Vienkāršākais risinājums trigonometriskie vienādojumi.

Jebkura sarežģītības līmeņa trigonometrisko vienādojumu risinājums galu galā ir vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu atrisināšana. Un šajā gadījumā trigonometriskais aplis atkal izrādās labākais palīgs.

Atgādiniet kosinusa un sinusa definīcijas.

Leņķa kosinuss ir vienības apļa punkta abscisa (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.

Leņķa sinuss ir vienības apļa punkta ordināta (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai par noteiktu leņķi.

Pozitīvs kustības virziens trigonometriskais aplis tiek uzskatīta kustība pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pagriešana par 0 grādiem (vai 0 radiāniem) atbilst punktam ar koordinātām (1; 0)

Mēs izmantojam šīs definīcijas, lai atrisinātu vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus.

1. Atrisiniet vienādojumu

Šo vienādojumu apmierina visas tādas griešanās leņķa vērtības, kas atbilst apļa punktiem, kuru ordināta ir vienāda ar .

Atzīmēsim punktu ar ordinātām uz y ass:

Novelciet horizontālu līniju paralēli x asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir ordināta. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem:

Ja mēs, atstājot punktu, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu, apejam pilnu apli, tad nonāksim punktā, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu un kuram ir tāda pati ordināta. Tas ir, šis griešanās leņķis apmierina arī mūsu vienādojumu. Mēs varam veikt tik daudz "tukšgaitas" pagriezienu, cik mums patīk, atgriežoties tajā pašā punktā, un visas šīs leņķa vērtības apmierinās mūsu vienādojumu. "Tukšgaitas" apgriezienu skaits tiek apzīmēts ar burtu (vai). Tā kā mēs varam veikt šos apgriezienus gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, (vai ) var iegūt jebkuras veselas vērtības.

Tas nozīmē, ka sākotnējā vienādojuma pirmajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, , - veselu skaitļu kopa (1)

Līdzīgi otrajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, Kur,. (2)

Kā jūs uzminējāt, šīs risinājumu sērijas pamatā ir apļa punkts, kas atbilst griešanās leņķim par .

Šīs divas risinājumu sērijas var apvienot vienā ierakstā:

Ja mēs uzņemsim šo ierakstu (tas ir, pat), tad mēs iegūsim pirmo risinājumu sēriju.

Ja mēs ņemam vērā šo ierakstu (tas ir, nepāra), tad mēs iegūsim otro risinājumu sēriju.

2. Tagad atrisināsim vienādojumu

Tā kā vienības apļa punkta abscisa ir iegūta, pagriežot leņķi, mēs atzīmējam uz ass punktu ar abscisu:

Novelciet vertikālu līniju, kas ir paralēla asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir abscisa. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiāniem. Atgādiniet, ka, pārvietojoties pulksteņrādītāja virzienā, mēs iegūstam negatīvu griešanās leņķi:

Mēs pierakstām divas risinājumu sērijas:

,

,

(Mēs nokļūstam pareizajā punktā, izejot no galvenā pilna apļa, tas ir.

Apvienosim šīs divas sērijas vienā ierakstā:

3. Atrisiniet vienādojumu

Pieskares līnija iet caur punktu ar koordinātām (1,0) vienības apļa paralēli OY asij

Atzīmējiet uz tā punktu ar ordinātu, kas vienāds ar 1 (mēs meklējam pieskares leņķiem, kas ir 1):

Savienojiet šo punktu ar izcelsmi ar taisnu līniju un atzīmējiet līnijas krustošanās punktus ar vienības apli. Līnijas un apļa krustošanās punkti atbilst griešanās leņķiem uz un :

Tā kā punkti, kas atbilst griešanās leņķiem, kas atbilst mūsu vienādojumam, atrodas radiānu attālumā viens no otra, mēs varam uzrakstīt risinājumu šādi:

4. Atrisiniet vienādojumu

Kotangenšu līnija iet caur punktu ar vienības apļa koordinātām paralēli asij.

