Մարմնի անկյունային իմպուլսը պտտման ֆիքսված առանցքի նկատմամբ

Սահմանում

անկյունային իմպուլս- իմպուլսը բնութագրող վեկտոր ֆիզիկական մեծություն, որը թվայինորեն հավասար է վեկտորի արտադրյալին
Անկյունային պահ մի կետի մասինկեղծավեկտոր է, և անկյունային իմպուլս առանցքի շուրջպսեւդոսկալար է։

Փակ համակարգի անկյունային իմպուլսը պահպանված է։
Այս մեծությունը կոչվում է անկյունային իմպուլս առանցքի շուրջ։

Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը(անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը) պահպանման հիմնարար օրենքներից է։ Մաթեմատիկորեն արտահայտված է մարմինների փակ համակարգի համար ընտրված առանցքի շուրջ բոլոր անկյունային մոմենտի վեկտորային գումարի տեսքով և մնում է հաստատուն մինչև համակարգի վրա ազդեցությունը արտաքին ուժեր. Համապատասխանաբար, ցանկացած կոորդինատային համակարգում փակ համակարգի անկյունային իմպուլսը ժամանակի հետ չի փոխվում։ Պարզեցված: եթե համակարգը գտնվում է հավասարակշռության մեջ.

Նախ սահմանենք իզոտրոպիաուսումնասիրության մեջ ավելի առաջ գնալու համար:

Իզոտրոպիատիեզերքի հիմնական հատկություններից մեկն է դասական մեխանիկա. Տարածությունը կոչվում է իզոտրոպ, եթե հղման համակարգի պտույտը կամայական անկյան տակ չի հանգեցնում չափման արդյունքների փոփոխության։

Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը պտտման նկատմամբ տարածության իզոտրոպիայի դրսևորում է։
Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը բնության հիմնարար օրենք է։ Այս օրենքի վավերականությունը որոշվում է տարածության համաչափության հատկությամբ՝ նրա իզոտրոպությամբ, այսինքն. անփոփոխությամբ ֆիզիկական օրենքներհղումային համակարգի կոորդինատային առանցքների ուղղության ընտրության վերաբերյալ.

Օրինակ

Պտտման ֆիքսված առանցքի նկատմամբ անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքի վավերականությունը կարելի է ցույց տալ Ժուկովսկու նստարանի հետ փորձով։ Ժուկովսկու նստարանը հորիզոնական հարթակ է, որն ազատորեն պտտվում է առանց շփման ֆիքսված ուղղահայաց առանցքի շուրջ: Նստարանի վրա կանգնած կամ նստած մարդը երկարած ձեռքերով բռնում է մարմնամարզական համրերը և նստարանի հետ միասին պտտվում է առանցքի շուրջը՝ անկյունային արագությամբ։ ω1. Համրերը մոտեցնելով իրեն՝ մարդը նվազեցնում է համակարգի իներցիայի պահը, և քանի որ արտաքին ուժերի պահը զրոյական է, համակարգի անկյունային իմպուլսը պահպանվում է և նրա պտտման անկյունային արագությունը։ ω2ավելանում է.

Ուժի մոմենտի նման որոշվում է նյութական կետի իմպուլսի (իմպուլսի) պահը.

Ուժի պահի նման որոշվում է նյութական կետի իմպուլսի (իմպուլսի պահը): O կետի նկատմամբ անկյունային իմպուլսը հավասար է

Z առանցքի շուրջ անկյունային իմպուլսը բաղադրիչն է Լզ L անկյունային իմպուլսի այս առանցքի երկայնքով առանցքի վրա ընկած O կետի նկատմամբ (նկ. 97):

որտեղ R-ը շառավղային վեկտորի r բաղադրիչն է z առանցքին ուղղահայաց, իսկ p τ-ն z առանցքով և m կետով անցնող հարթությանը ուղղահայաց p վեկտորի բաղադրիչն է։

Եկեք պարզենք, թե ինչն է որոշում ժամանակի հետ անկյունային իմպուլսի փոփոխությունը: Դա անելու համար մենք տարբերակում ենք (37.1) t ժամանակի նկատմամբ՝ օգտագործելով արտադրանքի տարբերակման կանոնը.

