Այսպիսով, եթե թվային արտահայտությունը կազմված է թվերից և նշաններից +, −, · և:, ապա ձախից աջ հերթականությամբ, նախ պետք է կատարել բազմապատկում և բաժանում, իսկ հետո գումարում և հանում, ինչը թույլ կտա գտնել ցանկալիը։ արտահայտության արժեքը.

Պարզաբանման համար նայենք մի քանի օրինակների:

Օրինակ.

Հաշվի՛ր 14−2·15:6−3 արտահայտության արժեքը։

Լուծում.

Արտահայտության արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է կատարել դրանում նշված բոլոր գործողությունները՝ համաձայն այդ գործողությունների կատարման ընդունված կարգի: Նախ, ձախից աջ հերթականությամբ կատարում ենք բազմապատկում և բաժանում, ստանում ենք 14−2 15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Այժմ ձախից աջ հերթականությամբ կատարում ենք մնացած գործողությունները՝ 14−5−3=9−3=6 ։ Այսպիսով, մենք գտանք սկզբնական արտահայտության արժեքը, այն հավասար է 6-ի:

Պատասխան.

14−2 15:6−3=6։

Օրինակ.

Գտեք արտահայտության արժեքը.

Լուծում.

Այս օրինակում նախ պետք է կատարենք 2 (−7) բազմապատկումը և արտահայտության մեջ բազմապատկմամբ բաժանումը: Հիշելով ինչպես , մենք գտնում ենք 2 (−7)=−14: Եվ արտահայտության մեջ գործողություններ կատարելու համար նախ , ապա , և կատարել՝ .

Ստացված արժեքները փոխարինում ենք սկզբնական արտահայտության մեջ.

Բայց ի՞նչ կասեք, երբ արմատի նշանի տակ թվային արտահայտություն կա: Նման արմատի արժեքը ստանալու համար նախ պետք է գտնել արմատային արտահայտության արժեքը՝ հետևելով գործողությունների ընդունված կարգին։ Օրինակ, .

Թվային արտահայտություններում արմատները պետք է ընկալվեն որպես որոշ թվեր, և խորհուրդ է տրվում անմիջապես փոխարինել արմատները իրենց արժեքներով, այնուհետև գտնել ստացված արտահայտության արժեքը առանց արմատների՝ կատարելով գործողություններ ընդունված հաջորդականությամբ:

Օրինակ.

Գտի՛ր արմատներով արտահայտության արժեքը:

Լուծում.

Նախ, գտեք արմատի արժեքը . Դա անելու համար, նախ, մենք հաշվարկում ենք արմատական ​​արտահայտության արժեքը, մենք ունենք −2 3−1+60:4=−6−1+15=8. Եվ երկրորդ, մենք գտնում ենք արմատի արժեքը:

Հիմա եկեք հաշվարկենք երկրորդ արմատի արժեքը սկզբնական արտահայտությունից՝ .

Վերջապես, մենք կարող ենք գտնել սկզբնական արտահայտության արժեքը՝ փոխարինելով արմատները իրենց արժեքներով.

Պատասխան.

Շատ հաճախ, որպեսզի հնարավոր լինի գտնել արմատներով արտահայտության արժեքը, նախ պետք է այն փոխարկել: Եկեք ցույց տանք լուծման օրինակ:

Օրինակ.

Ո՞րն է արտահայտության իմաստը .

Լուծում.

Մենք չենք կարողանում երեքի արմատը փոխարինել իր ճշգրիտ արժեքով, ինչը մեզ թույլ չի տալիս հաշվարկել այս արտահայտության արժեքը վերը նկարագրված եղանակով։ Այնուամենայնիվ, մենք կարող ենք հաշվարկել այս արտահայտության արժեքը՝ կատարելով պարզ փոխակերպումներ։ Կիրառելի քառակուսիների տարբերության բանաձևը: Հաշվի առնելով՝ մենք ստանում ենք . Այսպիսով, սկզբնական արտահայտության արժեքը 1 է:

Պատասխան.

.

Աստիճաններով

Եթե ​​հիմքը և աստիճանը թվեր են, ապա դրանց արժեքը հաշվարկվում է աստիճանի սահմանմամբ, օրինակ՝ 3 2 =3 3=9 կամ 8 −1 =1/8 ։ Կան նաև գրառումներ, երբ հիմքը և/կամ ցուցիչը որոշ արտահայտություններ են: Այս դեպքերում դուք պետք է գտնեք արտահայտության արժեքը հիմքում, արտահայտության արժեքը ցուցիչում, այնուհետև հաշվարկեք հենց աստիճանի արժեքը:

Օրինակ.

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը ձևի ուժերով 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4.

Լուծում.

Բնօրինակ արտահայտությունն ունի երկու հզորություն 2 3 4−10 և (1−1/2) 3.5−2 1/4: Նրանց արժեքները պետք է հաշվարկվեն մնացած քայլերը կատարելուց առաջ:

Սկսենք 2 3·4−10 հզորությունից: Նրա ցուցիչը պարունակում է թվային արտահայտություն, եկեք հաշվարկենք դրա արժեքը՝ 3·4−10=12−10=2 ։ Այժմ դուք կարող եք գտնել աստիճանի արժեքը՝ 2 3 4−10 =2 2 =4:

Հիմքում և ցուցիչում կան արտահայտություններ (1−1/2) 3.5−2 1/4, մենք հաշվարկում ենք դրանց արժեքները, որպեսզի հետագայում գտնենք աստիճանի արժեքը։ Մենք ունենք (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Այժմ մենք վերադառնում ենք սկզբնական արտահայտությանը, դրանում առկա աստիճանները փոխարինում ենք իրենց արժեքներով և գտնում ենք մեզ անհրաժեշտ արտահայտության արժեքը. 2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 = 4+16 1/8=4+2=6.

Պատասխան.

2 3 4−10 +16 (1−1/2) 3,5−2 1/4 =6.

Հարկ է նշել, որ կան ավելի հաճախ հանդիպող դեպքեր, երբ նպատակահարմար է անցկացնել նախնական արտահայտման պարզեցում լիազորություններովհիմքի վրա.

Օրինակ.

Գտեք արտահայտության արժեքը .

Լուծում.

Դատելով այս արտահայտության ցուցիչներից, աստիճանների ճշգրիտ արժեքները հնարավոր չէ ստանալ: Փորձենք պարզեցնել բնօրինակ արտահայտությունը, գուցե դա օգնի գտնել դրա արժեքը։ Մենք ունենք

Պատասխան.

.

Արտահայտությունների ուժերը հաճախ զուգորդվում են լոգարիթմների հետ, բայց մենք կխոսենք դրանցից մեկում լոգարիթմներով արտահայտությունների արժեքները գտնելու մասին:

Կոտորակներով արտահայտության արժեքը գտնելը

Թվային արտահայտությունները իրենց գրառման մեջ կարող են պարունակել կոտորակներ: Երբ պահանջվում է գտնել նման արտահայտության արժեքը, այլ կոտորակներ, քան սովորական կոտորակներ, դուք պետք է դրանք փոխարինեք իրենց արժեքներով, նախքան մնացած քայլերը կատարելը:

Կոտորակների համարիչն ու հայտարարը (որոնք տարբերվում են սովորական կոտորակներից) կարող են պարունակել և՛ որոշ թվեր, և՛ արտահայտություններ։ Նման կոտորակի արժեքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել արտահայտության արժեքը համարիչում, հաշվարկել արտահայտության արժեքը հայտարարի մեջ և այնուհետև հաշվել հենց կոտորակի արժեքը։ Այս կարգը բացատրվում է նրանով, որ a/b կոտորակը, որտեղ a-ն և b-ը որոշ արտահայտություններ են, իրականում (a):(b) ձևի քանորդն է, քանի որ .

Դիտարկենք լուծման օրինակ.

Օրինակ.

Գտի՛ր կոտորակներով արտահայտության արժեքը .

Լուծում.

Բնօրինակ թվային արտահայտության մեջ երեք կոտորակ Եվ . Բնօրինակ արտահայտության արժեքը գտնելու համար մեզ նախ անհրաժեշտ են այս կոտորակները և փոխարինել դրանք իրենց արժեքներով: Եկեք անենք դա.

Կոտորակի համարիչն ու հայտարարը թվեր են: Նման կոտորակի արժեքը գտնելու համար մենք կոտորակային բարը փոխարինում ենք բաժանման նշանով և կատարում ենք հետևյալ գործողությունը. .

Կոտորակի համարիչը պարունակում է 7−2 3 արտահայտությունը, նրա արժեքը հեշտ է գտնել՝ 7−2 3=7−6=1։ Այսպիսով, . Դուք կարող եք շարունակել գտնել երրորդ կոտորակի արժեքը:

Համարի և հայտարարի երրորդ կոտորակը պարունակում է թվային արտահայտություններ, հետևաբար, նախ պետք է հաշվարկել դրանց արժեքները, և դա թույլ կտա գտնել բուն կոտորակի արժեքը: Մենք ունենք .

Մնում է գտնված արժեքները փոխարինել սկզբնական արտահայտությամբ և կատարել մնացած քայլերը.

Պատասխան.

.

Հաճախ, կոտորակներով արտահայտությունների արժեքները գտնելիս պետք է կատարել կոտորակային արտահայտությունների պարզեցում, կոտորակների հետ գործողությունների կատարման և կոտորակների կրճատման հիման վրա։

Օրինակ.

Գտեք արտահայտության արժեքը .

Լուծում.

Հինգի արմատն ամբողջությամբ հանված չէ, ուստի սկզբնական արտահայտության արժեքը գտնելու համար նախ պարզեցնենք այն։ Սրա համար ազատվել հայտարարի իռացիոնալությունիցառաջին կոտորակ. . Դրանից հետո բնօրինակ արտահայտությունը կվերցնի ձևը . Կոտորակները հանելուց հետո արմատները կվերանան, ինչը թույլ կտա մեզ գտնել սկզբնական տրված արտահայտության արժեքը՝.

Պատասխան.

.

Լոգարիթմներով

Եթե ​​թվային արտահայտությունը պարունակում է , և եթե հնարավոր է ազատվել դրանցից, ապա դա արվում է այլ գործողություններ կատարելուց առաջ։ Օրինակ՝ log 2 4+2 3 արտահայտության արժեքը գտնելիս log 2 4 լոգարիթմը փոխարինվում է նրա 2 արժեքով, որից հետո մնացած գործողությունները կատարվում են սովորական հերթականությամբ, այսինքն՝ log 2 4։ +2 3=2+2 3=2 +6=8 .

Երբ լոգարիթմի նշանի տակ և/կամ դրա հիմքում կան թվային արտահայտություններ, ապա նախ հայտնաբերվում են դրանց արժեքները, որից հետո հաշվարկվում է լոգարիթմի արժեքը: Օրինակ, դիտարկենք ձևի լոգարիթմով արտահայտությունը . Լոգարիթմի հիմքում և նրա նշանի տակ թվային արտահայտություններ են, մենք գտնում ենք դրանց արժեքները. Այժմ մենք գտնում ենք լոգարիթմը, որից հետո ավարտում ենք հաշվարկները.

Եթե ​​լոգարիթմները ճշգրիտ հաշվարկված չեն, ապա դրա նախնական պարզեցումը օգտագործելով . Այս դեպքում անհրաժեշտ է լավ տիրապետել հոդվածի նյութին։ լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպում.

Օրինակ.

Գտե՛ք լոգարիթմներով արտահայտության արժեքը .

Լուծում.

Սկսենք հաշվարկելով log 2 (log 2 256) . Քանի որ 256=2 8, ուրեմն log 2 256=8, հետևաբար log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

Լոգարիթմների log 6 2 և log 6 3 լոգարիթմները կարող են խմբավորվել: Լոգարիթմների log 6 2+log 6 3 գումարը հավասար է արտադրյալի լոգարիթմ 6 (2 3) լոգարիթմին, ուստի log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Հիմա անդրադառնանք կոտորակներին։ Սկզբից մենք լոգարիթմի հիմքը հայտարարում կվերագրենք որպես սովորական կոտորակի 1/5, որից հետո կօգտագործենք լոգարիթմների հատկությունները, որոնք թույլ կտան ստանալ կոտորակի արժեքը.
.

Մնում է միայն ստացված արդյունքները փոխարինել սկզբնական արտահայտությամբ և ավարտել դրա արժեքը գտնելը.

Պատասխան.

Ինչպե՞ս գտնել եռանկյունաչափական արտահայտության արժեքը:

Երբ թվային արտահայտությունը պարունակում է կամ այլն, ապա դրանց արժեքները հաշվարկվում են այլ գործողություններ կատարելուց առաջ: Եթե ​​եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանի տակ կան թվային արտահայտություններ, ապա նախ հաշվարկվում են դրանց արժեքները, որից հետո հայտնաբերվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները:

Օրինակ.

Գտեք արտահայտության արժեքը .

Լուծում.

Անդրադառնալով հոդվածին, մենք ստանում ենք և cosπ=−1: Մենք այս արժեքները փոխարինում ենք սկզբնական արտահայտության մեջ, այն ընդունում է ձևը . Դրա արժեքը գտնելու համար նախ անհրաժեշտ է կատարել հզորացում, այնուհետև ավարտել հաշվարկները.

Պատասխան.

.

Հարկ է նշել, որ արտահայտությունների արժեքների հաշվարկը սինուսներով, կոսինուսներով և այլն: հաճախ պահանջում է նախնական եռանկյունաչափական արտահայտությունների փոխակերպումներ.

Օրինակ.

Որքա՞ն է եռանկյունաչափական արտահայտության արժեքը .

Լուծում.

Եկեք փոխակերպենք սկզբնական արտահայտությունը օգտագործելով , այս դեպքում մեզ անհրաժեշտ է կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևը և գումարի կոսինուսի բանաձևը.

Կատարված փոխակերպումները օգնեցին մեզ գտնել արտահայտության արժեքը:

Պատասխան.

.

Ընդհանուր դեպք

Ընդհանուր դեպքում, թվային արտահայտությունը կարող է պարունակել արմատներ, աստիճաններ, կոտորակներ և ցանկացած ֆունկցիա և փակագծեր: Նման արտահայտությունների արժեքները գտնելը բաղկացած է հետևյալ գործողություններից.

• առաջին արմատները, աստիճանները, կոտորակները և այլն: փոխարինվում են իրենց արժեքներով,
• հետագա գործողությունները փակագծերում,
• իսկ ձախից աջ հերթականությամբ կատարվում են մնացած գործողությունները՝ բազմապատկում և բաժանում, որից հետո գումարում և հանում։

Վերոնշյալ գործողությունները կատարվում են մինչև վերջնական արդյունքի ստացումը։

Օրինակ.

Գտեք արտահայտության արժեքը .

Լուծում.

Այս արտահայտության ձևը բավականին բարդ է. Այս արտահայտության մեջ մենք տեսնում ենք կոտորակ, արմատներ, աստիճաններ, սինուս և լոգարիթմ: Ինչպե՞ս գտնել դրա իմաստը:

Ձախից աջ ձայնագրության երկայնքով շարժվելով՝ մենք հանդիպում ենք ձևի մի հատվածի . Մենք գիտենք, որ բարդ տիպի կոտորակների հետ աշխատելիս պետք է առանձին հաշվարկել համարիչի արժեքը, առանձին՝ հայտարարին և վերջապես գտնել կոտորակի արժեքը։

Համարիչում ունենք ձևի արմատ . Դրա արժեքը որոշելու համար նախ պետք է հաշվարկել արմատական ​​արտահայտության արժեքը . Այստեղ սինուս կա. Դրա արժեքը կարող ենք գտնել միայն արտահայտության արժեքը հաշվարկելուց հետո . Սա այն է, ինչ մենք կարող ենք անել. Հետո որտեղից և .

Հայտարարի դեպքում ամեն ինչ պարզ է.

Այսպիսով, .

Այս արդյունքը սկզբնական արտահայտության մեջ փոխարինելուց հետո այն կստանա ձևը: Ստացված արտահայտությունը պարունակում է աստիճան. Դրա արժեքը գտնելու համար նախ պետք է գտնել ցուցանիշի արժեքը, մենք ունենք .

Այսպիսով, .

Պատասխան.

.

Եթե ​​հնարավոր չէ հաշվարկել արմատների, աստիճանների և այլնի ճշգրիտ արժեքները, ապա կարող եք փորձել ձերբազատվել դրանցից՝ օգտագործելով ցանկացած փոխակերպումներ, այնուհետև վերադառնալ նշված սխեմայի համաձայն արժեքը հաշվարկելուն:

Արտահայտությունների արժեքները հաշվարկելու ռացիոնալ եղանակներ

Թվային արտահայտությունների արժեքների հաշվարկը պահանջում է հետևողականություն և ճշգրտություն: Այո, անհրաժեշտ է հավատարիմ մնալ նախորդ պարբերություններում արձանագրված գործողությունների հաջորդականությանը, բայց դա չպետք է արվի կուրորեն և մեխանիկորեն: Սրանով նկատի ունենք, որ հաճախ կարելի է ռացիոնալացնել արտահայտության արժեքը գտնելու գործընթացը։ Օրինակ, թվերով գործողությունների որոշ հատկություններ թույլ են տալիս զգալիորեն արագացնել և պարզեցնել արտահայտության արժեքը:

Օրինակ, մենք գիտենք բազմապատկման այս հատկությունը՝ եթե արտադրյալի գործոններից մեկը զրո է, ապա արտադրյալի արժեքը զրո է։ Օգտագործելով այս հատկությունը, մենք կարող ենք անմիջապես ասել, որ արտահայտության արժեքը 0 (2 3+893−3234:54 65−79 56 2.2)(45 36−2 4+456:3 43) զրո է։ Եթե ​​մենք հետևեինք գործառնությունների ստանդարտ կարգին, ապա նախ պետք է հաշվարկենք ծանր արտահայտությունների արժեքները փակագծերում, և դա շատ ժամանակ կխլի, և արդյունքը դեռ զրոյական կլիներ:

Հարմար է նաև օգտագործել հանման հատկությունը հավասար թվերԵթե ​​թվից հանեք հավասար թիվ, ապա արդյունքը կլինի զրո: Այս հատկությունը կարելի է ավելի լայն դիտարկել՝ երկու միանման թվային արտահայտությունների տարբերությունը հավասար է զրոյի։ Օրինակ, առանց փակագծերի արտահայտությունների արժեքը հաշվարկելու, կարող եք գտնել արտահայտության արժեքը (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), այն հավասար է զրոյի, քանի որ սկզբնական արտահայտությունը նույնական արտահայտությունների տարբերությունն է։

Նույնական փոխակերպումները կարող են նպաստել արտահայտությունների արժեքների ռացիոնալ հաշվարկին: Օրինակ, տերմինների և գործոնների խմբավորումը կարող է օգտակար լինել, բայց ոչ պակաս հաճախ է ընդհանուր գործոնի հեռացումը փակագծերից: Այսպիսով, 53 5+53 7−53 11+5 արտահայտության արժեքը շատ հեշտ է գտնել փակագծերից 53 գործակիցը հանելուց հետո. 53 (5+7−11)+5=53 1+5=53+5=58. Ուղղակի հաշվարկը շատ ավելի շատ ժամանակ կխլի:

Եզրափակելով այս պարբերությունը, եկեք ուշադրություն դարձնենք կոտորակներով արտահայտությունների արժեքները հաշվարկելու ռացիոնալ մոտեցմանը. կրճատվում են կոտորակի համարիչի և հայտարարի նույն գործոնները: Օրինակ՝ կոտորակի համարիչի և հայտարարի նույն արտահայտությունների կրճատումը թույլ է տալիս անմիջապես գտնել դրա արժեքը, որը 1/2 է:

Բառացի արտահայտության և փոփոխականներով արտահայտության արժեքը գտնելը

Բառացի արտահայտության և փոփոխականներով արտահայտության արժեքը հայտնաբերվում է տառերի և փոփոխականների որոշակի արժեքների համար: Այսինքն, մենք խոսում ենք տվյալ տառային արժեքների համար բառացի արտահայտության արժեքը կամ ընտրված փոփոխական արժեքների համար փոփոխականներով արտահայտության արժեքը գտնելու մասին:

կանոնբառացի արտահայտության կամ արտահայտության արժեքը փոփոխականներով գտնելը տառերի տվյալ արժեքների կամ փոփոխականների ընտրված արժեքների համար հետևյալն է. բնօրինակ արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է փոխարինել տառերի կամ փոփոխականների տրված արժեքները, և հաշվարկեք ստացված թվային արտահայտության արժեքը, դա ցանկալի արժեք է:

Օրինակ.

Հաշվե՛ք 0,5 x−y արտահայտության արժեքը x=2,4 և y=5 համար:

Լուծում.

Արտահայտության պահանջվող արժեքը գտնելու համար նախ պետք է այս փոփոխական արժեքները փոխարինել սկզբնական արտահայտությամբ, այնուհետև կատարել հետևյալ գործողությունները՝ 0.5 2.4−5=1.2−5=−3.8:

Պատասխան.

−3,8 .

Եզրափակելով, մենք նշում ենք, որ երբեմն բառացի արտահայտությունների և արտահայտությունների փոխակերպումը փոփոխականներով թույլ է տալիս ստանալ դրանց արժեքները՝ անկախ տառերի և փոփոխականների արժեքներից: Օրինակ, x+3−x արտահայտությունը կարելի է պարզեցնել՝ դառնալով 3: Այստեղից կարող ենք եզրակացնել, որ x + 3 - x արտահայտության արժեքը հավասար է 3-ի x փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար իր ընդունելի արժեքների միջակայքից (ODZ): Մեկ այլ օրինակ. արտահայտության արժեքը հավասար է 1-ի x-ի բոլոր դրական արժեքների համար, ուստի սկզբնական արտահայտության մեջ x փոփոխականի վավեր արժեքների միջակայքը դրական թվերի բազմությունն է, և դրա վրա տեղի է ունենում հավասարություն: միջակայք.

Մատենագիտություն.

• Մաթեմատիկա: ուսումնասիրություններ. 5 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21-րդ հրտ., ջնջված։ - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: հիվանդ. ISBN 5-346-00699-0.
• Մաթեմատիկա.Դասարան 6: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ / [Ն. Յա.Վիլենկին և ուրիշներ]: - 22-րդ հրատ., Վեր. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 էջ: հիվանդ. ISBN 978-5-346-00897-2 ։
• Հանրահաշիվ:դասագիրք 7 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 17-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 240 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019315-3 ։
• Հանրահաշիվ:դասագիրք 8 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2008. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-019243-9 ։
• Հանրահաշիվ:Դասարան 9: Դասագիրք. հանրակրթության համար հաստատություններ / [Յու. Ն. Մակարիչև, Ն. Գ. Մինդյուկ, Կ. Ի. Նեշկով, Ս. Բ. Սուվորովա]; խմբ. Ս.Ա.Տելյակովսկի. - 16-րդ հրատ. - Մ.: Կրթություն, 2009. - 271 էջ. : հիվանդ. - ISBN 978-5-09-021134-5 ։
• Հանրահաշիվև վերլուծության սկիզբը՝ Պրոց. 10-11 բջիջների համար: հանրակրթական հաստատություններ / Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին և այլք; Էդ. Ա. Ն. Կոլմոգորովա.- 14-րդ հրատ.- Մ.: Լուսավորություն, 2004.- 384 էջ: ill.- ISBN 5-09-013651-3:

Այս հոդվածը քննարկում է, թե ինչպես գտնել մաթեմատիկական արտահայտությունների արժեքները: Սկսենք պարզ թվային արտահայտություններից, այնուհետև կդիտարկենք դեպքերը, քանի որ դրանց բարդությունը մեծանում է: Վերջում տալիս ենք տառերի նշանակումներ, փակագծեր, արմատներ, հատուկ մաթեմատիկական նշաններ, աստիճաններ, ֆունկցիաներ և այլն պարունակող արտահայտություն։ Ամբողջ տեսությունը, ավանդույթի համաձայն, կտրամադրվի առատ ու մանրամասն օրինակներով։

Ինչպե՞ս գտնել թվային արտահայտության արժեքը:

Թվային արտահայտությունները, ի թիվս այլ բաների, օգնում են նկարագրել խնդրի վիճակը մաթեմատիկական լեզվով: Ընդհանրապես մաթեմատիկական արտահայտություններկարող է լինել կամ շատ պարզ՝ բաղկացած զույգ թվերից և թվաբանական նշաններից, կամ շատ բարդ՝ պարունակող ֆունկցիաներ, աստիճաններ, արմատներ, փակագծեր և այլն։ Որպես առաջադրանքի մաս, հաճախ անհրաժեշտ է գտնել արտահայտության արժեքը: Ինչպես դա անել, կքննարկվի ստորև:

Ամենապարզ դեպքերը

Սրանք այն դեպքերն են, երբ արտահայտությունը թվերից և թվաբանությունից բացի ոչինչ չի պարունակում։ Նման արտահայտությունների արժեքները հաջողությամբ գտնելու համար ձեզ հարկավոր է գիտելիքներ առանց փակագծերի թվաբանական գործողությունների կատարման կարգի, ինչպես նաև տարբեր թվերով գործողություններ կատարելու կարողության մասին:

Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է միայն թվեր և թվաբանական նշաններ " + " , " · " , " - " , " ÷ " , ապա գործողությունները կատարվում են ձախից աջ հետևյալ հաջորդականությամբ՝ սկզբում բազմապատկում և բաժանում, հետո գումարում և հանում։ Բերենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Թվային արտահայտության արժեքը

Թող անհրաժեշտ լինի գտնել 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 արտահայտության արժեքները:

Եկեք նախ կատարենք բազմապատկումը և բաժանումը։ Մենք ստանում ենք.

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3:

Այժմ մենք հանում ենք և ստանում վերջնական արդյունքը.

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Օրինակ 2. Թվային արտահայտության արժեքը

Հաշվենք՝ 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12:

Նախ, մենք կատարում ենք կոտորակների փոխարկում, բաժանում և բազմապատկում.

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9:

Հիմա կատարենք գումարում և հանում։ Խմբավորենք կոտորակները և բերենք ընդհանուր հայտարարի.

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Գտնվում է ցանկալի արժեքը:

Արտահայտություններ փակագծերով

Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է փակագծեր, ապա դրանք որոշում են այս արտահայտության գործողությունների հերթականությունը: Նախ կատարվում են փակագծերի գործողությունները, իսկ հետո մնացածը։ Սա ցույց տանք օրինակով։

Օրինակ 3. Թվային արտահայտության արժեքը

Գտե՛ք 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) արտահայտության արժեքը։

Արտահայտությունը պարունակում է փակագծեր, ուստի նախ փակագծերում կատարում ենք հանման գործողությունը, իսկ հետո միայն բազմապատկումը։

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35:

Փակագծերում փակագծեր պարունակող արտահայտությունների արժեքը հայտնաբերվում է նույն սկզբունքով։

Օրինակ 4. Թվային արտահայտության արժեքը

Եկեք հաշվարկենք 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 արժեքը:

Կկատարենք գործողություններ՝ սկսած ամենաներքին փակագծերից՝ անցնելով դեպի արտաքին։

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13:

Փակագծերով արտահայտությունների արժեքները գտնելիս գլխավորը գործողությունների հաջորդականությանը հետևելն է:

Արմատներով արտահայտություններ

Մաթեմատիկական արտահայտությունները, որոնց արժեքները մենք պետք է գտնենք, կարող են արմատային նշաններ պարունակել: Ընդ որում, արտահայտությունն ինքնին կարող է լինել արմատի նշանի տակ։ Ինչպե՞ս լինել այդ դեպքում: Նախ պետք է արմատի տակ գտնել արտահայտության արժեքը, իսկ հետո ստացված թվից հանել արմատը։ Հնարավորության դեպքում ավելի լավ է ձերբազատվել թվային արտահայտությունների արմատներից՝ փոխարինելով թվային արժեքներով:

Օրինակ 5. Թվային արտահայտության արժեքը

Արմատներով հաշվարկենք արտահայտության արժեքը՝ 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 ։

Նախ, մենք հաշվարկում ենք արմատական ​​արտահայտությունները:

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5:

Այժմ մենք կարող ենք հաշվարկել ամբողջ արտահայտության արժեքը:

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Հաճախ արմատներով արտահայտության արժեքը գտնելու համար հաճախ անհրաժեշտ է լինում նախ վերափոխել սկզբնական արտահայտությունը: Սա բացատրենք մեկ այլ օրինակով։

Օրինակ 6. Թվային արտահայտության արժեքը

Ինչ է 3 + 1 3 - 1 - 1

Ինչպես տեսնում եք, մենք արմատը ճշգրիտ արժեքով փոխարինելու հնարավորություն չունենք, ինչը դժվարացնում է հաշվման գործընթացը։ Այնուամենայնիվ, այս դեպքում կարող եք կիրառել կրճատված բազմապատկման բանաձևը:

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Այսպիսով.

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Արտահայտություններ ուժերով

Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է ուժեր, ապա դրանց արժեքները պետք է հաշվարկվեն բոլոր մյուս գործողություններին անցնելուց առաջ: Պատահում է, որ ցուցիչը կամ աստիճանի հիմքը արտահայտություններ են։ Այս դեպքում նախ հաշվարկվում է այս արտահայտությունների արժեքը, իսկ հետո աստիճանի արժեքը։

Օրինակ 7. Թվային արտահայտության արժեքը

Գտե՛ք 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 արտահայտության արժեքը:

Մենք սկսում ենք հաշվարկել հերթականությամբ.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2:

Մնում է միայն կատարել գումարման գործողությունը և պարզել արտահայտության արժեքը.

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6:

Հաճախ խորհուրդ է տրվում նաև պարզեցնել արտահայտությունը՝ օգտագործելով աստիճանի հատկությունները:

Օրինակ 8. Թվային արտահայտության արժեքը

Հաշվենք հետևյալ արտահայտության արժեքը՝ 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Ցուցանիշները կրկին այնպիսին են, որ դրանց ճշգրիտ թվային արժեքները հնարավոր չէ ստանալ: Պարզեցրեք բնօրինակ արտահայտությունը՝ դրա արժեքը գտնելու համար:

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Արտահայտություններ կոտորակներով

Եթե ​​արտահայտությունը պարունակում է կոտորակներ, ապա այդպիսի արտահայտությունը հաշվարկելիս դրանում առկա բոլոր կոտորակները պետք է ներկայացվեն որպես սովորական կոտորակներ և դրանց արժեքները հաշվարկվեն:

Եթե ​​կոտորակի համարիչում և հայտարարում կան արտահայտություններ, ապա նախ հաշվարկվում են այդ արտահայտությունների արժեքները և գրանցվում է բուն կոտորակի վերջնական արժեքը: Թվաբանական գործողությունները կատարվում են ստանդարտ կարգով: Դիտարկենք լուծման օրինակ.

Օրինակ 9. Թվային արտահայտության արժեքը

Գտնենք կոտորակներ պարունակող արտահայտության արժեքը՝ 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 :

Ինչպես տեսնում եք, սկզբնական արտահայտության մեջ կա երեք կոտորակ: Եկեք նախ հաշվարկենք դրանց արժեքները:

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1:

Եկեք վերագրենք մեր արտահայտությունը և հաշվարկենք դրա արժեքը.

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Հաճախ արտահայտությունների արժեքները գտնելիս հարմար է կոտորակները կրճատել: Կա մի չասված կանոն՝ նախքան դրա արժեքը գտնելը, լավագույնն է առավելագույնը պարզեցնել ցանկացած արտահայտություն՝ բոլոր հաշվարկները հասցնելով ամենապարզ դեպքերի։

Օրինակ 10. Թվային արտահայտության արժեքը

Հաշվենք 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 արտահայտությունը։

Մենք չենք կարող ամբողջությամբ հանել հինգի արմատը, բայց կարող ենք պարզեցնել սկզբնական արտահայտությունը փոխակերպումների միջոցով:

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Բնօրինակ արտահայտությունն ունի հետևյալ ձևը.

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Եկեք հաշվարկենք այս արտահայտության արժեքը.

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Արտահայտություններ լոգարիթմներով

Երբ արտահայտության մեջ առկա են լոգարիթմներ, դրանց արժեքը, հնարավորության դեպքում, հաշվարկվում է հենց սկզբից: Օրինակ, log 2 4 + 2 4 արտահայտության մեջ դուք կարող եք անմիջապես գրել այս լոգարիթմի արժեքը log 2 4-ի փոխարեն, այնուհետև կատարել բոլոր գործողությունները: Մենք ստանում ենք՝ log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10:

Թվային արտահայտություններ կարելի է գտնել նաև լոգարիթմի նշանի տակ և դրա հիմքում։ Այս դեպքում առաջին քայլը նրանց արժեքները գտնելն է: Վերցնենք log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 արտահայտությունը: Մենք ունենք:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10:

Եթե ​​անհնար է հաշվարկել լոգարիթմի ճշգրիտ արժեքը, ապա արտահայտության պարզեցումն օգնում է գտնել դրա արժեքը։

Օրինակ 11. Թվային արտահայտության արժեքը

Գտե՛ք log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 արտահայտության արժեքը։

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Ըստ լոգարիթմների հատկության.

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Կրկին կիրառելով լոգարիթմների հատկությունները, արտահայտության վերջին կոտորակի համար մենք ստանում ենք.

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Այժմ կարող եք անցնել սկզբնական արտահայտության արժեքի հաշվարկին:

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով արտահայտություններ

Պատահում է, որ արտահայտության մեջ կան սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, ինչպես նաև դրանց հակադարձ ֆունկցիաներ։ Արժեքից հաշվարկվում են բոլոր մյուս թվաբանական գործողությունները կատարելուց առաջ: Հակառակ դեպքում արտահայտությունը պարզեցվում է։

Օրինակ 12. Թվային արտահայտության արժեքը

Գտե՛ք արտահայտության արժեքը՝ t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Նախ, մենք հաշվարկում ենք արտահայտության մեջ ներառված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները:

մեղք - 5 π 2 \u003d - 1

Փոխարինեք արտահայտության արժեքները և հաշվարկեք դրա արժեքը.

t g 2 4 π 3 - մեղք - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Գտնվում է արտահայտության արժեքը:

Հաճախ արտահայտության արժեքը գտնելու համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, այն նախ պետք է փոխակերպվի։ Բացատրենք օրինակով.

Օրինակ 13. Թվային արտահայտության արժեքը

Անհրաժեշտ է գտնել cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 արտահայտության արժեքը։

Փոխակերպման համար մենք կօգտագործենք եռանկյունաչափական բանաձևերկրկնակի անկյան կոսինուս և գումարի կոսինուս:

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - մեղք 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Թվային արտահայտության ընդհանուր դեպք

Ընդհանուր դեպքում եռանկյունաչափական արտահայտությունը կարող է պարունակել վերը նկարագրված բոլոր տարրերը՝ փակագծեր, աստիճաններ, արմատներ, լոգարիթմներ, ֆունկցիաներ։ Եկեք ձևակերպենք նման արտահայտությունների արժեքները գտնելու ընդհանուր կանոն.

Ինչպես գտնել արտահայտության արժեքը

1. Արմատներ, հզորություններ, լոգարիթմներ և այլն: փոխարինվում են իրենց արժեքներով։
2. Փակագծերում տրված գործողությունները կատարվում են.
3. Մնացած քայլերը կատարվում են ձախից աջ հերթականությամբ։ Նախ՝ բազմապատկում և բաժանում, հետո՝ գումարում և հանում։

Օրինակ բերենք.

Օրինակ 14. Թվային արտահայտության արժեքը

Հաշվենք, թե որքան է արտահայտության արժեքը - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 :

Արտահայտությունը բավականին բարդ և ծանրաբեռնված է։ Պատահական չէ, որ հենց այսպիսի օրինակ ենք ընտրել՝ փորձելով դրա մեջ տեղավորել վերը նկարագրված բոլոր դեպքերը։ Ինչպե՞ս գտնել նման արտահայտության արժեքը:

Հայտնի է, որ բարդ կոտորակային ձևի արժեքը հաշվարկելիս սկզբում հայտնաբերվում են կոտորակի համարիչի և հայտարարի արժեքները, համապատասխանաբար, առանձին: Մենք հաջորդաբար կվերափոխենք և կպարզեցնենք այս արտահայտությունը:

Առաջին հերթին մենք հաշվարկում ենք 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 արմատական ​​արտահայտության արժեքը։ Դա անելու համար հարկավոր է գտնել սինուսի արժեքը և այն արտահայտությունը, որը եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկն է։

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Այժմ դուք կարող եք պարզել սինուսի արժեքը.

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Մենք հաշվարկում ենք արմատական ​​արտահայտության արժեքը.

2 մեղք π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2:

Կոտորակի հայտարարի դեպքում ամեն ինչ ավելի հեշտ է.

Այժմ մենք կարող ենք գրել ամբողջ կոտորակի արժեքը.

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1:

Սա նկատի ունենալով, մենք գրում ենք ամբողջ արտահայտությունը.

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Վերջնական արդյունք.

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27:

Այս դեպքում մենք կարողացանք ճշգրիտ արժեքներ հաշվարկել արմատների, լոգարիթմների, սինուսների և այլնի համար: Եթե ​​դա հնարավոր չէ, կարող եք փորձել ազատվել դրանցից մաթեմատիկական փոխակերպումների միջոցով։

Արտահայտությունների հաշվարկ ռացիոնալ ձևերով

Թվային արժեքները պետք է հաշվարկվեն հետևողականորեն և ճշգրիտ: Այս գործընթացը կարելի է ռացիոնալացնել և արագացնել՝ օգտագործելով թվերի հետ գործողությունների տարբեր հատկություններ: Օրինակ, հայտնի է, որ արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե գործոններից գոնե մեկը հավասար է զրոյի։ Հաշվի առնելով այս հատկությունը՝ անմիջապես կարող ենք ասել, որ 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 արտահայտությունը հավասար է զրոյի։ Այս դեպքում ամենևին էլ անհրաժեշտ չէ քայլերը կատարել վերը նշված հոդվածում նկարագրված հերթականությամբ։

Հարմար է նաև օգտագործել հավասար թվեր հանելու հատկությունը։ Առանց որևէ գործողություն կատարելու կարելի է պատվիրել, որ 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 արտահայտության արժեքը նույնպես հավասար է զրոյի։

Մեկ այլ տեխնիկա, որը թույլ է տալիս արագացնել գործընթացը, դա նույնական փոխակերպումների օգտագործումն է, ինչպիսիք են տերմինների և գործոնների խմբավորումը և ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը: Կոտորակներով արտահայտությունները հաշվարկելու ռացիոնալ մոտեցումը համարիչի և հայտարարի նույն արտահայտությունների կրճատումն է:

Օրինակ՝ վերցնենք 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 արտահայտությունը: Առանց փակագծերում գործողություններ կատարելու, բայց կոտորակը փոքրացնելով, կարող ենք ասել, որ արտահայտության արժեքը 1 3 է։

Փոփոխականներով արտահայտությունների արժեքների որոնում

Բառացի արտահայտության և փոփոխականներով արտահայտության արժեքը հայտնաբերվում է տառերի և փոփոխականների որոշակի արժեքների համար:

Փոփոխականներով արտահայտությունների արժեքների որոնում

Բառացի արտահայտության և փոփոխականներով արտահայտության արժեքը գտնելու համար հարկավոր է տառերի և փոփոխականների տրված արժեքները փոխարինել սկզբնական արտահայտությամբ, այնուհետև հաշվարկել ստացված թվային արտահայտության արժեքը:

Օրինակ 15. Փոփոխականներով արտահայտության արժեքը

Հաշվե՛ք 0, 5 x-y արտահայտության արժեքը՝ տրված x = 2, 4 և y = 5:

Մենք փոփոխականների արժեքները փոխարինում ենք արտահայտության մեջ և հաշվարկում.

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8.

Երբեմն հնարավոր է ձևափոխել արտահայտությունն այնպես, որ ստանանք դրա արժեքը՝ անկախ դրանում ներառված տառերի և փոփոխականների արժեքներից: Դա անելու համար անհրաժեշտ է, հնարավորության դեպքում, ազատվել արտահայտության տառերից և փոփոխականներից՝ օգտագործելով նույնական փոխակերպումները, թվաբանական գործողությունների հատկությունները և բոլոր հնարավոր այլ մեթոդները։

Օրինակ, x + 3 - x արտահայտությունն ակնհայտորեն ունի 3 արժեքը, և այս արժեքը հաշվարկելու համար անհրաժեշտ չէ իմանալ x-ի արժեքը: Այս արտահայտության արժեքը հավասար է երեքի x փոփոխականի բոլոր արժեքների համար իր վավեր արժեքների միջակայքից:

Եվս մեկ օրինակ. x x արտահայտության արժեքը հավասար է մեկի բոլոր դրական x-երի համար:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Հանրահաշվի 7-րդ դասարանում մենք զբաղվում էինք ամբողջ թվային արտահայտությունների փոխակերպմամբ, այսինքն՝ թվերից և փոփոխականներից կազմված արտահայտությունների միջոցով՝ օգտագործելով գումարում, հանում և բազմապատկում, ինչպես նաև զրոյից տարբեր թվով բաժանում: Այսպիսով, արտահայտությունները ամբողջ թվեր են

Ի հակադրություն՝ արտահայտություններ

բացի գումարման, հանման և բազմապատկման գործողություններից, դրանք պարունակում են բաժանում փոփոխականներով արտահայտությամբ։ Նման արտահայտությունները կոչվում են կոտորակային արտահայտություններ:

Ամբողջական և կոտորակային արտահայտություններկոչվում են ռացիոնալ արտահայտություններ։

Ամբողջական արտահայտությունը իմաստ ունի դրանում ներառված փոփոխականների ցանկացած արժեքի համար, քանի որ ամբողջ արտահայտության արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է կատարել գործողություններ, որոնք միշտ հնարավոր են:

Փոփոխականների որոշ արժեքների կոտորակային արտահայտությունը կարող է իմաստ չունենալ: Օրինակ, - արտահայտությունը իմաստ չունի a = 0-ի համար: a-ի մնացած բոլոր արժեքների համար այս արտահայտությունը իմաստ ունի: Արտահայտությունը իմաստ ունի x և y արժեքների համար, երբ x ≠ y:

Փոփոխական արժեքները, որոնց համար արտահայտությունը իմաստ ունի, կոչվում են վավեր փոփոխական արժեքներ:

Ձևի արտահայտությունը կոչվում է, ինչպես գիտեք, կոտորակ:

Այն կոտորակը, որի համարիչը և հայտարարը բազմանդամներ են, կոչվում է ռացիոնալ կոտորակ:

Կոտորակները ռացիոնալ կոտորակների օրինակներ են:

IN ռացիոնալ կոտորակթույլատրելի են այն փոփոխականների այն արժեքները, որոնց համար կոտորակի հայտարարը չի վերանում:

Օրինակ 1Եկեք գտնենք փոփոխականի վավեր արժեքները կոտորակի մեջ

ԼուծումՈրպեսզի a-ի ինչ արժեքներով է անհետանում կոտորակի հայտարարը, դուք պետք է լուծեք a (a - 9) \u003d 0 հավասարումը: Այս հավասարումն ունի երկու արմատ՝ 0 և 9: Հետևաբար, բոլոր թվերը, բացի 0-ից և 9-ից: վավեր արժեքներ են a փոփոխականի համար:

Օրինակ 2 X-ի ինչ արժեքով է կոտորակի արժեքը հավասար է զրոյի?

ԼուծումԿոտորակը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ a-ն 0 է, իսկ b ≠ 0: