Գծային ֆունկցիան y=kx+b ձևի ֆունկցիա է, որտեղ x-ը անկախ փոփոխական է, k-ն և b-ն ցանկացած թվեր են։
Գծային ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է։

1. Ֆունկցիայի գրաֆիկ գծելու համար,մեզ անհրաժեշտ են ֆունկցիայի գրաֆիկին պատկանող երկու կետերի կոորդինատները։ Դրանք գտնելու համար հարկավոր է վերցնել երկու x արժեք, դրանք փոխարինել ֆունկցիայի հավասարման մեջ և դրանցից հաշվել համապատասխան y արժեքները:

Օրինակ՝ y= x+2 ֆունկցիան գծագրելու համար հարմար է վերցնել x=0 և x=3, ապա այս կետերի օրդինատները հավասար կլինեն y=2 և y=3։ Ստանում ենք A(0;2) և B(3;3) միավորները: Միացնենք դրանք և ստանանք y= x+2 ֆունկցիայի գրաֆիկը.

2. y=kx+b բանաձևում k թիվը կոչվում է համամասնության գործակից.
եթե k>0, ապա y=kx+b ֆունկցիան մեծանում է
եթե կ
b գործակիցը ցույց է տալիս ֆունկցիայի գրաֆիկի տեղաշարժը OY առանցքի երկայնքով.
եթե b>0, ապա y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ b միավորները OY առանցքի երկայնքով վերև տեղափոխելով:
եթե բ
Ստորև բերված նկարում ներկայացված են y=2x+3 ֆունկցիաների գրաֆիկները; y= ½x+3; y=x+3

Նշենք, որ այս բոլոր ֆունկցիաներում գործակիցը k Զրոյից վեր,և գործառույթներն են աճող։Ընդ որում, որքան մեծ է k-ի արժեքը, այնքան մեծ է ուղիղ գծի թեքության անկյունը դեպի OX առանցքի դրական ուղղությունը։

Բոլոր գործառույթներում b=3 - և մենք տեսնում ենք, որ բոլոր գրաֆիկները հատում են OY առանցքը (0;3) կետում:

Այժմ դիտարկենք y=-2x+3 ֆունկցիաների գրաֆիկները; y=- ½ x+3; y=-x+3

Այս անգամ բոլոր ֆունկցիաներում գործակիցը k զրոյից պակասև առանձնահատկություններ նվազում. b=3 գործակիցը, իսկ գրաֆիկները, ինչպես նախորդ դեպքում, հատում են OY առանցքը (0;3) կետում:

Դիտարկենք y=2x+3 ֆունկցիաների գրաֆիկները; y=2x; y=2x-3

Այժմ ֆունկցիաների բոլոր հավասարումների մեջ k գործակիցները հավասար են 2-ի: Եվ ստացանք երեք զուգահեռ ուղիղ:

Բայց b գործակիցները տարբեր են, և այս գրաֆիկները հատում են OY առանցքը տարբեր կետերում.
y=2x+3 (b=3) ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է OY առանցքը (0;3) կետում.
y=2x (b=0) ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է OY առանցքը (0;0) - սկզբնակետում:
y=2x-3 (b=-3) ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է OY առանցքը (0;-3) կետում.

Այսպիսով, եթե գիտենք k և b գործակիցների նշանները, ապա անմիջապես կարող ենք պատկերացնել, թե ինչպիսին է y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկը։
Եթե k 0

Եթե k>0 և b>0, ապա y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.

Եթե k>0 և բ, ապա y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.

Եթե k, ապա y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.

Եթե k=0, ապա y=kx+b ֆունկցիան վերածվում է y=b ֆունկցիայի և դրա գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.

y=b ֆունկցիայի գրաֆիկի բոլոր կետերի օրդինատները հավասար են b-ի Եթե b=0, ապա y=kx ֆունկցիայի գրաֆիկը (ուղիղ համաչափություն) անցնում է սկզբնաղբյուրով.

3. Առանձին նշում ենք x=a հավասարման գրաֆիկը։Այս հավասարման գրաֆիկը OY առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ է, որի բոլոր կետերն ունեն աբսցիսա x=a։

Օրինակ, x=3 հավասարման գրաֆիկն ունի հետևյալ տեսքը.
Ուշադրություն. x=a հավասարումը ֆունկցիա չէ, քանի որ փաստարկի մեկ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի տարբեր արժեքներին, որը չի համապատասխանում ֆունկցիայի սահմանմանը:

4. Երկու ուղիղների զուգահեռության պայման.

y=k 1 x+b 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը զուգահեռ է y=k 2 x+b 2 ֆունկցիայի գրաֆիկին, եթե k 1 =k 2.

5. Երկու ուղիղ գծերի ուղղահայաց լինելու պայմանը.

y=k 1 x+b 1 ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղղահայաց է y=k 2 x+b 2 ֆունկցիայի գրաֆիկին, եթե k 1 *k 2 =-1 կամ k 1 =-1/k 2.

6. y=kx+b ֆունկցիայի գրաֆիկի հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ։

OY առանցքով: OY առանցքին պատկանող ցանկացած կետի աբսցիսան հավասար է զրոյի: Հետևաբար, OY առանցքի հետ հատման կետը գտնելու համար ֆունկցիայի հավասարման մեջ x-ի փոխարեն պետք է փոխարինել զրո: Մենք ստանում ենք y=b: Այսինքն՝ OY առանցքի հետ հատման կետն ունի կոորդինատներ (0;b):

x առանցքով. x-ի առանցքին պատկանող ցանկացած կետի օրդինատը զրո է: Հետևաբար, OX առանցքի հետ հատման կետը գտնելու համար ֆունկցիայի հավասարման մեջ պետք է փոխարինել y-ի փոխարեն զրո: Ստանում ենք 0=kx+b։ Հետեւաբար x=-b/k. Այսինքն, OX առանցքի հետ հատման կետն ունի կոորդինատներ (-b / k; 0):

1. Գծային կոտորակային ֆունկցիան և դրա գրաֆիկը

y = P(x) / Q(x) ձևի ֆունկցիան, որտեղ P(x) և Q(x) բազմանդամներ են, կոչվում է կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա:

Դուք հավանաբար արդեն ծանոթ եք ռացիոնալ թվերի հասկացությանը: Նմանապես ռացիոնալ գործառույթներֆունկցիաներ են, որոնք կարող են ներկայացվել որպես երկու բազմանդամների քանորդ:

