- noteikti būs uzdevumi trigonometrijā. Trigonometrija bieži vien nepatīk, jo tai ir jāsabāzts milzīgs daudzums sarežģītu formulu, kas mudž ar sinusiem, kosinusiem, pieskarēm un kotangensiem. Vietne jau savulaik sniedza padomus, kā atcerēties aizmirstu formulu, izmantojot Eilera un Pīla formulu piemēru.
Un šajā rakstā mēs centīsimies parādīt, ka pietiek stingri zināt tikai piecas vienkāršākās trigonometriskās formulas un zināt par pārējām. vispārēja ideja un izņemiet tos ejot. Tas ir tāpat kā ar DNS: tie netiek glabāti molekulā pilni rasējumi pabeigta dzīva būtne. Tā drīzāk satur instrukcijas, kā to savākt no pieejamajām aminoskābēm. Tātad trigonometrijā, zinot dažus vispārīgus principus, mēs iegūsim visas nepieciešamās formulas no neliela to formulu kopuma, kas jāpatur prātā.
Mēs paļausimies uz šādām formulām:
No summu sinusa un kosinusa formulām, zinot, ka kosinusa funkcija ir pāra un ka sinusa funkcija ir nepāra, aizstājot b ar -b, iegūstam atšķirības formulas:
- Starpības sinuss: grēks(a-b) = grēksacos(-b)+cosagrēks(-b) = grēksacosb-cosagrēksb
- kosinusa starpība: cos(a-b) = cosacos(-b)-grēksagrēks(-b) = cosacosb+grēksagrēksb
Ievietojot a \u003d b vienās un tajās pašās formulās, mēs iegūstam dubultleņķu sinusa un kosinusa formulas:
- Dubultā leņķa sinuss: grēks2a = grēks(a+a) = grēksacosa+cosagrēksa = 2grēksacosa
- Dubultā leņķa kosinuss: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-grēksagrēksa = cos2a-grēks2a
Formulas citiem vairākiem leņķiem tiek iegūtas līdzīgi:
- Trīskāršā leņķa sinuss: grēks3a = grēks(2a+a) = grēks2acosa+cos2agrēksa = (2grēksacosa)cosa+(cos2a-grēks2a)grēksa = 2grēksacos2a+grēksacos2a-grēks 3a = 3 grēksacos2a-grēks 3a = 3 grēksa(1-grēks2a)-grēks 3a = 3 grēksa-4grēks 3a
- Trīskāršā leņķa kosinuss: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-grēks2agrēksa = (cos2a-grēks2a)cosa-(2grēksacosa)grēksa = cos 3a- grēks2acosa-2grēks2acosa = cos 3.a-3 grēks2acosa = cos 3a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3.a-3 cosa
Pirms turpināt, apskatīsim vienu problēmu.
Ņemot vērā: leņķis ir akūts.
Atrodi tā kosinusu, ja
Viena studenta sniegtais risinājums:
Jo , Tas grēksa= 3,a cosa = 4.
(No matemātiskā humora)
Tātad pieskares definīcija savieno šo funkciju gan ar sinusu, gan kosinusu. Bet jūs varat iegūt formulu, kas dod pieskares savienojumu tikai ar kosinusu. Lai to iegūtu, mēs ņemam pamata trigonometrisko identitāti: grēks 2 a+cos 2 a= 1 un daliet to ar cos 2 a. Mēs iegūstam:
Tātad šīs problēmas risinājums būtu šāds:
(Tā kā leņķis ir akūts, tad, ekstrahējot sakni, tiek ņemta zīme +)
Summas tangensa formula ir vēl viena, kuru ir grūti atcerēties. Izvadīsim to šādi:
nekavējoties izvadīt un
No dubultleņķa kosinusa formulas varat iegūt sinusa un kosinusa formulas pusleņķim. Lai to izdarītu, dubultā leņķa kosinusa formulas kreisajā pusē:
cos2
a = cos 2
a-grēks 2
a
pievienojam vienību, un pa labi - trigonometrisko vienību, t.i. sinusa un kosinusa kvadrātu summa.
cos2a+1 = cos2a-grēks2a+cos2a+grēks2a
2cos 2
a = cos2
a+1
izsakot cosa cauri cos2
a un veicot mainīgo lielumu maiņu, mēs iegūstam:
Zīme tiek ņemta atkarībā no kvadranta.
Līdzīgi, atņemot vienu no vienādības kreisās puses un sinusa un kosinusa kvadrātu summu no labās puses, mēs iegūstam:
cos2a-1 = cos2a-grēks2a-cos2a-grēks2a
2grēks 2
a = 1-cos2
a
Un visbeidzot, lai trigonometrisko funkciju summu pārvērstu produktā, mēs izmantojam šādu triku. Pieņemsim, ka mums ir jāattēlo sinusu summa kā reizinājums grēksa+grēksb. Ieviesīsim mainīgos x un y tā, lai a = x+y, b+x-y. Tad
grēksa+grēksb = grēks(x+y)+ grēks(x-y) = grēks x cos y+ cos x grēks y+ grēks x cos y- cos x grēks y=2 grēks x cos y. Tagad izteiksim x un y a un b izteiksmē.
Tā kā a = x+y, b = x-y, tad . Tāpēc
Jūs varat nekavējoties izņemt
- Sadalījuma formula sinusa un kosinusa produkti V summa: grēksacosb = 0.5(grēks(a+b)+grēks(a-b))
Mēs iesakām praktizēt un atvasināt formulas sinusu starpības un kosinusu summas un starpības reizinājuma pārvēršanai reizinājumā, kā arī sinusu un kosinusu reizinājumu sadalīšanai summā. Izpildot šos vingrinājumus, jūs pamatīgi apgūsit trigonometrisko formulu atvasināšanas prasmi un nepazudīsit pat visgrūtākajā kontrolē, olimpiādē vai testēšanā.
Es nepārliecināšu jūs nerakstīt krāpšanās lapas. Rakstiet! Ieskaitot apkrāptu lapas par trigonometriju. Vēlāk plānoju paskaidrot, kāpēc ir vajadzīgas krāpšanās lapas un kā tās ir noderīgas. Un šeit - informācija, kā nemācīt, bet atcerēties dažus trigonometriskās formulas. Tātad - trigonometrija bez krāpšanās lapas!Iegaumēšanai izmantojam asociācijas.
1. Papildināšanas formulas:
kosinuss vienmēr "iet pa pāriem": kosinuss-kosinuss, sine-sinuss.
Un vēl viena lieta: kosinusi ir “neadekvāti”. Viņi “viss ir nepareizi”, tāpēc viņi maina zīmes: “-” uz “+” un otrādi.
Sinusas - "maisījums": sinusa-kosinuss, kosinuss-sinuss.
2. Summu un starpības formulas:
kosinusi vienmēr "iet pa pāriem". Pievienojot divus kosinusus - "bulciņas", iegūstam kosinusu pāri - "koloboks". Un atņemot, mēs noteikti neiegūsim kolobokus. Mēs iegūstam pāris sinusus. Joprojām ar mīnusu priekšā.
Sinusas - "maisījums" :
3. Formulas reizinājuma pārvēršanai summā un starpībā.
Kad mēs iegūstam kosinusu pāri? Pievienojot kosinusus. Tāpēc
Kad mēs iegūstam sinusu pāri? Atņemot kosinusus. No šejienes:
"Sajaukšanu" iegūst gan saskaitot, gan atņemot sinusus. Kas ir jautrāk: pievienošana vai atņemšana? Tieši tā, salieciet. Un formulai pievienojiet:
Pirmajā un trešajā formulā iekavās - summa. No termiņu vietu pārkārtošanas summa nemainās. Secība ir svarīga tikai otrajai formulai. Bet, lai neapjuktu, lai būtu vieglāk atcerēties, visās trīs formulās pirmajās iekavās mēs ņemam atšķirību
un, otrkārt, summa
Gultiņas palagi kabatā sniedz sirdsmieru: ja aizmirstat formulu, varat to norakstīt. Un tie sniedz pārliecību: ja neizdodas izmantot apkrāptu lapu, formulas var viegli atcerēties.
Jēdzieni sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir galvenās trigonometrijas kategorijas - matemātikas nozare, un tās ir nesaraujami saistītas ar leņķa definīciju. Šī pieder matemātikas zinātne nepieciešama formulu un teorēmu iegaumēšana un izpratne, kā arī izstrādāta telpiskā domāšana. Tāpēc trigonometriskie aprēķini nereti sagādā grūtības skolēniem un studentiem. Lai tos pārvarētu, jums vajadzētu vairāk iepazīties ar trigonometriskajām funkcijām un formulām.
Jēdzieni trigonometrijā
Lai saprastu trigonometrijas pamatjēdzienus, vispirms jāizlemj, kas ir taisnleņķa trīsstūris un leņķis aplī, un kāpēc visi pamata trigonometriskie aprēķini ir saistīti ar tiem. Trijstūris, kurā viens no leņķiem ir 90 grādi, ir taisnleņķa trīsstūris. Vēsturiski šo figūru bieži izmantoja cilvēki arhitektūrā, navigācijā, mākslā, astronomijā. Attiecīgi, pētot un analizējot šī skaitļa īpašības, cilvēki nonāca pie atbilstošo tā parametru attiecību aprēķināšanas.
Galvenās kategorijas, kas saistītas ar taisnstūriem, ir hipotenūza un kājas. Hipotenūza ir trijstūra mala, kas ir pretēja pareizā leņķī. Kājas, attiecīgi, ir pārējās divas puses. Jebkura trīsstūra leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.
Sfēriskā trigonometrija ir trigonometrijas sadaļa, kas netiek apgūta skolā, bet lietišķajās zinātnēs, piemēram, astronomijā un ģeodēzijā, zinātnieki to izmanto. Trīsstūra iezīme sfēriskajā trigonometrijā ir tāda, ka tā leņķu summa vienmēr ir lielāka par 180 grādiem.
Trijstūra leņķi
Taisnleņķa trijstūrī leņķa sinuss ir vēlamajam leņķim pretējās kājas attiecība pret trijstūra hipotenūzu. Attiecīgi kosinuss ir blakus esošās kājas un hipotenūzas attiecība. Abām šīm vērtībām vienmēr ir mazāka vērtība par vienu, jo hipotenūza vienmēr ir garāka par kāju.
Leņķa tangensa ir vērtība, vienāds ar attiecību pretējā kāja blakus esošajai kājai vēlamajā leņķī vai sinusa pret kosinusu. Savukārt kotangenss ir vēlamā leņķa blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kaktetu. Leņķa kotangensu var iegūt arī dalot vienību ar pieskares vērtību.
vienības aplis
Vienības aplis ģeometrijā ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar vienu. Šāds aplis tiek konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā, apļa centram sakrītot ar sākuma punktu, un rādiusa vektora sākotnējo stāvokli nosaka X ass pozitīvais virziens (abscisu ass). Katram apļa punktam ir divas koordinātas: XX un YY, tas ir, abscisu un ordinātu koordinātas. Izvēloties jebkuru apļa punktu XX plaknē un nometot no tā perpendikulu uz abscisu asi, iegūstam taisnleņķa trīsstūri, ko veido rādiuss līdz izvēlētajam punktam (apzīmēsim to ar burtu C), kas ir novilkts uz X ass (krustošanās punkts ir apzīmēts ar burtu G) un abscisu ass segments starp sākumpunktu (punktu apzīmē ar burtu A) un krustošanās punktu G. Rezultātā iegūtais trīsstūris ACG ir taisnleņķa trijstūris, kas ierakstīts aplis, kur AG ir hipotenūza, un AC un GC ir kājas. Leņķi starp apļa rādiusu AC un abscisu ass segmentu ar apzīmējumu AG mēs definējam kā α (alfa). Tātad, cos α = AG/AC. Ņemot vērā, ka AC ir vienības apļa rādiuss un tas ir vienāds ar vienu, izrādās, ka cos α=AG. Tāpat sin α=CG.
Turklāt, zinot šos datus, ir iespējams noteikt apļa punkta C koordinātas, jo cos α=AG, un sin α=CG, kas nozīmē, ka punktam C ir dotās koordinātes (cos α; sin α). Zinot, ka tangenss ir vienāds ar sinusa attiecību pret kosinusu, mēs varam noteikt, ka tg α \u003d y / x un ctg α \u003d x / y. Ņemot vērā leņķus negatīvā koordinātu sistēmā, var aprēķināt, ka dažu leņķu sinusa un kosinusa vērtības var būt negatīvas.
Aprēķini un pamatformulas
Trigonometrisko funkciju vērtības
Apsverot trigonometrisko funkciju būtību caur vienības apli, mēs varam iegūt šo funkciju vērtības dažiem leņķiem. Vērtības ir norādītas zemāk esošajā tabulā.
Vienkāršākās trigonometriskās identitātes
Vienādojumi, kuros atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes nezināma vērtība sauc par trigonometriskiem. Identitātes ar vērtību sin x = α, k ir jebkurš vesels skaitlis:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identitātes ar vērtību cos x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identitātes ar vērtību tg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identitātes ar vērtību ctg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Lietās formulas
Šī konstantu formulu kategorija apzīmē metodes, ar kurām jūs varat pāriet no formas trigonometriskām funkcijām uz argumenta funkcijām, tas ir, konvertēt jebkuras vērtības leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu uz attiecīgajiem leņķa rādītājiem. intervāls no 0 līdz 90 grādiem lielākai aprēķinu ērtībai.
Leņķa sinusa funkciju samazināšanas formulas izskatās šādi:
- sin(900 — α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = grēks α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = grēks α.
Leņķa kosinusam:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Iepriekš minēto formulu izmantošana ir iespējama, ievērojot divus noteikumus. Pirmkārt, ja leņķi var attēlot kā vērtību (π/2 ± a) vai (3π/2 ± a), funkcijas vērtība mainās:
- no grēka uz cos;
- no cos uz grēku;
- no tg līdz ctg;
- no ctg uz tg.
Funkcijas vērtība paliek nemainīga, ja leņķi var attēlot kā (π ± a) vai (2π ± a).
Otrkārt, samazinātās funkcijas zīme nemainās: ja tā sākotnēji bija pozitīva, tā arī paliek. Tas pats attiecas uz negatīvajām funkcijām.
Papildināšanas formulas
Šīs formulas izsaka divu griešanās leņķu summas un starpības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības. trigonometriskās funkcijas. Leņķus parasti apzīmē kā α un β.
Formulas izskatās šādi:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- iedegums(α ± β) = (tan α ± iedegums β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β.
Divkāršā un trīskāršā leņķa formulas
Divkāršā un trīskāršā leņķa trigonometriskās formulas ir formulas, kas saista leņķu 2α un 3α funkcijas attiecīgi ar leņķa α trigonometriskajām funkcijām. Atvasināts no pievienošanas formulām:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Pāreja no summas uz produktu
Ņemot vērā, ka 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), vienkāršojot šo formulu, iegūstam identitāti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Līdzīgi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Pāreja no produkta uz summu
Šīs formulas izriet no summas pārejas uz reizinājumu identitātēm:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Samazināšanas formulas
Šajās identitātēs sinusa un kosinusa kvadrātveida un kubisko pakāpju var izteikt kā vairāku leņķu pirmā pakāpju sinusu un kosinusu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universāla aizstāšana
Universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas izsaka trigonometriskās funkcijas pusleņķa pieskares izteiksmē.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), savukārt x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), savukārt x \u003d π + 2πn.
Īpaši gadījumi
Īpaši vienkāršākā gadījumi trigonometriskie vienādojumi ir doti zemāk (k ir jebkurš vesels skaitlis).
Privāts priekš sinusa:
| sin x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk vai 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk vai -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk vai 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk vai -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk vai 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk vai -2π/3 + 2πk |
Kosinusa koeficienti:
| cos x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privāts pieskarei:
| tg x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangentes koeficienti:
| ctg x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teorēmas
Sinus teorēma
Teorēmai ir divas versijas – vienkārša un paplašināta. Vienkārša teorēma sinusa: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šajā gadījumā a, b, c ir trijstūra malas, un α, β, γ ir attiecīgi pretējie leņķi.
Paplašināta sinusa teorēma patvaļīgam trīsstūrim: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šajā identitātē R apzīmē apļa rādiusu, kurā ir ierakstīts dotais trīsstūris.
Kosinusa teorēma
Identitāte tiek parādīta šādi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulā a, b, c ir trijstūra malas, bet α ir leņķis, kas atrodas pretējai malai a.
Pieskares teorēma
Formula izsaka attiecību starp divu leņķu pieskarēm un tām pretējo malu garumu. Malas ir apzīmētas ar a, b, c, un attiecīgie pretējie leņķi ir α, β, γ. Pieskares teorēmas formula: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Kotangentes teorēma
Saista trijstūrī ierakstīta riņķa rādiusu ar tā malu garumu. Ja a, b, c ir trijstūra malas un attiecīgi A, B, C ir to pretējie leņķi, r ir ierakstītā apļa rādiuss un p ir trijstūra pusperimetrs, šādas identitātes turēt:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Lietojumprogrammas
Trigonometrija ir ne tikai teorētiska zinātne, kas saistīta ar matemātiskām formulām. Tās īpašības, teorēmas un noteikumus praksē izmanto dažādas cilvēka darbības nozares – astronomija, gaisa un jūras navigācija, mūzikas teorija, ģeodēzija, ķīmija, akustika, optika, elektronika, arhitektūra, ekonomika, mašīnbūve, mērīšanas darbi, datorgrafika, kartogrāfija, okeanogrāfija un daudzas citas.
Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas pamatjēdzieni, ar kuriem jūs varat matemātiski izteikt attiecības starp leņķiem un malu garumiem trijstūrī un atrast vajadzīgos lielumus, izmantojot identitātes, teorēmas un noteikumus.
Šajā rakstā mēs runāsim par universāla trigonometriskā aizstāšana. Tas ietver jebkura leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences izteiksmi caur pusleņķa pieskares palīdzību. Turklāt šāda nomaiņa tiek veikta racionāli, tas ir, bez saknēm.
Pirmkārt, mēs rakstām formulas, kas izsaka sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu pusleņķa pieskares izteiksmē. Tālāk mēs parādām šo formulu atvasināšanu. Un noslēgumā apskatīsim vairākus universālās trigonometriskās aizstāšanas izmantošanas piemērus.
Lapas navigācija.
Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss caur pusleņķa tangensu
Vispirms pierakstīsim četras formulas, kas izsaka leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu pusleņķa pieskares izteiksmē.
Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem, pie kuriem ir definētas tajās iekļautās pieskares un kotangences:
Formulu atvasināšana
Analizēsim formulu atvasināšanu, kas izsaka leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu caur pusleņķa tangensu. Sāksim ar sinusa un kosinusa formulām.
Mēs attēlojam sinusu un kosinusu, izmantojot dubultā leņķa formulas kā 
Un 
attiecīgi. Tagad izteicieni 
Un 
rakstīt kā daļskaitļus ar saucēju 1 kā 
Un 
. Tālāk, pamatojoties uz galveno trigonometrisko identitāti, saucēja vienības aizstājam ar sinusa un kosinusa kvadrātu summu, pēc kuras iegūstam 
Un 
. Visbeidzot, mēs sadalām iegūto daļu skaitītāju un saucēju ar (tā vērtība atšķiras no nulles, ja 
). Rezultātā visa darbību ķēde izskatās šādi: 
Un 
Tas pabeidz formulu atvasināšanu, kas izsaka sinusu un kosinusu caur pusleņķa tangensu.
Atliek atvasināt pieskares un kotangensa formulas. Tagad, ņemot vērā iepriekš iegūtās formulas un formulas un 
, mēs nekavējoties iegūstam formulas, kas izsaka tangensu un kotangensu caur pusleņķa tangensu: 
Tātad, mēs esam atvasinājuši visas universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas.
Universālās trigonometriskās aizstāšanas piemēri
Vispirms apskatīsim piemēru, kā izmantot universālo trigonometrisko aizstāšanu, pārveidojot izteiksmes.
Piemērs.
Dodiet izteiksmi 
izteiksmei, kas satur tikai vienu trigonometrisko funkciju.
Risinājums.
Atbilde:
.
Bibliogrāfija.
- Algebra: Proc. 9 šūnām. vid. skola / Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis.- M.: Apgaismība, 1990.- 272 lpp.: ill.- isbn 5-09-002727-7
- Bašmakovs M.I. Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Apgaismība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 šūnām. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju. P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Apgaismība, 2004.- 384 lpp.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
- Gusevs V. A., Mordkovičs A. G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Šajā rakstā mēs visaptveroši apskatīsim . Galvenā trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas nosaka attiecības starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu un ļauj atrast jebkuru no šīm trigonometriskajām funkcijām, izmantojot zināmu citu.
Mēs nekavējoties uzskaitām galvenās trigonometriskās identitātes, kuras mēs analizēsim šajā rakstā. Mēs tos pierakstām tabulā, un tālāk mēs sniedzam šo formulu atvasinājumus un sniedzam nepieciešamos paskaidrojumus.
Lapas navigācija.
Attiecība starp viena leņķa sinusu un kosinusu
Dažreiz viņi runā nevis par galvenajām trigonometriskajām identitātēm, kas uzskaitītas iepriekš tabulā, bet gan par vienu pamata trigonometriskā identitāte laipns 
. Izskaidrojums šim faktam ir pavisam vienkāršs: vienādības tiek iegūtas no pamata trigonometriskās identitātes, sadalot abas tās daļas ar un attiecīgi, un vienādības 
Un 
izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Mēs to sīkāk apspriedīsim turpmākajos punktos.
Tas nozīmē, ka īpašu interesi rada vienlīdzība, kurai tika piešķirts galvenās trigonometriskās identitātes nosaukums.
Pirms trigonometriskās pamatidentitātes pierādīšanas sniedzam tās formulējumu: viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir identiski vienāda ar vienu. Tagad pierādīsim to.
Ļoti bieži tiek izmantota pamata trigonometriskā identitāte transformācija trigonometriskās izteiksmes . Tas ļauj viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu. Ne mazāk bieži pamata trigonometriskā identitāte tiek izmantota apgrieztā secībā: vienību aizstāj ar jebkura leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu.
Pieskares un kotangenss caur sinusu un kosinusu
Identitātes, kas savieno tangensu un kotangensu ar formas un viena leņķa sinusu un kosinusu 
uzreiz izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Patiešām, pēc definīcijas sinuss ir y ordināta, kosinuss ir x abscisa, tangenss ir ordinātu attiecība pret abscisu, tas ir, 
, un kotangenss ir abscisu attiecība pret ordinātām, tas ir, 
.
Sakarā ar šo identitāšu acīmredzamību un bieži vien tangensa un kotangenta definīcijas tiek dotas nevis caur abscisu un ordinātu attiecību, bet gan caur sinusa un kosinusa attiecību. Tātad leņķa pieskare ir sinusa attiecība pret šī leņķa kosinusu, bet kotangensa ir kosinusa attiecība pret sinusu.
Noslēdzot šo sadaļu, jāatzīmē, ka identitātes un turēt uz visiem tādiem leņķiem, kuriem ir jēga tajos esošajām trigonometriskajām funkcijām. Tātad formula ir derīga jebkuram citam, izņemot (pretējā gadījumā saucējs būs nulle, un mēs nedefinējām dalījumu ar nulli), un formula - visiem , atšķiras no , kur z ir jebkurš .
Attiecības starp tangensu un kotangensu
Vēl acīmredzamāka trigonometriskā identitāte nekā iepriekšējās divas ir identitāte, kas savieno formas viena leņķa tangensu un kotangensu . Ir skaidrs, ka tas notiek jebkuriem leņķiem, izņemot , pretējā gadījumā nav definēta ne pieskare, ne kotangenss.
Formulas pierādījums ļoti vienkārši. Pēc definīcijas un no kurienes 
. Pierādīšanu varēja veikt nedaudz savādāk. Kopš un , Tas 
.
Tātad viena leņķa tangenss un kotangenss, pie kura tiem ir jēga, ir.
