Ավելի բարդ եռանկյունաչափական հավասարումներ

Հավասարումներ

մեղք x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումներն են։ Այս պարբերությունում կոնկրետ օրինակներմենք կդիտարկենք ավելի բարդ եռանկյունաչափական հավասարումներ: Դրանց լուծումը, որպես կանոն, կրճատվում է ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը։

Օրինակ 1 . լուծել հավասարումը

մեղք 2 X= cos Xմեղք 2 x.

Այս հավասարման բոլոր պայմանները տեղափոխելով ձախ կողմ և ստացված արտահայտությունը տարրալուծելով գործոնների, մենք ստանում ենք.

մեղք 2 X(1 - cos X) = 0.

Երկու արտահայտությունների արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի, իսկ մյուսը վերցնում է որևէ թվային արժեք՝ պայմանով, որ այն սահմանված է։

Եթե մեղք 2 X = 0 , ապա 2 X=n π ; X = π / 2n.

Եթե 1 - cos X = 0 , ապա cos X = 1; X = 2կπ .

Այսպիսով, մենք ստացանք արմատների երկու խումբ. X = π / 2n; X = 2կπ . Արմատների երկրորդ խումբն ակնհայտորեն պարունակվում է առաջինում, քանի որ n = 4k արտահայտությունը X = π / 2nդառնում է
X = 2կπ .

Հետևաբար, պատասխանը կարելի է գրել մեկ բանաձևով. X = π / 2n, Որտեղ n- ցանկացած ամբողջ թիվ:

Նկատի ունեցեք, որ այս հավասարումը հնարավոր չէր լուծել մեղք 2-ով կրճատելով x. Իսկապես, կրճատումից հետո մենք կստանայինք 1 - cos x = 0, որտեղից X= 2կ π . Այսպիսով, մենք, օրինակ, որոշ արմատներ կկորցնեինք π / 2 , π , 3π / 2 .

ՕՐԻՆԱԿ 2.լուծել հավասարումը

Կոտորակը զրո է միայն այն դեպքում, եթե նրա համարիչը զրո է:
Ահա թե ինչու մեղք 2 X = 0 , որտեղից 2 X=n π ; X = π / 2n.

Այս արժեքներից X պետք է անտեսվեն որպես կողմնակի այն արժեքները, որոնց համար մեղքX անհետանում է (զրոյական հայտարար ունեցող կոտորակներն անիմաստ են. զրոյի բաժանումը սահմանված չէ): Այս արժեքները թվեր են, որոնք բազմապատիկ են π . Բանաձեւում
X = π / 2nդրանք ձեռք են բերվում նույնիսկ համար n. Այսպիսով, այս հավասարման արմատները կլինեն թվերը

X = π / 2 (2k + 1),

որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է:

Օրինակ 3 . լուծել հավասարումը

2 մեղք 2 X+ 7 կոթ x - 5 = 0.

Էքսպրես մեղք 2 X միջոցով cosx : մեղք 2 X = 1 - 2x . Այնուհետև այս հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես

2 (1 - cos 2 x) + 7 կոթ x - 5 = 0 , կամ

2 cos 2 x- 7 կոթ x + 3 = 0.

նշելով cosx միջոցով ժամը, մենք հասնում ենք քառակուսային հավասարմանը

2y 2 - 7y + 3 = 0,

որոնց արմատները 1/2 և 3 թվերն են: Հետևաբար, կամ cos x= 1/2 կամ cos X= 3. Սակայն վերջինս անհնար է, քանի որ ցանկացած անկյան կոսինուսի բացարձակ արժեքը չի գերազանցում 1-ը։

Մնում է ճանաչել, որ cos x = 1 / 2 , որտեղ

x = ± 60° + 360° n.

Օրինակ 4 . լուծել հավասարումը

2 մեղք X+ 3cos x = 6.

Որովհետև մեղքը xև կոս xբացարձակ արժեքով չգերազանցել 1-ը, ապա արտահայտությունը
2 մեղք X+ 3cos x չի կարող վերցնել ավելի մեծ արժեքներ, քան 5 . Հետևաբար, այս հավասարումը արմատներ չունի։

Օրինակ 5 . լուծել հավասարումը

մեղք X+ cos x = 1

Այս հավասարման երկու կողմերն էլ քառակուսի դնելով՝ ստանում ենք.

մեղք 2 X+ 2 մեղք x cos x+ cos2 x = 1,

Բայց մեղք 2 X + cos 2 x = 1 . Ահա թե ինչու 2 մեղք x cos x = 0 . Եթե մեղք x = 0 , Դա X = nπ ; եթե
cos x , Դա X = π / 2 + կπ . Լուծումների այս երկու խմբերը կարելի է գրել մեկ բանաձևով.

X = π / 2n

Քանի որ այս հավասարման երկու մասերն էլ քառակուսի դարձրինք, հնարավոր է, որ ստացված արմատների մեջ լինեն կողմնակի արմատներ։ Այդ իսկ պատճառով այս օրինակում, ի տարբերություն բոլոր նախորդների, անհրաժեշտ է ստուգում կատարել։ Բոլոր արժեքները

X = π / 2nկարելի է բաժանել 4 խմբի

	1) X = 2կπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2կπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2կπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2կπ .	(n=4k+3)

ժամը X = 2կπմեղք x+ cos x= 0 + 1 = 1: Հետևաբար, X = 2կπայս հավասարման արմատներն են։

ժամը X = π / 2 + 2կպ. մեղք x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2կպեն նաև այս հավասարման արմատները։

ժամը X = π + 2կպմեղք x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Հետեւաբար, արժեքները X = π + 2կպայս հավասարման արմատները չեն: Նմանապես ցույց է տրվում, որ X = 3π / 2 + 2կպ. արմատներ չեն.

Այսպիսով, այս հավասարումն ունի հետևյալ արմատները. X = 2կπԵվ X = π / 2 + 2 մպ., Որտեղ կԵվ մ- ցանկացած ամբողջ թվեր:

Գիտելիքների համալիր կիրառման դաս.

Դասի նպատակները.

1. Դիտարկենք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման տարբեր մեթոդներ:
2. Սովորողների ստեղծագործական կարողությունների զարգացում հավասարումների լուծման միջոցով:
3. Խրախուսել ուսանողներին ինքնատիրապետման, փոխադարձ վերահսկողության, իրենց կրթական գործունեության ինքնավերլուծության.

Սարքավորումներ՝ էկրան, պրոյեկտոր, տեղեկատու նյութ։

Դասերի ժամանակ

Ներածական զրույց.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդը դրանց ամենապարզ կրճատումն է։ Այս դեպքում օգտագործվում են սովորական մեթոդները, օրինակ՝ ֆակտորիզացիան, ինչպես նաև տեխնիկա, որն օգտագործվում է միայն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման համար։ Այդ հնարքները բավականին շատ են, օրինակ՝ տարբեր եռանկյունաչափական փոխարինումներ, անկյունների փոխակերպումներ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փոխակերպումներ։ Ցանկացած եռանկյունաչափական փոխակերպումների անխտիր կիրառումը սովորաբար չի պարզեցնում հավասարումը, այլ աղետալիորեն բարդացնում է այն: Հավասարման լուծման ընդհանուր պլան մշակելու, հավասարումը ամենապարզին հասցնելու միջոց նախանշելու համար անհրաժեշտ է նախ վերլուծել անկյունները՝ հավասարման մեջ ներառված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փաստարկները։

Այսօր մենք կխոսենք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդների մասին: Ճիշտ ընտրված մեթոդը հաճախ թույլ է տալիս զգալի պարզեցնել լուծումը, ուստի մեր ուսումնասիրած բոլոր մեթոդները միշտ պետք է պահվեն մեր ուշադրության կենտրոնում, որպեսզի լուծենք եռանկյունաչափական հավասարումները ամենահարմար ձևով:

II. (Օգտագործելով պրոյեկտոր, մենք կրկնում ենք հավասարումների լուծման մեթոդները):

1. Եռանկյունաչափական հավասարումը հանրահաշվականի վերածելու մեթոդ:

Բոլորը պետք է արտահայտվեն եռանկյունաչափական ֆունկցիաներմեկի միջոցով՝ նույն փաստարկով։ Դա կարելի է անել՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը և դրա հետևանքները: Ստանում ենք մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի հավասարում. Ընդունելով այն որպես նոր անհայտ, մենք ստանում ենք հանրահաշվական հավասարում: Մենք գտնում ենք նրա արմատները և վերադառնում հին անհայտին՝ լուծելով ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները։

2. Ֆակտորացման մեթոդ.

Անկյունները փոխելու համար հաճախ օգտակար են արգումենտների կրճատման, գումարի և տարբերության, ինչպես նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը (տարբերությունը) արտադրյալի և հակառակը փոխարկելու բանաձևերը։

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Լրացուցիչ անկյուն ներմուծելու մեթոդ.

4. Ունիվերսալ փոխարինման կիրառման մեթոդ.

F(sinx, cosx, tgx) = 0 ձևի հավասարումները վերածվում են հանրահաշվական հավասարումների՝ օգտագործելով համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինումը

Սինուսը, կոսինուսը և շոշափողն արտահայտելով կիսանկյան շոշափողով: Այս հնարքը կարող է հանգեցնել ավելի բարձր կարգի հավասարման: Որի որոշումը դժվար է։

Շատերը լուծելիս մաթեմատիկական խնդիրներ , հատկապես նրանք, որոնք տեղի են ունենում մինչև 10-րդ դասարանը, հստակ սահմանված է կատարված գործողությունների հաջորդականությունը, որոնք կհանգեցնեն նպատակին: Նման խնդիրները ներառում են, օրինակ, գծային և քառակուսի հավասարումներ, գծային և քառակուսի անհավասարություններ, կոտորակային հավասարումներ և հավասարումներ, որոնք վերածվում են քառակուսի հավասարումների։ Նշված առաջադրանքներից յուրաքանչյուրի հաջող լուծման սկզբունքը հետևյալն է. անհրաժեշտ է որոշել, թե որ տեսակին է պատկանում լուծվող խնդիրը, հիշել գործողությունների անհրաժեշտ հաջորդականությունը, որը կհանգեցնի ցանկալի արդյունքի, այսինքն. պատասխանեք և հետևեք այս քայլերին.

Ակնհայտ է, որ որոշակի խնդրի լուծման հաջողությունը կամ ձախողումը հիմնականում կախված է նրանից, թե որքան ճիշտ է որոշվում լուծվող հավասարման տեսակը, որքան ճիշտ է վերարտադրվում դրա լուծման բոլոր փուլերի հաջորդականությունը: Իհարկե, այս դեպքում անհրաժեշտ է ունենալ նույնական փոխակերպումներ և հաշվարկներ կատարելու հմտություններ։

Այլ իրավիճակ է առաջանում եռանկյունաչափական հավասարումներ.Դժվար չէ հաստատել այն փաստը, որ հավասարումը եռանկյունաչափական է։ Դժվարություններ են առաջանում գործողությունների հաջորդականությունը որոշելիս, որոնք կհանգեցնեն ճիշտ պատասխանին:

Ըստ տեսքըհավասարումներ երբեմն դժվար է որոշել դրա տեսակը: Եվ առանց հավասարման տեսակի իմանալու՝ մի քանի տասնյակ եռանկյունաչափական բանաձեւերից ճիշտը ընտրելը գրեթե անհնար է։

Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար մենք պետք է փորձենք.

1. հավասարման մեջ ներառված բոլոր ֆունկցիաները բերեք «նույն անկյուններին».
2. հավասարումը բերեք «նույն ֆունկցիաներին».
3. ֆակտորացնել հավասարման ձախ կողմը և այլն:

Հաշվի առեք Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդները.

I. Կրճատում մինչև ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիան արտահայտել հայտնի բաղադրիչներով:

Քայլ 2Գտեք ֆունկցիայի փաստարկը բանաձևերի միջոցով.

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

մեղք x = a; x \u003d (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

Քայլ 3Գտեք անհայտ փոփոխական:

Օրինակ.

2 cos(3x – π/4) = -√2:

Լուծում.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2:

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Պատասխան՝ ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Փոփոխական փոխարինում

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից մեկի նկատմամբ հավասարումը բերեք հանրահաշվական ձևի:

Քայլ 2Ստացված ֆունկցիան նշեք t փոփոխականով (անհրաժեշտության դեպքում սահմանափակումներ մտցրեք t-ի վրա):

Քայլ 3Դուրս գրի՛ր և լուծի՛ր ստացված հանրահաշվական հավասարումը։

Քայլ 4Կատարեք հակադարձ փոխարինում:

Քայլ 5Լուծե՛ք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Օրինակ.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0:

Լուծում.

1) 2(1 - մեղք 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0:

2) Թող մեղք (x/2) = t, որտեղ |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 կամ e = -3/2 չի բավարարում պայմանը |t| ≤ 1.

4) մեղք (x/2) = 1:

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = π + 4πn, n Є Z.

III. Հավասարման կարգի կրճատման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Փոխարինեք այս հավասարումը գծայինով՝ օգտագործելով հզորության նվազեցման բանաձևերը.

մեղք 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

tan 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x):

Քայլ 2Ստացված հավասարումը լուծե՛ք I և II մեթոդներով:

Օրինակ.

cos2x + cos2x = 5/4:

Լուծում.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4:

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Պատասխան՝ x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Միատարր հավասարումներ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Այս հավասարումը բերեք ձևի

ա) մեղք x + b cos x = 0 ( միատարր հավասարումառաջին աստիճան)

կամ դեպի տեսարան

բ) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (երկրորդ աստիճանի միատարր հավասարում).

Քայլ 2Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք

ա) cos x ≠ 0;

բ) cos 2 x ≠ 0;

և ստացիր tg x-ի հավասարումը.

ա) a tg x + b = 0;

բ) a tg 2 x + b arctg x + c = 0:

Քայլ 3Լուծե՛ք հավասարումը հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0:

Լուծում.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0:

2) tg 2 x + 3tg x - 4 = 0:

3) Թող tg x = t, ապա

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 կամ t = -4, այսպես

tg x = 1 կամ tg x = -4:

Առաջին հավասարումից x = π/4 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Եռանկյունաչափական բանաձևերի միջոցով հավասարման փոխակերպման մեթոդ

Լուծման սխեմա

Քայլ 1.Օգտագործելով բոլոր տեսակի եռանկյունաչափական բանաձևեր, բերեք այս հավասարումը I, II, III, IV մեթոդներով լուծված հավասարմանը։

Քայլ 2Ստացված հավասարումը լուծե՛ք հայտնի մեթոդներով:

Օրինակ.

sinx + sin2x + sin3x = 0:

Լուծում.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0:

2) մեղք 2x (2cos x + 1) = 0;

մեղք 2x = 0 կամ 2cos x + 1 = 0;

Առաջին հավասարումից 2x = π/2 + πn, n Є Z; երկրորդ հավասարումից cos x = -1/2.

Մենք ունենք x = π/4 + πn/2, n Є Z; երկրորդ հավասարումից x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Արդյունքում, x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Պատասխան՝ x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու կարողությունն ու հմտությունները շատ են կարևոր է, որ դրանց զարգացումը զգալի ջանք է պահանջում ինչպես աշակերտի, այնպես էլ ուսուցչի կողմից:

Ստերեոմետրիայի, ֆիզիկայի և այլնի բազմաթիվ խնդիրներ կապված են եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հետ:Նման խնդիրների լուծման գործընթացը, այսպես ասած, պարունակում է բազմաթիվ գիտելիքներ և հմտություններ, որոնք ձեռք են բերվում եռանկյունաչափության տարրերն ուսումնասիրելիս:

Եռանկյունաչափական հավասարումները կարևոր տեղ են գրավում մաթեմատիկայի դասավանդման և ընդհանրապես անձի զարգացման գործընթացում։

Հարցեր ունե՞ք։ Չգիտե՞ք ինչպես լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:
Կրկնուսույցի օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։
Առաջին դասն անվճար է։

կայքը, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղումը պարտադիր է:

Եռանկյունաչափական հավասարումները ամենահեշտ թեման չեն: Ցավալիորեն դրանք բազմազան են։) Օրինակ՝ սրանք.

sin2x + cos3x = ctg5x

sin (5x+π /4) = ctg (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

և այլն...