Mēs atzīmējam punktu ar abscisu -1 uz kotangentu līnijas:

Savienojiet šo punktu ar taisnes sākuma punktu un turpiniet to, līdz tas krustojas ar apli. Šī līnija krustos apli punktos, kas atbilst griešanās leņķiem un radiāniem:

Tā kā šie punkti ir atdalīti viens no otra ar attālumu, kas vienāds ar , tad šī vienādojuma vispārējo risinājumu varam uzrakstīt šādi:

Dotajos piemēros, ilustrējot vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājumu, tika izmantotas tabulas vērtības trigonometriskās funkcijas.

Tomēr, ja vienādojuma labajā pusē ir vērtība, kas nav tabula, tad mēs aizstājam vērtību vienādojuma vispārējā risinājumā:

ĪPAŠI RISINĀJUMI:

Atzīmējiet punktus uz apļa, kura ordināta ir 0:

Atzīmējiet vienu punktu uz apļa, kura ordināta ir vienāda ar 1:

Atzīmējiet vienu punktu uz apļa, kura ordināta ir vienāda ar -1:

Tā kā ir ierasts norādīt vērtības, kas ir vistuvākās nullei, mēs rakstām risinājumu šādi:

Atzīmējiet punktus uz apļa, kura abscisa ir 0:

5.
Atzīmēsim uz apļa vienu punktu, kura abscisa ir vienāda ar 1:

Atzīmējiet vienu punktu uz apļa, kura abscisa ir vienāda ar -1:

Un daži sarežģītāki piemēri:

1.

Sinuss ir viens, ja arguments ir

Mūsu sinusa arguments ir , tāpēc mēs iegūstam:

Sadaliet abas vienādojuma puses ar 3:

Atbilde:

2.

Kosinuss ir nulle, ja ir kosinuss

Mūsu kosinusa arguments ir , tāpēc mēs iegūstam:

Mēs izsakām , šim nolūkam vispirms virzāmies pa labi ar pretējo zīmi:

Vienkāršojiet labo pusi:

Sadaliet abas daļas ar -2:

Ņemiet vērā, ka zīme pirms vārda nemainās, jo k var iegūt jebkuras veselas vērtības.

Atbilde:

Un noslēgumā noskatieties video pamācību "Sakņu izvēle trigonometriskā vienādojumā, izmantojot trigonometrisko apli"

Ar to noslēdzas saruna par vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanu. Nākamreiz runāsim par to, kā atrisināt.

Trigonometriskie vienādojumi nav vieglākais temats. Sāpīgi tie ir dažādi.) Piemēram, šie:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

utt...

Taču šiem (un visiem pārējiem) trigonometriskajiem monstriem ir divas kopīgas un obligātas iezīmes. Pirmkārt - jūs neticēsiet - vienādojumos ir trigonometriskas funkcijas.) Otrkārt: visas izteiksmes ar x ir šo pašu funkciju ietvaros. Un tikai tur! Ja kaut kur parādās x ārā, Piemēram, sin2x + 3x = 3, tas būs jaukta tipa vienādojums. Šādiem vienādojumiem ir nepieciešama individuāla pieeja. Šeit mēs tos neuzskatīsim.

Šajā nodarbībā mēs arī neatrisināsim ļaunuma vienādojumus.) Šeit mēs aplūkosim vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Kāpēc? Jā, jo lēmums jebkura trigonometriskie vienādojumi sastāv no diviem posmiem. Pirmajā posmā ļaunais vienādojums ar dažādām transformācijām tiek reducēts uz vienkāršu. Otrajā - šis vienkāršākais vienādojums ir atrisināts. Citādi nav.

Tātad, ja jums ir problēmas otrajā posmā, pirmajam posmam nav lielas jēgas.)

Kā izskatās elementārie trigonometriskie vienādojumi?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Šeit A apzīmē jebkuru skaitli. Jebkurš.

