Առարկա: " Կոտորակային ցուցիչներ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպում»

«Թող ինչ-որ մեկը փորձի մաթեմատիկայի աստիճանները հատել, և նա կտեսնի, որ առանց դրանց հեռու չես գնա»: (Մ.Վ. Լոմոնոսով)

Դասի նպատակները.

կրթական:ընդհանրացնել և համակարգել ուսանողների գիտելիքները «Աստիճան ռացիոնալ ցուցանիշով» թեմայով, վերահսկել նյութի յուրացման մակարդակը, վերացնել ուսանողների գիտելիքների և հմտությունների բացերը.

զարգացող:ձևավորել ուսանողների ինքնատիրապետման հմտությունները, յուրաքանչյուր ուսանողի մոտ ստեղծել աշխատանքի նկատմամբ հետաքրքրության մթնոլորտ, զարգացնել ուսանողների ճանաչողական գործունեությունը.

կրթական:հետաքրքրություն զարգացնել առարկայի, մաթեմատիկայի պատմության նկատմամբ։

Դասի տեսակը՝ գիտելիքների ընդհանրացման և համակարգման դաս

Սարքավորումներ՝ գնահատման թերթիկներ, առաջադրանքների քարտեր, ապակոդավորիչներ, խաչբառեր յուրաքանչյուր ուսանողի համար:

Նախնական նախապատրաստություն՝ դասարանը բաժանված է խմբերի, յուրաքանչյուր խմբում ղեկավարը խորհրդատու է։

ԴԱՍԵՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿ

Ի. Կազմակերպման ժամանակ.

Ուսուցիչ:Ավարտել ենք «Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանը և դրա հատկությունները» թեմայի ուսումնասիրությունը։ Այս դասում ձեր խնդիրն է ցույց տալ, թե ինչպես եք սովորել ուսումնասիրված նյութը և ինչպես կարող եք ձեռք բերված գիտելիքները կիրառել կոնկրետ խնդիրներ լուծելիս: Սեղանի վրա ձեզանից յուրաքանչյուրն ունի գնահատման թերթիկ: Դրանում դուք մուտքագրեք ձեր գնահատականը դասի յուրաքանչյուր փուլի համար: Դասի վերջում կդնեք GPAդասի համար.

Գնահատման թուղթ

	Խաչբառ	Ջերմացեք	Աշխատում է նոթատետրեր	Հավասարումներ	Ստուգեք ինքներդ (c\r)

II. Փորձաքննություն Տնային աշխատանք.

Հասակակիցների հետ՝ մատիտը ձեռքին, պատասխանները կարդում են սովորողները։

III. Ուսանողների գիտելիքների թարմացում.

Ուսուցիչ:Հայտնի ֆրանսիացի գրող Անատոլ Ֆրենսը մի անգամ ասել է. «Սովորելը պետք է զվարճալի լինի... Գիտելիքը կլանելու համար հարկավոր է այն կլանել ախորժակով»:

Խաչբառ լուծելու ընթացքում կրկնենք անհրաժեշտ տեսական տվյալները։

Հորիզոնական:

1. Գործողություն, որով հաշվարկվում է աստիճանի արժեքը (էռեկցիա):

2. Նույն գործոններից բաղկացած արտադրանք (աստիճան).

3. Ցուցանիշների գործողությունը աստիճանը հզորության բարձրացնելիս (աշխատանք):

4. Այն աստիճանների գործողությունը, որոնցով հանվում են աստիճանները (բաժանում):

Ուղղահայաց՝

5. Բոլոր նույն գործոնների թիվը (ինդեքս):

6. Աստիճան զրոյական ցուցիչով (միավոր):

7. Կրկնվող բազմապատկիչ (հիմք):

8. Արժեք 10 5: (2 3 5 5) (չորս):

9. Ցուցանիշ, որը սովորաբար չի գրվում (միավոր):

IV. Մաթեմատիկայի մարզում.

Ուսուցիչ.Կրկնենք աստիճանի սահմանումը ռացիոնալ ցուցիչով և նրա հատկություններով, կատարենք հետևյալ առաջադրանքները.

1. x 22 արտահայտությունը որպես երկու հզորության արտադրյալ ներկայացրու x հիմքով, եթե գործակիցներից մեկն է՝ x 2, x 5.5, x 1\3, x 17.5, x 0.

2. Պարզեցնել.

բ) y 5/8 y 1/4: y 1/8 = y

գ) 1.4-ից -0.3-ից 2.9-ից

3. Հաշվիր և կազմիր բառ՝ օգտագործելով ապակոդավորիչ:

Այս առաջադրանքը կատարելուց հետո դուք տղաներ կսովորեք գերմանացի մաթեմատիկոսի անունը, ով ներմուծել է «ցուցանիշ» տերմինը:

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Բառ: 1234567 (Շտիֆել)

V. Գրավոր աշխատանք տետրերում (պատասխանները բաց են գրատախտակին) .

Առաջադրանքներ.

1. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը.

(x-2): (x 1/2 -2 1/2) (y-3): (y 1/2 - 3 1/2) (x-1): (x 2/3 -x 1/3 +1)

2. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը.

(x 3\8 x 1\4:) 4 x=81-ում

VI. Խմբային աշխատանք.

Զորավարժություններ. Լուծե՛ք հավասարումներ և ապակոդավորիչով բառ կազմե՛ք:

Քարտ թիվ 1

Բառ: 1234567 (Դիոֆանտոս)

Քարտ թիվ 2

Քարտ թիվ 3

Բառ: 123451 (Նյուտոն)

Ապակոդավորիչ

Ուսուցիչ.Այս բոլոր գիտնականները նպաստել են «աստիճան» հասկացության զարգացմանը։

VII. Պատմական տեղեկություններաստիճան հասկացության զարգացման մասին (ուսանողի հաղորդակցություն).

Բնական ցուցանիշ ունեցող աստիճան հասկացությունը ձեւավորվել է նույնիսկ հին ժողովուրդների մոտ։ Թվերի քառակուսին և խորանարդը օգտագործվել են մակերեսները և ծավալները հաշվարկելու համար: Որոշ թվերի ուժերն օգտագործվել են գիտնականների կողմից որոշակի խնդիրներ լուծելիս Հին Եգիպտոսև Բաբելոն։

III դարում լույս է տեսել հույն գիտնական Դիոֆանտոսի «Թվաբանություն» գիրքը, որում սկիզբ է դրվել այբբենական նշանների ներդրմանը։ Դիոֆանտը ներկայացնում է անհայտի առաջին վեց ուժերի և դրանց փոխադարձ նշանների խորհրդանիշները: Այս գրքում քառակուսին նշվում է r ինդեքսով նշանով; խորանարդ - k նշան r ինդեքսով և այլն:

Ավելի բարդ հանրահաշվական խնդիրներ լուծելու և աստիճանների հետ գործելու պրակտիկայից անհրաժեշտություն առաջացավ ընդհանրացնել աստիճան հասկացությունը և ընդլայնել այն՝ զրոյին որպես ցուցիչ ներմուծելով բացասական և կոտորակային թվեր. Մաթեմատիկոսները աստիճանաբար եկան այն գաղափարին, որ աստիճանի հայեցակարգն ընդհանրացնեն անբնական ցուցանիշով:

Կոտորակային ցուցիչներ և շատ պարզ կանոններկոտորակային ցուցիչներով հզորությունների վրա գործողություններ հայտնաբերված են ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Նիկոլաս Օրեմի (1323–1382) աշխատության մեջ «Համամասնությունների ալգորիթմ» աշխատությունում։

Հավասարությունը՝ 0 = 1 (0-ին ոչ հավասարի համար) իր աշխատություններում օգտագործել է 15-րդ դարի սկզբին Սամարղանդի գիտնական Գիյասադդին Քաշի Ջամշիդը։ Անկախ նրանից, զրոյական ցուցանիշը ներմուծել է Նիկոլայ Շուկեն 15-րդ դարում։ Հայտնի է, որ Նիկոլայ Շուկեն (1445–1500) դիտարկել է բացասական և զրո ցուցիչներով աստիճաններ։

Հետագայում կոտորակային և բացասական ցուցիչներ են հայտնաբերվել գերմանացի մաթեմատիկոս Մ. Շտիֆելի և Սայմոն Ստևինի «Ամբողջական թվաբանություն» (1544 թ.) աշխատության մեջ։ Սայմոն Սթևինը առաջարկեց որպես արմատ նշանակել 1/n:

Գերմանացի մաթեմատիկոս Մ. Շտիֆելը (1487–1567) տվել է 0 =1 at-ի սահմանումը և ներմուծել ցուցիչի անվանումը (սա բառացի թարգմանություն է գերմանական ցուցիչից): Գերմանական potenzieren-ը նշանակում է հզորացում:

16-րդ դարի վերջում Ֆրանսուա Վիետը ներմուծեց տառեր՝ նշելու ոչ միայն փոփոխականները, այլև դրանց գործակիցները։ Նա օգտագործել է հապավումներ՝ N, Q, C՝ առաջին, երկրորդ և երրորդ աստիճանների համար։ Սակայն ժամանակակից անվանումները (օրինակ՝ 4, 5) ներմուծվել են XVII-ում Ռենե Դեկարտի կողմից։

Զրո, բացասական և կոտորակային ցուցիչներով աստիճանների ժամանակակից սահմանումները և նշումները ծագել են անգլիացի մաթեմատիկոսներ Ջոն Ուոլիսի (1616–1703) և Իսահակ Նյուտոնի (1643–1727) աշխատանքից։

Զրոյական, բացասական և կոտորակային ցուցիչների և ժամանակակից սիմվոլների ներդրման նպատակահարմարությունը առաջին անգամ մանրամասն գրվել է 1665 թվականին անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոն Վալիսի կողմից։ Նրա աշխատանքն ավարտեց Իսահակ Նյուտոնը, ով սկսեց համակարգված կիրառել նոր խորհրդանիշներ, որից հետո դրանք մտան ընդհանուր օգտագործման մեջ։

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի ներդրումը հասկացությունների ընդհանրացման բազմաթիվ օրինակներից մեկն է մաթեմատիկական գործողություն. Զրո, բացասական և կոտորակային ցուցիչներով աստիճանը սահմանվում է այնպես, որ դրա վրա գործում են նույն գործողության կանոնները, ինչ բնական ցուցիչ ունեցող աստիճանի համար, այսինքն. որպեսզի պահպանվեն աստիճանի սկզբնական սահմանված հասկացության հիմնական հատկությունները:

Ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի նոր սահմանումը չի հակասում բնական ցուցիչով աստիճանի հին սահմանմանը, այսինքն՝ ռացիոնալ ցուցիչով աստիճանի նոր սահմանման իմաստը պահպանվում է աստիճանի կոնկրետ դեպքի համար։ բնական ցուցիչ։ Այս սկզբունքը, որը դիտվում է մաթեմատիկական հասկացությունների ընդհանրացման մեջ, կոչվում է մշտականության սկզբունք (կայունության պահպանում)։ Այն անկատար ձևով ասվել է 1830 թվականին անգլիացի մաթեմատիկոս Ջ.

VIII. Ստուգեք ինքներդ:

Անկախ աշխատանքքարտերով (պատասխանները բաց են գրատախտակին) .

Տարբերակ 1

1. Հաշվիր՝ (1 միավոր)

(a + 3a 1\2): (a 1\2 +3)

Տարբերակ 2

1. Հաշվիր՝ (1 միավոր)

2. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ 1-ական միավոր

ա) x 1,6 x 0,4 բ) (x 3\8) -5\6

3. Լուծի՛ր հավասարումը. (2 միավոր)

4. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ (2 միավոր)

5. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը՝ (3 միավոր)

IX. Ամփոփելով դասը.

Ի՞նչ բանաձևեր և կանոններ են հիշվել դասում:

Վերանայեք ձեր աշխատանքը դասարանում:

Գնահատվում է դասարանում սովորողների աշխատանքը։

X. Տնային աշխատանք. K: R IV (կրկնել) 156-157 հոդվածներ No 4 (a-c), No. 7 (a-c),

Լրացուցիչ՝ թիվ 16

Դիմում

Գնահատման թուղթ

Լրիվ անուն / ուսանող ________________________________________________

	Խաչբառ	Ջերմացեք	Աշխատում է նոթատետրեր	Հավասարումներ	Ստուգեք ինքներդ (c\r)

Քարտ թիվ 1

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0.5 x 1.5 = 1; 5) y 1 \ 3 \u003d 2; 6) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Ապակոդավորիչ

Քարտ թիվ 2

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y -1 = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 \u003d 3; 4) y 1 \ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1\3 \u003d 2; 6) a 1\2: a \u003d 1\3

Ապակոդավորիչ

Քարտ թիվ 3

1) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3.7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) և 1\2 \u003d 2\3

Ապակոդավորիչ

Քարտ թիվ 1

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0.5 x 1.5 = 1; 5) y 1 \ 3 \u003d 2; 6) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Ապակոդավորիչ

Քարտ թիվ 2

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y -1 = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 \u003d 3; 4) y 1 \ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1\3 \u003d 2; 6) a 1\2: a \u003d 1\3

Ապակոդավորիչ

Քարտ թիվ 3

1) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3.7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) և 1\2 \u003d 2\3

Ապակոդավորիչ

Քարտ թիվ 1

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y -1 \u003d 3\5; 3) a 1\2 = 2\3; 4) x -0.5 x 1.5 = 1; 5) y 1 \ 3 \u003d 2; 6) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 7) a 1\2: a = 1\3

Ապակոդավորիչ

Քարտ թիվ 2

1) X 1\3 \u003d 4; 2) y -1 = 3; 3) (x + 6) 1 \ 2 \u003d 3; 4) y 1 \ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1\3 \u003d 2; 6) a 1\2: a \u003d 1\3

Ապակոդավորիչ

Քարտ թիվ 3

1) a 2\7 a 12\7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \ 3 \u003d 2; 3) x -0.7 x 3.7 = 8; 4) a 1\2: a = 1\3; 5) և 1\2 \u003d 2\3

Ապակոդավորիչ

Տարբերակ 1 1. Հաշվիր՝ (1 միավոր) 2. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ 1-ական միավոր ա) x 1\2 x 3\4 բ) (x -5\6) -2\3 գ) x -1\3: x 3\4 դ) (0.04x 7\8) -1\2 3. Լուծի՛ր հավասարումը. (2 միավոր) 4. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ (2 միավոր) (a + 3a 1\2): (a 1\2 +3) 5. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը՝ (3 միավոր) (Y 1\2 -2) -1 - (Y 1\2 +2) -1 y \u003d 18-ով

Տարբերակ 2 1. Հաշվիր՝ (1 միավոր) 2. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ 1-ական միավոր ա) x 1,6 x 0,4 բ) (x 3\8) -5\6 գ) x 3\7՝ x -2\3 դ) (0,008x -6\7) -1\3 3. Լուծի՛ր հավասարումը. (2 միավոր) 4. Պարզեցրե՛ք արտահայտությունը՝ (2 միավոր) (ժամը 1,5 վրկ - արև 1,5) (ժամը 0,5 - 0,5-ից) 5. Գտի՛ր արտահայտության արժեքը՝ (3 միավոր) (x 3\2 + x 1\2): (x 3\2 -x 1\2) x \u003d 0,75

Քաղաքային պետական ​​ուսումնական հաստատություն

հիմնական հանրակրթական դպրոց № 25

Հանրահաշվի դաս

Առարկա:

« աստիճաններ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպում կոտորակային ցուցիչներով»

Մշակված է:

,

մաթեմատիկայի ուսուցիչ

ամենաբարձր կորակավորման կատեգորիա

հանգույցային

2013

Դասի թեմաՀզորություններ պարունակող արտահայտությունների փոխակերպում կոտորակային ցուցիչներով

Դասի նպատակը:

1. Կոտորակի ցուցիչներով աստիճաններ պարունակող արտահայտությունները փոխակերպելու հմտությունների, գիտելիքների, հմտությունների հետագա ձևավորում

2. Սխալներ գտնելու ունակության զարգացում, մտածողության, ստեղծագործական, խոսքի, հաշվողական հմտությունների զարգացում

3. Անկախության կրթություն, հետաքրքրություն առարկայի նկատմամբ, ուշադրություն, ճշգրտություն:

TCO:մագնիսական տախտակ, կառավարման քարտեր, սեղաններ, անհատական ​​քարտեր, դպրոցականները սեղանի վրա ունեն ստորագրված դատարկ թերթիկներ անհատական ​​աշխատանք, խաչբառ, մաթեմատիկական տաքացման սեղաններ, մուլտիմեդիա պրոյեկտոր։

Դասի տեսակը՝ ամրացվող ZUN.

Դասի պլանը ժամանակին

1. Կազմակերպչական պահեր (2 րոպե)

2. Տնային աշխատանքների ստուգում (5 րոպե)

3. Խաչբառ (3 րոպե)

4. Մաթեմատիկայի տաքացում (5 րոպե)

5. Առջևի ամրացման վարժությունների լուծում (7 րոպե)

6. Անհատական ​​աշխատանք (10 րոպե)

7. Կրկնվող վարժությունների լուծում (5 րոպե)

8. Դասի ամփոփում (2 րոպե)

9. Տնային աշխատանք (1 րոպե)

Դասերի ժամանակ

1) Տնային աշխատանքների ստուգում գործընկերների վերանայման տեսքով . Լավ սովորողները ստուգում են թույլ երեխաների տետրերը։ Իսկ թույլ տղերքը ուժեղների հետ ստուգում են ըստ հսկիչ քարտի մոդելի։ Տնային աշխատանքը տրված է երկու տարբերակով.

Ի հեշտ առաջադրանքի տարբերակ

II դժվար առաջադրանքի տարբերակ

Ստուգման արդյունքում տղաները պարզ մատիտով ընդգծում են սխալներն ու նշում. Ի վերջո, ես ստուգում եմ աշխատանքը այն բանից հետո, երբ տղաները դասից հետո իրենց նոթատետրը կդնեն: Տղաներից հարցնում եմ իրենց թեստի արդյունքները և իմ ամփոփիչ աղյուսակում նշում եմ այս տեսակի աշխատանքի համար:

2) Տեսական նյութը ստուգելու համար առաջարկվում է խաչբառ:.

Ուղղահայաց՝

1. Բազմապատկման հատկություն, որն օգտագործվում է միանդամը բազմանդամով բազմապատկելիս:

2. Ցուցանիշների ազդեցությունը աստիճանը բարձրացնելիս:

3. Զրո ցուցիչով աստիճան.

4. Ապրանքը, որը բաղկացած է նույն գործոններից:

Հորիզոնական:

5. Արմատ n - րդ աստիճանը ոչ բացասական թվի՞ց:

6. Ինչպե՞ս են ցուցիչները աշխատում ցուցիչները բազմապատկելիս:

7. Ցուցանիշների գործողությունը աստիճանների բաժանման մեջ:

8. Բոլոր նույն գործոնների թիվը:

3) Մաթեմատիկայի տաքացում

ա) կատարեք հաշվարկը և օգտագործեք ծածկագիրը՝ խնդրի մեջ թաքնված բառը կարդալու համար:

Ձեր առջեւ սեղան է դրված տախտակի վրա։ Սյունակ 1-ի աղյուսակը պարունակում է օրինակներ, որոնք պետք է հաշվարկվեն:

Սեղանի բանալին

491/2
27-1/3
4*81/3
5*25-1/2
7*82/3
(49/144)1/2	7/12
(27*64)1/3

7/12

Իսկ պատասխանը գրի՛ր սյունակում II, իսկ III սյունակում դրեք այս պատասխանին համապատասխան նամակը.

Ուսուցիչ. Այսպիսով, կոդավորված բառը «աստիճան» է: Հաջորդ առաջադրանքում աշխատում ենք 2-րդ և 3-րդ աստիճանի հետ

բ) «Նայեք, մի սխալվեք» խաղը.

Կետերը փոխարինի՛ր թվով

ա) x=(x…)2; բ) a3/2 = (a1/2)…; գ) a=(a1/3)…; դ) 5… = (51/4)2; ե) 34/3=(34/9)…; զ) 74/5 = (7…)2; է) x1/2=(x…)2; ը) y1/2=(y…)2

Եկեք գտնենք սխալը.

А1/4 – 2а1/2 + 1 = (а1/

Այսպիսով, տղերք, ի՞նչ էր ձեզ հարկավոր դիմել այս առաջադրանքը կատարելու համար.

Աստիճանների հատկությունը. աստիճանը մինչև հզորության բարձրացնելիս ցուցանիշները բազմապատկվում են.

4) Հիմա եկեք իջնենք ճակատային աշխատանքին: օգտագործելով նախորդ աշխատանքի արդյունքները. Բաց նոթատետրերը գրում են համարը, դասի թեման։

№ 000

ա) a - c \u003d (a1/2) 2 - (b1/2) 2 \u003d (a1/2 - c1/2) * (a1/2 + c1/2)

բ) a - c \u003d (a1/3) 3 - (c1/3) 3 \u003d (a1/3 - c1/3) * (a2/3 + a1/3 c1/3 + c2/3)

Թիվ 000 (a, c, d, e)

Ա ) m2 – 5 = m2 – (m1/2)2 = (m – 51/2)*(m+51/2)

գ) a3 - 4 = (a3/2)2 - 22 = (a3/2 - 2)*(a3/2 +2)

դ) x2/5 – y4/5 = (x1/5)2 – (y2/5)2 = (x1/5 – y2/5)*(x1/5 + y2/5)

ե) 4 – a = 22 – (a1/2)2 = (2 – a1/2)*(2+a1/2)

Թիվ 000 (ա, դ, ե)

ա) x3 - 2 = x3 - (21/3) 3 = (x - 21/3) * (x2 + 21/3 x + 22/3)

դ) a6/5 + 27 = (a2/5)3 + 33 = (a2/5 + 3)*(a4/3 - 3 a2/5 + 9)

զ) 4 + y = (41/3)3 + (y1/3)3 = (41/3 + y1/3)*(42/3 + 41/3 y1/3 + y2/3)

Դասարան

5) Աշխատեք անհատական ​​քարտերի վրա՝ ըստ առանձին թերթիկների չորս տարբերակների

Տարբեր աստիճանի դժվարությամբ առաջադրանքներն ավարտվում են առանց ուսուցչի հուշման:

Ես անմիջապես ստուգում եմ աշխատանքը և նշաններ եմ դնում իմ սեղանին և տղաների տերեւներին։

Թիվ 000 (a, c, e, h)

ա) 4*31/2/(31/2 - 3) = 4*31/2 /31/2*(1 - 31/2) = 4 / (1 - 31/2)

գ) x + x1/2 /2x = x1/2*(x1/2+1)/ 2*(x1/2)2 = (x1/2+1)/ 2x1/2

ե) (а2/3 – в2/3)/(а1/3 + в1/3) = (а1/3)2 – (в1/3)2/(а1/3 + в1/3) = (а1/3) + v1/3)*(а1/3 – в1/3)/(а1/3 + в1/3) = a1/3 – в1/3

ը) (x2/3 - x1/3 y1/3 + y2/3)/(x + y) = ((x1/3)2 - x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(( x1/3)3 + (y1/3)3) = ((x1/3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2)/(x1/3 + y1/3)*((x1 /3)2 – x1/3 y1/3 + (y1/3)2) = 1/ (x1/3 + y1/3)

7) Աշխատեք տարբեր աստիճանի բարդության անհատական ​​քարտերի վրա. Որոշ վարժություններում կան ուսուցչի առաջարկություններ, քանի որ նյութը բարդ է, և թույլ երեխաների համար դժվար է հաղթահարել աշխատանքը:

Կան նաև չորս տարբերակներ։ Գնահատումը տեղի է ունենում անմիջապես. Բոլոր միավորները մուտքագրում եմ աղյուսակում:

Խնդիր № հավաքածուից

Ուսուցիչը հարցեր է տալիս.

1. Ի՞նչ պետք է գտնել խնդրի մեջ:

2. Ի՞նչ է պետք իմանալ դրա համար:

3. Ինչպե՞ս արտահայտել 1 հետիոտնի և 2 հետիոտնի ժամանակը:

4. Համեմատե՛ք 1 և 2 հետիոտների ժամանակը ըստ խնդրի պայմանի և կազմե՛ք հավասարում.

Խնդրի լուծում.

Թող x (կմ/ժ) լինի 1 հետիոտնի արագությունը

X +1 (կմ/ժ) – արագություն 2 հետիոտն

4/х (h) – քայլելու ժամանակ

4 / (x +1) (h) - երկրորդ հետիոտնի ժամանակ

Խնդրի պայմանով 4/х >4/ (х +1) 12 ր

12 րոպե = 12/60 ժ = 1/5 ժ

Մենք կազմում ենք հավասարում

X / 4 - 4 / (x + 1) \u003d 1/5

NOZ՝ 5x(x +1) ≠ 0

5*4*(x+1) – 5*4x = x*(x+1)

20x + 20 - 20x - x2 - x = 0

X2 + x -20 = 0

D \u003d 1 - 4 * (-20) \u003d 81, 81> 0, 2 k

x1 \u003d (-1 -√81) / (-2) \u003d 5 կմ / ժ - 1 հետիոտնի արագությունը

x2 = (-1 + √81)/(-2) = 4 - չի համապատասխանում առաջադրանքի իմաստին, քանի որ x>0

Պատասխան՝ 5 կմ/ժ - 2 հետիոտնի արագությունը

9) Դասի ամփոփումՈւրեմն, տղաներ, այսօր դասին համախմբեցինք աստիճաններ պարունակող արտահայտությունները փոխակերպելու գիտելիքները, հմտությունները, կիրառեցինք կրճատ բազմապատկման բանաձևերը՝ փակագծերից հանելով ընդհանուր գործակիցը, կրկնեցինք լուսաբանված նյութը։ Ես նշում եմ առավելություններն ու թերությունները.

Դասը ամփոփելով աղյուսակում.

		Խաչբառ	Մատթ. տաքացում	Ճակատ. Աշխատանք	հնդ. աշխատանքը K-1	հնդ. աշխատանքը K-2

10) Ես հայտարարում եմ միավորները. Տնային աշխատանք

Անհատական ​​քարտեր K - 1 և K - 2

Ես փոխում եմ B - 1 և B - 2; B - 3 և B - 4, քանի որ դրանք համարժեք են

Հայտեր դասի համար.

1) Տնային աշխատանքների քարտեր

1. պարզեցնել

ա) (x1/2 - y1/2)2 + 2x1/2 y1/2

բ) (a3/2 + 5a1\2)2 - 10a2

2. ներկայացնել որպես գումար

ա) a1/3 c1\4*(b2/3 + c3/4)

բ) (a1/2 - c1/2)*(a + a1/2 c1\2 + c)

3. հանել ընդհանուր գործոնը

գ) 151/3 +201/3

1. պարզեցնել

ա) √m + √n – (m1/4 – n1/4)2

բ) (а1/4 + в1/4)*(а1/8 + в1/8)*(а1\8 - в1/8)

2. ներկայացնել որպես գումար

ա) x0.5 y0.5*(x-0.5 – y1.5)

բ) (x1/3 + y1/3)*(x2\3 - x1/3 y1\3 + y2/3)

3. Փակագծերից հանեք ընդհանուր գործոնը

բ) c1\3 - գ

գ) (2a)1/3 - (5a)1\3

2) հսկիչ քարտ Բ - 2-ի համար

ա) √m + √n – (m 1|4 – n 1|4)2 = m 1|2 + n 1|2 – ((m 1|2)2 – 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2)2) = m 1/2 + n 1/2 - m 1/2 + 2 մ 1/4 n 1/4 - n 1/2 = 2 մ 1/4 n 1/4

բ) (а1/4 + в1/4)*(а1/8 + в1/8)*(а1/8 - в1/8) = (а1/4 + в1/4)*(а1/8)2 - ( в1/8)2 = (а1/4 + в1/4)*(а1/4 - в1/4) = (а1/4)2 - (в1/4)2 = a1/2 - в1/2

ա) x0.5 y0.5* (x-0.5- y1.5) = x0.5 y0.5 x-0.5 – x0.5 y0.5y1.5 = x0 y0.5 – x0.5 y2 = y0. 5 – x0.5 y2

բ) (x1/3 + y1/3)*(x2/3 - x1/3 y1\3 + y2/3) = (x1\3 + y1/3)*((x1/3)2 - x1/3 y1\3 + (y1/3)2) = (x1/3)2 + (y1/3)2 = x + y

ա) 3 - 31/2 = 31/2 * (31/2 - 1)

բ) c1/3 - c \u003d c1/3 * (1 - c2/3)

գ) (2a)1/3 - (5a)1/3 = a1/3*(21/3 - 51/3)

3) բացիկներ առաջին անհատական ​​աշխատանքի համար

ա) a - y, x ≥ 0, y ≥ 0

բ) a – i, a ≥ 0

1. Գործոնացնել՝ ներկայացնելով որպես քառակուսիների տարբերություն

ա) a1/2 - b1/2

2. Գործոնացնել՝ ներկայացնելով որպես խորանարդների տարբերություն կամ գումար

ա) c1/3 + d1/3

1. Գործոնացնել՝ ներկայացնելով որպես քառակուսիների տարբերություն

ա) X1/2 + Y1/2

բ) X1/4 - Y1/4

2. Գործոնացնել՝ ներկայացնելով որպես խորանարդների տարբերություն կամ գումար

4) քարտեր երկրորդ անհատական ​​աշխատանքի համար

ա) (x - x1/2) / (x1/2 - 1)

Հուշում՝ x1/2 փակագծում համարիչները

բ) (a - c) / (a1/2 - c1/2)

Ծանոթագրություն՝ a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2

Կրճատել կոտորակը

ա) (21/4 - 2) / 5*21/4

Հուշում՝ փակագիծ 21/4

բ) (ա - գ) / (5a1/2 - 5v1/2)

Ծանոթագրություն՝ a - b = (a1/2)2 - (b1/2)2

Տարբերակ 3

1. Փոքրացնել կոտորակը

ա) (x1/2 - x1/4)/x3/4

Հրահանգ՝ փակագիծ x1/4

բ) (а1/2 - в1/2) / (4а1/4 - 4в1/4)

Տարբերակ 4

Կրճատել կոտորակը

ա) 10/ (10 - 101/2)

բ) (ա - գ) / (a2/3 + a1 \ 3b1 / 3 + B 1/3)

Բաժիններ: Մաթեմատիկա

Դասարան: 9

ՆՊԱՏԱԿԸ. Համախմբել և կատարելագործել աստիճանի հատկությունները ռացիոնալ ցուցիչով կիրառելու հմտությունները. զարգացնել աստիճաններ պարունակող արտահայտությունների կոտորակային ցուցիչով պարզ փոխակերպումներ կատարելու հմտություններ:

ԴԱՍԻ ՏԵՍԱԿԸ. դաս՝ տվյալ թեմայի վերաբերյալ գիտելիքները համախմբելու և կիրառելու համար:

ԴԱՍԳԻՐՔ՝ Հանրահաշիվ 9 հրատ. Ս.Ա. Տելյակովսկին.

ԴԱՍԵՐԻ ԺԱՄԱՆԱԿ

Ուսուցչի ներածական խոսքը

«Մարդիկ, ովքեր ծանոթ չեն հանրահաշիվին, չեն կարող պատկերացնել այն զարմանալի բաները, որոնց կարելի է հասնել… նշված գիտության օգնությամբ»: Գ.Վ. Լայբնիցը

Հանրահաշիվը մեզ համար բացում է լաբորատոր համալիրի դռները «Դիպլոմ ռացիոնալ ցուցիչով».

1. Ճակատային հետազոտություն

1) Սահմանի՛ր աստիճանը կոտորակային ցուցիչով:

2) Ո՞ր կոտորակային ցուցիչի համար է աստիճանը սահմանվում զրոյի հավասար հիմքով:

3) Արդյո՞ք աստիճանը կորոշվի կոտորակային ցուցիչով բացասական հիմքի համար:

Առաջադրանք՝ 64 թիվը գրի՛ր որպես հիմք՝ 2; 2; 8.

Ո՞ր թվի խորանարդն է 64:

Կա՞ 64 թիվը որպես ռացիոնալ ցուցիչով հզորություն ներկայացնելու այլ տարբերակ:

2. Աշխատեք խմբերով

1 խումբ. Ապացուցեք, որ (-2) 3/4 արտահայտությունները; 0-2-ն անիմաստ է.

2 խումբ. Աստիճանը կոտորակային ցուցիչով ներկայացրու որպես արմատ՝ 2 2/3; 3 -1|3 ; - 1,5-ում; 5ա 1/2; (x-y) 2/3 .

3-րդ խումբ. Արտահայտեք աստիճանի կոտորակային ցուցիչով. v3; 8 va 4; 3v2 -2; v(x+y) 2/3 ; վվվ.

3. Գնանք «Ակցիա լիազորությունների մասին» լաբորատորիա.

Լաբորատորիայի հաճախակի հյուրերն են աստղագետները։ Նրանք բերում են իրենց «աստղագիտական ​​թվերը», ենթարկում հանրահաշվական մշակման ու ստանում օգտակար արդյունքներ։

Օրինակ՝ Երկրից մինչև Անդրոմեդա միգամածություն հեռավորությունն արտահայտվում է թվով

95000000000000000000 = 95 10 18 կմ;

դա կոչվում է քվինտիլիոն։

Արեգակի զանգվածը գրամներով արտահայտված է 1983 թվով 10 30 գր - ոչ ալիոն.

Բացի այդ, լաբորատորիա են ընկնում այլ լուրջ խնդիրներ։ Օրինակ, հաճախ ձևի արտահայտությունները գնահատելու խնդիր կա.

Ա) ; բ) ; V) .

Լաբորատոր անձնակազմը նման հաշվարկները կատարում է ամենահարմար եղանակով։

Դուք կարող եք միանալ աշխատանքին: Դա անելու համար մենք կրկնում ենք աստիճանների հատկությունները ռացիոնալ ցուցիչներով.

Այժմ հաշվարկեք կամ պարզեցրեք արտահայտությունը՝ կիրառելով ռացիոնալ ցուցիչներով ցուցիչների հատկությունները.

1 խումբ:

2 խումբ:

3-րդ խումբ.

Ստուգեք՝ խմբից մեկ հոգի գրատախտակի մոտ:

4. Համեմատության առաջադրանք

Ինչպե՞ս, օգտագործելով աստիճանների հատկությունները, համեմատել 2 100 և 10 30 արտահայտությունները:

Պատասխան.

2 100 =(2 10) 10 =1024 10 .

10 30 =(10 3) 10 =1000 10

1024 10 >1000 10

2 100 >10 30

5. Իսկ հիմա հրավիրում եմ «Դիպլոմների հետազոտություն» լաբորատորիա։

Ի՞նչ փոխակերպումներ կարող ենք անել ուժերի վրա:

1) 3 թիվը արտահայտե՛ք որպես 2 աստիճանով հզորություն. 3; -1.

2) Ինչպե՞ս կարող են գործոնավորվել a-b արտահայտությունները. մեջ + 1/2-ում; ա-2ա 1/2; 2-ի 2-ը?

3) Կրճատել կոտորակը հետագա փոխադարձ ստուգմամբ.

4) Բացատրե՛ք կատարված փոխակերպումները և գտե՛ք արտահայտության արժեքը.

6. Աշխատեք դասագրքի հետ:Թիվ 611(դ, ե, զ).

Խումբ 1. (դ).

Խումբ 2. (ե).

Խումբ 3. (ե).

Թիվ 629 (ա, բ).

Փոխադարձ ստուգում.

7. Կատարում ենք արտադրամաս (ինքնուրույն աշխատանք)։

Տրված արտահայտություններ.

Ինչ կոտորակները կրճատելիս օգտագործվում են բանաձեւերը կրճատ բազմապատկումև ընդհանուր գործոնը փակագծե՞լ:

1 խումբ՝ թիվ 1, 2, 3։

Խումբ 2՝ թիվ 4, 5, 6։

Խումբ 3՝ թիվ 7, 8, 9։

Առաջադրանքը կատարելիս կարող եք օգտագործել առաջարկությունները:

1. Եթե ​​օրինակի մուտքը պարունակում է երկու աստիճաններ՝ ռացիոնալ ցուցիչով և արմատներով n-րդ աստիճան, ապա գրի առեք n-րդի արմատներըաստիճանները որպես աստիճաններ ռացիոնալ ցուցիչով:
2. Փորձեք պարզեցնել այն արտահայտությունը, որի վրա կատարվում են գործողությունները՝ բացելով փակագծերը, կիրառեք կրճատված բազմապատկման բանաձևը, անցեք բացասական ցուցիչից դեպի դրական ցուցիչներ պարունակող արտահայտություն:
3. Որոշեք, թե ինչ հաջորդականությամբ պետք է կատարվեն գործողությունները:
4. Կատարեք քայլերը այն հաջորդականությամբ, որով դրանք կատարվում են:

Գնահատում է ուսուցչին՝ հավաքելով տետրեր։

8. Տնային առաջադրանք՝ թիվ 624, 623։

Դիտարկենք ուժերով արտահայտությունները փոխակերպելու թեման, բայց նախ կանդրադառնանք մի շարք փոխակերպումների, որոնք կարող են իրականացվել ցանկացած, այդ թվում՝ ուժային արտահայտություններով։ Կսովորենք բացել փակագծեր, տալ նման տերմիններ, աշխատել հիմքի և աստիճանի հետ, օգտագործել աստիճանների հատկությունները։

Որոնք են ուժային արտահայտությունները:

IN դպրոցական դասընթացքչերն են օգտագործում «ուժային արտահայտություններ» արտահայտությունը, սակայն այս տերմինը մշտապես հանդիպում է քննությանը պատրաստվելու հավաքածուներում։ Շատ դեպքերում արտահայտությունը նշանակում է արտահայտություններ, որոնք իրենց գրառումներում աստիճաններ են պարունակում: Սա այն է, ինչ մենք կանդրադառնանք մեր սահմանման մեջ:

Սահմանում 1

Ուժի արտահայտությունուժեր պարունակող արտահայտություն է։

Մենք տալիս ենք ուժային արտահայտությունների մի քանի օրինակներ՝ սկսած բնական ցուցիչով աստիճանից և ավարտվում իրական ցուցիչով աստիճանով:

Ամենապարզ հզորության արտահայտությունները կարելի է համարել բնական ցուցիչ ունեցող թվի հզորություններ՝ 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1, (a 2) 3: Ինչպես նաև զրոյական ցուցիչով հզորություններ՝ 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 ։ Եվ աստիճաններ՝ ամբողջ թվերով բացասական ուժեր: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Մի փոքր ավելի դժվար է աշխատել այնպիսի աստիճանի հետ, որն ունի ռացիոնալ և իռացիոնալ ցուցիչներ. a - 1 6 · b 1 2, x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5:

Ցուցանիշը կարող է լինել փոփոխական 3 x - 54 - 7 3 x - 58 կամ լոգարիթմ x 2 l g x − 5 x l g x.

Մենք անդրադարձել ենք այն հարցին, թե ինչ են ուժի արտահայտությունները։ Հիմա եկեք նայենք դրանց վերափոխմանը:

Իշխանության արտահայտությունների փոխակերպումների հիմնական տեսակները

Առաջին հերթին մենք կդիտարկենք արտահայտությունների ինքնության հիմնական փոխակերպումները, որոնք կարող են իրականացվել ուժային արտահայտություններով:

Օրինակ 1

Հաշվարկել հզորության արտահայտման արժեքը 2 3 (4 2 − 12).

Լուծում

Մենք բոլոր վերափոխումները կիրականացնենք գործողությունների հերթականությանը համապատասխան։ Այս դեպքում մենք կսկսենք կատարել փակագծերում արված գործողությունները՝ աստիճանը կփոխարինենք թվային արժեքով և կհաշվարկենք երկու թվերի տարբերությունը։ Մենք ունենք 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Մեզ մնում է աստիճանը փոխարինել 2 3 դրա իմաստը 8 և հաշվարկիր արտադրանքը 8 4 = 32. Ահա մեր պատասխանը.

Պատասխան. 2 3 (4 2 − 12) = 32:

Օրինակ 2

Պարզեցրեք արտահայտությունը ուժերով 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Լուծում

Խնդրի պայմանում մեզ տրված արտահայտությունը պարունակում է նմանատիպ տերմիններ, որոնք կարող ենք բերել. 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Պատասխան. 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1:

Օրինակ 3

Արտահայտե՛ք 9 - b 3 · π - 1 2 հզորությամբ արտահայտությունը որպես արտադրյալ:

Լուծում

Ներկայացնենք 9 թիվը որպես ուժ 3 2 և կիրառեք կրճատված բազմապատկման բանաձևը.

9 - բ 3 π - 1 2 = 3 2 - բ 3 π - 1 2 = = 3 - բ 3 π - 1 3 + բ 3 π - 1

Պատասխան. 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1:

Իսկ այժմ եկեք անցնենք նույնական փոխակերպումների վերլուծությանը, որոնք կարող են կիրառվել հատուկ ուժային արտահայտությունների վրա։

Աշխատում է բազայի և ցուցիչի հետ

Հիմքի կամ ցուցիչի աստիճանը կարող է ունենալ թվեր, փոփոխականներ և որոշ արտահայտություններ: Օրինակ, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7Եվ . Նման ձայնագրությունների հետ դժվար է աշխատել։ Շատ ավելի հեշտ է աստիճանի հիմքի արտահայտությունը կամ ցուցիչի արտահայտությունը փոխարինել նույնական հավասար արտահայտությամբ:

Աստիճանի և ցուցիչի փոխակերպումները կատարվում են միմյանցից առանձին մեզ հայտնի կանոններով։ Ամենակարևորն այն է, որ փոխակերպումների արդյունքում ստացվում է մի արտահայտություն, որը նույնական է սկզբնականին։

Փոխակերպումների նպատակը բնօրինակ արտահայտությունը պարզեցնելն է կամ խնդրի լուծումը ստանալը։ Օրինակ, վերը բերված օրինակում (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 դուք կարող եք կատարել գործողություններ՝ աստիճանին անցնելու համար 4 , 1 1 , 3 . Բացելով փակագծերը՝ աստիճանի հիմքում կարող ենք բերել նմանատիպ տերմիններ (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1)և ստացիր ավելի պարզ ձևի ուժային արտահայտություն ա 2 (x + 1).

Օգտագործելով Power Properties

Հավասարություններ գրված աստիճանների հատկությունները աստիճաններով արտահայտությունները փոխակերպելու հիմնական գործիքներից են։ Այստեղ ներկայացնում ենք հիմնականները՝ նկատի ունենալով դա աԵվ բցանկացած դրական թվեր են, և rԵվ ս- կամայական իրական թվեր.

Սահմանում 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s;
• (ա բ) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r;
• (a r) s = a r s .

Այն դեպքերում, երբ գործ ունենք բնական, ամբողջ թվի, դրական ցուցիչների հետ, a և b թվերի սահմանափակումները կարող են շատ ավելի քիչ խիստ լինել։ Այսպիսով, օրինակ, եթե դիտարկենք հավասարությունը a m a n = a m + n, Որտեղ մԵվ n – ամբողջ թվեր, ապա դա ճիշտ կլինի a-ի ցանկացած արժեքի համար՝ և՛ դրական, և՛ բացասական, ինչպես նաև համար a = 0.

Դուք կարող եք կիրառել աստիճանների հատկությունները առանց սահմանափակումների այն դեպքերում, երբ աստիճանների հիմքերը դրական են կամ պարունակում են փոփոխականներ, որոնց ընդունելի արժեքների միջակայքն այնպիսին է, որ հիմքերը դրա վրա վերցնում են միայն դրական արժեքներ: Փաստորեն, մաթեմատիկայի դպրոցական ծրագրի շրջանակներում աշակերտի խնդիրն է ընտրել համապատասխան հատկությունը և այն ճիշտ կիրառել։

Համալսարաններ ընդունվելու նախապատրաստման ժամանակ կարող են լինել առաջադրանքներ, որոնցում հատկությունների ոչ ճշգրիտ կիրառումը կհանգեցնի ODZ-ի նեղացման և լուծման այլ դժվարությունների: Այս բաժնում մենք կքննարկենք միայն երկու նման դեպք: Թեմայի վերաբերյալ լրացուցիչ տեղեկություններ կարելի է գտնել «Արտահայտությունների փոխակերպումը՝ օգտագործելով ցուցիչ հատկությունները» թեմայում։

Օրինակ 4

Ներկայացրե՛ք արտահայտությունը a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5որպես հիմքով աստիճան ա.

Լուծում

Սկզբից մենք օգտագործում ենք հզորացման հատկությունը և փոխակերպում երկրորդ գործոնը՝ օգտագործելով այն (a 2) - 3. Այնուհետև մենք օգտագործում ենք նույն հիմքով հզորությունների բազմապատկման և բաժանման հատկությունները.

a 2, 5 a − 6: a − 5, 5 = a 2, 5 − 6: a − 5, 5 = a − 3, 5: a − 5, 5 = a − 3, 5 − (− 5 , 5. ) = a 2.

Պատասխան. a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2:

Ուժային արտահայտությունների փոխակերպումն ըստ աստիճանների հատկության կարող է կատարվել ինչպես ձախից աջ, այնպես էլ հակառակ ուղղությամբ։

Օրինակ 5

Գտե՛ք 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 հզորության արտահայտության արժեքը:

Լուծում

Եթե ​​կիրառենք հավասարությունը (ա բ) r = a r b r, աջից ձախ, ապա ստանում ենք 3 7 1 3 21 2 3 և ապա 21 1 3 21 2 3 ձևի արտադրյալ։ Հզորությունները հետ բազմապատկելիս գումարում ենք ցուցիչները նույն հիմքերը 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21:

Փոխակերպումներ կատարելու մեկ այլ եղանակ կա.

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Պատասխան. 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Օրինակ 6

Տրվում է ուժի արտահայտություն a 1, 5 − a 0, 5 − 6, մուտքագրեք նոր փոփոխական t = a 0, 5.

Լուծում

Պատկերացրեք աստիճանը ա 1, 5Ինչպես ա 0, 5 3. Օգտագործելով աստիճանի հատկությունը աստիճանում (a r) s = a r sաջից ձախ և ստացեք (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 : Ստացված արտահայտության մեջ դուք հեշտությամբ կարող եք ներմուծել նոր փոփոխական t = a 0, 5: ստանալ t 3 − t − 6.

Պատասխան. t 3 − t − 6.

Հզորություններ պարունակող կոտորակների փոխակերպում

Մենք սովորաբար գործ ունենք կոտորակներով ուժային արտահայտությունների երկու տարբերակի հետ. արտահայտությունը աստիճանով կոտորակ է կամ պարունակում է այդպիսի կոտորակ։ Բոլոր հիմնական կոտորակների փոխակերպումները կիրառելի են նման արտահայտությունների համար առանց սահմանափակումների: Դրանք կարելի է կրճատել, բերել նոր հայտարարի, առանձին աշխատել համարիչով և հայտարարով։ Սա բացատրենք օրինակներով։

Օրինակ 7

Պարզեցրեք հզորության արտահայտությունը 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2:

Լուծում

Մենք գործ ունենք կոտորակի հետ, ուստի փոխակերպումներ կիրականացնենք և՛ համարիչում, և՛ հայտարարում.

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Կոտորակի դիմաց մինուս դրեք հայտարարի նշանը փոխելու համար՝ 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Պատասխան. 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Հզորություններ պարունակող կոտորակները վերածվում են նոր հայտարարի այնպես, ինչպես ռացիոնալ կոտորակներ. Դա անելու համար պետք է գտնել լրացուցիչ գործակից և բազմապատկել կոտորակի համարիչն ու հայտարարը դրանով։ Անհրաժեշտ է լրացուցիչ գործոն ընտրել այնպես, որ այն չվերանա փոփոխականների որևէ արժեքի համար ODZ փոփոխականներից բնօրինակ արտահայտության համար:

Օրինակ 8

Կոտորակները բերեք նոր հայտարարի. ա) a + 1 a 0, 7 հայտարարին. ա, բ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 դեպի հայտարար x + 8 y 1 2:

Լուծում

ա) Մենք ընտրում ենք մի գործոն, որը մեզ թույլ կտա նվազեցնել նոր հայտարարի: a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a,ուստի որպես լրացուցիչ գործոն վերցնում ենք ա 0, 3. A փոփոխականի թույլատրելի արժեքների միջակայքը ներառում է բոլոր դրական իրական թվերի բազմությունը: Այս ոլորտում աստիճան ա 0, 3չի գնում զրոյի.

Բազմապատկենք կոտորակի համարիչն ու հայտարարը ա 0, 3:

ա + 1 ա 0, 7 = ա + 1 ա 0, 3 ա 0, 7 ա 0, 3 = ա + 1 ա 0, 3 ա

բ) Ուշադրություն դարձրեք հայտարարին.

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Բազմապատկենք այս արտահայտությունը x 1 3 + 2 · y 1 6-ով, մենք ստանում ենք x 1 3 և 2 · y 1 6 խորանարդների գումարը, այսինքն. x + 8 · y 1 2 . Սա մեր նոր հայտարարն է, որին պետք է բերենք սկզբնական կոտորակը։

Այսպիսով, մենք գտանք լրացուցիչ գործակից x 1 3 + 2 · y 1 6: Փոփոխականների ընդունելի արժեքների միջակայքի վրա xԵվ y x 1 3 + 2 y 1 6 արտահայտությունը չի անհետանում, ուստի մենք կարող ենք կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բազմապատկել դրանով.
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Պատասխան.ա) ա + 1 ա 0, 7 = ա + 1 ա 0, 3 ա, բ) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Օրինակ 9

Կրճատել կոտորակը. ա) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, բ) a 1 4 - բ 1 4 ա 1 2 - բ 1 2.

Լուծում

ա) Օգտագործեք ամենամեծ ընդհանուր հայտարարը (GCD), որով կարելի է կրճատել համարիչն ու հայտարարը: 30 և 45 թվերի համար սա 15 է։ Կարող ենք նաև նվազեցնել x 0, 5 + 1իսկ x + 2 x 1 1 3 - 5 3 վրա:

Մենք ստանում ենք.

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

բ) Այստեղ նույնական գործոնների առկայությունը ակնհայտ չէ. Դուք պետք է կատարեք որոշ փոխակերպումներ, որպեսզի ստանաք նույն գործոնները համարիչում և հայտարարում: Դա անելու համար մենք ընդլայնում ենք հայտարարը՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը.

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Պատասխան.ա) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), բ) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4:

Կոտորակների հետ հիմնական գործողությունները ներառում են կրճատումը նոր հայտարարի և կոտորակների կրճատումը: Երկու գործողություններն էլ կատարվում են մի շարք կանոնների պահպանմամբ։ Կոտորակներ գումարել-հանելիս կոտորակները սկզբում վերածվում են ընդհանուր հայտարարի, որից հետո գործողություններ (գումարում կամ հանում) կատարվում են համարիչներով։ Հայտարարը մնում է նույնը. Մեր գործողությունների արդյունքը նոր կոտորակ է, որի համարիչը համարիչների արտադրյալն է, իսկ հայտարարը հայտարարների արտադրյալն է։

Օրինակ 10

Կատարեք x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 քայլերը:

Լուծում

Սկսենք հանելով փակագծերում գտնվող կոտորակները։ Եկեք դրանք բերենք ընդհանուր հայտարարի.

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Եկեք հանենք համարիչները.

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Այժմ մենք բազմապատկում ենք կոտորակները.

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Մի աստիճան պակասեցնենք x 1 2, մենք ստանում ենք 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1:

Բացի այդ, դուք կարող եք պարզեցնել հզորության արտահայտությունը հայտարարի մեջ՝ օգտագործելով քառակուսիների տարբերության բանաձևը՝ քառակուսիներ՝ 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1:

Պատասխան. x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Օրինակ 11

Պարզեցրեք հզորության արտահայտությունը x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3:
Լուծում

Մենք կարող ենք կոտորակը փոքրացնել (x 2, 7 + 1) 2. Մենք ստանում ենք x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 կոտորակ:

Շարունակենք x հզորությունների x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 փոխակերպումները: Այժմ դուք կարող եք օգտագործել էներգիայի բաժանման հատկությունը նույն հիմքերով՝ x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Վերջին արտադրյալից անցնում ենք x 1 3 8 x 2, 7 + 1 կոտորակին։

Պատասխան. x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1:

Շատ դեպքերում ավելի հարմար է բացասական ցուցիչներով բազմապատկիչները փոխանցել համարիչից հայտարարի և հակառակը` փոխելով աստիճանի նշանը: Այս գործողությունը հեշտացնում է հետագա որոշումը։ Բերենք օրինակ՝ հզորության արտահայտությունը (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 կարող է փոխարինվել x 3 · (x + 1) 0 , 2-ով:

Արմատներով և ուժերով արտահայտությունների փոխակերպում

Առաջադրանքներում կան ուժային արտահայտություններ, որոնք պարունակում են ոչ միայն աստիճաններ կոտորակային ցուցիչներով, այլև արմատներ։ Ցանկալի է նման արտահայտությունները կրճատել միայն արմատներով կամ միայն ուժերով։ Նախընտրելի է աստիճանների անցումը, քանի որ դրանց հետ ավելի հեշտ է աշխատել։ Նման անցումը հատկապես ձեռնտու է, երբ սկզբնական արտահայտության համար փոփոխականների DPV-ն թույլ է տալիս փոխարինել արմատները հզորություններով՝ առանց մոդուլի մուտք գործելու կամ DPV-ն մի քանի ընդմիջումների բաժանելու:

Օրինակ 12

x 1 9 x x 3 6 արտահայտությունն արտահայտի՛ր ուժի տեսքով:

Լուծում

Փոփոխականի վավեր տիրույթ xորոշվում է երկու անհավասարությամբ x ≥ 0և x · x 3 ≥ 0, որոնք սահմանում են բազմությունը [ 0 , + ∞) .

Այս հավաքածուի վրա մենք իրավունք ունենք արմատներից անցնել իշխանություններին.

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Օգտագործելով աստիճանների հատկությունները, մենք պարզեցնում ենք ստացված հզորության արտահայտությունը:

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Պատասխան. x 1 9 x x 3 6 = x 1 3:

Փոխարկել հզորությունները ցուցիչի փոփոխականներով

Այս փոխակերպումները բավականին պարզ են կատարվում, եթե դուք ճիշտ օգտագործեք աստիճանի հատկությունները: Օրինակ, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Մենք կարող ենք փոխարինել այն աստիճանի արտադրյալը, որով գտնվել է որոշ փոփոխականի և թվի գումարը։ Ձախ կողմում դա կարելի է անել արտահայտության ձախ կողմում գտնվող առաջին և վերջին տերմիններով.

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0:

Հիմա եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանենք 7 2 x. x փոփոխականի ODZ-ի այս արտահայտությունը ընդունում է միայն դրական արժեքներ.

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Կրճատենք հզորություններով կոտորակները, ստանում ենք՝ 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 ։

Վերջապես, նույն ցուցիչներով հզորությունների հարաբերակցությունը փոխարինվում է գործակիցների հզորություններով, ինչը հանգեցնում է 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 հավասարմանը, որը համարժեք է 5 5 7 x 2 - 3 5 7: x - 2 = 0:

Ներկայացնենք t = 5 7 x նոր փոփոխական, որը նվազեցնում է բնօրինակի լուծումը էքսպոնենցիալ հավասարումորոշման քառակուսի հավասարում 5 տ 2 − 3 տ − 2 = 0։

Արտահայտությունների փոխակերպում ուժերով և լոգարիթմներով

Խնդիրներում հանդիպում են նաև հզորություններ և լոգարիթմներ պարունակող արտահայտություններ։ Նման արտահայտությունների օրինակներ են՝ 1 4 1 - 5 log 2 3 կամ log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 ։ Նման արտահայտությունների փոխակերպումն իրականացվում է վերը քննարկված մոտեցումների և լոգարիթմների հատկությունների միջոցով, որոնք մենք մանրամասն վերլուծել ենք «Լոգարիթմական արտահայտությունների փոխակերպումը» թեմայում։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Թվաբանական գործողությունը, որը կատարվում է վերջինը՝ արտահայտության արժեքը հաշվարկելիս, «հիմնականն» է։

Այսինքն, եթե տառերի փոխարեն փոխարինում եք որոշ (ցանկացած) թվեր և փորձում եք հաշվարկել արտահայտության արժեքը, ապա եթե վերջին գործողությունը բազմապատկվում է, ապա մենք ունենք արտադրյալ (արտահայտությունը տարրալուծվում է գործոնների)։

Եթե ​​վերջին գործողությունը գումարում կամ հանում է, դա նշանակում է, որ արտահայտությունը գործոնավորված չէ (և հետևաբար չի կարող կրճատվել):

Ինքներդ շտկելու համար մի քանի օրինակ.

Օրինակներ.

Լուծումներ:

1. Հուսով եմ, որ դուք անմիջապես չեք շտապել կտրել և. Դեռևս բավարար չէր այսպիսի միավորները «նվազեցնելը».

Առաջին քայլը պետք է լինի ֆակտորիզացնելը.

4. Կոտորակների գումարում և հանում. Կոտորակներն ընդհանուր հայտարարի բերելը:

Գումարում և հանում սովորական կոտորակներ- Գործողությունը հայտնի է. մենք փնտրում ենք ընդհանուր հայտարար, յուրաքանչյուր կոտորակ բազմապատկում ենք բաց թողնված գործակցով և գումարում/հանում ենք համարիչները:

Հիշենք.

Պատասխանները:

1. Հայտարարները և համապարփակ են, այսինքն՝ չունեն ընդհանուր գործակիցներ։ Հետևաբար, այս թվերի LCM-ն հավասար է դրանց արտադրյալին: Սա կլինի ընդհանուր հայտարարը.

2. Այստեղ ընդհանուր հայտարարը հետևյալն է.

3. Առաջին բանն այստեղ խառը կոտորակներդրանք վերածեք սխալների, այնուհետև՝ ըստ սովորական սխեմայի.

Այլ հարց է, եթե կոտորակները տառեր են պարունակում, օրինակ.

Սկսենք պարզից.

ա) Հայտարարները տառեր չեն պարունակում

Այստեղ ամեն ինչ նույնն է, ինչ սովորական թվային կոտորակների դեպքում. մենք գտնում ենք ընդհանուր հայտարար, յուրաքանչյուր կոտորակը բազմապատկում ենք բացակայող գործակցով և ավելացնում/հանում ենք համարիչները.

այժմ համարիչի մեջ կարող եք բերել նմանատիպերը, եթե այդպիսիք կան, և հաշվի առնել դրանք.

Փորձեք ինքներդ.

Պատասխանները:

բ) Հայտարարները պարունակում են տառեր

Հիշենք առանց տառերի ընդհանուր հայտարար գտնելու սկզբունքը.

Առաջին հերթին մենք որոշում ենք ընդհանուր գործոնները.

Այնուհետև մենք մեկ անգամ դուրս ենք գրում բոլոր ընդհանուր գործոնները.

և բազմապատկել դրանք բոլոր այլ գործոններով, այլ ոչ թե ընդհանուր:

Հայտարարների ընդհանուր գործակիցները որոշելու համար մենք նախ դրանք բաժանում ենք պարզ գործոնների.

Մենք ընդգծում ենք ընդհանուր գործոնները.

Այժմ մենք մեկ անգամ գրում ենք ընդհանուր գործոնները և ավելացնում բոլոր ոչ ընդհանուր (չընդգծված) գործոնները.

Սա է ընդհանուր հայտարարը:

Վերադառնանք նամակներին։ Հայտարարները տրվում են ճիշտ նույն կերպ.

Մենք բաժանում ենք հայտարարները գործոնների.

որոշել ընդհանուր (նույնական) բազմապատկիչները.

մեկ անգամ դուրս գրեք բոլոր ընդհանուր գործոնները.

Մենք դրանք բազմապատկում ենք բոլոր այլ գործոններով, այլ ոչ թե ընդհանուր:

Այսպիսով, հերթականությամբ.

1) հայտարարները բաժանել գործոնների.

2) որոշել ընդհանուր (նույնական) գործոնները.

3) մեկ անգամ դուրս գրեք բոլոր ընդհանուր գործոնները և բազմապատկեք դրանք բոլոր մյուս (չընդգծված) գործոններով.

Այսպիսով, ընդհանուր հայտարարն այստեղ է: Առաջին կոտորակը պետք է բազմապատկվի, երկրորդը`.

Ի դեպ, կա մեկ հնարք.

Օրինակ: .

Հայտարարների մեջ մենք տեսնում ենք նույն գործոնները, միայն ամեն ինչով տարբեր ցուցանիշներ. Ընդհանուր հայտարարը կլինի.

չափով

չափով

չափով

աստիճանով։

Եկեք բարդացնենք խնդիրը.

Ինչպե՞ս անել, որ կոտորակները ունեն նույն հայտարարը:

Հիշենք կոտորակի հիմնական հատկությունը.

Ոչ մի տեղ չի ասվում, որ կոտորակի համարիչից և հայտարարից նույն թիվը կարելի է հանել (կամ ավելացնել): Որովհետև դա ճիշտ չէ:

Ինքներդ տեսեք՝ վերցրեք, օրինակ, ցանկացած կոտորակ և համարիչին և հայտարարին ավելացրեք մի թիվ, օրինակ՝ . Ի՞նչ է սովորել։

Այսպիսով, մեկ այլ անսասան կանոն.

Երբ կոտորակները բերում եք ընդհանուր հայտարարի, օգտագործեք միայն բազմապատկման գործողությունը:

Բայց ի՞նչ է պետք բազմապատկել ստանալու համար:

Ահա և բազմապատկեք: Եվ բազմապատկեք հետևյալով.

Այն արտահայտությունները, որոնք հնարավոր չէ ֆակտորիզացնել, կկոչվեն «տարրական գործոններ»:

Օրինակ՝ տարրական գործոն է։ - Նույնը: Բայց ոչ. այն քայքայվում է գործոնների։

Ինչ վերաբերում է արտահայտությանը: Տարրական է՞։

Ոչ, քանի որ այն կարող է ֆակտորիզացվել.

(«» թեմայում արդեն կարդացել եք ֆակտորացման մասին):

Այսպիսով, տարրական գործոնները, որոնց մեջ դուք տառերով տարրալուծում եք արտահայտությունը, պարզ գործոնների անալոգն են, որոնց մեջ դուք տարրալուծում եք թվերը: Եվ մենք նույնը կանենք նրանց հետ։

Մենք տեսնում ենք, որ երկու հայտարարներն էլ ունեն գործոն. Այն գնալու է իշխանության մեջ ընդհանուր հայտարարի (հիշում եք ինչու՞):

Բազմապատկիչը տարրական է, և նրանք չունեն այն ընդհանուր, ինչը նշանակում է, որ առաջին կոտորակը պարզապես պետք է բազմապատկվի դրանով.

Մեկ այլ օրինակ.

Լուծում:

Այս հայտարարները խուճապի մեջ բազմապատկելուց առաջ պետք է մտածել, թե ինչպես դրանք գործոնավորել։ Երկուսն էլ ներկայացնում են.

Հիանալի Ապա.

Մեկ այլ օրինակ.

Լուծում:

Ինչպես միշտ, մենք գործոնացնում ենք հայտարարները: Առաջին հայտարարում մենք այն ուղղակի դնում ենք փակագծերից. երկրորդում - քառակուսիների տարբերությունը.

Թվում է, թե ընդհանուր գործոններ չկան։ Բայց եթե ուշադիր նայեք, նրանք արդեն այնքան նման են... Իսկ ճշմարտությունն այն է.

Այսպիսով, եկեք գրենք.

Այսինքն՝ ստացվեց այսպես՝ փակագծի ներսում մենք փոխեցինք տերմինները, և միաժամանակ կոտորակի դիմացի նշանը փոխվեց հակառակի։ Ուշադրություն դարձրեք, դուք ստիպված կլինեք դա հաճախակի անել:

Այժմ մենք բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Հասկացա? Հիմա եկեք ստուգենք.

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

Պատասխանները:

Այստեղ պետք է հիշել ևս մեկ բան՝ խորանարդի տարբերությունը.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երկրորդ կոտորակի հայտարարը չի պարունակում «գումարի քառակուսի» բանաձևը: Գումարի քառակուսին այսպիսի տեսք կունենա.

A-ն գումարի այսպես կոչված թերի քառակուսին է, որի երկրորդ անդամը առաջինի և վերջինի արտադրյալն է, և ոչ թե նրանց կրկնապատկված արտադրյալը: Գումարի ոչ լրիվ քառակուսին խորանարդների տարբերության ընդլայնման գործոններից մեկն է.

Իսկ եթե արդեն երեք կոտորակ կա:

Այո, նույնը: Առաջին հերթին մենք կհամոզվենք, որ հայտարարների մեջ գործոնների առավելագույն թիվը նույնն է.

Ուշադրություն դարձրեք. եթե դուք փոխում եք նշանները մեկ փակագծի ներսում, ապա կոտորակի դիմացի նշանը փոխվում է հակառակի: Երբ փոխում ենք երկրորդ փակագծի նշանները, կոտորակի դիմացի նշանը կրկին հակադարձվում է։ Արդյունքում նա (կոտորակի դիմացի նշանը) չի փոխվել։

Առաջին հայտարարն ամբողջությամբ դուրս ենք գրում ընդհանուր հայտարարի մեջ, իսկ հետո ավելացնում ենք բոլոր այն գործոնները, որոնք դեռ չեն գրվել՝ երկրորդից, իսկ հետո երրորդից (և այսպես շարունակ, եթե ավելի շատ կոտորակներ կան)։ Այսինքն, այն ընթանում է այսպես.

Հմմ ... Կոտորակների դեպքում պարզ է, թե ինչ անել: Բայց ինչ վերաբերում է երկուսին:

Դա պարզ է. դուք գիտեք, թե ինչպես գումարել կոտորակները, այնպես չէ՞: Այսպիսով, դուք պետք է համոզվեք, որ դյուզը դառնում է կոտորակ: Հիշեք. կոտորակը բաժանման գործողություն է (համարիչը բաժանվում է հայտարարի վրա, եթե հանկարծ մոռացել եք): Եվ չկա ավելի հեշտ բան, քան թիվը բաժանելը: Այս դեպքում թիվն ինքնին չի փոխվի, այլ կվերածվի կոտորակի.

Հենց այն, ինչ անհրաժեշտ է:

5. Կոտորակների բազմապատկում և բաժանում.

Դե, ամենադժվար մասը հիմա ավարտված է: Եվ մեր առջևում ամենապարզն է, բայց միևնույն ժամանակ ամենակարևորը.

Ընթացակարգը

Ո՞րն է թվային արտահայտությունը հաշվարկելու կարգը: Հիշեք, հաշվի առնելով նման արտահայտության արժեքը.

Դուք հաշվել եք?

Այն պետք է աշխատի:

Այսպիսով, ես ձեզ հիշեցնում եմ.

Առաջին քայլը աստիճանի հաշվարկն է:

Երկրորդը բազմապատկումն ու բաժանումն է։ Եթե ​​միաժամանակ մի քանի բազմապատկումներ և բաժանումներ կան, կարող եք դրանք կատարել ցանկացած հերթականությամբ:

Եվ վերջապես մենք կատարում ենք գումարում և հանում։ Կրկին, ցանկացած կարգով:

Բայց. փակագծերում տրված արտահայտությունը գնահատվում է անսարք:

Եթե ​​մի քանի փակագծեր բազմապատկվում կամ բաժանվում են միմյանցով, մենք նախ գնահատում ենք փակագծերից յուրաքանչյուրի արտահայտությունը, այնուհետև բազմապատկում կամ բաժանում ենք դրանք։

Իսկ եթե փակագծերի ներսում այլ փակագծեր կան: Լավ, մտածենք՝ փակագծերի ներսում ինչ-որ արտահայտություն է գրված։ Ո՞րն է առաջին բանը, որ պետք է անել արտահայտությունը գնահատելիս: Ճիշտ է, հաշվարկեք փակագծերը: Դե, մենք դա պարզեցինք՝ սկզբում հաշվարկում ենք ներքին փակագծերը, հետո մնացած ամեն ինչ։

Այսպիսով, վերը նշված արտահայտության գործողությունների կարգը հետևյալն է (ընթացիկ գործողությունը ընդգծված է կարմիրով, այսինքն՝ այն գործողությունը, որը ես կատարում եմ հենց հիմա).

Լավ, ամեն ինչ պարզ է:

Բայց դա նույնը չէ, ինչ տառերով արտահայտությունը, այնպես չէ՞:

Չէ, նույնն է։ Միայն թվաբանական գործողությունների փոխարեն անհրաժեշտ է կատարել հանրահաշվական գործողություններ, այսինքն՝ նախորդ բաժնում նկարագրված գործողությունները. բերելով համանման, կոտորակների գումարում, կոտորակների կրճատում և այլն։ Միակ տարբերությունը կլինի բազմանդամների ֆակտորինգի գործողությունը (մենք հաճախ այն օգտագործում ենք կոտորակների հետ աշխատելիս): Ամենից հաճախ, ֆակտորիզացիայի համար անհրաժեշտ է օգտագործել i կամ պարզապես փակագծերից հանել ընդհանուր գործոնը:

Սովորաբար մեր նպատակն է արտահայտությունը ներկայացնել որպես արտադրանք կամ գործակից:

Օրինակ:

Պարզեցնենք արտահայտությունը.

1) Նախ պարզեցնում ենք փակագծերի արտահայտությունը: Այնտեղ մենք ունենք կոտորակների տարբերությունը, և մեր նպատակն է այն ներկայացնել որպես արտադրյալ կամ գործակից։ Այսպիսով, մենք կոտորակները բերում ենք ընդհանուր հայտարարի և ավելացնում.

Անհնար է այս արտահայտությունն ավելի պարզեցնել, այստեղ բոլոր գործոնները տարրական են (դեռ հիշու՞մ եք, թե դա ինչ է նշանակում):

2) Մենք ստանում ենք.

Կոտորակների բազմապատկում. ինչը կարող է ավելի հեշտ լինել:

3) Այժմ կարող եք կրճատել.

Լավ, հիմա ամեն ինչ ավարտված է: Ոչ մի բարդ բան, չէ՞:

Մեկ այլ օրինակ.

Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Նախ, փորձեք ինքներդ լուծել այն, և միայն դրանից հետո նայեք լուծմանը:

Լուծում:

Նախ, եկեք սահմանենք ընթացակարգը.

Նախ գումարենք փակագծերում գտնվող կոտորակները, երկու կոտորակի փոխարեն կստացվի մեկը։

Հետո կկատարենք կոտորակների բաժանումը։ Դե, մենք ավելացնում ենք արդյունքը վերջին կոտորակի հետ:

Ես սխեմատիկորեն համարակալեմ քայլերը.

Այժմ ես ցույց կտամ ամբողջ գործընթացը՝ ընթացիկ գործողությունը կարմիրով ներկելով.

1. Եթե կան նմանատիպեր, ապա պետք է անհապաղ բերվեն։ Ցանկացած պահի էլ նմաններ ունենանք, ցանկալի է անմիջապես բերել։

2. Նույնը վերաբերում է կոտորակների կրճատմանը. հենց որ հնարավորություն է լինում կրճատելու, այն պետք է օգտագործել։ Բացառություն են կազմում այն ​​կոտորակները, որոնք դուք ավելացնում կամ հանում եք. եթե դրանք այժմ ունեն նույն հայտարարները, ապա կրճատումը պետք է թողնել ավելի ուշ:

Ահա մի քանի առաջադրանքներ, որոնք դուք կարող եք ինքնուրույն լուծել.

Եվ հենց սկզբում խոստացավ.

Պատասխանները:

Լուծումներ (համառոտ).

Եթե ​​գլուխ եք հանել առնվազն առաջին երեք օրինակներից, ապա համարեք, որ տիրապետել եք թեմային:

Այժմ սովորելու համար:

ԱՐՏԱԴՐՈՒԹՅԱՆ ՓՈԽԱՐԿՈՒՄ. ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎ

Հիմնական պարզեցման գործողություններ.

• Նմանատիպ բերելը: նման պայմաններ ավելացնելու (նվազեցնելու) համար անհրաժեշտ է ավելացնել դրանց գործակիցները և նշանակել տառային մասը:
• Factorization:ընդհանուր գործոնը փակագծերից հանելը, կիրառելը և այլն։
• Կոտորակի կրճատումկոտորակի համարիչն ու հայտարարը կարելի է բազմապատկել կամ բաժանել նույն ոչ զրոյական թվով, որից կոտորակի արժեքը չի փոխվում։
  1) համարիչ և հայտարար գործոնացնել
  2) եթե համարիչում և հայտարարում կան ընդհանուր գործակիցներ, դրանք կարելի է հատել:

  ԿԱՐԵՎՈՐ. միայն բազմապատկիչները կարող են կրճատվել:

• Կոտորակների գումարում և հանում.
  ;
• Կոտորակների բազմապատկում և բաժանում.
  ;