Եթե ​​կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիան երկու գծային ֆունկցիաների քանորդ է՝ առաջին աստիճանի բազմանդամներ, այսինքն. դիտման գործառույթը

y = (ax + b) / (cx + d), ապա այն կոչվում է կոտորակային գծային:

Նկատի ունեցեք, որ y = (ax + b) / (cx + d) ֆունկցիայում c ≠ 0 (հակառակ դեպքում ֆունկցիան դառնում է գծային y = ax/d + b/d) և a/c ≠ b/d (հակառակ դեպքում՝ ֆունկցիան հաստատուն է): Գծային-կոտորակային ֆունկցիան սահմանվում է բոլոր իրական թվերի համար, բացառությամբ x = -d/c-ի: Գծային-կոտորակային ֆունկցիաների գրաֆիկները իրենց ձևով չեն տարբերվում ձեր իմացած y = 1/x գրաֆիկից: Կոչվում է այն կորը, որը y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկն է հիպերբոլիա. X-ի բացարձակ արժեքի անսահմանափակ աճի դեպքում y = 1/x ֆունկցիան անորոշ ժամանակով նվազում է բացարձակ արժեքով, և գրաֆիկի երկու ճյուղերն էլ մոտենում են աբսցիսայի առանցքին՝ աջը մոտենում է վերևից, իսկ ձախը՝ ներքևից: Այն գծերը, որոնց մոտենում են հիպերբոլայի ճյուղերը, կոչվում են նրա ասիմպտոտներ.

Օրինակ 1

y = (2x + 1) / (x - 3):

Լուծում.

Ընտրենք ամբողջական մասը՝ (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3):

Այժմ հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկից հետևյալ փոխակերպումներով. 2 միավոր հատված վերև:

Ցանկացած y = (ax + b) / (cx + d) կոտորակը կարելի է գրել նույն կերպ՝ ընդգծելով «ամբողջ մասը»: Հետևաբար, բոլոր գծային-կոտորակային ֆունկցիաների գրաֆիկները կոորդինատային առանցքների երկայնքով տարբեր ձևերով տեղաշարժված հիպերբոլաներ են և ձգված Oy առանցքի երկայնքով:

Որոշ կամայական գրաֆիկ կառուցելու համար գծային կոտորակային ֆունկցիաամենևին էլ անհրաժեշտ չէ փոխակերպել այն կոտորակը, որը սահմանում է այս ֆունկցիան։ Քանի որ մենք գիտենք, որ գրաֆիկը հիպերբոլա է, բավական կլինի գտնել այն գծերը, որոնց մոտենում են նրա ճյուղերը՝ հիպերբոլայի ասիմպտոտները x = -d/c և y = a/c:

Օրինակ 2

Գտե՛ք y = (3x + 5)/(2x + 2) ֆունկցիայի գրաֆիկի ասիմպտոտները։

Լուծում.

Ֆունկցիան սահմանված չէ x = -1-ի համար: Այսպիսով, x = -1 տողը ծառայում է որպես ուղղահայաց ասիմպտոտ: Հորիզոնական ասիմպտոտը գտնելու համար եկեք պարզենք, թե ինչ արժեքներ են մոտենում y(x) ֆունկցիայի արժեքներին, երբ x արգումենտը մեծանում է բացարձակ արժեքով:

Դա անելու համար կոտորակի համարիչն ու հայտարարը բաժանում ենք x-ի.

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x):

Քանի որ x → ∞ կոտորակը հակված է 3/2-ի: Այսպիսով, հորիզոնական ասիմպտոտը ուղիղ գիծ է y = 3/2:

Օրինակ 3

Գրեք y = (2x + 1)/(x + 1) ֆունկցիան:

Լուծում.

Մենք ընտրում ենք կոտորակի «ամբողջ մասը».

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2 (x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Այժմ հեշտ է տեսնել, որ այս ֆունկցիայի գրաֆիկը ստացվում է y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկից հետևյալ փոխակերպումներով՝ 1 միավորի տեղաշարժ դեպի ձախ, սիմետրիկ ցուցադրում Ox-ի նկատմամբ և տեղաշարժ։ Oy առանցքի երկայնքով 2 միավոր ընդմիջումներով:

Սահմանման տիրույթը D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞):

Արժեքների միջակայք E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞):

Առանցքներով հատման կետեր. c Oy: (0; 1); գ Եզ՝ (-1/2; 0): Ֆունկցիան մեծանում է սահմանման տիրույթի յուրաքանչյուր միջակայքում:

Պատասխան՝ նկար 1:

2. կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիա

Դիտարկենք y = P(x) / Q(x) ձևի կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա, որտեղ P(x) և Q(x) առաջինից բարձր աստիճանի բազմանդամներ են:

Նման ռացիոնալ գործառույթների օրինակներ.

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) կամ y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3):

Եթե ​​y = P(x) / Q(x) ֆունկցիան առաջինից բարձր աստիճանի երկու բազմանդամների քանորդն է, ապա դրա գրաֆիկը, որպես կանոն, ավելի բարդ կլինի, և երբեմն դժվար է այն ճշգրիտ կառուցել: , բոլոր մանրամասներով։ Այնուամենայնիվ, հաճախ բավական է կիրառել այնպիսի տեխնիկա, ինչպիսին մենք արդեն հանդիպել ենք վերևում:

Թող կոտորակը ճիշտ լինի (n< m). Известно, что любую несократимую ռացիոնալ կոտորակկարող է ներկայացվել, և առավել ևս եզակի ձևով, որպես վերջավոր թվով տարրական կոտորակների գումար, որոնց ձևը որոշվում է Q(x) կոտորակի հայտարարի ընդլայնմամբ իրական գործակիցների արտադրյալի մեջ.

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t):

Ակնհայտ է, որ կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է ստանալ որպես տարրական կոտորակների գրաֆիկների գումար:

Կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիաների գծագրում

Դիտարկենք կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիա գծագրելու մի քանի եղանակ:

Օրինակ 4

Գրեք y = 1/x 2 ֆունկցիան:

Լուծում.

Մենք օգտագործում ենք y \u003d x 2 ֆունկցիայի գրաֆիկը y \u003d 1 / x 2 գրաֆիկը գծելու համար և օգտագործում ենք գրաֆիկները «բաժանելու» մեթոդը:

Դոմեն D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞):

Արժեքների միջակայք E(y) = (0; +∞):

Առանցքների հետ հատման կետեր չկան։ Ֆունկցիան հավասար է. Բոլոր x-ի համար մեծանում է միջակայքից (-∞; 0), x-ի համար նվազում է 0-ից մինչև +∞:

Պատասխան՝ նկար 2:

Օրինակ 5

Գրեք y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) ֆունկցիան:

Լուծում.

D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞) տիրույթ:

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Այստեղ մենք օգտագործել ենք ֆակտորինգի, կրճատման և գծային ֆունկցիայի կրճատման տեխնիկան։

Պատասխան՝ նկար 3:

Օրինակ 6

Գրեք y \u003d ֆունկցիան (x 2 - 1) / (x 2 + 1):

Լուծում.

Սահմանման տիրույթը D(y) = R է: Քանի որ ֆունկցիան զույգ է, գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ: Նախքան գծագրելը, մենք կրկին փոխակերպում ենք արտահայտությունը՝ ընդգծելով ամբողջական մասը.

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1):

Նկատի ունեցեք, որ կոտորակային-ռացիոնալ ֆունկցիայի բանաձևում ամբողջ թվային մասի ընտրությունը հիմնականներից է գրաֆիկները գծագրելիս։

Եթե ​​x → ±∞, ապա y → 1, այսինքն. y = 1 տողը հորիզոնական ասիմպտոտ է:

Պատասխան՝ նկար 4:

Օրինակ 7

Դիտարկենք y = x/(x 2 + 1) ֆունկցիան և փորձեք գտնել դրա ամենամեծ արժեքը, այսինքն. մեծ մասը բարձր կետգրաֆիկի աջ կեսը: Այս գրաֆիկը ճշգրիտ կառուցելու համար այսօրվա գիտելիքները բավարար չեն: Ակնհայտ է, որ մեր կորը չի կարող շատ բարձր «բարձրանալ», քանի որ հայտարարը արագորեն սկսում է «գերազանցել» համարիչը: Տեսնենք, արդյոք ֆունկցիայի արժեքը կարող է հավասար լինել 1-ի: Դա անելու համար հարկավոր է լուծել x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 հավասարումը: Այս հավասարումը իրական արմատներ չունի: Այսպիսով, մեր ենթադրությունը սխալ է: Առավելագույնը գտնելու համար մեծ նշանակությունգործառույթը, դուք պետք է պարզեք, թե որ ամենամեծ A-ի համար լուծում կունենա A \u003d x / (x 2 + 1) հավասարումը: Եկեք փոխարինենք սկզբնական հավասարումը քառակուսայինով. Ax 2 - x + A = 0: Այս հավասարումը լուծում ունի, երբ 1 - 4A 2 ≥ 0: Այստեղից մենք գտնում ենք. ամենաբարձր արժեքը A = 1/2:

Պատասխան. Նկար 5, առավելագույնը y(x) = ½:

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես կառուցել ֆունկցիայի գրաֆիկներ:
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Գիտելիք հիմնական տարրական գործառույթները, դրանց հատկությունները և գրաֆիկներըոչ պակաս կարևոր, քան բազմապատկման աղյուսակը իմանալը: Նրանք նման են հիմքի, ամեն ինչ հիմնված է նրանց վրա, ամեն ինչ կառուցված է նրանցից, և ամեն ինչ իջնում ​​է նրանց վրա։

Այս հոդվածում մենք թվարկում ենք բոլոր հիմնական տարրական գործառույթները, տալիս ենք դրանց գրաֆիկները և տալիս դրանք առանց ածանցման և ապացույցների: Հիմնական տարրական գործառույթների հատկություններըըստ սխեմայի.

• ֆունկցիայի վարքագիծը սահմանման տիրույթի սահմաններում, ուղղահայաց ասիմպտոտներ (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս ֆունկցիայի բեկման կետերի հոդվածի դասակարգումը);
• զույգ և կենտ;
• ուռուցիկության (ուռուցիկություն դեպի վեր) և գոգավորության (ուռուցիկություն դեպի ներքև) միջակայքերը, թեքության կետերը (անհրաժեշտության դեպքում տե՛ս հոդվածի ֆունկցիայի ուռուցիկությունը, ուռուցիկության ուղղությունը, թեքման կետերը, ուռուցիկությունը և թեքման պայմանները);
• թեք և հորիզոնական ասիմպտոտներ;
• ֆունկցիաների եզակի կետեր;
• հատուկ հատկություններորոշ ֆունկցիաներ (օրինակ՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ամենափոքր դրական շրջանը):

Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք կամ, ապա կարող եք գնալ տեսության այս բաժիններին:

Հիմնական տարրական գործառույթներեն՝ հաստատուն ֆունկցիա (հաստատուն), n-րդ աստիճանի արմատ, հզորության ֆունկցիա, էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական ֆունկցիա, եռանկյունաչափական և հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Էջի նավարկություն.

Մշտական ​​գործառույթ:

Բոլոր իրական թվերի բազմության վրա հաստատուն ֆունկցիա է տրվում բանաձևով, որտեղ C-ն իրական թիվ է: Հաստատուն ֆունկցիան անկախ փոփոխականի x յուրաքանչյուր իրական արժեքին վերագրում է y կախված փոփոխականի նույն արժեքը՝ С արժեքը: Հաստատուն ֆունկցիան կոչվում է նաև հաստատուն։

Հաստատուն ֆունկցիայի գրաֆիկը ուղիղ գիծ է, որը զուգահեռ է x առանցքին և անցնում է (0,C) կոորդինատներով կետով: Օրինակ՝ ցույց տանք y=5 , y=-2 և y հաստատուն ֆունկցիաների գրաֆիկները, որոնք ստորև բերված նկարում համապատասխանում են համապատասխանաբար սև, կարմիր և կապույտ գծերին։

Մշտական ​​ֆունկցիայի հատկությունները.

• Սահմանման տիրույթ՝ իրական թվերի ամբողջությունը:
• Մշտական ​​ֆունկցիան հավասար է:
• Արժեքների միջակայք. հավաքածու, որը բաղկացած է եզակիՀԵՏ .
• Անընդհատ ֆունկցիան չաճող և չնվազող է (այդ պատճառով էլ հաստատուն է)։
• Անիմաստ է խոսել հաստատունի ուռուցիկության և գոգավորության մասին։
• Ասիմպտոտ չկա։
• Ֆունկցիան անցնում է կոորդինատային հարթության (0,C) կետով։

n-րդ աստիճանի արմատը։

Դիտարկենք հիմնական տարրական ֆունկցիան, որը տրված է բանաձևով, որտեղ n-ն է բնական թիվ, մեկից մեծ։

n-րդ աստիճանի արմատը՝ n-ը զույգ թիվ է։

Սկսենք n-րդ արմատային ֆունկցիայից n արմատային ցուցիչի զույգ արժեքների համար:

Օրինակ՝ տալիս ենք նկար՝ ֆունկցիաների գրաֆիկների պատկերներով և , դրանք համապատասխանում են սև, կարմիր և կապույտ գծերին։

Նմանատիպ ձև ունեն նաև ֆունկցիաների արմատի գրաֆիկները։ նույնիսկ աստիճանցուցիչի այլ արժեքներով:

n-րդ աստիճանի արմատի հատկությունները զույգ n-ի համար:

n-րդ աստիճանի արմատը՝ n-ը կենտ թիվ է։

Իրական թվերի ամբողջ բազմության վրա սահմանվում է n-րդ աստիճանի արմատային ֆունկցիան n արմատի կենտ ցուցիչով։ Օրինակ՝ ներկայացնում ենք ֆունկցիաների գրաֆիկները և , սև, կարմիր և կապույտ կորերը համապատասխանում են դրանց։

Արմատային ցուցիչի այլ կենտ արժեքների դեպքում ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք կունենան:

n-րդ աստիճանի արմատային ֆունկցիայի հատկությունները կենտ n-ի համար:

Հզորության գործառույթ:

Հզորության ֆունկցիան տրվում է ձևի բանաձևով.

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիայի գրաֆիկների տեսակը և ուժային ֆունկցիայի հատկությունները՝ կախված ցուցիչի արժեքից:

Սկսենք a ցուցիչով հզորության ֆունկցիայից: Այս դեպքում ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկների ձևը և ֆունկցիաների հատկությունները կախված են զույգ կամ կենտ ցուցիչից, ինչպես նաև նրա նշանից։ Հետևաբար, մենք նախ հաշվի ենք առնում հզորության ֆունկցիաները a ցուցիչի կենտ դրական արժեքների համար, այնուհետև զույգ դրականների համար, ապա կենտ բացասական ցուցիչների համար և վերջապես, զույգ բացասական արժեքների համար:

Կոտորակի և իռացիոնալ ցուցիչներով հզորության ֆունկցիաների հատկությունները (ինչպես նաև նման հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկների տեսակը) կախված են a ցուցիչի արժեքից։ Մենք դրանք կդիտարկենք, նախ, երբ a-ն զրոյից մեկն է, երկրորդը, երբ a-ն մեծ է մեկից, երրորդ, երբ a-ն մինուս մեկից զրոյի է, և չորրորդ, երբ a-ն փոքր է մինուս մեկից:

Այս ենթաբաժնի ավարտին, ամբողջականության համար մենք նկարագրում ենք զրոյական ցուցիչով հզորության ֆունկցիա:

Հզորության ֆունկցիա կենտ դրական ցուցիչով:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա կենտ դրական ցուցիչով, այսինքն՝ a=1,3,5,… .

Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սև գիծ, ​​- կապույտ գիծ, ​​- կարմիր գիծ, ​​- կանաչ գիծ: a=1-ի համար ունենք գծային ֆունկցիա y=x.

Կենտ դրական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա նույնիսկ դրական ցուցիչով:

Դիտարկենք հավասարաչափ դրական ցուցիչ ունեցող հզորության ֆունկցիա, այսինքն՝ a=2,4,6,…:

Որպես օրինակ վերցնենք ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սև գիծ, ​​- կապույտ գիծ, ​​- կարմիր գիծ։ a=2-ի համար ունենք քառակուսի ֆունկցիա, որի գրաֆիկն է քառակուսային պարաբոլա.

Զույգ դրական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա կենտ բացասական ցուցիչով:

Դիտեք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները ցուցիչի կենտ բացասական արժեքների համար, այսինքն՝ \u003d -1, -3, -5, ....

Նկարում ներկայացված են էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները որպես օրինակ՝ սև գիծ, ​​- կապույտ գիծ, ​​- կարմիր գիծ, ​​- կանաչ գիծ: a=-1-ի համար ունենք հակադարձ համեմատականություն , որի գրաֆիկն է հիպերբոլա.

Կենտ բացասական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Հզորության ֆունկցիա հավասար բացասական ցուցիչով:

Անցնենք հզորության ֆունկցիային a=-2,-4,-6,…:

Նկարում ներկայացված են հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ սև գիծ, ​​- կապույտ գիծ, ​​- կարմիր գիծ:

Զույգ բացասական ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները:

Ռացիոնալ կամ իռացիոնալ ցուցիչով հզորության ֆունկցիա, որի արժեքը զրոյից մեծ է և մեկից փոքր:

Նշում!Եթե ​​a-ն կենտ հայտարարով դրական կոտորակ է, ապա որոշ հեղինակներ միջակայքը համարում են հզորության ֆունկցիայի տիրույթ։ Միաժամանակ սահմանվում է, որ a չափիչը անկրճատելի կոտորակ է։ Այժմ հանրահաշվի և վերլուծության սկզբի բազմաթիվ դասագրքերի հեղինակները ՉԵՆ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ ուժային ֆունկցիաները ցուցիչով կոտորակի տեսքով, որն ունի կենտ հայտարար՝ փաստարկի բացասական արժեքների համար: Մենք հավատարիմ կմնանք հենց այդպիսի տեսակետին, այսինքն՝ կոտորակային դրական ցուցիչներով ուժային ֆունկցիաների տիրույթները կհամարենք բազմություն: Մենք խրախուսում ենք ուսանողներին ստանալ ձեր ուսուցչի տեսակետը այս նուրբ կետի վերաբերյալ՝ տարաձայնություններից խուսափելու համար:

Դիտարկենք ուժային ֆունկցիա ռացիոնալ կամ իռացիոնալ a ցուցիչով, և.

Ներկայացնում ենք հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները a=11/12 (սև գիծ), a=5/7 (կարմիր գիծ), (կապույտ գիծ), a=2/5 (կանաչ գիծ):

Հզորության ֆունկցիա մեկից մեծ ոչ ամբողջ թվով ռացիոնալ կամ իռացիոնալ ցուցիչով:

Դիտարկենք հզորության ֆունկցիան ոչ ամբողջ թվով ռացիոնալ կամ իռացիոնալ a ցուցիչով, և .

Ներկայացնենք բանաձևերով տրված հզորության ֆունկցիաների գրաֆիկները (համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ և կանաչ գծեր):

>

Ա ցուցիչի այլ արժեքների դեպքում ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք կունենան:

Էլեկտրաէներգիայի ֆունկցիայի հատկությունները .

Հզորության ֆունկցիա իրական ցուցիչով, որը մեծ է մինուս մեկից և փոքր է զրոյից:

Նշում!Եթե ​​a-ն կենտ հայտարարով բացասական կոտորակ է, ապա որոշ հեղինակներ դիտարկում են միջակայքը . Միաժամանակ սահմանվում է, որ a չափիչը անկրճատելի կոտորակ է։ Այժմ հանրահաշվի և վերլուծության սկզբի բազմաթիվ դասագրքերի հեղինակները ՉԵՆ ՍԱՀՄԱՆՈՒՄ ուժային ֆունկցիաները ցուցիչով կոտորակի տեսքով, որն ունի կենտ հայտարար՝ փաստարկի բացասական արժեքների համար: Մենք հավատարիմ կմնանք հենց այդպիսի տեսակետին, այսինքն՝ կոտորակային բացասական ցուցիչներով ուժային ֆունկցիաների տիրույթները համապատասխանաբար կհամարենք բազմություն։ Մենք խրախուսում ենք ուսանողներին ստանալ ձեր ուսուցչի տեսակետը այս նուրբ կետի վերաբերյալ՝ տարաձայնություններից խուսափելու համար:

Անցնում ենք ուժային ֆունկցիային , որտեղ .

Որպեսզի լավ պատկերացնենք ուժային ֆունկցիաների տիպի գրաֆիկները, մենք տալիս ենք ֆունկցիաների գրաֆիկների օրինակներ. (համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ և կանաչ կորեր):

a ցուցիչով հզորության ֆունկցիայի հատկությունները, .

Հզորության ֆունկցիա ոչ ամբողջ թվով իրական ցուցիչով, որը փոքր է մինուս մեկից:

Բերենք ուժային ֆունկցիաների գրաֆիկների օրինակներ , դրանք պատկերված են համապատասխանաբար սև, կարմիր, կապույտ և կանաչ գծերով։

Հզորության ֆունկցիայի հատկությունները մինուս մեկից փոքր ոչ ամբողջ բացասական ցուցիչով:

Երբ a=0 և մենք ունենք ֆունկցիա, սա ուղիղ գիծ է, որից բացառվում է (0; 1) կետը (0 0 արտահայտությունը պայմանավորվել է ոչ մի կարևորություն չտալ):

Էքսպոնենցիալ ֆունկցիա.

Հիմնական տարրական ֆունկցիաներից մեկը էքսպոնենցիալ ֆունկցիան է։

Ժամանակացույց էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, որտեղ և տանում է տարբեր տեսակիկախված բազայի արժեքից ա. Եկեք պարզենք այն:

Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը զրոյից մեկ արժեք է վերցնում, այսինքն՝ .

Օրինակ, ներկայացնում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները a = 1/2 - կապույտ գիծ, ​​a = 5/6 - կարմիր գիծ: Էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները նույն տեսքն ունեն բազայի այլ արժեքների համար ընդմիջումից:

Մեկից փոքր հիմք ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները:

Մենք դիմում ենք այն դեպքին, երբ էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմքը մեծ է մեկից, այսինքն՝ .

Որպես օրինակ՝ ներկայացնում ենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ կապույտ և կարմիր գիծ: Մեկից մեծ հիմքի այլ արժեքների դեպքում էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք կունենան:

Մեկից մեծ հիմք ունեցող էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հատկությունները:

Լոգարիթմական ֆունկցիա.

Հաջորդ հիմնական տարրական ֆունկցիան լոգարիթմական ֆունկցիան է, որտեղ , . Լոգարիթմական ֆունկցիան սահմանվում է միայն փաստարկի դրական արժեքների համար, այսինքն՝ .

Ժամանակացույց լոգարիթմական ֆունկցիատարբեր ձև է ստանում՝ կախված ա հիմքի արժեքից:

Սկսենք այն դեպքից, երբ .

Օրինակ, ներկայացնում ենք լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկները a = 1/2 - կապույտ գիծ, ​​a = 5/6 - կարմիր գիծ: Մեկը չգերազանցող հիմքի այլ արժեքների դեպքում լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկները կունենան նմանատիպ տեսք:

Մեկից փոքր հիմք ունեցող լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները:

Անցնենք այն դեպքին, երբ լոգարիթմական ֆունկցիայի հիմքը մեկից մեծ է ():

Ցույց տանք լոգարիթմական ֆունկցիաների գրաֆիկները՝ կապույտ գիծ, ​​- կարմիր գիծ։ Մեկից մեծ հիմքի այլ արժեքների դեպքում լոգարիթմական ֆունկցիայի գրաֆիկները նման տեսք կունենան:

Մեկից մեծ հիմք ունեցող լոգարիթմական ֆունկցիայի հատկությունները:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները:

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս) հիմնական տարրական ֆունկցիաներ են։ Այժմ մենք կդիտարկենք դրանց գրաֆիկները և թվարկենք դրանց հատկությունները:

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հայեցակարգ պարբերականությունը(ֆունկցիայի արժեքների կրկնությունը ժամը տարբեր արժեքներփաստարկներ, որոնք միմյանցից տարբերվում են ժամանակաշրջանի արժեքով , որտեղ T-ը ժամանակաշրջանն է), հետևաբար, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունների ցանկին ավելացվել է տարր։ «Ամենափոքր դրական շրջանը».. Նաև յուրաքանչյուր եռանկյունաչափական ֆունկցիայի համար մենք կնշենք այն փաստարկի արժեքները, որոնց դեպքում անհետանում է համապատասխան գործառույթը:

Հիմա եկեք զբաղվենք ամեն ինչով եռանկյունաչափական ֆունկցիաներորպեսզի.

Սինուսի ֆունկցիան y = sin(x) .

Նկարենք սինուսի ֆունկցիայի գրաֆիկը, այն կոչվում է «սինուսոիդ»։

y = sinx սինուսային ֆունկցիայի հատկությունները:

Կոսինուս ֆունկցիա y = cos(x) .

Կոսինուս ֆունկցիայի գրաֆիկը (այն կոչվում է «կոսինուս») ունի հետևյալ տեսքը.

Կոսինուսի ֆունկցիայի հատկությունները y = cosx.

Շոշափող ֆունկցիա y = tg(x) .

Շոշափող ֆունկցիայի գրաֆիկը (այն կոչվում է «տանգենտոիդ») ունի հետևյալ տեսքը.

Ֆունկցիայի հատկությունները շոշափող y = tgx.

Կոտանգենս ֆունկցիա y = ctg(x) .

Եկեք գծենք կոտանգենս ֆունկցիայի գրաֆիկը (այն կոչվում է «կոտանգենտոիդ»).

Կոտանգենս ֆունկցիայի հատկությունները y = ctgx.

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, դրանց հատկությունները և գրաֆիկները:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (արկսին, արկկոսին, արկտանգենս և արկոտանգենս) հիմնական տարրական ֆունկցիաներն են։ Հաճախ «arc» նախածանցի պատճառով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կոչվում են աղեղային ֆունկցիաներ։ Այժմ մենք կդիտարկենք դրանց գրաֆիկները և թվարկենք դրանց հատկությունները:

Arcsine ֆունկցիա y = arcsin(x) .

Եկեք գծագրենք արկսինային ֆունկցիան.

Ֆունկցիայի հատկություններ arccotangent y = arcctg(x) .

Մատենագիտություն.

• Կոլմոգորով Ա.Ն., Աբրամով Ա.Մ., Դուդնիցին Յու.Պ. Հանրահաշիվը և վերլուծության սկիզբը. Պրոց. 10-11 բջիջների համար: ուսումնական հաստատություններ.
• Վիգոդսկի Մ.Յա. Տարրական մաթեմատիկայի ձեռնարկ.
• Նովոսելով Ս.Ի. Հանրահաշիվ և տարրական ֆունկցիաներ.
• Թումանով Ս.Ի. Տարրական հանրահաշիվ. Ինքնակրթության ուղեցույց.

Ազգային հետազոտական ​​համալսարան

Կիրառական երկրաբանության բաժին

Շարադրություն բարձրագույն մաթեմատիկայի վերաբերյալ

Թեմայի շուրջ՝ «Հիմնական տարրական գործառույթներ.

դրանց հատկությունները և գրաֆիկները»

Ավարտված:

Ստուգվում:

ուսուցիչ

Սահմանում. y=a x բանաձեւով տրված ֆունկցիան (որտեղ a>0, a≠1) կոչվում է էքսպոնենցիալ ֆունկցիա a հիմքով:

Եկեք ձևակերպենք էքսպոնենցիալ ֆունկցիայի հիմնական հատկությունները.

1. Սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է (R):

2. Արժեքների միջակայքը բոլոր դրական իրական թվերի բազմությունն է (R+):

3. Երբ a > 1, ֆունկցիան մեծանում է ամբողջ իրական գծի վրա; 0-ին<а<1 функция убывает.

4. Ընդհանուր ֆունկցիա է։

, xՕ [-3;3] ինտերվալի վրա, xՕ միջակայքի վրա [-3;3]

y(х)=х n ձևի ֆունկցիան, որտեղ n-ը ОR թիվն է, կոչվում է ուժային ֆունկցիա։ n թիվը կարող է ընդունել տարբեր արժեքներ՝ և՛ ամբողջ, և՛ կոտորակային, և՛ զույգ, և՛ կենտ: Կախված դրանից, ուժային ֆունկցիան կունենա այլ ձև: Դիտարկենք հատուկ դեպքեր, որոնք ուժային ֆունկցիաներ են և արտացոլում են այս տեսակի կորերի հիմնական հատկությունները հետևյալ հաջորդականությամբ՝ հզորության ֆունկցիա y \u003d x² (զույգ ցուցիչով ֆունկցիա՝ պարաբոլա), հզորության ֆունկցիա y \u003d x³ (ֆունկցիա կենտ ցուցիչով՝ խորանարդ պարաբոլա) և y \u003d √ x (x ½ հզորության) ֆունկցիա (կոտորակային ցուցիչով ֆունկցիա), բացասական ամբողջ թվով ցուցիչով ֆունկցիա (հիպերբոլա):

Հզորության գործառույթ y=x²

1. D(x)=R – ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային առանցքի վրա;

2. E(y)= և մեծանում է միջակայքում

Հզորության գործառույթ y=x³

1. y \u003d x³ ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է խորանարդ պարաբոլա: Հզորության y=x³ ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

2. D(x)=R – ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային առանցքի վրա;

3. E(y)=(-∞;∞) – ֆունկցիան ընդունում է բոլոր արժեքները իր սահմանման տիրույթում;

4. Երբ x=0 y=0 – ֆունկցիան անցնում է սկզբնակետով O(0;0):

5. Ֆունկցիան մեծանում է սահմանման ողջ տիրույթում:

6. Ֆունկցիան կենտ է (սիմետրիկ ծագման նկատմամբ):

, xn միջակայքի վրա [-3;3]

Կախված x³-ի դիմաց թվային գործակիցից, ֆունկցիան կարող է լինել կտրուկ/հարթ և մեծացնել/նվազել:

Ամբողջական բացասական ցուցիչով հզորության ֆունկցիա.

Եթե ​​n աստիճանը կենտ է, ապա նման հզորության ֆունկցիայի գրաֆիկը կոչվում է հիպերբոլա։ Բացասական ամբողջ թվի ցուցիչով հզորության ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) ցանկացած n-ի համար;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) եթե n-ը կենտ թիվ է; E(y)=(0;∞) եթե n-ը զույգ թիվ է;

3. Ֆունկցիան նվազում է սահմանման ողջ տիրույթում, եթե n-ը կենտ թիվ է; ֆունկցիան մեծանում է (-∞;0) միջակայքում և նվազում է (0;∞) միջակայքում, եթե n-ը զույգ թիվ է:

4. Ֆունկցիան կենտ է (սիմետրիկ ծագման նկատմամբ), եթե n-ը կենտ թիվ է; ֆունկցիան զույգ է, եթե n-ը զույգ թիվ է:

5. Ֆունկցիան անցնում է (1;1) և (-1;-1) կետերով, եթե n-ը կենտ թիվ է, և (1;1) և (-1;1) կետերով, եթե n-ը զույգ թիվ է:

, xn միջակայքի վրա [-3;3]

Հզորության ֆունկցիա կոտորակային ցուցիչով

Ձևի (նկարի) կոտորակային ցուցիչ ունեցող հզորության ֆունկցիան ունի նկարում ներկայացված ֆունկցիայի գրաֆիկը: Կոտորակի ցուցիչով հզորության ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

1. D(x) ОR, եթե n-ը կենտ թիվ է, իսկ D(x)= , xՕ ինտերվալի վրա, xՕ միջակայքի վրա [-3;3]

y \u003d log a x լոգարիթմական ֆունկցիան ունի հետևյալ հատկությունները.

1. D(x)н (0; + ∞) սահմանման տիրույթ:

2. Արժեքների միջակայք E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ (ընդհանուր):

4. Ֆունկցիան աճում է (0; + ∞) միջակայքում a > 1-ի համար, նվազում է (0; + ∞) 0-ի համար:< а < 1.

y = log a x ֆունկցիայի գրաֆիկը կարելի է ստանալ y = a x ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ օգտագործելով y = x ուղղի նկատմամբ համաչափության փոխակերպումը։ Նկար 9-ում պատկերված է լոգարիթմական ֆունկցիայի գծապատկեր a > 1-ի համար, իսկ Նկար 10-ում՝ 0-ի համար:< a < 1.

; xn միջակայքի վրա; xՕ միջակայքի վրա

y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ֆունկցիաները կոչվում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:

y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ֆունկցիաները կենտ են, իսկ y \u003d cos x ֆունկցիաները զույգ են:

y ֆունկցիան \u003d sin (x):

1. Սահմանման տիրույթ D(x) ОR.

2. Արժեքների միջակայք E(y) О [ - 1; 1].

3. Ֆունկցիան պարբերական է. հիմնական ժամանակաշրջանը 2պ է։

4. Ֆունկցիան կենտ է:

5. Ֆունկցիան մեծանում է [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] և նվազում է [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Օ Զ.

y \u003d sin (x) ֆունկցիայի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 11-ում:

Ֆունկցիաները և դրանց գրաֆիկները դպրոցական մաթեմատիկայի ամենահետաքրքիր թեմաներից են: Ափսոս, որ նա անցնում է... դասերից ու աշակերտներից: Ավագ դպրոցում նրա համար երբեք բավարար ժամանակ չկա: Իսկ այդ ֆունկցիաները, որոնք տեղի են ունենում 7-րդ դասարանում՝ գծային ֆունկցիան և պարաբոլան, չափազանց պարզ են և ոչ բարդ՝ ցույց տալու համար հետաքրքիր առաջադրանքների ողջ բազմազանությունը:

Ֆունկցիաների գրաֆիկներ կառուցելու ունակությունը անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի քննության պարամետրերով խնդիրներ լուծելու համար: Սա համալսարանի մաթեմատիկական վերլուծության կուրսի առաջին թեմաներից է։ Սա այնքան կարևոր թեմա է, որ մենք՝ միասնական պետական ​​քննություն-ստուդիայում, անցկացնում ենք հատուկ ինտենսիվ դասընթացներ ավագ դպրոցի աշակերտների և ուսուցիչների համար Մոսկվայում և առցանց։ Եվ հաճախ մասնակիցներն ասում են. «Ափսոս, որ մենք նախկինում չգիտեինք դա»:

Բայց սա դեռ ամենը չէ: Հենց ֆունկցիա հասկացությունից է սկսվում իրական, «մեծահասակների» մաթեմատիկան: Ի վերջո, գումարում և հանում, բազմապատկում և բաժանում, կոտորակներ և համամասնություններ - սա դեռ թվաբանություն է: Արտահայտությունների փոխակերպումները հանրահաշիվ են: Իսկ մաթեմատիկան գիտություն է ոչ միայն թվերի, այլեւ մեծությունների փոխհարաբերությունների մասին։ Ֆունկցիաների և գրաֆիկների լեզուն հասկանալի է ֆիզիկոսին, կենսաբանին և տնտեսագետին: Եվ ինչպես Գալիլեո Գալիլեյն ասաց. «Բնության գիրքը գրված է մաթեմատիկայի լեզվով»..

Ավելի ճիշտ, Գալիլեո Գալիլեյն ասաց. «Մաթեմատիկան այն այբուբենն է, որով Տերը գծեց տիեզերքը»:

Վերանայելու թեմաներ.

1. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Ծանոթ մարտահրավեր! Սրանք հանդիպել են OGE ընտրանքներՄաթեմատիկա. Այնտեղ նրանք դժվար էին համարվում։ Բայց այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա։

Եկեք պարզեցնենք ֆունկցիայի բանաձևը.

Ֆունկցիայի գրաֆիկ - ուղիղ գիծ՝ բռունցքով հարվածված կետով

2. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Ընտրենք ֆունկցիայի բանաձևի ամբողջական մասը.

Ֆունկցիայի գրաֆիկը հիպերբոլա է, որը x-ում 3-ով աջ է տեղափոխվում և y-ում 2-ով վերև և 10 անգամ ձգվում է ֆունկցիայի գրաֆիկի համեմատ:

Ամբողջ մասի ընտրություն - օգտակար տեխնիկաօգտագործվում է անհավասարություններ լուծելու, գրաֆիկներ գծելու և թվերի և դրանց հատկությունների հետ կապված խնդիրներում ամբողջ թվերի գնահատման համար: Նրան կհանդիպեք նաեւ առաջին տարում, երբ պետք է ինտեգրալներ վերցնեք։

3. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Այն ստացվում է ֆունկցիայի գրաֆիկից՝ 2 անգամ ձգվելով, ուղղահայաց շրջելով և 1-ը ուղղահայաց վեր տեղափոխելով։

4. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Հիմնական բանը գործողությունների ճիշտ հաջորդականությունն է: Գրենք ֆունկցիայի բանաձևը ավելի հարմար ձևով.

Մենք գործում ենք հետևյալ հաջորդականությամբ.

