Շատերը լուծելիս մաթեմատիկական խնդիրներ , հատկապես նրանք, որոնք տեղի են ունենում մինչև 10-րդ դասարանը, հստակ սահմանված է կատարված գործողությունների հաջորդականությունը, որոնք կհանգեցնեն նպատակին: Նման խնդիրները ներառում են, օրինակ, գծային և քառակուսի հավասարումներ, գծային և քառակուսի անհավասարություններ, կոտորակային հավասարումներ և հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների։ Նշված առաջադրանքներից յուրաքանչյուրի հաջող լուծման սկզբունքը հետևյալն է. անհրաժեշտ է որոշել, թե որ տեսակին է պատկանում լուծվող խնդիրը, հիշել գործողությունների անհրաժեշտ հաջորդականությունը, որը կհանգեցնի ցանկալի արդյունքի, այսինքն. պատասխանեք և հետևեք այս քայլերին.

Ակնհայտ է, որ որոշակի խնդրի լուծման հաջողությունը կամ ձախողումը հիմնականում կախված է նրանից, թե որքան ճիշտ է որոշվում լուծվող հավասարման տեսակը, որքան ճիշտ է վերարտադրվում դրա լուծման բոլոր փուլերի հաջորդականությունը: Իհարկե, այս դեպքում անհրաժեշտ է ունենալ նույնական փոխակերպումներ և հաշվարկներ կատարելու հմտություններ։

Այլ իրավիճակ է առաջանում եռանկյունաչափական հավասարումներ.Դժվար չէ հաստատել այն փաստը, որ հավասարումը եռանկյունաչափական է։ Դժվարություններ են առաջանում գործողությունների հաջորդականությունը որոշելիս, որոնք կհանգեցնեն ճիշտ պատասխանին:

Ըստ տեսքըհավասարումներ երբեմն դժվար է որոշել դրա տեսակը: Եվ առանց հավասարման տեսակի իմանալու՝ մի քանի տասնյակ եռանկյունաչափական բանաձեւերից ճիշտը ընտրելը գրեթե անհնար է։

Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար մենք պետք է փորձենք.

1. հավասարման մեջ ներառված բոլոր ֆունկցիաները բերեք «նույն անկյուններին».
2. հավասարումը բերեք «նույն ֆունկցիաներին».
3. ֆակտորացնել հավասարման ձախ կողմը և այլն:

Հաշվի առեք Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.

I. Կրճատում մինչև ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.արտահայտել եռանկյունաչափական ֆունկցիահայտնի բաղադրիչների միջոցով:

Քայլ 2Գտեք ֆունկցիայի փաստարկը բանաձևերի միջոցով.

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

մեղք x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Քայլ 3Գտեք անհայտ փոփոխական:

Օրինակ.

2 cos(3x – π/4) = -√2:

Լուծում.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2:

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Պատասխան՝ ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Փոփոխական փոխարինում

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկի նկատմամբ հավասարումը բերեք հանրահաշվական ձևի:

Քայլ 2Ստացված ֆունկցիան նշեք t փոփոխականով (անհրաժեշտության դեպքում սահմանափակումներ մտցրեք t-ի վրա):

Քայլ 3Դուրս գրի՛ր և լուծի՛ր ստացված հանրահաշվական հավասարումը։

Քայլ 4Կատարեք հակադարձ փոխարինում:

Քայլ 5Լուծե՛ք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Օրինակ.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0:

Լուծում.

1) 2(1 - մեղք 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0:

2) Թող մեղք (x/2) = t, որտեղ |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 կամ e = -3/2 չի բավարարում պայմանը |t| ≤ 1.

4) մեղք (x/2) = 1:

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = π + 4πn, n Є Z.

III. Հավասարման կարգի կրճատման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Փոխարինեք այս հավասարումը գծայինով՝ օգտագործելով հզորության նվազեցման բանաձևերը.

մեղք 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x):

Քայլ 2Ստացված հավասարումը լուծե՛ք I և II մեթոդներով:

Օրինակ.

cos2x + cos2x = 5/4:

Լուծում.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4:

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Միատարր հավասարումներ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Այս հավասարումը բերեք ձևի

ա) մեղք x + b cos x = 0 ( միատարր հավասարումառաջին աստիճան)

կամ դեպի տեսարան

բ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում).

