Կոնստանտին Կրավչիկը հստակ բացատրում է, թե ինչ է վստահության միջակայքը բժշկական հետազոտություններում և ինչպես օգտագործել այն

«Katren-Style»-ը շարունակում է հրապարակել Կոնստանտին Կրավչիկի ցիկլը բժշկական վիճակագրության վերաբերյալ։ Նախորդ երկու հոդվածներում հեղինակն անդրադարձել է այնպիսի հասկացությունների բացատրությանը, ինչպիսիք են և.

Կոնստանտին Կրավչիկ

Մաթեմատիկոս-վերլուծաբան. Ոլորտի մասնագետ վիճակագրական ուսումնասիրություններբժշկության մեջ և հումանիտար գիտություններ

Մոսկվա քաղաք

Շատ հաճախ կլինիկական փորձարկումների վերաբերյալ հոդվածներում կարող եք գտնել առեղծվածային արտահայտություն՝ «վստահության միջակայք» (95% CI կամ 95% CI - վստահության միջակայք): Օրինակ, հոդվածում կարող է ասվել. «Ուսանողի t-թեստն օգտագործվել է տարբերությունների նշանակությունը գնահատելու համար՝ հաշվարկված 95% վստահության միջակայքով»։

Ո՞րն է «95% վստահության միջակայքի» արժեքը և ինչո՞ւ հաշվարկել այն:

Ի՞նչ է վստահության միջակայքը: - Սա այն միջակայքն է, որում ընկնում են բնակչության իրական միջին արժեքները: Իսկ ի՞նչ, կան «ճշմարիտ» միջիններ։ Ինչ-որ առումով, այո, անում են: Մենք բացատրեցինք, որ անհնար է չափել հետաքրքրության պարամետրը ողջ բնակչության համար, ուստի հետազոտողները բավարարվում են սահմանափակ ընտրանքով: Այս ընտրանքում (օրինակ՝ ըստ մարմնի քաշի) կա մեկ միջին արժեք (որոշակի քաշ), որով մենք դատում ենք միջին արժեքը ողջ ընդհանուր բնակչության մեջ։ Այնուամենայնիվ, քիչ հավանական է, որ ընտրանքի միջին քաշը (հատկապես փոքր) համընկնի ընդհանուր բնակչության միջին քաշի հետ: Հետևաբար, ավելի ճիշտ է հաշվարկել և օգտագործել ընդհանուր բնակչության միջին արժեքների միջակայքը:

Օրինակ, ենթադրենք, որ հեմոգլոբինի 95% վստահության միջակայքը (95% CI) 110-ից 122 գ/լ է: Սա նշանակում է, որ 95 % հավանականությամբ, ընդհանուր բնակչության մեջ հեմոգլոբինի իրական միջին արժեքը կլինի 110-ից 122 գ/լ միջակայքում: Այլ կերպ ասած, մենք չգիտենք միջին հեմոգլոբինը ընդհանուր բնակչության մեջ, բայց մենք կարող ենք նշել այս հատկանիշի արժեքների միջակայքը 95% հավանականությամբ:

Վստահության միջակայքերը հատկապես առնչվում են խմբերի միջև եղած միջոցների տարբերությանը կամ այն, ինչ կոչվում է էֆեկտի չափ:

Ենթադրենք, մենք համեմատել ենք երկաթի երկու պատրաստուկների արդյունավետությունը՝ մեկը, որը վաղուց է եղել շուկայում, և մեկը, որը նոր է գրանցվել։ Թերապիայի կուրսից հետո գնահատվել է հեմոգլոբինի կոնցենտրացիան հիվանդների ուսումնասիրված խմբերում և վիճակագրական ծրագիրՄենք հաշվարկել ենք, որ երկու խմբերի միջին արժեքների միջև տարբերությունը 95% հավանականությամբ գտնվում է 1,72-ից մինչև 14,36 գ/լ միջակայքում (Աղյուսակ 1):

Ներդիր 1. Չափանիշ անկախ նմուշների համար
(խմբերը համեմատվում են ըստ հեմոգլոբինի մակարդակի)

Սա պետք է մեկնաբանվի հետևյալ կերպ. ընդհանուր բնակչության մի մասում, ովքեր նոր դեղամիջոց են ընդունում, հեմոգլոբինը միջինում ավելի բարձր կլինի 1,72–14,36 գ/լ-ով, քան նրանց մոտ, ովքեր արդեն հայտնի դեղամիջոց են ընդունել:

Այլ կերպ ասած, ընդհանուր բնակչության մեջ 95% հավանականությամբ խմբերում հեմոգլոբինի միջին արժեքների տարբերությունը այս սահմաններում է: Հետազոտողը պետք է դատի` սա շատ է, թե քիչ: Այս ամենի իմաստն այն է, որ մենք աշխատում ենք ոչ թե մեկ միջին արժեքով, այլ մի շարք արժեքներով, հետևաբար, մենք ավելի հուսալիորեն գնահատում ենք խմբերի միջև պարամետրի տարբերությունը։

Վիճակագրական փաթեթներում, հետազոտողի հայեցողությամբ, կարելի է ինքնուրույն նեղացնել կամ ընդլայնել վստահության միջակայքի սահմանները: Նվազեցնելով վստահության միջակայքի հավանականությունները՝ մենք նեղացնում ենք միջոցների շրջանակը։ Օրինակ, 90% CI-ի դեպքում միջինների միջակայքը (կամ միջին տարբերությունները) ավելի նեղ կլինի, քան 95% CI-ում:

Ընդհակառակը, հավանականությունը մինչև 99% մեծացնելը մեծացնում է արժեքների շրջանակը: Խմբերը համեմատելիս CI-ի ստորին սահմանը կարող է հատել զրոյական նշագիծը: Օրինակ, եթե մենք երկարացրինք վստահության միջակայքի սահմանները մինչև 99 %, ապա միջակայքի սահմանները տատանվում էին –1-ից մինչև 16 գ/լ: Սա նշանակում է, որ ընդհանուր պոպուլյացիայի մեջ կան խմբեր, որոնց միջինների տարբերությունը ուսումնասիրված հատկանիշի համար 0 է (M=0):

Վստահության միջակայքերը կարող են օգտագործվել վիճակագրական վարկածները ստուգելու համար: Եթե ​​վստահության միջակայքը հատում է զրոյական արժեքը, ապա զրոյական վարկածը, որը ենթադրում է, որ խմբերը չեն տարբերվում ուսումնասիրված պարամետրով, ճիշտ է։ Վերևում նկարագրված է մի օրինակ, երբ մենք ընդլայնեցինք սահմանները մինչև 99%: Ինչ-որ տեղ ընդհանուր բնակչության մեջ մենք գտանք խմբեր, որոնք ոչ մի կերպ չէին տարբերվում:

Հեմոգլոբինի տարբերության 95% վստահության միջակայք, (գ/լ)

Նկարը ցույց է տալիս երկու խմբերի միջև հեմոգլոբինի միջին տարբերության 95% վստահության միջակայքը որպես գիծ: Գիծն անցնում է զրոյական նիշը, հետևաբար, զրոյի հավասար միջոցների միջև կա տարբերություն, որը հաստատում է խմբերի չտարբերվելու զրոյական վարկածը։ Խմբերի միջև տարբերությունը տատանվում է -2-ից մինչև 5 գ/լ, ինչը նշանակում է, որ հեմոգլոբինը կարող է կամ նվազել 2 գ/լ-ով կամ աճել 5 գ/լ-ով:

Վստահության միջակայքը շատ կարևոր ցուցանիշ է։ Դրա շնորհիվ դուք կարող եք տեսնել, թե խմբերի տարբերություններն իրոք պայմանավորված են եղել միջոցների տարբերությամբ, թե՞ մեծ ընտրանքով, քանի որ մեծ նմուշի դեպքում տարբերություններ գտնելու հավանականությունն ավելի մեծ է, քան փոքրի դեպքում։

Գործնականում այն ​​կարող է այսպիսի տեսք ունենալ. Մենք վերցրեցինք 1000 հոգուց բաղկացած նմուշ, չափեցինք հեմոգլոբինի մակարդակը և պարզեցինք, որ միջոցների տարբերության վստահության միջակայքը տատանվում է 1,2-ից մինչև 1,5 գ/լ: Վիճակագրական նշանակության մակարդակն այս դեպքում պ

Մենք տեսնում ենք, որ հեմոգլոբինի կոնցենտրացիան ավելացել է, բայց գրեթե աննկատ, հետևաբար, վիճակագրական նշանակությունը հայտնվել է հենց ընտրանքի չափով։

Վստահության միջակայքերը կարող են հաշվարկվել ոչ միայն միջինների, այլև համամասնությունների (և ռիսկի գործակիցների) համար: Օրինակ, մեզ հետաքրքրում է այն հիվանդների համամասնությունների վստահության միջակայքը, ովքեր թողության են հասել մշակված դեղամիջոցն ընդունելիս: Ենթադրենք, որ համամասնությունների 95% CI-ն, այսինքն՝ նման հիվանդների համամասնության համար, գտնվում է 0,60-0,80 միջակայքում: Այսպիսով, կարելի է ասել, որ մեր դեղամիջոցը թերապևտիկ ազդեցություն ունի 60-ից 80% դեպքերում։

Լուծման մեթոդներից մեկը վիճակագրական առաջադրանքներվստահության միջակայքի հաշվարկն է: Այն օգտագործվում է որպես կետային գնահատման նախընտրելի այլընտրանք, երբ ընտրանքի չափը փոքր է: Հարկ է նշել, որ վստահության միջակայքի հաշվարկման գործընթացը բավականին բարդ է։ Բայց Excel ծրագրի գործիքները թույլ են տալիս որոշ չափով պարզեցնել այն։ Եկեք պարզենք, թե ինչպես է դա արվում գործնականում:

Այս մեթոդը օգտագործվում է տարբեր վիճակագրական մեծությունների միջակայքային գնահատման ժամանակ: Այս հաշվարկի հիմնական խնդիրն է ձերբազատվել կետային գնահատականի անորոշություններից։

Excel-ում այս մեթոդով հաշվարկելու երկու հիմնական տարբերակ կա՝ երբ հայտնի է շեղումը և երբ՝ անհայտ: Առաջին դեպքում ֆունկցիան օգտագործվում է հաշվարկների համար ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄ, իսկ երկրորդում ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ.ՈՒՍԱՆՈՂ.

Մեթոդ 1. ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄ ֆունկցիա

Օպերատոր ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄ, որը վերաբերում է ֆունկցիաների վիճակագրական խմբին, առաջին անգամ հայտնվել է Excel 2010-ում։ Այս ծրագրի ավելի վաղ տարբերակներն օգտագործում են իր գործընկերը։ ՎՍՏԱՀԵԼ. Այս օպերատորի խնդիրն է հաշվարկել վստահության միջակայքը նորմալ բաշխմամբ բնակչության միջինի համար:

Դրա շարահյուսությունը հետևյալն է.

ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄ (ալֆա, ստանդարտ_dev, չափ)

«Ալֆա»արգումենտ է, որը ցույց է տալիս նշանակության մակարդակը, որն օգտագործվում է վստահության մակարդակը հաշվարկելու համար: Վստահության մակարդակը հավասար է հետևյալ արտահայտությանը.

(1-«Ալֆա»)*100

«Ստանդարտ շեղում»փաստարկ է, որի էությունը պարզ է դառնում անունից. Սա ստանդարտ շեղումառաջարկվող նմուշ.

«Չափ»արգումենտ է, որը որոշում է նմուշի չափը:

Այս օպերատորի բոլոր փաստարկները պարտադիր են:

Գործառույթ ՎՍՏԱՀԵԼունի ճիշտ նույն փաստարկներն ու հնարավորությունները, ինչ նախորդը: Դրա շարահյուսությունը հետևյալն է.

