Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu:
Formulā skaitlim jābūt pirms integrāļa. Tā arī notika – viss, kas dzīvē griežas, ir saistīts ar šo konstanti.
Manuprāt, ir viegli uzminēt, kā no pabeigtā zīmējuma iestatīt integrācijas “a” un “be” robežas.
Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plakano figūru ierobežo parabolu diagramma augšpusē. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā.
Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass. Tas neko nemaina – integrands formulā ir kvadrātā: tātad integrālis vienmēr nav negatīvs , kas ir ļoti loģiski.
Aprēķināsim rotācijas ķermeņa tilpumu, izmantojot šo formulu: 
Kā jau atzīmēju, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.
Atbilde: 
Atbildē jānorāda izmērs – kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 “kubi”. Kāpēc kubiskais vienības? Jo universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, varētu būt kubikmetri, varētu būt kubikkilometri utt., tik daudz zaļo cilvēciņu jūsu iztēle var ielikt lidojošā šķīvī.
2. piemērs
Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap līnijas ierobežotas figūras asi,
Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
Apskatīsim divas sarežģītākas problēmas, ar kurām arī bieži nākas saskarties praksē.
3. piemērs
Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap abscisu asi figūrai, ko ierobežo līnijas , un
Risinājums: zīmējumā attēlosim plakanu figūru, ko ierobežo līnijas ,,,, neaizmirstot, ka vienādojums nosaka asi:
Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap savu asi, tas izrādās sirreāls virtulis ar četriem stūriem.
Aprēķināsim apgriezienu ķermeņa tilpumu kā ķermeņu tilpumu atšķirības.
Vispirms apskatīsim sarkanā krāsā apvilkto figūru. Kad tas griežas ap asi, tiek iegūts nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu ar.
Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo figūru ap asi, jūs iegūsit arī nošķeltu konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā tilpumu ar.
Un, acīmredzot, apjomu atšķirība ir tieši tāda, kāda ir mūsu “donut”.
Mēs izmantojam standarta formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:
1) Sarkanā krāsā apvilkto figūru augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:
2) Zaļā krāsā apvilkto figūru augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:
3) Vēlamā apgriezienu korpusa apjoms:
Atbilde:
Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.
Pats lēmums bieži tiek rakstīts īsāk, apmēram šādi:
Tagad mazliet atpūtīsimies un pastāstīsim par ģeometriskām ilūzijām.
Cilvēkiem bieži ir ilūzijas, kas saistītas ar sējumiem, ko grāmatā pamanīja Perelmans (cits). Izklaidējoša ģeometrija. Paskatieties uz plakano figūru atrisinātajā uzdevumā - šķiet, ka tā platība ir maza, un apgriezienu korpusa tilpums ir nedaudz vairāk par 50 kubikvienībām, kas šķiet pārāk liels. Starp citu, vidusmēra cilvēks visas dzīves laikā izdzer 18 kvadrātmetru lielas telpas šķidruma, kas, gluži pretēji, šķiet pārāk mazs tilpums.
Kopumā PSRS izglītības sistēma patiešām bija labākā. Tā pati Perelmana grāmata, kas izdota tālajā 1950. gadā, ļoti labi attīsta, kā humorists teica, domāšanu un māca meklēt oriģinālus, nestandarta risinājumus problēmām. Nesen ar lielu interesi pārlasīju dažas nodaļas, iesaku, tas ir pieejams pat humānistiem. Nē, nevajag smaidīt, ka piedāvāju brīvo laiku, erudīcija un plašs redzesloks komunikācijā ir lieliska lieta.
Pēc liriskas atkāpes ir vienkārši lietderīgi atrisināt radošo uzdevumu:
4. piemērs
Aprēķināt ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežoties ap plakanas figūras asi, ko ierobežo līnijas,, kur.
Šis ir piemērs, ko varat atrisināt patstāvīgi. Lūdzu, ņemiet vērā, ka visi gadījumi notiek joslā, citiem vārdiem sakot, faktiski tiek doti gatavi integrācijas ierobežojumi. Pareizi uzzīmējiet trigonometrisko funkciju grafikus, atgādināšu nodarbības materiālu par grafu ģeometriskās transformācijas : ja arguments tiek dalīts ar diviem: , tad grafiki tiek izstiepti pa asi divas reizes. Vēlams atrast vismaz 3-4 punktus saskaņā ar trigonometriskajām tabulām lai precīzāk pabeigtu zīmējumu. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās. Starp citu, uzdevumu var atrisināt racionāli un ne pārāk racionāli.
Izņemot plaknes figūras laukuma atrašana, izmantojot noteiktu integrāli (sk. 7.2.3.) tēmas svarīgākais pielietojums ir aprēķinot rotācijas ķermeņa tilpumu. Materiāls ir vienkāršs, bet lasītājam jābūt gatavam: jāprot atrisināt nenoteiktie integrāļi vidēju sarežģītību un piemēro Ņūtona-Leibnica formulu noteikts integrālis, n Jums ir nepieciešamas arī spēcīgas zīmēšanas prasmes. Kopumā integrāļa aprēķinos ir daudz interesantu pielietojumu, izmantojot noteiktu integrāli, jūs varat aprēķināt figūras laukumu, rotācijas ķermeņa tilpumu, loka garumu, ķermeņa virsmas laukumu; un daudz vairāk. Iedomājieties kādu plakanu figūru koordinātu plaknē. Ieviests? ... Tagad šo figūru var arī pagriezt un pagriezt divos veidos:
– ap x asi ;
– ap ordinātu asi .
Apskatīsim abus gadījumus. Īpaši interesants ir otrais pagriešanas paņēmiens, kas rada vislielākās grūtības, taču patiesībā risinājums ir gandrīz tāds pats kā biežāk sastopamajā rotācijā ap x asi. Sāksim ar populārāko rotācijas veidu.
Tā ķermeņa tilpuma aprēķins, kas veidojas, pagriežot plakanu figūru ap asi VĒRSIS
1. piemērs
Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas ap asi.
Risinājums: Tāpat kā apgabala atrašanas problēma, risinājums sākas ar plakanas figūras zīmējumu. Tas ir, lidmašīnā XOY ir nepieciešams izveidot figūru, ko ierobežo līnijas, un neaizmirstiet, ka vienādojums norāda asi. Zīmējums šeit ir pavisam vienkāršs:
Vēlamā plakana figūra ir ietonēta zilā krāsā; tā ir tā, kas griežas ap asi. Rotācijas rezultātā tiek iegūts nedaudz olveida lidojošs šķīvītis ar divām asām virsotnēm uz ass VĒRSIS, simetriski pret asi VĒRSIS. Faktiski ķermenim ir matemātisks nosaukums, skatieties uzziņu grāmatā.
Kā aprēķināt apgriezienu ķermeņa tilpumu? Ja ķermenis veidojas rotācijas ap asi rezultātāVĒRSIS, tas ir garīgi sadalīts paralēlos neliela biezuma slāņos dx, kas ir perpendikulāri asij VĒRSIS. Visa ķermeņa tilpums acīmredzami ir vienāds ar šādu elementāru slāņu tilpumu summu. Katrs slānis, tāpat kā apaļa citrona šķēle, ir zema cilindra augstumā dx un ar bāzes rādiusu f(x). Tad viena slāņa tilpums ir pamatlaukuma π reizinājums f 2 uz cilindra augstumu ( dx), vai π∙ f 2 (x)∙dx. Un visa rotācijas korpusa laukums ir elementāro tilpumu summa vai atbilstošais noteiktais integrālis. Apgriezienu ķermeņa tilpumu var aprēķināt, izmantojot formulu:
.
Kā iestatīt integrācijas “a” un “be” robežas, var viegli uzminēt no pabeigtā zīmējuma. Funkcija... kas ir šī funkcija? Apskatīsim zīmējumu. Plaknes figūru ierobežo augšpusē esošās parabolas grafiks. Šī ir funkcija, kas ir ietverta formulā. Praktiskajos uzdevumos plakana figūra dažreiz var atrasties zem ass VĒRSIS. Tas neko nemaina - funkcija formulā ir kvadrātā: f 2 (x), Tādējādi rotācijas ķermeņa tilpums vienmēr nav negatīvs, kas ir ļoti loģiski. Aprēķināsim rotācijas ķermeņa tilpumu, izmantojot šo formulu:
.
Kā mēs jau atzīmējām, integrālis gandrīz vienmēr izrādās vienkāršs, galvenais ir būt uzmanīgiem.
Atbilde: 
Atbildē jānorāda izmērs – kubikvienības. Tas ir, mūsu rotācijas korpusā ir aptuveni 3,35 “kubi”. Kāpēc kubiskais vienības? Jo šis ir universālākais formulējums. Var būt kubikcentimetri, varētu būt kubikmetri, varētu būt kubikkilometri utt., tik daudz zaļo cilvēciņu jūsu iztēle var ielikt lidojošā šķīvī.
2. piemērs
Atrodiet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap asi VĒRSIS skaitlis, ko ierobežo līnijas , , .
Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Pilns risinājums un atbilde nodarbības beigās.
3. piemērs
Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot figūru, ko ierobežo līnijas , , un ap abscisu asi.
Risinājums: Attēlosim zīmējumā plakanu figūru, ko ierobežo līnijas , , , , neaizmirstot, ka vienādojums x= 0 norāda asi OY:
Vēlamā figūra ir ietonēta zilā krāsā. Kad tas griežas ap asi VĒRSIS rezultāts ir plakans, stūrains virtulis (paplāksne ar divām koniskām virsmām).
Aprēķināsim rotācijas ķermeņa tilpumu kā ķermeņu tilpumu atšķirības. Vispirms apskatīsim sarkanā krāsā apvilkto figūru. Kad tas griežas ap asi VĒRSIS rezultāts ir nošķelts konuss. Apzīmēsim šī nošķeltā konusa tilpumu ar V 1 .
Apsveriet figūru, kas ir apvilkta zaļā krāsā. Ja pagriežat šo skaitli ap asi VĒRSIS, tad jūs iegūstat to pašu nošķelto konusu, tikai nedaudz mazāku. Apzīmēsim tā tilpumu ar V 2 .
Ir skaidrs, ka atšķirības apjomos V = V 1 - V 2 ir mūsu “donut” apjoms.
Mēs izmantojam standarta formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:
1) Ar sarkanu apli apvilkto skaitli augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:
2) Zaļā krāsā apvilkto figūru augšpusē ierobežo taisna līnija, tāpēc:
3) Vēlamā apgriezienu korpusa apjoms: 
Atbilde: 
Interesanti, ka šajā gadījumā risinājumu var pārbaudīt, izmantojot skolas formulu nošķelta konusa tilpuma aprēķināšanai.
Pats lēmums bieži tiek rakstīts īsāk, apmēram šādi:
I. Revolūcijas ķermeņu apjomi. Iepriekš izpētiet XII nodaļas 197., 198. punktu no G. M. Fikhtengolta mācību grāmatas * Detalizēti analizējiet 198. punktā sniegtos piemērus.
508. Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, kas veidojas, griežot elipsi ap Vērša asi.
Tādējādi
530. Atrodiet virsmas laukumu, ko veido sinusoīda loka y = sin x rotācija ap Ox asi no punkta X = 0 līdz punktam X = It.
531. Aprēķini virsmas laukumu konusam ar augstumu h un rādiusu r.
532. Aprēķināt izveidoto virsmas laukumu
astroīda rotācija x3 -)- y* - a3 ap Vērša asi.
533. Aprēķināt virsmas laukumu, kas veidojas, pagriežot līknes cilpu 18 ug - x (6 - x) z ap Ox asi.
534. Atrodiet tora virsmu, ko rada apļa X2 - j - (y-3)2 = 4 rotācija ap Ox asi.
535. Aprēķini virsmas laukumu, ko veido apļa griešanās X = izmaksas, y = asint ap Ox asi.
536. Aprēķini virsmas laukumu, ko veido līknes x = 9t2, y = St - 9t3 cilpas rotācija ap Ox asi.
537. Atrodiet virsmas laukumu, kas veidojas, pagriežot līknes loku x = e*sint, y = el izmaksas ap Ox asi
no t = 0 līdz t = —.
538. Parādiet, ka virsma, ko rada cikloīda loka x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) rotācija ap Oy asi, ir vienāda ar 16 u2 o2.
539. Atrast virsmu, kas iegūta, pagriežot kardioīdu ap polāro asi.
540. Atrodiet virsmas laukumu, ko veido lemniskāta rotācija 
Ap polāro asi.
Papildu uzdevumi IV nodaļai
Plaknes figūru laukumi
541. Atrodiet visu apgabala laukumu, ko ierobežo līkne 
Un ass Vērsis.
542. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo līkne
Un ass Vērsis.
543. Atrodiet apgabala laukuma daļu, kas atrodas pirmajā kvadrantā un kuru ierobežo līkne
l koordinātu asis.
544. Atrodiet iekšpusē esošā reģiona apgabalu
cilpas: 
545. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo viena līknes cilpa:
546. Atrodiet apgabala apgabalu, kas atrodas cilpas iekšpusē: 
547. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo līkne
Un ass Vērsis.
548. Atrodiet apgabala laukumu, ko ierobežo līkne
Un ass Vērsis.
549. Atrodiet apgabala apgabalu, ko ierobežo Oxr ass
taisni un izliekti 
plakana figūra ap asi
3. piemērs
Dota plakana figūra, ko ierobežo līnijas , , .
1) Atrodiet plakanas figūras laukumu, ko ierobežo šīs līnijas.
2) Atrodiet ķermeņa tilpumu, kas iegūts, pagriežot ap asi plakanu figūru, ko ierobežo šīs līnijas.
Uzmanību! Pat ja vēlaties izlasīt tikai otro punktu, vispirms Obligāti izlasi pirmo!
Risinājums: Uzdevums sastāv no divām daļām. Sāksim ar laukumu.
1) Izveidosim zīmējumu:
Ir viegli redzēt, ka funkcija norāda parabolas augšējo zaru, bet funkcija norāda parabolas apakšējo zaru. Mūsu priekšā ir triviāla parabola, kas "guļ uz sāniem".
Vēlamā figūra, kuras laukums ir jāatrod, ir iekrāsota zilā krāsā.
Kā atrast figūras laukumu? To var atrast “parastā” veidā. Turklāt figūras laukums tiek atrasts kā laukumu summa:
– segmentā;
- segmentā.
Tāpēc:
Ir racionālāks risinājums: tas sastāv no pārslēgšanās uz apgrieztām funkcijām un integrācijas pa asi.
Kā tikt pie apgrieztām funkcijām? Aptuveni runājot, jums ir jāizsaka “x” līdz “y”. Vispirms apskatīsim parabolu:
Ar to pietiek, bet pārliecināsimies, ka to pašu funkciju var atvasināt no apakšējā zara:
Ar taisnu līniju ir vieglāk:
Tagad paskatieties uz asi: lūdzu, paskaidrojot, periodiski nolieciet galvu pa labi par 90 grādiem (tas nav joks!). Mums vajadzīgais skaitlis atrodas segmentā, ko norāda ar sarkanu punktētu līniju. Šajā gadījumā segmentā taisna līnija atrodas virs parabolas, kas nozīmē, ka figūras laukums ir jāatrod, izmantojot jums jau pazīstamo formulu:. Kas ir mainījies formulā? Tikai vēstule un nekas vairāk.
! Piezīme : asu integrācijas robežas jānovietostingri no apakšas uz augšu !
Apgabala atrašana:
Tāpēc segmentā:
Lūdzu, ņemiet vērā, kā es veicu integrāciju, tas ir racionālākais veids, un nākamajā uzdevuma rindkopā būs skaidrs, kāpēc.
Lasītājiem, kuri šaubās par integrācijas pareizību, es atradīšu atvasinājumus:
Tiek iegūta sākotnējā integranda funkcija, kas nozīmē, ka integrācija tika veikta pareizi.
Atbilde:
2) Aprēķināsim ķermeņa tilpumu, kas veidojas, pagriežot šo figūru ap asi.
Es pārzīmēšu zīmējumu nedaudz citā dizainā:
Tātad zilā krāsā iekrāsotais skaitlis griežas ap asi. Rezultāts ir “lidojošs tauriņš”, kas griežas ap savu asi.
Lai atrastu rotācijas ķermeņa tilpumu, mēs integrēsim pa asi. Vispirms mums jādodas uz apgrieztām funkcijām. Tas jau ir izdarīts un detalizēti aprakstīts iepriekšējā punktā.
Tagad atkal noliecam galvu pa labi un pētām savu figūru. Acīmredzot rotācijas ķermeņa tilpums ir jāatrod kā tilpumu starpība.
Mēs pagriežam sarkanā krāsā apvilkto figūru ap asi, iegūstot nošķeltu konusu. Apzīmēsim šo tilpumu ar .
Mēs pagriežam zaļā krāsā apvilkto figūru ap asi un apzīmējam to ar iegūtā rotācijas ķermeņa tilpumu.
Mūsu tauriņa tilpums ir vienāds ar tilpumu starpību.
Mēs izmantojam formulu, lai atrastu apgriezienu ķermeņa tilpumu:
Kāda ir atšķirība no iepriekšējā punktā minētās formulas? Tikai vēstulē.
Bet integrācijas priekšrocības, par kurām es nesen runāju, ir daudz vieglāk atrast, nekā vispirms pacelt integrandu līdz 4. pakāpei.
Atbilde:
Ņemiet vērā, ka, ja to pašu plakanu figūru pagriež ap asi, jūs dabiski iegūsit pilnīgi citu rotācijas korpusu ar atšķirīgu tilpumu.
7. piemērs
Aprēķiniet ķermeņa tilpumu, ko veido rotācija ap figūras asi, ko ierobežo līknes un .
Risinājums: Uztaisīsim zīmējumu:
Pa ceļam iepazīstamies ar dažu citu funkciju grafikiem. Šeit ir interesants pāra funkcijas grafiks...
Lai atrastu apgriezienu korpusa tilpumu, pietiek izmantot figūras labo pusi, kuru es iekrāsoju zilā krāsā. Abas funkcijas ir vienmērīgas, to grafiki ir simetriski pret asi, un mūsu figūra ir simetriska. Tādējādi ēnotā labā daļa, kas griežas ap asi, noteikti sakritīs ar kreiso neēnoto daļu. vai . Patiesībā es pats vienmēr apdrošinos sevi, aizstājot pāris grafika punktus atrastajā apgrieztajā funkcijā.
Tagad mēs noliecam galvu pa labi un pamanām šādu lietu:
– uz segmenta virs ass ir funkcijas grafiks;
Ir loģiski pieņemt, ka apgriezienu ķermeņa tilpums ir jāmeklē kā rotācijas ķermeņu tilpumu summa!
Mēs izmantojam formulu:
Šajā gadījumā.
C ir ietverts intervālā. Tādējādi mēs atkal iegūstam papildu termina Langrangijas formu. 5. Secinājums. Kursa darbā sniegtas noteikta un nepareiza integrāļa un tā veidu definīcijas, kā arī aplūkoti jautājumi par noteikta integrāļa pielietojumu. Jo īpaši Volisa formula, kurai ir vēsturiska nozīme kā skaitļa p pirmais attēlojums kā viegli aprēķināmas...
Tipa funkcijas noteiktais integrālis skaitliski attēlo līknes trapeces laukumu, ko ierobežo līknes x=0, y=a, y=b un y= (1. att.). Šī laukuma jeb noteiktā integrāļa aprēķināšanai ir divas metodes - trapecveida metode (2. att.) un vidējo taisnstūru metode (3. att.). Rīsi. 1. Līklīnijas trapece. Rīsi. 2. Trapecveida metode. Rīsi. 3. Vidējo taisnstūru metode. Pēc metodēm...
N (palielinot integrāciju skaitu), palielinās integrāļu aptuvenā aprēķina precizitāte Laboratorijas darba uzdevums 1) Uzrakstiet programmas noteikta integrāļa aprēķināšanai, izmantojot metodes: vidējais, taisnstūris, trapece un Simpsona metode. Veiciet šādu funkciju integrāciju: 1. f(x)=x f(x)=x2 f(x)= x3 f(x)= x4 segmentā ar soli, 2. f(x)= f(x) = f(x)= ...
... (TABL procedūra) un integrālis. 4. Secinājums un secinājumi. Tādējādi ir acīmredzams, ka, aprēķinot noteiktus integrāļus, izmantojot kvadratūras formulas, un jo īpaši izmantojot Čebiševa formulu, tas mums nedod precīzu vērtību, bet tikai aptuvenu. Lai pēc iespējas tuvāk uzticamai integrāļa vērtībai, jums ir jāspēj pareizi izvēlēties metodi un formulu, pēc kuras tiks veikts aprēķins. Arī...