Starp citu, funkcijas iekšpusē var būt nevis tīrs x, bet gan kāda veida izteiksme, piemēram:

cos(3x+π /3) = 1/2

utt. Tas sarežģī dzīvi, bet neietekmē trigonometriskā vienādojuma risināšanas metodi.

Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?

Trigonometriskos vienādojumus var atrisināt divos veidos. Pirmais veids: izmantojot loģiku un trigonometrisko apli. Mēs izpētīsim šo ceļu šeit. Otrais veids - izmantojot atmiņu un formulas - tiks apskatīts nākamajā nodarbībā.

Pirmais veids ir skaidrs, uzticams un grūti aizmirstams.) Tas ir piemērots trigonometrisku vienādojumu, nevienādību un visu veidu viltīgu nestandarta piemēru risināšanai. Loģika ir stiprāka par atmiņu!

Mēs risinām vienādojumus, izmantojot trigonometrisko apli.

Mēs iekļaujam elementāru loģiku un spēju izmantot trigonometrisko apli. Vai nevari!? Tomēr... Trigonometrijā tev būs grūti...) Bet tas nav svarīgi. Apskatiet nodarbības "Trigonometriskais aplis ...... Kas tas ir?" un "Leņķu skaitīšana trigonometriskā aplī". Tur viss ir vienkārši. Atšķirībā no mācību grāmatām...)

Ak, zini!? Un pat apguvis "Praktiskais darbs ar trigonometrisko apli"!? Pieņemiet apsveikumus. Šī tēma jums būs tuva un saprotama.) Īpaši patīkami ir tas, ka trigonometriskajam aplim ir vienalga, kuru vienādojumu jūs atrisināt. Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss - viņam viss ir vienāds. Risinājuma princips ir vienāds.

Tātad mēs ņemam jebkuru elementāru trigonometrisko vienādojumu. Vismaz šis:

cosx = 0,5

Man jāatrod X. Ja runāt cilvēku valoda, vajag atrodiet leņķi (x), kura kosinuss ir 0,5.

Kā mēs izmantojām apli iepriekš? Uzzīmējām tai stūri. Grādos vai radiānos. Un uzreiz redzēts šī leņķa trigonometriskās funkcijas. Tagad darīsim pretējo. Uz apļa uzzīmējiet kosinusu, kas vienāds ar 0,5 un nekavējoties redzēsim stūrī. Atliek tikai pierakstīt atbildi.) Jā, jā!

Mēs uzzīmējam apli un atzīmējam kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Uz kosinusa ass, protams. Kā šis:

Tagad uzzīmēsim leņķi, ko mums piešķir šis kosinuss. Novietojiet peles kursoru virs attēla (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā) un skat tas pats stūris X.

Kura leņķa kosinuss ir 0,5?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Dažs noburkšķēs skeptiski, jā... Saka, vai bija vērts nožogot apli, kad tik un tā viss skaidrs... Var, protams, ņurdēt...) Bet fakts ir tāds, ka tas ir kļūdains atbildi. Pareizāk sakot, neadekvāti. Apļa cienītāji saprot, ka joprojām ir vesela virkne leņķu, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5.

Ja pagriežat kustīgo pusi OA uz pilnu pagriezienu, punkts A atgriezīsies sākotnējā pozīcijā. Ar to pašu kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Tie. leņķis mainīsies 360° vai 2π radiāni un kosinuss nav. Jaunais leņķis 60° + 360° = 420° būs arī mūsu vienādojuma risinājums, jo

Šādu pilnu rotāciju ir bezgalīgi daudz... Un visi šie jaunie leņķi būs mūsu trigonometriskā vienādojuma risinājumi. Un tās visas kaut kā jāpieraksta. Visi. Pretējā gadījumā lēmums netiek izskatīts, jā ...)

Matemātika to var izdarīt vienkārši un eleganti. Vienā īsā atbildē pierakstiet bezgalīgs komplekts risinājumus. Lūk, kā tas izskatās mūsu vienādojumam:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Es atšifrēšu. Joprojām rakstiet jēgpilni jaukāk nekā muļķīgi zīmēt kādus noslēpumainus burtus, vai ne?)

π /3 ir tāds pats leņķis kā mēs ieraudzīja uz apļa un noteikts saskaņā ar kosinusu tabulu.

2π ir viens pilns pagrieziens radiānos.

n - tas ir pabeigto skaits, t.i. vesels revolūcijas. Ir skaidrs ka n var būt 0, ±1, ±2, ±3.... un tā tālāk. Kā norādīts īsajā ierakstā:

n∈Z

n pieder ( ∈ ) uz veselu skaitļu kopu ( Z ). Starp citu, vēstules vietā n var izmantot burtus k, m, t utt.

Šis apzīmējums nozīmē, ka varat ņemt jebkuru veselu skaitli n . Vismaz -3, vismaz 0, vismaz +55. Ko tu gribi. Ja pievienojat šo skaitli savā atbildē, jūs iegūstat noteiktu leņķi, kas noteikti ir mūsu skarbā vienādojuma risinājums.)

Vai, citiem vārdiem sakot, x \u003d π / 3 ir vienīgā bezgalīgas kopas sakne. Lai iegūtu visas pārējās saknes, pietiek ar π / 3 pievienot jebkuru pilnu apgriezienu skaitu ( n ) radiānos. Tie. 2πn radiāns.

Visi? Nē. Es īpaši stiepju prieku. Lai labāk atcerētos.) Mēs saņēmām tikai daļu no mūsu vienādojuma atbildēm. Es uzrakstīšu šo pirmo risinājuma daļu šādi:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne viena sakne, tā ir vesela virkne sakņu, kas uzrakstītas īsā formā.

Bet ir arī citi leņķi, kas arī dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5!

Atgriezīsimies pie mūsu attēla, saskaņā ar kuru mēs pierakstījām atbildi. Šeit viņa ir:

Pārvietojiet peles kursoru virs attēla un skat vēl viens stūris, ka arī dod kosinusu 0,5. Kas, jūsuprāt, ir vienāds? Trijstūri ir vienādi... Jā! Viņš vienāds ar leņķi X , tikai attēlots negatīvā virzienā. Šis ir stūris -X. Bet mēs jau esam aprēķinājuši x. π /3 vai 60°. Tāpēc mēs varam droši rakstīt:

x 2 \u003d - π / 3

Un, protams, mēs pievienojam visus leņķus, kas iegūti pilnos pagriezienos:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tagad tas ir viss.) Trigonometriskā aplī mēs ieraudzīja(kas saprot, protams)) Visi leņķi, kas dod kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Un viņi pierakstīja šos leņķus īsā matemātiskā formā. Atbilde ir divas bezgalīgas sakņu sērijas:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir pareizā atbilde.

ceru, vispārējs trigonometrisko vienādojumu risināšanas princips ar apļa palīdzību ir saprotams. Mēs atzīmējam uz apļa kosinusu (sinusu, tangensu, kotangensu) no dots vienādojums, uzzīmējiet tai atbilstošos stūrus un pierakstiet atbildi. Protams, jums ir jāizdomā, kādi stūri mēs esam ieraudzīja uz apļa. Dažreiz tas nav tik acīmredzami. Nu, kā jau teicu, šeit ir nepieciešama loģika.)

Piemēram, analizēsim citu trigonometrisko vienādojumu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitlis 0,5 nav vienīgais iespējamais skaitlis vienādojumos!) Man vienkārši ir ērtāk to rakstīt nekā saknes un daļskaitļus.