1) y=sinx ֆունկցիայի գրաֆիկը տեղափոխել ձախ;

2) 2 անգամ սեղմել հորիզոնական,

3) ուղղահայաց ձգվել 3 անգամ,

4) բարձրանալ 1-ով

Այժմ մենք կկառուցենք կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիաների մի քանի գրաֆիկներ: Ավելի լավ հասկանալու համար, թե ինչպես ենք մենք դա անում, կարդացեք «Function Behavior at Infinity» հոդվածը: Ասիմպտոտներ»:

5. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Գործառույթի շրջանակը.

Գործառույթների զրոներ՝ և

Ուղղագիծ x = 0 (y-առանցք) ֆունկցիայի ուղղահայաց ասիմպտոտն է: Ասիմպտոտ- ուղիղ գիծ, ​​որին ֆունկցիայի գրաֆիկը մոտենում է անսահմանորեն մոտ, բայց չի հատում այն ​​և չի միաձուլվում նրա հետ (տե՛ս «Ֆունկցիայի վարքագիծը անսահմանության մեջ. Ասիմպտոտներ» թեման)

Կա՞ն այլ ասիմպտոտներ մեր ֆունկցիայի համար: Պարզելու համար տեսնենք, թե ֆունկցիան ինչպես է իրեն պահում, երբ x-ը գնում է դեպի անսահմանություն:

Եկեք բացենք փակագծերը ֆունկցիայի բանաձևում.

Եթե ​​x-ը գնում է դեպի անսահմանություն, ապա այն գնում է զրոյի: Ուղիղ գիծը ֆունկցիայի գրաֆիկի թեք ասիմպտոտ է:

6. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Սա կոտորակային ռացիոնալ ֆունկցիա է:

Գործառույթի շրջանակը

Գործառույթների զրոներ՝ միավորներ՝ 3, 2, 6։

Գործառույթի նշանի կայունության միջակայքերը կորոշվեն ընդմիջումների մեթոդով:

Ուղղահայաց ասիմպտոտներ.

Եթե ​​x-ը ձգտում է դեպի անվերջություն, ապա y-ն հակված է 1-ի: Այսպիսով, հորիզոնական ասիմպտոտ է:

Ահա գրաֆիկի ուրվագիծը.

Մեկ այլ հետաքրքիր տեխնիկա գրաֆիկների ավելացումն է:

7. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Եթե ​​x-ը հակված է դեպի անսահմանություն, ապա ֆունկցիայի գրաֆիկը կմոտենա թեք ասիմպտոտին անսահմանորեն մոտ:

Եթե ​​x-ը հակված է զրոյի, ապա ֆունկցիան իրեն պահում է այսպես. Ահա թե ինչ ենք տեսնում գրաֆիկում.

Այսպիսով, մենք ստեղծել ենք ֆունկցիաների գումարի գրաֆիկ: Այժմ աշխատանքային գրաֆիկը:

8. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Այս ֆունկցիայի տիրույթը դրական թվերն են, քանի որ սահմանվում է միայն դրական x

Ֆունկցիայի արժեքները զրո են (երբ լոգարիթմը զրո է), ինչպես նաև այն կետերում, որտեղ, այսինքն.

Երբ , արժեքը (cos x) հավասար է մեկի: Այս կետերում ֆունկցիայի արժեքը հավասար կլինի

9. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Ֆունկցիան սահմանվում է որպես զույգ, քանի որ այն երկու կենտ ֆունկցիաների արտադրյալ է, և գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ:

Ֆունկցիայի զրոները գտնվում են այն կետերում, որտեղ, այսինքն՝ ժամը

Եթե ​​x-ը գնում է դեպի անսահմանություն, ապա գնում է զրոյի: Բայց ի՞նչ կլինի, եթե x-ը հակված է զրոյի: Ի վերջո, և x-ը, և sin x-ը գնալով փոքրանալու են: Ինչպե՞ս կվարվի մասնավորը:

Ստացվում է, որ եթե x-ը ձգտում է զրոյի, ապա այն ձգտում է մեկին: Մաթեմատիկայի մեջ այս պնդումը կոչվում է «Առաջին ուշագրավ սահման»:

Բայց ինչ վերաբերում է ածանցյալին: Այո, վերջապես հասանք այնտեղ: Ածանցյալն օգնում է ավելի ճշգրիտ գծագրել ֆունկցիաները: Գտեք առավելագույն և նվազագույն միավորները, ինչպես նաև գործառույթի արժեքները այս կետերում:

10. Գծապատկերե՛ք ֆունկցիան

Ֆունկցիայի շրջանակը բոլոր իրական թվերն են, քանի որ

Ֆունկցիան կենտ է։ Նրա գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

x=0-ում ֆունկցիայի արժեքը հավասար է զրոյի։ Քանի որ ֆունկցիայի արժեքները դրական են, իսկ համարը՝ բացասական:

Եթե ​​x-ը գնում է դեպի անսահմանություն, ապա այն գնում է զրոյի:

Գտնենք ֆունկցիայի ածանցյալը
Համաձայն գործակիցի ածանցյալի բանաձևի.

Եթե ​​կամ

Այդ կետում ածանցյալը փոխում է նշանը «մինուս»-ից «պլյուս»-ի, - ֆունկցիայի նվազագույն կետը:

Այդ կետում ածանցյալը փոխում է նշանը «գումարած»-ից «մինուս», - ֆունկցիայի առավելագույն կետը:

Գտնենք ֆունկցիայի արժեքները x=2 և x=-2-ում։

Հարմար է ֆունկցիոնալ գրաֆիկներ կառուցել ըստ որոշակի ալգորիթմի կամ սխեմայի: Հիշու՞մ եք, որ այն սովորել եք դպրոցում:

Ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցման ընդհանուր սխեման.

1. Ֆունկցիայի շրջանակը

2. Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթ

3. Զույգ - կենտ (եթե այդպիսիք կան)

4. Հաճախականությունը (եթե այդպիսիք կան)

5. Ֆունկցիայի զրոներ (կետերը, որտեղ գրաֆիկը հատում է կոորդինատային առանցքները)

6. Ֆունկցիայի կայունության ինտերվալներ (այսինքն՝ ինտերվալներ, որոնց վրա այն խիստ դրական է կամ խիստ բացասական):

7. Ասիմպտոտներ (եթե այդպիսիք կան):

8. Ֆունկցիայի վարքագիծը անսահմանության ժամանակ

9. Ֆունկցիայի ածանցյալ

10. Աճման և նվազման միջակայքերը. Բարձր և ցածր միավորներ և արժեքներ այս կետերում: