Գիտելիքների համալիր կիրառման դաս.

Դասի նպատակները.

1. Դիտարկենք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման տարբեր մեթոդներ:
2. Սովորողների ստեղծագործական կարողությունների զարգացում հավասարումների լուծման միջոցով:
3. Խրախուսել ուսանողներին ինքնատիրապետման, փոխադարձ վերահսկողության, իրենց կրթական գործունեության ինքնավերլուծության.

Սարքավորումներ՝ էկրան, պրոյեկտոր, տեղեկատու նյութ։

Դասերի ժամանակ

Ներածական զրույց.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման հիմնական մեթոդը դրանց ամենապարզ կրճատումն է։ Այս դեպքում օգտագործվում են սովորական մեթոդները, օրինակ՝ ֆակտորիզացիան, ինչպես նաև տեխնիկա, որն օգտագործվում է միայն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման համար։ Այս հնարքները բավականին շատ են, օրինակ՝ տարբեր եռանկյունաչափական փոխարինումներ, անկյունների փոխակերպումներ, փոխակերպումներ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ. Ցանկացած եռանկյունաչափական փոխակերպումների անխտիր կիրառումը սովորաբար չի պարզեցնում հավասարումը, այլ աղետալիորեն բարդացնում է այն: Հավասարման լուծման ընդհանուր պլան մշակելու, հավասարումը ամենապարզին հասցնելու միջոց նախանշելու համար անհրաժեշտ է նախ վերլուծել անկյունները՝ հավասարման մեջ ներառված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների փաստարկները։

Այսօր մենք կխոսենք եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդների մասին: Ճիշտ ընտրված մեթոդը հաճախ թույլ է տալիս զգալի պարզեցնել լուծումը, ուստի մեր ուսումնասիրած բոլոր մեթոդները միշտ պետք է պահվեն մեր ուշադրության կենտրոնում, որպեսզի լուծենք եռանկյունաչափական հավասարումները ամենահարմար ձևով:

II. (Օգտագործելով պրոյեկտոր, մենք կրկնում ենք հավասարումների լուծման մեթոդները):

1. Եռանկյունաչափական հավասարումը հանրահաշվականի վերածելու մեթոդ:

Բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պետք է արտահայտել մեկի միջոցով՝ նույն փաստարկով։ Դա կարելի է անել՝ օգտագործելով հիմնական եռանկյունաչափական ինքնությունը և դրա հետևանքները: Ստանում ենք մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի հավասարում. Ընդունելով այն որպես նոր անհայտ, մենք ստանում ենք հանրահաշվական հավասարում. Մենք գտնում ենք նրա արմատները և վերադառնում հին անհայտին՝ լուծելով ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները։

2. Ֆակտորացման մեթոդ.

Անկյունները փոխելու համար հաճախ օգտակար են արգումենտների կրճատման, գումարի և տարբերության, ինչպես նաև եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը (տարբերությունը) արտադրյալի և հակառակը փոխարկելու բանաձևերը։

sinx + sin3x = sin2x + sin4x

3. Լրացուցիչ անկյուն ներմուծելու մեթոդ.

4. Ունիվերսալ փոխարինման կիրառման մեթոդ.

F(sinx, cosx, tgx) = 0 ձևի հավասարումները վերածվում են հանրահաշվական հավասարումների՝ օգտագործելով համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինումը

Սինուսը, կոսինուսը և շոշափողն արտահայտելով կիսանկյան շոշափողով: Այս հնարքը կարող է հանգեցնել ավելի բարձր կարգի հավասարման: Որի որոշումը դժվար է։

Պահանջվում է եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերի իմացություն՝ սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումար, շոշափողի արտահայտություն սինուսի և կոսինուսի միջոցով և այլն: Նրանց, ովքեր մոռացել են դրանք կամ չգիտեն, խորհուրդ ենք տալիս կարդալ հոդվածը «»:
Այսպիսով, մենք գիտենք հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերը, ժամանակն է դրանք կիրառելու գործնականում: Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումժամը ճիշտ մոտեցում- բավականին հետաքրքիր գործունեություն, ինչպես, օրինակ, Ռուբիկի խորանարդը լուծելը:

Ելնելով հենց անունից՝ պարզ է դառնում, որ եռանկյունաչափական հավասարումը այն հավասարումն է, որում անհայտը գտնվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ։
Կան այսպես կոչված պարզ եռանկյունաչափական հավասարումներ։ Ահա թե ինչ տեսք ունեն դրանք՝ sinх = a, cos x = a, tg x = a: Հաշվի առեք, ինչպես լուծել նման եռանկյունաչափական հավասարումներ, պարզության համար կօգտագործենք արդեն ծանոթ եռանկյունաչափական շրջանը։

sinx = ա

cos x = a

tan x = a

մահճակալ x = ա

Ցանկացած եռանկյունաչափական հավասարում լուծվում է երկու փուլով. մենք հավասարումը բերում ենք ամենապարզ ձևին և այնուհետև լուծում այն ​​որպես ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարում:
Գոյություն ունեն 7 հիմնական մեթոդ, որոնցով լուծվում են եռանկյունաչափական հավասարումները։

1. Փոփոխական փոխարինման և փոխարինման մեթոդ

Լուծեք 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 հավասարումը

Օգտագործելով կրճատման բանաձևերը, մենք ստանում ենք.

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Պարզության համար cos(x + /6) փոխարինենք y-ով և ստացենք սովորական քառակուսի հավասարումը.

2տ 2 – 3տ + 1 + 0

Արմատները, որոնց y 1 = 1, y 2 = 1/2

Հիմա հետ գնանք

Մենք փոխարինում ենք y-ի գտած արժեքները և ստանում երկու պատասխան.

2. Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում ֆակտորիզացիայի միջոցով

Ինչպե՞ս լուծել sin x + cos x = 1 հավասարումը:

Եկեք ամեն ինչ տեղափոխենք ձախ, որպեսզի 0-ը մնա աջ կողմում.

sin x + cos x - 1 = 0

Մենք օգտագործում ենք վերը նշված նույնականությունները՝ հավասարումը պարզեցնելու համար.

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Կատարենք ֆակտորիզացիա.

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ

3. Կրճատում միատարր հավասարման

Հավասարումը միատարր է սինուսի և կոսինուսի նկատմամբ, եթե նրա բոլոր անդամները սինուսի և կոսինուսի նկատմամբ ունեն նույն անկյան նույն աստիճանը: Միատարր հավասարումը լուծելու համար գործեք հետևյալ կերպ.

ա) տեղափոխել իր բոլոր անդամները ձախ կողմում.

բ) փակագծերից դուրս դնել բոլոր ընդհանուր գործոնները.

գ) բոլոր գործոնները և փակագծերը հավասարեցնել 0-ի.

դ) ստացվել է փակագծերում միատարր հավասարումավելի փոքր աստիճանով, այն, իր հերթին, բաժանվում է սինուսի կամ կոսինուսի ավելի բարձր աստիճանի.

ե) լուծել tg-ի ստացված հավասարումը.

Լուծե՛ք 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 հավասարումը

Եկեք օգտագործենք բանաձեւ մեղք 2 x + cos 2 x = 1 և ազատվեք աջ կողմում գտնվող բաց երկուսից.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

մեղք 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Բաժանել cosx-ով.

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Մենք tg x-ը փոխարինում ենք y-ով և ստանում քառակուսի հավասարում.

y 2 + 4y +3 = 0, որի արմատներն են y 1 =1, y 2 = 3

Այստեղից մենք գտնում ենք սկզբնական հավասարման երկու լուծում.

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Հավասարումների լուծում՝ կիսանկյունի անցման միջոցով

Լուծե՛ք 3sin x - 5cos x = 7 հավասարումը

Անցնենք x/2-ին.

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Ամեն ինչ տեղափոխելով ձախ.

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Բաժանել cos (x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

5. Օժանդակ անկյունի ներդրում

Դիտարկելու համար եկեք վերցնենք ձևի հավասարումը. a sin x + b cos x \u003d c,

որտեղ a, b, c որոշ կամայական գործակիցներ են, իսկ x-ը անհայտ է:

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք հետևյալի.



Այժմ հավասարման գործակիցներն ըստ եռանկյունաչափական բանաձևերունեն sin-ի և cos-ի հատկություններ, այն է՝ դրանց մոդուլը 1-ից ոչ ավելի է, իսկ քառակուսիների գումարը = 1: Նշենք դրանք համապատասխանաբար որպես cos և sin, որտեղ է այսպես կոչված օժանդակ անկյունը: Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը.

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

կամ sin(x + ) = C

Այս պարզ եռանկյունաչափական հավասարման լուծումն է

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, որտեղ



Հարկ է նշել, որ cos և sin անվանումները փոխարինելի են։

Լուծե՛ք sin 3x - cos 3x = 1 հավասարումը

Այս հավասարման մեջ գործակիցներն են.

a \u003d, b \u003d -1, այնպես որ մենք երկու մասերը բաժանում ենք \u003d 2-ով

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ

Ներածություն 2

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ 5

Հանրահաշիվ 5

Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով համանուն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարության պայմանը 7

Ֆակտորինգ 8

Կրճատում մինչև միատարր հավասարում 10

Օժանդակ անկյունի ներդրում 11

Արտադրյալը փոխարկեք 14-ի գումարի

Ունիվերսալ փոխարինում 14

Եզրակացություն 17

Ներածություն

Մինչև տասներորդ դասարանը նպատակին տանող բազմաթիվ վարժությունների գործողությունների հերթականությունը, որպես կանոն, միանշանակ է սահմանվում։ Օրինակ՝ գծային և քառակուսի հավասարումներ և անհավասարումներ, կոտորակային և քառակուսիների կրճատվող հավասարումներ և այլն։ Առանց մանրամասնորեն վերլուծելու նշված օրինակներից յուրաքանչյուրի լուծման սկզբունքը, նշում ենք այն ընդհանուրը, որն անհրաժեշտ է դրանց հաջող լուծման համար։

Շատ դեպքերում դուք պետք է որոշեք, թե ինչ տեսակի առաջադրանք է, հիշեք նպատակին տանող գործողությունների հաջորդականությունը և կատարեք այս գործողությունները: Ակնհայտ է, որ ուսանողի հաջողությունը կամ ձախողումը հավասարումների լուծման մեթոդների յուրացման հարցում հիմնականում կախված է նրանից, թե որքանով նա կկարողանա ճիշտ որոշել հավասարման տեսակը և հիշել դրա լուծման բոլոր փուլերի հաջորդականությունը։ Իհարկե, սա ենթադրում է, որ ուսանողը ունի նույնական փոխակերպումներ և հաշվարկներ կատարելու հմտություններ:

Բոլորովին այլ իրավիճակ է առաջանում, երբ ուսանողը հանդիպում է եռանկյունաչափական հավասարումների: Միևնույն ժամանակ, դժվար չէ հաստատել այն փաստը, որ հավասարումը եռանկյունաչափական է։ Դժվարություններ են առաջանում, երբ գտնում են այնպիսի գործողություն, որը կբերի դրական արդյունքի: Եվ այստեղ ուսանողը կանգնած է երկու խնդրի առաջ. Ըստ տեսքըտեսակը դժվար է որոշել հավասարումները: Եվ առանց տեսակը իմանալու, գրեթե անհնար է ընտրել ցանկալի բանաձեւը հասանելի մի քանի տասնյակից։

Որպեսզի օգնեն ուսանողներին գտնել իրենց ճանապարհը եռանկյունաչափական հավասարումների բարդ լաբիրինթոսում, նրանք նախ ծանոթանում են հավասարումների հետ, որոնք նոր փոփոխականի ներդրումից հետո վերածվում են քառակուսուների: Այնուհետև լուծեք միատարր հավասարումներ և իջեցրեք դրանց: Ամեն ինչ ավարտվում է, որպես կանոն, հավասարումներով, որոնց լուծման համար անհրաժեշտ է ֆակտորիզացնել ձախ կողմը, ապա յուրաքանչյուր գործոն հավասարեցնել զրոյի։

Հասկանալով, որ դասերին վերլուծված մեկուկես տասնյակ հավասարումները ակնհայտորեն բավարար չեն աշակերտին եռանկյունաչափական «ծովով» ինքնուրույն նավարկելու համար, ուսուցիչը ևս մի քանի առաջարկ է ավելացնում իրենից։

Եռանկյունաչափական հավասարումը լուծելու համար մենք պետք է փորձենք.

Հավասարման մեջ ներառված բոլոր գործառույթները բերեք «նույն անկյուններին».

Հավասարումը բերեք «նույն գործառույթներին»;

Գործոնացնել հավասարման ձախ կողմը և այլն:

Բայց, չնայած եռանկյունաչափական հավասարումների հիմնական տեսակների և դրանց լուծումը գտնելու մի քանի սկզբունքների իմացությանը, շատ ուսանողներ դեռևս հայտնվում են փակուղում յուրաքանչյուր հավասարման առջև, որը մի փոքր տարբերվում է նախկինում լուծվածներից: Անհասկանալի է մնում, թե ինչին պետք է ձգտել՝ ունենալով այս կամ այն ​​հավասարումը, ինչու է մի դեպքում անհրաժեշտ կիրառել կրկնակի անկյունային բանաձևերը, մյուս դեպքում՝ կես անկյունը, իսկ երրորդում՝ գումարման բանաձևերը և այլն։

Սահմանում 1.Եռանկյունաչափական հավասարումը այն հավասարումն է, որում անհայտը պարունակվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նշանի տակ։

Սահմանում 2.Եռանկյունաչափական հավասարումը կոչվում է նույն անկյունները, եթե դրանում ներառված բոլոր եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ունեն հավասար արգումենտներ։ Եռանկյունաչափական հավասարումը կոչվում է նույն ֆունկցիան, եթե այն պարունակում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից միայն մեկը:

Սահմանում 3.Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ պարունակող միանդամի աստիճանը նրանում ներառված եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հզորությունների ցուցիչների գումարն է։

Սահմանում 4.Հավասարումը կոչվում է միատարր, եթե նրա բոլոր միանդամներն ունեն նույն աստիճանը։ Այս աստիճանը կոչվում է հավասարման կարգ։

Սահմանում 5.Եռանկյունաչափական հավասարում, որը պարունակում է միայն ֆունկցիաներ մեղքԵվ cos, կոչվում է միատարր, եթե եռանկյունաչափական ֆունկցիաների նկատմամբ բոլոր միանդամներն ունեն նույն աստիճանը, իսկ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն իրենք ունեն հավասար անկյուններ և միանդամների թիվը 1-ով մեծ է հավասարման կարգից։

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումը բաղկացած է երկու փուլից՝ հավասարման փոխակերպում նրա ամենապարզ ձևը ստանալու համար և ստացված ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարման լուծումը։ Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման յոթ հիմնական մեթոդ կա:

Ի. հանրահաշվական մեթոդ.Այս մեթոդը հայտնի է հանրահաշվից։ (Փոփոխականների փոխարինման և փոխարինման մեթոդ):

Լուծել հավասարումներ.

1)

Ներկայացնենք նշումը x=2 մեղք3 տ, ստանում ենք

Այս հավասարումը լուծելով՝ մենք ստանում ենք.
կամ

դրանք. կարելի է գրել

Նշանների առկայության շնորհիվ ստացված լուծումը գրելիս աստիճան
իմաստ չունի գրելը.

Պատասխան.

Նշանակել

Մենք ստանում ենք քառակուսի հավասարում
. Դրա արմատները թվեր են
Եվ
. Հետևաբար, այս հավասարումը վերածվում է ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների
Եվ
. Լուծելով դրանք, մենք գտնում ենք, որ
կամ
.

Պատասխան.
;
.

Նշանակել

չի բավարարում պայմանը

Միջոցներ

Պատասխան.

Փոխակերպենք հավասարման ձախ կողմը.

Այսպիսով, այս նախնական հավասարումը կարելի է գրել այսպես.

, այսինքն.

Նշանակող
, ստանում ենք
Լուծելով այս քառակուսի հավասարումը, մենք ունենք.

չի բավարարում պայմանը

Մենք գրում ենք սկզբնական հավասարման լուծումը.

Պատասխան.

Փոխարինում
նվազեցնում է այս հավասարումը քառակուսային հավասարում
. Դրա արմատները թվեր են
Եվ
. Որովհետեւ
, ապա տրված հավասարումն արմատներ չունի։

Պատասխան՝ արմատներ չկան:

II. Հավասարումների լուծում՝ օգտագործելով համանուն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հավասարության պայմանը.

Ա)
, Եթե

բ)
, Եթե

V)
, Եթե

Օգտագործելով այս պայմանները, հաշվի առեք հետևյալ հավասարումների լուծումը.

6)

Օգտագործելով a կետում ասվածը), մենք գտնում ենք, որ հավասարումը լուծում ունի, եթե և միայն, եթե
.

Լուծելով այս հավասարումը, մենք գտնում ենք
.

Մենք ունենք լուծումների երկու խումբ.

.

7) Լուծե՛ք հավասարումը.
.

Օգտվելով բ) մասի պայմանից՝ եզրակացնում ենք
.

Այս քառակուսի հավասարումները լուծելով՝ մենք ստանում ենք.

.

8) Լուծե՛ք հավասարումը
.

Այս հավասարումից մենք եզրակացնում ենք, որ. Լուծելով այս քառակուսի հավասարումը, մենք գտնում ենք, որ

.

III. Ֆակտորիզացիա.

Մենք դիտարկում ենք այս մեթոդը օրինակներով:

9) Լուծե՛ք հավասարումը
.

Լուծում. Հավասարման բոլոր անդամները տեղափոխենք ձախ՝ .

Մենք փոխակերպում և գործոնացնում ենք հավասարման ձախ կողմի արտահայտությունը.
.

.

.

1)
2)

Որովհետեւ
Եվ
արժեքը զրոյական մի վերցրեք

միևնույն ժամանակ, ապա մենք առանձնացնում ենք երկու մասերը

համար հավասարումներ
,

Պատասխան.

10) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

կամ

Պատասխան.

11) Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում:

1)
2)
3)

,

Պատասխան.

IV. Կրճատում միատարր հավասարման:

Միատարր հավասարումը լուծելու համար անհրաժեշտ է.

Տեղափոխեք նրա բոլոր անդամները ձախ կողմում;

Բոլոր ընդհանուր գործոնները փակագծերից դուրս դրեք;

Բոլոր գործոնները և փակագծերը հավասարեցնել զրոյի;

զրոյի հավասարված փակագծերը տալիս են ավելի փոքր աստիճանի միատարր հավասարում, որը պետք է բաժանվի.
(կամ
) ավագ աստիճանում.

Լուծե՛ք ստացված հանրահաշվական հավասարումը
.

Դիտարկենք օրինակներ.

12) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք
,

Ներկայացնում ենք նշումը
, Անուն

այս հավասարման արմատներն են.

այստեղից 1)
2)

Պատասխան.

13) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Օգտագործելով կրկնակի անկյունային բանաձևերը և հիմնականը եռանկյունաչափական ինքնություն, այս հավասարումը նվազեցնում ենք կես փաստարկի.

Նման պայմանները կրճատելուց հետո մենք ունենք.

Միատարր վերջին հավասարումը բաժանելով
, ստանում ենք

ես կնշանակեմ
, ստանում ենք քառակուսի հավասարումը
, որի արմատները թվերն են

Այսպիսով

Արտահայտություն
անհետանում է
, այսինքն. ժամը
,
.

Հավասարման մեր լուծումը չի ներառում այս թվերը:

Պատասխան.
, .

Վ. Օժանդակ անկյունի ներդրում.

Դիտարկենք ձևի հավասարումը

Որտեղ ա, բ, գ- գործակիցներ, x- անհայտ:

Այս հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք

Այժմ հավասարման գործակիցներն ունեն սինուսի և կոսինուսի հատկություններ, այն է՝ նրանցից յուրաքանչյուրի մոդուլը չի ​​գերազանցում մեկին, իսկ նրանց քառակուսիների գումարը հավասար է 1-ի։

Այնուհետև մենք կարող ենք դրանք համապատասխան պիտակավորել
(Այստեղ - օժանդակ անկյուն) և մեր հավասարումը ստանում է ձև.

Հետո

Եվ նրա որոշումը

Նշենք, որ ներկայացված նշումը փոխարինելի է:

14) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Այստեղ
, ուստի մենք հավասարման երկու կողմերն էլ բաժանում ենք

Պատասխան.

15) Լուծե՛ք հավասարումը

Լուծում. Որովհետեւ
, ապա այս հավասարումը համարժեք է հավասարմանը

Որովհետեւ
, ապա կա այնպիսի անկյուն, որ
,
(դրանք.
).

Մենք ունենք

Որովհետեւ
, ապա վերջապես մենք ստանում ենք.

.

Նկատի ունեցեք, որ ձևի հավասարումը լուծում ունի, եթե և միայն, եթե

16) Լուծե՛ք հավասարումը.

Այս հավասարումը լուծելու համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաները խմբավորում ենք նույն արգումենտներով

Հավասարման երկու կողմերը բաժանե՛ք երկուսի

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը մենք վերածում ենք արտադրյալի.

Պատասխան.

VI. Արտադրանքը փոխարկեք գումարի:

Այստեղ օգտագործվում են համապատասխան բանաձեւերը։

17) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Ձախ կողմը վերածենք գումարի.

VII.Ունիվերսալ փոխարինում.

,

այս բանաձեւերը ճշմարիտ են բոլորի համար

Փոխարինում
կոչվում է ունիվերսալ:

18) Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում. Փոխարինել և
նրանց արտահայտման միջոցով
և նշել
.

Մենք ստանում ենք ռացիոնալ հավասարում
, որը վերածվում է քառակուսու
.

Այս հավասարման արմատները թվերն են
.

Հետևաբար, խնդիրը կրճատվել է երկու հավասարումների լուծման վրա
.

Մենք գտնում ենք, որ
.

Դիտել արժեքը
չի բավարարում սկզբնական հավասարումը, որը ստուգվում է տվյալ արժեքը ստուգելով-փոխարինելով տսկզբնական հավասարմանը:

Պատասխան.
.

Մեկնաբանություն. 18-րդ հավասարումը կարելի էր լուծել այլ կերպ։

Այս հավասարման երկու կողմերը բաժանեք 5-ի (այսինքն՝ ըստ
):
.

Որովհետեւ
, ապա կա մի թիվ
, Ինչ
Եվ
. Այսպիսով, հավասարումը դառնում է.
կամ
. Այստեղից մենք գտնում ենք, որ
Որտեղ
.

19) Լուծե՛ք հավասարումը
.

Լուծում. Քանի որ գործառույթները
Եվ
ունեն ամենաբարձր արժեքըհավասար է 1-ի, ապա դրանց գումարը հավասար է 2-ի, եթե
Եվ
, միևնույն ժամանակ, այսինքն
.

Պատասխան.
.

Այս հավասարումը լուծելիս օգտագործվել է ֆունկցիաների սահմանայինությունը և.

Եզրակացություն.

Աշխատելով «Եռանկյունաչափական հավասարումների լուծումներ» թեմայով, յուրաքանչյուր ուսուցչի համար օգտակար է հետևել հետևյալ առաջարկություններին.

Համակարգել եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման մեթոդները:

Ինքներդ ընտրեք հավասարման վերլուծությունը կատարելու քայլերը և լուծման այս կամ այն ​​մեթոդի կիրառման նպատակահարմարության նշանները։

Մտածել մեթոդի իրականացման վրա գործունեության ինքնավերահսկման ուղիների մասին:

Սովորեք կատարել «ձեր» հավասարումներ ուսումնասիրված մեթոդներից յուրաքանչյուրի համար:

Դիմում թիվ 1

Լուծեք միատարր կամ կրճատվող հավասարումներ:

1.	Rep.
	Rep.
	Rep.
5.	Rep.
	Rep.
7.	Rep.
	Rep.

Ավելի բարդ եռանկյունաչափական հավասարումներ

Հավասարումներ

մեղք x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումներն են։ Այս պարբերությունում կոնկրետ օրինակներմենք կդիտարկենք ավելի բարդ եռանկյունաչափական հավասարումներ: Դրանց լուծումը, որպես կանոն, կրճատվում է ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների լուծմանը։

Օրինակ 1 . լուծել հավասարումը

մեղք 2 X= cos Xմեղք 2 x.

Այս հավասարման բոլոր պայմանները տեղափոխելով ձախ կողմ և ստացված արտահայտությունը տարրալուծելով գործոնների, մենք ստանում ենք.

մեղք 2 X(1 - cos X) = 0.

Երկու արտահայտությունների արտադրյալը հավասար է զրոյի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի, իսկ մյուսը վերցնում է ցանկացած թվային արժեք՝ պայմանով, որ այն սահմանված է։

Եթե մեղք 2 X = 0 , ապա 2 X=n π ; X = π / 2n.

Եթե 1 - cos X = 0 , ապա cos X = 1; X = 2կπ .

Այսպիսով, մենք ստացանք արմատների երկու խումբ. X = π / 2n; X = 2կπ . Արմատների երկրորդ խումբն ակնհայտորեն պարունակվում է առաջինում, քանի որ n = 4k արտահայտությունը X = π / 2nդառնում է
X = 2կπ .

Հետևաբար, պատասխանը կարելի է գրել մեկ բանաձևով. X = π / 2n, Որտեղ n- ցանկացած ամբողջ թիվ:

Նկատի ունեցեք, որ այս հավասարումը հնարավոր չէր լուծել մեղք 2-ով կրճատելով x. Իսկապես, կրճատումից հետո մենք կստանայինք 1 - cos x = 0, որտեղից X= 2կ π . Այսպիսով, մենք, օրինակ, որոշ արմատներ կկորցնեինք π / 2 , π , 3π / 2 .

ՕՐԻՆԱԿ 2.լուծել հավասարումը

Կոտորակը զրո է միայն այն դեպքում, եթե նրա համարիչը զրո է:
Ահա թե ինչու մեղք 2 X = 0 , որտեղից 2 X=n π ; X = π / 2n.

Այս արժեքներից X պետք է անտեսվեն որպես կողմնակի այն արժեքները, որոնց համար մեղքX անհետանում է (զրոյական հայտարար ունեցող կոտորակներն անիմաստ են. զրոյի բաժանումը սահմանված չէ): Այս արժեքները թվեր են, որոնք բազմապատիկ են π . Բանաձեւում
X = π / 2nդրանք ձեռք են բերվում նույնիսկ համար n. Այսպիսով, այս հավասարման արմատները կլինեն թվերը

X = π / 2 (2k + 1),

որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է:

Օրինակ 3 . լուծել հավասարումը

2 մեղք 2 X+ 7 կոթ x - 5 = 0.

Էքսպրես մեղք 2 X միջոցով cosx : մեղք 2 X = 1 - cos 2x . Այնուհետև այս հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես

2 (1 - cos 2 x) + 7 կոթ x - 5 = 0 , կամ

2 cos 2 x- 7 կոթ x + 3 = 0.

նշելով cosx միջոցով ժամը, մենք հասնում ենք քառակուսային հավասարմանը

2y 2 - 7y + 3 = 0,

որոնց արմատները 1/2 և 3 թվերն են: Հետևաբար, կամ cos x= 1/2 կամ cos X= 3. Սակայն վերջինս անհնար է, քանի որ ցանկացած անկյան կոսինուսի բացարձակ արժեքը չի գերազանցում 1-ը։

Մնում է ճանաչել, որ cos x = 1 / 2 , որտեղ

x = ± 60° + 360° n.

Օրինակ 4 . լուծել հավասարումը

2 մեղք X+ 3cos x = 6.

Որովհետև մեղքը xև կոս xբացարձակ արժեքով չգերազանցել 1-ը, ապա արտահայտությունը
2 մեղք X+ 3cos x չի կարող վերցնել ավելի մեծ արժեքներ, քան 5 . Հետևաբար, այս հավասարումը արմատներ չունի։

Օրինակ 5 . լուծել հավասարումը

մեղք X+ cos x = 1

Այս հավասարման երկու կողմերն էլ քառակուսի դնելով՝ ստանում ենք.

մեղք 2 X+ 2 մեղք x cos x+ cos2 x = 1,

Բայց մեղք 2 X + cos 2 x = 1 . Ահա թե ինչու 2 մեղք x cos x = 0 . Եթե մեղք x = 0 , Դա X = nπ ; եթե
cos x , Դա X = π / 2 + կπ . Լուծումների այս երկու խմբերը կարելի է գրել մեկ բանաձևով.

X = π / 2n

Քանի որ այս հավասարման երկու մասերն էլ քառակուսի դարձրինք, հնարավոր է, որ ստացված արմատների մեջ լինեն կողմնակի արմատներ։ Այդ իսկ պատճառով այս օրինակում, ի տարբերություն բոլոր նախորդների, անհրաժեշտ է ստուգում կատարել։ Բոլոր արժեքները

X = π / 2nկարելի է բաժանել 4 խմբի

	1) X = 2կπ .	(n=4k)
	2) X = π / 2 + 2կπ .	(n=4k+1)
	3) X = π + 2կπ .	(n=4k+2)
	4) X = 3π / 2 + 2կπ .	(n=4k+3)

ժամը X = 2կπմեղք x+ cos x= 0 + 1 = 1: Հետևաբար, X = 2կπայս հավասարման արմատներն են։

ժամը X = π / 2 + 2կպ. մեղք x+ cos x= 1 + 0 = 1 X = π / 2 + 2կպեն նաև այս հավասարման արմատները։

ժամը X = π + 2կպմեղք x+ cos x= 0 - 1 = - 1. Հետեւաբար, արժեքները X = π + 2կպայս հավասարման արմատները չեն: Նմանապես ցույց է տրվում, որ X = 3π / 2 + 2կպ. արմատներ չեն.

Այսպիսով, այս հավասարումն ունի հետևյալ արմատները. X = 2կπԵվ X = π / 2 + 2 մպ., Որտեղ կԵվ մ- ցանկացած ամբողջ թվեր:

Եռանկյունաչափական հավասարումները ամենահեշտ թեման չեն: Ցավալիորեն դրանք բազմազան են։) Օրինակ՝ սրանք.

sin2x + cos3x = ctg5x

sin (5x+π /4) = ctg (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

և այլն...

Բայց այս (և բոլոր մյուս) եռանկյունաչափական հրեշներն ունեն երկու ընդհանուր և պարտադիր հատկանիշ։ Առաջինը, չես հավատա, հավասարումների մեջ կան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ:) Երկրորդ. x-ով բոլոր արտահայտությունները. այս նույն գործառույթների շրջանակներում:Եվ միայն այնտեղ! Եթե ​​x ինչ-որ տեղ հայտնվում է դրսում,Օրինակ, sin2x + 3x = 3,սա կլինի խառը տիպի հավասարում: Նման հավասարումները պահանջում են անհատական ​​մոտեցում: Այստեղ մենք դրանք չենք դիտարկի:

Այս դասին էլ չար հավասարումներ չենք լուծի։) Այստեղ կզբաղվենք ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումները.Ինչո՞ւ։ Այո, քանի որ որոշումը ցանկացածեռանկյունաչափական հավասարումները բաղկացած են երկու փուլից. Առաջին փուլում չար հավասարումը վերածվում է պարզի տարբեր փոխակերպումների միջոցով։ Երկրորդի վրա՝ այս ամենապարզ հավասարումը լուծված է: Ուրիշ ճանապարհ չկա:

Այսպիսով, եթե դուք խնդիրներ ունեք երկրորդ փուլում, ապա առաջին փուլն այնքան էլ իմաստ չունի:)

Ինչպիսի՞ն են տարրական եռանկյունաչափական հավասարումները:

sinx = ա

cosx = ա

tgx = ա

ctgx = ա

Այստեղ Ա նշանակում է ցանկացած թիվ: Ցանկացած.

Ի դեպ, ֆունկցիայի ներսում կարող է լինել ոչ թե մաքուր x, այլ ինչ-որ արտահայտություն, ինչպիսին է.

cos(3x+π /3) = 1/2

և այլն: Սա բարդացնում է կյանքը, բայց չի ազդում եռանկյունաչափական հավասարման լուծման մեթոդի վրա:

Ինչպե՞ս լուծել եռանկյունաչափական հավասարումները:

Եռանկյունաչափական հավասարումները կարելի է լուծել երկու եղանակով. Առաջին ճանապարհը` օգտագործելով տրամաբանությունը և եռանկյունաչափական շրջանը: Մենք կուսումնասիրենք այս ճանապարհը այստեղ: Երկրորդ ճանապարհը՝ հիշողության և բանաձևերի օգտագործումը, կքննարկվի հաջորդ դասում:

Առաջին ճանապարհը պարզ է, հուսալի և դժվար է մոռանալ:) Այն լավ է եռանկյունաչափական հավասարումներ, անհավասարություններ և բոլոր տեսակի բարդ ոչ ստանդարտ օրինակներ լուծելու համար: Տրամաբանությունն ավելի ուժեղ է, քան հիշողությունը:

Մենք լուծում ենք հավասարումներ՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական շրջան։

Մենք ներառում ենք տարրական տրամաբանություն և եռանկյունաչափական շրջանակ օգտագործելու ունակություն: Չես կարող!? Այնուամենայնիվ... Եռանկյունաչափության մեջ ձեզ համար դժվար կլինի...) Բայց դա նշանակություն չունի։ Նայեք դասերին «Եռանկյունաչափական շրջան ...... Ինչ է դա»: և «Անկյունների հաշվում եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա»։ Այնտեղ ամեն ինչ պարզ է. Ի տարբերություն դասագրքերի...)

Ահ, գիտե՞ք! Եվ նույնիսկ յուրացրել է «Գործնական աշխատանք եռանկյունաչափական շրջանով»!? Ընդունեք շնորհավորանքներ: Այս թեման ձեզ մոտ և հասկանալի կլինի։) Ինչն է հատկապես հաճելի, եռանկյունաչափական շրջանէական չէ, թե որ հավասարումը կլուծես։ Սինուս, կոսինուս, տանգենս, կոտանգենս - նրա մոտ ամեն ինչ նույնն է: Լուծման սկզբունքը նույնն է.

Այսպիսով, մենք վերցնում ենք ցանկացած տարրական եռանկյունաչափական հավասարում: Գոնե սա.

cosx = 0,5

Ես պետք է գտնեմ X. Եթե ​​խոսել մարդկային լեզու, պետք է գտե՛ք անկյունը (x), որի կոսինուսը 0,5 է։

Ինչպե՞ս էինք նախկինում օգտագործում շրջանակը: Մենք դրա վրա մի անկյուն գծեցինք։ աստիճաններով կամ ռադիաններով: Եվ անմիջապես տեսած այս անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: Հիմա անենք հակառակը։ Շրջանակի վրա գծե՛ք 0,5-ի հավասար կոսինուս և անմիջապես կտեսնենք անկյուն. Մնում է միայն գրել պատասխանը։) Այո, այո։

Մենք շրջանագիծ ենք գծում և նշում ենք 0,5 հավասար կոսինուսը։ Կոսինուսի առանցքի վրա, իհարկե։ Սրա նման:

Այժմ գծենք այն անկյունը, որը մեզ տալիս է այս կոսինուսը: Սկավառեք ձեր մկնիկը նկարի վրա (կամ հպեք նկարը պլանշետի վրա) և տեսնելայս նույն անկյունը X.

Ո՞ր անկյունն ունի 0,5 կոսինուս:

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Ոմանք թերահավատորեն կմռնչեն, այո... Ասում են՝ արժե՞ր շրջանը պարսպել, երբ ամեն ինչ պարզ է... Կարելի է, իհարկե, մռնչալ...) Բայց փաստն այն է, որ սա սխալ է։ պատասխանել. Ավելի ճիշտ՝ ոչ ադեկվատ։ Շրջանակի գիտակները հասկանում են, որ դեռևս կան անկյունների մի ամբողջ փունջ, որոնք նույնպես տալիս են 0,5-ի հավասար կոսինուս։

Եթե ​​դուք շրջեք շարժական կողմը OA ամբողջական շրջադարձի համար, A կետը կվերադառնա իր սկզբնական դիրքին։ Նույն կոսինուսով, որը հավասար է 0,5-ի: Նրանք. անկյունը կփոխվի 360° կամ 2π ռադիաններ, և կոսինուսը չէ: 60° + 360° = 420° նոր անկյունը նույնպես կլինի մեր հավասարման լուծումը, քանի որ.

Նման լրիվ պտույտները անսահման թվով կան... Եվ այս բոլոր նոր անկյունները կլինեն մեր եռանկյունաչափական հավասարման լուծումներ։ Եվ դրանք բոլորը պետք է ինչ-որ կերպ գրվեն: Բոլորը.Հակառակ դեպքում որոշումը չի դիտարկվում, այո...)

Մաթեմատիկան կարող է դա անել պարզ և նրբագեղ: Մեկ կարճ պատասխանում գրեք անսահման հավաքածուլուծումներ։ Ահա թե ինչ տեսք ունի մեր հավասարման համար.

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Ես կվերծանեմ. Դեռ գրիր իմաստալիցավելի լավ է, քան հիմարաբար ինչ-որ առեղծվածային տառեր նկարելը, այնպես չէ՞:)

π /3 նույն անկյունն է, ինչ մենք տեսավշրջանի վրա և նույնացվել էըստ կոսինուսների աղյուսակի.

2պ մեկ լրիվ պտույտ է ռադիաններով:

n - սա ամբողջականների թիվն է, այսինքն. ամբողջհեղափոխություններ։ Հասկանալի է, որ n կարող է լինել 0, ±1, ±2, ±3.... և այլն: Ինչպես նշված է կարճ մուտքում.

n ∈ Զ

n պատկանում է ( ∈ ) ամբողջ թվերի բազմությանը ( Զ ) Ի դեպ, նամակի փոխարեն n տառերը կարող են օգտագործվել k, m, t և այլն:

Այս նշումը նշանակում է, որ դուք կարող եք վերցնել ցանկացած ամբողջ թիվ n . Առնվազն -3, առնվազն 0, առնվազն +55: Ինչ ես դու ուզում. Եթե ​​այդ թիվը միացնեք ձեր պատասխանին, կստանաք որոշակի անկյուն, որը, անկասկած, կլինի մեր կոշտ հավասարման լուծումը:)

Կամ, այլ կերպ ասած, x \u003d π / 3 անսահման բազմության միակ արմատն է։ Մնացած բոլոր արմատները ստանալու համար բավական է ցանկացած քանակի ամբողջական պտույտներ ավելացնել π ​​/ 3-ին ( n ) ռադիաններով։ Նրանք. 2πn ռադիան.

Բոլորը. Ոչ Ես հատուկ ձգում եմ հաճույքը: Ավելի լավ հիշելու համար։) Մենք ստացանք մեր հավասարման պատասխանների միայն մի մասը։ Լուծման այս առաջին մասը կգրեմ հետևյալ կերպ.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ոչ մի արմատ, դա արմատների մի ամբողջ շարք է՝ գրված կարճ ձևով։

Բայց կան այլ անկյուններ, որոնք նույնպես տալիս են կոսինուս, որը հավասար է 0,5-ի:

Վերադառնանք մեր նկարին, ըստ որի՝ գրել ենք պատասխանը։ Ահա նա.

Տեղափոխեք մկնիկը պատկերի վրայով և տեսնելմեկ այլ անկյուն, որ տալիս է նաև կոսինուս 0,5։Ի՞նչ եք կարծում, դա ինչի՞ն է հավասար: Եռանկյունները նույնն են... Այո՛։ Նա հավասար է անկյան X , միայն գծված է բացասական ուղղությամբ։ Սա անկյունն է -X. Բայց մենք արդեն հաշվարկել ենք x. π /3 կամ 60°. Հետևաբար, մենք կարող ենք ապահով գրել.

x 2 \u003d - π / 3

Եվ, իհարկե, մենք ավելացնում ենք բոլոր անկյունները, որոնք ստացվում են ամբողջական շրջադարձերի միջոցով.

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Հիմա այսքանն է։) Եռանկյունաչափական շրջանակում՝ մենք տեսավ(ով իհարկե հասկանում է)) Բոլորըանկյուններ, որոնք տալիս են 0,5 հավասար կոսինուս: Եվ նրանք գրեցին այս անկյունները կարճ մաթեմատիկական ձևով: Պատասխանը երկու անսահման շարք արմատներ է.

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Սա ճիշտ պատասխանն է։

Հույս, եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման ընդհանուր սկզբունքշրջանագծի օգնությամբ հասկանալի է. Շրջանակի վրա նշում ենք կոսինուսը (սինուս, տանգենս, կոտանգենս): տրված հավասարումը, նկարիր դրան համապատասխան անկյունները և գրիր պատասխանը։Իհարկե, պետք է պարզել, թե ինչպիսի անկյուններ ենք մենք տեսավշրջանագծի վրա։ Երբեմն դա այնքան էլ ակնհայտ չէ: Դե, ինչպես ասացի, այստեղ տրամաբանություն է պահանջվում։)

Օրինակ, եկեք վերլուծենք մեկ այլ եռանկյունաչափական հավասարում.

Խնդրում եմ նկատի ունեցեք, որ 0,5 թիվը միակ հնարավոր թիվը չէ հավասարումների մեջ։) Ուղղակի ինձ համար ավելի հարմար է գրել այն, քան արմատներն ու կոտորակները։

Մենք աշխատում ենք ընդհանուր սկզբունքով. Մենք շրջանագիծ ենք նկարում, նշում ենք (իհարկե սինուսի առանցքի վրա) 0,5: Մենք միանգամից գծում ենք այս սինուսին համապատասխան բոլոր անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.

Եկեք նախ զբաղվենք անկյունով: X առաջին եռամսյակում։ Մենք հիշում ենք սինուսների աղյուսակը և որոշում այս անկյան արժեքը: Հարցը պարզ է.

x \u003d π / 6

Մենք հիշում ենք ամբողջ շրջադարձերը և մաքուր խղճով գրում պատասխանների առաջին շարքը.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Գործի կեսն արված է։ Այժմ մենք պետք է սահմանենք երկրորդ անկյուն...Սա ավելի բարդ է, քան կոսինուսներում, այո... Բայց տրամաբանությունը մեզ կփրկի: Ինչպես որոշել երկրորդ անկյունը x-ի միջոցով Այո Հեշտ! Նկարում պատկերված եռանկյունները նույնն են, իսկ կարմիր անկյունը X հավասար է անկյան X . Միայն այն հաշվվում է π անկյան տակ բացասական ուղղությամբ։ Դրա համար էլ կարմիր է:) Իսկ պատասխանի համար մեզ անհրաժեշտ է OX դրական կիսաառանցքից ճիշտ չափված անկյուն, այսինքն. 0 աստիճանի անկյան տակ:

Սավառնեք կուրսորը նկարի վրա և տեսեք ամեն ինչ: Առաջին անկյունը հանեցի, որպեսզի նկարը չբարդացնեմ։ Մեզ հետաքրքրող անկյունը (կանաչով նկարված) հավասար կլինի.

π - x

x մենք դա գիտենք π /6 . Այսպիսով, երկրորդ անկյունը կլինի.

π - π /6 = 5π /6

Կրկին հիշում ենք ամբողջական հեղափոխությունների ավելացումը և գրի առնում պատասխանների երկրորդ շարքը.

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Այսքանը: Ամբողջական պատասխանը բաղկացած է երկու շարք արմատներից.

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Շոշափող և կոտանգենսով հավասարումները կարելի է հեշտությամբ լուծել՝ օգտագործելով եռանկյունաչափական հավասարումների լուծման նույն ընդհանուր սկզբունքը: Եթե, իհարկե, չգիտեք, թե ինչպես գծել շոշափողն ու կոտանգենսը եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա:

Վերոնշյալ օրինակներում ես օգտագործել եմ սինուսի և կոսինուսի աղյուսակային արժեքը՝ 0,5: Նրանք. այն իմաստներից մեկը, որը սովորողը գիտի պետք է.Հիմա եկեք ընդլայնենք մեր հնարավորությունները մինչև մնացած բոլոր արժեքները:Որոշիր, ուրեմն որոշիր։)

Այսպիսով, ենթադրենք, որ մենք պետք է լուծենք հետևյալ եռանկյունաչափական հավասարումը.

Այս կոսինուսի արժեքը ամփոփ աղյուսակներՈչ Մենք սառնասրտորեն անտեսում ենք այս սարսափելի փաստը։ Շրջանագիծ ենք գծում, կոսինուսի առանցքի վրա նշում ենք 2/3-ը և գծում համապատասխան անկյունները։ Մենք ստանում ենք այս նկարը.

Մենք հասկանում ենք, ի սկզբանե, առաջին եռամսյակի անկյունից: Իմանալու համար, թե ինչին է հավասար x-ը, նրանք անմիջապես կգրեին պատասխանը։ Չգիտենք... Անհաջողությո՞ւն։ Հանգիստ. Մաթեմատիկան դժվարության մեջ չի թողնում իր սեփականը: Նա այս դեպքի համար հորինեց աղեղային կոսինուսներ: Չգիտեմ? Իզուր. Պարզեք: Դա շատ ավելի հեշտ է, քան կարծում եք: Ըստ այս հղումի՝ «հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների» մասին ոչ մի խրթին ուղղագրություն չկա... Այս թեմայում ավելորդ է։

Եթե ​​դուք տեղյակ եք, պարզապես ասեք ինքներդ ձեզ. «X-ը անկյուն է, որի կոսինուսը 2/3 է»: Եվ անմիջապես, զուտ արկկոսինի սահմանմամբ, մենք կարող ենք գրել.

Մենք հիշում ենք լրացուցիչ հեղափոխությունների մասին և հանգիստ գրում մեր եռանկյունաչափական հավասարման արմատների առաջին շարքը.

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Արմատների երկրորդ շարքը նույնպես գրվում է գրեթե ինքնաբերաբար՝ երկրորդ անկյան համար։ Ամեն ինչ նույնն է, միայն x (arccos 2/3) կլինի մինուսով.

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Եվ բոլոր բաները: Սա ճիշտ պատասխանն է։ Նույնիսկ ավելի հեշտ, քան աղյուսակային արժեքներով: Պետք չէ որևէ բան հիշել։) Ի դեպ, ամենաուշադիրները կնկատեն, որ այս նկարը լուծում է աղեղի կոսինուսի միջով։ ըստ էության չի տարբերվում cosx = 0.5 հավասարման նկարից:

Ճիշտ! Ընդհանուր սկզբունքը դրա վրա և ընդհանուր! Ես հատուկ նկարեցի երկու գրեթե նույնական նկարներ: Շրջանակը մեզ ցույց է տալիս անկյունը X իր կոսինուսով։ Դա աղյուսակային կոսինուս է, թե ոչ՝ շրջանագիծը չգիտի։ Ինչպիսի՞ անկյուն է սա, π / 3, կամ ինչպիսի աղեղային կոսինուս պետք է որոշենք:

Սինուսով նույն երգը. Օրինակ:

Կրկին շրջանագիծ ենք գծում, նշում ենք 1/3-ի սինուսը, նկարում ենք անկյունները։ Ստացվում է այս նկարը.

Եվ կրկին պատկերը գրեթե նույնն է, ինչ հավասարման դեպքում sinx = 0,5:Առաջին քառորդում կրկին սկսում ենք անկյունայինից։ Ինչի՞ է հավասար x-ը, եթե նրա սինուսը 1/3 է: Ոչ մի խնդիր!

Այսպիսով, արմատների առաջին փաթեթը պատրաստ է.

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Եկեք նայենք երկրորդ անկյունին: 0,5 աղյուսակի արժեք ունեցող օրինակում այն ​​հավասար էր.

π - x

Այսպիսով, այստեղ դա կլինի ճիշտ նույնը: Միայն x-ն է տարբեր, arcsin 1/3: Եւ ինչ!? Դուք կարող եք ապահով կերպով գրել արմատների երկրորդ փաթեթը.

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Սա լիովին ճիշտ պատասխան է։ Չնայած դա այնքան էլ ծանոթ չի թվում: Բայց դա հասկանալի է, հուսով եմ:)

Այսպես են լուծվում եռանկյունաչափական հավասարումները շրջանագծի միջոցով։ Այս ճանապարհը պարզ է և հասկանալի։ Նա է, ով խնայում է եռանկյունաչափական հավասարումների մեջ՝ տրված միջակայքում արմատների ընտրությամբ, եռանկյունաչափական անհավասարություններում. դրանք հիմնականում լուծվում են գրեթե միշտ շրջանագծի մեջ։ Մի խոսքով, ցանկացած առաջադրանքում, որոնք մի փոքր ավելի բարդ են, քան ստանդարտները:

Գիտելիքը գործի դնելու՞մ:

Լուծել եռանկյունաչափական հավասարումներ.

Սկզբում դա ավելի պարզ է, ուղղակիորեն այս դասի վրա:

Հիմա ավելի դժվար է։

Հուշում. այստեղ դուք պետք է մտածեք շրջանակի մասին: Անձամբ:)

Իսկ հիմա արտաքուստ ոչ հավակնոտ... Դրանք կոչվում են նաև հատուկ դեպքեր։

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Հուշում․ այստեղ դուք պետք է շրջանակի մեջ պարզեք, թե որտեղ կան պատասխանների երկու շարք, և որտեղ կա մեկը ... Եվ ինչպես գրել մեկը՝ պատասխանների երկու շարքի փոխարեն: Այո, այնպես, որ անսահման թվից ոչ մի արմատ չկորչի:)

Դե, բավականին պարզ):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Հուշում. այստեղ դուք պետք է իմանաք, թե որն է արկսինը, արկկոսինը: Ի՞նչ է աղեղային շոշափողը, աղեղային շոշափողը: Ամենապարզ սահմանումները. Բայց ձեզ հարկավոր չէ հիշել աղյուսակային արժեքներ:)

Պատասխանները, իհարկե, անհասկանալի են).

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

Ամեն ինչ չի ստացվում? Պատահում է. Կրկին կարդացեք դասը: Միայն մտածված(այսպիսի հնացած բառ կա...) Եվ հետևեք հղումներին։ Հիմնական հղումները շրջանակի մասին են։ Առանց դրա եռանկյունաչափության մեջ՝ ինչպես անցնել ճանապարհը աչքերը կապած: Երբեմն դա աշխատում է:)

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Սովորում - հետաքրքրությամբ!)

կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։