Բավականին հաճախ ավելացած բարդության առաջադրանքներում կան մոդուլ պարունակող եռանկյունաչափական հավասարումներ. Դրանցից շատերը պահանջում են էվրիստիկ մոտեցում լուծմանը, որը բոլորովին ծանոթ չէ ուսանողների մեծամասնությանը:
Ստորև բերված առաջադրանքները նախատեսված են ձեզ ներկայացնելու մոդուլ պարունակող եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման առավել բնորոշ մեթոդները:
Առաջադրանք 1. Գտե՛ք ամենափոքր դրականի և ամենամեծի տարբերությունը (աստիճաններով): բացասական արմատներհավասարումներ 1 + 2sin x · |cos x| = 0.
Լուծում.
Եկեք ընդլայնենք մոդուլը.
1) Եթե cos x ≥ 0, ապա սկզբնական հավասարումը կունենա 1 + 2sin x cos x = 0 ձև:
Մենք օգտագործում ենք կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը, ստանում ենք.
1 + sin2x = 0; sin2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Քանի որ cos x ≥ 0, ապա x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Եթե cos x< 0, то տրված հավասարումըունի 1 - 2sin x cos x = 0 ձև: Ըստ կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևի, մենք ունենք.
1 – sin2x = 0; sin2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Քանի որ cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Հավասարման ամենամեծ բացասական արմատը՝ -π / 4; հավասարման ամենափոքր դրական արմատը՝ 5π/4:
Ցանկալի տարբերություն՝ 5π/4 - (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°:
Պատասխան՝ 270°։
Խնդիր 2. Գտե՛ք (աստիճաններով) հավասարման ամենափոքր դրական արմատը |tg x| + 1/cos x = tg x.
Լուծում.
Եկեք ընդլայնենք մոդուլը.
1) Եթե tg x ≥ 0, ապա
tg x + 1 / cos x = tg x;
Ստացված հավասարման մեջ արմատներ չկան:
2) Եթե tg x< 0, тогда
Tg x + 1 / cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1 / cos x - 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 և cos x ≠ 0:
Օգտագործելով Նկար 1-ը և tg x պայմանը< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) 5π/6 հավասարման ամենափոքր դրական արմատը. Փոխակերպեք այս արժեքը աստիճանների.
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°:
Պատասխան՝ 150°։
Առաջադրանք 3. Գտե՛ք sin հավասարման տարբեր արմատների թիվը |2x| = cos 2x [-π/2; π/2]:
Լուծում.
Հավասարումը գրենք որպես sin|2x| – cos 2x = 0 եւ դիտարկենք y = sin |2x| ֆունկցիան - 2x. Քանի որ ֆունկցիան զույգ է, մենք գտնում ենք նրա զրոները x ≥ 0-ի համար:
մեղք 2x – cos 2x = 0; հավասարման երկու կողմերը բաժանում ենք cos 2x ≠ 0-ով, ստանում ենք.
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n ∈ Z;
x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.
Օգտագործելով ֆունկցիայի հավասարությունը՝ մենք ստանում ենք, որ սկզբնական հավասարման արմատները ձևի թվեր են
± (π/8 + πn/2), որտեղ n ∈ Z.
Ընդմիջումը [-π/2; π/2] թվերը պատկանում են՝ -π/8; π/8.
Այսպիսով, հավասարման երկու արմատները պատկանում են տվյալ միջակայքին։
Պատասխան՝ 2.
Այս հավասարումը կարող է լուծվել նաև մոդուլի ընդլայնման միջոցով:
Առաջադրանք 4. Գտե՛ք sin x - (|2cos x - 1|) հավասարման արմատների թիվը / (2cos x - 1) sin 2 x = sin 2 x [-π; 2π]:
Լուծում.
1) Դիտարկենք այն դեպքը, երբ 2cos x – 1 > 0, այսինքն. cos x > 1/2, ապա հավասարումը դառնում է.
մեղք x - մեղք 2 x \u003d մեղք 2 x;
sin x - 2sin 2 x \u003d 0;
sinx (1 - 2sinx) = 0;
sinx = 0 կամ 1 - 2sinx = 0;
sin x = 0 կամ sin x = 1/2:
Օգտագործելով Նկար 2-ը և cos x > 1/2 պայմանը, մենք գտնում ենք հավասարման արմատները.
x = π/6 + 2πn կամ x = 2πn, n ∈ Z.
2) Դիտարկենք այն դեպքը, երբ 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
մեղք x + մեղք 2 x = մեղք 2 x;
x = 2πn, n ∈ Z.
Օգտագործելով Նկար 2-ը և cos x պայմանը< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Երկու դեպքերը համադրելով՝ ստանում ենք.
x = π/6 + 2πn կամ x = πn:
3) միջակայքը [-π; 2π] պատկանում են արմատներին՝ π/6; -π; 0; π; 2պ.
Այսպիսով, հավասարման հինգ արմատները պատկանում են տվյալ միջակայքին։
Պատասխան՝ 5.
Առաջադրանք 5. Գտե՛ք հավասարման արմատների թիվը (x - 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 միջակայքում [-π; 2π]:
Լուծում.
1) Եթե sin x ≥ 0, ապա սկզբնական հավասարումը ստանում է ձևը (x - 0.7) 2 sin x + sin x = 0: Ընդհանուր sin x գործոնը փակագծերից հանելուց հետո ստանում ենք.
sin x((x - 0.7) 2 + 1) = 0; քանի որ (x - 0.7) 2 + 1 > 0 բոլոր իրական x-ի համար, ապա sinx = 0, այսինքն. x = πn, n ∈ Z.
