Tanár: Gorbunova S.V.
Az óra témája: A függvény grafikonjának érintőjének egyenlete.
Az óra céljai
Tisztázza az „érintő” fogalmát.
Vezesse le az érintőegyenletet!
Írjon egy algoritmust a függvény grafikonjának érintőjének egyenletének elkészítésére
Kezdje el gyakorolni a készségeket és képességeket az érintőegyenlet felállításában különböző matematikai helyzetekben.
Az elemzés, általánosítás, bemutatás, a kutatás elemeinek felhasználása, a matematikai beszéd fejlesztése képességének kialakítása.
Felszerelés: számítógép, prezentáció, projektor, interaktív tábla, emlékeztető kártyák, reflexiós kártyák.
Az óra felépítése:
Ő. U.
Lecke téma üzenet
A tanult anyag ismétlése
A probléma megfogalmazása.
Új anyag magyarázata.
Algoritmus készítése "tangens egyenletének elkészítéséhez".
Történelmi hivatkozás.
Konszolidáció. Készségek és képességek fejlesztése az érintőegyenlet felállításában.
Házi feladat.
Önálló munkavégzés önellenőrzéssel
Összegezve a tanulságot.
Visszaverődés
1. O.N.U.
2. Az óra témájának közzététele
A mai óra témája: "Egy függvény grafikonjának érintőjének egyenlete". Nyisd ki a füzeteidet, írd le az óra dátumát és témáját. (1. dia)
Legyenek a képernyőn látható szavak a mai óra mottója. (2. dia)
Nincsenek rossz ötletek
Gondolkodj kreatívan
vállalj kockázatokat
Ne kritizálj
2. A tanult anyag ismétlése (3. dia).
Cél: a differenciálás alapvető szabályainak ismeretének tesztelése.
Keresse meg egy függvény deriváltját:
Kinek van egynél több hibája? Kinek van?
3. Frissítés
Cél: A figyelem aktiválása, az érintővel kapcsolatos ismeretek hiányának kimutatása, az óra céljainak és célkitűzéseinek megfogalmazása. (4. dia)
Beszéljük meg, mi az érintője a függvénygráfnak?
Egyetért-e azzal az állítással, hogy "Az érintő olyan egyenes, amelynek egy adott görbével egy közös pontja van"?
Megbeszélés van. Gyermekek nyilatkozatai (igen és miért, nem és miért). A vita során arra a következtetésre jutunk, hogy ez az állítás nem igaz.
Nézzünk konkrét példákat:
Példák.(5. dia)
1) Az x = 1 egyenesnek van egy közös M(1; 1) pontja az y = x 2 parabolával, de ez nem érinti a parabolát.
Az ugyanazon a ponton áthaladó y = 2x – 1 egyenes érinti az adott parabolát.
Az x = π egyenes nem érinti a gráfot y = cos x, bár csak vele van közös K(π; 1) pontja. Másrészt az ugyanazon a ponton áthaladó y = - 1 egyenes érinti a gráfot, bár végtelen sok közös pontja van a (π+2 πk; 1) alakú, ahol k egy egész szám, mindegyikben amely a diagramra vonatkozik.
^ 4. Célok és célkitűzések kitűzése a gyerekek számára az órán: (6. dia)
Próbáld magad megfogalmazni az óra célját.
Nézze meg, hogy egy pontban mekkora a függvény grafikonjának érintője, származtassa az érintő egyenletét! Alkalmazza a képletet a problémamegoldásra
^
5. Új anyag elsajátítása
Nézze meg, hogyan tér el az x=1 egyenes helyzete az y=2x-1 pozíciótól? (7. dia)
Következtetés: mi az érintő?
Az érintő a szekáns határhelyzete.
Mivel az érintő egy egyenes, és meg kell írnunk az érintő egyenletét, mit gondol, mire kell emlékeznünk?
Emlékezzünk vissza az egyenes egyenlet általános alakjára. (y \u003d kx + b)
Mi a másik neve a k számnak? (az egyenes és az Ox tengely pozitív iránya közötti szög meredeksége vagy érintője) k \u003d tg α
Mi a derivált geometriai jelentése?
Az érintő és az x tengely pozitív iránya közötti dőlésszög érintője
Vagyis felírhatom, hogy tg α = yˈ(x). (8. dia)
Illusztráljuk ezt egy rajzzal. (9. dia)
Legyen adott egy y = f (x) függvény és ennek a függvénynek a grafikonjához tartozó M pont. Határozzuk meg a koordinátáit a következőképpen: x=a, y=f(a), azaz. M (a, f (a)) és legyen egy f "(a) derivált, azaz egy adott pontban a derivált definiált. Rajzoljunk egy érintőt az M ponton keresztül. Az érintőegyenlet egy egyenes egyenlete sor, tehát így néz ki: y \u003d kx + b. Ezért a feladat az, hogy meg kell keresni k-t és b-t. Figyeld a táblát, az ott leírtak alapján megtalálható-e k? (igen, k = f "(a).)
Hogyan találja meg most a b-t? A kívánt egyenes áthalad az M ponton (a; f (a)), ezeket a koordinátákat behelyettesítjük az egyenes egyenletébe: f (a) \u003d ka + b, tehát b \u003d f (a) - ka, mivel k \u003d tg α \u003d yˈ(x), akkor b = f(a) – f "(a)a
Helyettesítsük be b és k értékét az y = kx + b egyenletbe.
y \u003d f "(a) x + f (a) - f "(a) a, ha a közös tényezőt kivesszük a zárójelből, kapjuk:
y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).
Megkaptuk az y = f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x = a pontban.
Ahhoz, hogy magabiztosan megoldhassa a problémákat egy érintőn, világosan meg kell értenie az egyenlet minden elemének jelentését. Maradjunk ezen még egyszer: (10. dia)
(a, f (a)) - érintkezési pont
f "(a) \u003d tg α \u003d k lejtőszög vagy lejtő
(x, y) - az érintő bármely pontja
6. Algoritmus összeállítása (11. dia).
Azt javaslom, hogy készítsünk egy algoritmust maguknak a hallgatóknak:
Az érintkezési pont abszcisszáját a betűvel jelöljük.
Számítsuk ki f(a)-t!
Keresse meg f "(x)-et és számítsa ki f "(a)-t.
Helyettesítsük be az a, f (a), f "(a) szám talált értékeit az érintőegyenletbe.
y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).
Történelmi háttér (12. dia).
| 1 | 4/3 | 9 | -4 | -1 | -3 | 5 |
Válasz: FLUX (13. dia).
Mi ennek a névnek az eredettörténete? (14.15 dia)
A derivált fogalma a fizika, a mechanika és a matematika számos problémájának megoldása kapcsán merült fel. A matematikai elemzés alaptörvényeinek felfedezésének megtiszteltetése Newton angol tudóst és Leibniz német matematikust illeti. Leibniz fontolóra vette egy tetszőleges görbe érintőjének megrajzolásának problémáját. 
A híres fizikus, Isaac Newton, aki az angol Woolstrop faluban született, jelentős mértékben hozzájárult a matematikához. A görbék érintőinek megrajzolásával, a görbe vonalú alakzatok területeinek kiszámításával kapcsolatos feladatok megoldásával általános módszert alkotott az ilyen feladatok megoldására - fluxus módszer (származékok), és magát a származékot nevezzük folyékony .
Kiszámolta a hatványfüggvény deriváltját és integrálját. A differenciál- és integrálszámításról ír "Fluxusok módszere" (1665-1666) című munkájában, amely a matematikai elemzés, a differenciál- és integrálszámítás egyik kezdeteként szolgált, amelyet a tudós Leibniztől függetlenül fejlesztett ki. 
Különböző években sok tudós érdeklődött az érintő iránt. Alkalmanként N. Tartaglia (kb. 1500 - 1557) olasz matematikus munkáiban találkoztak az érintő fogalmával - itt az érintő a fegyver dőlésszögének kérdéskörének tanulmányozása során jelent meg, amely biztosítja a a lövedék repülésének legnagyobb adottsága. I. Keppler egy adott sugarú gömbbe írt paralelepipedon legnagyobb térfogatának probléma megoldása során az érintőt vette figyelembe.
A 17. században G. Galileo mozgáselmélete alapján a derivált kinematikai koncepciója aktívan fejlődött. Különféle bemutatási lehetőségek találhatók R. Descartes-nál, Roberval francia matematikusnál, D. Gregory angol tudósnál, I. Barrow munkáiban.
8. Konszolidáció (16-18. dia).
1) Állítsa össze az f (x) \u003d x² - 3x + 5 függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az abszcissza pontban
Megoldás:
Készítsük el az érintő egyenletét (algoritmus szerint). Hívj erős tanulót.
a = -1;
f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
f "(x) \u003d 2x - 3,
f "(a) \u003d f "(-1) \u003d -2 - 3 \u003d -5;
y \u003d 9 - 5 (x + 1),
Válasz: y = 4 - 5x. 
HASZNÁLATI feladatok 2011 B-8
1. Az y \u003d f (x) függvény a (-3; 4) intervallumon van definiálva. Az ábra a grafikonját és a grafikon érintőjét mutatja az a \u003d 1 abszcissza pontban. Számítsa ki az f "(x) derivált értékét az a \u003d 1 pontban.
Megoldás: a megoldáshoz emlékezni kell arra, hogy ha egy adott egyenesen bármely két A és B pont koordinátája ismert, akkor a meredeksége a következő képlettel számítható ki: k \u003d, ahol (x 1; y 1), (x 2; y 2) az A, B pont koordinátái. A grafikonon látható, hogy ez az érintő (1; -2) és (3; -1) koordinátájú pontokon halad át, ami azt jelenti, hogy k=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5. 
2. Az y \u003d f (x) függvény a (-3; 4) intervallumon van definiálva. Az ábra a grafikonját és a gráf érintőjét mutatja az a = -2 abszcissza pontban. Számítsa ki az f "(x) derivált értékét az a \u003d -2 pontban.
Megoldás: a gráf áthalad a (-2;1) (0;-1) pontokon. fˈ(-2)= -2
8. Házi feladat (19. dia).
Felkészülés a B-8 vizsgára 3 - 10. sz
^ 9. Önálló munkavégzés
Írja fel az y \u003d f (x) függvény grafikonjára az érintő egyenletét az a abszcissza pontban.
1. lehetőség 2. lehetőség
f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2
válaszok: 1. lehetőség: y=3x; 2. lehetőség: y \u003d -11x + 12
10. Összegzés.
Mit nevezünk egy függvény grafikonjának érintőjének egy pontban?
Mi a derivált geometriai jelentése?
Fogalmazzon meg egy algoritmust az érintőegyenlet megtalálásához egy pontban?
Válasszon egy hangulatjelet, amely megfelel a hangulatának és állapotának az óra után. Köszönöm a leckét.
Az óra típusa:új anyagok tanulása.
Tanítási módok: vizuális, részben felfedező.
Az óra célja:
- Mutassuk be a függvény grafikonjának érintő fogalmát egy pontban, derítsük ki a derivált geometriai jelentését, származtassuk az érintőegyenletet, és tanítsuk meg, hogyan találhatjuk meg konkrét függvényekre.
- A logikus gondolkodás, a kutatási képességek, a funkcionális gondolkodás, a matematikai beszéd fejlesztése.
- Munka közbeni kommunikációs készségek fejlesztése, a tanulók önálló tevékenységének fejlesztése.
Felszerelés: számítógép, multimédiás projektor, segédanyagok.
Letöltés:
Előnézet:
Lecke a következő témában: "Tangens. Tangens egyenlet"
Az óra típusa: új anyagok tanulása.
Tanítási módok:vizuális, részben felfedező.
Az óra célja:
- Mutassuk be a függvény grafikonjának érintő fogalmát egy pontban, derítsük ki a derivált geometriai jelentését, származtassuk az érintőegyenletet, és tanítsuk meg, hogyan találhatjuk meg konkrét függvényekre.
- A logikus gondolkodás, a kutatási képességek, a funkcionális gondolkodás, a matematikai beszéd fejlesztése.
- Munka közbeni kommunikációs készségek fejlesztése, a tanulók önálló tevékenységének fejlesztése.
Felszerelés: számítógép, multimédiás projektor, segédanyagok.
Tanterv
I szervezési pillanat.
A tanulók órára való felkészültségének ellenőrzése. Az óra témájának üzenete és mottója.
II Az anyag aktualizálása.
(A figyelem aktiválása, az érintővel kapcsolatos ismeretek hiányának kimutatása, az óra céljainak és célkitűzéseinek megfogalmazása.)
Beszéljük meg, mi az érintője a függvénygráfnak? Egyetért-e azzal az állítással, hogy "Az érintő olyan egyenes, amelynek egy adott görbével egy közös pontja van"?
Megbeszélés van. Gyermekek nyilatkozatai (igen és miért, nem és miért). A vita során arra a következtetésre jutunk, hogy ez az állítás nem igaz.
Példák.
1) Az x = 1 egyenesnek van egy közös pontja M(1; 1) az y = x2 parabolával, de ez nem érinti a parabolát. Az ugyanazon a ponton áthaladó y = 2x – 1 egyenes érinti az adott parabolát.
2) Hasonlóképpen, az x = π egyenes nem érinti a gráfot y = cos x , bár csak vele van közös K(π; 1) pontja. Másrészt az ugyanazon a ponton áthaladó y = - 1 egyenes érinti a gráfot, bár végtelenül sok közös pontja van vele;(π+2 πk; 1), ahol k egy egész szám, amelyek mindegyikében érinti a gráfot.
|
|
Célok és feladatok meghatározása a gyerekek számára az órán:megtudja, mekkora érintője egy függvény grafikonjának egy pontban, hogyan írjunk fel egyenletet érintőre?
Mi kell ehhez?
Idézzük fel az egyenes egyenletének általános alakját, a párhuzamos egyenesek feltételeit, a derivált meghatározását, a differenciálás szabályait!
III. Előkészítő munka az új anyag tanulmányozására.
Kérdőanyag kártyákon: (a feladatokat a táblán kell megoldani)
1 tanuló: töltse ki az elemi függvények deriváltjainak táblázatát! 
2 tanuló: emlékezzen a megkülönböztetés szabályaira 
3 tanuló: írja fel az egyenes egyenletét! y = kx + 4 áthaladva az A(3; -2) ponton.
(y=-2x+4)
4 tanuló: készítsen egyenletet az egyenesekből y=3x+b áthaladva a С(4; 2) ponton.
(y = 3x - 2).
A többi frontmunkával.
- Fogalmazd meg a derivált definícióját!
- Az alábbi egyenesek közül melyik párhuzamos? y = 0,5x; y \u003d - 0,5x; y \u003d - 0,5x + 2. Miért?
Találd ki a tudós nevét: 
A válaszok kulcsa
Hogy ki volt ez a tudós, mihez kapcsolódik a munkája, azt a következő leckében megtudjuk.
Ellenőrizze a tanulók válaszait a kártyákon.
IV Új anyag tanulmányozása.
Ahhoz, hogy egy egyenes egyenletét egy síkon felállítsuk, elegendő ismernünk annak szögét
egy pont együtthatója és koordinátái.