TRUST (ալֆա, ստանդարտ_dev, չափ)

Ինչպես տեսնում եք, տարբերությունները միայն օպերատորի անունով են: Այս հատկությունը պահպանվել է Excel 2010-ում և ավելի նոր տարբերակներում՝ հատուկ կատեգորիայում՝ համատեղելիության նկատառումներով: «Համատեղելիություն». Excel 2007-ի և ավելի վաղ տարբերակներում այն ​​առկա է վիճակագրական օպերատորների հիմնական խմբում:

Վստահության միջակայքի սահմանը որոշվում է հետևյալ ձևի բանաձևով.

X+(-)ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄ

Որտեղ Xընտրանքային միջինն է, որը գտնվում է ընտրված միջակայքի մեջտեղում:

Հիմա եկեք տեսնենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել վստահության միջակայքը կոնկրետ օրինակ. Կատարվել է 12 թեստ, որոնց արդյունքում ստացվել են տարբեր արդյունքներ, որոնք ներկայացված են աղյուսակում։ Սա մեր ամբողջությունն է։ Ստանդարտ շեղումը 8 է: Մենք պետք է հաշվարկենք վստահության միջակայքը 97% վստահության մակարդակում:

1. Ընտրեք այն բջիջը, որտեղ կցուցադրվի տվյալների մշակման արդյունքը: Սեղմելով կոճակը «Տեղադրել գործառույթը».



2. Հայտնվում է Function Wizard. Անցեք կատեգորիա «Վիճակագրական»և նշիր անունը «ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ.ՆՈՐՄ». Դրանից հետո սեղմեք կոճակը լավ.



3. Բացվում է փաստարկների պատուհանը: Դրա դաշտերը բնականաբար համապատասխանում են փաստարկների անվանումներին:
   Տեղադրեք կուրսորը առաջին դաշտում - «Ալֆա». Այստեղ պետք է հստակեցնել նշանակության մակարդակը։ Ինչպես հիշում ենք, մեր վստահության մակարդակը 97% է։ Միևնույն ժամանակ մենք ասացինք, որ այն հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

   (1-վստահության մակարդակ)/100

   Այսինքն՝ փոխարինելով արժեքը՝ ստանում ենք.

   Պարզ հաշվարկներով պարզում ենք, որ փաստարկը «Ալֆա»հավասար է 0,03 . Մուտքագրեք այս արժեքը դաշտում:

   Ինչպես գիտեք, ստանդարտ շեղումը հավասար է 8 . Հետեւաբար, դաշտում «Ստանդարտ շեղում»պարզապես գրեք այդ թիվը:

   Դաշտում «Չափ»անհրաժեշտ է մուտքագրել կատարված թեստերի տարրերի քանակը: Ինչպես հիշում ենք, նրանք 12 . Բայց որպեսզի ավտոմատացնենք բանաձևը և ստիպված չլինենք այն խմբագրել ամեն անգամ, երբ նոր փորձարկում է կատարվում, եկեք սահմանենք այս արժեքը ընդհանուր համարը, և օգտագործելով օպերատորը ՍՏՈՒԳՈՒՄ. Այսպիսով, մենք կուրսորը դրեցինք դաշտում «Չափ», այնուհետև կտտացրեք եռանկյունին, որը գտնվում է բանաձևի տողի ձախ կողմում:

   Վերջերս օգտագործված գործառույթների ցանկը հայտնվում է: Եթե ​​օպերատորը ՍՏՈՒԳՈՒՄՁեր կողմից վերջերս օգտագործվել է, այն պետք է լինի այս ցանկում: Այս դեպքում պարզապես անհրաժեշտ է սեղմել դրա անվան վրա: Հակառակ դեպքում, եթե չեք գտնում, ապա անցեք կետին «Լրացուցիչ առանձնահատկություններ…».



4. Արդեն ծանոթ է մեզ Function Wizard. Վերադարձ դեպի խումբ «Վիճակագրական». Մենք այնտեղ ընտրում ենք անունը «ՍՏՈՒԳՈՒՄ». Սեղմեք կոճակի վրա լավ.



5. Հայտնվում է վերը նշված օպերատորի արգումենտի պատուհանը: Այս ֆունկցիան նախատեսված է նշված տիրույթում թվային արժեքներ պարունակող բջիջների քանակը հաշվարկելու համար: Դրա շարահյուսությունը հետևյալն է.

   COUNT (արժեք 1, արժեք 2,…)

   Փաստարկային խումբ «Արժեքներ»հղում է այն տիրույթին, որտեղ դուք ցանկանում եք հաշվարկել թվային տվյալներով լցված բջիջների քանակը: Ընդհանուր առմամբ, կարող է լինել մինչև 255 նման փաստարկ, բայց մեր դեպքում անհրաժեշտ է միայն մեկը։

   Տեղադրեք կուրսորը դաշտում «Արժեք 1»և, սեղմած պահելով մկնիկի ձախ կոճակը, ընտրեք թերթիկի այն միջակայքը, որը պարունակում է մեր բնակչությունը: Այնուհետև դրա հասցեն կցուցադրվի դաշտում: Սեղմեք կոճակի վրա լավ.



6. Դրանից հետո հավելվածը կկատարի հաշվարկը և արդյունքը կցուցադրի այն բջիջում, որտեղ ինքն է: Կոնկրետ մեր դեպքում բանաձևը ստացվեց հետևյալ կերպ.

   ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄԱ (0.03,8, COUNT(B2:B13))

   Հաշվարկների ընդհանուր արդյունքը եղել է 5,011609 .



7. Բայց սա դեռ ամենը չէ։ Ինչպես հիշում ենք, վստահության միջակայքի սահմանը հաշվարկվում է հաշվարկի արդյունքի միջին նմուշի արժեքից գումարելով և հանելով ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄ. Այս կերպ հաշվարկվում են վստահության միջակայքի համապատասխանաբար աջ և ձախ սահմանները։ Նմուշի միջինը ինքնին կարող է հաշվարկվել օպերատորի միջոցով ՄԻՋԻՆ.

   Այս օպերատորը նախատեսված է ընտրված թվերի միջակայքի միջին թվաբանականը հաշվարկելու համար: Այն ունի հետևյալ բավականին պարզ շարահյուսությունը.

   ՄԻՋԻՆ (թիվ 1, թիվ 2,…)

   Փաստարկ "Թիվ"կարող է լինել կամ մեկ թվային արժեք կամ հղում բջիջներին կամ նույնիսկ դրանք պարունակող ամբողջ տիրույթներին:

   Այսպիսով, ընտրեք այն բջիջը, որտեղ կցուցադրվի միջին արժեքի հաշվարկը և սեղմեք կոճակը «Տեղադրել գործառույթը».



8. բացվում է Function Wizard. Վերադարձ դեպի կատեգորիա «Վիճակագրական»և ընտրեք անուն ցուցակից «ՄԻՋԻՆ». Ինչպես միշտ, սեղմեք կոճակը լավ.



9. Փաստարկների պատուհանը գործարկվում է: Տեղադրեք կուրսորը դաշտում "Համար 1"և մկնիկի ձախ կոճակը սեղմած ընտրեք արժեքների ողջ տիրույթը: Այն բանից հետո, երբ կոորդինատները կցուցադրվեն դաշտում, սեղմեք կոճակը լավ.



10. Դրանից հետո ՄԻՋԻՆհաշվարկի արդյունքը տալիս է թերթի տարր:



11. Մենք հաշվարկում ենք վստահության միջակայքի ճիշտ սահմանը: Դա անելու համար ընտրեք առանձին բջիջ, դրեք նշանը «=» և ավելացրեք թերթիկի տարրերի բովանդակությունը, որոնցում տեղակայված են գործառույթների հաշվարկի արդյունքները ՄԻՋԻՆԵվ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄ. Հաշվարկը կատարելու համար սեղմեք կոճակը Մուտքագրեք. Մեր դեպքում ստացանք հետևյալ բանաձևը.

    Հաշվարկի արդյունքը. 6,953276



12. Նույն կերպ մենք հաշվարկում ենք վստահության միջակայքի ձախ սահմանը՝ միայն այս անգամ հաշվարկի արդյունքից. ՄԻՋԻՆհանել օպերատորի հաշվարկի արդյունքը ՎՍՏԱՀՈՒԹՅԱՆ ՆՈՐՄ. Ստացվում է հետևյալ տիպի մեր օրինակի բանաձևը.

    Հաշվարկի արդյունքը. -3,06994



13. Մենք փորձեցինք մանրամասն նկարագրել վստահության միջակայքը հաշվարկելու բոլոր քայլերը, ուստի մանրամասն նկարագրեցինք յուրաքանչյուր բանաձև: Բայց դուք կարող եք համատեղել բոլոր գործողությունները մեկ բանաձեւով. Վստահության միջակայքի ճիշտ սահմանի հաշվարկը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.

    ՄԻՋԻՆ (B2:B13)+ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ (0.03,8, COUNT(B2:B13))



14. Ձախ եզրագծի նմանատիպ հաշվարկը կունենա հետևյալ տեսքը.

    ՄԻՋԻՆ (B2:B13)-ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ.ՆՈՐՄ(0.03,8,COUNT(B2:B13))

Մեթոդ 2. TRUST.STUDENT ֆունկցիա

Բացի այդ, Excel-ում կա ևս մեկ գործառույթ, որը կապված է վստահության միջակայքի հաշվարկի հետ. ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ.ՈՒՍԱՆՈՂ. Այն հայտնվել է միայն Excel 2010-ից: Այս օպերատորը կատարում է բնակչության վստահության միջակայքի հաշվարկը՝ օգտագործելով Student-ի t-բաշխումը: Շատ հարմար է այն օգտագործել այն դեպքում, երբ շեղումը և, համապատասխանաբար, ստանդարտ շեղումը անհայտ են։ Օպերատորի շարահյուսությունը հետևյալն է.

TRUST.STUDENT (ալֆա, ստանդարտ_dev, չափ)

Ինչպես տեսնում եք, օպերատորների անուններն այս դեպքում մնացել են անփոփոխ։

Տեսնենք, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել վստահության միջակայքի սահմանները անհայտ ստանդարտ շեղումով, օգտագործելով նույն բնակչության օրինակը, որը մենք դիտարկել ենք նախորդ մեթոդով: Վստահության մակարդակը, ինչպես նախորդ անգամ, մենք կվերցնենք 97%:

1. Ընտրեք այն բջիջը, որտեղ կկատարվի հաշվարկը: Սեղմեք կոճակի վրա «Տեղադրել գործառույթը».



2. Բացվածի մեջ Function Wizardգնալ կատեգորիա «Վիճակագրական». Ընտրեք անուն «ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ.ՈՒՍԱՆՈՂ». Սեղմեք կոճակի վրա լավ.



3. Գործարկվում է նշված օպերատորի արգումենտի պատուհանը:

   Դաշտում «Ալֆա», հաշվի առնելով, որ վստահության մակարդակը 97% է, մենք գրում ենք թիվը 0,03 . Երկրորդ անգամ մենք չենք կանգնի այս պարամետրի հաշվարկման սկզբունքների վրա:

   Դրանից հետո դրեք կուրսորը դաշտում «Ստանդարտ շեղում». Այս անգամ այս ցուցանիշը մեզ անհայտ է, և այն պետք է հաշվարկվի։ Դա արվում է հատուկ գործառույթի միջոցով. STDEV.B. Այս օպերատորի պատուհանը կանչելու համար կտտացրեք բանաձևի տողի ձախ կողմում գտնվող եռանկյունին: Եթե ​​բացվող ցանկում չենք գտնում ցանկալի անունը, ապա անցեք կետին «Լրացուցիչ առանձնահատկություններ…».



4. վազում է Function Wizard. Անցում դեպի կատեգորիա «Վիճակագրական»և նշիր անունը «STDEV.B». Այնուհետև սեղմեք կոճակը լավ.



5. Փաստարկների պատուհանը բացվում է: օպերատորի առաջադրանքը STDEV.Bնմուշառման ստանդարտ շեղման սահմանումն է: Դրա շարահյուսությունն ունի հետևյալ տեսքը.

   STDEV.V (համար 1, համար 2,…)

   Հեշտ է կռահել, որ փաստարկը "Թիվ"ընտրության տարրի հասցեն է: Եթե ​​ընտրությունը տեղադրված է մեկ զանգվածում, ապա օգտագործելով միայն մեկ արգումենտ, կարող եք հղում տալ այս տիրույթին:

   Տեղադրեք կուրսորը դաշտում "Համար 1"և ինչպես միշտ, սեղմած պահելով մկնիկի ձախ կոճակը, ընտրեք հավաքածուն: Կոորդինատները դաշտում լինելուց հետո մի շտապեք սեղմել կոճակը լավքանի որ արդյունքը սխալ կլինի: Նախ պետք է վերադառնանք օպերատորի փաստարկների պատուհանին ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ.ՈՒՍԱՆՈՂվերջնական փաստարկ ներկայացնելու համար. Դա անելու համար կտտացրեք բանաձևի տողում գտնվող համապատասխան անունը:



6. Արդեն ծանոթ ֆունկցիայի արգումենտի պատուհանը նորից բացվում է։ Տեղադրեք կուրսորը դաշտում «Չափ». Կրկին կտտացրեք մեզ արդեն ծանոթ եռանկյունին, որպեսզի անցնեք օպերատորների ընտրությանը: Ինչպես հասկանում եք, մեզ անուն է պետք «ՍՏՈՒԳՈՒՄ». Քանի որ մենք օգտագործել ենք այս գործառույթը նախորդ մեթոդի հաշվարկներում, այն առկա է այս ցանկում, ուստի պարզապես սեղմեք դրա վրա: Եթե ​​դուք չեք գտնում այն, ապա հետևեք առաջին մեթոդով նկարագրված ալգորիթմին:



7. Մտնելով փաստարկների պատուհան ՍՏՈՒԳՈՒՄ, կուրսորը դրեք դաշտում "Համար 1"և սեղմած մկնիկի կոճակով ընտրեք հավաքածուն: Այնուհետև սեղմեք կոճակը լավ.



8. Դրանից հետո ծրագիրը հաշվարկում և ցուցադրում է վստահության միջակայքի արժեքը:



9. Սահմանները որոշելու համար մենք կրկին պետք է հաշվարկենք ընտրանքի միջինը: Բայց, հաշվի առնելով, որ հաշվարկի ալգորիթմը օգտագործելով բանաձեւը ՄԻՋԻՆնույնը, ինչ նախորդ մեթոդով, և նույնիսկ արդյունքը չի փոխվել, մենք երկրորդ անգամ մանրամասն չենք անդրադառնա դրա վրա:



10. Հաշվարկի արդյունքների գումարում ՄԻՋԻՆԵվ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ.ՈՒՍԱՆՈՂ, մենք ստանում ենք վստահության միջակայքի ճիշտ սահմանը:



11. Օպերատորի հաշվարկի արդյունքներից հանում ՄԻՋԻՆհաշվարկի արդյունքը ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ.ՈՒՍԱՆՈՂ, մենք ունենք վստահության միջակայքի ձախ սահմանը:



12. Եթե ​​հաշվարկը գրված է մեկ բանաձևով, ապա ճիշտ եզրագծի հաշվարկը մեր դեպքում կունենա հետևյալ տեսքը.

    ՄԻՋԻՆ (B2:B13)+ՈՒՍԱՆՈՂԱԿԱՆ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ (0.03, STDV(B2:B13), COUNT(B2:B13))



13. Ըստ այդմ, ձախ եզրագիծը հաշվարկելու բանաձևը կունենա հետևյալ տեսքը.

    ՄԻՋԻՆ (B2:B13)-ՈՒՍԱՆՈՂԱԿԱՆ ՎՍՏԱՀՈՒԹՅՈՒՆ (0.03, STDV(B2:B13), COUNT(B2:B13))

Ինչպես տեսնում եք, Excel ծրագրի գործիքները հնարավորություն են տալիս զգալիորեն հեշտացնել վստահության միջակայքի և դրա սահմանների հաշվարկը։ Այդ նպատակների համար առանձին օպերատորներ են օգտագործվում նմուշների համար, որոնց շեղումը հայտնի է և անհայտ:

Ինտերվալների գնահատման օրինակ է վստահության միջակայք.Վստահության միջակայքը այն հատվածն է, որի կենտրոնը թվային բնութագրիչի կետային գնահատումն է՝ ներառյալ տվյալ թվային բնութագրի իրական արժեքը տվյալ հավանականությամբ: Այս հավանականությունը կոչվում է վստահության հավանականությունը.Այսպիսով, վստահության միջակայքը գնահատման ճշգրտության չափանիշ է, իսկ վստահության հավանականությունը բնութագրում է դրա հուսալիությունը: Վստահության միջակայքի չափը կախված է նրանից, թե վստահության հավանականության ինչ արժեք է տալիս փորձարարը: Որքան բարձր է վստահության մակարդակը, այնքան ավելի լայն պետք է լինի միջակայքը, որպեսզի ներառի թվային բնութագրի իրական արժեքը տվյալ հավանականությամբ: Հաճախ ընտրվում է P d = 0,95 վստահության արժեքը՝ այդպիսով հավատալով, որ այդ արժեքը բավականաչափ մեծ է՝ համարելու համար, որ վստահության միջակայքը «գրեթե միշտ» ծածկում է իրական արժեքը: Միայն երբեմն պատասխանատու և շատ պատասխանատու հետազոտության դեպքում ենթադրվում է համապատասխանաբար P d = 0,99 և 0,999:

Վստահության միջակայքի կառուցման ընթացակարգը ներառում է երկու քայլ.

Ոմանց մասին հավանական հայտարարություն գրելը պատահական ֆունկցիա, որը ներառում է գնահատման տարբերությունը կամ հարաբերակցությունը և թվային բնութագիրը։ Նման ֆունկցիան կրում է տեղեկատվություն նշված արժեքների մերձեցման աստիճանի մասին։ Անհրաժեշտ է, որ ֆունկցիայի բաշխման օրենքը հայտնի լինի.

Հավանական պնդումը վերածվում է մի ձևի, որտեղ թվային բնութագրիչի վստահության միջակայքի սահմանները ներկայացված են բացահայտ ձևով:

Հայտնի բաշխմամբ գործառույթների օրինակները, որոնք բավարարում են պահանջվող պահանջները, հետևյալն են.

ունենալով նորմալ բաշխում, եթե X-ի արժեքը սովորաբար բաշխված է, և հայտնի է s[X]-ի արժեքը.

2) (3.25)

Ունենալով Ուսանողի բաշխում c m = N-1, եթե X-ի արժեքը սովորաբար բաշխված է, և s[X]-ի արժեքը նախապես հայտնի չէ, բայց դրա գնահատումը կարելի է ստանալ փորձարարական տվյալներից՝ օգտագործելով (3.23) բանաձևը.

3) (3.26)

ունենալով Pearson բաշխում m = N-1-ով, եթե X-ի արժեքը սովորաբար բաշխված է:

Հիշեցնենք, որ m բաշխման պարամետրերը ազատության աստիճանների թվերն են: Բացի այդ, այստեղ օգտագործվում են հետևյալ նշումները. - միջին թվաբանական արժեք, - արմատի միջին քառակուսի արժեքը հավասար է դիսպերսիայի քառակուսի արմատին, [X] - շրջանակի միջին արժեքի գնահատումը, որը սահմանվում է որպես շեղումների անաչառ գնահատման քառակուսի արմատ, N - ընտրանքի չափը:

Z և t ֆունկցիաները կարող են օգտագործվել վստահության միջակայք կառուցելու համար մաթեմատիկական ակնկալիք, մինչդեռ c 2 ֆունկցիան օգտագործվում է դիսպերսիայի համար վստահության միջակայք կառուցելու համար։

Եկեք կառուցենք վստահության միջակայք մաթեմատիկական ակնկալիքի համար, պայմանով, որ մենք մեր տրամադրության տակ ունենք նորմալ բաշխված X մեծության N դիտարկումների արդյունքները, իսկ միջին քառակուսի արժեքը նախապես հայտնի է անկախ դիտարկումներից: Քանի որ Z ֆունկցիան սովորաբար բաշխված է, դուք կարող եք օգտագործել համապատասխան աղյուսակը z a-ի արժեքը որոշելու համար, որպեսզի դուրս - z a և + z a-ից դուրս լինի բաշխման կորի տակ գտնվող տարածքի մի մասը՝ գումարի չափով, մինչդեռ [-z a,+ z a]-ի սահմաններում կա տարածքի մի մասը, որը հավասար է 1-a-ի: Քիչ առաջ ասվածը համապատասխանում է հետևյալ հավանականական պնդմանը.

Р(- z a £ £+z a )= 1-a. (3.27)

(Գանգուր փակագծերում փակված անհավասարության կատարման հավանականությունը 1-ա է): Փակագծերում տրված արտահայտությունը փոխակերպենք.

Р(-z ա )= 1 - ա

1-a = Рd արժեքը մենք անվանում ենք վստահության հավանականություն Р d: Համաձայն (3.28) այս վստահության հավանականության դեպքում M[X]-ի վստահության միջակայքը տրվում է սահմաններով.

. (3.29)

Մեկնաբանություն:Ցավոք, սեղանները նորմալ բաշխումտարբեր գրքերում տարբեր կերպ են կառուցված: Երբեմն տրվում է հավանականության ինտեգրալը

Ф(z) =

Ենթադրենք, մենք ունենք մեծ թվով իրեր՝ որոշ բնութագրերի նորմալ բաշխմամբ (օրինակ՝ նույն տեսակի բանջարեղենի ամբողջական պահեստ, որի չափերն ու քաշը տարբեր են)։ Դուք ցանկանում եք իմանալ ապրանքների ամբողջ խմբաքանակի միջին բնութագրերը, բայց ոչ ժամանակ ունեք, ոչ էլ հակվածություն չափելու և կշռելու յուրաքանչյուր բանջարեղեն: Դուք հասկանում եք, որ դա անհրաժեշտ չէ։ Բայց քանի՞ կտոր պետք է վերցնեք պատահական ստուգման համար: Նախքան այս իրավիճակի համար օգտակար որոշ բանաձևեր տալը, մենք հիշում ենք որոշ նշում: Նախ, եթե մենք իսկապես չափեինք բանջարեղենի ամբողջ պահեստը (տարրերի այս հավաքածուն կոչվում է ընդհանուր պոպուլյացիան), ապա մենք մեզ հասանելի ողջ ճշգրտությամբ կպարզեինք ամբողջ խմբաքանակի քաշի միջին արժեքը: Սա անվանենք միջին X միջին գեն. - ընդհանուր միջին. Մենք արդեն գիտենք, թե ինչն է ամբողջությամբ որոշված, եթե հայտնի են դրա միջին արժեքը և շեղումը: Ճիշտ է, առայժմ մեզ հայտնի չէ ոչ միջին X գենը, ոչ էլ ընդհանուր պոպուլյացիայի s: Մենք կարող ենք միայն որոշ նմուշ վերցնել, չափել մեզ անհրաժեշտ արժեքները և այս նմուշի համար հաշվարկել ինչպես միջին X միջին արժեքը, այնպես էլ S vyb ստանդարտ շեղումը: Հայտնի է, որ եթե մեր ընտրանքային ստուգումը պարունակում է մեծ թվով տարրեր (սովորաբար n-ն ավելի քան 30), և դրանք իսկապես պատահական են վերցվում, ապա բնակչության s-ն գրեթե չի տարբերվի S նմուշներից: Բացի այդ, նորմալ բաշխման դեպքում կարող ենք օգտագործել հետևյալ բանաձևերը.

95% հավանականությամբ

99% հավանականությամբ

.

IN ընդհանուր տեսարանР(t) հավանականությամբ

t-ի արժեքի և P(t) հավանականության արժեքի հարաբերությունը, որով մենք ցանկանում ենք իմանալ վստահության միջակայքը, կարելի է վերցնել հետևյալ աղյուսակից.

P(t)	0,683	0,950	0,954	0,990	0,997
տ	1,00	1,96	2,00	2,58	3,00

Այսպիսով, մենք որոշել ենք, թե ինչ միջակայքում է գտնվում ընդհանուր բնակչության միջին արժեքը (տվյալ հավանականությամբ):

Եթե ​​մենք չունենք բավականաչափ մեծ նմուշ, մենք չենք կարող պնդել, որ պոպուլյացիան ունի s = S նմուշներ: Բացի այդ, այս դեպքում խնդրահարույց է նմուշի մոտ լինելը նորմալ բաշխմանը: Այս դեպքում բանաձևում օգտագործեք նաև S-ը s-ի փոխարեն.

բայց t-ի արժեքը հաստատուն հավանականության համար P(t)-ը կախված կլինի n նմուշի տարրերի քանակից: Որքան մեծ լինի n-ը, այնքան ավելի մոտ կլինի ստացված վստահության միջակայքը (1) բանաձևով տրված արժեքին: T արժեքներն այս դեպքում վերցված են մեկ այլ աղյուսակից (Student's t-test), որը մենք ներկայացնում ենք ստորև.

Ուսանողի t-test արժեքները 0,95 և 0,99 հավանականության համար 

n	Պ		n	Պ
	0.95	0.99		0.95	0.99
2	12.71	63.66	18	2.11	2.90
3	4.30	9.93	19	2.10	2.88
4	3.18	5.84	20	2.093	2.861
5	2.78	4.60	25	2.064	2.797
6	2.57	4.03	30	2.045	2.756
7	2.45	3.71	35	2.032	2.720
8	2.37	3.50	40	2.022	2.708
9	2.31	3.36	45	2.016	2.692
10	2.26	3.25	50	2.009	2.679
11	2.23	3.17	60	2.001	2.662
12	2.20	3.11	70	1.996	2.649
13	2.18	3.06	80	1.991	2.640
14	2.16	3.01	90	1.987	2.633
15	2.15	2.98	100	1.984	2.627
16	2.13	2.95	120	1.980	2.617
17	2.12	2.92	>120	1.960	2.576

Օրինակ 3Ընկերության աշխատակիցներից պատահականության սկզբունքով ընտրվել է 30 մարդ։ Ըստ ընտրանքի՝ պարզվել է, որ միջին աշխատավարձը (ամսական) կազմում է 10 հազար ռուբլի՝ 3 հազար ռուբլի միջին քառակուսի շեղումով։ 0,99 հավանականությամբ որոշել միջին աշխատավարձը ֆիրմայում: Լուծում:Ըստ պայմանի, մենք ունենք n = 30, X տես. =10000, S=3000, P=0,99: Վստահության միջակայքը գտնելու համար օգտագործում ենք Ուսանողի չափանիշին համապատասխան բանաձեւը. Համաձայն n \u003d 30 և P \u003d 0.99 աղյուսակի, մենք գտնում ենք t \u003d 2.756, հետևաբար,

դրանք. ցանկալի վստահության միջակայքը 27484< Х ср.ген < 32516.

Այսպիսով, 0,99 հավանականությամբ կարելի է պնդել, որ միջակայքը (27484; 32516) պարունակում է ընկերությունում միջին աշխատավարձը։
Հուսով ենք, որ դուք կօգտագործեք այս մեթոդը, առանց անպայման ձեզ հետ աղյուսակ ունենալու ամեն անգամ: Հաշվարկները կարող են իրականացվել ինքնաբերաբար Excel-ում: Excel ֆայլում գտնվելու ժամանակ սեղմեք վերևի ընտրացանկի fx կոճակը: Այնուհետև գործառույթներից ընտրեք «վիճակագրական» տեսակը, իսկ վանդակում առաջարկվող ցանկից՝ STEUDRASP: Այնուհետև, հուշման դեպքում, կուրսորը տեղադրելով «հավանականություն» դաշտում, մուտքագրեք փոխադարձ հավանականության արժեքը (այսինքն, մեր դեպքում 0,95 հավանականության փոխարեն անհրաժեշտ է մուտքագրել 0,05 հավանականությունը): Ըստ երևույթին, աղյուսակը նախագծված է այնպես, որ արդյունքը պատասխանի այն հարցին, թե որքանով է հավանական, որ մենք կարող ենք սխալվել: Նմանապես, «ազատության աստիճան» դաշտում մուտքագրեք ձեր նմուշի արժեքը (n-1):

Վստահության միջակայքը մաթեմատիկական ակնկալիքների համար - սա տվյալների հիման վրա հաշվարկված այնպիսի միջակայք է, որը հայտնի հավանականությամբ պարունակում է ընդհանուր բնակչության մաթեմատիկական ակնկալիքը: Մաթեմատիկական ակնկալիքի բնական գնահատականը նրա դիտարկված արժեքների միջին թվաբանականն է: Ուստի հետագա դասի ընթացքում մենք կօգտագործենք «միջին», «միջին արժեք» տերմինները։ Վստահության միջակայքի հաշվարկման խնդիրներում ամենից հաճախ պահանջվող պատասխանն է՝ «Միջին թվի [արժեքը կոնկրետ խնդրի] վստահության միջակայքը [ցածր արժեքից] մինչեւ [ավելի բարձր արժեք] է»։ Վստահության միջակայքի օգնությամբ հնարավոր է գնահատել ոչ միայն միջին արժեքները, այլև ընդհանուր բնակչության այս կամ այն ​​հատկանիշի տեսակարար կշիռը։ Դասում վերլուծվում են միջին արժեքները, շեղումը, ստանդարտ շեղումը և սխալը, որոնց միջոցով մենք կգանք նոր սահմանումների և բանաձևերի. Նմուշի և բնակչության բնութագրերը .

Միջին կետի և միջակայքի գնահատումները

Եթե ​​ընդհանուր բնակչության միջին արժեքը գնահատվում է թվով (կետով), ապա դիտումների ընտրանքից հաշվարկված հատուկ միջինը վերցվում է որպես ընդհանուր բնակչության անհայտ միջինի գնահատում: Այս դեպքում նմուշի միջին արժեքն է պատահական փոփոխական- չի համընկնում ընդհանուր բնակչության միջին արժեքի հետ: Ուստի նմուշի միջին արժեքը նշելիս անհրաժեշտ է միաժամանակ նշել նաև ընտրանքի սխալը։ Ստանդարտ սխալը օգտագործվում է որպես նմուշառման սխալի չափում, որն արտահայտվում է նույն միավորներով, ինչ միջինը: Հետևաբար, հաճախ օգտագործվում է հետևյալ նշումը.

Եթե ​​միջինի գնահատականը պետք է կապված լինի որոշակի հավանականության հետ, ապա ընդհանուր հետաքրքրություն ներկայացնող բնակչության պարամետրը պետք է գնահատվի ոչ թե մեկ թվով, այլ ընդմիջումով: Վստահության միջակայքը այն միջակայքն է, որի դեպքում որոշակի հավանականությամբ. Պհայտնաբերված է ընդհանուր բնակչության գնահատված ցուցանիշի արժեքը. Վստահության ինտերվալ, որում հավանականությունը Պ = 1 - α պատահական փոփոխական է, որը հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

,

α = 1 - Պ, որը կարելի է գտնել վիճակագրության վերաբերյալ գրեթե ցանկացած գրքի հավելվածում։

Գործնականում պոպուլյացիայի միջինը և շեղումը հայտնի չեն, ուստի պոպուլյացիայի շեղումը փոխարինվում է ընտրանքային շեղումով, իսկ պոպուլյացիայի միջինը՝ ընտրանքային միջինով: Այսպիսով, վստահության միջակայքը շատ դեպքերում հաշվարկվում է հետևյալ կերպ.

.

Վստահության միջակայքի բանաձևը կարող է օգտագործվել պոպուլյացիայի միջինը գնահատելու համար, եթե

• հայտնի է ընդհանուր բնակչության ստանդարտ շեղումը.
• կամ պոպուլյացիայի ստանդարտ շեղումը հայտնի չէ, բայց ընտրանքի չափը 30-ից մեծ է:

Ընտրանքային միջինը բնակչության միջինի անաչառ գնահատումն է: Իր հերթին, ընտրանքի շեղումը բնակչության շեղումների անաչառ գնահատական ​​չէ: Ընտրանքի շեղումների բանաձևում բնակչության շեղման անաչառ գնահատական ​​ստանալու համար ընտրանքի չափն է nպետք է փոխարինվի n-1.

Օրինակ 1Տեղեկություններ են հավաքվում որոշակի քաղաքի 100 պատահական ընտրված սրճարաններից, որոնցում աշխատողների միջին թիվը 10,5 է՝ 4,6 ստանդարտ շեղումով։ Որոշեք սրճարանի աշխատակիցների թվի 95%-ի վստահության միջակայքը:

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Այսպիսով, սրճարանի աշխատողների միջին թվի 95% վստահության միջակայքը եղել է 9,6-ից 11,4-ի սահմաններում։

Օրինակ 2 64 դիտարկումների ընդհանուր բնակչության պատահական ընտրանքի համար հաշվարկվել են հետևյալ ընդհանուր արժեքները.

դիտարկումների արժեքների գումարը,

արժեքների քառակուսի շեղումների գումարը միջինից .

Հաշվարկեք 95% վստահության միջակայքը ակնկալվող արժեքի համար:

հաշվարկել ստանդարտ շեղումը.

,

հաշվարկել միջին արժեքը.

.

Արտահայտության արժեքները փոխարինեք վստահության միջակայքով.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Մենք ստանում ենք.

Այսպիսով, այս ընտրանքի մաթեմատիկական ակնկալիքի 95% վստահության միջակայքը տատանվել է 7,484-ից մինչև 11,266:

Օրինակ 3 100 դիտարկումների ընդհանուր բնակչության պատահական ընտրանքի համար հաշվարկվել է 15.2 միջին արժեքը և 3.2 ստանդարտ շեղումը: Հաշվարկեք 95% վստահության միջակայքը ակնկալվող արժեքի համար, ապա 99% վստահության միջակայքը: Եթե ​​նմուշի հզորությունը և դրա տատանումները մնան նույնը, բայց վստահության գործակիցը մեծանա, վստահության միջակայքը կնվազի՞, թե՞ ընդլայնվի:

Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք վստահության միջակայքի արտահայտությամբ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,05 .

Մենք ստանում ենք.

.

Այսպիսով, 95% վստահության միջակայքը այս նմուշի միջինի համար եղել է 14,57-ից մինչև 15,82:

Կրկին, մենք այս արժեքները փոխարինում ենք վստահության միջակայքի արտահայտության մեջ.

որտեղ է ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նշանակության մակարդակի համար α = 0,01 .

Մենք ստանում ենք.

.

Այսպիսով, 99% վստահության միջակայքը այս ընտրանքի միջինի համար եղել է 14,37-ից մինչև 16,02:

Ինչպես տեսնում եք, վստահության գործակիցը մեծանալով, ստանդարտ նորմալ բաշխման կրիտիկական արժեքը նույնպես մեծանում է, և, հետևաբար, միջակայքի սկզբի և վերջի կետերը գտնվում են միջինից ավելի հեռու, և, հետևաբար, մաթեմատիկական ակնկալիքի վստահության միջակայքը մեծանում է:

Հատուկ ծանրության կետային և միջակայքային գնահատումներ

Նմուշի որոշ առանձնահատկությունների մասնաբաժինը կարող է մեկնաբանվել որպես բաժնետոմսի կետային գնահատում էջնույն հատկանիշը ընդհանուր բնակչության մեջ: Եթե ​​այս արժեքը պետք է կապված լինի հավանականության հետ, ապա պետք է հաշվարկվի տեսակարար կշռի վստահության միջակայքը: էջհատկանիշը ընդհանուր բնակչության մեջ հավանականությամբ Պ = 1 - α :

.

Օրինակ 4Որոշակի քաղաքում երկու թեկնածու կա ԱԵվ Բառաջադրվել է քաղաքապետի պաշտոնում. Պատահականության սկզբունքով հարցվել է քաղաքի 200 բնակիչ, որոնցից 46%-ը պատասխանել է, որ կքվեարկի թեկնածուի օգտին. Ա, 26%՝ թեկնածուի համար Բիսկ 28%-ը չգիտի, թե ում է ձայն տալու։ Որոշեք 95% վստահության միջակայքը քաղաքի բնակիչների համամասնության համար, ովքեր աջակցում են թեկնածուին Ա.