Քայլ 2Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք

ա) cos x ≠ 0;

բ) cos 2 x ≠ 0;

և ստացիր tg x-ի հավասարումը.

ա) a tg x + b = 0;

բ) a tg 2 x + b arctg x + c = 0:

Քայլ 3Լուծե՛ք հավասարումը հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0:

Լուծում.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0:

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0:

3) Թող tg x = t, ապա

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 կամ t = -4, այսպես

tg x = 1 կամ tg x = -4:

Առաջին հավասարումից x = π/4 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Եռանկյունաչափական բանաձևերի միջոցով հավասարման փոխակերպման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Օգտագործելով բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական բանաձևեր, բերեք այս հավասարումը I, II, III, IV մեթոդներով լուծված հավասարմանը։

Քայլ 2Ստացված հավասարումը լուծե՛ք հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

sinx + sin2x + sin3x = 0:

Լուծում.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0:

2) մեղք 2x (2cos x + 1) = 0;

մեղք 2x = 0 կամ 2cos x + 1 = 0;

Առաջին հավասարումից 2x = π/2 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից cos x = -1/2.

Մենք ունենք x = π/4 + πn/2, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Արդյունքում, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու կարողությունն ու հմտությունները շատ են կարևոր է, որ դրանց զարգացումը զգալի ջանք է պահանջում ինչպես աշակերտի, այնպես էլ ուսուցչի կողմից:

Ստերեոմետրիայի, ֆիզիկայի և այլնի բազմաթիվ խնդիրներ կապված են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հետ:Նման խնդիրների լուծման գործընթացը, այսպես ասած, պարունակում է բազմաթիվ գիտելիքներ և հմտություններ, որոնք ձեռք են բերվում եռանկյունաչափության տարրերն ուսումնասիրելիս:

Եռանկյունաչափական հավասարումներկարևոր տեղ են գրավում մաթեմատիկայի դասավանդման և ընդհանրապես անձի զարգացման գործընթացում։

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, հասցեն Էլև այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Հավաքված մեր կողմից անձնական տվյալներթույլ է տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ և տեղեկացնել ձեզ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ իրադարձությունների և առաջիկա իրադարձությունների մասին:
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդագրություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տվյալները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից տրամադրվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է՝ օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրառման կամ հանրային շահի այլ նկատառումներից ելնելով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հայեցակարգը.

• Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն փոխարկեք մեկ կամ մի քանի հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը ի վերջո հանգում է չորս հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը:

Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում.

• Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների 4 տեսակ կա.
• մեղք x = a; cos x = a
• tan x = a; ctg x = a
• Հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը ներառում է միավոր շրջանագծի տարբեր x դիրքերի դիտում, ինչպես նաև փոխակերպման աղյուսակի (կամ հաշվիչի) օգտագործումը:
• Օրինակ 1. sin x = 0,866. Օգտագործելով փոխակերպման աղյուսակը (կամ հաշվիչը), դուք ստանում եք պատասխանը. x = π/3: Միավոր շրջանագիծը տալիս է մեկ այլ պատասխան՝ 2π/3: Հիշեք. բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են, այսինքն՝ դրանց արժեքները կրկնվում են։ Օրինակ, sin x-ի և cos x-ի պարբերականությունը 2πn է, իսկ tg x-ի և ctg x-ի պարբերականությունը՝ πn: Այսպիսով, պատասխանը գրված է այսպես.
• x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
• Օրինակ 2 cos x = -1/2. Օգտագործելով փոխակերպման աղյուսակը (կամ հաշվիչը), դուք ստանում եք պատասխանը՝ x = 2π/3: Միավոր շրջանագիծը տալիս է մեկ այլ պատասխան՝ -2π/3:
• x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
• Օրինակ 3. tg (x - π/4) = 0:
• Պատասխան՝ x \u003d π / 4 + πn:
• Օրինակ 4. ctg 2x = 1.732.
• Պատասխան՝ x \u003d π / 12 + πn:

Տրանսֆորմացիաներ, որոնք օգտագործվում են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեջ:

• Եռանկյունաչափական հավասարումները փոխակերպելու համար օգտագործվում են հանրահաշվական փոխակերպումներ (գործոնավորում, կրճատում միատարր անդամներև այլն) և եռանկյունաչափական ինքնություններ.
• Օրինակ 5. Օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականությունները՝ sin x + sin 2x + sin 3x = 0 հավասարումը վերածվում է 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0 հավասարման: Այսպիսով, հետևյալ հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումները. պետք է լուծել՝ cos x = 0; մեղք (3x/2) = 0; cos(x/2) = 0:

• Գործառույթների հայտնի արժեքներից անկյունների որոնում:

  • Նախքան սովորել, թե ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները, դուք պետք է սովորեք, թե ինչպես գտնել անկյուններ ֆունկցիաների հայտնի արժեքներից: Դա կարելի է անել փոխակերպման աղյուսակի կամ հաշվիչի միջոցով:
  • Օրինակ՝ cos x = 0,732: Հաշվիչը պատասխանը կտա x = 42,95 աստիճան: Միավոր շրջանագիծը կտա լրացուցիչ անկյուններ, որոնց կոսինուսը նույնպես հավասար է 0,732-ի։

• Մի կողմ թողեք լուծումը միավորի շրջանակի վրա:

  • Դուք կարող եք եռանկյունաչափական հավասարման լուծումներ դնել միավոր շրջանագծի վրա: Միավոր շրջանագծի վրա եռանկյունաչափական հավասարման լուծումները կանոնավոր բազմանկյան գագաթներն են։
  • Օրինակ. Միավոր շրջանագծի x = π/3 + πn/2 լուծումները քառակուսու գագաթներն են:
  • Օրինակ. Միավոր շրջանագծի x = π/4 + πn/3 լուծումները կանոնավոր վեցանկյան գագաթներն են:

• Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ.

  • Եթե ​​տրված եռանկյունաչափական հավասարումը պարունակում է միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա, ապա այս հավասարումը լուծեք որպես հիմնական եռանկյունաչափական հավասարում։ Եթե ​​տրված հավասարումը ներառում է երկու կամ ավելի եռանկյունաչափական ֆունկցիա, ապա այդպիսի հավասարման լուծման 2 եղանակ կա (կախված դրա փոխակերպման հնարավորությունից).
    • Մեթոդ 1
  • Այս հավասարումը փոխակերպեք ձևի հավասարման՝ f(x)*g(x)*h(x) = 0, որտեղ f(x), g(x), h(x) հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումներ են:
  • Օրինակ 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
  • Լուծում. Օգտագործելով sin 2x = 2*sin x*cos x կրկնակի անկյան բանաձևը, փոխարինեք sin 2x:
  • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0: Այժմ լուծեք երկու հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումներ՝ cos x = 0 և (sin x + 1) = 0:
  • Օրինակ 7 cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
  • Լուծում. Օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականությունները՝ այս հավասարումը փոխակերպեք ձևի հավասարման՝ cos 2x(2cos x + 1) = 0: Այժմ լուծեք երկու հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումներ՝ cos 2x = 0 և (2cos x + 1) = 0:
  • Օրինակ 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x: (0< x < 2π)
  • Լուծում. Օգտագործելով եռանկյունաչափական նույնականությունները՝ այս հավասարումը փոխակերպեք ձևի հավասարման՝ -cos 2x*(2sin x + 1) = 0: Այժմ լուծեք երկու հիմնական եռանկյունաչափական հավասարումներ՝ cos 2x = 0 և (2sin x + 1) = 0:
    • Մեթոդ 2
  • Տրված եռանկյունաչափական հավասարումը վերածիր միայն մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա պարունակող հավասարման: Այնուհետև փոխարինեք այս եռանկյունաչափական ֆունկցիան ինչ-որ անհայտով, օրինակ՝ t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t և այլն):
  • Օրինակ 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
  • Լուծում. Այս հավասարման մեջ (cos^2 x) փոխարինեք (1 - sin^2 x)-ով (ըստ ինքնության): Փոխակերպված հավասարումը նման է.
  • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x-ը փոխարինիր t-ով: Այժմ հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը՝ 5t^2 - 4t - 9 = 0: Սա քառակուսի հավասարում է երկու արմատներով՝ t1 = -1 և t2 = 9/5: Երկրորդ արմատը t2 չի բավարարում ֆունկցիայի միջակայքը (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
  • Օրինակ 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
  • Լուծում. tg x-ը փոխարինիր t-ով: Վերաշարադրեք սկզբնական հավասարումը հետևյալ կերպ. (2t + 1)(t^2 - 1) = 0: Այժմ գտե՛ք t և ապա գտե՛ք x t = tg x-ի համար:

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում.

Բարդության ցանկացած մակարդակի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումն ի վերջո հանգում է ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը: Եվ սրանում եռանկյունաչափական շրջանագիծը կրկին լավագույն օգնական է ստացվում։

Հիշեք կոսինուսի և սինուսի սահմանումները:

Անկյունի կոսինուսը աբսցիսա է (այսինքն՝ առանցքի երկայնքով կոորդինատը) միավոր շրջանագծի վրա գտնվող կետի, որը համապատասխանում է տվյալ անկյան տակ պտույտին։

Անկյունի սինուսը տվյալ անկյան տակ պտույտին համապատասխանող միավոր շրջանագծի կետի օրդինատն է (այսինքն՝ առանցքի երկայնքով կոորդինատը):

Շարժման դրական ուղղությունը եռանկյունաչափական շրջանդիտարկվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժում: 0 աստիճանի (կամ 0 ռադիանի) պտույտը համապատասխանում է կոորդինատներով կետին (1; 0)

Մենք օգտագործում ենք այս սահմանումները պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումները լուծելու համար:

1. Լուծե՛ք հավասարումը

Այս հավասարումը բավարարվում է պտտման անկյան բոլոր այն արժեքներով, որոնք համապատասխանում են շրջանագծի կետերին, որոնց օրդինատը հավասար է:

y առանցքի օրդինատով կետ նշենք.

Հորիզոնական գիծ գծի՛ր x առանցքին զուգահեռ, մինչև այն հատվի շրջանագծի հետ: Շրջանակի վրա պառկած և օրդինատ ունենալով կստանանք երկու միավոր։ Այս կետերը համապատասխանում են պտտման անկյուններին և ռադիաններին.

Եթե ​​մենք, թողնելով մեկ ռադիանի պտտման անկյան համապատասխան կետը, շրջենք լրիվ շրջանով, ապա կգանք մեկ ռադիանի պտտման անկյան համապատասխան կետի և ունենալով նույն օրդինատը։ Այսինքն՝ պտտման այս անկյունը նույնպես բավարարում է մեր հավասարումը։ Մենք կարող ենք այնքան «պարապ» պտույտներ անել, որքան ցանկանում ենք՝ վերադառնալով նույն կետին, և այս բոլոր անկյունային արժեքները կբավարարեն մեր հավասարումը: «Պարապ» հեղափոխությունների թիվը նշվում է (կամ) տառով: Քանի որ մենք կարող ենք այս հեղափոխություններն անել ինչպես դրական, այնպես էլ բացասական ուղղություններով, (կամ ) կարող ենք ընդունել ցանկացած ամբողջ արժեք:

Այսինքն, սկզբնական հավասարման լուծումների առաջին շարքն ունի ձև.

, , - ամբողջ թվերի բազմություն (1)

Նմանապես, լուծումների երկրորդ շարքը ունի ձևը.

, Որտեղ , . (2)

Ինչպես կռահեցիք, լուծումների այս շարքը հիմնված է շրջանագծի կետի վրա, որը համապատասխանում է պտտման անկյունին .

Այս երկու լուծումների շարքը կարելի է միավորել մեկ մուտքի մեջ.

Եթե ​​վերցնենք այս մուտքը (այսինքն՝ նույնիսկ), ապա կստանանք լուծումների առաջին շարքը։

Եթե ​​վերցնենք այս գրառումը (այսինքն՝ կենտ), ապա կստանանք լուծումների երկրորդ շարքը։

2. Հիմա լուծենք հավասարումը

Քանի որ միավոր շրջանագծի կետի աբսցիսան ստացվում է անկյան միջով պտտվելով, առանցքի վրա աբսցիսով նշում ենք մի կետ.

Գծի՛ր առանցքին զուգահեռ ուղղահայաց գիծ, ​​մինչև այն հատվի շրջանագծի հետ: Շրջանագծի վրա պառկած և աբսցիսա ունեցող երկու միավոր կստանանք։ Այս կետերը համապատասխանում են պտտման անկյուններին և ռադիաններին: Հիշեցնենք, որ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ շարժվելիս մենք ստանում ենք պտտման բացասական անկյուն.

Մենք գրում ենք լուծումների երկու շարք.

,

,

(Մենք ճիշտ կետին ենք հասնում՝ անցնելով հիմնական ամբողջական շրջանից, այսինքն.

Եկեք համատեղենք այս երկու շարքերը մեկ գրառման մեջ.

3. Լուծե՛ք հավասարումը

Շոշափողների ուղիղն անցնում է OY առանցքին զուգահեռ միավոր շրջանագծի կոորդինատներով (1,0) կետով.

Նշե՛ք դրա վրա մի կետ 1-ի հավասար օրդինատով (մենք փնտրում ենք, որի անկյունների շոշափողը 1 է).

Այս կետը միացրեք սկզբնակետին ուղիղ գծով և նշեք գծի հատման կետերը միավոր շրջանով: Ուղղի և շրջանագծի հատման կետերը համապատասխանում են պտտման անկյուններին և.

Քանի որ պտտման անկյուններին համապատասխանող կետերը, որոնք բավարարում են մեր հավասարումը, գտնվում են միմյանցից ռադիաններով, մենք կարող ենք լուծումը գրել հետևյալ կերպ.

4. Լուծե՛ք հավասարումը

Կոտանգենսների գիծն անցնում է առանցքին զուգահեռ միավոր շրջանագծի կոորդինատներով կետով։

Կոտանգենսների գծի վրա աբսցիսայով -1 կետ ենք նշում.

Այս կետը միացրեք ուղիղ գծի սկզբնակետին և շարունակեք այն մինչև այն հատվի շրջանագծի հետ: Այս ուղիղը հատելու է շրջանագիծը պտտման անկյուններին և ռադիաններին համապատասխանող կետերում.

Քանի որ այս կետերը միմյանցից բաժանված են հավասար հեռավորությամբ, ապա այս հավասարման ընդհանուր լուծումը կարող ենք գրել հետևյալ կերպ.

Տրված օրինակներում, ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը ցույց տալով, օգտագործվել են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակային արժեքներ։

Այնուամենայնիվ, եթե հավասարման աջ կողմում կա ոչ աղյուսակային արժեք, ապա մենք արժեքը փոխարինում ենք հավասարման ընդհանուր լուծման մեջ.

ՀԱՏՈՒԿ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ.

Նշեք կետերը շրջանագծի վրա, որի օրդինատը 0 է.

Շրջանակի վրա նշե՛ք մեկ կետ, որի օրդինատը հավասար է 1-ի.

Շրջանակի վրա նշե՛ք մեկ կետ, որի օրդինատը հավասար է -1-ի.

Քանի որ ընդունված է նշել զրոյին ամենամոտ արժեքները, լուծումը գրում ենք հետևյալ կերպ.

Շրջանակի վրա նշե՛ք այն կետերը, որոնց աբսցիսան 0 է.

5.
Շրջանակի վրա նշենք մեկ կետ, որի աբսցիսան հավասար է 1-ի.

Շրջանակի վրա նշե՛ք մեկ կետ, որի աբսցիսան հավասար է -1-ի.

Եվ մի քանի ավելի բարդ օրինակներ.

1.

Սինուսը մեկն է, եթե փաստարկը կա

Մեր սինուսի արգումենտն է, ուստի մենք ստանում ենք.

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք 3-ի.

Պատասխան.

2.

Կոսինուսը զրոյական է, եթե կոսինուսի արգումենտը կա

Մեր կոսինուսի փաստարկը հետևյալն է, ուստի մենք ստանում ենք.

Մենք արտահայտում ենք , դրա համար նախ հակառակ նշանով շարժվում ենք դեպի աջ.

Պարզեցրեք աջ կողմը.

Երկու մասերը բաժանեք -2-ով.

Նկատի ունեցեք, որ տերմինից առաջ նշանը չի փոխվում, քանի որ k-ն կարող է ընդունել ցանկացած ամբողջ արժեք:

Պատասխան.

Եվ վերջում դիտեք «Արմատների ընտրություն եռանկյունաչափական հավասարման մեջ՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջան» տեսանյութը։

Սրանով ավարտվում է ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մասին զրույցը։ Հաջորդ անգամ մենք կխոսենք, թե ինչպես լուծել:

Դաս և ներկայացում «Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով:

Ձեռնարկներ և սիմուլյատորներ «Integral» առցանց խանութում 10-րդ դասարանի համար 1C-ից
Մենք լուծում ենք երկրաչափության խնդիրներ. Ինտերակտիվ առաջադրանքներ տիեզերքում կառուցելու համար
Ծրագրային միջավայր «1C. մաթեմատիկական կոնստրուկտոր 6.1»

Ի՞նչ ենք ուսումնասիրելու.
1. Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման երկու հիմնական մեթոդ.
4. Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.
5. Օրինակներ.

Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

Տղերք, մենք արդեն ուսումնասիրել ենք արկսինը, արկկոզինը, արկտանգենսը և արկկոտանգենսը: Այժմ դիտարկենք եռանկյունաչափական հավասարումները ընդհանրապես։

Եռանկյունաչափական հավասարումներ - հավասարումներ, որոնցում փոփոխականը պարունակվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ:

Կրկնում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ձևը.

1) Եթե |а|≤ 1, ապա cos(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Եթե |а|≤ 1, ապա sin(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

3) Եթե |ա| > 1, ապա հավասարումը sin(x) = a և cos(x) = a լուծումներ չունեն 4) tg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arctg(a)+ πk.

5) ctg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arcctg(a)+ πk.

Բոլոր բանաձեւերի համար k-ն ամբողջ թիվ է

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները ունեն ձև՝ Т(kx+m)=a, T- ցանկացած եռանկյունաչափական ֆունկցիա։

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումներ՝ ա) sin(3x)= √3/2

Լուծում:

Ա) Նշանակենք 3x=t, այնուհետև մեր հավասարումը կվերագրենք հետևյալ ձևով.

Այս հավասարման լուծումը կլինի՝ t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn:

Արժեքների աղյուսակից մենք ստանում ենք t=((-1)^n)×π/3+ πn:

Եկեք վերադառնանք մեր փոփոխականին՝ 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Ապա x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Պատասխան՝ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: (-1)^n - մինուս մեկ n-ի հզորությանը:

Եռանկյունաչափական հավասարումների ավելի շատ օրինակներ:

Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) cos(x/5)=1 բ) tg(3x- π/3)= √3

Լուծում:

Ա) Այս անգամ մենք անմիջապես կանցնենք հավասարման արմատների հաշվարկին.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Ապա x/5= πk => x=5πk

Պատասխան՝ x=5πk, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Բ) Գրում ենք 3x- π/3=arctg(√3)+ πk ձևով: Մենք գիտենք, որ arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Պատասխան՝ x=2π/9 + πk/3, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Լուծեք հավասարումներ՝ cos(4x)= √2/2: Եվ գտեք հատվածի բոլոր արմատները:

Լուծում:

Մենք կորոշենք ընդհանուր տեսարանմեր հավասարումը. 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Հիմա տեսնենք, թե ինչ արմատներ են ընկնում մեր հատվածի վրա։ k-ի համար k=0, x= π/16-ի համար մենք գտնվում ենք տրված հատվածում:
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ով նորից խփում են.
k=2-ի համար x= π/16+ π=17π/16, բայց այստեղ մենք չխփեցինք, ինչը նշանակում է, որ մեծ k-ի համար էլ չենք խփի:

Պատասխան՝ x= π/16, x= 9π/16

Լուծման երկու հիմնական մեթոդ.

Մենք դիտարկել ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները, բայց կան ավելի բարդ: Դրանք լուծելու համար օգտագործվում է նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը և ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք նայենք օրինակներին:

Եկեք լուծենք հավասարումը.

Լուծում:
Մեր հավասարումը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք նոր փոփոխական ներմուծելու մեթոդը, որը նշանակում է՝ t=tg(x):

Փոխարինման արդյունքում մենք ստանում ենք t 2 + 2t -1 = 0

Գտնենք արմատները քառակուսային հավասարում t=-1 և t=1/3

Այնուհետև tg(x)=-1 և tg(x)=1/3 ստացանք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը, եկեք գտնենք դրա արմատները։

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Պատասխան՝ x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Հավասարման լուծման օրինակ

Լուծեք հավասարումներ՝ 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Լուծում:

Օգտագործենք նույնականությունը՝ sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Մեր հավասարումը դառնում է՝ 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ներկայացնենք t=cos(x) փոխարինումը. 2t 2 -3t - 2 = 0

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը արմատներն են՝ t=2 և t=-1/2

Այնուհետև cos(x)=2 և cos(x)=-1/2:

Որովհետեւ Կոսինուսը չի կարող վերցնել մեկից մեծ արժեքներ, այնուհետև cos(x)=2-ը արմատներ չունի:

cos(x)=-1/2 համար՝ x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Պատասխան՝ x= ±2π/3 + 2πk

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սահմանում. a sin(x)+b cos(x) ձևի հավասարումը կոչվում է առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:

Ձևի հավասարումներ

երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն բաժանում ենք cos(x). Անհնար է բաժանել կոսինուսով, եթե այն հավասար է զրոյի, եկեք համոզվենք, որ դա այդպես չէ.
Թող cos(x)=0, ապա asin(x)+0=0 => sin(x)=0, բայց սինուսը և կոսինուսը միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, ստացել ենք հակասություն, ուստի կարող ենք ապահով բաժանել. զրոյով։

Լուծե՛ք հավասարումը.
Օրինակ՝ cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Լուծում:

Հանեք ընդհանուր գործակիցը՝ cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Այնուհետև մենք պետք է լուծենք երկու հավասարումներ.

cos(x)=0 և cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk-ի համար;

Դիտարկենք cos(x)+sin(x)=0 հավասարումը: Բաժանենք մեր հավասարումը cos(x-ի):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Պատասխան՝ x= π/2 + πk և x= -π/4+πk

Ինչպե՞ս լուծել երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:
Տղաներ, միշտ հետևեք այս կանոններին:

1. Տեսեք, թե ինչին է հավասար a գործակիցը, եթե a \u003d 0, ապա մեր հավասարումը կունենա cos (x) (bsin (x) + ccos (x) ձևը, որի լուծման օրինակը նախորդի վրա է. Սլայդ

2. Եթե a≠0, ապա պետք է հավասարման երկու մասերը բաժանել քառակուսի կոսինուսի վրա, ստանում ենք.

Կատարում ենք t=tg(x) փոփոխականի փոփոխությունը՝ ստանում ենք հավասարումը.

Լուծել օրինակ #:3

Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում:

Հավասարման երկու կողմերը բաժանեք կոսինուսի քառակուսու վրա.

Կատարում ենք t=tg(x) փոփոխականի փոփոխություն՝ t 2 + 2 t - 3 = 0

Գտե՛ք քառակուսային հավասարման արմատները՝ t=-3 և t=1

Այնուհետև՝ tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Պատասխան՝ x=-arctg(3) + πk և x= π/4+ πk

Լուծել օրինակ #:4

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Մենք կարող ենք լուծել այսպիսի հավասարումներ՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Պատասխան՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Լուծել օրինակ #:5

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Ներկայացնում ենք tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 փոխարինումը

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը կլինեն արմատները՝ t=-2 և t=1/2

Այնուհետև ստանում ենք tg(2x)=-2 և tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Պատասխան՝ x=-arctg(2)/2 + πk/2 և x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

1) Լուծե՛ք հավասարումը

Ա) sin(7x)= 1/2 բ) cos(3x)= √3/2 գ) cos(-x) = -1 դ) tg(4x) = √3 ե) ctg(0.5x) = -1.7

2) Լուծել հավասարումներ՝ sin(3x)= √3/2. Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա [π/2; π].

3) Լուծե՛ք հավասարումը ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0.

4) Լուծե՛ք հավասարումը. 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Լուծե՛ք հավասարումը 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Լուծե՛ք հավասարումը cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)