- Kezdjük a lejtővel
3. ábra
Tekintsük a függvény grafikonját y = f(x) Az A pontban differenciálható(x 0 , f(x 0 )) .
Válassz egy pontot rajta M (x 0 + Δх, f(x 0 + Δх)) és rajzoljon egy szekánt AM .
Kérdés: mekkora a szekáns lejtése? (∆f/∆x=tgβ)
Közelítjük a pontot az ív mentén M az A pontba . Ebben az esetben egyenesen AM a pont körül fog forogni A , közeledik (sima vonalakhoz) valamilyen korlátozó helyzethez - egyenes vonal NÁL NÉL . Más szóval, AT , amely rendelkezik ezzel a tulajdonsággal, az úgynevezett tangens a függvény grafikonjára y \u003d f (x) az A pontban (x 0, f (x 0)).
A szekáns lejtése AM at AM → 0 az érintő meredekségére irányul AT Δf/Δx → f "(x 0 ) . A derivált értéke egy pontban x 0 vegyük az érintő meredekségét. Azt mondjákaz érintő a szekáns határhelyzete ∆x → 0-nál.
Egy függvény deriváltjának létezése egy x pontban 0 egyenértékű az (x) pontban lévő (nem függőleges) érintő létezésével 0 , f(x 0 )) gráf, míg az érintő meredeksége egyenlő f "(x 0) . Ez az a származék geometriai jelentése.
Az érintő definíciója: Egy pontban differenciálható gráf érintője x 0 függvény f egy ponton átmenő egyenes(x 0 , f(x 0 )) és lejtős f "(x 0) .
Rajzoljuk meg a grafikon érintőjeit y \u003d f (x) az x 1, x 2, x 3 pontokban , és jegyezze fel az általuk az x tengellyel alkotott szögeket. (Ez a pozitív irányban mért szög a tengely pozitív irányától az egyenesig.)
4. ábra
Látjuk, hogy az α szög Az 1 hegyesszög, az α 3 tompaszög és az α 2 szög nulla, mert a vonal l párhuzamos az Ox tengellyel. A hegyesszög érintője pozitív, a tompaszögé negatív. Ezért f "(x 1)> 0, f" (x 2) \u003d 0, f "(x 3)
- Most levezetjük a tangens egyenleteta függvény grafikonjára f az A(x 0 , f(x 0 ) pontban).
Az egyenes egyenlet általános képe y = kx + b .
- Keressük meg a szögegyütthatót k \u003d f "(x 0), kapjuk y \u003d f "(x0) ∙ x + b, f (x) \u003d f "(x 0 )∙x + b
- Keressük meg b. b \u003d f (x 0) - f "(x 0) ∙ x 0.
- Helyettesítsd be a kapott értékeket! k és b az egyenes egyenletébe: y \u003d f "(x 0) ∙ x + f (x 0) - f "(x 0) ∙ x 0 vagy y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)
- Az előadás anyagának általánosítása.
- megfogalmazni egy algoritmust az érintőegyenlet egy pontban történő megtalálására?
1. A függvény értéke az érintkezési pontban
2. Függvény közös deriváltja
3. A derivált értéke az érintkezési pontban
4. Helyettesítse be a talált értékeket az általános érintőegyenletbe.
V A vizsgált anyag konszolidációja.
1. Szóbeli munka:
1) B a gráf mely pontjai érintik azt
a) vízszintes;
b) hegyesszöget zár be az x tengellyel;
c) tompaszöget zár be az x tengellyel?
2) Az argumentum mely értékeire vonatkozik a gráf által adott függvény deriváltja
a) egyenlő 0-val;
b) több mint 0;
c) 0-nál kisebb?
|
|
3) Az ábra a függvény grafikonját mutatja f(x) és annak érintője egy abszcissza pontban x0 . Keresse meg egy függvény deriváltjának értékét! f "(x) az x 0 pontban.
7. ábra
2. Írásbeli munka.
253 (a, b), 254 (a, b) sz. (terepmunka, kommentárral)
3. Referenciafeladatok megoldása.
Nézzünk meg négy feladattípust. A gyerekek elolvassák a feladat feltételét, megoldási algoritmust ajánlanak fel, az egyik tanuló felrajzolja a táblára, a többiek lejegyzik egy füzetbe.
1. Ha egy érintési pont adott
Írjon fel egyenletet egy függvénygráf érintőjére! f(x) = x 3 - 3x - 1 az M pontban -2 abszcisszán.
Megoldás:
- Számítsuk ki a függvény értékét: f(-2) = (-2) 3 - 3 (-2) - 1 = -3;
- keresse meg a függvény deriváltját: f "(x) \u003d 3x 2 - 3;
- számítsuk ki a derivált értékét: f "(-2) \u003d - 9 .;
- cseréljük be ezeket az értékeket az érintőegyenletbe: y = 9(x + 2) - 3 = 9x + 15.
Válasz: y = 9x + 15.
2. Az érintkezési pont ordinátája szerint.
Írjon fel egyenletet a grafikon egy pontjában lévő érintőre! y ordinátával 0 = 1.
Megoldás:
Válasz: y \u003d -x + 2.
3. Előre beállított irány.
Írjon érintőegyenleteket a grafikonra! y \u003d x 3 - 2x + 7 , párhuzamos a vonallal y = x .
Megoldás.
A kívánt érintő párhuzamos az egyenessel y=x . Tehát ugyanolyan lejtésűek k \u003d 1, y "(x) \u003d 3x2 - 2. Abszcissza x 0 érintkezési pontok kielégítik az egyenletet 3x 2 - 2 \u003d 1, ahonnan x 0 = ±1.
Most felírhatjuk az érintőegyenleteket: y = x + 5 és y = x + 9 .
Válasz: y = x + 5, y = x + 9.
4. A grafikon és az egyenes érintésének feltételei.
Feladat. Miben b egyenes y = 0,5x + b érintője a függvény grafikonjának f(x) = ?
Megoldás.
Emlékezzünk vissza, hogy az érintő meredeksége a derivált értéke az érintőpontban. Ennek az egyenesnek a meredeksége k = 0,5. Innen kapjuk az egyenletet az érintési pont x abszcissza meghatározására: f "(x) \u003d = 0,5. Nyilvánvalóan az egyetlen gyöke x = 1. Ennek a függvénynek az értéke ezen a ponton y(1) = 1. Tehát az érintési pont koordinátái (1; 1). Most a b paraméternek olyan értékét kell választani, amelynél az egyenes ezen a ponton halad át, vagyis a pont koordinátái kielégítik az egyenes egyenletét: 1 = 0,5 1 + b, ahonnan b = 0,5.
5. Oktató jellegű önálló munkavégzés.
Párokban dolgozni. 
Ellenőrzés: a megfejtés eredményeit egy táblázatba írjuk a táblára (páronként egy válasz), a válaszok megbeszélése.
6. Egy függvény és egy egyenes grafikonja metszésszögének meghatározása.
A függvény grafikonjának metszésszöge y = f(x) és l egyenes az a szög, amelyben a függvény grafikonjának érintője ugyanabban a pontban metszi az egyenest.
No. 259 (a, b), No. 260 (a) - szétszedni a táblánál.
7. Ellenőrző jellegű önálló munkavégzés.(differenciált munka, a tanár ellenőrzi a következő órát)
1 lehetőség.
2. lehetőség.
- Mely pontokon van a függvény grafikonjának érintője f(x) = 3x2 - 12x + 7 párhuzamos az x tengellyel?
- Tegye egyenlővé a függvény grafikonjának érintőjét! f(x)= x 2-4 pontban az abszcisszával x 0 = - 2. Rajzolja meg a mintát.
- Tudja meg, hogy a vonal y \u003d 12x - 10 a függvény grafikonjának érintője y = 4x3.
3 lehetőség.
VI A lecke összegzése.
1. Válaszok a kérdésekre
- mit nevezünk egy függvény grafikonjának érintőjének egy pontban?
Mi a derivált geometriai jelentése?
- megfogalmazni egy algoritmust az érintőegyenlet egy pontban történő megtalálására?
2. Emlékezzen az óra céljaira és célkitűzéseire, elértük-e ezt a célt?
3. Mik voltak a nehézségek az órán, az óra mely pillanatai tetszettek a legjobban?
4. Jelölés az órán.
VII Kommentár a házi feladathoz: 19. (1, 2), 253 (c), 255 (d), 256 (d), 257 (d), 259 (d). Készítsen jelentést Leibnizről.
Irodalom
1. Az algebra és az elemzés kezdetei: Tankönyv az oktatási intézmények 10. évfolyamához. Fordítók:. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Sevkin. - M.: Oktatás, 2008.
2. Didaktikai anyagok az algebráról és az elemzési elvekről a 10. osztály számára / B.M. Ivlev, S.M. Saakyan, S.I. Schwarzburd. - M.: Oktatás, 2008.
3. Az "1C" cég multimédiás lemeze. 1C: Oktató. Matematika (1. rész) + USE opciók. 2006.
4. Nyissa meg a matematikai feladatok bankját/ http://mathege.ru/
Osztály: 10
Előadás a leckéhez
Vissza előre
Figyelem! A dia előnézete csak tájékoztató jellegű, és nem feltétlenül képviseli a bemutató teljes terjedelmét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.
Az óra típusa:új anyagok tanulása.
Oktatási módszerek: vizuális, részben kereső.
Az óra célja.
- Mutassuk be a függvény grafikonjának érintő fogalmát egy pontban, derítsük ki a derivált geometriai jelentését, származtassuk az érintőegyenletet, és tanítsuk meg, hogyan találhatjuk meg konkrét függvényekre.
- Fejleszti a logikus gondolkodást, a matematikai beszédet.
- Fejlessze az akaratot és a kitartást a végső eredmények elérése érdekében.
Felszerelés: interaktív tábla, számítógép.
Tanterv
I. Szervezési mozzanat
A tanulók órára való felkészültségének ellenőrzése. Üzenet az óra témájával és célkitűzéseivel kapcsolatban.
II. Tudásfrissítés.
(Idézze fel a tanulókkal egy függvény grafikonjának érintőjének geometriai definícióját. Mondjon példákat arra vonatkozóan, hogy ez az állítás nem teljes.)
Emlékszel, mi az az érintő?
"Az érintő olyan egyenes, amelynek van egy közös pontja egy adott görbével." (2. dia)
Vita e meghatározás helyességéről. (A megbeszélés után a tanulók arra a következtetésre jutnak, hogy ez a meghatározás helytelen.) Következtetésük illusztrálására a következő példát adjuk.
Vegyünk egy példát. (3. dia)
Legyen adott egy parabola és két egyenes 
, amelynek van egy közös pontja M (1; 1) ezzel a parabolával. Vita folyik arról, hogy az első sor miért nem érinti ezt a parabolát (1. ábra), a második pedig (2. ábra).
Ebben a leckében meg kell találnunk, hogy mekkora érintője egy függvény grafikonjának egy pontban, hogyan írjunk fel egyenletet egy érintőre?
Tekintsük az érintőegyenlet összeállításának fő feladatait!
Ehhez idézzük fel az egyenes egyenletének általános alakját, a párhuzamos egyenesek feltételeit, a derivált meghatározását és a differenciálás szabályait. (4. dia)
III. Előkészítő munka új anyag tanulmányozására.
- Fogalmazd meg a derivált definícióját! (5. dia)
- Töltse ki a tetszőleges elemi függvények táblázatát! (6. számú dia)
- Ne felejtse el a megkülönböztetés szabályait. (7. dia)
- Az alábbi egyenesek közül melyik párhuzamos és miért? (Győződjön meg róla vizuálisan) (8. dia)
IV Új anyag tanulmányozása.
Egy egyenes egyenletének síkon való beállításához elegendő, ha ismerjük egy pont meredekségét és koordinátáit.
Legyen adott a függvény grafikonja. Kijelölünk rajta egy pontot, ezen a ponton egy érintőt húzunk a függvény grafikonjára (feltételezzük, hogy létezik). Keresse meg az érintő meredekségét.
Növeljük az argumentumot, és tekintsük a grafikonon (3. ábra) a P pontot az abszcisszával. A szekáns MP meredeksége, i.e. a szekáns és az x tengely közötti szög érintője a képlettel számítható ki.
Ha most nullára hajlamosunk, akkor a P pont a görbe mentén elkezd közeledni az M ponthoz. Ebben a közelítésben az érintőt a szekáns határhelyzeteként jellemeztük. Tehát természetes az a feltételezés, hogy az érintő meredekségét a képlet számítja ki.
Ennélfogva, .
Ha az y = f (x) függvény grafikonjára a pontban x = a a tengellyel nem párhuzamos érintőt rajzolhat nál nél, akkor az érintő meredekségét fejezi ki. (10. dia)
Vagy más módon. Származék egy ponton x = a egyenlő a függvény grafikonjának érintőjének meredekségével y = f(x) ezen a ponton.
Ez a származék geometriai jelentése. (11. dia)
Továbbá, ha:
Nézzük meg az érintőegyenlet általános alakját.
Adja meg az egyenest az egyenlet. Tudjuk . Az m kiszámításához azt a tényt használjuk, hogy az egyenes áthalad a ponton. Tegyük bele az egyenletbe. Kapunk , i.e. . Cserélje be a talált értékeket! kÉs m az egyenes egyenletébe:
a függvény grafikonjának érintőjének egyenlete. (12. dia)Vegye figyelembe a példákat:
Készítsük el az érintő egyenletét:
(14. dia)
A példák megoldásához egy nagyon egyszerű algoritmust használtunk, ami a következő: (15. dia)
Fontolja meg a tipikus feladatokat és azok megoldását.
№1 Írja fel a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét a pontban.
(16. dia)
Megoldás. Használjuk az algoritmust, mivel ebben a példában .
2) 
3) ; 
4) Helyettesítsd be a talált ,, számokat a képletbe.
№2 Rajzoljon egy érintőt a függvény grafikonjára úgy, hogy az párhuzamos legyen az egyenessel. (17. dia)
Megoldás. Finomítsuk a probléma megfogalmazását. Az „érintő rajzolásának” követelménye általában azt jelenti, hogy „egyenletet készítsünk egy érintőre”. Használjuk az érintőrajzi algoritmust, mivel ebben a példában .
A kívánt érintőnek párhuzamosnak kell lennie az egyenessel. Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha meredeksége egyenlő. Tehát az érintő meredekségének meg kell egyeznie az adott egyenes meredekségével: .Nem. Ennélfogva: 
; ., azaz
V. Problémamegoldás.
1. Feladatok megoldása kész rajzokon (18. sz. dia és 19. sz. dia)
2. Feladatok megoldása a tankönyvből: 29.3 (a, c), 29.12 (b, d), 29.18, 29.23 (a) (20. dia)
VI. Összegzés.
1. Válaszoljon a kérdésekre:
- Mit nevezünk egy függvény grafikonjának érintőjének egy pontban?
- Mi a derivált geometriai jelentése?
- Fogalmazzon meg egy algoritmust az érintőegyenlet megtalálásához?
2. Melyek voltak a nehézségek az órán, az óra mely pillanatai tetszettek a legjobban?
3. Jelölés.
VII. Házi feladat Megjegyzések
No. 29.3 (b, d), No. 29.12 (a, c), No. 29.19, No. 29.23 (b) (22. dia)
Irodalom. (23. dia)
- Algebra és a matematikai elemzés kezdete: Proc. 10-11 cellához. oktatási intézmények tanulói számára (alapszint) / Szerk.: A.G. Mordkovich. – M.: Mnemosyne, 2009.
- Algebra és a matematikai elemzés kezdete: Feladatfüzet, 10-11 cellához. oktatási intézmények tanulói számára (alapszint) / Szerk.: A.G. Mordkovich. – M.: Mnemosyne, 2009.
- Az algebra és az elemzés kezdetei. Önálló és ellenőrző munkavégzés 10-11. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010.
- USE 2010. Matematika. B8. feladat. Munkafüzet / Szerkesztette A.L. Semenov és I.V. Yashchenko - M .: MTsNMO Kiadó, 2010.
A „Függvény grafikonjának érintőjének egyenlete” című videós oktatóanyag bemutatja a téma elsajátításához szükséges oktatási anyagokat. A videóóra során bemutatásra kerül az adott ponton egy függvény grafikonjának érintője egyenlet fogalmának kialakításához szükséges elméleti anyag, az ilyen érintő megtalálásának algoritmusa, példák a tanult elméleti felhasználásával a problémák megoldására. anyagot ismertetnek.
Az oktatóvideó olyan módszereket használ, amelyek javítják az anyag láthatóságát. Rajzokat, diagramokat illeszt be a nézetbe, fontos hang megjegyzéseket ad, animációt, színkiemelést és egyéb eszközöket alkalmaz.
A videóóra az óra témájának bemutatásával kezdődik, valamint az M(a;f(a) pontban lévő y=f(x) függvény grafikonjának érintőjének képével. Ismeretes, hogy a gráfhoz húzott érintő meredeksége egy adott pontban megegyezik az f΄(a) függvény adott pontbeli deriváltjával. Ugyancsak az algebra menetéből ismert az y=kx+m egyenes egyenlete. Sematikusan bemutatjuk az érintőegyenlet egy pontban történő megtalálásának feladatának megoldását, amely a k, m együtthatók megtalálására redukálódik. A függvény grafikonjához tartozó pont koordinátáinak ismeretében m-et találhatunk úgy, hogy a koordináták értékét behelyettesítjük az f(a)=ka+m érintő egyenletébe. Ebből találjuk az m=f(a)-ka. Így egy adott pontban a derivált értékének és a pont koordinátáinak ismeretében az érintőegyenletet így ábrázolhatjuk y=f(a)+f΄(a)(x-a).
Az alábbiakban egy tangens egyenlet felállítására mutatunk be példát a sémát követve. Adott egy y=x 2, x=-2 függvény. Az a=-2 elfogadása után a függvény értékét az f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 pontban találjuk meg. Meghatározzuk az f΄(х)=2х függvény deriváltját. Ezen a ponton a derivált egyenlő: f΄(a)= f΄(-2)=2 (-2)=-4. Az egyenlet összeállításához az összes a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 együtthatót megtaláljuk, így az y=4+(-4)(x+2) érintőegyenletet. Az egyenletet leegyszerűsítve y \u003d -4-4x-et kapunk.
A következő példában az y=tgx függvény gráfjának origójában lévő érintő egyenletének megfogalmazását javasoljuk. Ezen a ponton a=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Tehát az érintőegyenlet így néz ki: y=x.
Általánosításként a függvénygráf érintőjének egyenletének összeállításának folyamatát egy 4 lépésből álló algoritmusként formalizáljuk:
- Az érintkezési pont abszcisszán egy jelölést vezetnek be;
- f(a) kiszámítása;
- Meghatározzuk az F΄(х)-et és kiszámítjuk az f΄(a)-t. A talált a, f(a), f΄(a) értékeket behelyettesítjük az y=f(a)+f΄(a)(x-a) érintőegyenlet képletébe.
Az 1. példa az y \u003d 1 / x függvény grafikonjának érintőjének egyenletének összeállítását vizsgálja az x \u003d 1 pontban. A probléma megoldásához algoritmust használunk. Ennél a függvénynél az a=1 pontban az f(a)=-1 függvény értéke. Az f΄(х)=1/х 2 függvény deriváltja. Az a=1 pontban az f΄(a)= f΄(1)=1 derivált. A kapott adatok felhasználásával összeállítjuk az y \u003d -1 + (x-1) vagy y \u003d x-2 érintő egyenletét.
A 2. példában meg kell találnia az y \u003d x 3 +3x 2 -2x-2 függvény grafikonjának érintőjének egyenletét. A fő feltétel az érintő és az y egyenes párhuzamossága \u003d -2x + 1. Először megtaláljuk az érintő meredekségét, amely egyenlő az y egyenes meredekségével \u003d -2x + 1. Mivel f΄(a)=-2 erre az egyenesre, akkor k=-2 a kívánt érintőre. Megtaláljuk az (x 3 + 3x 2 -2x-2) ΄ \u003d 3x 2 + 6x-2 függvény deriváltját. Tudva, hogy f΄(a)=-2, megtaláljuk a 3а 2 +6а-2=-2 pont koordinátáit. Az egyenletet megoldva 1 \u003d 0 és 2 \u003d -2 kapunk. A talált koordináták segítségével egy jól ismert algoritmus segítségével megtalálhatja az érintőegyenletet. A függvény értékét az f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 pontokban találjuk. A derivált értéke az f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 pontban. A talált értékeket az érintőegyenletbe behelyettesítve az első pontra a 1 \u003d 0 y \u003d -2x-2, a második pontra pedig a 2 \u003d -2 az y \u003d -2x- érintőegyenletet kapjuk. 22.
A 3. példa az y=√x függvény grafikonjának (0;3) pontjában történő megrajzolásához szükséges érintőegyenlet megfogalmazását írja le. A döntés az ismert algoritmus szerint történik. A tapintási pont koordinátái x=a, ahol a>0. A függvény értéke az f(a)=√x pontban. Az f΄(х)=1/2√х függvény deriváltja tehát az adott pontban f΄(а)=1/2√а. Ha az összes kapott értéket behelyettesítjük az érintőegyenletbe, y \u003d √a + (x-a) / 2√a kapjuk. Az egyenletet átalakítva y=x/2√a+√a/2 kapjuk. Tudva, hogy az érintő átmegy a (0; 3) ponton, megkapjuk az a értékét. Keresse meg a 3=√a/2-ből. Ezért √a=6, a=36. Megtaláljuk az y \u003d x / 12 + 3 érintő egyenletét. Az ábra a vizsgált függvény és a megszerkesztett kívánt érintő grafikonját mutatja.
A tanulókat emlékeztetik a Δy=≈f΄(x)Δx és f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx közelítő egyenlőségre. Ha x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, azt kapjuk, hogy f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), tehát f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).
A 4. példában meg kell találni a 2.003 6 kifejezés közelítő értékét. Mivel meg kell találni az f (x) \u003d x 6 függvény értékét az x \u003d x 2,003 pontban, használhatjuk a jól ismert képletet, f (x) \u003d x 6, a \u003d 2 , f (a) \u003d f (2) \u003d 64, f ΄(x)=6х 5 . Derivált az f΄(2) pontban=192. Ezért 2,003 6 ≈65-192 0,003. A kifejezés kiszámítása után 2,003 6 ≈64,576 kapunk.
A "Függvény grafikonjának érintőjének egyenlete" című videóleckét hagyományos iskolai matematika órán ajánljuk. Egy távoktató tanár számára a videóanyag segít a téma érthetőbb elmagyarázásában. A videót önmegfontolásra ajánlhatják a tanulók, ha szükséges, hogy elmélyítsék a tantárgy megértését.
SZÖVEGÉRTELMEZÉS:
Tudjuk, hogy ha az M (a; f (a)) pont (em a koordinátákkal és eff a koordinátákkal) az y \u003d f (x) függvény gráfjához tartozik, és ha ezen a ponton egy érintő húzható a függvény grafikonja, nem merőleges az abszcissza tengelyre, akkor az érintő meredeksége f "(a) (ef vonás a-ból).
Legyen adott egy y = f(x) függvény és egy M (a; f(a)) pont, és az is ismert, hogy létezik f´(a). Állítsuk össze egy adott függvény grafikonjának érintőjének egyenletét egy adott pontban. Ez az egyenlet, mint bármely, az y tengellyel nem párhuzamos egyenes egyenlete, y = kx + m (y egyenlő ka x plusz em) alakban, így a feladat az együtthatók értékeinek megtalálása. k és m. (ka és em)
Lejtése k \u003d f "(a). Az m értékének kiszámításához azt a tényt használjuk, hogy a kívánt egyenes áthalad az M ponton (a; f (a)). Ez azt jelenti, hogy ha behelyettesítjük a koordinátáit Az egyenes egyenletében szereplő M pontból a helyes egyenlőséget kapjuk: f(a) = ka+m, innen azt kapjuk, hogy m = f(a) - ka.
Marad a ki és m együtthatók talált értékeit behelyettesíteni egy egyenes egyenletbe:
y = kx+(f(a)-ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= f(a)+ f"(a) (x- a). ( Y egyenlő az eff-vel egy plusz ef löketből egy x-szel szorozva mínusz a).
Megkaptuk az y = f(x) függvény grafikonjának érintőjének egyenletét az x=a pontban.
Ha mondjuk y \u003d x 2 és x \u003d -2 (azaz a \u003d -2), akkor f (a) \u003d f (-2) \u003d (-2) 2 \u003d 4; f´(x) \u003d 2x, tehát f "(a) \u003d f´(-2) \u003d 2 (-2) \u003d -4. (akkor az a-ból eff négy, az x-ből származó eff prím egyenlő két x, ami azt jelenti, hogy ef löket egyenlő mínusz négyből)
Ha az egyenletben behelyettesítjük a talált értékeket a \u003d -2, f (a) \u003d 4, f "(a) \u003d -4, a következőt kapjuk: y \u003d 4 + (-4) (x + 2) , azaz y \u003d -4x -4.
(y egyenlő mínusz négy x mínusz négy)
Állítsuk össze az y \u003d tgx függvény grafikonjának érintőjének egyenletét (y egyenlő x érintővel) az origónál. Van: a = 0, f(0) = tg0=0;
f"(x)= , tehát f"(0) = l. Az a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 talált értékeket behelyettesítve az egyenletbe, a következőt kapjuk: y=x.
Az algoritmus segítségével általánosítjuk lépéseinket, hogy megtaláljuk az x pontban lévő függvény grafikonjának érintőjének egyenletét.
ALGORITMUS AZ y \u003d f (x) GRAFON érintőjének FUNKCIÓEGYENLETÉNEK ÖSSZETÉTELÉRE:
1) Jelölje meg az érintkezési pont abszcisszáját a betűvel!
2) Számítsuk ki f(a)-t!
3) Határozzuk meg f´(x)-et és számítsuk ki f´(a)-t!
4) Helyettesítsd be a talált a, f(a), f´(a) számokat a képletbe! y= f(a)+ f"(a) (x- a).
1. példa Írja fel az y \u003d - függvény grafikonjának érintőjének egyenletét
pont x = 1.
Megoldás. Használjuk az algoritmust, figyelembe véve, hogy ebben a példában
2) f(a)=f(1)=-=-1
3) f'(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.
4) Helyettesítse be a képletbe a három talált számot: a \u003d 1, f (a) \u003d -1, f "(a) \u003d 1. A következőt kapjuk: y \u003d -1 + (x-1), y \u003d x-2.
Válasz: y = x-2.
2. példa Adott egy y = függvény x 3 +3x 2 -2x-2. Írja fel az érintő egyenletét az y \u003d f (x) függvény grafikonjára, párhuzamosan az y \u003d -2x +1 egyenessel.
Az érintőegyenlet összeállítására szolgáló algoritmus segítségével figyelembe vesszük, hogy ebben a példában f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, de az érintési pont abszcisszán itt nincs megadva.
Kezdjünk így beszélni. A kívánt érintőnek párhuzamosnak kell lennie az y \u003d -2x + 1 egyenessel. A párhuzamos vonalaknak pedig egyenlő a meredeksége. Ezért az érintő meredeksége egyenlő az adott egyenes meredekségével: k cas. = -2. Hok cas. = f "(a). Így az a értékét az f ´ (a) \u003d -2 egyenletből találhatjuk meg.
Keressük meg a függvény deriváltját y=f(x):
f"(x) \u003d (x 3 + 3x 2 -2x-2)´ \u003d 3x 2 + 6x-2;f"(a) \u003d 3a 2 + 6a-2.
Az f egyenletből "(a) \u003d -2, azaz. 3а 2 +6а-2\u003d -2 találunk egy 1 \u003d 0, egy 2 \u003d -2. Ez azt jelenti, hogy két érintő teljesíti a feladat feltételeit: az egyik egy 0 abszcissza pontban, a másik egy -2 abszcissza pontban.
Most már az algoritmus szerint cselekedhet.
1) egy 1 = 0 és 2 = -2.
2) f(a 1) = 0 3 +3 0 2 -2∙0-2=-2; f(a2)= (-2) 3 +3 (-2) 2 -2 (-2)-2=6;
3) f "(a 1) = f" (a 2) = -2.
4) Az a 1 = 0, f (a 1) = -2, f "(a 1) = -2 értékeket behelyettesítve a képletbe, kapjuk:
y=-2-2(x-0), y=-2x-2.
Ha behelyettesítjük a képletbe az a 2 \u003d -2, f (a 2) \u003d 6, f "(a 2) \u003d -2 értékeket, a következőt kapjuk:
y=6-2(x+2), y=-2x+2.
Válasz: y=-2x-2, y=-2x+2.
3. példa: A (0; 3) pontból rajzoljunk érintőt az y \u003d függvény grafikonjára. Megoldás. Használjuk a tangens egyenlet összeállítására szolgáló algoritmust, mivel ebben a példában f(x) = . Megjegyezzük, hogy itt, mint a 2. példában, az érintési pont abszcisszán nincs kifejezetten feltüntetve. Ennek ellenére az algoritmus szerint járunk el.
1) Legyen x = a az érintkezési pont abszcisszája; egyértelmű, hogy a > 0.
3) f´(x)=()´=; f´(a) =.
4) Az a, f(a) = , f "(a) = értékek behelyettesítése a képletbe
y \u003d f (a) + f "(a) (x-a), kapunk:
Feltétel szerint az érintő átmegy a (0; 3) ponton. Az x = 0, y = 3 értékeket behelyettesítve az egyenletbe, a következőt kapjuk: 3 = , majd =6, a =36.
Mint látható, ebben a példában csak az algoritmus negyedik lépésénél sikerült megtalálni az érintési pont abszcisszáját. Az a =36 értéket behelyettesítve az egyenletbe, a következőt kapjuk: y=+3
ábrán. Az 1. ábra a vizsgált példa geometriai illusztrációját mutatja be: az y \u003d függvény grafikonját ábrázoljuk, egy y \u003d +3 egyenest rajzolunk.
Válasz: y = +3.
Tudjuk, hogy az x pontban derivált y = f(x) függvényre a közelítő egyenlőség érvényes: Δyf´(x)Δx
vagy részletesebben: f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (ef x-ből plusz delta x mínusz ef x-ből megközelítőleg egyenlő ef prímmel x-ből delta x-be).
A további érvelés megkönnyítése érdekében megváltoztatjuk a jelölést:
x helyett írunk A,
x + Δx helyett x-et fogunk írni
Δx helyett x-a-t fogunk írni.
Ekkor a fent írt hozzávetőleges egyenlőség a következőképpen alakul:
f(x)-f(a)f´(a)(x-a)
f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (az x-ből származó ef megközelítőleg egyenlő az a-ból származó plusz ef löketből származó eff-vel, megszorozva x és a különbségével).
4. példa Határozza meg a 2.003 6 numerikus kifejezés közelítő értékét.
Megoldás. Arról beszélünk, hogy megtaláljuk az y \u003d x 6 függvény értékét az x \u003d 2,003 pontban. Használjuk az f(x)f(a)+f´(a)(x-a) képletet, figyelembe véve, hogy ebben a példában f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 = 64; x \u003d 2,003, f "(x) \u003d 6x 5 és ezért f" (a) \u003d f "(2) \u003d 6 2 5 \u003d 192.
Ennek eredményeként a következőket kapjuk:
2,003 6 64+192 0,003, azaz 2,003 6 = 64,576.
Ha számológépet használunk, a következőket kapjuk:
2,003 6 = 64,5781643...
Amint látja, a közelítés pontossága meglehetősen elfogadható.
lecke 70-71. A függvény grafikonjának érintőjének egyenlete
09.07.2015 5132 0Cél: kapjuk meg a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét.
I. Az órák témájának és célkitűzéseinek közlése
II. A lefedett anyag ismétlése és megszilárdítása
1. Válaszok a házi feladattal kapcsolatos kérdésekre (megoldatlan problémák elemzése).
2. Anyag asszimilációjának ellenőrzése (teszt).
1.opció
1. Keresse meg az y \u003d 3x4 - 2 függvény deriváltját cos x .
Válasz: 
az x = π pontban.
Válasz:
3. Oldja meg az egyenletet! y '(x) = 0, ha 
Válasz:
2. lehetőség
1. Keresse meg az y \u003d 5xb + 3 függvény deriváltját bűn x .
Válasz: 
2. Számítsa ki a függvény deriváltjának értékét! az x = π pontban.
Válasz:
3. Oldja meg az egyenletet! y '(x) = 0, ha 
Válasz:
III. Új anyagok tanulása
Végül térjünk át a derivált tanulmányozásának utolsó szakaszára, és vegyük fontolóra a derivált használatát a többi leckében. Ebben a leckében egy függvény grafikonjának érintőjét tárgyaljuk.
Az érintő fogalmával már korábban is foglalkoztunk. Megmutattuk, hogy az a pontban differenciálható függvény grafikonja f (x) a közelében gyakorlatilag nem különbözik az érintőgráftól, ami azt jelenti, hogy közel van az (a; f (a)) és (a + Δx; f (a + Δx)). Ezen szekánsok bármelyike áthalad az M(a; f (A)). Egy érintő egyenletének felírásához meg kell adni a meredekségét. A szekáns lejtése Δ f /Δx Δх →-nél A 0 egy számra hajlamos f "(a), ami az érintő meredeksége. Ezért azt mondják, hogy az érintő a szekáns határhelyzete Δx-nél→ 0.
Most megkapjuk a függvény grafikonjának érintőjének egyenletét f (X). Mivel az érintő egy egyenes és a meredeksége f "(a), akkor felírhatjuk az y \u003d egyenletét f "(a) x + b . Keressük az együtthatót b abból a feltételből, hogy az érintő átmegy az M(a) ponton; f (A)). Helyettesítse be ennek a pontnak a koordinátáit az érintőegyenletbe, és kapja meg: f (a) \u003d f "(a) a + b, ahonnan b \u003d f (a) - f "(a) a. Most behelyettesítjük a talált értéket b az érintőegyenletbe, és kapjuk: vagy Ez a tangens egyenlet. Beszéljük meg az érintőegyenlet alkalmazását.
1. példa
Milyen szögben van a szinuszos
metszi az x tengelyt az origóban?
Az a szög, amelyben ennek a függvénynek a grafikonja metszi az abszcissza tengelyt, megegyezik a függvény grafikonjára rajzolt érintő a dőlésszögével. f(x ) ezen a ponton. Keressük a származékot:Figyelembe véve a derivált geometriai jelentését, a következőket kapjuk:és a = 60°.
2. példa
Írjuk fel a függvény érintőgráfjának egyenletét f (x) = -x2 + 4x a pontban a = 1.
f "(x) és maga a függvény f (x) az a = 1 pontban, és kapjuk: f "(a) = f "(1) = -2 1 + 4 = 2 és f (a) = f (1) = -12 + 4 1 = 3. Helyettesítse be ezeket az értékeket az érintőegyenletbe. Van: y \u003d 2 (x - 1) + 3 vagy y \u003d 2x + 1.
Az áttekinthetőség kedvéért az ábra a függvény grafikonját mutatja f(x ) és ennek a függvénynek az érintője. Az érintés egy ponton történik M(1; 3).
Az 1. és 2. példa alapján felállíthatunk egy algoritmust az y = függvény grafikonjának érintőjének egyenletének megszerzésére f(x):
1) az a betűvel jelölje meg az érintkezési pont abszcisszán;
2) számítsuk ki f(a)-t;
3) keresse meg f "(x)-et, és számítsa ki f "(a)-t;
4) cserélje ki a talált számokat a, f (a), f "(a) az y \u003d f '(a) (x - a) + f (a) képletbe.
Megjegyzendő, hogy kezdetben az a pont ismeretlen lehet, és azt a feladat feltételeiből kell megtalálni. Ekkor a 2. és 3. bekezdésben szereplő algoritmusban a „számítás” szót az „ír” szóra kell cserélni (amelyet a 3. példa szemléltet).
A 2. példában az érintőpont a abszcisszáját közvetlenül adtuk meg. Sok esetben a tapintási pontot különféle további feltételek határozzák meg.
3. példa
Írjuk fel a pontból húzott érintők egyenleteit A (0; 4) a függvény grafikonjára f(x) \u003d - x 2 + 2x.
Könnyen ellenőrizhető, hogy az A pont nem fekszik-e a parabolán. Ugyanakkor a parabola és az érintők érintkezési pontjai ismeretlenek, ezért ezeknek a pontoknak a megtalálásához további feltételt kell használni - az érintők áthaladását az A ponton.
Tegyük fel, hogy az érintkezés az a pontban történik. Keressük meg a függvény deriváltját:Számítsa ki a derivált értékeit! f"(x ) és magát a funkciót f (x) az a kapcsolati pontnál, és a következőt kapjuk: f '(a) \u003d -2a + 2 és f (a ) = -a2 + 2a. Helyettesítse ezeket az értékeket az érintőegyenletbe. Nekünk van: vagy 
Ez a tangens egyenlet.
Felírjuk az érintő A ponton való áthaladásának feltételét, ennek a pontnak a koordinátáit helyettesítve. Kapunk: 4vagy 4 = a2, ahol a = ±2. Így az érintés két B(-2; -8) és C(2; 0) pontban történik. Ezért két ilyen érintő lesz. Keressük meg az egyenleteiket. Helyettesítsük be az a = ±2 értékeket az érintőegyenletbe. Kapunk: at a = 2 
vagy yx \u003d -2x + 4; nál nél a = -2 vagy y2 = 6x + 4. Tehát az érintők egyenletei y1 = -2x + 4 és y2 = 6x + 4.
4. példa
Határozzuk meg az érintők közötti szöget az előző feladat feltételeivel!