Բայց այս (և բոլոր մյուս) եռանկյունաչափական հրեշներն ունեն երկու ընդհանուր և պարտադիր հատկանիշ։ Առաջինը, չես հավատա, հավասարումների մեջ կան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:) Երկրորդ. x-ով բոլոր արտահայտությունները. այս նույն գործառույթների շրջանակներում:Եվ միայն այնտեղ! Եթե ​​x ինչ-որ տեղ հայտնվում է դրսում,Օրինակ, sin2x + 3x = 3,սա կլինի խառը տիպի հավասարում: Նման հավասարումները պահանջում են անհատական ​​մոտեցում: Այստեղ մենք դրանք չենք դիտարկի:

Այս դասին էլ չար հավասարումներ չենք լուծի։) Այստեղ կզբաղվենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները.Ինչո՞ւ։ Այո, քանի որ որոշումը ցանկացածեռանկյունաչափական հավասարումները բաղկացած են երկու փուլից. Առաջին փուլում չար հավասարումը վերածվում է պարզի տարբեր փոխակերպումների միջոցով։ Երկրորդի վրա՝ այս ամենապարզ հավասարումը լուծված է: Ուրիշ ճանապարհ չկա:

Այսպիսով, եթե դուք խնդիրներ ունեք երկրորդ փուլում, ապա առաջին փուլն այնքան էլ իմաստ չունի:)

Ինչպիսի՞ն են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները:

sinx = ա

cosx = ա

tgx = ա

ctgx = ա

Այստեղ Ա նշանակում է ցանկացած թիվ: Ցանկացած.

Ի դեպ, ֆունկցիայի ներսում կարող է լինել ոչ թե մաքուր x, այլ ինչ-որ արտահայտություն, ինչպիսին է.

cos(3x+π /3) = 1/2

և այլն: Սա բարդացնում է կյանքը, բայց չի ազդում եռանկյունաչափական հավասարման լուծման մեթոդի վրա:

Ինչպե՞ս լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:

Եռանկյունաչափական հավասարումները կարելի է լուծել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը` օգտագործելով տրամաբանությունը և եռանկյունաչափական շրջանը: Մենք կուսումնասիրենք այս ճանապարհը այստեղ: Երկրորդ ճանապարհը՝ հիշողության և բանաձևերի օգտագործումը, կքննարկվի հաջորդ դասում:

Առաջին ճանապարհը պարզ է, հուսալի և դժվար է մոռանալ:) Այն լավ է եռանկյունաչափական հավասարումներ, անհավասարություններ և բոլոր տեսակի բարդ ոչ ստանդարտ օրինակներ լուծելու համար: Տրամաբանությունն ավելի ուժեղ է, քան հիշողությունը:

Մենք լուծում ենք հավասարումներ՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջան։

Մենք ներառում ենք տարրական տրամաբանություն և եռանկյունաչափական շրջանակ օգտագործելու ունակություն: Չե՞ս կարող։ Այնուամենայնիվ... Եռանկյունաչափության մեջ ձեզ համար դժվար կլինի...) Բայց դա նշանակություն չունի։ Նայեք դասերին «Եռանկյունաչափական շրջան ...... Ինչ է դա»: և «Անկյունների հաշվում եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա»։ Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. Ի տարբերություն դասագրքերի...)

Ահ, գիտե՞ք! Եվ նույնիսկ յուրացրել է «Գործնական աշխատանք եռանկյունաչափական շրջանով»!? Ընդունեք շնորհավորանքներ: Այս թեման ձեզ մոտ և հասկանալի կլինի։) Ինչն է հատկապես հաճելի, եռանկյունաչափական շրջանէական չէ, թե որ հավասարումը կլուծես։ Սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս - նրա մոտ ամեն ինչ նույնն է: Լուծման սկզբունքը նույնն է.

Այսպիսով, մենք վերցնում ենք ցանկացած տարրական եռանկյունաչափական հավասարում: Գոնե սա.

cosx = 0,5

Ես պետք է գտնեմ X. Եթե ​​խոսել մարդկային լեզու, պետք է գտե՛ք անկյունը (x), որի կոսինուսը 0,5 է։

Ինչպե՞ս էինք նախկինում օգտագործում շրջանակը: Մենք դրա վրա մի անկյուն գծեցինք։ աստիճաններով կամ ռադիաններով: Եվ անմիջապես տեսած այս անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Հիմա անենք հակառակը։ Շրջանակի վրա գծե՛ք 0,5-ի հավասար կոսինուս և անմիջապես կտեսնենք անկյուն. Մնում է միայն գրել պատասխանը։) Այո, այո։

Մենք շրջանագիծ ենք գծում և նշում ենք 0,5 հավասար կոսինուսը։ Կոսինուսի առանցքի վրա, իհարկե։ Սրա նման:

Այժմ գծենք այն անկյունը, որը մեզ տալիս է այս կոսինուսը: Սկավառեք ձեր մկնիկը նկարի վրա (կամ հպեք նկարը պլանշետի վրա) և տեսնելայս նույն անկյունը X.

Ո՞ր անկյունն ունի 0,5 կոսինուս:

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Ոմանք թերահավատորեն կմռնչեն, այո... Ասում են՝ արժե՞ր շրջանակը ցանկապատել, երբ ամեն ինչ պարզ է, իհարկե... Կարելի է, իհարկե, մռնչալ...) Բայց փաստն այն է, որ սա սխալ է։ պատասխանել. Ավելի ճիշտ՝ ոչ ադեկվատ։ Շրջանակի գիտակները հասկանում են, որ դեռևս կան անկյունների մի ամբողջ փունջ, որոնք նույնպես տալիս են 0,5-ի հավասար կոսինուս։

Եթե ​​դուք շրջեք շարժական կողմը OA ամբողջական շրջադարձի համար, A կետը կվերադառնա իր սկզբնական դիրքին։ Նույն կոսինուսով, որը հավասար է 0,5-ի: Նրանք. անկյունը կփոխվի 360° կամ 2π ռադիաններ, և կոսինուսը չէ: 60° + 360° = 420° նոր անկյունը նույնպես կլինի մեր հավասարման լուծումը, քանի որ.

Նման լրիվ պտույտները անսահման թվով կան... Եվ այս բոլոր նոր անկյունները կլինեն մեր եռանկյունաչափական հավասարման լուծումներ։ Եվ դրանք բոլորը պետք է ինչ-որ կերպ գրվեն: Բոլորը.Հակառակ դեպքում որոշումը չի դիտարկվում, այո...)

Մաթեմատիկան կարող է դա անել պարզ և նրբագեղ: Մեկ կարճ պատասխանում գրեք անսահման հավաքածուլուծումներ։ Ահա թե ինչ տեսք ունի մեր հավասարման համար.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ես կվերծանեմ. Դեռ գրիր իմաստալիցավելի լավ է, քան հիմարաբար ինչ-որ առեղծվածային տառեր նկարելը, այնպես չէ՞:)

π /3 նույն անկյունն է, ինչ մենք տեսավշրջանի վրա և նույնացվել էըստ կոսինուսների աղյուսակի.

2պ մեկ լրիվ պտույտ է ռադիաններով:

n - սա ամբողջականների թիվն է, այսինքն. ամբողջհեղափոխություններ։ Հասկանալի է, որ n կարող է լինել 0, ±1, ±2, ±3.... և այլն: Ինչպես նշված է կարճ մուտքում.

n ∈ Զ

n պատկանում է ( ∈ ) ամբողջ թվերի բազմությանը ( Զ ) Ի դեպ, նամակի փոխարեն n տառերը կարող են օգտագործվել k, m, t և այլն:

Այս նշումը նշանակում է, որ դուք կարող եք վերցնել ցանկացած ամբողջ թիվ n . Առնվազն -3, առնվազն 0, առնվազն +55: Ինչ ես դու ուզում. Եթե ​​այդ թիվը միացնեք ձեր պատասխանին, կստանաք որոշակի անկյուն, որը, անկասկած, կլինի մեր կոշտ հավասարման լուծումը:)

Կամ, այլ կերպ ասած, x \u003d π / 3 անսահման բազմության միակ արմատն է։ Մնացած բոլոր արմատները ստանալու համար բավական է ցանկացած քանակի ամբողջական պտույտներ ավելացնել π ​​/ 3-ին ( n ) ռադիաններով։ Նրանք. 2πn ռադիան.

Բոլորը. Ոչ Ես հատուկ ձգում եմ հաճույքը: Ավելի լավ հիշելու համար։) Մենք ստացանք մեր հավասարման պատասխանների միայն մի մասը։ Լուծման այս առաջին մասը կգրեմ հետևյալ կերպ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ոչ մի արմատ, դա արմատների մի ամբողջ շարք է՝ գրված կարճ ձևով։

Բայց կան նաև այլ անկյուններ, որոնք նույնպես տալիս են 0,5-ի հավասար կոսինուս:

Վերադառնանք մեր նկարին, ըստ որի՝ գրել ենք պատասխանը. Ահա նա.

Տեղափոխեք մկնիկը պատկերի վրայով և տեսնելմեկ այլ անկյուն, որ տալիս է նաև կոսինուս 0,5։Ի՞նչ եք կարծում, դա ինչի՞ն է հավասար: Եռանկյունները նույնն են... Այո՛։ Նա հավասար է անկյան X , միայն գծված է բացասական ուղղությամբ։ Սա անկյունն է -X. Բայց մենք արդեն հաշվարկել ենք x. π /3 կամ 60°. Հետևաբար, մենք կարող ենք ապահով գրել.

x 2 \u003d - π / 3

Եվ, իհարկե, մենք ավելացնում ենք բոլոր անկյունները, որոնք ստացվում են ամբողջական շրջադարձերի միջոցով.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Հիմա այսքանն է։) Եռանկյունաչափական շրջանակում՝ մենք տեսավ(ով իհարկե հասկանում է)) Բոլորըանկյուններ, որոնք տալիս են 0,5 հավասար կոսինուս: Եվ նրանք գրեցին այս անկյունները կարճ մաթեմատիկական ձևով: Պատասխանը երկու անսահման շարք արմատներ է.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Սա ճիշտ պատասխանն է։

Հույս, եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սկզբունքշրջանագծի օգնությամբ հասկանալի է. Շրջանակի վրա նշում ենք կոսինուսը (սինուս, տանգենս, կոտանգենս): տրված հավասարումը, նկարիր դրան համապատասխան անկյունները և գրիր պատասխանը։Իհարկե, պետք է պարզել, թե ինչպիսի անկյուններ ենք մենք տեսավշրջանագծի վրա։ Երբեմն դա այնքան էլ ակնհայտ չէ: Դե, ինչպես ասացի, այստեղ տրամաբանություն է պահանջվում։)

Օրինակ, եկեք վերլուծենք մեկ այլ եռանկյունաչափական հավասարում.

Խնդրում եմ նկատի ունեցեք, որ 0,5 թիվը միակ հնարավոր թիվը չէ հավասարումների մեջ։) Ուղղակի ինձ համար ավելի հարմար է գրել այն, քան արմատներն ու կոտորակները։

Մենք աշխատում ենք ընդհանուր սկզբունքով. Մենք շրջանագիծ ենք նկարում, նշում ենք (իհարկե սինուսի առանցքի վրա) 0,5: Մենք միանգամից գծում ենք այս սինուսին համապատասխան բոլոր անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.

Եկեք նախ զբաղվենք անկյունով: X առաջին եռամսյակում։ Մենք հիշում ենք սինուսների աղյուսակը և որոշում այս անկյան արժեքը: Հարցը պարզ է.

x \u003d π / 6

Մենք հիշում ենք ամբողջ շրջադարձերը և մաքուր խղճով գրում պատասխանների առաջին շարքը.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Գործի կեսն արված է։ Այժմ մենք պետք է սահմանենք երկրորդ անկյուն...Սա ավելի բարդ է, քան կոսինուսներում, այո... Բայց տրամաբանությունը մեզ կփրկի: Ինչպես որոշել երկրորդ անկյունը x-ի միջոցով Այո Հեշտ! Նկարում պատկերված եռանկյունները նույնն են, իսկ կարմիր անկյունը X հավասար է անկյան X . Միայն այն հաշվվում է π անկյան տակ բացասական ուղղությամբ։ Դրա համար էլ կարմիր է:) Իսկ պատասխանի համար մեզ անհրաժեշտ է OX դրական կիսաառանցքից ճիշտ չափված անկյուն, այսինքն. 0 աստիճանի անկյան տակ:

Սավառնեք կուրսորը նկարի վրա և տեսեք ամեն ինչ: Առաջին անկյունը հանեցի, որպեսզի նկարը չբարդացնեմ։ Մեզ հետաքրքրող անկյունը (կանաչով նկարված) հավասար կլինի.

π - x

x մենք դա գիտենք π /6 . Այսպիսով, երկրորդ անկյունը կլինի.

π - π /6 = 5π /6

Կրկին հիշում ենք ամբողջական հեղափոխությունների ավելացումը և գրի առնում պատասխանների երկրորդ շարքը.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Այսքանը: Ամբողջական պատասխանը բաղկացած է երկու շարք արմատներից.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Շոշափող և կոտանգենսով հավասարումները կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման նույն ընդհանուր սկզբունքը: Եթե, իհարկե, չգիտեք, թե ինչպես գծել շոշափողն ու կոտանգենսը եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա:

Վերոնշյալ օրինակներում ես օգտագործել եմ սինուսի և կոսինուսի աղյուսակային արժեքը՝ 0,5: Նրանք. այն իմաստներից մեկը, որը սովորողը գիտի պետք է.Հիմա եկեք ընդլայնենք մեր հնարավորությունները մինչև մնացած բոլոր արժեքները:Որոշիր, ուրեմն որոշիր։)

Այսպիսով, ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հետևյալ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Այս կոսինուսի արժեքը in ամփոփ աղյուսակներՈչ Մենք սառնասրտորեն անտեսում ենք այս սարսափելի փաստը։ Շրջանագիծ ենք գծում, կոսինուսի առանցքի վրա նշում ենք 2/3-ը և գծում համապատասխան անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.

Մենք հասկանում ենք, ի սկզբանե, առաջին եռամսյակի անկյունից: Իմանալու համար, թե ինչին է հավասար x-ը, նրանք անմիջապես կգրեին պատասխանը։ Չգիտենք... Անհաջողությո՞ւն։ Հանգիստ. Մաթեմատիկան դժվարության մեջ չի թողնում իր սեփականը: Նա այս դեպքի համար հորինեց աղեղային կոսինուսներ: Չգիտեմ? Իզուր. Պարզեք: Դա շատ ավելի հեշտ է, քան կարծում եք: Ըստ այս հղումի՝ «հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների» մասին ոչ մի խրթին ուղղագրություն չկա... Այս թեմայում ավելորդ է։

Եթե ​​դուք տեղյակ եք, պարզապես ասեք ինքներդ ձեզ. «X-ը անկյուն է, որի կոսինուսը 2/3 է»: Եվ անմիջապես, զուտ արկկոսինի սահմանմամբ, մենք կարող ենք գրել.

Մենք հիշում ենք լրացուցիչ հեղափոխությունների մասին և հանգիստ գրում մեր եռանկյունաչափական հավասարման արմատների առաջին շարքը.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Արմատների երկրորդ շարքը նույնպես գրվում է գրեթե ինքնաբերաբար՝ երկրորդ անկյան համար։ Ամեն ինչ նույնն է, միայն x (arccos 2/3) կլինի մինուսով.

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Եվ բոլոր բաները: Սա ճիշտ պատասխանն է։ Նույնիսկ ավելի հեշտ, քան աղյուսակային արժեքներով: Պետք չէ որևէ բան հիշել։) Ի դեպ, ամենաուշադիրները կնկատեն, որ այս նկարը լուծում է աղեղի կոսինուսի միջով։ ըստ էության չի տարբերվում cosx = 0.5 հավասարման նկարից:

Ճիշտ! Ընդհանուր սկզբունքը դրա վրա և ընդհանուր! Ես հատուկ նկարեցի երկու գրեթե նույնական նկարներ: Շրջանակը մեզ ցույց է տալիս անկյունը X իր կոսինուսով։ Դա աղյուսակային կոսինուս է, թե ոչ՝ շրջանագիծը չգիտի։ Ինչպիսի՞ անկյուն է սա, π / 3, կամ ինչպիսի աղեղային կոսինուս պետք է որոշենք:

Սինուսով նույն երգը. Օրինակ:

Կրկին շրջանագիծ ենք գծում, նշում ենք 1/3-ի հավասար սինուսը, գծում ենք անկյունները։ Ստացվում է այս նկարը.

Եվ կրկին պատկերը գրեթե նույնն է, ինչ հավասարման դեպքում sinx = 0,5:Առաջին քառորդում կրկին սկսում ենք անկյունայինից։ Ինչի՞ է հավասար x-ը, եթե նրա սինուսը 1/3 է: Ոչ մի խնդիր!

Այսպիսով, արմատների առաջին փաթեթը պատրաստ է.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Եկեք նայենք երկրորդ անկյունին: 0,5 աղյուսակի արժեք ունեցող օրինակում այն ​​հավասար էր.

π - x

Այսպիսով, այստեղ դա կլինի ճիշտ նույնը: Միայն x-ն է տարբեր, arcsin 1/3: Եւ ինչ!? Դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների երկրորդ փաթեթը.

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Սա լիովին ճիշտ պատասխան է։ Չնայած դա այնքան էլ ծանոթ չի թվում: Բայց դա հասկանալի է, հուսով եմ:)

Այսպես են լուծվում եռանկյունաչափական հավասարումները շրջանագծի միջոցով։ Այս ճանապարհը պարզ է և հասկանալի։ Նա է, ով խնայում է եռանկյունաչափական հավասարումների մեջ՝ տրված միջակայքում արմատների ընտրությամբ, եռանկյունաչափական անհավասարություններում. դրանք հիմնականում լուծվում են գրեթե միշտ շրջանագծի մեջ։ Մի խոսքով, ցանկացած առաջադրանքում, որոնք մի փոքր ավելի բարդ են, քան ստանդարտները:

Գիտելիքը գործի դնելու՞մ:

Լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սկզբում դա ավելի պարզ է, ուղղակիորեն այս դասի վրա:

Հիմա ավելի դժվար է։

Հուշում. այստեղ դուք պետք է մտածեք շրջանակի մասին: Անձամբ:)

Իսկ հիմա արտաքուստ ոչ հավակնոտ... Դրանք կոչվում են նաև հատուկ դեպքեր։

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Հուշում․ այստեղ դուք պետք է շրջանակի մեջ պարզեք, թե որտեղ կան պատասխանների երկու շարք, և որտեղ կա մեկը ... Եվ ինչպես գրել մեկը պատասխանների երկու շարքի փոխարեն: Այո, այնպես, որ անսահման թվից ոչ մի արմատ չկորչի:)

Դե, բավականին պարզ):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Հուշում. այստեղ դուք պետք է իմանաք, թե որն է արկսինը, արկկոսինը: Ի՞նչ է աղեղային շոշափողը, աղեղային շոշափողը: Ամենապարզ սահմանումները. Բայց ձեզ հարկավոր չէ հիշել աղյուսակային արժեքներ:)

Պատասխանները, իհարկե, անհասկանալի են).

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Ամեն ինչ չի ստացվում? Պատահում է. Կրկին կարդացեք դասը: Միայն մտածված(այսպիսի հնացած բառ կա...) Եվ հետևեք հղումներին։ Հիմնական հղումները շրջանակի մասին են։ Առանց դրա եռանկյունաչափության մեջ՝ ինչպես անցնել ճանապարհը աչքերը կապած: Երբեմն դա աշխատում է:)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Դաս և ներկայացում «Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում» թեմայով.

Լրացուցիչ նյութեր
Հարգելի օգտատերեր, մի մոռացեք թողնել ձեր մեկնաբանությունները, կարծիքները, առաջարկությունները: Բոլոր նյութերը ստուգվում են հակավիրուսային ծրագրով:

Ձեռնարկներ և սիմուլյատորներ «Integral» առցանց խանութում 10-րդ դասարանի համար 1C-ից
Մենք լուծում ենք երկրաչափության խնդիրներ. Ինտերակտիվ առաջադրանքներ տիեզերքում կառուցելու համար
Ծրագրային միջավայր «1C. մաթեմատիկական կոնստրուկտոր 6.1»

Ինչ ենք ուսումնասիրելու.
1. Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

3. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման երկու հիմնական մեթոդ.
4. Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.
5. Օրինակներ.

Որո՞նք են եռանկյունաչափական հավասարումները:

Տղերք, մենք արդեն ուսումնասիրել ենք արկսինը, արկկոզինը, արկտանգենսը և արկկոտանգենսը: Այժմ դիտարկենք եռանկյունաչափական հավասարումները ընդհանրապես։

Եռանկյունաչափական հավասարումներ - հավասարումներ, որոնցում փոփոխականը պարունակվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ:

Կրկնում ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ձևը.

1) Եթե |а|≤ 1, ապա cos(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Եթե |а|≤ 1, ապա sin(x) = a հավասարումը լուծում ունի.

3) Եթե |ա| > 1, ապա հավասարումը sin(x) = a և cos(x) = a լուծումներ չունեն 4) tg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arctg(a)+ πk.

5) ctg(x)=a հավասարումն ունի լուծում՝ x=arcctg(a)+ πk.

Բոլոր բանաձեւերի համար k-ն ամբողջ թիվ է

Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները ունեն ձև՝ Т(kx+m)=a, T- ցանկացած եռանկյունաչափական ֆունկցիա։

Օրինակ.

Լուծե՛ք հավասարումներ՝ ա) sin(3x)= √3/2

Լուծում:

Ա) Նշանակենք 3x=t, այնուհետև մեր հավասարումը կվերագրենք հետևյալ ձևով.

Այս հավասարման լուծումը կլինի՝ t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn:

Արժեքների աղյուսակից մենք ստանում ենք t=((-1)^n)×π/3+ πn:

Եկեք վերադառնանք մեր փոփոխականին՝ 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Ապա x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Պատասխան՝ x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է: (-1)^n - մինուս մեկ n-ի հզորությանը:

Եռանկյունաչափական հավասարումների ավելի շատ օրինակներ:

Լուծե՛ք հավասարումները՝ ա) cos(x/5)=1 բ) tg(3x- π/3)= √3

Լուծում:

Ա) Այս անգամ մենք անմիջապես կանցնենք հավասարման արմատների հաշվարկին.

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Ապա x/5= πk => x=5πk

Պատասխան՝ x=5πk, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Բ) Գրում ենք 3x- π/3=arctg(√3)+ πk ձևով: Մենք գիտենք, որ arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Պատասխան՝ x=2π/9 + πk/3, որտեղ k-ն ամբողջ թիվ է:

Լուծեք հավասարումներ՝ cos(4x)= √2/2: Եվ գտեք հատվածի բոլոր արմատները:

Լուծում:

Մենք կորոշենք ընդհանուր տեսարանմեր հավասարումը. 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Հիմա տեսնենք, թե ինչ արմատներ են ընկնում մեր հատվածի վրա։ k-ի համար k=0, x= π/16-ի համար մենք գտնվում ենք տրված հատվածում:
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16-ով նորից խփում են.
k=2-ի համար x= π/16+ π=17π/16, բայց այստեղ մենք չխփեցինք, ինչը նշանակում է, որ մեծ k-ի համար էլ չենք խփի:

Պատասխան՝ x= π/16, x= 9π/16

Լուծման երկու հիմնական մեթոդ.

Մենք դիտարկել ենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները, բայց կան ավելի բարդ: Դրանք լուծելու համար օգտագործվում է նոր փոփոխականի ներդրման մեթոդը և ֆակտորացման մեթոդը։ Եկեք նայենք օրինակներին:

Եկեք լուծենք հավասարումը.

Լուծում:
Մեր հավասարումը լուծելու համար մենք օգտագործում ենք նոր փոփոխական ներմուծելու մեթոդը, որը նշանակում է՝ t=tg(x):

Փոխարինման արդյունքում մենք ստանում ենք t 2 + 2t -1 = 0

Գտնենք արմատները քառակուսային հավասարում t=-1 և t=1/3

Այնուհետև tg(x)=-1 և tg(x)=1/3 ստացանք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումը, եկեք գտնենք դրա արմատները։

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Պատասխան՝ x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Հավասարման լուծման օրինակ

Լուծեք հավասարումներ՝ 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Լուծում:

Օգտագործենք նույնականությունը՝ sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Մեր հավասարումը դառնում է՝ 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Ներկայացնենք t=cos(x) փոխարինումը. 2t 2 -3t - 2 = 0

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը արմատներն են՝ t=2 և t=-1/2

Այնուհետև cos(x)=2 և cos(x)=-1/2:

Որովհետեւ Կոսինուսը չի կարող վերցնել մեկից մեծ արժեքներ, այնուհետև cos(x)=2-ը արմատներ չունի:

cos(x)=-1/2 համար՝ x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Պատասխան՝ x= ±2π/3 + 2πk

Միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սահմանում. a sin(x)+b cos(x) ձևի հավասարումը կոչվում է առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:

Ձևի հավասարումներ

երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Առաջին աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար այն բաժանում ենք cos(x). Անհնար է բաժանել կոսինուսով, եթե այն հավասար է զրոյի, եկեք համոզվենք, որ դա այդպես չէ.
Թող cos(x)=0, ապա asin(x)+0=0 => sin(x)=0, բայց սինուսը և կոսինուսը միաժամանակ հավասար չեն զրոյի, ստացել ենք հակասություն, ուստի կարող ենք ապահով բաժանել. զրոյով։

Լուծե՛ք հավասարումը.
Օրինակ՝ cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Լուծում:

Հանեք ընդհանուր գործակիցը՝ cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Այնուհետև մենք պետք է լուծենք երկու հավասարումներ.

cos(x)=0 և cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 x= π/2 + πk-ի համար;

Դիտարկենք cos(x)+sin(x)=0 հավասարումը: Բաժանենք մեր հավասարումը cos(x-ի):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Պատասխան՝ x= π/2 + πk և x= -π/4+πk

Ինչպե՞ս լուծել երկրորդ աստիճանի միատարր եռանկյունաչափական հավասարումներ:
Տղաներ, միշտ հետևեք այս կանոններին:

1. Տեսեք, թե ինչին է հավասար a գործակիցը, եթե a \u003d 0, ապա մեր հավասարումը կունենա cos (x) (bsin (x) + ccos (x) ձևը, որի լուծման օրինակը նախորդի վրա է. Սլայդ

2. Եթե a≠0, ապա պետք է հավասարման երկու մասերը բաժանել քառակուսի կոսինուսի վրա, ստանում ենք.

Կատարում ենք t=tg(x) փոփոխականի փոփոխությունը՝ ստանում ենք հավասարումը.

Լուծել օրինակ #:3

Լուծե՛ք հավասարումը.
Լուծում:

Հավասարման երկու կողմերը բաժանեք կոսինուսի քառակուսու վրա.

Կատարում ենք t=tg(x) փոփոխականի փոփոխություն՝ t 2 + 2 t - 3 = 0

Գտե՛ք քառակուսային հավասարման արմատները՝ t=-3 և t=1

Այնուհետև՝ tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Պատասխան՝ x=-arctg(3) + πk և x= π/4+ πk

Լուծել օրինակ #:4

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Մենք կարող ենք լուծել այսպիսի հավասարումներ՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Պատասխան՝ x= - π/4 + 2πk և x=5π/4 + 2πk

Լուծել օրինակ #:5

Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում:
Եկեք վերափոխենք մեր արտահայտությունը.

Ներկայացնում ենք tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 փոխարինումը

Մեր քառակուսային հավասարման լուծումը կլինեն արմատները՝ t=-2 և t=1/2

Այնուհետև ստանում ենք tg(2x)=-2 և tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Պատասխան՝ x=-arctg(2)/2 + πk/2 և x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Անկախ լուծման առաջադրանքներ.

1) Լուծե՛ք հավասարումը

Ա) sin(7x)= 1/2 բ) cos(3x)= √3/2 գ) cos(-x) = -1 դ) tg(4x) = √3 e) ctg(0.5x) = -1.7

2) Լուծել հավասարումներ՝ sin(3x)= √3/2. Եվ գտեք բոլոր արմատները հատվածի վրա [π/2; π].

3) Լուծե՛ք հավասարումը. ctg 2 (x) + 2ctg(x) + 1 =0.

4) Լուծե՛ք հավասարումը. 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Լուծե՛ք հավասարումը 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Լուծե՛ք հավասարումը cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)