2) Եթե մեղք x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x - 0.7) 2 - 1) = 0;
sinx \u003d 0 կամ (x - 0.7) 2 + 1 \u003d 0. Քանի որ sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Քառակուսի արմատՎերջին հավասարման ձախ և աջ կողմերից մենք ստանում ենք.
x - 0.7 \u003d 1 կամ x - 0.7 \u003d -1, ինչը նշանակում է x \u003d 1.7 կամ x \u003d -0.3:
Հաշվի առնելով sinx պայմանը< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 նշանակում է միայն -0.3 թիվը սկզբնական հավասարման արմատն է:
3) միջակայքը [-π; 2π] պատկանում են թվերին՝ -π; 0; π; 2π; -0.3.
Այսպիսով, հավասարումը ունի հինգ արմատ տվյալ միջակայքում:
Պատասխան՝ 5.
Դուք կարող եք պատրաստվել դասերին կամ քննություններին տարբեր կրթական ռեսուրսների օգնությամբ, որոնք առկա են ցանցում: Ներկայում ցանկացած 
մարդը պարզապես պետք է օգտագործի նորը ինֆորմացիոն տեխնոլոգիաի վերջո, դրանց ճիշտ, և որ ամենակարևորը՝ համապատասխան կիրառումը կօգնի բարձրացնել մոտիվացիան առարկան ուսումնասիրելիս, մեծացնել հետաքրքրությունը և կօգնի ավելի լավ յուրացնել անհրաժեշտ նյութը։ Բայց մի մոռացեք, որ համակարգիչը մտածել չի սովորեցնում, ստացված տեղեկատվությունը պետք է մշակվի, հասկանալի և մտապահվի: Հետևաբար, դուք կարող եք օգնություն խնդրել մեր առցանց դաստիարակներից, ովքեր կօգնեն ձեզ լուծել ձեզ հետաքրքրող խնդիրների լուծումը:
Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։
կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:
Առաջադրանք թիվ 1
Տրամաբանությունը պարզ է. մենք կանենք այնպես, ինչպես նախկինում, չնայած այն հանգամանքին, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն այժմ ունեն ավելի բարդ փաստարկ:
Եթե մենք լուծեինք ձևի հավասարումը.
Այնուհետև մենք կգրեինք հետևյալ պատասխանը.
Կամ (որովհետև)
Բայց հիմա մենք խաղում ենք հետևյալ արտահայտությունը.
Այնուհետև կարող եք գրել.
Մեր նպատակն է ձեզ հետ այնպես անել, որ դուք կանգնեք ձախ կողմում պարզապես, առանց որևէ «կեղտերի»:
Եկեք ազատվենք նրանցից:
Նախ հանեք հայտարարը հետևյալի համար՝ դա անելու համար մեր հավասարությունը բազմապատկեք հետևյալով.
Այժմ մենք ազատվում ենք երկու մասերից բաժանելով դրա վրա.
Հիմա եկեք ազատվենք ութից.
Ստացված արտահայտությունը կարող է գրվել որպես լուծումների 2 շարք (անալոգիայով քառակուսի հավասարման հետ, որտեղ մենք կա՛մ ավելացնում ենք, կա՛մ հանում դիսկրիմինանտը)
Մենք պետք է գտնենք ամենամեծ բացասական արմատը: Պարզ է, որ պետք է դասավորել։
Նախ նայենք առաջին շարքին.
Հասկանալի է, որ եթե վերցնենք, ապա արդյունքում կստանանք դրական թվեր, բայց դրանք մեզ չեն հետաքրքրում։
Այնպես որ, դա պետք է ընդունել բացասական: Թող լինի:
Երբ արմատն արդեն կլինի.
Եվ մենք պետք է գտնենք ամենամեծ բացասականը!! Այնպես որ այստեղ բացասական ուղղությամբ գնալն այլեւս իմաստ չունի։ Եվ այս շարքի ամենամեծ բացասական արմատը հավասար կլինի:
Հիմա հաշվի առեք երկրորդ շարքը.
Եվ կրկին փոխարինում ենք՝ , ապա՝
Չի հետաքրքրում!
Հետո ավելացնելն այլևս իմաստ չունի։ Եկեք նվազեցնենք! Թող ուրեմն.
Տեղավորվում է
Թող լինի: Հետո
Հետո - ամենամեծ բացասական արմատը:
Պատասխան.
Առաջադրանք թիվ 2
Կրկին մենք լուծում ենք՝ անկախ բարդ կոսինուսի փաստարկից.
Այժմ մենք կրկին արտահայտում ենք ձախ կողմում.
Բազմապատկեք երկու կողմերը
Երկու կողմերն էլ բաժանեք
Մնում է այն տեղափոխել աջ՝ փոխելով նրա նշանը մինուսից դեպի գումարած:
Կրկին ստանում ենք 2 սերիա արմատ, մեկը՝ մյուսը։
Մենք պետք է գտնենք ամենամեծ բացասական արմատը: Դիտարկենք առաջին շարքը.
Հասկանալի է, որ մենք կստանանք առաջին բացասական արմատը, այն կլինի հավասար և կլինի ամենամեծ բացասական արմատը 1-ին շարքում:
Երկրորդ սերիայի համար
Առաջին բացասական արմատը նույնպես կստացվի և կհավասարվի: Քանի որ, ուրեմն հավասարման ամենամեծ բացասական արմատն է:
Պատասխան. .
Առաջադրանք թիվ 3
Մենք որոշում ենք՝ անկախ շոշափողի բարդ փաստարկից.
Թվում է, թե դա ոչ մի բարդ բան չէ, չէ՞:
Ինչպես նախկինում, մենք ձախ կողմում արտահայտում ենք.
Դե, դա հիանալի է, կա ընդհանուր առմամբ միայն մեկ շարք արմատներ! Կրկին գտեք ամենամեծ բացասականը:
Պարզ է, որ ստացվում է, եթե դնենք. Եվ այս արմատը հավասար է:
Պատասխան.
Այժմ փորձեք ինքնուրույն լուծել հետևյալ խնդիրները.
Տնային առաջադրանք կամ 3 առաջադրանք ինքնուրույն լուծման համար.
- Re-shi-te հավասարումը.
- Re-shi-te հավասարումը.
From-ve-te on-pi-shi-te-ում ամենափոքր in-lo-zhi-tel-ny արմատը: - Re-shi-te հավասարումը.
From-ve-te on-pi-shi-te-ում ամենափոքր in-lo-zhi-tel-ny արմատը:
Պատրա՞ստ եք: Մենք ստուգում ենք. Ես մանրամասնորեն չեմ նկարագրի լուծման ամբողջ ալգորիթմը, ինձ թվում է, որ դրա վրա արդեն բավական ուշադրություն է դարձվել վերևում:
Դե, ամեն ինչ ճի՞շտ է: Օ՜, այդ գարշելի սինուսները, նրանց հետ միշտ կան անախորժություններ:
Դե, հիմա դուք կարող եք լուծել ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները:
Ստուգեք լուծումներն ու պատասխանները.
Առաջադրանք թիվ 1
Էքսպրես
Ամենափոքր դրական արմատը ստացվում է, եթե դնենք, քանի որ այն ժամանակ
Պատասխան.
Առաջադրանք թիվ 2
Ամենափոքր դրական արմատը կստացվի ժամը.
Նա հավասար կլինի:
Պատասխան. .
Առաջադրանք թիվ 3
Երբ մենք ստանում ենք, երբ ունենք:
Պատասխան. .
Այս գիտելիքները կօգնեն ձեզ լուծել բազմաթիվ խնդիրներ, որոնց հետ կբախվեք քննության ժամանակ:
Եթե դուք դիմում եք «5» վարկանիշի համար, ապա պարզապես անհրաժեշտ է անցնել հոդվածի ընթերցմանը միջին մակարդակ, որը կնվիրվի ավելի բարդ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը (առաջադրանք Գ1):
ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ
Այս հոդվածում ես նկարագրելու եմ ավելի բարդ տիպի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումև ինչպես ընտրել դրանց արմատները: Այստեղ ես կկենտրոնանամ հետևյալ թեմաների վրա.
- Եռանկյունաչափական հավասարումներմուտքի մակարդակի համար (տես վերևում):
Ավելի բարդ եռանկյունաչափական հավասարումներն ավելացված բարդության խնդիրների հիմքն են։ Նրանք պահանջում են, թե ինչպես լուծել հավասարումը ինքնին ընդհանուր տեսարան, և գտե՛ք այս հավասարման արմատները, որոնք պատկանում են տվյալ միջակայքին:
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը կրճատվում է երկու ենթաառաջադրանքի.
- Հավասարման լուծում
- Արմատային ընտրություն
Պետք է նշել, որ երկրորդը միշտ չէ, որ պահանջվում է, բայց այնուամենայնիվ օրինակների մեծ մասում պահանջվում է ընտրություն կատարել։ Եվ եթե դա պարտադիր չէ, ապա դուք կարող եք ավելի շուտ համակրել, սա նշանակում է, որ հավասարումն ինքնին բավականին բարդ է:
C1 առաջադրանքների վերլուծության իմ փորձը ցույց է տալիս, որ դրանք սովորաբար բաժանվում են հետևյալ կատեգորիաների.
Բարձրացված բարդության առաջադրանքների չորս կատեգորիա (նախկինում C1)
- Հավասարումներ, որոնք վերածվում են ֆակտորիզացիայի:
- Հավասարումներ, որոնք վերածվում են ձևի:
- Փոփոխականի փոփոխությամբ լուծվող հավասարումներ.
- Հավասարումներ, որոնք պահանջում են արմատների լրացուցիչ ընտրություն իռացիոնալության կամ հայտարարի պատճառով:
Պարզ ասած՝ եթե ստանաք առաջին երեք տեսակի հավասարումներից մեկըապա ձեզ հաջողակ համարեք: Նրանց համար, որպես կանոն, լրացուցիչ անհրաժեշտ է ընտրել որոշակի ինտերվալին պատկանող արմատները։
Եթե հանդիպեք 4-րդ տիպի հավասարման, ապա դուք ավելի քիչ բախտավոր եք. դրա հետ պետք է ավելի երկար և զգույշ վարվել, բայց հաճախ դա չի պահանջում արմատների լրացուցիչ ընտրություն: Այնուամենայնիվ, ես կվերլուծեմ այս տիպի հավասարումները հաջորդ հոդվածում, և այս մեկը կնվիրեմ առաջին երեք տիպի հավասարումների լուծմանը։
Ֆակտորինգի վերածվող հավասարումներ
Ամենակարևորը, որ դուք պետք է հիշեք այս տեսակի հավասարումներ լուծելու համար
Ինչպես ցույց է տալիս պրակտիկան, որպես կանոն, այս գիտելիքները բավարար են: Դիտարկենք մի քանի օրինակ.