Az y1 = -2x + 4 és y2 = 6x + 4 érintők a1 és a2 szöget zárnak be az abszcissza tengely pozitív irányával (és tg a 1 = -2 és tg a 2 = 6) és egymás között a φ = szög egy 1 - a2. A jól ismert képlet segítségével azt találjuk,
ahonnan φ = arctan 8/11.
5. példa
Írjuk fel a függvény grafikonjára az érintő egyenletétpárhuzamos egyenes y \u003d -x + 2.
Két egyenes párhuzamos egymással, ha azonos a meredeksége. Az y \u003d -x + 2 egyenes meredeksége -1, a kívánt érintő meredeksége f '(a ), ahol a - az érintkezési pont abszcisszán. Ezért a meghatározásához van egy további feltételünk f '(a) \u003d -1.
A privát függvények deriváltjának képletével megtaláljuk a deriváltot:
Keresse meg a derivált értékét a pontbanés kap: 
Megkapjuk az egyenletet
vagy (a - 2)2 = 4, vagy a - 2 = ±2, ahonnan a = 4 és a = 0. Így van két érintő, amely kielégíti a feladat feltételét. Helyettesítsük be az a = 4 és a = 0 értékeket az y = érintő egyenletébe f '(a)(x - a) + f (A). A = 4 esetén a következőket kapjuk:
és tangens y1 \u003d - (x - 4) + 3 vagy y1 \u003d -x + 7. A \u003d 0 kapjuk:
és y2 \u003d - (x - 0) - 1 vagy y2 \u003d -x - 1 érintő. Tehát az y1 \u003d -x + 7 és y2 \u003d -x - 1 érintők egyenletei.
Vegye figyelembe, hogy ha f "(a ) nem létezik, akkor az érintő vagy nem létezik (mint a függvényben f (x) = |x| pontban (0; 0) - ábra. a, vagy függőleges (mint a függvénypontban (0; 0) - ábra. b.
Tehát egy függvény deriváltjának létezése f (x) az a pontban egyenértékű egy nem függőleges érintő létezésével az (a) pontban; f (a)) grafika. Ebben az esetben az érintő meredeksége egyenlő f "(a). Ez a származék geometriai jelentése.
A derivált fogalma lehetővé teszi közelítő számítások elvégzését. Többször megjegyezték, hogy a Δх→ 0 függvényérték f(x ) és érintője y(x) gyakorlatilag egybeesik. Ezért Δx-nél→ 0 függvény viselkedése f (x) az x0 pont szomszédságában közelítőleg leírható a képlettel(valójában az érintőegyenlet). Ezt a képletet sikeresen használják közelítő számításokhoz.
6. példa
Számítsa ki a függvény értékét! pontban x = 2,03.
Keresse meg ennek a függvénynek a deriváltját: f "(x) \u003d 12x2 - 4x + 3. Feltesszük, hogy x \u003d a + Δx, ahol a \u003d 2 és Δx \u003d 0,03. Kiszámítjuk a függvény értékeit és deriváltját a pontban és kap:És Most határozzuk meg a függvény értékét egy adott x = 2,03 pontban. Nekünk van:
Természetesen a fenti képlet kényelmesen használható, ha az értékeket f (a) és f "(a ) könnyen kiszámítható.
7. példa
Kiszámít
Vegye figyelembe a funkciótKeressük a származékot:
Feltesszük, hogy x = a + Δx, ahol a = 8 és Δx = 0,03. Számítsuk ki a függvény értékeit és deriváltját az a pontban, és kapjuk:Most határozzuk meg a függvény értékét egy adott x = 8,03 pontban. Nekünk van:
8. példa
Általánosítsuk a kapott eredményt. Vegye figyelembe a teljesítmény függvényt f (x) = x n és feltesszük, hogy x = a + Δx és Δx→ 0. Keresse meg f "(x) = n x n -1 és kiszámítjuk a függvény értékét és deriváltját az a pontban, kapjuk: f (a) \u003d an és f '(a) \u003d nan -1 . Most megvan a képlet f (x) = a n + nan -1 Δx. Használjuk a 0,98-20 szám kiszámításához. Ezt feltételezzük a = 1, Δх = -0,02 és n = -20. Akkor kapjuk:
Természetesen a fenti képlet bármely más függvényhez használható, különösen a trigonometrikus függvényekhez.
9. példa
Számítsuk ki a tg 48°-ot.
Vegye figyelembe a funkciót f(x) = tg x és keresse meg a származékot:
Feltételezzük, hogy x = a + Δ x, ahol a = 45° = π/4 és 
(Még egyszer jegyezzük meg, hogy a trigonometriában a szögeket általában radiánban mérik). Keressük meg a függvény és derivált értékeit az a pontban, és kapjuk:Most számoljunk(figyelembe véve, hogy π = 3,14).
IV. Ellenőrző kérdések
1. A függvény grafikonjának érintőjének egyenlete.
2. Algoritmus az érintőegyenlet levezetéséhez.
3. A származék geometriai jelentése.
4. Az érintőegyenlet alkalmazása közelítő számításokhoz.
V. Feladat a tanórákon
29. § 1. a) pontja; 2(b); 5 (a, b); 6 (c, d); 9(a); 10 (b); 12 (d); 14(a); 17; 21(a); 22 (a, c); 24 (a, b); 25(a); 26.
VI. Házi feladat
29. § 1. b) pont; 2 (c); 5 (c, d); 6 (a, b); 9 (b); 10(a); 12(b); 14 (b); 18; 21(c); 22 (b, d); 24 (c, d); 25 (b); 27.
VII. Kreatív feladatok
1. Mely pontokban érintik x a függvénygráfokat párhuzamos?
Válasz: x \u003d -1, x \u003d 3.
2. Milyen x esetén az y \u003d 3 függvények grafikonjainak érintői cos 5 x - 7 és y = 5 cos 3 x + 4 párhuzamosak?
Válasz: 
3. Milyen szögekben metszik egymást az y = x2 görbék és
Válasz: π/2 és arctg 3/5.
4. Milyen szögekben metszik a görbék az y =-t cos x és y = sin x?
Válasz:
5. Az y \u003d 4 - x2 parabolához az x \u003d 1 abszcissza pontban egy érintőt húzunk. Keresse meg ennek az érintőnek az y tengellyel való metszéspontját.
Válasz: (0; 5).
6. Az y \u003d 4x - x2 parabolához az x \u003d 3 abszcissza pontban egy érintőt húzunk. Keresse meg ennek az érintőnek az x tengellyel való metszéspontját.
Válasz: (9/2; 0).
7. Határozza meg a (0; -2) pontból az y \u003d x2 parabolába húzott két érintő közötti szöget.
Válasz: 
8. Az y \u003d 3x2 + 3x + 2 függvény grafikonjára az érintőket lejtéssel rajzoljuk k 1 = 0 és k 2 = 15. Írja fel az érintkezési pontokon átmenő egyenes egyenletét!
Válasz: y \u003d 12x - 4.
9. Határozzuk meg az y = x2 + x - 2 és y = -x2 + 7x - 11 parabolákat egyidejűleg érintő egyenesek egyenleteit!
Válasz: y \u003d 7x - 11 és y \u003d x - 2.
10. Írja fel az y \u003d -3x2 + 4x + 4 és y \u003d -3x2 + 16x - 20 parabolák közös érintőjének egyenletét.
Válasz: y = -2x + 7.
11. Az y \u003d x2 - 4x - 3 függvény grafikonjának érintőjét az x \u003d 0 pontban rajzoljuk meg. Keresse meg az érintő és a koordinátatengelyek által alkotott háromszög területét.
Válasz: 9/8.
12. Határozza meg a koordinátatengelyek által határolt háromszög területét és a függvény grafikonjának érintőjét
az x = 2 pontban.
Válasz: 1.
VIII. A tanulságok összegzése
