Եռանկյունաչափական փոխակերպումներ կատարելիս հետևեք հետևյալ խորհուրդներին.
- Մի փորձեք անմիջապես սկզբից մինչև վերջ օրինակի լուծման սխեմա կազմել:
- Մի փորձեք վերափոխել ամբողջ օրինակը միանգամից։ Փոքր քայլերով առաջ շարժվեք։
- Հիշեք, որ եռանկյունաչափության մեջ եռանկյունաչափական բանաձևերից բացի, դուք դեռ կարող եք կիրառել բոլոր արդար հանրահաշվական փոխակերպումները (փակագծում, կոտորակների կրճատում, կրճատված բազմապատկման բանաձևեր և այլն):
- Հավատացեք, որ ամեն ինչ լավ է լինելու։
Հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևեր
Եռանկյունաչափության բանաձևերի մեծ մասը հաճախ կիրառվում է ինչպես աջից ձախ, այնպես էլ ձախից աջ, այնպես որ դուք պետք է սովորեք այս բանաձևերը այնքան լավ, որ հեշտությամբ կարողանաք կիրառել որոշ բանաձևեր երկու ուղղություններով: Սկզբից մենք գրում ենք սահմանումները եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Թող լինի ուղղանկյուն եռանկյուն:
Այնուհետև սինուսի սահմանումը հետևյալն է.
Կոսինուսի սահմանում.
Տանգենսի սահմանում.
Կոտանգենտի սահմանում.
Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություն:
Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնության ամենապարզ հետևանքները.
Կրկնակի անկյունային բանաձևեր.Կրկնակի անկյան սինուս.
Կրկնակի անկյան կոսինուս.
Կրկնակի անկյան շոշափող.
Կրկնակի անկյան կոտանգենս.
Լրացուցիչ եռանկյունաչափական բանաձևեր
Եռանկյունաչափական գումարման բանաձևեր.Գումարի սինուս.
Տարբերության սինուս.
Գումարի կոսինուս.
Տարբերության կոսինուս.
Գումարի շոշափող.
Տարբերության շոշափող.
Գումարի կոտանգենսը.
Տարբերության կոտանգենս.
Գումարը արտադրյալի վերածելու եռանկյունաչափական բանաձևեր.Սինուսների գումարը.
Սինուսային տարբերություն.
Կոսինուսների գումարը.
Կոսինուսի տարբերություն.
շոշափողների գումարը.
Շոշափող տարբերություն.
Կոտանգենտների գումարը.
Կոտանգենտի տարբերություն.
Արտադրյալը գումարի վերածելու եռանկյունաչափական բանաձևեր:Սինուսների արտադրյալը.
Սինուսի և կոսինուսի արտադրյալը.
Կոսինուսների արտադրանք.
Աստիճանների նվազեցման բանաձևեր.
Կես անկյունային բանաձևեր.
Եռանկյունաչափական կրճատման բանաձևեր
Կոսինուսի ֆունկցիան կոչվում է համակցումսինուսային ֆունկցիա և հակառակը: Նմանապես, շոշափող և կոտանգենս ֆունկցիաները համատեղ ֆունկցիաներ են: Կրճատման բանաձևերը կարող են ձևակերպվել հետևյալ կանոնով.
- Եթե կրճատման բանաձևում անկյունը հանվում է (ավելացվում է) 90 աստիճանից կամ 270 աստիճանից, ապա կրճատվող ֆունկցիան փոխվում է համակցվածի.
- Եթե կրճատման բանաձեւում անկյունը հանվում է (ավելացվում է) 180 աստիճանից կամ 360 աստիճանից, ապա պահպանվում է կրճատված ֆունկցիայի անվանումը.
- Այս դեպքում կրճատված ֆունկցիային նախորդում է այն նշանը, որն ունի կրճատված (այսինքն՝ սկզբնական) ֆունկցիան համապատասխան քառորդում, եթե հանված (ավելացված) անկյունը սուր համարենք։
Ձուլման բանաձևերտրված են աղյուսակի տեսքով.
Ըստ եռանկյունաչափական շրջանհեշտ է որոշել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աղյուսակային արժեքները.
Եռանկյունաչափական հավասարումներ
Որոշակի եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն պետք է կրճատվի ամենապարզներից մեկի եռանկյունաչափական հավասարումներ, որը կքննարկվի ստորև: Սրա համար:
- Դուք կարող եք կիրառել վերը նշված եռանկյունաչափական բանաձևերը: Այս դեպքում ձեզ հարկավոր չէ միանգամից փորձել վերափոխել ամբողջ օրինակը, այլ պետք է առաջ շարժվել փոքր քայլերով:
- Պետք չէ մոռանալ որոշ արտահայտություններ փոխակերպելու և օգտագործելու հնարավորության մասին հանրահաշվական մեթոդներ, այսինքն. օրինակ՝ փակագծերից ինչ-որ բան դնել կամ հակառակը՝ բաց փակագծեր, փոքրացնել կոտորակը, կիրառել կրճատված բազմապատկման բանաձևը, կոտորակները բերել ընդհանուր հայտարարի և այլն։
- Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս կարող եք կիրառել խմբավորման մեթոդ. Պետք է հիշել, որ որպեսզի մի քանի գործոնների արտադրյալը հավասար լինի զրոյի, բավական է, որ դրանցից որևէ մեկը հավասար լինի զրոյի, և մնացածը կար.
- Դիմում փոփոխական փոխարինման մեթոդ, ինչպես միշտ, փոխարինման ներդրումից հետո հավասարումը պետք է դառնա ավելի պարզ և չպարունակի սկզբնական փոփոխականը։ Դուք նաև պետք է հիշեք, որ կատարեք հակադարձ փոխարինում:
- Հիշեք, որ միատարր հավասարումներ հաճախ հանդիպում են նաև եռանկյունաչափության մեջ:
- Մոդուլներ բացելիս կամ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով իռացիոնալ հավասարումներ լուծելիս պետք է հիշել և հաշվի առնել համապատասխան հավասարումները սովորական ֆունկցիաներով լուծելու բոլոր նրբությունները։
- Հիշեք ODZ-ի մասին (եռանկյունաչափական հավասարումների մեջ ODZ-ի սահմանափակումները հիմնականում հանգում են նրան, որ դուք չեք կարող բաժանել զրոյի, բայց մի մոռացեք այլ սահմանափակումների մասին, հատկապես ռացիոնալ ուժերում և նույնիսկ աստիճանի արմատների տակ արտահայտությունների դրական լինելու մասին։ ) Հիշեք նաև, որ սինուսի և կոսինուսի արժեքները կարող են լինել միայն մինուս մեկ և գումարած մեկ միջև՝ ներառյալ:
Գլխավորն այն է, որ եթե չգիտես ինչ անել, գոնե ինչ-որ բան արա, մինչդեռ գլխավորը եռանկյունաչափական բանաձևերը ճիշտ օգտագործելն է։ Եթե այն, ինչ ստանում եք, գնալով ավելի ու ավելի լավ է դառնում, ապա շարունակեք լուծումը, իսկ եթե այն վատթարանում է, ապա վերադարձեք սկզբին և փորձեք կիրառել այլ բանաձևեր, այնպես որ արեք այնքան ժամանակ, մինչև դիպչեք ճիշտ լուծմանը:
Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման բանաձևեր.Սինուսի համար լուծումը գրելու երկու համարժեք ձև կա.
Այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար նշումը եզակի է։ Կոսինուսի համար.
Շոշափողի համար.
Կոտանգենտի համար.
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում որոշ հատուկ դեպքերում.
Այս երեք կետերի հաջող, ջանասիրաբար և պատասխանատու իրականացումը թույլ կտա Ձեզ ցույց տալ գերազանց արդյունք CT-ի վրա՝ առավելագույնը, ինչի ընդունակ եք:
Սխա՞լ եք գտել:
Եթե կարծում եք, որ սխալ եք գտել ուսումնական նյութեր, ապա գրեք, խնդրում եմ, այդ մասին փոստով։ Կարող եք նաև հայտնել սխալի մասին սոցիալական ցանց(). Նամակում նշեք թեման (ֆիզիկա կամ մաթեմատիկա), թեմայի կամ թեստի անվանումը կամ համարը, առաջադրանքի համարը կամ տեքստի (էջի) այն տեղը, որտեղ, ըստ Ձեզ, սխալ կա։ Նաև նկարագրեք, թե որն է ենթադրյալ սխալը: Ձեր նամակն աննկատ չի մնա, սխալը կա՛մ կուղղվի, կա՛մ ձեզ կբացատրեն, թե ինչու դա սխալ չէ։
Սինուս, կոսինուս, շոշափող - ավագ դպրոցի աշակերտների ներկայությամբ այս բառերն արտասանելիս կարող եք վստահ լինել, որ նրանց երկու երրորդը կկորցնի հետաքրքրությունը. հետագա զրույց. Պատճառը կայանում է նրանում, որ դպրոցում եռանկյունաչափության հիմունքները դասավանդվում են իրականությունից լիովին մեկուսացված, և, հետևաբար, ուսանողները իմաստ չեն տեսնում բանաձևերի և թեորեմների ուսումնասիրության մեջ:
Իրականում գիտելիքի այս ոլորտը, ավելի ուշադիր ուսումնասիրելով, շատ հետաքրքիր է ստացվում, ինչպես նաև կիրառական՝ եռանկյունաչափությունը կիրառվում է աստղագիտության, շինարարության, ֆիզիկայի, երաժշտության և շատ այլ ոլորտներում։
Եկեք ծանոթանանք հիմնական հասկացություններին և նշենք այս բաժինն ուսումնասիրելու մի քանի պատճառ: մաթեմատիկական գիտ.
Պատմություն
Հայտնի չէ, թե ժամանակի որ պահին մարդկությունը սկսեց զրոյից ստեղծել ապագա եռանկյունաչափությունը: Այնուամենայնիվ, փաստագրված է, որ արդեն մ.թ.ա. երկրորդ հազարամյակում եգիպտացիները ծանոթ էին այս գիտության հիմունքներին. հնագետները գտել են պապիրուս՝ առաջադրանքով, որում պահանջվում է գտնել բուրգի թեքության անկյունը երկու հայտնի կողմերից:
Ավելի լուրջ հաջողությունների են հասել Հին Բաբելոնի գիտնականները։ Դարեր շարունակ զբաղվելով աստղագիտությամբ՝ նրանք յուրացրել են մի շարք թեորեմներ, ներկայացրել անկյունների չափման հատուկ մեթոդներ, որոնք, ի դեպ, այսօր օգտագործում ենք. ստորաբաժանումները եկել են բաբելոնացիներից։
Ենթադրվում է, որ հայտնի Պյութագորասի թեորեմը, որը վերաբերում է եռանկյունաչափության հիմունքներին, բաբելոնացիներին հայտնի է եղել գրեթե չորս հազար տարի առաջ։
Անուն
Բառացիորեն «եռանկյունաչափություն» տերմինը կարող է թարգմանվել որպես «եռանկյունների չափում»։ Գիտության այս բաժնի ուսումնասիրության հիմնական առարկան շատ դարեր շարունակ եղել է ուղղանկյուն եռանկյունը, ավելի ճիշտ՝ անկյունների մեծությունների և նրա կողմերի երկարությունների միջև կապը (այսօր եռանկյունաչափության ուսումնասիրությունը սկսվում է այս բաժնից. քերծվածք): Կյանքում հազվադեպ չեն իրավիճակները, երբ անհնար է գործնականում չափել օբյեկտի բոլոր պահանջվող պարամետրերը (կամ հեռավորությունը դեպի օբյեկտ), այնուհետև անհրաժեշտ է դառնում հաշվարկների միջոցով ստանալ բացակայող տվյալները:
Օրինակ, նախկինում մարդը չէր կարող չափել տիեզերական օբյեկտների հեռավորությունը, սակայն այդ հեռավորությունները հաշվարկելու փորձերը տեղի են ունենում մեր դարաշրջանից շատ առաջ: քննադատական դերեռանկյունաչափությունը խաղացել է նաև նավիգացիայի մեջ. որոշ գիտելիքներով կապիտանը միշտ կարող էր գիշերը նավարկել աստղերի մոտով և ուղղել ընթացքը:
Հիմնական հասկացություններ
Եռանկյունաչափությունը զրոյից տիրապետելու համար պետք է հասկանալ և հիշել մի քանի հիմնական տերմիններ:
Անկյունի սինուսը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է: Պարզաբանենք, որ հակառակ ոտքը մեր դիտարկած անկյան դիմաց ընկած կողմն է։ Այսպիսով, եթե անկյունը 30 աստիճան է, այս անկյան սինուսը եռանկյան ցանկացած չափի համար միշտ հավասար կլինի ½-ի: Անկյան կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է։
Տանգենսը հակառակ ոտքի հարաբերակցությունն է հարևանին (կամ, համարժեք, սինուսի և կոսինուսի հարաբերակցությունը): Կոտանգենսն այն միավորն է, որը բաժանվում է շոշափողի վրա:
Հարկ է նշել հայտնի Pi թիվը (3.14 ...), որը մեկ միավորի շառավղով շրջանագծի երկարության կեսն է։
Հանրաճանաչ սխալներ
Մարդիկ, ովքեր զրոյից սովորում են եռանկյունաչափություն, մի շարք սխալներ են թույլ տալիս՝ հիմնականում անուշադրության պատճառով:
Նախ, երկրաչափության խնդիրներ լուծելիս պետք է հիշել, որ սինուսների և կոսինուսների օգտագործումը հնարավոր է միայն ուղղանկյուն եռանկյունում: Պատահում է, որ «մեքենայի վրա» աշակերտը եռանկյան ամենաերկար կողմը վերցնում է որպես հիպոթենուս և ստանում սխալ հաշվարկի արդյունքներ:
Երկրորդ, սկզբում հեշտ է շփոթել սինուսի և կոսինուսի արժեքները ընտրված անկյան համար. հիշեք, որ 30 աստիճանի սինուսը թվայինորեն հավասար է 60-ի կոսինուսին և հակառակը: Եթե դուք փոխարինեք սխալ թիվը, ապա բոլոր հետագա հաշվարկները սխալ կլինեն:
Երրորդ, քանի դեռ խնդիրը ամբողջությամբ չի լուծվել, չարժե որևէ արժեք կլորացնել, արմատներ հանել, գրել. ընդհանուր կոտորակորպես տասնորդական: Հաճախ ուսանողները ձգտում են ստանալ «գեղեցիկ» թիվ եռանկյունաչափության հարցում և անմիջապես հանել երեքի արմատը, թեև ուղիղ մեկ գործողությունից հետո այս արմատը կարող է կրճատվել:
«Սինուս» բառի ստուգաբանությունը
«Սինուս» բառի պատմությունն իսկապես անսովոր է։ Փաստն այն է, որ այս բառի բառացի թարգմանությունը լատիներենից նշանակում է «խոռոչ»: Դա պայմանավորված է նրանով, որ բառի ճիշտ ընկալումը կորել է մի լեզվից մյուսը թարգմանելիս:
Հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների անվանումները ծագել են Հնդկաստանից, որտեղ սինուս հասկացությունը սանսկրիտում նշվում էր «լար» բառով. փաստն այն է, որ հատվածը շրջանագծի աղեղի հետ միասին, որի վրա այն հենվում էր, նման էր աղեղի: . Արաբական քաղաքակրթության ծաղկման շրջանում եռանկյունաչափության ոլորտում հնդկական նվաճումները փոխառվեցին, և տերմինը անցավ. արաբերենտառադարձության տեսքով։ Այնպես եղավ, որ այս լեզուն արդեն ուներ դեպրեսիայի համանման բառ, և եթե արաբները հասկանում էին բնիկ և փոխառված բառի հնչյունական տարբերությունը, ապա եվրոպացիները, գիտական տրակտատները լատիներեն թարգմանելով, սխալմամբ բառացիորեն թարգմանեցին արաբերեն բառը, որը. ոչ մի կապ չուներ սինուս հասկացության հետ: Մենք դրանք օգտագործում ենք մինչ օրս:
Արժեքների աղյուսակներ
Կան աղյուսակներ, որոնք պարունակում են թվային արժեքներ բոլոր հնարավոր անկյունների սինուսների, կոսինուսների և տանգենտների համար: Ստորև ներկայացնում ենք տվյալներ 0, 30, 45, 60 և 90 աստիճանի անկյունների համար, որոնք պետք է սովորել որպես եռանկյունաչափության պարտադիր բաժին «դեմերի» համար, քանի որ դրանք հիշելը բավականին հեշտ է։
Եթե այնպես է պատահել, որ անկյան սինուսի կամ կոսինուսի թվային արժեքը «դուրս է թռչել գլխիցս», ապա կա այն ինքնուրույն բխելու միջոց։
Երկրաչափական ներկայացում
Եկեք շրջան գծենք, նրա կենտրոնով գծենք աբսցիսան և օրդինացվող առանցքները։ Աբսցիսայի առանցքը հորիզոնական է, օրդինատային առանցքը՝ ուղղահայաց։ Դրանք սովորաբար ստորագրվում են համապատասխանաբար որպես «X» և «Y»: Այժմ շրջանագծի կենտրոնից այնպես ենք գծում ուղիղ գիծ, որ ստանանք այն անկյունը, որն անհրաժեշտ է նրա և X առանցքի միջև։ Ի վերջո, այն կետից, որտեղ ուղիղ գիծը հատում է շրջանագիծը, մենք իջեցնում ենք X առանցքի ուղղահայացը: Ստացված հատվածի երկարությունը հավասար կլինի մեր անկյան սինուսի թվային արժեքին:
Այս մեթոդը շատ տեղին է, եթե մոռացել եք ցանկալի արժեքը, օրինակ՝ քննության ժամանակ, և ձեռքի տակ չկա եռանկյունաչափության դասագիրք։ Այս կերպ դուք չեք ստանա ճշգրիտ ցուցանիշը, բայց դուք հաստատ կտեսնեք տարբերությունը ½-ի և 1,73/2-ի միջև (30 աստիճանի անկյան սինուս և կոսինուս):
Դիմում
Եռանկյունաչափությունը կիրառած առաջին մասնագետներից մեկը նավաստիներն էին, ովքեր բաց ծովում այլ հղման կետ չունեին, քան իրենց գլխավերեւում գտնվող երկինքը: Այսօր նավերի (ինքնաթիռների և տրանսպորտի այլ եղանակների) կապիտանները չեն փնտրում աստղերի միջով ամենակարճ ճանապարհը, այլ ակտիվորեն դիմում են GPS նավիգացիայի օգնությանը, ինչը անհնար կլիներ առանց եռանկյունաչափության կիրառման:
Ֆիզիկայի գրեթե բոլոր հատվածում դուք կգտնեք հաշվարկներ՝ օգտագործելով սինուսներ և կոսինուսներ. լինի դա ուժի կիրառում մեխանիկայի մեջ, կինեմատիկայում առարկաների ուղու հաշվարկներ, թրթռումներ, ալիքների տարածում, լույսի բեկում, դուք պարզապես չեք կարող անել առանց հիմնական եռանկյունաչափության: բանաձեւերում։
Մեկ այլ մասնագիտություն, որն անհնար է պատկերացնել առանց եռանկյունաչափության, դա չափագրիչն է: Օգտագործելով թեոդոլիտ և մակարդակ, կամ ավելի բարդ սարք՝ արագաչափ, այս մարդիկ չափում են բարձրության տարբերությունը երկրի մակերեսի տարբեր կետերի միջև:
Կրկնելիություն
Եռանկյունաչափությունը վերաբերում է ոչ միայն եռանկյան անկյուններին և կողմերին, թեև այստեղից է այն սկսել իր գոյությունը: Բոլոր ոլորտներում, որտեղ առկա է ցիկլայնությունը (կենսաբանություն, բժշկություն, ֆիզիկա, երաժշտություն և այլն), դուք կհանդիպեք մի գրաֆիկի, որի անունը հավանաբար ձեզ ծանոթ է. սա սինուսոիդ է:
Նման գրաֆիկը ժամանակի առանցքի երկայնքով բացված շրջան է և ալիքի տեսք ունի։ Եթե դուք երբևէ աշխատել եք օսցիլոսկոպով ֆիզիկայի դասերին, ապա գիտեք, թե ինչի մասին եմ խոսում: Ե՛վ երաժշտության հավասարիչը, և՛ սրտի զարկերի մոնիտորն իրենց աշխատանքում օգտագործում են եռանկյունաչափության բանաձևեր:
Վերջապես
Մտածելով, թե ինչպես սովորել եռանկյունաչափություն, միջին և ավագ դպրոցի աշակերտների մեծ մասը սկսում է այն համարել բարդ և անիրագործելի գիտություն, քանի որ նրանք ծանոթանում են միայն ձանձրալի դասագրքային տեղեկատվության հետ:
Ինչ վերաբերում է անիրագործելիությանը, մենք արդեն տեսել ենք, որ այս կամ այն չափով սինուսների և տանգենտների հետ աշխատելու ունակությունը պահանջվում է գործունեության գրեթե ցանկացած ոլորտում: Իսկ ինչ վերաբերում է բարդությանը… Մտածեք. եթե մարդիկ օգտագործել են այս գիտելիքները ավելի քան երկու հազար տարի առաջ, երբ չափահասը ավելի քիչ գիտելիքներ ուներ, քան այսօրվա ավագ դպրոցի աշակերտը, իրատեսակա՞ն է գիտության այս ոլորտը ուսումնասիրել: հիմնական մակարդականձամբ քեզ? Մի քանի ժամ խոհուն պրակտիկա՝ խնդիրների լուծմամբ, և դուք կհասնեք ձեր նպատակին՝ ուսումնասիրելով հիմնական դասընթացը, այսպես կոչված, եռանկյունաչափությունը «դեմերի» համար:
Եռանկյունաչափության պատմությունը անքակտելիորեն կապված է աստղագիտության հետ, քանի որ հենց այս գիտության խնդիրները լուծելու համար հնագույն գիտնականները սկսեցին ուսումնասիրել եռանկյունու տարբեր քանակությունների հարաբերությունները:
Այսօր եռանկյունաչափությունը մաթեմատիկայի միկրոհատված է, որն ուսումնասիրում է եռանկյունների կողմերի անկյունների և երկարությունների արժեքների փոխհարաբերությունները, ինչպես նաև վերլուծում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հանրահաշվական նույնականությունները:
«Եռանկյունաչափություն» տերմինը
Ինքը՝ տերմինը, որն իր անունը տվել է մաթեմատիկայի այս ճյուղին, առաջին անգամ հայտնաբերվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Պիտիսկուսի գրքի վերնագրում 1505 թվականին։ «Եռանկյունաչափություն» բառը հունական ծագում ունի և նշանակում է «Ես չափում եմ եռանկյունին»։ Ավելի ճիշտ, մենք խոսում ենք ոչ թե այս ցուցանիշի բառացի չափման, այլ դրա լուծման մասին, այսինքն՝ նրա անհայտ տարրերի արժեքները որոշելու մասին՝ օգտագործելով հայտնիները:
Ընդհանուր տեղեկություններ եռանկյունաչափության մասին
Եռանկյունաչափության պատմությունը սկսվել է ավելի քան երկու հազարամյակ առաջ: Սկզբում դրա առաջացումը կապված էր եռանկյունու անկյունների և կողմերի հարաբերակցությունը պարզելու անհրաժեշտության հետ: Հետազոտության ընթացքում պարզ է դարձել, որ մաթեմատիկական արտահայտությունԱյս հարաբերությունները պահանջում են հատուկ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ներդրում, որոնք ի սկզբանե կազմվել են որպես թվային աղյուսակներ։
Մաթեմատիկայի հետ կապված շատ գիտությունների համար եռանկյունաչափության պատմությունն էր, որ դարձավ զարգացման խթան։ Անկյունների (աստիճանների) չափման միավորների ծագումը, որը կապված է Հին Բաբելոնի գիտնականների հետազոտության հետ, հիմնված է սեռասիմալ հաշվարկի վրա, որը առաջացրել է ժամանակակից տասնորդականը, որն օգտագործվում է բազմաթիվ կիրառական գիտություններում:
Ենթադրվում է, որ եռանկյունաչափությունը ի սկզբանե գոյություն է ունեցել որպես աստղագիտության մաս: Հետո այն սկսեց կիրառվել ճարտարապետության մեջ։ Եվ ժամանակի ընթացքում այս գիտության կիրառման նպատակահարմարությունը տարբեր ոլորտներմարդկային գործունեություն. Դրանք են, մասնավորապես, աստղագիտությունը, ծովային և օդային նավարկությունը, ակուստիկան, օպտիկան, էլեկտրոնիկան, ճարտարապետությունը և այլն։
Եռանկյունաչափությունը վաղ դարերում
Ղեկավարվելով պահպանված գիտական մասունքների տվյալների հիման վրա՝ հետազոտողները եզրակացրել են, որ եռանկյունաչափության առաջացման պատմությունը կապված է հույն աստղագետ Հիպարքոսի աշխատանքի հետ, ով առաջին անգամ մտածել է (գնդաձև) եռանկյունների լուծման ուղիներ գտնելու մասին: Նրա գրվածքները թվագրվում են մ.թ.ա 2-րդ դարով։
Նաև մեկը հիմնական ձեռքբերումներըայդ ժամանակները ուղղանկյուն եռանկյուններում ոտքերի և հիպոթենուսի հարաբերակցության սահմանումն է, որը հետագայում հայտնի դարձավ որպես Պյութագորասի թեորեմ:
Եռանկյունաչափության զարգացման պատմությունը Հին Հունաստանասոցացվում է աստղագետ Պտղոմեոսի անվան հետ՝ Կոպեռնիկոսի առաջ գերիշխող աշխարհակենտրոնի հեղինակ:
Հույն աստղագետները չգիտեին սինուսներ, կոսինուսներ և շոշափողներ: Նրանք աղյուսակներով պարզել են շրջանագծի ակորդի արժեքը՝ օգտագործելով հանող աղեղը: Ակորդը չափելու միավորներն էին աստիճանները, րոպեները և վայրկյանները։ Մեկ աստիճանը հավասար էր շառավիղի վաթսուներորդին:
Նաև հին հույների ուսումնասիրությունները նպաստեցին գնդաձև եռանկյունաչափության զարգացմանը: Մասնավորապես, Էվկլիդեսն իր «Սկզբունքներում» թեորեմ է տալիս տարբեր տրամագծերի գնդերի ծավալների հարաբերությունների օրինաչափությունների մասին։ Նրա աշխատանքները այս ոլորտում յուրատեսակ խթան են դարձել գիտելիքի հարակից ոլորտների զարգացման գործում: Սա, մասնավորապես, աստղագիտական գործիքների տեխնոլոգիան է, քարտեզագրական կանխատեսումների տեսությունը, երկնային կոորդինատների համակարգը և այլն։
Միջնադար. հնդիկ գիտնականների ուսումնասիրություններ
Միջնադարյան հնդիկ աստղագետները զգալի հաջողությունների են հասել։ Հին գիտության մահը 4-րդ դարում հանգեցրեց մաթեմատիկայի զարգացման կենտրոնի տեղափոխմանը Հնդկաստան։
Եռանկյունաչափության՝ որպես մաթեմատիկական ուսմունքի առանձին հատվածի առաջացման պատմությունը սկսվել է միջնադարից։ Հենց այդ ժամանակ գիտնականները ակորդները փոխարինեցին սինուսներով։ Այս հայտնագործությունը հնարավորություն տվեց ներմուծել կողմերի և անկյունների ուսումնասիրության հետ կապված գործառույթներ, այսինքն՝ հենց այդ ժամանակ եռանկյունաչափությունը սկսեց առանձնանալ աստղագիտությանից՝ վերածվելով մաթեմատիկայի մի հատվածի։
Սինուսների առաջին աղյուսակները եղել են Արյաբհաթայում, դրանք գծվել են 3 o, 4 o, 5 o: Ավելի ուշ հայտնվեցին աղյուսակների մանրամասն տարբերակները. մասնավորապես, Բհասկարան տվել է սինուսների աղյուսակ 1 օ.
Եռանկյունաչափության մասին առաջին մասնագիտացված տրակտատը հայտնվել է 10-11-րդ դարերում։ Դրա հեղինակը միջինասիացի գիտնական Ալ-Բիրունին էր։ Եվ իր հիմնական «Կանոն Մասուդ» աշխատության մեջ (գիրք III) միջնադարյան հեղինակն էլ ավելի է խորանում եռանկյունաչափության մեջ՝ տալով սինուսների աղյուսակ (15 դյույմ քայլով) և շոշափող աղյուսակ (1 ° աստիճանով):
Եվրոպայում եռանկյունաչափության զարգացման պատմությունը
Արաբական տրակտատները լատիներեն թարգմանելուց հետո (XII–XIII դդ.) հնդիկ և պարսիկ գիտնականների գաղափարների մեծ մասը փոխառվել է եվրոպական գիտության կողմից։ Եվրոպայում եռանկյունաչափության մասին առաջին հիշատակումը վերաբերում է 12-րդ դարին։
Հետազոտողների կարծիքով՝ Եվրոպայում եռանկյունաչափության պատմությունը կապված է անգլիացի Ռիչարդ Ուոլինգֆորդի անվան հետ, ով դարձել է «Չորս տրակտատ ուղիղ և հակադարձ ակորդների մասին» աշխատության հեղինակը։ Հենց նրա աշխատանքն էլ դարձավ առաջին աշխատությունը, որն ամբողջությամբ նվիրված է եռանկյունաչափությանը։ 15-րդ դարում շատ հեղինակներ իրենց աշխատություններում նշում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները։
Եռանկյունաչափության պատմություն. Նոր ժամանակներ
Ժամանակակից ժամանակներում գիտնականների մեծ մասը սկսեց գիտակցել եռանկյունաչափության ծայրահեղ կարևորությունը ոչ միայն աստղագիտության և աստղագիտության, այլև կյանքի այլ ոլորտներում: Սա, առաջին հերթին, հրետանային, օպտիկա և նավարկություն է հեռավոր ծովային ճանապարհորդություններում: Ուստի 16-րդ դարի երկրորդ կեսին այս թեման հետաքրքրել է այն ժամանակվա շատ ականավոր մարդկանց, այդ թվում՝ Նիկոլայ Կոպեռնիկոսին, Ֆրանսուա Վիետային։ Կոպեռնիկոսը մի քանի գլուխ է նվիրել եռանկյունաչափությանը իր «Երկնային ոլորտների հեղափոխությունների մասին» տրակտատում (1543): Քիչ ավելի ուշ՝ 16-րդ դարի 60-ականներին, Կոպեռնիկոսի աշակերտ Ռետիկը իր «Աստղագիտության օպտիկական մասը» աշխատության մեջ մեջբերում է տասնհինգ թվանոց եռանկյունաչափական աղյուսակներ։
«Մաթեմատիկական կանոնում» (1579) տալիս է հարթության և գնդաձև եռանկյունաչափության մանրամասն և համակարգված, թեև չապացուցված բնութագրումը։ Իսկ Ալբրեխտ Դյուրերը դարձավ նա, ում շնորհիվ ծնվեց սինուսոիդը։
Լեոնհարդ Էյլերի արժանիքները
Եռանկյունաչափությանը ժամանակակից բովանդակություն և ձև տալը Լեոնհարդ Էյլերի արժանիքն էր։ Նրա «Անսահմանների վերլուծության ներածություն» տրակտատը (1748) պարունակում է «եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ» տերմինի սահմանումը, որը համարժեք է ժամանակակիցին։ Այսպիսով, այս գիտնականը կարողացավ որոշել Բայց և սա դեռ ամենը չէ:
Ամբողջ թվային գծի վրա եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանումը հնարավոր դարձավ շնորհիվ Էյլերի ուսումնասիրությունների ոչ միայն թույլատրելի բացասական անկյունների, այլև 360 °-ից ավելի անկյունների: Հենց նա իր ստեղծագործություններում առաջինն ապացուցեց, որ կոսինուսն ու շոշափողը Աջ անկյունըբացասական. Կոսինուսի և սինուսի ամբողջ հզորությունների ընդլայնումը նույնպես դարձավ այս գիտնականի արժանիքը։ Ընդհանուր տեսությունեռանկյունաչափական շարքերը և ստացված շարքերի կոնվերգենցիայի ուսումնասիրությունը Էյլերի հետազոտության առարկա չեն եղել։ Այնուամենայնիվ, հարակից խնդիրների լուծման վրա աշխատելիս նա բազմաթիվ բացահայտումներ արեց այս ոլորտում։ Հենց նրա աշխատանքի շնորհիվ շարունակվեց եռանկյունաչափության պատմությունը։ Նա իր գրվածքներում հակիրճ անդրադարձել է նաև գնդաձև եռանկյունաչափության հարցերին։
Եռանկյունաչափության կիրառությունները
Եռանկյունաչափությունը չի տարածվում կիրառական գիտությունների վրա, իրականում Առօրյա կյանքնրա առաջադրանքները հազվադեպ են կիրառվում: Սակայն այս փաստը չի նվազեցնում դրա նշանակությունը։ Շատ կարևոր է, օրինակ, եռանկյունավորման տեխնիկան, որը թույլ է տալիս աստղագետներին ճշգրիտ չափել հեռավորությունը մոտակա աստղերին և կառավարել արբանյակային նավիգացիոն համակարգերը։
Եռանկյունաչափությունը օգտագործվում է նաև նավիգացիայի, երաժշտության տեսության, ակուստիկայի, օպտիկայի, ֆինանսական շուկայի վերլուծության, էլեկտրոնիկայի, հավանականության տեսության, վիճակագրության, կենսաբանության, բժշկության մեջ (օրինակ՝ ուլտրաձայնի և համակարգչային տոմոգրաֆիայի վերծանման), դեղագործության, քիմիայի, թվերի տեսության, սեյսմոլոգիայի, օդերևութաբանության մեջ։ , օվկիանոսաբանություն, քարտեզագրություն, ֆիզիկայի բազմաթիվ ճյուղեր, տեղագրություն և գեոդեզիա, ճարտարապետություն, հնչյունաբանություն, տնտեսագիտություն, էլեկտրոնային տեխնոլոգիա, մեքենաշինություն, համակարգչային գրաֆիկա, բյուրեղագրություն և այլն Եռանկյունաչափության պատմությունը և նրա դերը բնական և մաթեմատիկական գիտությունների ուսումնասիրության մեջ մինչ օրս ուսումնասիրվում են։ Միգուցե ապագայում դրա կիրառման էլ ավելի շատ ոլորտներ կլինեն։
Հիմնական հասկացությունների ծագման պատմությունը
Եռանկյունաչափության առաջացման և զարգացման պատմությունը ունի ավելի քան մեկ դար։ Մաթեմատիկական գիտության այս բաժնի հիմքում ընկած հասկացությունների ներդրումը նույնպես ակնթարթային չէր։
Այսպիսով, «սինուս» հասկացությունն ունի շատ երկար պատմություն. Եռանկյունների և շրջանագծերի հատվածների տարբեր հարաբերությունների մասին հիշատակումներ կան մ.թ.ա 3-րդ դարով թվագրվող գիտական աշխատություններում։ Այնպիսի մեծ հին գիտնականների աշխատություններում, ինչպիսիք են Էվկլիդեսը, Արքիմեդը, Ապոլոնիուս Պերգացին, արդեն իսկ պարունակում են այդ հարաբերությունների առաջին ուսումնասիրությունները: Նոր բացահայտումները պահանջում էին որոշակի տերմինաբանական պարզաբանումներ։ Այսպիսով, հնդիկ գիտնական Արյաբհատան ակորդին տալիս է «ջիվա» անունը, որը նշանակում է «աղեղ լար»: Երբ արաբական մաթեմատիկական տեքստերը թարգմանվեցին լատիներեն, տերմինը փոխարինվեց սինուսով (այսինքն՝ «կռում»), որն իր իմաստով մոտ էր։
«Կոսինուս» բառը շատ ավելի ուշ է հայտնվել։ Այս տերմինը լատիներեն «լրացուցիչ սինուս» արտահայտության կրճատ տարբերակն է։
Շոշափումների առաջացումը կապված է ստվերի երկարության որոշման խնդրի վերծանման հետ։ «Տանգենս» տերմինը ներմուծվել է 10-րդ դարում արաբ մաթեմատիկոս Աբուլ-Վաֆայի կողմից, ով կազմել է շոշափողներն ու կոտանգենսները որոշելու առաջին աղյուսակները։ Բայց եվրոպացի գիտնականները չգիտեին այս ձեռքբերումների մասին։ Գերմանացի մաթեմատիկոս և աստղագետ Ռեջիմոնտանը վերագտնում է այս հասկացությունները 1467 թվականին: Շոշափող թեորեմի ապացույցը նրա արժանիքն է: Եվ այս տերմինը թարգմանվում է որպես «վերաբերող»:
- -
Սովորաբար, երբ նրանք ուզում են ինչ-որ մեկին վախեցնել ՍԱՐՍԱՓԵԼԻ ՄԱԹԵՄԱՏԵՏԻԿՈՎ, ամեն տեսակ սինուսներ և կոսինուսներ են բերում որպես օրինակ, որպես շատ բարդ և տհաճ բան: Բայց իրականում սա գեղեցիկ և հետաքրքիր հատված է, որը կարելի է հասկանալ և լուծել:
Թեման սկսում է ծավալվել 9-րդ դասարանից ու միշտ չէ, որ ամեն ինչ պարզ է առաջին անգամ, կան բազմաթիվ նրբություններ ու հնարքներ։ Թեմայի շուրջ փորձեցի ինչ-որ բան ասել.
Ներածություն եռանկյունաչափության աշխարհին.
Նախքան բանաձևերի մեջ գլուխ գցելը, պետք է երկրաչափությունից հասկանալ, թե ինչ են սինուսը, կոսինուսը և այլն։
Անկյունի սինուս- հակառակ (անկյան) կողմի հարաբերությունը հիպոթենուսին:
Կոսինուսհիպոթենուսի հարակից հարաբերակցությունն է։
Շոշափող- հակառակ կողմը հարակից կողմում
Կոտանգենս- կից հակառակը.
Այժմ դիտարկենք միավորի շառավիղի շրջանագիծը կոորդինատային հարթությունև նշեք դրա վրա որոշ ալֆա անկյուն. (նկարները կարող են սեղմել, գոնե դրանցից մի քանիսը)
- 
-
Կարմիր բարակ գծերն ուղղահայաց են շրջանագծի հատման կետից և x և y առանցքների վրա ուղիղ անկյան տակ: Կարմիր x-ը և y-ը առանցքների վրա x և y կոորդինատների արժեքն են (մոխրագույն x և y-ը պարզապես ցույց են տալիս, որ դրանք կոորդինատային առանցքներ են և ոչ միայն գծեր):
Հարկ է նշել, որ անկյունները հաշվվում են x առանցքի դրական ուղղությամբ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ։
Մենք դրա համար գտնում ենք սինուսը, կոսինուսը և այլն:
sin a. հակառակ կողմը y է, հիպոթենուսը 1 է:
sin a = y / 1 = y
Որպեսզի լիովին պարզ լինի, թե որտեղից եմ ստանում y-ն և 1-ը, պարզության համար եկեք դասավորենք տառերը և դիտարկենք եռանկյունները:
- -
AF = AE = 1 - շրջանագծի շառավիղը:
Հետեւաբար, AB = 1, որպես շառավիղ: AB-ն հիպոթենուսն է:
BD = CA = y - որպես արժեք oh-ի համար:
AD \u003d CB \u003d x - որպես արժեք oh-ի համար:
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Հետագա կոսինուս.
cos a: հարակից կողմը - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x
Մենք նաև հետևություն ենք անում շոշափող և կոտանգենս.
tg a = y / x = մեղք a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Արդեն հանկարծ մենք ստացանք շոշափողի և կոտանգենսի բանաձևը:
Դե, եկեք տեսնենք, թե ինչպես է այն լուծվում կոնկրետ անկյուններով:
Օրինակ, a = 45 աստիճան:
Ստանում ենք ուղղանկյուն եռանկյուն՝ 45 աստիճան մեկ անկյունով։ Ինչ-որ մեկին անմիջապես պարզ է դառնում, որ սա տարբեր կողմերով եռանկյունի է, բայց ես, այնուամենայնիվ, կստորագրեմ։
Գտեք եռանկյան երրորդ անկյունը (առաջին 90, երկրորդ 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Եթե երկու անկյունները հավասար են, ապա կողմերը հավասար են, ինչպես հնչեց:
Այսպիսով, ստացվում է, որ եթե մենք իրար վրա ավելացնենք երկու նման եռանկյունի, ապա կստանանք քառակուսի, որի անկյունագիծը հավասար է շառավղին \u003d 1: Պյութագորասի թեորեմով մենք գիտենք, որ a կողմով քառակուսու անկյունագիծը հավասար է: երկուսի արմատներին։
Հիմա մենք մտածում ենք. Եթե 1-ը (հիպոթենուսը կոչվում է շեղանկյուն) հավասար է քառակուսու կողմին և 2-ի քառակուսի արմատին, ապա քառակուսու կողմը պետք է հավասար լինի 1/sqrt(2), և եթե բազմապատկենք այդ կոտորակի համարիչն ու հայտարարը. 2-ի արմատով ստանում ենք sqrt(2)/2: Եվ քանի որ եռանկյունը հավասարաչափ է, ապա AD = AC => x = y
Գտնելով մեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները.
մեղք 45 = sqrt (2) / 2 / 1 = sqrt (2) / 2
cos 45 = sqrt (2) / 2 / 1 = sqrt (2) / 2
tg 45 = sqrt (2) / 2 / sqrt (2) / 2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Մնացած անկյուններով դուք պետք է աշխատեք նույն կերպ: Միայն եռանկյունները չեն լինի հավասարաչափ, բայց կողմերը նույնքան հեշտ է գտնել՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը:
Այս կերպ մենք ստանում ենք եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների աղյուսակ տարբեր անկյուններից.
- 
-
Ավելին, այս սեղանը խաբում է և շատ հարմար։
Ինչպես պատրաստել այն ինքներդ առանց որևէ դժվարության.գծում ես այսպիսի աղյուսակ և վանդակներում գրում 1 2 3 թվերը։
- 
-
Այժմ այս 1 2 3-ից հանում եք արմատը և բաժանում 2-ի: Ստացվում է այսպես.
- 
-
Այժմ մենք հատում ենք սինուսը և գրում կոսինուսը: Դրա արժեքներն են հայելային սինուսը.
- 
-
Նույնքան հեշտ է շոշափել. անհրաժեշտ է սինուսի գծի արժեքը բաժանել կոսինուսի արժեքի վրա.
- 
-
Կոտանգենսի արժեքը շոշափողի շրջված արժեքն է: Արդյունքում մենք ստանում ենք այսպիսի բան.
- 
-
Նշումոր շոշափողը գոյություն չունի P/2-ում, օրինակ. Մտածեք, թե ինչու: (Դուք չեք կարող բաժանել զրոյի):
Ինչ պետք է հիշել այստեղ.սինուսը y արժեքն է, կոսինուսը x արժեքն է: Շոշափողը y-ի և x-ի հարաբերությունն է, իսկ կոտանգենսը հակառակն է: Այսպիսով, սինուսների / կոսինուսների արժեքները որոշելու համար բավական է նկարել մի ափսե, որը նկարագրեցի վերևում և կոորդինատային առանցքներով շրջան (հարմար է դիտել դրա արժեքները. անկյուններ 0, 90, 180, 360):
- 
-
Դե, հուսով եմ, որ դուք կարող եք ասել քառորդներ:
- 
-
Նրա սինուսի, կոսինուսի և այլնի նշանը կախված է նրանից, թե որ քառորդում է գտնվում անկյունը։ Չնայած, բացարձակ պարզունակ տրամաբանական մտածողությունը ձեզ կհանգեցնի ճիշտ պատասխանին, եթե հաշվի առնեք, որ երկրորդ և երրորդ եռամսյակներում x-ը բացասական է, իսկ երրորդ և չորրորդ եռամսյակում y-ն բացասական է։ Ոչ մի սարսափելի կամ սարսափելի բան:
Կարծում եմ ավելորդ չի լինի նշել նվազեցման բանաձևերալա ուրվականներ, ինչպես բոլորն են լսում, որն ունի ճշմարտության հատիկ: Չկան բանաձևեր, որպես այդպիսին, անօգուտության համար։ Այս ամբողջ գործողության իմաստը. Մենք հեշտությամբ գտնում ենք անկյունների արժեքները միայն առաջին քառորդի համար (30 աստիճան, 45, 60): Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են, ուստի մենք կարող ենք ցանկացած մեծ անկյուն քաշել դեպի առաջին քառորդը: Այդ ժամանակ մենք անմիջապես կգտնենք դրա իմաստը։ Բայց միայն քարշ տալը բավարար չէ, պետք է հիշել նշանի մասին: Հենց դրա համար են ձուլման բանաձեւերը:
Այսպիսով, մենք ունենք մեծ անկյուն, ավելի ճիշտ, քան 90 աստիճան՝ a \u003d 120: Եվ դուք պետք է գտնեք դրա սինուսը և կոսինուսը: Դա անելու համար մենք 120-ը բաժանում ենք այնպիսի անկյունների, որոնց հետ կարող ենք աշխատել.
մեղք ա = մեղք 120 = մեղք (90 + 30)
Մենք տեսնում ենք, որ այս անկյունը գտնվում է երկրորդ քառորդում, այնտեղ սինուսը դրական է, հետևաբար սինուսի դիմաց + նշանը պահպանվում է։
90 աստիճանից ազատվելու համար սինուսը փոխում ենք կոսինուսի։ Դե, ահա մի կանոն, որը պետք է հիշել.
մեղք (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Եվ դուք կարող եք դա պատկերացնել այլ կերպ.
մեղք 120 = մեղք (180 - 60)
180 աստիճանից ազատվելու համար մենք ֆունկցիան չենք փոխում։
մեղք (180 - 60) = մեղք 60 = sqrt(3) / 2
Մենք ստացել ենք նույն արժեքը, ուստի ամեն ինչ ճիշտ է: Հիմա կոսինուս.
cos 120 = cos (90 + 30)
Երկրորդ քառորդում կոսինուսը բացասական է, ուստի մենք դնում ենք մինուս նշան: Եվ մենք փոխում ենք գործառույթը հակառակը, քանի որ մեզ անհրաժեշտ է հեռացնել 90 աստիճան:
cos (90 + 30) = - մեղք 30 = - 1/2
Կամ:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2
Այն, ինչ դուք պետք է իմանաք, կարողանաք անել և անել առաջին եռամսյակում անկյունները թարգմանելու համար.
-քայքայել անկյունը մարսելի տերմինների.
- հաշվի առեք, թե որ քառորդում է գտնվում անկյունը և դրեք համապատասխան նշանը, եթե այս եռամսյակի ֆունկցիան բացասական է կամ դրական.
- ազատվել ավելորդությունից
*եթե պետք է ազատվել 90, 270, 450-ից և մնացած 90+180n-ից, որտեղ n-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է, ապա ֆունկցիան հակադարձվում է (սինուսից կոսինուս, շոշափում է կոտանգենսին և հակառակը);
*եթե պետք է ազատվել 180-ից և մնացած 180+180n-ից, որտեղ n-ը ցանկացած ամբողջ թիվ է, ապա ֆունկցիան չի փոխվում։ (Այստեղ մի հատկանիշ կա, բայց բառերով դժվար է բացատրել, լավ, լավ)։
Այսքանը: Հարկ չեմ համարում ինքնուրույն անգիր անել բանաձևերը, երբ կարելի է հիշել մի քանի կանոն և հեշտությամբ օգտագործել դրանք։ Ի դեպ, այս բանաձեւերը շատ հեշտ է ապացուցել.
- 
-
Եվ նրանք կազմում են մեծածավալ սեղաններ, ապա մենք գիտենք.
- 
-
Հիմնական եռանկյունաչափության հավասարումներ.դրանք պետք է շատ, շատ լավ, անգիր իմանալ:
Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը(հավասարություն):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Եթե չեք հավատում ինձ, ստուգեք ինքներդ և համոզվեք: Փոխարինեք տարբեր անկյունների արժեքները:
Այս բանաձեւը շատ ու շատ օգտակար է, միշտ հիշեք այն։ դրա հետ դուք կարող եք արտահայտել սինուսը կոսինուսի միջոցով և հակառակը, ինչը երբեմն շատ օգտակար է: Բայց, ինչպես ցանկացած այլ բանաձևի դեպքում, դուք պետք է կարողանաք կարգավորել այն: Միշտ հիշեք, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանը կախված է այն քառորդից, որում գտնվում է անկյունը։ Ահա թե ինչու արմատը հանելիս անհրաժեշտ է իմանալ քառորդը.
Շոշափող և կոտանգենս.մենք այս բանաձևերն արդեն իսկ սկզբից դուրս ենք բերել:
tg a = մեղք ա / cos a
ctg a = cos a / sin a
Տանգենսի և կոտանգենսի արտադրանք.
tg a * ctg a = 1
Որովհետեւ:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - կոտորակները չեղյալ են հայտարարվում:
Ինչպես տեսնում եք, բոլոր բանաձեւերը խաղ են և համադրություն:
Ահա ևս երկուսը, որոնք ստացվել են առաջին բանաձևի կոսինուսի և սինուսի քառակուսու վրա բաժանելուց.
- 
-
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ վերջին երկու բանաձևերը կարող են օգտագործվել a անկյան արժեքի սահմանափակմամբ, քանի որ դուք չեք կարող բաժանել զրոյի:
Հավելման բանաձևեր.ապացուցված են վեկտորային հանրահաշիվով:
- 
-
Դրանք օգտագործվում են հազվադեպ, բայց տեղին: Սկանավորման վրա կան բանաձևեր, բայց այն կարող է անընթեռնելի լինել կամ թվային ձևն ավելի հեշտ ընկալել.
- -
Կրկնակի անկյունային բանաձևեր.
Դրանք ստացվում են գումարման բանաձևերի հիման վրա, օրինակ՝ կրկնակի անկյան կոսինուսը cos 2a = cos (a + a) - դա ձեզ որևէ բան հիշեցնու՞մ է: Նրանք պարզապես փոխարինեցին բետա-ն ալֆայով:
- 
-
Հետևյալ երկու բանաձևերը բխում են առաջին փոխարինումից sin^2(a) = 1 - cos^2(a) և cos^2(a) = 1 - sin^2(a):
Կրկնակի անկյան սինուսով այն ավելի պարզ է և շատ ավելի հաճախ օգտագործվում է.
- 
-
Եվ հատուկ այլասերվածները կարող են դուրս բերել կրկնակի անկյան շոշափողն ու կոտանգենսը՝ հաշվի առնելով, որ tg a \u003d sin a / cos a և այլն:
- 
-
Վերոնշյալ անձանց համար Եռակի անկյունային բանաձևեր.դրանք ստացվում են՝ գումարելով 2a և a անկյունները, քանի որ մենք արդեն գիտենք կրկնակի անկյան բանաձևերը:
- 
-
Կիսանկյունի բանաձևեր.
- 
-
Ես չգիտեմ, թե ինչպես են դրանք ստացվում, ավելի ճիշտ, ինչպես բացատրել դա ... Եթե դուք գրում եք այս բանաձևերը ՝ փոխարինելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը a / 2-ով, ապա պատասխանը կմիանա:
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ գումարելու և հանելու բանաձևեր.
- 
-
Դրանք ստացվում են հավելման բանաձեւերից, բայց ոչ մեկին դա չի հետաքրքրում։ Հանդիպեք ոչ հաճախ:
Ինչպես հասկանում եք, դեռ կան մի շարք բանաձևեր, որոնց թվարկումն ուղղակի անիմաստ է, քանի որ ես չեմ կարողանա դրանց մասին ադեկվատ բան գրել, և չոր բանաձևեր կարելի է գտնել ամենուր, և դրանք խաղ են նախկին գոյություն ունեցող բանաձևերի հետ: . Ամեն ինչ ահավոր տրամաբանական է ու ճշգրիտ։ Ես ձեզ միայն վերջինը կասեմ Օժանդակ անկյան մեթոդի մասին.
A cosx + b sinx արտահայտությունը Acos(x+) կամ Asin(x+) ձևի վերածելը կոչվում է օժանդակ անկյուն (կամ լրացուցիչ արգումենտ) ներմուծելու մեթոդ։ Մեթոդն օգտագործվում է եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման, ֆունկցիաների արժեքների գնահատման, էքստրեմալ խնդիրների դեպքում, և ինչ կարևոր է նշել, որոշ խնդիրներ չեն կարող լուծվել առանց օժանդակ անկյուն ներմուծելու:
Ինչպես դուք, ես չփորձեցի բացատրել այս մեթոդը, ոչինչ չստացվեց, այնպես որ դուք պետք է դա անեք ինքներդ.
- 
-
Դա սարսափելի է, բայց օգտակար: Եթե դուք խնդիրներ եք լուծում, այն պետք է աշխատի:
Օրինակ այստեղից՝ mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Հաջորդ դասընթացին տրված են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գրաֆիկները: Բայց մեկ դասը բավական է։ Հաշվի առնելով, որ սա դպրոցում դասավանդվում է վեց ամիս։
Գրեք ձեր հարցերը, լուծեք խնդիրները, խնդրեք սկանավորել որոշ առաջադրանքներ, պարզեք այն, փորձեք:
Միշտ քոնը, Դեն Ֆարադեյ:
Մաթեմատիկայի այն ճյուղը, որը զբաղվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ուսումնասիրությամբ, ինչպես նաև երկրաչափության մեջ դրանց կիրառմամբ, կոչվում է եռանկյունաչափություն։ Հունարենից թարգմանված այս տերմինը թարգմանվում է որպես «եռանկյունների չափում» («trigonon» - եռանկյուն և «metreo» - չափում): Նույնիսկ Հին Հունաստանում ակորդների տեխնիկան օգտագործվում էր չափումների և շրջանաձև աղեղների չափման հետ կապված կոնստրուկցիաների համար։ Նույնիսկ Էվկլիդեսի և Արքիմեդի աշխատություններում թեորեմները ներկայացված էին ժամանակակից եռանկյունաչափական բանաձևերի նման երկրաչափական ձևով։
Մաթեմատիկա՝ Եռանկյունաչափություն
Եռանկյունաչափության սկիզբը
Ըստ պատմիչների՝ առաջին եռանկյունաչափական աղյուսակները կազմել է Հիպարքոս Նիկիայի կողմից, ով ապրել է մ.թ.ա. 180-125 թթ. Այս հին հույն մաթեմատիկոսն առաջինն էր իր գործընկերներից, ով կազմեց աղյուսակներ, որոնք փոխկապակցում են շրջանագծի կամարների և մի շարք անկյուններին համապատասխանող ակորդների մեծությունները: Նրա օգտագործած շրջանագծի բաժանումն այլևս նոր չէր, քանի որ ավելի վաղ Hypsicles-ն արդեն առաջարկել էր օրը բաժանել 360 մասի, և նման բան հայտնաբերվեց նաև բաբելոնացի աստղագետների շրջանում։
100 թվականին մ.թ.ա. Մինելաոս Ալեքսանդրացին գրել է «Ոլորտ» տրակտատը՝ բաղկացած երեք մասից. Տրակտատի առաջին երրորդ մասը նվիրված էր գնդաձեւ եռանկյունների հիմքերի ուսումնասիրությանը, ինչպես Էվկլիդեսի՝ հարթ եռանկյունիների աշխատանքին։ Իսկ որոշ ժամանակ անց Կլավդիոս Պտղոմեոսն իր «Ալմագեստ» աշխատության մեջ ընդարձակեց Հիպարքոսի «Ակորդները շրջանագծի մեջ»։ 13 գրքից բաղկացած «Ալմագեստը» իրավամբ կարելի է համարել հնուց ի վեր եռանկյունաչափության ոլորտում ամենաամբողջական և հայտնի աշխատությունը։ Եվ չնայած Հիպարքոսի և Պտղոմեոսի աղյուսակները, ցավոք, չեն պահպանվել մինչև մեր ժամանակները, այլ հին հեղինակների աշխատություններն ապացուցում են դրանց գոյությունը:
Եռանկյունաչափության զարգացման գործում զգալի ներդրում են ունեցել նաև հնդիկ մտածողները։ Այսպիսով, 4-5-րդ դարերում Արիբհաթայի (այն ժամանակվա հայտնի հնդիկ աստղագետի) գրվածքներում հանդիպում է «արդհաջիվա» տերմինը (թարգմանաբար հնդկական «արդհա» - կես և «ջիվա» - աղեղ լար): Այնուհետև այն վերածվեց «ջիվայի», իսկ արաբների մոտ այն հայտնի դարձավ որպես «ջայբ» (ուռուցք): Գիտական աշխատությունները արաբերենից Եվրոպայում ընդհանուր ընդունված լատիներեն թարգմանելիս այս տերմինը փոխարինվեց «սինուս» բառով (կռում, կորություն): Արիբհատան նաև կազմել է սինուսների մանրամասն աղյուսակ, որը զետեղվել է նրա հայտնի Սուրյա Սիդհանտա աշխատության մեջ։
Երբ VIII–IX դարերում արաբ գիտնականները սկսեցին արաբերեն թարգմանել հնդիկ մաթեմատիկոսների և աստղագետների ուսումնասիրությունները։ Իբրահիմ Ալ-Ֆազարին, որը համարվում է առաջին արաբ աստղագետը և մաթեմատիկոսը, իր որդու՝ Մուհամմեդի և մեկ այլ գիտնական Յակուբ իբն Թարիքի հետ թարգմանել է Բրահմա-սֆուտա-սիդհանտան (տրակտատի հեղինակը հնդիկ մաթեմատիկոս և աստղագետ Բրահմագուպտան էր): Թարգմանված տրակտատը կոչվել է «Մեծ Սինդհինդ» և դարձել միջնադարի բազմաթիվ գիտական աշխատությունների հիմքը։
Արաբական տրակտատներ
Եվ եռանկյունաչափության մասին առաջին իսկ աշխատությունները պատկանում են ալ-Խվարեզմիի գրչին, ով ստեղծել է «Լրացման և հակադրության գիրքը» տրակտատը («Ալ-կիթաբ ալ մուխթասար ֆի հիսաբ ալ-ջաբր վա-լ-մուկաբալա»), սկսած: որը գիտության անվանումը ստացել է «հանրահաշիվ»: Հենց այս ժամանակ էլ ի հայտ եկան եռանկյունաչափության նոր տերմինները՝ շոշափող և կոտանգենս, սեկանտ և կոսեկանս։ Արաբ մաթեմատիկոսները մշակել են հնդիկ գիտնականների գաղափարները և լրացրել դրանք իրենց թեորեմներով և եռանկյունաչափական տարբեր խնդիրների նոր լուծումներով։
Եվրոպացի գիտնականները, ովքեր ուսումնասիրել են եռանկյունաչափության սկզբունքները արաբական տրակտատներից, որոնք թարգմանվել են Լատինական լեզուԽաչակրաց արշավանքներից հետո՝ XII-XII դարերում, զգալի ներդրում են ունեցել եռանկյունաչափության՝ որպես կիրառական գիտության զարգացման գործում ոչ միայն աստղագիտության, այլև ռազմական գործի համար։ «Եռանկյունաչափություն» տերմինն ինքնին ներդրվել է գիտական աշխարհԳերմանացի Բ.Պիտիկուսը, որը 1595 թվականին հրատարակել է իր տրակտատվերնագրված Եռանկյունաչափություն կամ կարճ և հստակ տրակտատ եռանկյունների լուծման մասին։
