik és grafikonjai nem kevésbé fontos, mint a szorzótábla ismerete. Olyanok, mint egy alap, minden rájuk épül, minden belőlük épül fel, és minden rájuk dől.

Ebben a cikkben felsoroljuk az összes fő elemi függvényt, megadjuk a grafikonjaikat, és megadjuk azokat levezetés és bizonyítások nélkül. alapvető elemi függvények tulajdonságai séma szerint:

• a függvény viselkedése a definíciós tartomány határain, függőleges aszimptoták (szükség esetén lásd a függvény töréspontjainak osztályozását);
• páros és páratlan;
• konvexitás (konvexitás felfelé) és konvexitás (konvexitás lefelé) intervallumok, inflexiós pontok (szükség esetén lásd a cikkelyt a konvexitás, konvexitás iránya, inflexiós pontok, konvexitás és inflexiós feltételek) függvényében;
• ferde és vízszintes aszimptoták;
• függvények szinguláris pontjai;
• speciális tulajdonságok néhány függvény (például a trigonometrikus függvények legkisebb pozitív periódusa).

Ha érdekli a vagy, akkor ugorjon az elmélet ezen részeire.

Alapvető elemi funkciók a következők: konstans függvény (konstans), n-edik fok gyöke, hatványfüggvény, exponenciális, logaritmikus függvény, trigonometrikus és inverz trigonometrikus függvény.

Oldalnavigáció.

Állandó funkció.

Az összes valós szám halmazán egy állandó függvényt ad meg a képlet, ahol C valamilyen valós szám. A konstans függvény az x független változó minden valós értékéhez hozzárendeli az y függő változó azonos értékét - a С értéket. Az állandó függvényt konstansnak is nevezik.

Egy konstans függvény grafikonja az x tengellyel párhuzamos egyenes, amely egy (0,C) koordinátájú ponton halad át. Mutassuk meg például az y=5 , y=-2 és , konstans függvények grafikonjait, amelyek az alábbi ábrán a fekete, piros és kék vonalaknak felelnek meg.

Egy állandó függvény tulajdonságai.

• Definíciós tartomány: a valós számok teljes halmaza.
• Az állandó függvény páros.
• Értéktartomány: halmaz, amelyből áll egyedülálló VAL VEL .
• A konstans függvény nem növekvő és nem csökkenő (ezért állandó).
• Nincs értelme az állandó konvexitásáról és homorúságáról beszélni.
• Nincs aszimptota.
• A függvény áthalad a koordinátasík (0,C) pontján.

Az n-edik fok gyökere.

Tekintsük az alapvető elemi függvényt, amelyet a képlet ad meg, ahol n természetes szám, nagyobb, mint egy.

Az n-edik fok gyöke, n páros szám.

Kezdjük az n-edik gyökérfüggvénnyel az n gyökérkitevő páros értékeihez.

Például adunk egy képet a függvények grafikonjainak képeivel és , ezek fekete, piros és kék vonalaknak felelnek meg.

A gyökér függvények grafikonjai hasonló formájúak. páros fokozat a mutató egyéb értékeinél.

Az n-edik fok gyökének tulajdonságai páros n esetén.

Az n-edik fok gyöke, n páratlan szám.

Az n-edik fok gyökfüggvénye az n gyök páratlan kitevőjével a valós számok teljes halmazán definiálva van. Például függvénygrafikonokat mutatunk be és , a fekete, piros és kék görbék felelnek meg nekik.

A gyökkitevő más páratlan értékei esetén a függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek lesznek.

Az n-edik fok gyökének tulajdonságai páratlan n esetén.

Teljesítmény funkció.

A hatványfüggvényt az alak képlete adja meg.

Tekintsük a hatványfüggvény grafikonjainak típusát és a hatványfüggvény tulajdonságait a kitevő értékétől függően.

