Olyan paralelogramma, amelyben minden szög 90°-os, és a szemközti oldalak páronként párhuzamosak és egyenlőek.

A téglalapnak számos megdönthetetlen tulajdonsága van, amelyeket számos probléma megoldásában használnak, a téglalap területére és kerületére vonatkozó képletekben. Itt vannak:

A téglalap ismeretlen oldalának vagy átlójának hosszát a Pitagorasz-tétel számítja ki. A téglalap területét kétféleképpen lehet megtalálni - az oldalak szorzatával vagy az átlón keresztüli téglalap területének képletével. Első és legtöbb egyszerű képletígy néz ki:

Egy példa a téglalap területének kiszámítására ezzel a képlettel nagyon egyszerű. A két oldal ismeretében, például a = 3 cm, b = 5 cm, könnyen kiszámíthatjuk a téglalap területét:
Azt kapjuk, hogy egy ilyen téglalapban a terület 15 négyzetméter lesz. cm.

Egy téglalap területe átlókban kifejezve

Néha alkalmazni kell a képletet egy téglalap területének átlói alapján. Ehhez nemcsak az átlók hosszát kell tudnia, hanem a köztük lévő szöget is:

Vegyünk egy példát a téglalap területének átlókkal történő kiszámítására. Legyen adott egy d = 6 cm átlójú és 30°-os szögű téglalap. Az adatokat a már ismert képletben helyettesítjük:

Tehát a téglalap területének átlón keresztüli kiszámításának példája megmutatta, hogy a terület ilyen módon történő megtalálása, figyelembe véve a szöget, meglehetősen egyszerű.
Tekintsünk egy másik érdekes rejtvényt, amely segít kicsit megfeszíteni az agyunkat.

Feladat: Adott egy négyzet. Területe 36 nm. cm Határozzuk meg annak a téglalapnak a kerületét, amelynek egyik oldala 9 cm, területe pedig megegyezik a fent megadott négyzetével!
Van tehát néhány feltételünk. Az egyértelműség kedvéért felírjuk őket, hogy lássuk az összes ismert és ismeretlen paramétert:
Az ábra oldalai páronként párhuzamosak és egyenlőek. Ezért az ábra kerülete egyenlő az oldalak hosszának kétszeresével:
A téglalap területének képletéből, amely egyenlő az ábra két oldalának szorzatával, megtaláljuk a b oldal hosszát
Innen:
Az ismert adatokat behelyettesítjük és megkeressük a b oldal hosszát:
Számítsa ki az ábra kerületét:
Tehát néhány egyszerű képlet ismeretében kiszámíthatja a téglalap kerületét, ismerve a területét.

Tartalom:

Az átló egy olyan szakasz, amely egy téglalap két ellentétes csúcsát köti össze. Egy téglalapnak két egyenlő átlója van. Ha a téglalap oldalai ismertek, akkor az átló a Pitagorasz-tétel segítségével megkereshető, mivel az átló a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja. Ha az oldalak nincsenek megadva, de ismertek más mennyiségek, például a terület és a kerület vagy az oldalak aránya, akkor megkeresheti a téglalap oldalait, majd a Pitagorasz-tétel segítségével kiszámíthatja az átlót.

Lépések

1 Egymás mellett

1. 1 Írd le a Pitagorasz-tételt! Képlet: a 2 + b 2 = c 2
2. 2 Dugja be az oldalakat a képletbe. A feladatban megadva vannak, vagy mérni kell őket. A mellékértékeket 3-mal helyettesítjük
   • Példánkban:
     4 2 + 3 2 = c 2 4

     2 Terület és kerület szerint

     1. 1 Képlet: S \u003d l w (Az ábrán az A szimbólumot használjuk S helyett.)
     2. 2 Ezzel az értékkel helyettesíti az S 3 Írd át a képletet úgy, hogy elkülönítsd w 4-et Írja fel a képletet a téglalap kerületének kiszámításához! Képlet: P = 2 (sz + l)
     3. 5 Helyettesítsd be a képletbe a téglalap kerületének értékét! Ez az érték helyettesíti a P 6-ot Oszd el az egyenlet mindkét oldalát 2-vel. Megkapja a téglalap oldalainak összegét, azaz w + l 7 A képletben helyettesítse be a kifejezést w 8 kiszámításához Megszabadulni a törtektől. Ehhez szorozzuk meg az egyenlet mindkét részét l 9-el Állítsa az egyenletet 0-ra. Ehhez vonjuk ki az elsőrendű változót tartalmazó tagot az egyenlet mindkét oldaláról.
        • Példánkban:
          12 l \u003d 35 + l 2 10 Rendezze el az egyenlet feltételeit! Az első tag a második változó tag, majd az első változó tag, majd a szabad tag lesz. Ugyanakkor ne feledkezzünk meg a tagok előtt lévő jelekről („plusz” és „mínusz”). Vegye figyelembe, hogy az egyenlet másodfokú egyenletként lesz felírva.
          • Példánkban 0 = 35 + l 2 − 12 l 11
            • Példánkban a 0 = l 2 − 12 l + 35 12 egyenlet Keresse meg az l 13-at Írd le a Pitagorasz-tételt! Képlet: a 2 + b 2 = c 2
              • Használja a Pitagorasz-tételt, mert a téglalap minden átlója két egyenlő derékszögű háromszögre osztja. Ezenkívül a téglalap oldalai a háromszög lábai, a téglalap átlója pedig a háromszög befogója.
            • 14 Ezek az értékek 15-öt helyettesítenek A hosszt és a szélességet négyzetbe kell helyezni, majd adja hozzá az eredményeket. Ne feledje, hogy egy szám négyzetre emelésekor az önmagával megszorozódik.
              • Példánkban:
                5 2 + 7 2 = c 2 16 Kivonat Négyzetgyök az egyenlet mindkét oldaláról. Számológép segítségével gyorsan megkeresheti a négyzetgyököt. Használhatja az online számológépet is. találsz c

                3 Terület és képarány szerint

                1. 1 Írjon fel egy egyenletet, amely jellemzi az oldalak arányát! Izolálja l 2 Írja le a képletet a téglalap területének kiszámításához. Képlet: S = l w (Az ábrán S helyett A jelölést használunk.)
                   • Ez a módszer akkor is alkalmazható, ha a téglalap kerületének értéke ismert, de akkor a képletet kell használni a kerület kiszámításához, nem a területhez. Képlet a téglalap kerületének kiszámításához: P = 2 (w + l)
                2. 3 Dugja be a téglalap területét a képletbe. Ez az érték S 4-et helyettesít Helyettesítsd be a képletbe az oldalak arányát jellemző kifejezést! Téglalap esetén egy kifejezést helyettesíthet az l 5 kiszámításához írd le másodfokú egyenlet. Ehhez nyissa ki a zárójeleket, és egyenlővé tegye az egyenletet nullával.
                   • Példánkban:
                     35 = w (w + 2) 6 Tényezősítse a másodfokú egyenletet! Megszerezni részletes utasításokat, olvas.
                     • Példánkban a 0 = w 2 − 12 w + 35 7 egyenlet Keresse meg a w 8-at Helyettesítsd be az oldalak arányát jellemző egyenletben található szélesség (vagy hossz) értékét!Így megtalálhatja a téglalap másik oldalát.
                       • Például, ha kiszámolta, hogy egy téglalap szélessége 5 cm, és a képarányt az l = w + 2 9 egyenlet adja meg. Írd le a Pitagorasz-tételt! Képlet: a 2 + b 2 = c 2
                         • Használja a Pitagorasz-tételt, mert a téglalap minden átlója két egyenlő derékszögű háromszögre osztja. Ezenkívül a téglalap oldalai a háromszög lábai, a téglalap átlója pedig a háromszög befogója.
                       • 10 Illessze be a hossz és szélesség értékeket a képletbe. Ezek az értékek 11-et helyettesítenek A hosszt és a szélességet négyzetbe kell helyezni, majd adja hozzá az eredményeket. Ne feledje, hogy egy szám négyzetre emelésekor az önmagával megszorozódik.
                         • Példánkban:
                           5 2 + 7 2 = c 2 12 Vegyük az egyenlet mindkét oldalának négyzetgyökét. Számológép segítségével gyorsan megkeresheti a négyzetgyököt. Használhatja az online számológépet is. Megtalálható a c (c megjelenítési stílus) , amely a háromszög befogója, tehát a téglalap átlója.
                           • Példánkban:
                             74 = c 2 (megjelenítési stílus 74 = c^(2))
                             74 = c 2 (megjelenítési stílus (sqrt (74))=(sqrt (c^(2))))
                             8, 6024 = c (megjelenítési stílus 8,6024=c)
                             Így egy olyan téglalap átlója, amelynek hossza 2 cm-rel nagyobb, mint a szélessége, és amelynek területe 35 cm 2, körülbelül 8,6 cm.

A téglalap átlójának megtalálásának problémája háromféleképpen fogalmazható meg. különböző utak. Nézzük meg mindegyiket közelebbről. A módszerek ismert adatoktól függenek, tehát hogyan lehet megtalálni egy téglalap átlóját?

Ha két oldalt ismerünk

Abban az esetben, ha a téglalap a és b két oldala ismert, az átló meghatározásához a Pitagorasz-tételt kell használni: a 2 + b 2 \u003d c 2, itt a és b lábak derékszögű háromszög, c egy derékszögű háromszög befogója. Ha egy átlót húzunk egy téglalapba, az két derékszögű háromszögre oszlik. Ismerjük ennek a derékszögű háromszögnek a két oldalát (a és b). Vagyis egy téglalap átlójának megtalálásához a következő képletre van szükség: c \u003d √ (a 2 + b 2), itt c a téglalap átlójának hossza.

Ismert oldal és szög szerint, oldal és átló között

Legyen ismert az a téglalap oldala és az általa az α téglalap átlójával bezárt szög. Először emlékezzünk a koszinusz képletre: cos α \u003d a / c, itt c a téglalap átlója. Hogyan számítsuk ki egy téglalap átlóját ebből a képletből: c = a/cos α.

Az ismert oldal szerint a téglalap szomszédos oldala és az átló közötti szög.

Mivel a téglalap átlója magát a téglalapot két derékszögű háromszögre osztja, logikus, hogy a szinusz definíciójához forduljunk. Szinusz - az ezzel a szöggel ellentétes láb és a hipotenusz aránya. sin α \u003d b / c. Innen levezetünk egy képletet a téglalap átlójának megtalálására, amely egyben a derékszögű háromszög befogója is: с = b/sin α.

Most már okos vagy ebben a kérdésben. Holnap kedveskedhetsz a geometria tanárnak!

Meghatározás.

Téglalap Ez egy négyszög, amelynek két szemközti oldala egyenlő, és mind a négy szöge egyenlő.

A téglalapok csak a hosszú oldal és a rövid oldal arányában térnek el egymástól, de mind a négy helyes, azaz egyenként 90 fokos.

A téglalap hosszú oldalát ún téglalap hossza, és a rövid téglalap szélesség.

A téglalap oldalai egyben a magassága is.

A téglalap alapvető tulajdonságai

A téglalap lehet paralelogramma, négyzet vagy rombusz.

1. Egy téglalap szemközti oldalai azonos hosszúságúak, azaz egyenlők:

AB=CD, BC=AD

2. A téglalap szemközti oldalai párhuzamosak:

3. A téglalap szomszédos oldalai mindig merőlegesek:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. A téglalap mind a négy sarka egyenes:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Egy téglalap szögeinek összege 360 ​​fok:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Egy téglalap átlói azonos hosszúságúak:

7. Egy téglalap átlójának négyzetösszege egyenlő az oldalak négyzeteinek összegével:

2d2 = 2a2 + 2b2

8. Egy téglalap minden átlója a téglalapot két azonos figurára, nevezetesen derékszögű háromszögekre osztja.

9. A téglalap átlói metszik egymást, és a metszéspontban kettéosztjuk:

		AO=BO=CO=DO=	d
			2

10. Az átlók metszéspontját a téglalap középpontjának nevezzük, és egyben a körülírt kör középpontja is

11. A téglalap átlója a körülírt kör átmérője

12. Egy kör mindig leírható egy téglalap körül, mivel az ellentétes szögek összege 180 fok:

∠ABC = ∠CDA = 180° ∠BCD = ∠DAB = 180°

13. Nem írható be kör olyan téglalapba, amelynek hossza nem egyenlő a szélességével, mivel a szemközti oldalak összegei nem egyenlők egymással (kör csak a téglalap speciális esetére - négyzetre - írható be).

Egy téglalap oldalai

Meghatározás.

Téglalap hossza nevezzük oldalai hosszabb párjának hosszát. Téglalap szélessége nevezd meg a rövidebb oldalpár hosszát!

Képletek a téglalap oldalai hosszának meghatározásához

1. A téglalap oldalának képlete (a téglalap hossza és szélessége) az átló és a másik oldal szempontjából:

a = √ d 2 - b 2

b = √ d 2 - a 2

2. A téglalap oldalának (a téglalap hossza és szélessége) képlete a terület és a másik oldal tekintetében:

b = dcos	β
	2

Téglalap átlós

Meghatározás.

Átlós téglalap A téglalap két szemközti sarkának két csúcsát összekötő szakaszt nevezzük.

Képletek a téglalap átlójának hosszának meghatározásához

1. A téglalap átlójának képlete a téglalap két oldalára vonatkoztatva (a Pitagorasz-tételen keresztül):

d = √ a 2 + b 2

2. A téglalap átlójának képlete a terület és bármely oldal tekintetében:

4. A téglalap átlójának képlete a körülírt kör sugara szerint:

d=2R

5. A téglalap átlójának a körülírt kör átmérőjére vonatkozó képlete:

d = D o

6. Egy téglalap átlójának képlete az átlóval szomszédos szög szinuszában és az ezzel a szöggel ellentétes oldal hosszában:

8. A téglalap átlójának képlete a szinusz szempontjából hegyesszög az átlók és a téglalap területe között

d = √2S: sinβ

Egy téglalap kerülete

Meghatározás.

Egy téglalap kerülete a téglalap összes oldalának hosszának összege.

Képletek a téglalap kerülete hosszának meghatározásához

1. A téglalap kerületének képlete a téglalap két oldala szerint:

P = 2a + 2b

P = 2(a+b)

2. A téglalap kerületének képlete területtel és bármely oldallal:

P=	2S + 2a 2	=	2S + 2b 2
	a		b

3. A téglalap kerületének képlete az átlóban és bármely oldalban:

P = 2(a + √ d 2 - a 2) = 2(b + √ d 2 - b 2)

4. A téglalap kerületének képlete a körülírt kör és bármely oldal sugara szerint:

P = 2(a + √4R 2 - a 2) = 2(b + √4R 2 - b 2)

5. A téglalap kerületének képlete a körülírt kör és bármely oldal átmérője szerint:

P = 2(a + √D o 2 - a 2) = 2(b + √D o 2 - b 2)

Téglalap terület

Meghatározás.

Téglalap terület a téglalap oldalai által határolt teret nevezzük, vagyis a téglalap kerületén belül.

Képletek a téglalap területének meghatározásához

1. A téglalap területének képlete két oldalra vonatkoztatva:

S = a b

2. A téglalap kerületén és bármely oldalán átmenő területének képlete:

5. A téglalap területének képlete a körülírt kör és bármely oldal sugara szerint:

S = a √4R 2 - a 2= b √4R 2 - b 2

6. A téglalap területének képlete a körülírt kör és bármely oldal átmérője szerint:

S \u003d a √ D o 2 - a 2= b √ D o 2 - b 2

Egy téglalap köré körülírt kör

Meghatározás.

Egy téglalap körül körülírt kör Körnek nevezzük azt a kört, amely egy téglalap négy csúcsán halad át, és amelynek középpontja a téglalap átlóinak metszéspontjában van.

A téglalap köré körülírt kör sugarának meghatározására szolgáló képletek

1. Egy téglalap köré két oldalról körülírt kör sugarának képlete:

4. A kör sugarának képlete, amelyet egy téglalapról a négyzet átlóján keresztül írunk le:

5. A kör sugarának képlete, amelyet egy téglalap közelében írunk le egy kör átmérőjén keresztül (körülírva):

6. A kör sugarának képlete, amelyet egy téglalap közelében az átlóval szomszédos szög szinuszán keresztül írnak le, és az ezzel a szöggel ellentétes oldal hossza:

7. A kör sugarának képlete, amelyet egy téglalapról az átlóval szomszédos szög koszinusza és az ebben a szögben lévő oldal hossza alapján írunk le:

8. A kör sugarának képlete, amelyet egy téglalap közelében az átlók és a téglalap területe közötti hegyesszög szinuszán keresztül írnak le:

Egy téglalap oldala és átlója közötti szög.

Képletek a téglalap oldala és átlója közötti szög meghatározására:

1. A téglalap oldala és átlója közötti szög meghatározására szolgáló képlet az átlón és az oldalon keresztül:

2. A téglalap oldala és átlója közötti szög meghatározására szolgáló képlet az átlók közötti szögön keresztül:

A téglalap átlói közötti szög.

Képletek a téglalap átlói közötti szög meghatározására:

1. A téglalap átlói közötti szög meghatározására szolgáló képlet az oldal és az átló közötti szögön keresztül:

β = 2α

2. A területen átmenő téglalap átlói és az átló közötti szög meghatározásának képlete.