Հրահանգ

Նախքան ապացուցումը սկսելը, համոզվեք, որ գծերը գտնվում են նույն հարթության մեջ և կարող են գծվել դրա վրա: Ապացույցի ամենապարզ մեթոդը քանոնով չափման մեթոդն է։ Դա անելու համար օգտագործեք քանոն, որպեսզի չափեք ուղիղ գծերի միջև հեռավորությունը մի քանի վայրերում, որքան հնարավոր է հեռու: Եթե ​​հեռավորությունը մնում է նույնը, տրված ուղիղները զուգահեռ են։ Բայց այս մեթոդը բավականաչափ ճշգրիտ չէ, ուստի ավելի լավ է օգտագործել այլ մեթոդներ:

Երրորդ գիծ գծիր այնպես, որ այն հատի երկու զուգահեռ ուղիղները։ Դրանցով կազմում է չորս արտաքին և չորս ներքին անկյուն։ Հաշվի առեք ներքին անկյունները: Նրանք, որոնք ընկած են կտրված գծի միջով, կոչվում են խաչաձև սուտ: Մի կողմում պառկածները կոչվում են միակողմանի: Օգտագործելով անկյունաչափ, չափեք երկու ներքին անկյունագծային անկյունները: Եթե ​​դրանք հավասար են, ապա ուղիղները կլինեն զուգահեռ: Եթե ​​կասկածում եք, չափեք միակողմանի ներքին անկյունները և ավելացրեք ստացված արժեքները: Ուղիները կլինեն զուգահեռ, եթե միակողմանի ներքին անկյունների գումարը հավասար է 180º-ի:

Եթե ​​դուք չունեք անկյունաչափ, օգտագործեք 90º քառակուսի: Օգտագործեք այն տողերից մեկին ուղղահայաց կառուցելու համար: Դրանից հետո շարունակեք այս ուղղահայացն այնպես, որ այն հատի մեկ այլ գիծ։ Օգտագործելով նույն քառակուսին, ստուգեք, թե այս ուղղահայացը ինչ անկյան տակ է հատում այն: Եթե ​​այս անկյունը նույնպես հավասար է 90º-ի, ապա ուղիղները զուգահեռ են միմյանց:

Այն դեպքում, երբ տողերը տրված են դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, գտե՛ք դրանց ուղեցույցները կամ նորմալ վեկտորները։ Եթե ​​այս վեկտորները, համապատասխանաբար, համագիծ են միմյանց հետ, ապա ուղիղները զուգահեռ են: Տողերի հավասարումը բերեք ընդհանուր ձևի և գտեք տողերից յուրաքանչյուրի նորմալ վեկտորի կոորդինատները: Նրա կոորդինատները հավասար են A և B գործակիցներին: Այն դեպքում, երբ նորմալ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների հարաբերակցությունը նույնն է, դրանք համագիծ են, իսկ ուղիղները՝ զուգահեռ:

Օրինակ՝ ուղիղները տրված են 4x-2y+1=0 և x/1=(y-4)/2 հավասարումներով։ Առաջին հավասարումը ընդհանուր ձևի է, երկրորդը՝ կանոնական։ Երկրորդ հավասարումը բերեք ընդհանուր ձևի: Դրա համար օգտագործեք համամասնության փոխակերպման կանոնը, և դուք կստանաք 2x=y-4: Ընդհանուր ձևի կրճատումից հետո ստացեք 2x-y + 4 = 0: Քանի որ ցանկացած տողի ընդհանուր հավասարումը գրված է Ax + Vy + C = 0, ապա առաջին տողի համար՝ A = 4, B = 2, իսկ երկրորդ տողի համար՝ A = 2, B = 1: Նորմալ վեկտորի առաջին ուղիղ կոորդինատի համար (4;2), իսկ երկրորդի համար՝ (2;1): Գտե՛ք 4/2=2 և 2/1=2 նորմալ վեկտորների համապատասխան կոորդինատների հարաբերությունը։ Այս թվերը հավասար են, ինչը նշանակում է, որ վեկտորները համագիծ են: Քանի որ վեկտորները համագիծ են, գծերը զուգահեռ են:

ԱԲԵվ ՀԵՏԴհատեց երրորդ գիծը MN, ապա այս դեպքում ձևավորված անկյունները զույգերով ստանում են հետևյալ անվանումները.

համապատասխան անկյունները 1 և 5, 4 և 8, 2 և 6, 3 և 7;

ներքին խաչաձեւ պառկած անկյունները 3 և 5, 4 և 6;

արտաքին խաչաձև պառկած անկյուններ 1 և 7, 2 և 8;

ներքին միակողմանի անկյուններ 3 և 6, 4 և 5;

արտաքին միակողմանի անկյուններ 1 և 8, 2 և 7:

Այսպիսով, ∠ 2 = ∠ 4 և ∠ 8 = ∠ 6, բայց ապացուցված ∠ 4 = ∠ 6:

Հետևաբար, ∠ 2 = ∠ 8:

3. Համապատասխան անկյուններ 2-ը և 6-ը նույնն են, քանի որ ∠ 2 = ∠ 4, և ∠ 4 = ∠ 6: Մենք նաև համոզվում ենք, որ մյուս համապատասխան անկյունները հավասար են:

4. Գումար ներքին միակողմանի անկյուններ 3-ը և 6-ը կլինեն 2d, քանի որ գումարը հարակից անկյունները 3-ը և 4-ը հավասար է 2d = 180 0-ի, իսկ ∠ 4-ը կարող է փոխարինվել նույնական ∠ 6-ով: Նաև համոզվեք, որ անկյունների գումարը 4-ը և 5-ը հավասար է 2d-ի:

5. Գումար արտաքին միակողմանի անկյուններկլինի 2d, քանի որ այս անկյունները համապատասխանաբար հավասար են ներքին միակողմանի անկյուններինչպես անկյունները ուղղահայաց.

Վերևում ապացուցված հիմնավորումից մենք ստանում ենք հակադարձ թեորեմներ.

Երբ կամայական երրորդ գծի երկու տողերի խաչմերուկում մենք ստանում ենք, որ.

1. Ներքին խաչաձև պառկած անկյունները նույնն են.

կամ 2.Արտաքին խաչի պառկած անկյունները նույնն են.

կամ 3.Համապատասխան անկյունները նույնն են.

կամ 4.Ներքին միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է 2d = 180 0;

կամ 5.Արտաքին միակողմանի գումարը 2d = 180 0 է ,

ապա առաջին երկու ուղիղները զուգահեռ են։

Նրանք չեն հատվում, որքան էլ շարունակվեն։ Գրավոր տողերի զուգահեռությունը նշվում է հետևյալ կերպ. ԱԲ|| ՀԵՏԵ

Նման ուղիղների գոյության հնարավորությունը ապացուցվում է թեորեմով.

Թեորեմ.

Տրված գծից դուրս վերցված ցանկացած կետի միջոցով կարելի է զուգահեռ անցկացնել այս ուղղին:.

Թող ԱԲայս տողը և ՀԵՏինչ-որ կետ վերցված դրանից դուրս: Պահանջվում է դա ապացուցել ՀԵՏդուք կարող եք ուղիղ գիծ գծել զուգահեռԱԲ. Եկեք անցնենք ԱԲմի կետից ՀԵՏ ուղղահայացՀԵՏԴև հետո մենք կանենք ՀԵՏԵ^ ՀԵՏԴ, ինչ հնարավոր է. Ուղիղ CEզուգահեռ ԱԲ.

Ապացույցի համար մենք ենթադրում ենք հակառակը, այսինքն CEհատվում է ԱԲինչ-որ պահի Մ. Հետո կետից Մդեպի ուղիղ գիծ ՀԵՏԴմենք կունենայինք երկու տարբեր ուղղահայաց ՄԴԵվ MS, ինչը անհնար է։ Նշանակում է, CEհետ չի կարող հատվել ԱԲ, այսինքն. ՀԵՏԵզուգահեռ ԱԲ.

Հետևանք.

Երկու ուղղահայաց (CԵԵվԴ.Բ.) մեկ ուղիղ գծի (CԴ) զուգահեռ են։

Զուգահեռ ուղիղների աքսիոմա.

Միևնույն կետի միջով անհնար է նույն ուղիղին զուգահեռ երկու տարբեր ուղիղներ գծել։

Այսպիսով, եթե ուղիղ գիծ ՀԵՏԴ, գծված կետի միջով ՀԵՏուղիղ գծի զուգահեռ ԱԲ, ապա ցանկացած այլ տող ՀԵՏԵնույն կետով ՀԵՏ, չի կարող զուգահեռ լինել ԱԲ, այսինքն. նա շարունակում է հատելՀետ ԱԲ.

Այս ոչ այնքան ակնհայտ ճշմարտության ապացույցն անհնարին է դառնում։ Առանց ապացույցի ընդունված է որպես անհրաժեշտ ենթադրություն (postulatum)։

Հետեւանքները.

1. Եթե ուղիղ(ՀԵՏԵ) հատվում է մեկի հետ զուգահեռ(SW), այնուհետև այն հատվում է մյուսի հետ ( ԱԲ), քանի որ հակառակ դեպքում նույն կետով ՀԵՏերկու տարբեր ուղիղ գծեր՝ զուգահեռ ԱԲ, ինչը անհնար է։

2. Եթե երկուսից յուրաքանչյուրը ուղիղ (ԱԵվԲ) զուգահեռ են նույն երրորդ գծին ( ՀԵՏ) , ապա նրանք զուգահեռ ենիրենց միջև։

Իսկապես, եթե ենթադրենք, որ ԱԵվ Բինչ-որ պահի հատվում են Մ, ապա այս կետով կանցնեին երկու տարբեր ուղիղներ՝ միմյանց զուգահեռ։ ՀԵՏ, ինչը անհնար է։

Թեորեմ.

Եթե ուղիղ գիծը ուղղահայաց էզուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն ուղղահայաց է մյուսին զուգահեռ.

Թող ԱԲ || ՀԵՏԴԵվ ԷՖ ^ ԱԲ.Պահանջվում է ապացուցել, որ ԷՖ ^ ՀԵՏԴ.

ՈւղղահայացԵՖ, հատվելով հետ ԱԲ, անպայման կհատվեն ու ՀԵՏԴ. Թող հատման կետը լինի Հ.

Ենթադրենք հիմա դա ՀԵՏԴոչ ուղղահայաց ԷՀ. Հետո մի ուրիշ տող, օրինակ HK, ուղղահայաց կլինի ԷՀև, հետևաբար, նույն կետով Հերկու ուղիղ զուգահեռ ԱԲ:մեկ ՀԵՏԴ, պայմանով, իսկ մյուսը HKինչպես նախկինում ապացուցված է: Քանի որ դա անհնար է, դա չի կարելի ենթադրել SWուղղահայաց չէր ԷՀ.

Այս հոդվածում մենք կխոսենք զուգահեռ գծերի մասին, կտանք սահմանումներ, կնշանակենք զուգահեռության նշաններն ու պայմանները: Տեսական նյութի պարզության համար կօգտագործենք նկարազարդումներ և բնորոշ օրինակների լուծում:

Սահմանում 1

Հարթության մեջ զուգահեռ գծերհարթության մեջ երկու ուղիղ գծեր են, որոնք չունեն ընդհանուր կետեր:

Սահմանում 2

Զուգահեռ գծեր 3D տարածության մեջ- երկու ուղիղ գծեր եռաչափ տարածության մեջ, որոնք գտնվում են նույն հարթության մեջ և չունեն ընդհանուր կետեր.

Հարկ է նշել, որ տարածության մեջ զուգահեռ գծերը որոշելու համար չափազանց կարևոր է «նույն հարթության մեջ ընկած» պարզաբանումը. եռաչափ տարածության մեջ երկու տողեր, որոնք չունեն ընդհանուր կետեր և չեն գտնվում նույն հարթության մեջ. զուգահեռ, բայց հատվող:

Զուգահեռ գծերը նշելու համար սովորական է օգտագործել ∥ նշանը: Այսինքն, եթե տրված a և b ուղիղները զուգահեռ են, ապա այս պայմանը պետք է հակիրճ գրել հետևյալ կերպ. a ‖ b . Բառային առումով ուղիղների զուգահեռությունը նշվում է հետևյալ կերպ. a և b ուղիղները զուգահեռ են, կամ a ուղիղը զուգահեռ է b ուղղին, կամ b ուղիղը զուգահեռ է a ուղղին:

Եկեք ձևակերպենք մի հայտարարություն, որը կարևոր դեր է խաղում ուսումնասիրվող թեմայի մեջ:

Աքսիոմա

Տրված ուղիղին չպատկանող կետի միջով տրված ուղիղին զուգահեռ միայն մեկ ուղիղ է անցնում։ Այս պնդումը չի կարող ապացուցվել պլանաչափության հայտնի աքսիոմների հիման վրա։

Այն դեպքում, երբ խոսքը տարածության մասին է, թեորեմը ճշմարիտ է.

Թեորեմ 1

Տրված ուղիղին չպատկանող տարածության ցանկացած կետի միջով տվյալ ուղիղին զուգահեռ կլինի միայն մեկ ուղիղ:

Այս թեորեմը հեշտ է ապացուցել վերը նշված աքսիոմի հիման վրա (երկրաչափության ծրագիր 10-11-րդ դասարանների համար):

Զուգահեռության նշանը բավարար պայման է, որի դեպքում զուգահեռ գծերը երաշխավորված են։ Այսինքն՝ այս պայմանի կատարումը բավարար է զուգահեռության փաստը հաստատելու համար։

Մասնավորապես, հարթության և տարածության մեջ ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմաններ կան։ Բացատրենք. անհրաժեշտ նշանակում է պայման, որի կատարումն անհրաժեշտ է զուգահեռ գծերի համար. եթե այն բավարարված չէ, գծերը զուգահեռ չեն։

Ամփոփելով՝ ուղիղների զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայման է այն պայմանը, որի պահպանումը անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի ուղիղները միմյանց զուգահեռ լինեն։ Սա մի կողմից զուգահեռության նշան է, մյուս կողմից՝ զուգահեռ գծերին բնորոշ հատկություն։

Նախքան անհրաժեշտ և բավարար պայմանների ճշգրիտ ձևակերպումը, մենք հիշեցնում ենք ևս մի քանի լրացուցիչ հասկացություններ.

Սահմանում 3

հատվածային գիծմի ուղիղ է, որը հատում է տրված երկու չհամընկնող ուղիղները։

Երկու ուղիղ գիծ հատելով՝ սեկանտը կազմում է ութ չընդլայնված անկյուն։ Անհրաժեշտ և բավարար պայմանը ձևակերպելու համար մենք կօգտագործենք անկյունների այնպիսի տեսակներ, ինչպիսիք են խաչաձև, համապատասխան և միակողմանի անկյունները: Եկեք դրանք ցույց տանք նկարազարդման մեջ.

Թեորեմ 2

Եթե ​​հարթության վրա երկու ուղիղ հատում են հատվածը, ապա տվյալ ուղիղների զուգահեռ լինելու համար անհրաժեշտ է և բավարար, որ խաչաձև ընկած անկյունները հավասար լինեն, կամ համապատասխան անկյունները հավասար լինեն, կամ միակողմանի անկյունների գումարը հավասար լինի 180-ի: աստիճաններ.

Եկեք գրաֆիկորեն պատկերացնենք հարթության վրա զուգահեռ գծերի անհրաժեշտ և բավարար պայմանը.

Այս պայմանների ապացույցն առկա է 7-9-րդ դասարանների երկրաչափության ծրագրում:

Ընդհանուր առմամբ, այս պայմանները կիրառելի են նաև եռաչափ տարածության համար, պայմանով, որ երկու տողերը և հատվածը պատկանում են նույն հարթությանը:

Եկեք նշենք ևս մի քանի թեորեմներ, որոնք հաճախ օգտագործվում են ուղիղների զուգահեռ լինելու փաստն ապացուցելու համար։

Թեորեմ 3

Հարթության մեջ երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց: Այս հատկանիշն ապացուցված է վերը նշված զուգահեռության աքսիոմի հիման վրա։

Թեորեմ 4

Եռաչափ տարածության մեջ երրորդին զուգահեռ երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց:

Հատկանիշի ապացույցն ուսումնասիրվում է 10-րդ դասարանի երկրաչափություն ծրագրում։

Մենք ներկայացնում ենք այս թեորեմների օրինակը.

Նշենք ևս մեկ զույգ թեորեմներ, որոնք ապացուցում են ուղիղների զուգահեռությունը։

Թեորեմ 5

Հարթության մեջ երրորդին ուղղահայաց երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց:

Եկեք ձևակերպենք նմանատիպ մեկը եռաչափ տարածության համար:

Թեորեմ 6

Եռաչափ տարածության մեջ երրորդին ուղղահայաց երկու ուղիղները զուգահեռ են միմյանց:

Եկեք պատկերացնենք.

Վերոհիշյալ բոլոր թեորեմները, նշանները և պայմանները հնարավորություն են տալիս հարմար կերպով ապացուցել ուղիղների զուգահեռությունը երկրաչափության մեթոդներով։ Այսինքն՝ ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար կարելի է ցույց տալ, որ համապատասխան անկյունները հավասար են, կամ ցույց տալ, որ երկու տրված ուղիղները երրորդին ուղղահայաց են և այլն։ Բայց մենք նշում ենք, որ հաճախ ավելի հարմար է օգտագործել կոորդինատային մեթոդը՝ հարթության կամ եռաչափ տարածության մեջ ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար։

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղների զուգահեռությունը

Տրված ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղ գիծը որոշվում է հնարավոր տեսակներից մեկի հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարմամբ։ Նմանապես, ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տրված ուղիղ գիծը եռաչափ տարածության մեջ համապատասխանում է տարածության ուղիղ գծի որոշ հավասարումների:

Գրենք ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղների զուգահեռության համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանները՝ կախված տվյալ ուղիղները նկարագրող հավասարման տեսակից։

Սկսենք հարթության մեջ զուգահեռ ուղիղների վիճակից։ Այն հիմնված է գծի ուղղության վեկտորի և հարթության մեջ գծի նորմալ վեկտորի սահմանումների վրա։

Թեորեմ 7

Որպեսզի հարթության վրա երկու ոչ համընկնող ուղիղներ զուգահեռ լինեն, անհրաժեշտ և բավարար է, որ տվյալ ուղիղների ուղղության վեկտորները լինեն համակողմանի, կամ տրված ուղիղների նորմալ վեկտորները՝ միակողմանի, կամ մեկ ուղիղի ուղղության վեկտորը ուղղահայաց լինի։ մյուս տողի նորմալ վեկտորը:

Ակնհայտ է դառնում, որ հարթության վրա զուգահեռ գծերի պայմանը հիմնված է համագիծ վեկտորների կամ երկու վեկտորների ուղղահայացության պայմանի վրա։ Այսինքն, եթե a → = (a x , a y) և b → = (b x, b y) a և b ուղիղների ուղղության վեկտորներն են.

և n b → = (n b x, n b y) a և b տողերի նորմալ վեկտորներ են, ապա վերը նշված անհրաժեշտ և բավարար պայմանը գրում ենք հետևյալ կերպ. a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y կամ n a → = t n b → ⇔ n a x. = t n b x n a y = t n b y կամ a → , n b → = 0 ⇔ a x n b x + a y n b y = 0, որտեղ t-ն իրական թիվ է: Ուղղորդող կամ ուղիղ վեկտորների կոորդինատները որոշվում են ուղիղների տրված հավասարումներով։ Դիտարկենք հիմնական օրինակները.

1. Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում a ուղիղը որոշվում է ուղիղի ընդհանուր հավասարմամբ՝ A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ; տող b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0: Այնուհետև տրված ուղիղների նորմալ վեկտորները կունենան կոորդինատներ (A 1 , B 1) և (A 2 , B 2) համապատասխանաբար։ Զուգահեռության պայմանը գրում ենք հետևյալ կերպ.

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Ուղիղ a-ը նկարագրվում է y = k 1 x + b 1 ձևի թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարմամբ: Ուղիղ գիծ b - y \u003d k 2 x + b 2. Այնուհետև տրված ուղիղների նորմալ վեկտորները կունենան կոորդինատներ (k 1 , - 1) և (k 2 , - 1) համապատասխանաբար, և զուգահեռության պայմանը գրում ենք հետևյալ կերպ.

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Այսպիսով, եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա զուգահեռ գծերը տրված են թեքության գործակիցներով հավասարումներով, ապա տվյալ ուղիղների թեքության գործակիցները հավասար կլինեն։ Իսկ հակառակ պնդումը ճիշտ է՝ եթե ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում հարթության վրա չհամընկնող գծերը որոշվում են նույն թեքության գործակիցներով գծի հավասարումներով, ապա այս տրված ուղիղները զուգահեռ են։

1. Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում a և b ուղիղները տրվում են հարթության վրա գծի կանոնական հավասարումներով՝ x - x 1 a x = y - y 1 a y և x - x 2 b x = y - y 2 b y կամ պարամետրական հավասարումներով: հարթության վրա՝ x = x 1 + λ a x y = y 1 + λ a y և x = x 2 + λ b x y = y 2 + λ b y:

Այնուհետև տրված ուղիղների ուղղության վեկտորները կլինեն՝ համապատասխանաբար a x, a y և b x, b y, իսկ զուգահեռության պայմանը գրում ենք հետևյալ կերպ.

a x = t b x a y = t b y

Եկեք նայենք օրինակներին:

Օրինակ 1

Տրված է երկու տող՝ 2 x - 3 y + 1 = 0 և x 1 2 + y 5 = 1: Դուք պետք է որոշեք, թե արդյոք դրանք զուգահեռ են:

Լուծում

Ուղիղ գծի հավասարումը հատվածներով գրում ենք ընդհանուր հավասարման տեսքով.

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Մենք տեսնում ենք, որ n a → = (2, - 3) 2 x - 3 y + 1 = 0 գծի նորմալ վեկտորն է, իսկ n b → = 2, 1 5-ը x 1 2 + y 5 տողի նորմալ վեկտորն է։ = 1.

Ստացված վեկտորները համագիծ չեն, քանի որ t-ի այնպիսի արժեք չկա, որի համար հավասարությունը ճիշտ կլինի.

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Այսպիսով, հարթության վրա ուղիղների զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը չի բավարարվում, ինչը նշանակում է, որ տվյալ ուղիղները զուգահեռ չեն։

Պատասխան.տրված գծերը զուգահեռ չեն:

Օրինակ 2

Տրված y = 2 x + 1 և x 1 = y - 4 2 տողերը: Արդյո՞ք դրանք զուգահեռ են:

Լուծում

Եկեք վերափոխենք ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը x 1 \u003d y - 4 2 թեքությամբ ուղիղ գծի հավասարման.

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Մենք տեսնում ենք, որ y = 2 x + 1 և y = 2 x + 4 ուղիղների հավասարումները նույնը չեն (եթե այլ կերպ լիներ, գծերը նույնը կլինեին) և ուղիղների թեքությունները հավասար են, ինչը նշանակում է, որ տրված ուղիղները զուգահեռ են։

Փորձենք այլ կերպ լուծել խնդիրը։ Նախ ստուգում ենք՝ արդյոք տրված տողերը համընկնում են։ Մենք օգտագործում ենք y \u003d 2 x + 1 տողի ցանկացած կետ, օրինակ, (0, 1) , այս կետի կոորդինատները չեն համապատասխանում x 1 \u003d y - 4 2 տողի հավասարմանը, ինչը նշանակում է, որ տողերը չեն համընկնում.

Հաջորդ քայլը տվյալ ուղիղների համար զուգահեռության պայմանի կատարման որոշումն է։

y = 2 x + 1 ուղիղի նորմալ վեկտորը n a → = (2 , - 1) վեկտորն է, իսկ երկրորդ տրված ուղիղի ուղղության վեկտորը b → = (1 , 2) է։ Այս վեկտորների սկալյար արտադրյալը զրո է.

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Այսպիսով, վեկտորները ուղղահայաց են. սա մեզ ցույց է տալիս անհրաժեշտ և բավարար պայմանի կատարումը սկզբնական գծերի զուգահեռ լինելու համար: Նրանք. տրված գծերը զուգահեռ են:

Պատասխան.այս տողերը զուգահեռ են:

Եռաչափ տարածության ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում ուղիղների զուգահեռությունն ապացուցելու համար օգտագործվում է հետևյալ անհրաժեշտ և բավարար պայմանը.

Թեորեմ 8

Որպեսզի եռաչափ տարածության մեջ երկու չհամընկնող ուղիղները զուգահեռ լինեն, անհրաժեշտ և բավարար է, որ այդ ուղիղների ուղղության վեկտորները լինեն համագիծ:

Նրանք. Եռաչափ տարածության մեջ գտնվող ուղիղների տրված հավասարումների համար հարցի պատասխանը՝ դրանք զուգահեռ են, թե ոչ, գտնում ենք՝ որոշելով տվյալ ուղիղների ուղղության վեկտորների կոորդինատները, ինչպես նաև ստուգելով դրանց համակողմանիության վիճակը։ Այլ կերպ ասած, եթե a → = (a x, a y, a z) և b → = (b x, b y, b z) համապատասխանաբար a և b ուղիղների ուղղության վեկտորներն են, ապա որպեսզի դրանք զուգահեռ լինեն, գոյությունը. Նման իրական թվի t անհրաժեշտ է, որպեսզի հավասարությունը պահպանվի.

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Օրինակ 3

Տրված տողեր x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 և x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ: Անհրաժեշտ է ապացուցել այս տողերի զուգահեռությունը։

Լուծում

Խնդիրի պայմաններն են տարածության մեկ ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները և տարածության մեկ այլ ուղիղ գծի պարամետրային հավասարումները։ Ուղղության վեկտորներ ա → և b → տրված տողերն ունեն կոորդինատներ՝ (1 , 0 , - 3) և (2 , 0 , - 6) ։

1 = t 2 0 = t 0 - 3 = t - 6 ⇔ t = 1 2 , ապա a → = 1 2 b → .

Ուստի տարածության մեջ զուգահեռ գծերի համար անհրաժեշտ և բավարար պայմանը բավարարված է։

Պատասխան.ապացուցված է տրված ուղիղների զուգահեռությունը։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Նախ, եկեք դիտարկենք հատկանիշ, հատկություն և աքսիոմ հասկացությունների տարբերությունը:

Սահմանում 1

նշանկոչվում է որոշակի փաստ, որով հնարավոր է որոշել հետաքրքրության օբյեկտի վերաբերյալ դատողության ճշմարտացիությունը:

Օրինակ 1

Ուղիները զուգահեռ են, եթե դրանց կտրվածքը կազմում է հավասար խաչաձև անկյուններ:

Սահմանում 2

Սեփականությունձևակերպվում է այն դեպքում, երբ վստահություն կա վճռի հիմնավորվածության նկատմամբ։

Օրինակ 2

Զուգահեռ գծերով դրանց կտրվածքը հավասար խաչաձեւ անկյուններ է կազմում։

Սահմանում 3

աքսիոմաանվանել այնպիսի պնդում, որը ապացույց չի պահանջում և առանց դրա էլ ընդունվում է որպես ճշմարիտ:

Յուրաքանչյուր գիտություն ունի աքսիոմներ, որոնց վրա կառուցված են հետագա դատողություններն ու դրանց ապացույցները։

Զուգահեռ ուղիղների աքսիոմա

Երբեմն զուգահեռ ուղիղների աքսիոմն ընդունվում է որպես զուգահեռ ուղիղների հատկություններից մեկը, բայց միևնույն ժամանակ դրա վավերականության վրա կառուցվում են այլ երկրաչափական ապացույցներ։

Թեորեմ 1

Տրված գծի վրա չընկնող կետի միջով հարթության վրա կարելի է գծել միայն մեկ ուղիղ, որը զուգահեռ կլինի տրվածին։

Աքսիոմը ապացույց չի պահանջում։

Զուգահեռ ուղիղների հատկությունները

Թեորեմ 2

Գույք 1. Զուգահեռ ուղիղների անցողականության հատկությունը.

Երբ երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը զուգահեռ է երրորդին, ապա երկրորդ ուղիղը նույնպես զուգահեռ կլինի դրան։

Հատկությունները պահանջում են ապացույց:

Ապացույց:

Թող լինեն երկու զուգահեռ ուղիղներ $a$ և $b$: $c$ ուղիղը զուգահեռ է $a$ տողին: Եկեք ստուգենք, արդյոք այս դեպքում $с$ ուղիղը նույնպես զուգահեռ է $b$ տողին։

Ապացույցի համար մենք կօգտագործենք հակառակ առաջարկությունը.

Պատկերացրեք, որ կա նման տարբերակ, որտեղ $c$ ուղիղը զուգահեռ է տողերից մեկին, օրինակ $a$ տողը, իսկ մյուսը $b$ տողը հատվում է $K$-ի ինչ-որ կետում։

Հակասություն ենք ստանում ըստ զուգահեռ ուղիղների աքսիոմի։ Ստացվում է մի իրավիճակ, երբ երկու ուղիղները հատվում են մի կետում, ընդ որում՝ զուգահեռ են նույն $a$ ուղիղին։ Նման իրավիճակն անհնար է, հետևաբար $b$ և $c$ տողերը չեն կարող հատվել։

Այսպիսով, ապացուցված է, որ եթե երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը զուգահեռ է երրորդ ուղղին, ապա երկրորդ ուղիղը նույնպես զուգահեռ է երրորդ ուղղին։

Թեորեմ 3

Գույք 2.

Եթե ​​երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկը հատվում է երրորդի հետ, ապա երկրորդ ուղիղը նույնպես հատվում է նրա հետ։

Ապացույց:

Թող լինեն երկու զուգահեռ ուղիղներ $a$ և $b$: Նաև թող լինի $c$ ուղիղ, որը հատում է զուգահեռ ուղիղներից մեկը, օրինակ $a$ տողը։ Պետք է ցույց տալ, որ $c$ տողը հատում է նաև երկրորդ տողը՝ $b$ տողը։

Եկեք ապացույցը կառուցենք հակասության միջոցով:

Պատկերացրեք, որ $c$ տողը չի հատում $b$ տողը: Այնուհետև $a$ և $c$ երկու ուղիղներ անցնում են $K$ կետով և չեն հատում $b$ ուղիղը, այսինքն՝ զուգահեռ են դրան։ Բայց այս իրավիճակը հակասում է զուգահեռ ուղիղների աքսիոմային։ Հետևաբար, ենթադրությունը սխալ էր, և $c$ տողը կհատի $b$ տողը:

Թեորեմն ապացուցված է.

Անկյունային հատկություններ, որոնք կազմում են երկու զուգահեռ ուղիղներ և հատված. խաչաձև անկյունները հավասար են,համապատասխան անկյունները հավասար են, * միակողմանի անկյունների գումարը հավասար է $180^(\circ)$-ի։

Օրինակ 3

Տրված են երկու զուգահեռ ուղիղներ և դրանցից մեկին ուղղահայաց երրորդ ուղիղ: Ապացուցեք, որ այս ուղիղը ուղղահայաց է զուգահեռ ուղիղներից մեկին:

Ապացույց.

Թող ունենանք $a \զուգահեռ b$ և $c \perp a$ տողեր։

Քանի որ $c$ ուղիղը հատում է $a$ ուղիղը, ուրեմն, ըստ զուգահեռ ուղիղների հատկության, այն կհատի նաև $b$ ուղիղը։

$c$ հատվածը, հատելով $a$ և $b$ զուգահեռ ուղիղները, նրանց հետ կազմում է հավասար ներքին խաչաձև անկյուններ։

Որովհետեւ $c \perp a$, ապա անկյունները կլինեն $90^(\circ)$։

Ուստի $c \perp b$.

Ապացույցն ամբողջական է։