Kezdjük egy hatványfüggvénnyel, amelynek egész kitevője a . Ebben az esetben a hatványfüggvények grafikonjainak formája és a függvények tulajdonságai függenek a páros vagy páratlan kitevőtől, valamint annak előjelétől. Ezért először a hatványfüggvényeket az a kitevő páratlan pozitív értékeire, majd a páros pozitívokra, majd a páratlan negatív kitevőkre és végül a páros negatív a kitevőkre tekintjük.

A tört és irracionális kitevővel rendelkező hatványfüggvények tulajdonságai (valamint az ilyen hatványfüggvények grafikonjainak típusa) az a kitevő értékétől függenek. Először is figyelembe vesszük őket, ha a nullától egyig, másodszor, ha a nagyobb egynél, harmadszor, amikor a mínusz egytől nulláig, és negyedszer, ha a kisebb, mint mínusz egy.

Az alfejezet zárásaként a teljesség kedvéért egy nulla kitevővel rendelkező hatványfüggvényt írunk le.

Hatványfüggvény páratlan pozitív kitevővel.

Tekintsünk egy hatványfüggvényt páratlan pozitív kitevővel, azaz a=1,3,5,… .

Az alábbi ábra a hatványfüggvények grafikonját mutatja - fekete vonal, - kék vonal, - piros vonal, - zöld vonal. Az a=1-re van lineáris függvény y=x.

Páratlan pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény páros pozitív kitevővel.

Tekintsünk egy páros pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvényt, azaz a=2,4,6,… esetén.

Példaként vegyük a hatványfüggvények grafikonjait - fekete vonal, - kék vonal, - piros vonal. A=2 esetén van egy másodfokú függvényünk, amelynek gráfja a másodfokú parabola.

Páros pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény páratlan negatív kitevővel.

Nézze meg az exponenciális függvény grafikonjait a kitevő páratlan negatív értékeihez, azaz egy \u003d -1, -3, -5, ... esetén.

Az ábrán az exponenciális függvények grafikonjai láthatók példaként - fekete vonal, - kék vonal, - piros vonal, - zöld vonal. A=-1-re van fordított arányosság , melynek grafikonja hiperbola.

Páratlan negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény páros negatív kitevővel.

Térjünk át a hatványfüggvényre, ahol a=-2,-4,-6,….

Az ábrán a hatványfüggvények grafikonjai láthatók - fekete vonal, - kék vonal, - piros vonal.

Páros negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Racionális vagy irracionális kitevővel rendelkező hatványfüggvény, amelynek értéke nagyobb, mint nulla és kisebb, mint egy.

Jegyzet! Ha a egy pozitív tört páratlan nevezővel, akkor egyes szerzők az intervallumot tekintik a hatványfüggvény tartományának. Ugyanakkor előírják, hogy az a kitevő irreducibilis tört. Most számos algebrával és az elemzés kezdetével foglalkozó tankönyv szerzői NEM DEFINÍCIÓK A hatványfüggvényeket olyan kitevővel, amely az argumentum negatív értékeinek páratlan nevezőjével rendelkező tört formájában történik. Pont egy ilyen nézethez fogunk ragaszkodni, vagyis a tört pozitív kitevővel rendelkező hatványfüggvények tartományait tekintjük a halmaznak. Arra biztatjuk a tanulókat, hogy a nézeteltérések elkerülése érdekében ismerjék meg tanára nézőpontját ezzel a finom kérdéssel kapcsolatban.

Tekintsünk egy hatványfüggvényt a racionális vagy irracionális kitevővel, és .

A hatványfüggvények grafikonjait a=11/12 (fekete vonal), a=5/7 (piros vonal), (kék vonal), a=2/5 (zöld vonal) értéknél mutatjuk be.

Hatványfüggvény egynél nagyobb nem egész racionális vagy irracionális kitevővel.

Tekintsünk egy hatványfüggvényt, amelynek nem egész racionális vagy irracionális kitevője a , és .

