Adott egy kör középponttal RÓL RŐLés pont A a körön kívül. A) Megrajzolták a kör átmérőjét. Csak vonalzóval*, engedje le a merőlegest egy pontból A ehhez az átmérőhöz. b) A ponton keresztül A egyenes vonalat húzunk anélkül közös pontok egy körrel. Csak a vonalzó használata engedje le a merőlegest egy pontból RÓL RŐL erre a sorra.

*Jegyzet. Az építési feladatok „vonalzója” alatt mindig nem mérőeszközt, hanem geometriai eszközt értünk - segítségével csak egyenes vonalakat lehet rajzolni (két meglévő ponton keresztül), de a pontok közötti távolságot nem. Ezenkívül a geometriai vonalzót egyoldalúnak tekintik – nem lehet vele párhuzamos vonalat húzni úgy, hogy a vonalzó egyik oldalát egyszerűen két ponthoz rögzítjük, a másik oldalon pedig vonalat húzunk.

1. tipp

Az átmérő végeit használja, ne a kör közepét.

2. tipp

Az a szög, amelynek a körön az átmérője alapján egy csúcsa van, derékszög. Ennek ismeretében az átmérő és a pont végeiből képzett háromszögben két magasságot szerkeszthetünk A.

3. tipp

Próbáljon meg először egy egyszerűbb esetet megoldani, mint a bekezdésben leírtak b), - amikor az adott egyenes metszi a kört.

Megoldás

A) Hadd nap- adott átmérő (1. ábra). A probléma megoldásához csak emlékezzen az első két nyomra: ha egyenes vonalakat rajzol ABÉs AC, majd kösd össze a metszéspontjaikat a körrel a háromszög kívánt csúcsaival ABC, akkor ennek a háromszögnek két magasságát kapjuk. És mivel a háromszög magasságai egy pontban metszik egymást, az egyenes CH lesz a harmadik magasság, vagyis a kívánt merőleges attól Aátmérőig nap.

b) A megoldás azonban még a harmadik tippben megadott esetben sem tűnik egyszerűbbnek: igen, megrajzolhatjuk az átmérőket, összeköthetjük a végeiket és kapunk egy téglalapot ABCD(2. ábra, amelyen az egyszerűség kedvéért a pont A jelölve a körön), de hogyan visz ez közelebb ahhoz, hogy a kör középpontjából merőlegest építsünk?

De hogyan: mivel a háromszög AOB egyenlő szárú, majd merőleges (magasság) rendben a közepén fog átmenni K oldalain AB. Így a feladat ennek az oldalnak a közepének megtalálására csökkent. Meglepő módon már egyáltalán nincs szükségünk körre és pontra Dáltalában "extra" is. És itt a vágás CD- nem felesleges, de nem valami konkrét pontra van szükségünk, hanem egy teljesen önkényes pontra E! Ha úgy van kijelölve L metszéspont LENNIÉs AC(3. ábra), majd húzza ki AE a folytatással való kereszteződés előtt időszámításunk előtt azon a ponton M, majd az egyenes LM a megoldás minden gondunkra és problémánkra!

Ez igaz, nagyon hasonló, Mit LM kereszteket AB középen? Ez igaz. Próbáld bebizonyítani. A bizonyítást a feladat megoldásának végére halasztjuk.

Tehát megtanultuk megtalálni egy szakasz felezőpontját AB, ami azt jelenti, hogy megtanultuk leengedni a merőlegest AB a kör közepétől. De mit tegyünk az eredeti problémával, amelyben az adott egyenes nem metszi a kört, mint az ábra. 4?

Igyekszünk a problémát a már megoldottra redukálni. Ezt meg lehet tenni például így.

Először megszerkesztünk egy egyenest, amely szimmetrikus az adotthoz a kör középpontjához képest. A konstrukció jól látható az ábrán. 5, amelyen ez az egyenes a kör alatt vízszintes, a vele szimmetrikus vonal pedig pirossal van kiemelve (kettő kék pöttyök körökre elég tetszőlegesen felvehető). Ugyanakkor a központon keresztül fogunk rajzolni RÓL RŐL egy másik egyenest, amely merőleges a kapott téglalap egyik oldalára egy körben, hogy ezen az egyenesen két egyenlő hosszúságú szakasz legyen.

Két párhuzamos egyenessel, amelyek közül az egyiken a szakasz két vége és közepe már ki van jelölve, tetszőleges pontot veszünk T(például egy körön), és készítsünk egy ilyen pontot S, ami egyenes TS párhuzamos lesz a meglévő két vonallal. Ez a konstrukció az ábrán látható. 6.

Így egy adott egyenessel párhuzamos kör húrját kaptuk, vagyis a feladatot az előzőleg megoldott változatra redukáltuk, mert már tudjuk, hogyan kell a kör középpontjából merőlegest húzni egy ilyen húrra.

Be kell bizonyítani azt a tényt, amit fentebb használtunk.

négyszög ABCEábrán. 3 - trapéz, Látlóinak metszéspontja, és M- oldalsó oldalainak nyúlványainak metszéspontja. A trapéz jól ismert tulajdonsága szerint (más néven a trapéz csodálatos tulajdonsága; láthatod, hogyan bizonyított) közvetlen MLáthalad a trapéz alapjainak felezőpontjain.

Valójában ismét ugyanarra a tételre támaszkodtunk már az utolsó részfeladatnál, amikor a harmadik párhuzamos egyenest húztuk.

Utószó

Az egy vonalzós geometriai konstrukciók elméletét, amikor egy középpontos segédkör adott, a 19. századi német geométer, Jacob Steiner dolgozta ki (helyesebb a Steiner vezetéknevét „Steiner”-nek ejteni, de a helyesírás két „e”-vel már régóta rögzítették az orosz irodalomban). Egyszer már beszéltünk matematikai eredményeiről a „Röviden, Sklifosovsky” problémában. Az "Egyenessel és egy rögzített körrel végrehajtott geometriai konstrukciók" című könyvben Steiner bebizonyította azt a tételt, amely szerint bármely iránytűvel és egyenes éllel végrehajtható konstrukció elvégezhető iránytű nélkül is, ha csak egy kör van megadva, és annak középpontja jelölt.. Steiner bizonyítása az alapvető konstrukciók végrehajtásának lehetőségének bemutatására redukálódik, amelyeket általában iránytűvel hajtanak végre, különösen a párhuzamos és merőleges vonalak rajzolására. A mi feladatunk, mint jól látható, ennek a bemutatónak egy speciális esete.

Steiner azonban nem vezetett bizonyos problémákhoz. az egyetlen módja megoldásokat. A második módszert mutatjuk be.

Vegyünk két tetszőleges pontot az adott egyenesen AÉs B(7. ábra). Először készítünk egy merőlegest ebből A a (kék) egyenesre BO- tulajdonképpen ez a megoldás az első feladatunkra, mert ez a vonal tartalmazza a kör átmérőjét; ábrán látható összes megfelelő konstrukció. 7 kék színű. Majd ebből merőlegest építünk B a (zöld) egyenesre AO- pontosan ugyanannak a problémának ez a megoldása, az építkezések elkészültek zöldben. Így a háromszög két magasságát kaptuk AOB. Ennek a háromszögnek a harmadik magassága áthalad a középponton Oés a másik két magasság metszéspontja. Ez a kívánt merőleges az egyenesre AB.

De ez még nem minden. A második módszer minden (relatív) egyszerűsége ellenére "túl hosszú". Ez azt jelenti, hogy van egy másik építési mód, amely kevesebb műveletet igényel (építési problémák esetén minden iránytű vagy egyenes vonal egy műveletnek számít). Az ismert műveletszámok közül a minimumot igénylő konstrukciókat Emile Lemoine francia matematikus (Émile Lemoine, 1840–1912) ún. geometriai(lásd: Geometrográfia).

Tehát figyelme a pont geometriai megoldására irányul b). Csak 10 lépést igényel, az első hat „természetes”, a következő három pedig „csodálatos”. A legutolsó lépést, a merőleges rajzolását talán természetesnek is kell nevezni.

Piros pontozott merőlegest szeretnénk rajzolni (8. ábra), ehhez találnunk kell rajta valami pontot, ami különbözik a RÓL RŐL. Megy.

1) Hagyjuk A egy tetszőleges pont az egyenesen, és C egy tetszőleges pont a körön. Egyenes vonalat húzunk AC.

2)–3) Rajzolja le az átmérőt! OC(másodlagos átlépés a körön egy pontban D) és közvetlen HIRDETÉS. Jelöljük a vonalak második metszéspontját ACÉs HIRDETÉS egy körrel BÉs E, ill.

4)–6) Elköltjük LENNI, BDÉs CE. Közvetlen CDÉs LENNI pontban metszik egymást H, A BDÉs CE- azon a ponton G(9. ábra).

Mellesleg ez lehet az LENNI párhuzamos lenne CD? Igen határozottan. Abban az esetben, ha az átmérő CD merőleges AO, akkor pontosan ez történik: LENNIÉs CD párhuzamosak és a pontok A, OÉs G ugyanazon a vonalon feküdjön. De a képesség, hogy pontot Cönkényesen feltételezi azt a képességünket, hogy úgy válasszuk COÉs AO nem voltak merőlegesek.

És most az ígért fantasztikus építési lépések:

7) Lebonyolítjuk GH pontban az adott egyenessel való metszéspontig én.
8) Költünk CI pontban a körrel való metszésponthoz J.
9) Költünk b.j., amely metszi a GH... Ahol? Így van, a piros pontnál, amely a kör függőleges átmérőjén található (10. ábra).

10) Rajzoljon egy függőleges átmérőt.

A 8. lépés helyett egyenes vonalat húzhatunk DI, majd a 9. lépésben kössük össze metszéspontjának második pontját a körrel egy ponttal E. Az eredmény ugyanaz a piros pont lenne. Tényleg csodálatos? Ráadásul az sem világos, mi a meglepőbb - hogy a piros pont ugyanaz a két építési módnál, vagy az, hogy a szükséges merőlegesen fekszik. A geometria azonban nem „a tények művészete”, hanem „a bizonyítás művészete”. Szóval próbáld bebizonyítani.

Egyenes vonalak építése - az alap műszaki rajz. Ezt ma már egyre inkább grafikus szerkesztők segítségével teszik, amelyek nagyszerű lehetőségeket biztosítanak a tervezőnek. Néhány építési elv azonban ugyanaz marad, mint a klasszikus rajznál - ceruzával és vonalzóval.

Szükséged lesz

• - papír;
• - ceruza;
• - vonalzó;
• - számítógép AutoCAD szoftverrel.

Utasítás

• Kezdje klasszikus felépítéssel. Határozza meg azt a síkot, amelyben a vonalat húzza. Legyen ez egy papírlap síkja. Rendezd el a pontokat a probléma körülményeitől függően. Lehetnek tetszőlegesek, de lehetséges, hogy valamilyen koordinátarendszer adott. Az önkényes pontokat oda kell tenni, ahol a legjobban tetszik. Jelölje meg őket A-val és B-vel. Kösse össze őket vonalzóval. Az axióma szerint két ponton keresztül mindig lehet egyenest húzni, és csak egyet.
• Rajzolj egy koordináta-rendszert. Adjuk meg az A pont koordinátáit (x1; y1). Megtalálásukhoz félre kell tenni a kívánt számot az x tengely mentén, és a megjelölt ponton keresztül az y tengellyel párhuzamos egyenest kell húzni. Ezután ábrázoljon egy y1-gyel egyenlő értéket a megfelelő tengely mentén. Rajzolj egy merőlegest a megjelölt pontból addig, amíg az nem metszi az elsőt. A metszéspontjuk az A pont lesz. Ugyanígy keressük meg a B pontot, amelynek koordinátáit (x2; y2) jelölhetjük. Kösd össze mindkét pontot egyenes vonallal.
• Az AutoCAD-ben egy egyenes vonal többféleképpen rajzolható meg. A "kétpontos" funkció általában alapértelmezés szerint be van állítva. Keresse meg a "Főoldal" lapot a felső menüben. A Rajz panelt fogja látni maga előtt. Keresse meg az egyenes vonalú gombot, és kattintson rá.
• Ebben a programban két pontból egyenest kétféleképpen lehet megszerkeszteni. Vigye a kurzort a képernyő kívánt pontjára, és kattintson a bal egérgombbal. Ezután határozza meg a második pontot, húzzon oda egy vonalat, és kattintson az egérrel is.
• Az AutoCAD lehetővé teszi mindkét pont koordinátáinak beállítását. Írja be az alábbi parancssorba (_xline). Nyomd meg az Entert. Adja meg az első pont koordinátáit, majd nyomja meg az enter billentyűt. Ugyanígy határozza meg a második pontot. Egérkattintással is megadható, ha a kurzort a képernyő kívánt pontjára helyezzük.
• Az AutoCAD-ben nem csak két ponttal lehet egyenest építeni, hanem a dőlésszög alapján is. A Rajz helyi menüből válasszon egy egyenest, majd a Szög opciót. A kiindulópont az előző módszerhez hasonlóan egérkattintással vagy koordinátákkal állítható be. Ezután állítsa be a sarok méretét, és nyomja meg az Enter billentyűt. Alapértelmezés szerint a vonal a vízszinteshez képest a kívánt szögben lesz elhelyezve.

A párhuzamos vonalak különböző eszközökkel történő felépítésének módszerei a párhuzamos egyenesek előjeleire épülnek.

Párhuzamos vonalak építése iránytűvel és egyenes éllel

Fontolgat áthaladó párhuzamos egyenes felépítésének elve adott pont , iránytű és vonalzó segítségével.

Legyen adott egy egyenes, és egy olyan A pont, amely nem tartozik az adott egyeneshez.

Az adott $A$ ponton átmenő egyenest az adott egyenessel párhuzamosan kell megszerkeszteni.

A gyakorlatban gyakran szükséges két vagy több párhuzamos egyenes megalkotása adott egyenes és pont nélkül. Ebben az esetben önkényesen meg kell húzni egy vonalat, és meg kell jelölni minden olyan pontot, amely nem fekszik ezen a vonalon.

Fontolgat párhuzamos egyenes felépítésének lépései:

A gyakorlatban a párhuzamos egyenesek rajzi négyzet és vonalzó segítségével történő felépítésének módszerét is alkalmazzák.

Párhuzamos egyenesek felépítése négyzet és vonalzó segítségével

Mert olyan egyenes szerkesztése, amely az adott egyenessel párhuzamosan fog átmenni az M ponton a, szükséges:

1. Rögzítsd a négyzetet az $a$ egyeneshez egy átlóval (lásd az ábrát), a nagyobb lábához pedig rögzíts egy vonalzót.
2. Mozgassa a négyzetet a vonalzó mentén, amíg a megadott $M$ pont a négyzet átlóján nem lesz.
3. Húzza meg a kívánt $b$ egyenest a $M$ ponton keresztül.

Kaptunk egy egyenest, amely egy adott $M$ ponton halad át párhuzamosan egy adott $a$ egyenessel:

$a \párhuzamos b$, azaz $M \b$-ban.

Az $a$ és $b$ egyenesek párhuzamossága a megfelelő szögek egyenlőségéből látszik, melyeket az ábrán a $\alpha$ és $\beta$ betűk jelölnek.

Egy adott egyenestől adott távolságra párhuzamos egyenes építése

Ha egy adott egyenessel párhuzamos és attól adott távolságra lévő egyenest kell építeni, használhat vonalzót és négyzetet.

Legyen adott egy $MN$ egyenes és egy $a$ távolság.

1. Megjelölünk egy tetszőleges pontot az adott $MN$ egyenesen, és $B$-nak nevezzük.
2. A $B$ ponton keresztül húzunk egy egyenest a $MN$ egyenesre merőlegesen, és $AB$-nak nevezzük.
3. Az $AB$ egyenesen a $B$ pontból ábrázoljuk a $BC=a$ szakaszt.
4. Egy négyzet és egy egyenes segítségével húzzuk át a $CD$ egyenest a $C$ ponton, amely párhuzamos lesz az adott $AB$ egyenessel.

Ha a $BC=a$ szakaszt az $AB$ egyenesen a $B$ pontból a másik oldalra halasztjuk, akkor kapunk még egy, az adottval párhuzamos egyenest, attól a megadott $a$ távolságra elválasztva.

A párhuzamos vonalak rajzolásának egyéb módjai

A párhuzamos vonalak építésének másik módja a T-négyzet építése. Leggyakrabban ezt a módszert a rajz gyakorlatában használják.

A párhuzamos vonalak jelölésére és építésére szolgáló ácsmunkák során speciális rajzeszközt - egy ferde - két fa deszkát használnak, amelyek zsanérral vannak rögzítve.

Tartalom:

A párhuzamos egyenesek olyan egyenesek, amelyek távolsága nem változik, és amelyek soha nem metszik egymást. Egyes feladatokban kapsz egy egyenest és egy pontot, amelyen keresztül az adottval párhuzamos egyenest kell húznod. Természetesen vehetsz vonalzót és húzhatsz szemmel párhuzamos vonalat a megadottal, de nincs garancia arra, hogy a megszerkesztett egyenes párhuzamos lesz az adottval. A geometriai törvények és az iránytű segítségével további pontok rajzolhatók ki, amelyeken egy valódi párhuzamos egyenes fog áthaladni.

Lépések

1 Merőlegesek felépítése

1. 1 Az adott pont nem az adott egyenesen fekszik - nagy valószínűséggel a vonal felett vagy alatt van. Jelölje ezt a vonalat m 2 -nek Rajzolj egy ívet, amely két pontban metszi az adott egyenest. Ehhez állítsa az iránytűt az A 3 pontba Rajzolja meg az első kis ívet ezzel a ponttal szemben. Először növelje meg az iránytű megoldását. Állítsa az iránytűt a B pontba 4 Rajzolj egy második kis ívet, amely metszi az első kis ívet. Ne változtassa meg az iránytű megoldását. Állítsa az iránytűt a C 5 pontba Rajzolj egy egyenest, amely átmegy a két ív és az adott pont metszéspontján! Jelölje ezt a sort n-nek
   • Ne feledje, hogy a merőleges egy olyan szakasz (ebben az esetben egy egyenes), amely 90 fokos szögben metszi egy másik szakaszt (egy vonalat).
2. 6 Rajzolj egy ívet, amely két pontban metszi a merőleges egyenest. Ehhez állítsa az iránytűt az A 7 pontba Rajzolja meg az első kis ívet ettől a ponttól jobbra (vagy balra). Növelje az iránytű megoldását. Állítsa az iránytűt az E 8 pontba Rajzoljon egy második kis ívet ettől a ponttól jobbra (vagy balra). Ne változtassa meg az iránytű megoldását. Állítsa az iránytűt az F 9 pontba Húzzon egy egyenest a két ív és az adott pont metszéspontján keresztül. Az eredményül kapott egyenes merőleges lesz az n egyenesre, így a kapott egyenes párhuzamos az adott m egyenessel

   2 Rombusz építése

   1. 1 Jelölje fel ezt a vonalat és ezt a pontot. Az adott pont nem az adott vonalon fekszik - nagy valószínűséggel a vonal felett vagy alatt van. Tekintsd ezt a pontot a rombusz csúcsának. Mivel a rombusz szemközti oldalai párhuzamosak, egy rombusz megszerkesztésével párhuzamos egyenest kapunk.
      • Keresse meg a rombusz második csúcsát!Állítsa az iránytűt erre a pontra, és rajzoljon egy ívet, amely egy ponton metszi az adott egyenest. Ne változtassa meg az iránytű megoldását.
        • Az iránytű nyílás szélessége nem fontos - a lényeg az, hogy olyan ívet rajzoljunk, amely bármely ponton metszi az adott egyenest.
        • Rajzolj egy ívet úgy, hogy az ne csak metszi az adott egyenest, hanem éppen az adott pont fölé is menjen.
        • Például állítsa az iránytűt az A 3 pontba Keresse meg a rombusz harmadik csúcsát! Az iránytű megoldásának megváltoztatása nélkül állítsa a tűt a második csúcsra, és rajzoljon egy ívet, amely ezt az egyenest egy új pontban metszi. Ne változtassa meg az iránytű megoldását.
          • Rajzolj egy rövid ívet úgy, hogy az csak az adott egyenest metszi.
          • Például állítsa az iránytűt a B 4 pontba Keresse meg a rombusz negyedik csúcsát! Az iránytű megoldásának megváltoztatása nélkül állítsa be a tűt a harmadik csúcsra, és rajzoljon egy ívet, amely metszi az első ívet (amelyet az iránytű tűjének ezen a ponton történő beállításával rajzolt, és amellyel megtalálta a második csúcsot).
            • Rajzoljon egy rövid ívet úgy, hogy az éppen keresztezi az első ívet.
            • Például állítsa az iránytűt a C 5 pontra Húzzon egyenes vonalat a rombusz első és negyedik csúcsán. Ez az egyenes átmegy az adott ponton és párhuzamos az adott egyenessel, mert ezek az egyenesek ellentétes oldalak rombusz.
              • Például egy egyenes, amely átmegy az A pontokon

                3 A megfelelő sarkok felépítése

                1. 1 Jelölje fel ezt a vonalat és ezt a pontot. Az adott pont nem az adott vonalon fekszik - nagy valószínűséggel a vonal felett vagy alatt van.
                   • Ha a vonal és a pont még nincs megjelölve, tegye ezt, hogy ne keveredjen össze.
                   • Például jelölje ezt a vonalat m 2 -ként Húzzon egy vonalat az adott ponton és bármely azon ponton, amely az adott egyenesen fekszik. Egy ilyen metszővonal segítségével megszerkesztheti a megfelelő szögeket, majd rajzolhat egy párhuzamos vonalat.
                     • Rajzolj egy hosszú metszővonalat - úgy, hogy az túllépjen a megadott ponton.
                     • Például az A ponton keresztül 3 Vedd az iránytűt. Az iránytű megoldásának szélessége legyen kisebb, mint a kapott szegmens hosszának a fele.
                       • Az iránytű nyílásának pontos szélessége nem számít - a lényeg az, hogy kevesebb legyen, mint a kapott szegmens hosszának fele.
                       • Például tegye az iránytű nyílásának szélességét az A B 4 szakasz hosszának felénél kisebbre Építsd meg az első sarkot.Állítsa az iránytűt a metszéspontra ezzel a vonallal. Rajzolj egy ívet, amely metszi a metszőt és az adott egyenest. Ne változtassa meg az iránytű megoldását.
                         • Például állítsa az iránytűt a B 5 pontba Rajzolj egy második ívet. Az iránytű megoldásának megváltoztatása nélkül állítsa be a tűt ezen a ponton. Rajzolj egy ívet, amely az adott pont felett metszi a metszővonalat, és közvetlenül az adott pont alá megy.
                           • Például állítsa az iránytűt az A 6 pontba Vedd az iránytűt. Az iránytű nyílásának szélessége legyen egyenlő a megszerkesztett (első) szög szélességével.
                             • Például a megszerkesztett szög a C B D 7 szög Építse meg a megfelelő szöget. Az iránytű nyílásának meg kell egyeznie az első sarok szélességével. Állítsa az iránytűt egy olyan pontra, amely az e pont feletti metszővonalon fekszik, és rajzoljon egy ívet, amely metszi a második ívet.
                               • Például állítsa az iránytűt a P 8 pontra Húzzon egy vonalat a megadott ponton és a két ív metszéspontján keresztül. Ez az egyenes párhuzamos az adott egyenessel és átmegy az adott ponton.
                                 • Például húzzon egy vonalat az A ponton (A megjelenítési stílus) és a Q ponton (Q megjelenítési stílus) keresztül. Kapunk egy f vonalat (f megjelenítési stílus) , párhuzamosan az m vonallal (m megjelenítési stílus).

                Mire lesz szüksége

                1. Toll vagy ceruza
                2. Vonalzó
                3. Iránytű