Օրինակ 1. Հավասարում, որը վերածվում է ֆակտորիզացիայի՝ օգտագործելով կրճատման բանաձևերը և կրկնակի անկյան սինուսը
- Re-shi-te հավասարումը
- Գտե՛ք այս հավասարման բոլոր արմատները
Այստեղ, ինչպես խոստացել էի, գործում են քասթինգի բանաձևերը.
Այնուհետև իմ հավասարումը կունենա հետևյալ տեսքը.
Այնուհետև իմ հավասարումը կունենա հետևյալ ձևը.
Կարճատես ուսանողը կարող է ասել. և հիմա ես կփոքրացնեմ երկու մասերը, կհասցնեմ ամենապարզ հավասարումը և կվայելեմ կյանքը: Եվ նա չարաչար կսխալվի։
| ՀԻՇԵՔ. ԵՐԲԵՔ ԱՆՀԱՅՏՆ պարունակող ՖՈՒՆԿՑԻԱՅԻ ՀԱՄԱՐ ԵՐԿՐԳՈՆՈՄԵՏՐԱԿԱՆ ՀԱՎԱՍԱՐՄԱՆԻ ԵՐԿՈՒ ՄԱՍԸ ՄԻ ՆԿԱՏԻՐԵՔ: ԱՅՍՊԵՍ ԴՈՒ ԿՈՐՑՆՈՒՄ ԵՔ ԱՐՄԱՏԸ: |
Այսպիսով, ինչ անել: Այո, ամեն ինչ պարզ է, փոխանցեք ամեն ինչ մեկ ուղղությամբ և հանեք ընդհանուր գործոնը.
Դե, մենք հաշվի առանք դա, հուր: Այժմ մենք որոշում ենք.
Առաջին հավասարումը ունի արմատներ.
Եվ երկրորդը.
Սա ավարտում է խնդրի առաջին մասը: Այժմ մենք պետք է ընտրենք արմատները.
Բացը հետևյալն է.
Կամ կարելի է գրել նաև այսպես.
Դե, եկեք արմատները վերցնենք.
Նախ, եկեք աշխատենք առաջին սերիայի հետ (և դա, մեղմ ասած, ավելի հեշտ է):
Քանի որ մեր ինտերվալն ամբողջությամբ բացասական է, կարիք չկա վերցնել ոչ բացասականները, նրանք դեռ ոչ բացասական արմատներ են տալու։
Վերցնենք, հետո - մի քիչ շատ, չի տեղավորվում։
Թող, ապա - կրկին չի հարվածել:
Եվս մեկ փորձ, հետո, այնտեղ, հարվածիր: Գտնվել է առաջին արմատը:
Կրկին կրակում եմ. հետո՝ նորից հարվածիր:
Դե, ևս մեկ անգամ. - սա արդեն թռիչք է:
Այսպիսով, առաջին շարքից 2 արմատը պատկանում է միջակայքին.
Մենք աշխատում ենք երկրորդ սերիայի հետ (կառուցում ենք իշխանության համաձայն կանոնի).
Անդրադառնալ
Կրկին բացակայում է:
Կրկին պակասություն!
Հասկացա!
Թռիչք!
Այսպիսով, հետևյալ արմատները պատկանում են իմ տարածությանը.
Մենք կօգտագործենք այս ալգորիթմը մնացած բոլոր օրինակները լուծելու համար: Եկեք միասին կիրառենք ևս մեկ օրինակ:
Օրինակ 2. Հավասարում, որը վերածվում է ֆակտորիզացիայի՝ օգտագործելով կրճատման բանաձևերը
- Լուծիր հավասարումը
Լուծում:
Կրկին տխրահռչակ դերասանական բանաձևերը.
Կրկին, մի փորձեք կտրել:
Առաջին հավասարումը ունի արմատներ.
Եվ երկրորդը.
Հիմա նորից արմատների որոնում:
Ես կսկսեմ երկրորդ սերիայից, ես արդեն ամեն ինչ գիտեմ դրա մասին նախորդ օրինակից: Նայեք և համոզվեք, որ բացին պատկանող արմատները հետևյալն են.
Այժմ առաջին շարքը և ավելի պարզ է.
Եթե - հարմար
Եթե - նույնպես լավ
Եթե - արդեն թռիչք:
Այնուհետև արմատները կլինեն.
Անկախ աշխատանք. 3 հավասարումներ.
Դե, հասկանու՞մ եք տեխնիկան։ Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումն այլևս այդքան դժվար չի՞ թվում: Այնուհետև ինքներդ արագ լուծեք հետևյալ խնդիրները, այնուհետև ես և դուք կլուծենք այլ օրինակներ.
- Լուծիր հավասարումը
Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, որոնք կցված են բացվածքին: - Re-shi-te հավասարումը
Նշեք հավասարման արմատները, որոնք կցված են կտրվածքին - Re-shi-te հավասարումը
Գտեք-դի-այս հավասարման բոլոր արմատները, at-bove-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku:
Հավասարում 1
Եվ կրկին ձուլման բանաձևը.
Արմատների առաջին շարքը.
Արմատների երկրորդ շարքը.
Մենք սկսում ենք ընտրությունը ընդմիջման համար
Պատասխան՝ , .
Հավասարում 2 Անկախ աշխատանքի ստուգում:
Բավականին բարդ խմբավորումը գործոններով (ես կօգտագործեմ կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը).
ապա կամ
Սա ընդհանուր լուծում է։ Այժմ մենք պետք է արմատներ գցենք: Խնդիրն այն է, որ մենք չենք կարող ճշգրիտ որոշել անկյան արժեքը, որի կոսինուսը հավասար է մեկ քառորդի: Հետևաբար, ես չեմ կարող պարզապես ազատվել արկկոզինից, այդպիսի անհանգստություն:
Այն, ինչ ես կարող եմ անել, դա այդ ժամանակից ի վեր պարզելն է:
Կազմենք աղյուսակ՝ ընդմիջում.
Դե, ցավալի որոնումների միջոցով մենք եկանք հիասթափեցնող եզրակացության, որ մեր հավասարումն ունի մեկ արմատ նշված միջակայքում. \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Հավասարում 3. Անկախ աշխատանքի ստուգում.
Սարսափելի հավասարում. Այնուամենայնիվ, այն լուծվում է բավականին պարզ՝ կիրառելով կրկնակի անկյան սինուսի բանաձևը.
Կրճատենք 2-ով.
Առաջին տերմինը խմբավորում ենք երկրորդի, երրորդը՝ չորրորդի հետ և հանում ընդհանուր գործոնները.
Հասկանալի է, որ առաջին հավասարումը արմատներ չունի, և այժմ դիտարկենք երկրորդը.
Ընդհանրապես, ես պատրաստվում էի մի փոքր ուշ անդրադառնալ նման հավասարումների լուծմանը, բայց քանի որ պարզվեց, անելիք չկար, մենք պետք է որոշեինք ...
Ձևի հավասարումներ.
Այս հավասարումը լուծվում է՝ երկու կողմերը բաժանելով հետևյալի.
Այսպիսով, մեր հավասարումն ունի արմատների մեկ շարք.
Դուք պետք է գտնեք դրանցից նրանք, որոնք պատկանում են միջակայքին.
Եկեք նորից կառուցենք աղյուսակը, ինչպես ես արեցի նախկինում.
Պատասխան.
Հավասարումներ, որոնք վերածվում են ձևի.
Դե, հիմա ժամանակն է անցնելու հավասարումների երկրորդ մասին, հատկապես որ ես արդեն պարզեցի, թե ինչից է բաղկացած նոր տեսակի եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը։ Բայց ավելորդ չի լինի կրկնել, որ ձևի հավասարումը
Այն լուծվում է երկու մասերը բաժանելով կոսինուսի վրա.
- Re-shi-te հավասարումը
Նշեք հավասարման արմատները, որոնք կցված են կտրվածքին: - Re-shi-te հավասարումը
Նշեք հավասարման արմատները, at-bove-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku:
Օրինակ 1
Առաջինը բավականին պարզ է. Տեղափոխվեք աջ և կիրառեք կրկնակի անկյան կոսինուսի բանաձևը.
Ահա՜ Տիպի հավասարումը. Երկու մասի էլ բաժանում եմ
Կատարում ենք արմատային վերացում.
Բացը:
Պատասխան.
Օրինակ 2
Ամեն ինչ նույնպես բավականին տրիվիալ է՝ բացենք աջ կողմի փակագծերը.
Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը.
Կրկնակի անկյան սինուս.
Վերջապես մենք ստանում ենք.
Արմատների զննում` բացը:
Պատասխան.
Դե, ինչպես է ձեզ դուր գալիս տեխնիկան, արդյոք այն շատ բարդ չէ: Հուսով եմ՝ ոչ։ Մենք կարող ենք անմիջապես վերապահում անել. իր մաքուր ձևով հավասարումները, որոնք անմիջապես վերածվում են շոշափողի հավասարման, բավականին հազվադեպ են: Որպես կանոն, այս անցումը (կոսինուսով բաժանելը) մեծի միայն մի մասն է դժվար առաջադրանք. Ահա ձեզ համար պրակտիկայի օրինակ.
- Re-shi-te հավասարումը
- Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, վերևում-le-zha-schie-ից-կտրեք:
Եկեք ստուգենք.
Հավասարումը լուծվում է անմիջապես, բավական է երկու մասերը բաժանել հետևյալի.
Արմատային մաղում.
Պատասխան.
Այսպես թե այնպես, մենք դեռ պետք է հանդիպենք այնպիսի հավասարումների, ինչպիսին մենք հենց նոր քննարկեցինք: Այնուամենայնիվ, մեզ համար դեռ վաղ է ամփոփել. կա ևս մեկ «շերտ» հավասարումների, որը մենք չենք վերլուծել։ Այսպիսով.
Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում փոփոխականի փոփոխությամբ
Այստեղ ամեն ինչ թափանցիկ է՝ մենք ուշադիր նայում ենք հավասարմանը, հնարավորինս պարզեցնում ենք այն, կատարում ենք փոխարինում, լուծում, հակադարձ փոխարինում։ Խոսքով ամեն ինչ շատ հեշտ է։ Եկեք տեսնենք այն գործողության մեջ.
Օրինակ.
- Լուծե՛ք հավասարումը.
- Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, վերևում-le-zha-schie-ից-կտրեք:
Դե, այստեղ փոխարինումն ինքն իրեն առաջարկում է մեր ձեռքը:
Այնուհետև մեր հավասարումը դառնում է հետևյալը.
Առաջին հավասարումը ունի արմատներ.
Իսկ երկրորդն այսպիսին է.
Այժմ եկեք գտնենք այն արմատները, որոնք պատկանում են միջակայքին
Պատասխան.
Եկեք միասին դիտենք մի փոքր ավելի բարդ օրինակ.
- Re-shi-te հավասարումը
- Նշի՛ր տրված հավասարման արմատները՝ at-bove-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku:
Այստեղ փոխարինումը անմիջապես չի երևում, ավելին, դա այնքան էլ ակնհայտ չէ։ Եկեք նախ մտածենք՝ ի՞նչ կարող ենք անել։
Կարող ենք, օրինակ, պատկերացնել
Եվ միևնույն ժամանակ
Այնուհետև իմ հավասարումը դառնում է.
Եվ հիմա ուշադրություն, կենտրոնացում.
Եկեք հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանենք.
Հանկարծ ես և դու ստացանք քառակուսի հավասարումհամեմատաբար! Կատարենք փոխարինում, այնուհետև ստանում ենք.
Հավասարումն ունի հետևյալ արմատները.
Տհաճ երկրորդ շարք արմատներ, բայց ոչինչ անել չկա: Մենք արմատների ընտրություն ենք կատարում ընդմիջումով:
Մենք նույնպես պետք է դա հաշվի առնենք
Այդ ժամանակից ի վեր
Պատասխան.
Համախմբելու համար, նախքան ինքներդ լուծել խնդիրները, ահա ևս մեկ վարժություն ձեզ համար.
- Re-shi-te հավասարումը
- Գտեք-դի-այս հավասարման բոլոր արմատները, at-bove-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku:
Այստեղ դուք պետք է բաց պահեք ձեր աչքերը. մենք ունենք հայտարարներ, որոնք կարող են լինել զրո: Հետևաբար, դուք պետք է հատկապես ուշադիր լինեք արմատներին:
Առաջին հերթին պետք է փոխակերպեմ հավասարումը, որպեսզի կարողանամ համապատասխան փոխարինում կատարել։ Ես հիմա չեմ կարող ավելի լավ բան մտածել, քան շոշափողը սինուսով և կոսինուսով վերաշարադրել.
Այժմ ես կանցնեմ կոսինուսից սինուս՝ ըստ հիմնական եռանկյունաչափական նույնության.
Եվ վերջապես, ես ամեն ինչ բերելու եմ ընդհանուր հայտարարի.
Այժմ ես կարող եմ անցնել հավասարմանը.
Բայց ժամը (այսինքն ժամը):
Այժմ ամեն ինչ պատրաստ է փոխարինման համար.
Հետո կամ
Այնուամենայնիվ, նշեք, որ եթե, ապա միևնույն ժամանակ!
Ո՞վ է տուժում սրանից: Խնդիրը շոշափողի հետ է, այն չի սահմանվում, երբ կոսինուսը զրո է (կատարվում է բաժանում զրոյի):
Այսպիսով, հավասարման արմատներն են.
Այժմ մենք ցուցադրում ենք արմատները միջակայքում.
| - տեղավորվում է | |
| - որոնում |
Այսպիսով, մեր հավասարումը միջակայքում ունի մեկ արմատ, և այն հավասար է:
Տեսնում եք՝ հայտարարի տեսքը (ինչպես նաև շոշափողը հանգեցնում է արմատների հետ որոշակի դժվարությունների: Այստեղ պետք է ավելի զգույշ լինել):
Դե, ես և դու գրեթե ավարտել ենք եռանկյունաչափական հավասարումների վերլուծությունը, շատ քիչ բան է մնացել՝ ինքնուրույն լուծել երկու խնդիր։ Այստեղ են.
- Լուծիր հավասարումը
Գտեք այս հավասարման բոլոր արմատները, վերևում-le-zha-schie-ից-կտրեք: - Re-shi-te հավասարումը
Նշեք այս հավասարման արմատները, որոնք կցված են կտրվածքին:
Որոշե՞լ եք: Շատ դժվար չէ՞: Եկեք ստուգենք.
- Մենք աշխատում ենք կրճատման բանաձևերի համաձայն.
Մենք փոխարինում ենք հավասարման մեջ.
Եկեք ամեն ինչ վերաշարադրենք կոսինուսների առումով, որպեսզի ավելի հարմար լինի փոխարինումը կատարել.
Այժմ հեշտ է փոխարինումը կատարել.
Պարզ է, որ դա կողմնակի արմատ է, քանի որ հավասարումը լուծումներ չունի։ Ապա.
Մենք փնտրում ենք մեզ անհրաժեշտ արմատները միջակայքում
Պատասխան.
Այստեղ փոխարինումը անմիջապես տեսանելի է.Հետո կամ
- համապատասխանում է! - համապատասխանում է! - համապատասխանում է! - համապատասխանում է! - շատ! - նույնպես շատ! Պատասխան.
Դե, հիմա ամեն ինչ! Բայց եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումն այսքանով չի ավարտվում, մենք ամենաշատը հետ ենք թողել դժվար դեպքերերբ հավասարումների մեջ կա իռացիոնալություն կամ տարբեր տեսակի «բարդ հայտարարներ»: Ինչպես լուծել նման խնդիրները, մենք կքննարկենք հոդվածում առաջադեմ մակարդակի համար:
Ընդլայնված ՄԱՐԴԱԿ
Ի լրումն նախորդ երկու հոդվածներում դիտարկված եռանկյունաչափական հավասարումների, մենք դիտարկում ենք հավասարումների մեկ այլ դաս, որոնք էլ ավելի զգույշ վերլուծություն են պահանջում: Այս եռանկյունաչափական օրինակները պարունակում են կա՛մ իռացիոնալություն, կա՛մ հայտարար, որն ավելի է դժվարացնում դրանց վերլուծությունը։. Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք հանդիպել այս հավասարումների C մասում: քննական աշխատանք. Այնուամենայնիվ, յուրաքանչյուր ամպ ունի արծաթե ծածկույթ. նման հավասարումների համար, որպես կանոն, այլևս չի բարձրացվում այն հարցը, թե դրա արմատներից որն է պատկանում տվյալ ինտերվալին: Եկեք չխփենք բուշի շուրջը, այլ պարզապես եռանկյունաչափական օրինակներ:
Օրինակ 1
Լուծի՛ր հավասարումը և գտիր այն արմատները, որոնք պատկանում են հատվածին։
Լուծում:
Մենք ունենք հայտարար, որը չպետք է հավասար լինի զրոյի: Հետո այս հավասարումը լուծելը նույնն է, ինչ լուծել համակարգը
Եկեք լուծենք հավասարումներից յուրաքանչյուրը.
Իսկ հիմա երկրորդը.
Հիմա նայենք շարքին.
Հասկանալի է, որ տարբերակը մեզ չի համապատասխանում, քանի որ այս դեպքում հայտարարը դրված է զրոյի (տես երկրորդ հավասարման արմատների բանաձևը)
Եթե - ապա ամեն ինչ կարգին է, և հայտարարը հավասար չէ զրոյի: Այնուհետև հավասարման արմատներն են՝ , .
Այժմ ընտրում ենք միջակայքին պատկանող արմատները։
| - հարմար չէ | - տեղավորվում է | |
| - տեղավորվում է | - տեղավորվում է | |
| թվարկում | թվարկում |
Այնուհետև արմատներն են.
Տեսեք, նույնիսկ մի փոքր միջամտության հայտնվելը հայտարարի տեսքով էականորեն ազդեց հավասարման լուծման վրա. մենք դեն նետեցինք մի շարք արմատներ, որոնք զրոյացնում են հայտարարը: Ամեն ինչ կարող է ավելի բարդանալ, եթե հանդիպեք եռանկյունաչափական օրինակների, որոնք ունեն իռացիոնալություն:
Օրինակ 2
Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում:
Դե, համենայն դեպս, ձեզ հարկավոր չէ ընտրել արմատները, և դա լավ է: Նախ լուծենք հավասարումը, անկախ իռացիոնալությունից.
Եվ ի՞նչ, այսքանն է՞: Ոչ, ավաղ, դա շատ հեշտ կլիներ: Պետք է հիշել, որ արմատի տակ կարող են կանգնել միայն ոչ բացասական թվերը։ Ապա.
Այս անհավասարության լուծումը.
Այժմ մնում է պարզել, թե արդյոք առաջին հավասարման արմատների մի մասը ակամա չի՞ ընկել մի տեղ, որտեղ անհավասարությունը չի պահպանվում։
Դա անելու համար կարող եք կրկին օգտագործել աղյուսակը.
| :, Բայց | Ո՛չ։ | |
| Այո՛ | ||
| Այո՛ |
Այսպիսով, արմատներից մեկը «դուրս ընկավ» ինձ համար: Ստացվում է, եթե դնես. Այնուհետև պատասխանը կարելի է գրել հետևյալ կերպ.
Պատասխան.
Դուք տեսնում եք, որ արմատը պահանջում է ավելի սերտ ուշադրություն: Բարդացնում ենք՝ հիմա թող կանգնի արմատիս տակ եռանկյունաչափական ֆունկցիա.
Օրինակ 3
Ինչպես նախկինում. սկզբում յուրաքանչյուրը առանձին կլուծենք, հետո կմտածենք մեր արածի մասին։
Այժմ երկրորդ հավասարումը.
Այժմ ամենադժվարը պարզելն է, թե արդյոք թվաբանական արմատի տակ բացասական արժեքներ են ստացվում, եթե այնտեղ փոխարինենք առաջին հավասարման արմատները.
Թիվը պետք է հասկանալ որպես ռադիան: Քանի որ ռադիանը աստիճանների է, ռադիանները մոտավորապես աստիճաններ են: Սա երկրորդ եռամսյակի անկյունն է։ Ո՞րն է երկրորդ քառորդի կոսինուսի նշանը. Մինուս. Ինչ վերաբերում է սինուսին: Գումարած. Այսպիսով, ինչ վերաբերում է արտահայտությանը.
Դա զրոյից քիչ է:
Այսպիսով, հավասարման արմատը չէ:
Հիմա շրջեք:
Այս թիվը համեմատենք զրոյի հետ։
Կոտանգենսը 1 քառորդում նվազող ֆունկցիա է (որքան փոքր է արգումենտը, այնքան մեծ է կոտանգենսը)։ ռադիանները մոտավորապես աստիճաններ են: Միևնույն ժամանակ
քանի որ, այն ժամանակ, և հետևաբար
,
Պատասխան.
Կարո՞ղ է ավելի դժվար լինել: Խնդրում եմ։ Ավելի դժվար կլինի, եթե արմատը դեռևս եռանկյունաչափական ֆունկցիա է, իսկ հավասարման երկրորդ մասը կրկին եռանկյունաչափական ֆունկցիա է։
Որքան շատ եռանկյունաչափական օրինակներ, այնքան լավ, նայեք հետագա.
Օրինակ 4
Արմատը հարմար չէ կոսինուսի սահմանափակ լինելու պատճառով
Հիմա երկրորդը.
Միևնույն ժամանակ, ըստ արմատի սահմանման.
Պետք է հիշել միավորի շրջանակը. այն քառորդները, որտեղ սինուսը զրոյից փոքր է: Որո՞նք են այս եռամսյակները: Երրորդ և չորրորդ. Այնուհետև մեզ կհետաքրքրեն առաջին հավասարման այն լուծումները, որոնք գտնվում են երրորդ կամ չորրորդ քառորդում։
Առաջին շարքը արմատներ է տալիս, որոնք ընկած են երրորդ և չորրորդ քառորդների խաչմերուկում: Երկրորդ շարքը տրամագծորեն հակառակ է դրան և ծնում է առաջին և երկրորդ քառորդների սահմանին ընկած արմատներ։ Ուստի այս շարքը մեզ չի սազում։
Պատասխան՝
Եւ կրկին եռանկյունաչափական օրինակներ «դժվար իռացիոնալությամբ». Մենք ոչ միայն արմատի տակ նորից ունենք եռանկյունաչափական ֆունկցիա, այլ այժմ այն նաև հայտարարի մեջ է:
Օրինակ 5
Դե, անելու բան չկա, մենք գործում ենք այնպես, ինչպես նախկինում:
Այժմ մենք աշխատում ենք հայտարարի հետ.
Ես չեմ ուզում լուծել եռանկյունաչափական անհավասարությունը, և, հետևաբար, ես դա կանեմ բարդ. Ես կվերցնեմ և կփոխարինեմ իմ արմատների շարքը անհավասարությամբ.
Եթե զույգ է, ապա մենք ունենք.
քանի որ դիտման բոլոր անկյունները գտնվում են չորրորդ քառորդում: Եվ կրկին սուրբ հարցը՝ ո՞րն է սինուսի նշանը չորրորդ քառորդում։ Բացասական. Հետո անհավասարությունը
Եթե տարօրինակ է, ապա.
Ո՞ր քառորդում է անկյունը: Սա երկրորդ եռամսյակի անկյունն է։ Այնուհետեւ բոլոր անկյունները կրկին երկրորդ եռամսյակի անկյուններն են: Սինուսը դրական է: Պարզապես այն, ինչ ձեզ հարկավոր է: Այսպիսով, շարքը հետևյալն է.
Տեղավորվում է
Մենք նույն կերպ վարվում ենք արմատների երկրորդ շարքի հետ.
Փոխարինեք մեր անհավասարության մեջ.
Եթե հավասար է, ուրեմն
Առաջին եռամսյակի անկյուններ. Այնտեղ սինուսը դրական է, ուստի շարքը հարմար է: Հիմա, եթե տարօրինակ է, ապա.
տեղավորվում է նաև!
Դե, հիմա մենք գրում ենք պատասխանը:
Պատասխան.
Դե, սա թերևս ամենածանր գործն էր։ Այժմ ես ձեզ առաջադրանքներ եմ առաջարկում ինքնուրույն լուծման համար։
Ուսուցում
- Լուծե՛ք և գտե՛ք հավասարման բոլոր արմատները, որոնք պատկանում են հատվածին։
Լուծումներ:
Առաջին հավասարումը.
կամ
Արմատ ODZ:Երկրորդ հավասարումը.
Արմատների ընտրություն, որոնք պատկանում են միջակայքին
Պատասխան.
Կամ
կամ
Բայց
Հաշվի առեք. Եթե հավասար է, ուրեմն
- չի տեղավորվում!
Եթե - կենտ, : - տեղավորվում է:
Այսպիսով, մեր հավասարումն ունի հետևյալ արմատների շարքը.
կամ
Արմատների ընտրություն միջակայքում.
| - հարմար չէ | - տեղավորվում է | |
| - տեղավորվում է | - շատ | |
| - տեղավորվում է | շատ |
Պատասխան՝ , .
Կամ
Այնուհետև, երբ շոշափողը որոշված չէ: Անմիջապես մերժեք արմատների այս շարքը:
Երկրորդ մաս.
Միաժամանակ ՕՁ-ն դա է պահանջում
Մենք ստուգում ենք առաջին հավասարման մեջ հայտնաբերված արմատները.
Եթե ստորագրեք.
Առաջին քառորդի անկյունները, որտեղ շոշափողը դրական է: Հարմար չէ!
Եթե ստորագրեք.
Չորրորդ քառորդ անկյուն. Այնտեղ շոշափողը բացասական է։ Տեղավորվում է. Պատասխանը գրի՛ր.
Պատասխան՝ , .
Մենք այս հոդվածում միասին բաժանել ենք բարդ եռանկյունաչափական օրինակներ, բայց դուք պետք է կարողանաք ինքներդ լուծել հավասարումները:
ԱՄՓՈՓՈՒՄ ԵՎ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԲԱՆԱՁԵՎ
Եռանկյունաչափական հավասարումը այն հավասարումն է, որտեղ անհայտը խստորեն գտնվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ։
Եռանկյունաչափական հավասարումները լուծելու երկու եղանակ կա.
Առաջին ճանապարհը բանաձևերի օգտագործումն է:
Երկրորդ ճանապարհը եռանկյունաչափական շրջանով է:
Թույլ է տալիս չափել անկյունները, գտնել դրանց սինուսները, կոսինուսները և այլն:
