Vienkāršāko triganometrisko vienādojumu risinājums. Mēs risinām vienādojumus, izmantojot trigonometrisko apli. Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

Trigonometrisko vienādojumu risināšanas jēdziens.

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, pārveidojiet to par vienu vai vairākiem pamata trigonometriskajiem vienādojumiem. Trigonometriskā vienādojuma atrisināšana galu galā ir četru pamata trigonometrisko vienādojumu atrisināšana.

Trigonometrisko pamatvienādojumu risinājums.

Ir 4 trigonometrisko pamata vienādojumu veidi:
sin x = a; cos x = a
iedegums x = a; ctg x = a
Pamata trigonometrisko vienādojumu risināšana ietver dažādu x pozīciju apskati uz vienības apļa, kā arī konversijas tabulas (vai kalkulatora) izmantošanu.
Piemērs 1. sin x = 0,866. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = π/3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: 2π/3. Atcerieties: visas trigonometriskās funkcijas ir periodiskas, tas ir, to vērtības tiek atkārtotas. Piemēram, sin x un cos x periodiskums ir 2πn, un tg x un ctg x periodiskums ir πn. Tātad atbilde ir uzrakstīta šādi:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
2. piemērs cos x = -1/2. Izmantojot konvertēšanas tabulu (vai kalkulatoru), jūs saņemat atbildi: x = 2π/3. Vienības aplis sniedz citu atbildi: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
3. piemērs. tg (x - π/4) = 0.
Atbilde: x \u003d π / 4 + πn.
4. piemērs. ctg 2x = 1,732.
Atbilde: x \u003d π / 12 + πn.

Trigonometrisko vienādojumu risināšanā izmantotās transformācijas.

Lai pārveidotu trigonometriskos vienādojumus, tiek izmantotas algebriskās transformācijas (faktorizācija, samazināšana viendabīgi locekļi utt.) un trigonometriskās identitātes.
5. piemērs. Izmantojot trigonometriskās identitātes, vienādojumu sin x + sin 2x + sin 3x = 0 pārvērš vienādojumā 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Tādējādi šādi trigonometriskie pamata vienādojumi jāatrisina: cos x = 0; grēks(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Leņķu atrašana no zināmām funkciju vērtībām.
- Pirms uzzināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus, jums jāiemācās atrast leņķus no zināmām funkciju vērtībām. To var izdarīt, izmantojot konvertēšanas tabulu vai kalkulatoru.
- Piemērs: cos x = 0,732. Kalkulators sniegs atbildi x = 42,95 grādi. Vienības aplis dos papildu leņķus, kuru kosinuss arī ir vienāds ar 0,732.
Novietojiet šķīdumu uz vienības apļa.
- Jūs varat ievietot trigonometriskā vienādojuma risinājumus uz vienības apļa. Vienības apļa trigonometriskā vienādojuma atrisinājumi ir regulāra daudzstūra virsotnes.
- Piemērs. Risinājumi x = π/3 + πn/2 uz vienības apļa ir kvadrāta virsotnes.
- Piemērs. Risinājumi x = π/4 + πn/3 uz vienības apļa ir regulāra sešstūra virsotnes.
Trigonometrisko vienādojumu risināšanas metodes.
- Ja dotajā trigonometriskajā vienādojumā ir tikai viens trigonometriskā funkcija, atrisiniet šo vienādojumu kā trigonometrisko pamata vienādojumu. Ja dotajā vienādojumā ir iekļautas divas vai vairākas trigonometriskas funkcijas, tad šāda vienādojuma risināšanai ir 2 metodes (atkarībā no tā pārveidošanas iespējas).
  - 1. metode
- Pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: f(x)*g(x)*h(x) = 0, kur f(x), g(x), h(x) ir trigonometriskie pamatvienādojumi.
- 6. piemērs. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Risinājums. Izmantojot dubultā leņķa formulu sin 2x = 2*sin x*cos x, nomainiet sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos x = 0 un (sin x + 1) = 0.
- 7. piemērs cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu ar šādu formu: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2cos x + 1) = 0.
- Piemērs 8. sin x - sin 3x \u003d cos 2x. (0< x < 2π)
- Risinājums: izmantojot trigonometriskās identitātes, pārveidojiet šo vienādojumu par vienādojumu šādā formā: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Tagad atrisiniet divus trigonometriskos pamatvienādojumus: cos 2x = 0 un (2sin x + 1) = 0.
  - 2. metode
- Pārvērtiet doto trigonometrisko vienādojumu par vienādojumu, kas satur tikai vienu trigonometrisko funkciju. Pēc tam nomainiet šo trigonometrisko funkciju ar kādu nezināmu, piemēram, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x/2) = t utt.).
- 9. piemērs. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Risinājums. Šajā vienādojumā aizstājiet (cos^2 x) ar (1 - sin^2 x) (atbilstoši identitātei). Pārveidotais vienādojums izskatās šādi:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Sin x aizstāj ar t. Tagad vienādojums izskatās šādi: 5t^2 - 4t - 9 = 0. Šis ir kvadrātvienādojums ar divām saknēm: t1 = -1 un t2 = 9/5. Otrā sakne t2 neatbilst funkcijas diapazonam (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- 10. piemērs. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Risinājums. Aizstāt tg x ar t. Pārrakstiet sākotnējo vienādojumu šādi: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Tagad atrodiet t un pēc tam atrodiet x, ja t = tg x.

Nepieciešamas zināšanas par trigonometrijas pamatformulām - sinusa un kosinusa kvadrātu summu, pieskares izteiksmi caur sinusu un kosinusu un citām. Tiem, kas tos ir aizmirsuši vai nezina, iesakām izlasīt rakstu "".
Tātad, mēs zinām pamata trigonometriskās formulas, ir pienācis laiks tās likt lietā. Trigonometrisko vienādojumu risināšana plkst pareizā pieeja- diezgan aizraujoša nodarbe, kā, piemēram, Rubika kuba risināšana.

Pamatojoties uz pašu nosaukumu, ir skaidrs, ka trigonometriskais vienādojums ir vienādojums, kurā nezināmais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.
Ir tā sauktie vienkāršie trigonometriskie vienādojumi. Lūk, kā tie izskatās: sinх = a, cos x = a, tg x = a. Apsveriet, kā atrisināt šādus trigonometriskos vienādojumus, skaidrības labad izmantosim jau pazīstamo trigonometrisko apli.

sinx = a

cos x = a

iedegums x = a

gultiņa x = a

Jebkurš trigonometriskais vienādojums tiek atrisināts divos posmos: vienādojumu veido visvienkāršākajā formā un pēc tam atrisinām kā vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Ir 7 galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.

Mainīgo aizstāšana un aizstāšanas metode

Atrisiniet vienādojumu 2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0

Izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam:

2cos 2 (x + /6) – 3cos (x + /6) +1 = 0

Vienkāršības labad aizstāsim cos(x + /6) ar y un iegūsim parasto kvadrātvienādojumu:

2 g 2 – 3 g + 1 + 0

Kuru saknes y 1 = 1, y 2 = 1/2

Tagad iesim atpakaļ

Mēs aizvietojam atrastās y vērtības un iegūstam divas atbildes:

Trigonometrisko vienādojumu risināšana, izmantojot faktorizēšanu

Kā atrisināt vienādojumu sin x + cos x = 1?

Pārvietosim visu pa kreisi, lai 0 paliktu labajā pusē:

sin x + cos x - 1 = 0

Mēs izmantojam iepriekš minētās identitātes, lai vienkāršotu vienādojumu:

sin x — 2 sin 2 (x/2) = 0

Veiksim faktorizēšanu:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Mēs iegūstam divus vienādojumus

Reducēšana uz homogēnu vienādojumu

Vienādojums ir viendabīgs attiecībā pret sinusu un kosinusu, ja visi tā noteikumi attiecībā uz sinusu un kosinusu ir vienādās vienādības leņķa pakāpēs. Lai atrisinātu homogēnu vienādojumu, rīkojieties šādi:

a) pārnes visus tā dalībniekus uz kreiso pusi;

b) izlikt visus izplatītos faktorus iekavās;

c) visus faktorus un iekavas pielīdzina 0;

d) iekavās tiek iegūts mazākas pakāpes viendabīgs vienādojums, kas savukārt tiek dalīts ar sinusu vai kosinusu augstākā pakāpē;

e) atrisiniet iegūto vienādojumu tg.

Atrisiniet vienādojumu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

Izmantosim formula grēks 2 x + cos 2 x = 1 un atbrīvojieties no atvērtajiem diviem labajā pusē:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

Sadaliet ar cosx:

tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

Mēs aizstājam tg x ar y un iegūstam kvadrātvienādojumu:

y 2 + 4y +3 = 0, kuras saknes ir y 1 = 1, y 2 = 3

Šeit mēs atrodam divus sākotnējā vienādojuma risinājumus:

x 2 \u003d arctg 3 + k

Vienādojumu risināšana, pārejot uz pusleņķi

Atrisiniet vienādojumu 3sin x - 5cos x = 7

Pārejam pie x/2:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Pārbīdot visu pa kreisi:

2sin 2 (x/2) - 6sin (x/2) * cos (x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

Dalīt ar cos(x/2):

tg 2 (x/2) – 3tg (x/2) + 6 = 0

Palīgleņķa ieviešana

Apsvēršanai ņemsim formas vienādojumu: a sin x + b cos x \u003d c,

kur a, b, c ir daži patvaļīgi koeficienti un x ir nezināms.

Sadaliet abas vienādojuma puses ar:

Tagad vienādojuma koeficienti saskaņā ar trigonometriskās formulas ir sin un cos īpašības, proti: to modulis nav lielāks par 1 un kvadrātu summa = 1. Apzīmēsim tos attiecīgi kā cos un sin, kur ir tā sauktais palīgleņķis. Tad vienādojumam būs šāda forma:

cos * sin x + grēks * cos x \u003d C

vai sin(x + ) = C

Šī vienkāršā trigonometriskā vienādojuma risinājums ir

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, kur

Jāņem vērā, ka apzīmējumi cos un sin ir savstarpēji aizstājami.

Atrisiniet vienādojumu sin 3x - cos 3x = 1

Šajā vienādojumā koeficienti ir:

a \u003d, b \u003d -1, tāpēc abas daļas sadalām ar \u003d 2

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrības interešu mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Rokasgrāmatas un simulatori interneta veikalā "Integral" 10. klasei no 1C
Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvi uzdevumi veidošanai telpā
Programmatūras vide "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:
1. Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

3. Divas galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
4. Homogēni trigonometriskie vienādojumi.
5. Piemēri.

Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

Puiši, mēs jau esam izpētījuši arkosīnu, arkosīnu, arktangensu un arkotangensu. Tagad aplūkosim trigonometriskos vienādojumus kopumā.

Trigonometriskie vienādojumi– vienādojums, kurā mainīgais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.

Mēs atkārtojam vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanas formu:

1) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam cos(x) = a ir risinājums:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam sin(x) = a ir risinājums:

3) Ja |a| > 1, tad vienādojumam sin(x) = a un cos(x) = a nav atrisinājumu 4) Vienādojumam tg(x)=a ir risinājums: x=arctg(a)+ πk

5) Vienādojumam ctg(x)=a ir risinājums: x=arcctg(a)+ πk

Visām formulām k ir vesels skaitlis

Vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem ir šāda forma: Т(kx+m)=a, T- jebkura trigonometriskā funkcija.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumus: a) sin(3x)= √3/2

Risinājums:

A) Apzīmēsim 3x=t, tad pārrakstīsim mūsu vienādojumu formā:

Šī vienādojuma risinājums būs: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

No vērtību tabulas mēs iegūstam: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Atgriezīsimies pie mainīgā: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tad x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atbilde: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n ir vesels skaitlis. (-1)^n — mīnus viens līdz pakāpei n.

Vairāk trigonometrisko vienādojumu piemēru.

Atrisiniet vienādojumus: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Risinājums:

A) Šoreiz mēs pāriesim tieši uz vienādojuma sakņu aprēķināšanu:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tad x/5= πk => x=5πk

Atbilde: x=5πk, kur k ir vesels skaitlis.

B) Rakstām formā: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Mēs zinām, ka: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atbilde: x=2π/9 + πk/3, kur k ir vesels skaitlis.

Atrisiniet vienādojumus: cos(4x)= √2/2. Un atrodiet visas saknes segmentā.

Risinājums:

Mēs izlemsim iekšā vispārējs skats mūsu vienādojums: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tagad redzēsim, kādas saknes attiecas uz mūsu segmentu. Ja k Ja k=0, x= π/16, mēs atrodamies dotajā segmentā .
Ja k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, viņi trāpa vēlreiz.
Ja k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet šeit mēs netrāpījām, kas nozīmē, ka netrāpīsim arī lielajam k.

Atbilde: x= π/16, x= 9π/16

Divas galvenās risināšanas metodes.

Mēs esam apsvēruši vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, taču ir arī sarežģītāki. To risināšanai tiek izmantota jauna mainīgā ieviešanas metode un faktorizēšanas metode. Apskatīsim piemērus.

Atrisināsim vienādojumu:

Risinājums:
Lai atrisinātu mūsu vienādojumu, mēs izmantojam jauna mainīgā ievadīšanas metodi, ko apzīmē: t=tg(x).

Aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam: t 2 + 2t -1 = 0

Meklēsim saknes kvadrātvienādojums: t=-1 un t=1/3

Tad tg(x)=-1 un tg(x)=1/3, ieguvām vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu, atrodam tā saknes.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atbilde: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vienādojuma risināšanas piemērs

Atrisiniet vienādojumus: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Risinājums:

Izmantosim identitāti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsu vienādojums kļūst: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Ieviesīsim aizstāšanu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums ir saknes: t=2 un t=-1/2

Tad cos(x)=2 un cos(x)=-1/2.

Jo kosinuss nevar pieņemt vērtības, kas lielākas par vienu, tad cos(x)=2 nav sakņu.

Ja cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atbilde: x= ±2π/3 + 2πk

Homogēni trigonometriskie vienādojumi.

Definīcija. Vienādojumu formā a sin(x)+b cos(x) sauc par homogēniem pirmās pakāpes trigonometriskajiem vienādojumiem.

Formas vienādojumi

otrās pakāpes homogēnie trigonometriskie vienādojumi.

Lai atrisinātu homogēnu pirmās pakāpes trigonometrisko vienādojumu, mēs to sadalām ar cos(x): Nav iespējams dalīt ar kosinusu, ja tas ir vienāds ar nulli, pārliecināsimies, ka tas tā nav:
Lai cos(x)=0, tad asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinuss un kosinuss nav vienādi ar nulli vienlaikus, sanāca pretruna, tāpēc varam droši dalīt par nulli.

Atrisiniet vienādojumu:
Piemērs: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Risinājums:

Izņemiet kopējo koeficientu: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tad mums jāatrisina divi vienādojumi:

cos(x)=0 un cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, ja x= π/2 + πk;

Apsveriet vienādojumu cos(x)+sin(x)=0 Sadaliet mūsu vienādojumu ar cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atbilde: x= π/2 + πk un x= -π/4+πk

Kā atrisināt homogēnus otrās pakāpes trigonometriskos vienādojumus?
Puiši, vienmēr ievērojiet šos noteikumus!

1. Skatiet, ar ko ir vienāds koeficients a, ja a \u003d 0, tad mūsu vienādojums būs formā cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), kura risinājuma piemērs ir iepriekšējā. slidkalniņš

2. Ja a≠0, tad abas vienādojuma daļas jādala ar kosinusu kvadrātā, iegūstam:

Veicam mainīgā t=tg(x) maiņu, iegūstam vienādojumu:

Atrisiniet piemēru #:3

Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums:

Sadaliet abas vienādojuma puses ar kosinusa kvadrātu:

Mēs veicam mainīgā t=tg(x) izmaiņas: t 2 + 2 t - 3 = 0

Atrodi kvadrātvienādojuma saknes: t=-3 un t=1

Tad: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atbilde: x=-arctg(3) + πk un x= π/4+ πk

Atrisiniet piemēru #:4

Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs varam atrisināt šādus vienādojumus: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atbilde: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atrisiniet piemēru #:5

Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs ieviešam aizvietotāju tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums būs saknes: t=-2 un t=1/2

Tad mēs iegūstam: tg(2x)=-2 un tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atbilde: x=-arctg(2)/2 + πk/2 un x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam.

1) Atrisiniet vienādojumu

A) grēks(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Atrisiniet vienādojumus: sin(3x)= √3/2. Un atrodiet visas saknes segmentā [π/2; π].

3) Atrisiniet vienādojumu: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Atrisiniet vienādojumu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Atrisiniet vienādojumu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Atrisiniet vienādojumu: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums.

Jebkura sarežģītības līmeņa trigonometrisko vienādojumu risinājums galu galā ir vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu atrisināšana. Un šajā gadījumā trigonometriskais aplis atkal izrādās labākais palīgs.

Atgādiniet kosinusa un sinusa definīcijas.

Leņķa kosinuss ir vienības apļa punkta abscisa (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.

Leņķa sinuss ir vienības apļa punkta ordināta (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.

Par pozitīvo kustības virzienu pa trigonometrisko apli uzskata kustību pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pagriešana par 0 grādiem (vai 0 radiāniem) atbilst punktam ar koordinātām (1; 0)

Mēs izmantojam šīs definīcijas, lai atrisinātu vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus.

1. Atrisiniet vienādojumu

Šo vienādojumu apmierina visas tādas griešanās leņķa vērtības, kas atbilst apļa punktiem, kuru ordināta ir vienāda ar .

Atzīmēsim punktu ar ordinātām uz y ass:

Novelciet horizontālu līniju paralēli x asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir ordināta. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem:

Ja mēs, atstājot punktu, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu, apejam pilnu apli, tad nonāksim punktā, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu un kuram ir tāda pati ordināta. Tas ir, šis griešanās leņķis apmierina arī mūsu vienādojumu. Mēs varam veikt tik daudz "tukšgaitas" pagriezienu, cik mums patīk, atgriežoties tajā pašā punktā, un visas šīs leņķa vērtības apmierinās mūsu vienādojumu. "Tukšgaitas" apgriezienu skaits tiek apzīmēts ar burtu (vai). Tā kā mēs varam veikt šos apgriezienus gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, (vai ) var iegūt jebkuras veselas vērtības.

Tas nozīmē, ka sākotnējā vienādojuma pirmajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, , - veselu skaitļu kopa (1)

Līdzīgi otrajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, Kur,. (2)

Kā jūs uzminējāt, šīs risinājumu sērijas pamatā ir apļa punkts, kas atbilst griešanās leņķim par .

Šīs divas risinājumu sērijas var apvienot vienā ierakstā:

Ja mēs uzņemsim šo ierakstu (tas ir, pat), tad mēs iegūsim pirmo risinājumu sēriju.

Ja mēs ņemam vērā šo ierakstu (tas ir, nepāra), tad mēs iegūsim otro risinājumu sēriju.

2. Tagad atrisināsim vienādojumu

Tā kā vienības apļa punkta abscisa ir iegūta, pagriežot leņķi, mēs atzīmējam uz ass punktu ar abscisu:

Novelciet vertikālu līniju, kas ir paralēla asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir abscisa. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem. Atgādiniet, ka, pārvietojoties pulksteņrādītāja virzienā, mēs iegūstam negatīvu griešanās leņķi:

Mēs pierakstām divas risinājumu sērijas:

(Mēs nokļūstam pareizajā punktā, izejot no galvenā pilna apļa, tas ir.

Apvienosim šīs divas sērijas vienā ierakstā:

3. Atrisiniet vienādojumu

Pieskares līnija iet caur punktu ar koordinātām (1,0) vienības apļa paralēli OY asij

Atzīmējiet uz tā punktu ar ordinātu, kas vienāds ar 1 (mēs meklējam pieskares leņķiem, kas ir 1):

Savienojiet šo punktu ar izcelsmi ar taisnu līniju un atzīmējiet līnijas krustošanās punktus ar vienības apli. Līnijas un apļa krustošanās punkti atbilst griešanās leņķiem uz un :

Tā kā punkti, kas atbilst griešanās leņķiem, kas atbilst mūsu vienādojumam, atrodas radiānu attālumā viens no otra, mēs varam uzrakstīt risinājumu šādi:

4. Atrisiniet vienādojumu

Kotangenšu līnija iet caur punktu ar vienības apļa koordinātām paralēli asij.

Mēs atzīmējam punktu ar abscisu -1 uz kotangentu līnijas:

Savienojiet šo punktu ar taisnes sākuma punktu un turpiniet to, līdz tas krustojas ar apli. Šī līnija krustos apli punktos, kas atbilst griešanās leņķiem un radiāniem: