Դիտարկվում են ռացիոնալ ֆունկցիաների (կոտորակների) ինտեգրման օրինակներ մանրամասն լուծումներով:

Բովանդակություն

Տես նաեւ: Քառակուսային հավասարման արմատները

Այստեղ մենք մանրամասն լուծումներ ենք տալիս հետևյալ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման երեք օրինակներին.
, , .

Օրինակ 1

Հաշվարկել ինտեգրալը.
.

Այստեղ ինտեգրալ նշանի տակ կա ռացիոնալ ֆունկցիա, քանի որ ինտեգրանդը բազմանդամների կոտորակ է։ հայտարարի բազմանդամի աստիճանը ( 3 ) փոքր է համարիչի բազմանդամի աստիճանից ( 4 ) Հետեւաբար, նախ պետք է ընտրել կոտորակի ամբողջ մասը:

1. Վերցնենք կոտորակի ամբողջական մասը։ Բաժանել x 4 x-ի վրա 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Այստեղից
.

2. Եկեք գործոնացնենք հայտարարը. Դա անելու համար դուք պետք է լուծեք խորանարդ հավասարումը.
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Փոխարինող x = 1 :
.

1 . Բաժանել x-ով - 1 :

Այստեղից
.
Մենք որոշում ենք քառակուսային հավասարում.
.
Հավասարումների արմատները՝ , .
Հետո
.

3. Կոտորակը տարրալուծենք պարզերի։

.

Այսպիսով, մենք գտանք.
.
Եկեք ինտեգրվենք.

Օրինակ 2

Հաշվարկել ինտեգրալը.
.

Այստեղ կոտորակի համարիչում զրո աստիճանի բազմանդամ է ( 1 = x0) Հայտարարը երրորդ աստիճանի բազմանդամ է։ Քանի որ 0 < 3 , ապա կոտորակը ճիշտ է։ Բաժանենք այն պարզ կոտորակների։

1. Եկեք գործոնացնենք հայտարարը. Դա անելու համար անհրաժեշտ է լուծել երրորդ աստիճանի հավասարումը.
.
Ենթադրենք, որ այն ունի առնվազն մեկ ամբողջական արմատ: Ապա դա թվի բաժանարարն է 3 (անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը.
1, 3, -1, -3 .
Փոխարինող x = 1 :
.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ արմատ x = 1 . Բաժանել x 3 + 2 x - 3 x-ի վրա 1 :

Այսպիսով,
.

Մենք լուծում ենք քառակուսի հավասարումը.
x 2 + x + 3 = 0.
Գտե՛ք դիսկրիմինատորը՝ D = 1 2 - 4 3 = -11. Քանի որ Դ< 0 , ուրեմն հավասարումն իրական արմատներ չունի։ Այսպիսով, մենք ստացել ենք հայտարարի տարրալուծումը գործոնների.
.

2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1) .
Փոխարինող x = 1 . Հետո x- 1 = 0 ,
.

Փոխարինել ներս (2.1) x= 0 :
1 = 3 A - C;
.

Հավասարեցնել մեջ (2.1) գործակիցները x-ում 2 :
;
0=A+B;
.

.

3. Եկեք ինտեգրվենք.
(2.2) .
Երկրորդ ինտեգրալը հաշվարկելու համար մենք ընտրում ենք հայտարարի ածանցյալը համարիչում և հայտարարը կրճատում ենք մինչև քառակուսիների գումարը։

;
;
.

Հաշվիր I 2 .


.
Քանի որ x հավասարումը 2 + x + 3 = 0չունի իրական արմատներ, ապա x 2 + x + 3 > 0. Հետեւաբար, մոդուլի նշանը կարող է բաց թողնել:

Մենք առաքում ենք (2.2) :
.

Օրինակ 3

Հաշվարկել ինտեգրալը.
.

Այստեղ ինտեգրալի նշանի տակ բազմանդամների կոտորակն է։ Հետևաբար, ինտեգրանդը ռացիոնալ ֆունկցիա է։ Բազմանանդամի աստիճանը համարիչում է 3 . Կոտորակի հայտարարի բազմանդամի աստիճանն է 4 . Քանի որ 3 < 4 , ապա կոտորակը ճիշտ է։ Հետևաբար, այն կարող է քայքայվել պարզ կոտորակների։ Բայց դրա համար անհրաժեշտ է բաժանել հայտարարը գործոնների։

1. Եկեք գործոնացնենք հայտարարը. Դա անելու համար հարկավոր է լուծել չորրորդ աստիճանի հավասարումը.
.
Ենթադրենք, որ այն ունի առնվազն մեկ ամբողջական արմատ: Ապա դա թվի բաժանարարն է 2 (անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը.
1, 2, -1, -2 .
Փոխարինող x = -1 :
.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ արմատ x = -1 . Բաժանել x-ով - (-1) = x + 1:


Այսպիսով,
.

Այժմ մենք պետք է լուծենք երրորդ աստիճանի հավասարումը.
.
Եթե ​​ենթադրենք, որ այս հավասարումն ունի ամբողջ թվային արմատ, ապա այն թվի բաժանարար է 2 (անդամ առանց x-ի): Այսինքն, ամբողջ արմատը կարող է լինել թվերից մեկը.
1, 2, -1, -2 .
Փոխարինող x = -1 :
.

Այսպիսով, մենք գտանք մեկ այլ արմատ x = -1 . Հնարավոր կլիներ, ինչպես նախորդ դեպքում, բազմանդամը բաժանել , բայց մենք կխմբավորենք տերմինները.
.

Քանի որ x հավասարումը 2 + 2 = 0 չունի իրական արմատներ, ապա մենք ստանում ենք հայտարարի ֆակտորիզացումը.
.

2. Կոտորակը տարրալուծենք պարզերի։ Մենք փնտրում ենք տարրալուծում հետևյալ ձևով.
.
Ազատվում ենք կոտորակի հայտարարից, բազմապատկում ենք (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Փոխարինող x = -1 . Այնուհետև x + 1 = 0 ,
.

Տարբերակել (3.1) :

;

.
Փոխարինող x = -1 և հաշվի առեք, որ x + 1 = 0 :
;
; .

Փոխարինել ներս (3.1) x= 0 :
0 = 2A + 2B + D;
.

Հավասարեցնել մեջ (3.1) գործակիցները x-ում 3 :
;
1=B+C;
.

Այսպիսով, մենք գտանք տարրալուծումը պարզ կոտորակների.
.

3. Եկեք ինտեգրվենք.


.

Տես նաեւ:

Ինչպես կտեսնենք ստորև, ամեն տարրական ֆունկցիա չէ, որ ունի տարրական ֆունկցիաներով արտահայտված ինտեգրալ։ Ուստի շատ կարևոր է առանձնացնել ֆունկցիաների այնպիսի դասեր, որոնց ինտեգրալներն արտահայտված են արտահայտությամբ տարրական գործառույթներ. Այս դասերից ամենապարզը ռացիոնալ ֆունկցիաների դասն է։

Ցանկացած ռացիոնալ ֆունկցիա կարող է ներկայացվել որպես ռացիոնալ կոտորակ, այսինքն՝ որպես երկու բազմանդամների հարաբերություն.

Առանց փաստարկի ընդհանրությունը սահմանափակելու՝ կենթադրենք, որ բազմանդամներն ընդհանուր արմատներ չունեն։

Եթե ​​համարիչը ցածր է հայտարարի աստիճանից, ապա կոտորակը կոչվում է պատշաճ, հակառակ դեպքում՝ կոտորակը ոչ պատշաճ։

Եթե ​​կոտորակը սխալ է, ապա համարիչը բաժանելով հայտարարի վրա (ըստ բազմանդամների բաժանման կանոնի) կարող եք այս կոտորակը ներկայացնել որպես բազմանդամի և որոշ կանոնավոր կոտորակի գումար.

այստեղ բազմանդամ է և պատշաճ կոտորակ է:

Օրինակ t. Թող տրվի ոչ պատշաճ ռացիոնալ կոտորակ

Բաժանելով համարիչը հայտարարի վրա (ըստ բազմանդամների բաժանման կանոնի) ստանում ենք.

Քանի որ բազմանդամների ինտեգրումը դժվար չէ, ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման հիմնական դժվարությունը ճիշտ ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրումն է:

Սահմանում. Ձևի ճիշտ ռացիոնալ կոտորակներ

կոչվում են I, II, III և IV տիպերի ամենապարզ կոտորակները։

I, II և III տիպերի ամենապարզ կոտորակների ինտեգրումն այնքան էլ դժվար չէ, ուստի մենք դրանք կմիավորենք առանց որևէ լրացուցիչ բացատրության.

Ավելի բարդ հաշվարկները պահանջում են IV տիպի ամենապարզ կոտորակների ինտեգրում: Եկեք մեզ տրվի այս տեսակի ինտեգրալ.

Կատարենք փոխակերպումներ.

Առաջին ինտեգրալը վերցվում է փոխարինելով

Երկրորդ ինտեգրալը - այն նշում ենք և գրում ձևով

Ըստ ենթադրության, հայտարարի արմատները բարդ են, և հետևաբար, Հաջորդը, մենք գործում ենք հետևյալ կերպ.

Եկեք փոխակերպենք ինտեգրալը.

Ինտեգրվելով ըստ մասերի, մենք ունենք

Այս արտահայտությունը փոխարինելով հավասարությամբ (1), մենք ստանում ենք

Աջ կողմը պարունակում է նույն տիպի ինտեգրալ, բայց ինտեգրանդի հայտարարի չափանիշը մեկով պակաս է. այսպիսով, մենք արտահայտվել ենք . Շարունակելով նույն ճանապարհը՝ հասնում ենք հայտնի ինտեգրալին.

Կոտորակի ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում.
Չորոշված ​​գործակիցների մեթոդ

Մենք շարունակում ենք աշխատել կոտորակների ինտեգրման վրա: Դասում արդեն դիտարկել ենք կոտորակների որոշ տեսակների ինտեգրալներ, և այս դասը ինչ-որ իմաստով կարելի է համարել շարունակություն։ Նյութը հաջողությամբ հասկանալու համար պահանջվում են ինտեգրման հիմնական հմտություններ, այնպես որ, եթե դուք նոր եք սկսել ուսումնասիրել ինտեգրալները, այսինքն՝ թեյնիկ եք, ապա պետք է սկսել հոդվածից։ Անորոշ ինտեգրալ։ Լուծման օրինակներ.

Տարօրինակ կերպով, հիմա մենք կզբաղվենք ոչ այնքան ինտեգրալներ գտնելով, որքան ... համակարգեր լուծելով գծային հավասարումներ. Այս կապակցությամբ խիստԵս խորհուրդ եմ տալիս այցելել դասը Մասնավորապես, դուք պետք է լավ տիրապետեք փոխարինման մեթոդներին («դպրոցական» մեթոդը և համակարգի հավասարումների ժամկետային գումարման (հանման) մեթոդը):

Ի՞նչ է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիան: Պարզ բառերով, կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան այն կոտորակն է, որի համարիչում և հայտարարում բազմանդամներ են կամ բազմանդամների արտադրյալներ։ Միևնույն ժամանակ, ֆրակցիաներն ավելի բարդ են, քան հոդվածում քննարկվածները: Որոշ կոտորակների ինտեգրում.

Ճիշտ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրում

Անմիջապես օրինակ և տիպիկ ալգորիթմ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի ինտեգրալի լուծման համար։

Օրինակ 1

Քայլ 1.Առաջին բանը, որ մենք ՄԻՇՏ անում ենք ռացիոնալ-կոտորակային ֆունկցիայի ինտեգրալ լուծելիս՝ պարզելն է. հաջորդ հարցը: ճի՞շտ է կոտորակըԱյս քայլը կատարվում է բանավոր, և այժմ ես կբացատրեմ, թե ինչպես.

Նախ նայեք համարիչին և պարզեք ավագ աստիճանբազմանդամ:

Համարիչի ամենաբարձր հզորությունը երկուսն է։

Հիմա նայեք հայտարարին և պարզեք ավագ աստիճանհայտարար. Ակնհայտ ճանապարհը փակագծերը բացելն ու նմանատիպ պայմաններ բերելն է, բայց դուք կարող եք դա անել ավելի հեշտ՝ ներսում յուրաքանչյուրըփակագծերը գտնել ամենաբարձր աստիճանը

և մտավոր բազմապատկել՝ - այսպիսով, հայտարարի ամենաբարձր աստիճանը հավասար է երեքի: Միանգամայն ակնհայտ է, որ եթե իսկապես բացենք փակագծերը, ապա երեքից մեծ աստիճան չենք ստանա։

ԵզրակացությունՀամարիչի ամենաբարձր հզորությունը ԽԻՍՏպակաս է հայտարարի ամենաբարձր հզորությունից, ուրեմն կոտորակը ճիշտ է:

Եթե ​​այս օրինակում համարիչը պարունակում էր 3, 4, 5 և այլն բազմանդամ: աստիճան, ապա կոտորակը կլիներ սխալ.

Այժմ մենք կդիտարկենք միայն պատշաճ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիաները. Այն դեպքը, երբ համարիչի աստիճանը մեծ կամ հավասար է հայտարարի աստիճանին, մենք կվերլուծենք դասի վերջում։

Քայլ 2Եկեք գործոնացնենք հայտարարը. Եկեք նայենք մեր հայտարարին.

Ընդհանրապես, այստեղ արդեն գործոնների արդյունք է, բայց, այնուամենայնիվ, մենք ինքներս մեզ հարցնում ենք՝ հնարավո՞ր է այլ բան ընդլայնել։ Խոշտանգումների առարկան, անշուշտ, կլինի քառակուսի եռանկյունը։ Մենք լուծում ենք քառակուսի հավասարումը.

Տարբերիչը զրոյից մեծ է, ինչը նշանակում է, որ եռանդամն իսկապես գործոնացված է.

Ընդհանուր կանոն. ԱՄԵՆ ԻՆՉ, ինչ հայտարարի մեջ ԿԱՐԵԼԻ Է գործոնավորվել՝ ֆակտորիզացնել

Եկեք սկսենք որոշում կայացնել.

Քայլ 3Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը, մենք ընդլայնում ենք ինտեգրանդպարզ (տարրական) կոտորակների գումարի մեջ: Հիմա ավելի պարզ կլինի։

Եկեք նայենք մեր ինտեգրման գործառույթին.

Եվ, գիտեք, մի ինտուիտիվ միտք ինչ-որ կերպ սահում է, որ լավ կլիներ մեր մեծ կոտորակը վերածել մի քանի փոքրի: Օրինակ, այսպես.

Հարց է առաջանում՝ հնարավո՞ր է դա անել։ Եկեք թեթեւացած շունչ քաշենք, մաթեմատիկական անալիզի համապատասխան թեորեմում ասվում է՝ ՀՆԱՐԱՎՈՐ Է։ Նման տարրալուծում կա և եզակի է.

Կա միայն մեկ բռնում, գործակիցները մենք Ցտեսությունչգիտենք, այստեղից էլ անվանումը՝ անորոշ գործակիցների մեթոդ։

Դուք գուշակեցիք, որ հաջորդող ժեստերը, այնպես որ, մի քրքջացեք: ուղղված կլինի հենց նրանց ՍՈՎՈՐԵԼՈՒ - պարզել, թե ինչին են նրանք հավասար:

Զգույշ եղեք, մի անգամ մանրամասն բացատրում եմ!

Այսպիսով, եկեք սկսենք պարել հետևյալից.

Ձախ կողմում արտահայտությունը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Այժմ մենք ապահով կերպով ազատվում ենք հայտարարներից (քանի որ դրանք նույնն են).

Ձախ կողմում բացում ենք փակագծերը, մինչդեռ անհայտ գործակիցներին դեռ չենք շոշափում.

Միաժամանակ կրկնում ենք դպրոցի կանոնբազմանդամների բազմապատկում. Երբ ես ուսուցիչ էի, ես սովորեցի ուղիղ դեմքով ասել այս կանոնը. Բազմանդամը բազմանդամով բազմապատկելու համար անհրաժեշտ է մեկ բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամը բազմապատկել մյուս բազմանդամի յուրաքանչյուր անդամով։.

Հստակ բացատրության տեսանկյունից ավելի լավ է գործակիցները դնել փակագծերում (չնայած ես անձամբ երբեք դա չեմ անում՝ ժամանակ խնայելու համար).

Մենք կազմում ենք գծային հավասարումների համակարգ:
Նախ, մենք փնտրում ենք ավագ աստիճաններ.

Իսկ համակարգի առաջին հավասարման մեջ գրում ենք համապատասխան գործակիցները.

Լավ հիշեք հետևյալ նրբերանգը. Ի՞նչ կլիներ, եթե աջ կողմն ընդհանրապես չլիներ։ Ասա, դա ուղղակի կցուցադրվի՞ առանց որևէ քառակուսու: Այս դեպքում համակարգի հավասարման մեջ անհրաժեշտ կլիներ աջ կողմում զրո դնել. Ինչու՞ զրո: Եվ քանի որ աջ կողմում միշտ կարող եք վերագրել այս նույն քառակուսին զրոյով. Եթե աջ կողմում չկան փոփոխականներ կամ (և) ազատ անդամ, ապա մենք զրո ենք դնում համակարգի համապատասխան հավասարումների աջ կողմերում։

Համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ գրում ենք համապատասխան գործակիցները.

Եվ, վերջապես, հանքային ջուր, մենք ընտրում ենք անվճար անդամներ:

Էհ, ... կատակում էի։ Կատակները մի կողմ՝ մաթեմատիկան լուրջ գիտություն է։ Մեր ինստիտուտի խմբում ոչ ոք չծիծաղեց, երբ ասիստենտն ասաց, որ անդամներին ցրելու է թվային գծով և ընտրել նրանցից ամենամեծը։ Եկեք լրջանանք. Թեև ... ով ապրում է այս դասի ավարտը տեսնելու համար, միեւնույն է, հանգիստ կժպտա:

Համակարգը պատրաստ է.

Մենք լուծում ենք համակարգը.

(1) Առաջին հավասարումից մենք այն արտահայտում և փոխարինում ենք համակարգի 2-րդ և 3-րդ հավասարումներով: Իրականում հնարավոր էր արտահայտել (կամ մեկ այլ տառ) մեկ այլ հավասարումից, բայց այս դեպքում ձեռնտու է այն արտահայտել 1-ին հավասարումից, քանի որ կա. ամենափոքր հավանականությունը.

(2) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ 2-րդ և 3-րդ հավասարումներում:

(3) 2-րդ և 3-րդ հավասարումները գումարում ենք անդամ առ անդամ՝ ստանալով հավասարություն, որից հետևում է.

(4) Մենք փոխարինում ենք երկրորդ (կամ երրորդ) հավասարմանը, որից մենք գտնում ենք, որ

(5) Մենք փոխարինում ենք և մտնում առաջին հավասարման մեջ՝ ստանալով .

Եթե ​​համակարգի լուծման մեթոդների հետ կապված դժվարություններ ունեք, դրանք մշակեք դասարանում։ Ինչպե՞ս լուծել գծային հավասարումների համակարգը:

Համակարգը լուծելուց հետո միշտ օգտակար է ստուգում կատարել՝ փոխարինել գտնված արժեքները յուրաքանչյուրումհամակարգի հավասարումը, արդյունքում ամեն ինչ պետք է «համընկնի»։

Գրեթե հասել է: Գործակիցները գտնված են, մինչդեռ.

Մաքուր աշխատանքը պետք է նման լինի հետևյալին.

Ինչպես տեսնում եք, առաջադրանքի հիմնական դժվարությունը գծային հավասարումների համակարգ կազմելն էր (ճիշտ!) և լուծելը (ճիշտ): Իսկ վերջնական փուլում ամեն ինչ այնքան էլ դժվար չէ՝ մենք օգտագործում ենք գծայինության հատկությունները անորոշ ինտեգրալև ինտեգրվել: Ձեր ուշադրությունը հրավիրում եմ այն ​​փաստի վրա, որ երեք ինտեգրալներից յուրաքանչյուրի տակ մենք ունենք «անվճար» բարդ գործառույթ, դասին խոսեցի դրա ինտեգրման առանձնահատկությունների մասին Փոփոխական փոփոխության մեթոդ անորոշ ինտեգրալում.

Ստուգեք. Տարբերեք պատասխանը.

Ստացվել է սկզբնական ինտեգրանդը, ինչը նշանակում է, որ ինտեգրալը ճիշտ է գտնվել։
Ստուգման ժամանակ անհրաժեշտ էր արտահայտությունը բերել ընդհանուր հայտարարի, և դա պատահական չէ։ Անորոշ գործակիցների մեթոդը և արտահայտությունը ընդհանուր հայտարարի բերելը փոխադարձ հակադարձ գործողություններ են։

Օրինակ 2

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Եկեք վերադառնանք առաջին օրինակի կոտորակին. . Հեշտ է տեսնել, որ հայտարարում բոլոր գործոնները ՏԱՐԲԵՐ են: Հարց է առաջանում՝ ի՞նչ անել, եթե, օրինակ, տրվի այսպիսի կոտորակ. ? Այստեղ մենք ունենք աստիճաններ հայտարարի մեջ, կամ, մաթեմատիկական առումով, բազմաթիվ գործոններ. Բացի այդ, գոյություն ունի անբաժանելի քառակուսի եռանկյուն (հեշտ է ստուգել, ​​որ հավասարման դիսկրիմինանտը բացասական է, ուստի եռանկյունը չի կարող որևէ կերպ գործոնավորվել): Ինչ անել? Տարրական կոտորակների գումարի ընդլայնումը նման կլինի վերևում անհայտ գործակիցներով, թե՞ այլ կերպ:

Օրինակ 3

Ներկայացրեք գործառույթ

Քայլ 1.Ստուգում, թե արդյոք ունենք ճիշտ կոտորակ
Համարիչի ամենաբարձր հզորությունը՝ 2
Ամենաբարձր հայտարարը՝ 8
, ուրեմն կոտորակը ճիշտ է։

Քայլ 2Կարո՞ղ է ինչ-որ բան հաշվի առնել հայտարարի մեջ: Ակնհայտորեն ոչ, ամեն ինչ արդեն շարադրված է։ Քառակուսի եռանկյունվերը նշված պատճառներով չի ընդլայնվում արտադրանքի մեջ: Լավ. Ավելի քիչ աշխատանք.

Քայլ 3Ներկայացնենք կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան որպես տարրական կոտորակների գումար:
Այս դեպքում տարրալուծումն ունի հետևյալ ձևը.

Եկեք նայենք մեր հայտարարին.
Կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան տարրական կոտորակների գումարի բաժանելիս կարելի է առանձնացնել երեք հիմնարար կետ.

1) Եթե հայտարարը պարունակում է «միայնակ» գործակից առաջին աստիճանում (մեր դեպքում), ապա վերևում դնում ենք անորոշ գործակից (մեր դեպքում): Թիվ 1,2 օրինակները բաղկացած էին միայն այդպիսի «մենակ» գործոններից։

2) Եթե հայտարարը պարունակում է բազմակիբազմապատկիչ, ապա դուք պետք է քայքայեք հետևյալ կերպ.
- այսինքն՝ հաջորդաբար դասավորել «x»-ի բոլոր աստիճանները՝ առաջինից մինչև n-րդ աստիճան: Մեր օրինակում կան երկու բազմաթիվ գործոններ. և, ևս մեկ նայեք իմ տված տարրալուծմանը և համոզվեք, որ դրանք քայքայված են հենց այս կանոնի համաձայն:

3) Եթե հայտարարը պարունակում է երկրորդ աստիճանի անբաժանելի բազմանդամ (մեր դեպքում), ապա համարիչում ընդլայնելիս պետք է գրել. գծային ֆունկցիաանորոշ գործակիցներով (մեր դեպքում՝ անորոշ գործակիցներով և )։

Փաստորեն, կա նաև 4-րդ դեպքը, բայց ես կլռեմ, քանի որ գործնականում դա չափազանց հազվադեպ է։

Օրինակ 4

Ներկայացրեք գործառույթ որպես անհայտ գործակիցներով տարրական կոտորակների գումար:

Սա օրինակ է անկախ որոշում. Ամբողջական լուծումիսկ պատասխանը՝ դասի վերջում։
Խստորեն հետևեք ալգորիթմին:

Եթե ​​դուք պարզել եք այն սկզբունքները, որոնցով պետք է կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիան գումարի վերածել, ապա կարող եք կոտրել դիտարկվող տեսակի գրեթե ցանկացած ինտեգրալ:

Օրինակ 5

Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալը:

Քայլ 1.Ակնհայտ է, որ կոտորակը ճիշտ է.

Քայլ 2Կարո՞ղ է ինչ-որ բան հաշվի առնել հայտարարի մեջ: Կարող է. Ահա խորանարդների գումարը . Հայտարարի գործակցում` օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևը

Քայլ 3Օգտագործելով անորոշ գործակիցների մեթոդը, մենք ինտեգրանդը ընդլայնում ենք տարրական կոտորակների գումարի մեջ.

Նկատի ունեցեք, որ բազմանդամն անբաժանելի է (ստուգեք, որ դիսկրիմինանտը բացասական է), ուստի վերևում դնում ենք անհայտ գործակիցներով գծային ֆունկցիա և ոչ միայն մեկ տառ:

Կոտորակը բերում ենք ընդհանուր հայտարարի.

Եկեք ստեղծենք և լուծենք համակարգը.

(1) Առաջին հավասարումից մենք արտահայտում և փոխարինում ենք համակարգի երկրորդ հավասարման մեջ (սա ամենառացիոնալ ձևն է):

(2) Մենք ներկայացնում ենք նմանատիպ տերմիններ երկրորդ հավասարման մեջ:

(3) Մենք տերմին առ անդամ ավելացնում ենք համակարգի երկրորդ և երրորդ հավասարումները:

Հետագա բոլոր հաշվարկները, սկզբունքորեն, բանավոր են, քանի որ համակարգը պարզ է:

(1) Կոտորակների գումարը գրում ենք հայտնաբերված գործակիցներին համապատասխան:

(2) Մենք օգտագործում ենք անորոշ ինտեգրալի գծայինության հատկությունները: Ի՞նչ է տեղի ունեցել երկրորդ ինտեգրալում։ Այս մեթոդը կարող եք գտնել դասի վերջին պարբերությունում: Որոշ կոտորակների ինտեգրում.

(3) Կրկին օգտագործում ենք գծայինության հատկությունները: Երրորդ ինտեգրալում մենք սկսում ենք մեկուսացնել լրիվ քառակուսի(դասի նախավերջին պարբերություն Որոշ կոտորակների ինտեգրում).

(4) Վերցնում ենք երկրորդ ինտեգրալը, երրորդում ընտրում ենք լրիվ քառակուսին։

(5) Մենք վերցնում ենք երրորդ ինտեգրալը: Պատրաստ.

Կոտորակը կոչվում է ճիշտեթե համարիչի ամենաբարձր հզորությունը փոքր է հայտարարի ամենաբարձր հզորությունից. Ճիշտ ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրալն ունի ձև.

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ռացիոնալ կոտորակների ինտեգրման բանաձևը կախված է հայտարարի բազմանդամի արմատներից։ Եթե ​​$ ax^2+bx+c $ բազմանդամն ունի.

1. Միայն բարդ արմատներ, ապա դրանից անհրաժեշտ է ընտրել լրիվ քառակուսի` $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^ 2 \pm a ^2) $$
2. Տարբեր իրական արմատներ $ x_1 $ և $ x_2 $, ապա պետք է ընդլայնել ինտեգրալը և գտնել $ A $ և $ B $ անորոշ գործակիցները. $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Մեկ բազմակի արմատ $ x_1 $, այնուհետև մենք ընդլայնում ենք ինտեգրալը և գտնում ենք $ A $ և $ B $ անորոշ գործակիցները այս բանաձևի համար. $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Եթե ​​կոտորակն է սխալ, այսինքն՝ համարիչի ամենաբարձր աստիճանը մեծ է կամ հավասար է հայտարարի ամենաբարձր աստիճանին, այնուհետև այն նախ պետք է իջեցնել մինչև ճիշտմիտք՝ բազմանդամը համարիչից բաժանելով բազմանդամի հայտարարից։ Այս դեպքում ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրման բանաձևը հետևյալն է.

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Լուծման օրինակներ

Օրինակ 1

Գտեք ռացիոնալ կոտորակի ինտեգրալը՝ $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) $$

Լուծում

Կոտորակը կանոնավոր է, իսկ բազմանդամն ունի միայն բարդ արմատներ: Այսպիսով, մենք ընտրում ենք ամբողջական քառակուսի. $$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \int \frac(dx)(x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9) = $$ Մենք փլուզում ենք լրիվ քառակուսին և գումարում ենք $ x-5 $ դիֆերենցիալ նշանի տակ. $$ = \int \frac(dx)((x-5)^2 - 9) = \int \frac(d(x-5))((x-5)^2-9) = $$ Օգտագործելով ինտեգրալների աղյուսակը, մենք ստանում ենք. $$ = \frac(1)(2 \cdot 3) \ln \bigg | \frac(x-5 - 3)(x-5 + 3) \bigg | + C = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$ Եթե ​​դուք չեք կարող լուծել ձեր խնդիրը, ապա ուղարկեք այն մեզ: Մենք մանրամասն լուծում կտանք։ Դուք կկարողանաք ծանոթանալ հաշվարկի ընթացքին և տեղեկություններ հավաքել: Սա կօգնի ձեզ ժամանակին ուսուցչից վարկ ստանալ:

Պատասխանել

$$ \int \frac(dx)(x^2-10x+16) = \frac(1)(6) \ln \bigg |\frac(x-8)(x-2) \bigg | +C$$

Օրինակ 2

Ինտեգրել ռացիոնալ կոտորակները՝ $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx $$

Լուծում

Լուծե՛ք քառակուսի հավասարումը` $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_(12) = \frac(-5\pm \sqrt(25-4\cdot 1 \cdot (-6)))(2) = \frac(-5 \pm 7)(2) $$ Գրենք արմատները. $$ x_1 = \frac (-5-7) (2) = -6; x_2 = \frac(-5+7)(2) = 1 $$ Հաշվի առնելով ստացված արմատները՝ փոխակերպում ենք ինտեգրալը. $$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \int \frac(x+2)((x-1)(x+6)) dx = $$ Մենք կատարում ենք ռացիոնալ կոտորակի ընդլայնում. $$ \frac(x+2)((x-1)(x+6)) = \frac(A)(x-1) + \frac(B)(x+6) = \frac(A(x) -6)+B(x-1))((x-1)(x+6)) $$ Հավասարեցրե՛ք համարիչները և գտե՛ք $ A $ և $ B $ գործակիցները. $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \սկիզբ (դեպքեր) A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \վերջ (դեպքեր) $$ $$ \սկիզբ (դեպքեր) A = \frac(3)(7) \\ B = \frac(4)(7) \վերջ (դեպքեր) $$ Գտնված գործակիցները փոխարինում ենք ինտեգրալով և լուծում. $$ \int \frac(x+2)((x-1)(x+6))dx = \int \frac(\frac(3)(7))(x-1) dx + \int \frac (\frac(4)(7))(x+6) dx = $$ $$ = \frac(3)(7) \int \frac(dx)(x-1) + \frac(4)(7) \int \frac(dx)(x+6) = \frac(3) (7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$

Պատասխանել

$$ \int \frac(x+2)(x^2+5x-6) dx = \frac(3)(7) \ln |x-1| + \frac(4)(7) \ln |x+6| +C$$