(3 7.5 )

Առաջին անդամը հավասար է զրոյի, քանի որ այն նույն ուղղության վեկտորների վեկտորային արտադրյալ է։ Իրոք, վեկտորը հավասար է վեկտորինարագություն v և, հետևաբար, ուղղությամբ համընկնում է p=mv վեկտորի հետ: Ըստ Նյուտոնի երկրորդ օրենքի՝ վեկտորը հավասար է մարմնի վրա ազդող f ուժին [տես. (22.3)]: Հետևաբար, արտահայտությունը (37.5) կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

(3 7.6 )

որտեղ M-ը նյութական կետի վրա կիրառվող ուժերի մոմենտն է՝ վերցված նույն O կետի նկատմամբ, որի նկատմամբ վերցված է L անկյունային իմպուլսը։

(37.6) հարաբերությունից հետևում է, որ եթե նյութական կետի վրա ազդող ուժերի առաջացող մոմենտը O կետի նկատմամբ հավասար է զրոյի, ապա նյութական կետի անկյունային իմպուլսը, վերցված նույն O կետի նկատմամբ, կմնա հաստատուն։

Վերցնելով z առանցքի երկայնքով բաղադրիչները (37.6) բանաձևում ներառված վեկտորներից՝ ստանում ենք արտահայտությունը.

(3 7.7 )

Բանաձևը (37.6) նման է բանաձևին (22.3): Այս բանաձևերի համեմատությունից հետևում է, որ ինչպես իմպուլսի ժամանակային ածանցյալը հավասար է նյութական կետի վրա ազդող ուժին, այնպես էլ իմպուլսի պահի ժամանակային ածանցյալը հավասար է ուժի պահին։

Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Օրինակ 1. Թող նյութական m կետը շարժվի Նկ.96-ի կետագծով: Քանի որ շարժումը ուղղագիծ է, նյութական կետի իմպուլսը փոխվում է միայն բացարձակ արժեքով, և

որտեղ f-ը ուժի մոդուլն է [այս դեպքում f-ն ունի նույն ուղղությունը, ինչ p-ն (տես նկ. 96), այնպես որ]:

Թևը մնում է անփոփոխ: Հետևաբար,

որը համապատասխանում է (37.6) բանաձևին (այս դեպքում L-ն փոխվում է միայն բացարձակ արժեքով, և այն մեծանում է, հետևաբար):

Օրինակ 2. m զանգվածով նյութական կետը շարժվում է R շառավղով շրջանով (նկ. 98):

O շրջանագծի կենտրոնի նկատմամբ նյութական կետի անկյունային իմպուլսը բացարձակ արժեքով հավասար է.

L=mυR

(3 7.8 )

L վեկտորը ուղղահայաց է շրջանագծի հարթությանը, իսկ կետի և L վեկտորի շարժման ուղղությունը կազմում է աջակողմյան համակարգ։

Քանի որ R-ին հավասար թեւը մնում է հաստատուն, անկյունային իմպուլսը կարող է փոխվել միայն արագության մոդուլը փոխելով։ Շրջանի երկայնքով նյութական կետի միատեսակ շարժման դեպքում անկյունային իմպուլսը մնում է անփոփոխ և՛ մեծությամբ, և՛ ուղղությամբ: Հեշտ է տեսնել, որ այս դեպքում նյութական կետի վրա ազդող ուժի պահը հավասար է զրոյի։

Օրինակ 3. Դիտարկենք նյութական կետի շարժումը ուժերի կենտրոնական դաշտում (տե՛ս § 26): Համաձայն (37.6) կետի, նյութական կետի անկյունային իմպուլսը, վերցված ուժերի կենտրոնի նկատմամբ, պետք է մնա անփոփոխ մեծությամբ և ուղղությամբ (կենտրոնական ուժի պահը կենտրոնի նկատմամբ զրոյական է): Ուժերի կենտրոնից մինչև m կետը գծված r շառավիղը և L վեկտորը ուղղահայաց են միմյանց: Հետևաբար, r վեկտորը մշտապես մնում է նույն հարթության վրա՝ L ուղղությանը ուղղահայաց: Հետևաբար, ուժերի կենտրոնական դաշտում նյութական կետի շարժումը տեղի կունենա ուժերի կենտրոնով անցնող հարթության մեջ ընկած կորի երկայնքով:

Կախված կենտրոնական ուժերի նշանից (այսինքն՝ դրանք գրավիչ կամ վանող ուժեր են), ինչպես նաև սկզբնական պայմաններից՝ հետագիծը հիպերբոլա, պարաբոլա կամ էլիպս է (մասնավորապես՝ շրջան)։ Օրինակ՝ Երկիրը շարժվում է էլիպսաձեւ ուղեծրով, որի կիզակետերից մեկում տեղադրված է Արեգակը։

Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը. Դիտարկենք N նյութական կետերի համակարգը: Ինչպես դա արվեց §23-ում, մենք կետերի վրա գործող ուժերը բաժանում ենք ներքին և արտաքին: Գործող ներքին ուժերի առաջացած պահը i-րդ ​​նյութկետը նշանով նշանակում ենք նույն կետի վրա գործող արտաքին ուժերի առաջացող մոմենտը M i նշանով։ Այնուհետև հավասարումը (37.6) համար i-րդ ​​նյութկետերը նման կլինեն.

(i=1, 2,…, N)

Այս արտահայտությունը N հավասարումների մի շարք է, որոնք միմյանցից տարբերվում են i ինդեքսի արժեքներով: Այս հավասարումները գումարելով՝ մենք ստանում ենք.

կոչվում է նյութական կետերի համակարգի անկյունային իմպուլս։

Ներքին ուժերի մոմենտների գումարը [(37.9) բանաձևի աջ կողմի գումարներից առաջինը], ինչպես ցույց է տրված §36-ի վերջում, հավասար է զրոյի: Հետևաբար, արտաքին ուժերի ընդհանուր մոմենտը M նշանով նշելով, կարող ենք գրել, որ

(3 7.11 )

[Այս բանաձեւում L եւ M նշանները տարբեր նշանակություն ունեն, քան (37.6) բանաձեւի նույն նշանները]:

Նյութական կետերի փակ համակարգի համար M=0, որի արդյունքում L ընդհանուր անկյունային իմպուլսը կախված չէ ժամանակից։ Այսպիսով, մենք եկել ենք անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքին. նյութական կետերի փակ համակարգի անկյունային իմպուլսը մնում է հաստատուն:

Նկատի ունեցեք, որ արտաքին ազդեցությունների ենթարկված համակարգի համար անկյունային իմպուլսը մնում է հաստատուն, պայմանով, որ համակարգի մարմինների վրա գործող արտաքին ուժերի ընդհանուր մոմենտը հավասար է զրոյի:

Վերցնելով (37.11) հավասարման ձախ և աջ կողմերի վեկտորներից, z առանցքի երկայնքով դրանց բաղադրիչները, հանգում ենք հարաբերությանը.

(3 7.12 )

Կարող է պատահել, որ O կետի նկատմամբ արտաքին ուժերի առաջացող մոմենտը տարբերվի զրոյից (M≠0), բայց M վեկտորի M z բաղադրիչը որոշ ուղղությամբ z հավասար է զրոյի: Այնուհետեւ, համաձայն (37.12) կպահպանվի z առանցքի երկայնքով համակարգի անկյունային իմպուլսի L z բաղադրիչը։

Ըստ բանաձևի (2.1 1)

որտեղ է պրոյեկցիան վեկտորի z առանցքի վրա, իսկ L z-ը պրոյեկցիան է L վեկտորի z առանցքի վրա . Հավասարության երկու կողմերը բազմապատկեք օրթով e z z առանցքը և, հաշվի առնելով, որ e z t-ից կախված չէ, այն ներմուծում ենք աջ կողմում՝ ածանցյալ նշանի տակ։ Արդյունքում մենք ստանում ենք.

Բայց e z-ի արտադրյալը z առանցքի վրա վեկտորի պրոյեկցիայի բազմապատկածը տալիս է այդ վեկտորի z բաղադրիչը (տես ծանոթագրությունը էջ 132): Հետևաբար,

որտեղ է բաղադրիչը առանցքի երկայնքով զվեկտոր .

Անկյունային պահը վերաբերում է բնության հիմնարար, հիմնարար օրենքներին: Այն ուղղակիորեն կապված է ֆիզիկական աշխարհի տարածության սիմետրիկ հատկությունների հետ, որտեղ մենք բոլորս ապրում ենք: Իր պահպանման օրենքի շնորհիվ անկյունային իմպուլսը որոշում է մեզ ծանոթ ֆիզիկական օրենքները տարածության մեջ նյութական մարմինների շարժման համար։ Այս արժեքը բնութագրում է թարգմանական կամ պտտվող շարժում.

Անկյունային իմպուլսը, որը նաև կոչվում է «կինետիկ», «անկյունային» և «ուղեծրված», կարևոր բնութագիր է, որը կախված է նյութական մարմնի զանգվածից, դրա բաշխման առանձնահատկություններից՝ շրջանառության երևակայական առանցքի և շարժման արագությունից։ Այստեղ պետք է պարզաբանել, որ մեխանիկայի մեջ ռոտացիան ավելի լայն մեկնաբանություն ունի։ Անգամ տարածության մեջ կամայականորեն պառկած ինչ-որ կետից անցնելը կարելի է համարել պտտվող՝ այն ընդունելով որպես երևակայական առանցք:

Անկյունային իմպուլսը և դրա պահպանման օրենքները ձևակերպվել են Ռենե Դեկարտի կողմից՝ կապված աստիճանաբար շարժվող համակարգի հետ, ճիշտ է, նա չի նշել տիպի պահպանման մասին։ Ընդամենը մեկ դար անց Լեոնհարդ Էյլերը, այնուհետև մեկ այլ շվեյցարացի գիտնական, ֆիզիկոս և մաթեմատիկոս, երբ ուսումնասիրում էին նյութական համակարգի պտույտը ֆիքսված կենտրոնական առանցքի շուրջ, եզրակացրեցին, որ այս օրենքը կիրառելի է նաև տարածության այս տեսակի շարժման համար:

Հետագա ուսումնասիրությունները լիովին հաստատեցին, որ բացակայության դեպքում արտաքին ազդեցությունբոլոր կետերի զանգվածի արտադրյալի գումարը համակարգի ընդհանուր արագությամբ և մինչև պտտման կենտրոն հեռավորությունը մնում է անփոփոխ: Որոշ ժամանակ անց, ֆրանսիացի գիտնական Պատրիկ Դարսին արտահայտեց այս տերմինները նույն ժամանակահատվածում շառավղային վեկտորների կողմից ծածկված տարածքների առումով: Սա հնարավորություն տվեց կապել նյութական կետի անկյունային իմպուլսը երկնային մեխանիկայի որոշ հայտնի պոստուլատների և, մասնավորապես, մոլորակների շարժման ամենակարևոր դիրքի հետ։

անկյունային իմպուլս ամուր մարմին- երրորդ դինամիկ փոփոխականը, որի նկատմամբ կիրառվում են պահպանության հիմնարար օրենքի դրույթները. Այն ասում է, որ անկախ բնույթից և արտաքին ազդեցության բացակայության դեպքում մեկուսացված նյութական համակարգում տվյալ արժեքը միշտ կմնա անփոփոխ։ Այս ֆիզիկական ցուցանիշը կարող է ցանկացած փոփոխության ենթարկվել միայն գործող ուժերի ոչ զրոյական պահի առկայության դեպքում։

Այս օրենքից նաև հետևում է, որ եթե M = 0, ապա մարմնի (նյութական կետերի համակարգի) և պտտման կենտրոնական առանցքի միջև հեռավորության ցանկացած փոփոխություն, անշուշտ, կհանգեցնի կենտրոնի շուրջ դրա շրջանառության արագության ավելացման կամ նվազման: Օրինակ, մարմնամարզուհին, ով կատարում է սալտո, օդում մի քանի պտույտ կատարելու համար, սկզբում իր մարմինը գլորում է գնդակի: Իսկ բալերինները կամ գեղասահորդները, պտտվելով պիրուետով, ձեռքերը տարածում են կողքերին, եթե ցանկանում են դանդաղեցնել շարժումը, և ընդհակառակը, սեղմում են մարմնին, երբ փորձում են ավելի արագ պտտվել։ Այսպիսով, բնության հիմնարար օրենքներն օգտագործվում են սպորտում և արվեստում:

Անկյունային մոմենտը ֆիքսված առանցքի նկատմամբ զկոչվում է սկալար Լզ, հավասար է անկյունային իմպուլսի վեկտորի այս առանցքի վրա նախագծմանը, որը սահմանված է այս առանցքի կամայական 0 կետի նկատմամբ։ Անկյունային իմպուլսի արժեքը Լզկախված չէ առանցքի վրա 0 կետի դիրքից զ.
Երբ բացարձակապես կոշտ մարմինը պտտվում է ֆիքսված առանցքի շուրջ, մարմնի յուրաքանչյուր առանձին կետ շարժվում է հաստատուն շառավղով շրջանով։ r iորոշ արագությամբ v i. Արագություն v iև թափը m i v iուղղահայաց են այս շառավղին, այսինքն. շառավիղը վեկտորի թեւն է m i v i. Ուստի կարելի է գրել, որ առանձին կետի անկյունային իմպուլսը առանցքի շուրջ զհավասար է

Առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի իմպուլսի պահը նրա առանձին կետերի իմպուլսի մոմենտների գումարն է.

Հաշվի առնելով գծային և անկյունային արագությունների փոխհարաբերությունները ( v i = ωor i), հաստատուն առանցքի նկատմամբ մարմնի անկյունային իմպուլսի համար ստանում ենք հետևյալ արտահայտությունը.

Նրանք. առանցքի շուրջ կոշտ մարմնի անկյունային իմպուլսը հավասար է նույն առանցքի շուրջ մարմնի իներցիայի պահի և անկյունային արագության արտադրյալին։
Տարբերակելով (4.12) արտահայտությունը ժամանակի նկատմամբ՝ մենք ստանում ենք.

(4.13)

Սա ֆիքսված առանցքի նկատմամբ կոշտ մարմնի պտտման շարժման դինամիկայի հավասարման մեկ այլ ձև է. մարմնի վրա գործող բոլոր արտաքին ուժերի այս առանցքը:
Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքըբխում է ֆիքսված կետում ամրացված մարմնի պտտման շարժման դինամիկայի հիմնական հավասարումից (հավասարում 4.8) և հետևյալն է.
եթե ֆիքսված կետի նկատմամբ արտաքին ուժերի առաջացող մոմենտը նույնականորեն հավասար է զրոյի, ապա այս կետի նկատմամբ մարմնի անկյունային իմպուլսը ժամանակի ընթացքում չի փոխվում..
Իսկապես, եթե Մ= 0, ապա դլ / դտ= 0, որտեղից

(4.14)

Այսինքն՝ փակ համակարգի անկյունային իմպուլսը ժամանակի ընթացքում չի փոխվում։
Հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվող մարմնի դինամիկայի հիմնական օրենքից զ(Հավասարում 4.13), հետևում է առանցքի շուրջ մարմնի անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը:
եթե մարմնի պտտման ֆիքսված առանցքի նկատմամբ արտաքին ուժերի պահը նույնականորեն հավասար է զրոյի, ապա այս առանցքի նկատմամբ մարմնի անկյունային իմպուլսը շարժման ընթացքում չի փոխվում., այսինքն. Եթե Մզ= 0, ապա dLz / dt= 0, որտեղից

Անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը բնության հիմնարար օրենք է։ Այս օրենքի վավերականությունը որոշվում է տարածության համաչափության հատկությամբ՝ նրա իզոտրոպությամբ, այսինքն. հղման համակարգի կոորդինատային առանցքների ուղղության ընտրության նկատմամբ ֆիզիկական օրենքների անփոփոխությամբ։
Պտտման ֆիքսված առանցքի նկատմամբ անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքի վավերականությունը կարելի է ցույց տալ Ժուկովսկու նստարանի հետ փորձով։ Ժուկովսկու նստարանը հորիզոնական հարթակ է, որն ազատորեն պտտվում է առանց շփման OO 1 ֆիքսված ուղղահայաց առանցքի շուրջ: Նստարանի վրա կանգնած կամ նստած մարդը երկարած ձեռքերով բռնում է մարմնամարզական համրերը և նստարանի հետ միասին պտտվում է OO 1 առանցքի շուրջը անկյունային արագությամբ: ω 1. Համրերը մոտեցնելով իրեն՝ մարդը նվազեցնում է համակարգի իներցիայի պահը, և քանի որ արտաքին ուժերի պահը զրոյական է, համակարգի անկյունային իմպուլսը պահպանվում է և նրա պտտման անկյունային արագությունը։ ω 2ավելանում է. Այնուհետև, ըստ OO 1 առանցքի նկատմամբ անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքի, կարող ենք գրել.

Որտեղ J0- անձի և նստարանի իներցիայի պահը. 2 Պարոն 1 2և 2 Պարոն 2 2- համրերի իներցիայի պահեր առաջին և երկրորդ դիրքերում. մ- մեկ համրի քաշը; r1, r2- հեռավորությունը համրերից մինչև OO 1-ի առանցքը:
Համակարգի իներցիայի պահի փոփոխությունը կապված է նրա կինետիկ էներգիայի փոփոխության հետ.

Օգտագործելով համար արտահայտությունը ω 2ստացված (4.16)

փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք.

Համակարգի կինետիկ էներգիայի այս փոփոխությունը թվայինորեն հավասար է համրերը տեղափոխելիս մարդու կատարած աշխատանքին։
Աղյուսակում. 4.2 քարտեզագրված հիմնական ֆիզիկական մեծություններև հավասարումներ, որոնք որոշում են մարմնի պտույտը ֆիքսված առանցքի շուրջը և նրա թարգմանական շարժումը։

Աղյուսակ 4.2

Առաջադրանք 1.10 սմ շառավղով և 5 կգ զանգվածով գնդակը պտտվում է համաչափության առանցքի շուրջ՝ ըստ օրենքի. φ = A + Bt 2 + Ct 3, Որտեղ IN\u003d 2 ռադ / վ 2, ՀԵՏ\u003d -0,5 ռադ / վ 3. Որոշեք պտտման առանցքի շուրջ ուժերի պահը ժամանակի պահի համար տ= 3 վ.
Տրված է: Ռ= 0,1 մ; մ= 5 կգ; φ = A + Bt 2 + Ct 3ուրախ; IN\u003d 2 ռադ / վ 2; ՀԵՏ\u003d -0,5 ռադ / վ 3; տ= 3 վ.
Գտեք: Մզ.
Լուծում
Ըստ հաստատուն առանցքի նկատմամբ կոշտ մարմնի պտտման շարժման դինամիկայի հավասարման.

Պատասխանել: Մզ= -0.1H*m.

Առաջադրանք 2. 20 սմ շառավղով համասեռ պինդ գլանաձև լիսեռի վրա, որի իներցիայի մոմենտը 0,15 կգ * մ 2 է, փաթաթված է թեթև թել, որի ծայրին ամրացվում է 0,5 կգ բեռ։ Մինչ թմբուկը կսկսեր պտտվել, հատակից բարձր բեռի բարձրությունը 2,3 մ էր (նկ. 4.7): Որոշեք՝ ա) բեռը հատակին իջեցնելու ժամանակը. բ) թելի ձգման ուժը. գ) բեռի կինետիկ էներգիան հատակին հարվածելու պահին.
Տրված է: Ռ= 0,2 մ; Ժզ\u003d 0,15 կգ * մ 2; մ= 0,5 կգ; հ= 2,3 մ.
Գտեք: t, T, E k.

Լուծում
Էներգիայի պահպանման օրենքի համաձայն

Պատասխանել: տ= 2 վ; Տ= 4,31 Ն; Ե կ= 1,32 Ջ.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ

1. Գնդիկ և պինդ գլան՝ պատրաստված նույն նյութից, նույն զանգվածի գլանափաթեթով, առանց նույն արագությամբ սահելու։ Որոշեք, թե քանի անգամ է գնդակի կինետիկ էներգիան փոքր պինդ գլանների կինետիկ էներգիայից:
2. 0,5 կգ զանգվածով սնամեջ բարակ պատով գլան, առանց սահելու գլորվելով, հարվածում է պատին և գլորվում նրանից։ Մխոցի արագությունը պատին բախվելուց առաջ 1,4 մ/վ է, հարվածելուց հետո՝ 1 մ/վ։ Որոշեք ազդեցության ընթացքում թողարկված ջերմության քանակը:
3. 30 Ն հաստատուն շոշափող ուժ է գործադրվում առանցքի վրա ամրացված 10 կգ զանգվածով համասեռ պինդ սկավառակի եզրին:Որոշեք կինետիկ էներգիան ուժի սկզբից 4 վրկ հետո:
4. Օդափոխիչը պտտվում է 600 ռ/րոպե արագությամբ: Անջատելուց հետո այն սկսեց միատեսակ պտտվել և 50 պտույտ կատարելով՝ կանգ առավ։ Արգելակման ուժերի աշխատանքը 31,4 Ջ է. Որոշել՝ ա) արգելակման ուժերի պահը. բ) օդափոխիչի իներցիայի պահը.
5. 0,5 մ շառավղով համասեռ պինդ սկավառակի եզրին կիրառվում է 100 Ն հաստատուն շոշափող ուժ, որի վրա գործում է 2 N*m շփման մոմենտը, երբ սկավառակը պտտվում է։ Որոշեք սկավառակի զանգվածը, եթե հայտնի է, որ նրա անկյունային արագացումը հաստատուն է և հավասար է 16 ռադ/վրկ 2:
6. Թեք հարթությունից ցած գլորվում է գնդիկը՝ հորիզոնականի հետ կազմելով 30° անկյուն։ Անտեսելով շփումը, որոշեք, թե որքան ժամանակ է պահանջվում, որ գնդակը շարժվի թեք հարթության վրա, եթե հայտնի է, որ նրա զանգվածի կենտրոնը 30 սմ-ով նվազել է ներքև գլորվելիս:
7. 50 սմ շառավղով համասեռ պինդ գլանաձեւ առանցքի վրա փաթաթվում է թեթև թել, որի ծայրին ամրացվում է 6,4 կգ քաշ։ Բեռը, թելը արձակելով, ընկնում է 2 մ/վ արագացումով 2: Որոշեք՝ ա) լիսեռի իներցիայի պահը. բ) լիսեռի զանգվածը.
8. 25 կգ զանգվածով և 0,8 մ շառավղով հորիզոնական հարթակը պտտվում է 18 պտ/րոպե հաճախականությամբ։ Տղամարդը կանգնած է կենտրոնում և կշիռներ է բռնում իր մեկնած ձեռքերում: Համարելով հարթակը որպես սկավառակ, որոշեք հարթակի պտտման հաճախականությունը, եթե մարդը, ձեռքերն իջեցնելով, նվազեցնում է իր իներցիայի պահը 3,5 կգ * մ 2-ից մինչև 1 կգ * մ 2:
9. 60 կգ կշռող մարդը, կանգնած 120 կգ կշռող հորիզոնական հարթակի եզրին, իներցիայով պտտվելով 10 ռ/րոպ հաճախականությամբ ֆիքսված ուղղահայաց առանցքի շուրջ, շարժվում է դեպի դրա կենտրոն։ Պլատֆորմը դիտարկելով որպես կլոր միատարր սկավառակ, իսկ անձը որպես կետային զանգված, որոշեք, թե ինչ հաճախականությամբ կպտտվի հարթակը:
10. Պլատֆորմը, որն ունի պինդ միատարր սկավառակի ձև, կարող է իներցիայով պտտվել ֆիքսված ուղղահայաց առանցքի շուրջ։ Պլատֆորմի եզրին կանգնած է մի մարդ, որի զանգվածը 3 անգամ պակաս է հարթակի զանգվածից։ Որոշեք, թե ինչպես և քանի անգամ կփոխվի հարթակի պտտման անկյունային արագությունը, եթե մարդը մոտենա կենտրոնին հարթակի շառավիղի կեսին հավասար հեռավորության վրա:

Անկյունային պահը դասական մեխանիկայի մեջ

Իմպուլսի և պահի փոխհարաբերությունները

Սահմանում

Մասնիկի անկյունային իմպուլսը որոշ ծագման նկատմամբ որոշվում է նրա շառավղով վեկտորի և իմպուլսի վեկտորի արտադրյալով.

որտեղ է մասնիկի շառավիղ-վեկտորը ընտրված հղման կետի նկատմամբ, որն անշարժ է տվյալ հղման համակարգում, մասնիկի իմպուլսն է:

Մի քանի մասնիկների համար անկյունային իմպուլսը սահմանվում է որպես այդպիսի տերմինների (վեկտոր) գումար.

որտեղ են համակարգի յուրաքանչյուր մասնիկի շառավղային վեկտորը և իմպուլսը, որի անկյունային իմպուլսը որոշված ​​է:

(Սահմանում մասնիկների թիվը կարող է անսահման լինել, օրինակ՝ անընդհատ բաշխված զանգվածով պինդ մարմնի դեպքում կամ ընդհանրապես բաշխված համակարգով, սա կարող է գրվել որպես անսահման փոքր կետային տարրի իմպուլս. համակարգի):

Անկյունային իմպուլսի սահմանումից հետևում է դրա հավելումը. և՛ մասնիկների համակարգի, և՛ մի քանի ենթահամակարգերից բաղկացած համակարգի համար ճիշտ է հետևյալը.

• Նշում. սկզբունքորեն, անկյունային իմպուլսը կարող է հաշվարկվել ցանկացած հղման կետի նկատմամբ (ստացված տարբեր արժեքները կապված են ակնհայտ ձևով); սակայն, ամենից հաճախ (հարմարության և որոշակիության համար) այն հաշվարկվում է զանգվածի կենտրոնի կամ կոշտ մարմնի պտտման ֆիքսված կետի համեմատ և այլն):

Մեծ ոլորող մոմենտների հաշվարկ

Քանի որ անկյունային իմպուլսը որոշվում է խաչաձև արտադրյալով, այն կեղծվեկտոր է, որն ուղղահայաց է երկու վեկտորներին և. Սակայն հաստատուն առանցքի շուրջ պտտվելու դեպքում հարմար է որպես կեղծվեկտոր դիտարկել ոչ թե անկյունային իմպուլսը, այլ դրա պրոյեկցիան պտտման առանցքի վրա որպես սկալար, որի նշանը կախված է պտտման ուղղությունից։ Եթե ​​ընտրվում է նման առանցք, անցնելով ծագման միջով, դրա վրա անկյունային իմպուլսի նախագծումը հաշվարկելու համար, կարող եք նշել մի շարք բաղադրատոմսեր՝ գտնելու ընդհանուր կանոններին համապատասխան: վեկտորային արտադրանքերկու վեկտոր.

որտեղ է անկյունը և-ի միջև, որոշվում է այնպես, որ պտույտի առանցքի դրական մասում տեղակայված դիտորդի տեսանկյունից պտույտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ լինի: Պտույտի ուղղությունը կարևոր է հաշվարկում, քանի որ այն որոշում է պահանջվող պրոյեկցիայի նշանը։

Մենք գրում ենք ձևով, որտեղ է շառավիղի վեկտորի բաղադրիչը, զուգահեռ իմպուլսային վեկտորին, և - նմանապես, նրան ուղղահայաց: իրականում պտտման առանցքից մինչև վեկտորի հեռավորությունն է, որը սովորաբար կոչվում է «ուս»: Նմանապես, դուք կարող եք իմպուլսի վեկտորը բաժանել երկու բաղադրիչի` շառավղային վեկտորին զուգահեռ և դրան ուղղահայաց: Այժմ, օգտագործելով վեկտորի արտադրյալի գծայինությունը, ինչպես նաև այն հատկությունը, որ զուգահեռ վեկտորների արտադրյալը զրո է, մենք կարող ենք ստանալ ևս երկու արտահայտություն .

Անկյունային իմպուլսի պահպանում

Համաչափությունը ֆիզիկայում
վերափոխում	Համապատասխան անփոփոխություն	Համապատասխան օրենք պահպանություն
↕ Հեռարձակման ժամը	…էներգիա
⊠ , , և -սիմետրիաներ	... հավասարություն
↔ Հեռարձակման տարածություն	Միատեսակություն տարածություն	…իմպուլս
↺ Տիեզերքի պտույտ	Իզոտրոպիա տարածություն	… ակնթարթ թափը
⇆ Լորենց խումբ	Հարաբերականություն Լորենցի անփոփոխություն	…4-զարկերակ
~ Gauge փոխակերպում	Չափիչի անփոփոխություն	... լիցքավորում

Այսպիսով, համակարգի փակման պահանջը կարող է թուլանալ մինչև այն պահանջը, որ արտաքին ուժերի հիմնական (ընդհանուր) պահը հավասար լինի զրոյի.

որտեղ է մասնիկների համակարգի վրա կիրառվող ուժերից մեկի մոմենտը: (Բայց, իհարկե, եթե արտաքին ուժեր ընդհանրապես չկան, այս պահանջը նույնպես կատարվում է)։

Մաթեմատիկորեն, անկյունային իմպուլսի պահպանման օրենքը բխում է տարածության իզոտրոպիայից, այսինքն՝ տարածության անփոփոխությունից կամայական անկյան տակ պտտվելու նկատմամբ։ Անվերջ փոքր անկյան միջով պտտվելիս թվով մասնիկի շառավղային վեկտորը կփոխվի , իսկ արագությունները՝ . Նման պտույտի ժամանակ համակարգի Լագրանժի ֆունկցիան չի փոխվի՝ տարածության իզոտրոպիայի պատճառով։ Ահա թե ինչու

Հաշվի առնելով , որտեղ է --րդ մասնիկի ընդհանրացված իմպուլսը, վերջին արտահայտությունից ստացված գումարի յուրաքանչյուր անդամ կարող է վերաշարադրվել որպես.

Այժմ, օգտագործելով խառը արտադրանքի հատկությունը, մենք կատարում ենք վեկտորների ցիկլային փոխարկում, որի արդյունքում մենք ստանում ենք՝ հանելով ընդհանուր գործակիցը.

որտեղ, համակարգի անկյունային իմպուլսն է: Հաշվի առնելով կամայականությունը՝ հավասարությունից բխում է, որ .

Ուղեծրերի վրա անկյունային իմպուլսը բաշխվում է մոլորակի սեփական պտույտի և նրա ուղեծրային շարժման անկյունային իմպուլսի միջև.

Անկյունային պահը էլեկտրադինամիկայի մեջ

Լիցքավորված մասնիկի շարժումը էլեկտրամագնիսական դաշտում նկարագրելիս կանոնական իմպուլսը անփոփոխ չէ։ Որպես հետևանք, կանոնական անկյունային իմպուլսը նույնպես անփոփոխ չէ: Այնուհետև վերցնում ենք իրական իմպուլսը, որը կոչվում է նաև «կինետիկ իմպուլս».

որտեղ է էլեկտրական լիցքը, լույսի արագությունն է, վեկտորային պոտենցիալն է: Այսպիսով, էլեկտրամագնիսական դաշտում լիցքավորված զանգվածային մասնիկի (ինվարիանտ) Համիլտոնյանը հետևյալն է.

որտեղ է սկալյար պոտենցիալը: Այս ներուժից բխում է Լորենցի օրենքը. Անփոփոխ անկյունային իմպուլսը կամ «կինետիկ անկյունային իմպուլսը» սահմանվում է հետևյալով.

Անկյունային իմպուլս քվանտային մեխանիկայում

Պահի օպերատոր

Անկյունային իմպուլսի հաշվարկը ոչ հարաբերական մեխանիկայում

Եթե ​​կա նյութական կետ, որի զանգվածը շարժվում է արագությամբ և գտնվում է շառավղով վեկտորով նկարագրված կետում, ապա անկյունային իմպուլսը հաշվարկվում է բանաձևով.

որտեղ է վեկտորի արտադրանքի նշանը:

Մարմնի անկյունային իմպուլսը հաշվարկելու համար այն պետք է բաժանել անվերջ փոքր մասերի և վեկտորգումարեք նրանց մոմենտը որպես նյութական կետերի իմպուլսի պահեր, այսինքն՝ վերցրեք ինտեգրալը.

Մենք կարող ենք սա վերաշարադրել խտության առումով.