Mutassuk be a képletek által adott hatványfüggvények grafikonjait (fekete, piros, kék és zöld vonalak).

>

Az a kitevő többi értéke esetén a függvény grafikonjai hasonló kinézetűek lesznek.

Hatványfüggvény tulajdonságai a .

Hatványfüggvény, amelynek valós kitevője nagyobb, mint mínusz egy és kisebb, mint nulla.

Jegyzet! Ha a negatív tört páratlan nevezővel, akkor egyes szerzők az intervallumot veszik figyelembe . Ugyanakkor előírják, hogy az a kitevő irreducibilis tört. Most számos algebrával és az elemzés kezdetével foglalkozó tankönyv szerzői NEM DEFINÍCIÓK A hatványfüggvényeket olyan kitevővel, amely az argumentum negatív értékeinek páratlan nevezőjével rendelkező tört formájában történik. Pont egy ilyen nézethez fogunk ragaszkodni, vagyis a tört negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvények tartományait tekintjük halmaznak, ill. Arra biztatjuk a tanulókat, hogy a nézeteltérések elkerülése érdekében ismerjék meg tanára nézőpontját ezzel a finom kérdéssel kapcsolatban.

Áttérünk a hatványfüggvényre, ahol .

Annak érdekében, hogy jó elképzelésünk legyen a hatványfüggvények grafikonjairól, példákat adunk a függvények grafikonjaira (fekete, piros, kék és zöld görbék).

Az a, kitevőjű hatványfüggvény tulajdonságai.

Hatványfüggvény, amelynek nem egész valós kitevője kisebb, mint mínusz egy.

Adjunk példákat a hatványfüggvények grafikonjaira , fekete, piros, kék és zöld vonalakkal vannak ábrázolva.

Egy mínusz egynél kisebb negatív kitevővel rendelkező hatványfüggvény tulajdonságai.

Ha a=0, és van egy függvényünk - ez egy egyenes, amelyből a (0; 1) pont ki van zárva (a 0 0 kifejezés nem tulajdonít jelentőséget).

Exponenciális függvény.

Az egyik alapvető elemi függvény az exponenciális függvény.

Menetrend exponenciális függvény, hol és viszi másfajta a bázis értékétől függően a. Találjuk ki.

Először nézzük meg azt az esetet, amikor az exponenciális függvény bázisa nulláról egyre vesz fel értéket, azaz .

Például bemutatjuk az exponenciális függvény grafikonjait, ha a = 1/2 - a kék vonal, a = 5/6 - a piros vonal. Az exponenciális függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek az intervallumból származó bázis többi értékénél.

Egynél kisebb bázisú exponenciális függvény tulajdonságai.

Rátérünk arra az esetre, amikor az exponenciális függvény bázisa nagyobb egynél, azaz .

Szemléltetésképpen bemutatjuk az exponenciális függvények grafikonját - a kék vonalat és - a piros vonalat. A bázis egyéb, egynél nagyobb értékei esetén az exponenciális függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek lesznek.

Egynél nagyobb bázisú exponenciális függvény tulajdonságai.

Logaritmikus függvény.

A következő alapvető elemi függvény a logaritmikus függvény, ahol , . A logaritmikus függvény csak az argumentum pozitív értékeihez van definiálva, vagyis a .

Menetrend logaritmikus függvény az a bázis értékétől függően eltérő formát ölt.

Kezdjük azzal az esettel, amikor .

Például bemutatjuk a logaritmikus függvény grafikonjait, ha a = 1/2 - a kék vonal, a = 5/6 - a piros vonal. Az egyet meg nem haladó bázis egyéb értékei esetén a logaritmikus függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek lesznek.

Egynél kisebb bázisú logaritmikus függvény tulajdonságai.

Térjünk át arra az esetre, amikor a logaritmikus függvény alapja nagyobb, mint egy ().

Mutassuk meg a logaritmikus függvények grafikonjait - kék vonal, - piros vonal. A bázis egyéb, egynél nagyobb értékei esetén a logaritmikus függvény grafikonjai hasonló megjelenésűek lesznek.

Egynél nagyobb bázisú logaritmikus függvény tulajdonságai.

Trigonometrikus függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik.

Minden trigonometrikus függvény (szinusz, koszinusz, érintő és kotangens) alapvető elemi függvény. Most megvizsgáljuk grafikonjaikat, és felsoroljuk tulajdonságaikat.

A trigonometrikus függvényeknek van fogalmuk periodicitás(a függvényértékek ismétlődése a különböző értékeketérvek, amelyek a periódus értékével különböznek egymástól , ahol T a pont), ezért a trigonometrikus függvények tulajdonságainak listája egy elemmel bővült "legkisebb pozitív időszak". Ezenkívül minden trigonometrikus függvénynél feltüntetjük annak az argumentumnak az értékeit, amelynél a megfelelő függvény eltűnik.

Most foglalkozzunk mindennel trigonometrikus függvények sorrendben.

A szinuszfüggvény y = sin(x) .

Rajzoljuk meg a szinuszfüggvény grafikonját, ezt nevezzük szinuszosnak.

Az y = sinx szinuszfüggvény tulajdonságai.

Koszinuszfüggvény y = cos(x) .

A koszinusz függvény grafikonja (ezt "koszinusznak" nevezik) így néz ki:

A koszinuszfüggvény tulajdonságai y = cosx .

Érintőfüggvény y = tg(x) .

Az érintőfüggvény grafikonja (az úgynevezett "tangentoid") így néz ki:

Függvénytulajdonságok tangens y = tgx .

Kotangens függvény y = ctg(x) .

Rajzoljuk meg a kotangens függvény grafikonját (ezt "kotangensnek" nevezik):

Kotangens függvény tulajdonságai y = ctgx .

Inverz trigonometrikus függvények, tulajdonságaik és grafikonjaik.

Az inverz trigonometrikus függvények (arcsine, arccosine, arctangens és arccotangens) az alapvető elemi függvények. Gyakran az "ív" előtag miatt az inverz trigonometrikus függvényeket ívfüggvényeknek nevezik. Most megvizsgáljuk grafikonjaikat, és felsoroljuk tulajdonságaikat.

Arcsin függvény y = arcsin(x) .

Ábrázoljuk az arcszinusz függvényt:

Függvénytulajdonságok arccotangens y = arcctg(x) .

Bibliográfia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Az algebra és az elemzés kezdetei: Proc. 10-11 sejtre. oktatási intézmények.
• Vygodsky M.Ya. Az elemi matematika kézikönyve.
• Novoselov S.I. Algebra és elemi függvények.
• Tumanov S.I. Elemi algebra. Útmutató az önképzéshez.

Nemzeti Kutató Egyetem

Alkalmazott Földtani Tanszék

Esszé a felsőbb matematikáról

A témában: "Alapvető elemi funkciók,

tulajdonságaik és grafikonjaik"

Elkészült:

Ellenőrizve:

tanár

Meghatározás. Az y=a x képlettel adott függvényt (ahol a>0, a≠1) a bázisú exponenciális függvénynek nevezzük.

Fogalmazzuk meg az exponenciális függvény főbb tulajdonságait:

1. A definíciós tartomány az összes valós szám halmaza (R).

2. Az értéktartomány az összes pozitív valós szám halmaza (R+).

3. Ha a > 1, a függvény a teljes valós vonalon növekszik; 0-nál<а<1 функция убывает.

4. Általános funkció.

, az xО [-3;3] , az xО intervallumon [-3;3]

Az y(х)=х n alakú függvényt, ahol n az ОR szám, hatványfüggvénynek nevezzük. Az n szám különböző értéket vehet fel: egész és tört, páros és páratlan értéket egyaránt. Ettől függően a teljesítmény függvény más formát ölt. Vegye figyelembe az olyan speciális eseteket, amelyek energiaszámok, és tükrözik az ilyen típusú görbék fő tulajdonságait a következő sorrendben: Y = X² teljesítményfüggvény (egy függvény egyenletes exponenssel - egy parabola), egy y = x³ teljesítményfüggvény (egy függvény, amely egy furcsa exponenssel - egy köbös parabola) és az y = √x függvény (x egy ½ függvény).

Teljesítmény funkció y=x²

1. D(x)=R – a függvény a teljes numerikus tengelyen definiálva van;

2. E(y)= és növekszik az intervallumon

Teljesítmény funkció y=x³

1. Az y \u003d x³ függvény grafikonját köbös parabolának nevezzük. Az y=x³ hatványfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

2. D(x)=R – a függvény a teljes numerikus tengelyen definiálva van;

3. E(y)=(-∞;∞) – a függvény minden értéket felvesz a definíciós tartományában;

4. Ha x=0 y=0 – a függvény áthalad az O(0;0) origón.

5. A függvény a teljes definíciós tartományban növekszik.

6. A függvény páratlan (szimmetrikus az origóra).

, az xн intervallumon [-3;3]

Az x³ előtti számtényezőtől függően a függvény lehet meredek / lapos és növelő / csökkenő.

Hatványfüggvény egész negatív kitevővel:

Ha az n kitevő páratlan, akkor egy ilyen hatványfüggvény grafikonját hiperbolának nevezzük. A negatív egész kitevővel rendelkező hatványfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) bármely n esetén;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), ha n páratlan szám; E(y)=(0;∞) ha n páros szám;

3. A függvény a teljes definíciós tartományban csökken, ha n páratlan szám; a függvény a (-∞;0) intervallumon növekszik és a (0;∞) intervallumon csökken, ha n páros szám.

4. A függvény páratlan (szimmetrikus az origóra), ha n páratlan szám; egy függvény páros, ha n páros szám.

5. A függvény átmegy az (1;1) és (-1;-1) pontokon, ha n páratlan szám, valamint az (1;1) és (-1;1) pontokon, ha n páros szám.

, az xн intervallumon [-3;3]

Hatványfüggvény tört kitevővel

Az alak törtkitevőjű hatványfüggvény (kép) rendelkezik az ábrán látható függvény grafikonjával. A tört kitevővel rendelkező hatványfüggvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik: (kép)

1. D(x) ОR, ha n páratlan szám és D(x)= , az xО intervallumon, az xО [-3;3] intervallumon

Az y \u003d log a x logaritmikus függvény a következő tulajdonságokkal rendelkezik:

1. D(x)н (0; + ∞) definíciós tartománya.

2. ÉrtéktartományE(y) О (- ∞; + ∞)

3. A függvény nem páros és nem páratlan (általános).

4. A függvény a (0; + ∞) intervallumon növekszik, ha a > 1, és csökken (0; + ∞) ha 0< а < 1.

Az y = log a x függvény grafikonját az y = a x függvény grafikonjából kaphatjuk meg az y = x egyenesre vonatkozó szimmetriatranszformáció segítségével. A 9. ábrán a > 1 logaritmikus függvény diagramja, a 10. ábrán pedig 0 esetén látható.< a < 1.

; az xн intervallumon; az xО intervallumon

Az y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x függvényeket trigonometrikus függvényeknek nevezzük.

Az y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x függvények páratlanok, az y \u003d cos x függvények pedig párosak.

y függvény \u003d sin (x).

1. D(x) ОR definíciós terület.

2. Értéktartomány E(y) О [ - 1; 1].

3. A függvény periodikus; a főperiódus 2π.

4. A függvény páratlan.

5. A függvény növekszik a [ -π/2 + 2πn intervallumokon; π/2 + 2πn] és a [ π/2 + 2πn intervallumokon csökken; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Az y \u003d sin (x) függvény grafikonja a 11. ábrán látható.

A függvények és grafikonjaik az iskolai matematika egyik legérdekesebb témája. Csak kár, hogy átmegy... túl az órákon és a diákokon. Soha nincs rá elég idő a középiskolában. És azok a függvények, amelyek a 7. osztályban játszódnak le - egy lineáris függvény és egy parabola - túl egyszerűek és nem bonyolultak ahhoz, hogy megmutassák a sokféle érdekes feladatot.

A függvénygrafikonok készítésének képessége szükséges a matematikai vizsgán a paraméterekkel kapcsolatos problémák megoldásához. Ez az egyik első témakör az egyetemi matematikai elemzés szakon. Ez olyan fontos téma, hogy az Egységes Állami Vizsgastúdióban speciális intenzív tanfolyamokat tartunk középiskolás diákok és tanárok számára Moszkvában és online. A résztvevők gyakran azt mondják: „Kár, hogy ezt korábban nem tudtuk.”

De ez még nem minden. A valódi, „felnőtt” matematika a függvény fogalmával kezdődik. Végül is összeadás és kivonás, szorzás és osztás, törtek és arányok - ez még mindig aritmetika. A kifejezéstranszformációk algebra. A matematika pedig nem csak a számokról, hanem a mennyiségek összefüggéseiről is tudomány. A függvények és gráfok nyelvezete érthető egy fizikus, egy biológus és egy közgazdász számára. És ahogy Galileo Galilei mondta: "A természet könyve a matematika nyelvén van megírva".

Pontosabban Galileo Galilei ezt mondta: „A matematika az az ábécé, amellyel az Úr megrajzolta az univerzumot.”

Áttekintendő témák:

1. Ábrázolja a függvényt

Ismerős kihívás! Ezek találkoztak OGE opciók matematika. Ott nehéznek számítottak. De itt nincs semmi bonyolult.

Egyszerűsítsük a függvényképletet:

Függvénygráf - egyenes vonal kilyukasztott ponttal

2. Ábrázolja a függvényt

Jelöljük ki az egész részt a függvényképletben:

A függvény grafikonja egy hiperbola, amely x-ben 3-mal jobbra, y-ban 2-vel felfelé van eltolva, és 10-szeresre van kinyújtva a függvénygráfhoz képest.

A teljes rész válogatása - hasznos technika egyenlőtlenségek megoldására, grafikonok ábrázolására és egész számok kiértékelésére használják számokkal és tulajdonságaikkal kapcsolatos feladatokban. Vele is találkozni fogsz az első évben, amikor integrálokat kell venni.

3. Ábrázolja a függvényt

A függvény grafikonjából kapjuk meg 2-szeri nyújtással, függőleges átfordítással és 1-gyel függőlegesen felfelé tolva

4. Ábrázolja a függvényt

A lényeg a helyes cselekvési sorrend. Írjuk fel a függvényképletet kényelmesebb formában:

A következő sorrendben cselekszünk:

1) Told el balra az y=sinx függvény grafikonját;

2) nyomja meg kétszer vízszintesen,

3) feszítsd ki háromszor függőlegesen,

4) lépj feljebb 1-gyel

Most több grafikont készítünk a tört racionális függvényekről. Hogy jobban megértse, hogyan tesszük ezt, olvassa el a „Funkcióviselkedés az Infinitynél” című cikket. Aszimptoták".

5. Ábrázolja a függvényt

Funkció hatóköre:

Funkció nullák: és

Az x = 0 egyenes (y-tengely) a függvény függőleges aszimptotája. Aszimptota- egy egyenes, amelyhez egy függvény grafikonja végtelenül közelít, de nem metszi és nem olvad össze vele (lásd a "Függvény viselkedése a végtelenben. Aszimptoták" témakört)

Vannak más aszimptoták a funkciónkra? Hogy megtudjuk, nézzük meg, hogyan viselkedik a függvény, amikor x a végtelenbe megy.

Nyissuk meg a zárójeleket a függvényképletben:

Ha x a végtelenbe megy, akkor nullára megy. Az egyenes a függvény grafikonjának ferde aszimptotája.

6. Ábrázolja a függvényt

Ez egy tört racionális függvény.

Funkció hatóköre

Funkció nullák: pontok - 3, 2, 6.

A függvény előjelállandóságának intervallumait az intervallumok módszerével határozzuk meg.

Függőleges aszimptoták:

Ha x a végtelenbe hajlik, akkor y 1-re hajlik. Tehát egy vízszintes aszimptota.

Íme a grafikon vázlata:

Egy másik érdekes technika a grafikonok hozzáadása.

7. Ábrázolja a függvényt

Ha x a végtelenbe hajlik, akkor a függvény grafikonja végtelenül közel fog közeledni a ferde aszimptotához

Ha x nullára hajlik, akkor a függvény így viselkedik: Ezt látjuk a grafikonon:

Így elkészítettük a függvények összegének grafikonját. Most a munkarend!

8. Ábrázolja a függvényt

Ennek a függvénynek a tartománya a pozitív számok, mivel csak pozitív x van definiálva

A függvényértékek nullák (ha a logaritmus nulla), valamint azokban a pontokban, ahol, azaz

Amikor , az érték (cos x) egyenlő eggyel. A függvény értéke ezekben a pontokban egyenlő lesz

9. Ábrázolja a függvényt

A függvény az Ez páros értékre van definiálva, mivel két páratlan függvény szorzata és A grafikon szimmetrikus az y tengelyre.

A függvény nullái azokon a pontokon vannak, ahol, azaz at

Ha x a végtelenbe megy, akkor nullára megy. De mi történik, ha x nullára hajlik? Hiszen x és sin x is egyre kisebb lesz. Hogyan fog viselkedni a közlegény?

Kiderült, hogy ha x nullára hajlik, akkor egyre. A matematikában ezt az állítást "First Remarkable Limit"-nek nevezik.

De mi a helyzet a származékkal? Igen, végre eljutottunk oda. A derivált segít a függvények pontosabb ábrázolásában. Keresse meg a maximális és minimális pontokat, valamint a függvényértékeket ezeken a pontokon.

10. Ábrázolja a függvényt

A függvény hatóköre minden valós szám, hiszen

A függvény páratlan. Grafikája szimmetrikus az origóhoz képest.

x=0 esetén a függvény értéke nulla. Mert a függvény értékei pozitívak, az pedig negatívak.

Ha x a végtelenbe megy, akkor nullára megy.

Keressük meg a függvény deriváltját
A hányados deriváltjának képlete szerint

Ha ill

Ezen a ponton a derivált "mínusz"-ról "pluszra" változtatja az előjelet, ami a függvény minimumpontja.

Ezen a ponton a derivált "plusz"-ról "mínuszra" változtatja az előjelet, ami a függvény maximális pontja.

Keressük meg a függvény értékeit x=2-nél és x=-2-nél.

Kényelmes függvénygráfokat építeni egy bizonyos algoritmus vagy séma szerint. Emlékszel, hogy az iskolában tanultad?

Egy függvény grafikonjának felépítésének általános sémája:

1. A funkció hatóköre

2. A függvényértékek tartománya

3. Páros – páratlan (ha van)

4. Gyakoriság (ha van)

5. A függvény nullai pontjai (pontok, ahol a gráf keresztezi a koordinátatengelyeket)

6. Egy függvény állandóságának intervallumai (vagyis azok az intervallumok, amelyeken szigorúan pozitív vagy szigorúan negatív).

7. Aszimptoták (ha vannak).

8. Függvény viselkedése a végtelenben

9. Függvény származéka

10. Növekedési és csökkenési intervallumok. Magas és mélypontok és értékek ezeken a pontokon.