Mēs strādājam pēc vispārējā principa. Uzzīmējam apli, atzīmējam (uz sinusa ass, protams!) 0,5. Mēs uzreiz zīmējam visus leņķus, kas atbilst šim sinusam. Mēs iegūstam šo attēlu:

Vispirms tiksim galā ar leņķi. X pirmajā ceturksnī. Mēs atgādinām sinusu tabulu un nosakām šī leņķa vērtību. Lieta ir vienkārša:

x \u003d π / 6

Mēs atceramies pilnus pagriezienus un ar tīru sirdsapziņu pierakstām pirmo atbilžu sēriju:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Puse darba ir paveikta. Tagad mums ir jādefinē otrais stūris... Tas ir sarežģītāk nekā kosinusos, jā... Bet loģika mūs izglābs! Kā noteikt otro leņķi caur x? Jā Viegli! Attēlā redzamie trīsstūri ir vienādi, un sarkanais stūris X vienāds ar leņķi X . Tikai tas tiek skaitīts no leņķa π negatīvā virzienā. Tāpēc tas ir sarkans.) Un atbildei mums ir nepieciešams leņķis, kas pareizi izmērīts no pozitīvās pusass OX, t.i. no 0 grādu leņķa.

Novietojiet kursoru virs attēla un skatiet visu. Pirmo stūri noņēmu, lai nesarežģītu attēlu. Mūs interesējošais leņķis (zīmēts zaļā krāsā) būs vienāds ar:

π - x

x mēs to zinām π /6 . Tātad otrais leņķis būs:

π - π /6 = 5π /6

Atkal mēs atgādinām pilnu apgriezienu pievienošanu un pierakstām otro atbilžu sēriju:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tas ir viss. Pilnīga atbilde sastāv no divām sakņu sērijām:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Vienādojumus ar tangensu un kotangensu var viegli atrisināt, izmantojot to pašu vispārējo principu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Ja vien jūs, protams, nezināt, kā trigonometriskā riņķī uzzīmēt pieskari un kotangensu.

Iepriekš minētajos piemēros es izmantoju sinusa un kosinusa tabulas vērtību: 0,5. Tie. viena no tām nozīmēm, ko students zina obligāti. Tagad paplašināsim savas iespējas līdz visas pārējās vērtības. Izlemiet, tāpēc izlemiet!)

Tātad, pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šāds trigonometriskais vienādojums:

Šī kosinusa vērtība kopsavilkuma tabulas Nē. Mēs vēsi ignorējam šo briesmīgo faktu. Uzzīmējam apli, atzīmējam 2/3 uz kosinusa ass un uzzīmējam atbilstošos leņķus. Mēs iegūstam šo attēlu.

Iesākumā mēs saprotam ar leņķi pirmajā ceturtdaļā. Lai zinātu, ar ko x ir vienāds, viņi uzreiz pieraksta atbildi! Mēs nezinām... Neveiksme!? Mierīgi! Matemātika neatstāj savējos bēdās! Viņa šim gadījumam izgudroja loka kosinusus. Nezinu? Velti. Uzziniet. Tas ir daudz vieglāk, nekā jūs domājat. Saskaņā ar šo saiti nav nevienas viltīgas burvestības par "apgrieztām trigonometriskām funkcijām" ... Tas ir lieki šajā tēmā.

Ja jūs zināt, vienkārši sakiet sev: "X ir leņķis, kura kosinuss ir 2/3." Un uzreiz, tikai pēc arkosīna definīcijas, mēs varam rakstīt:

Mēs atceramies par papildu apgriezieniem un mierīgi pierakstām mūsu trigonometriskā vienādojuma pirmo sakņu sēriju:

x 1 = loka 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Arī otrā sakņu sērija tiek ierakstīta gandrīz automātiski, otrajam leņķim. Viss ir pa vecam, tikai x (arccos 2/3) būs ar mīnusu:

x 2 = - loki 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Un visas lietas! Šī ir pareizā atbilde. Pat vieglāk nekā ar tabulas vērtībām. Jums nekas nav jāatceras.) Starp citu, vērīgākie pamanīs, ka šis attēls ar risinājumu caur loka kosinusu būtībā neatšķiras no attēla vienādojumam cosx = 0,5.

tieši tā! Vispārīgais princips par to un vispārējais! Es speciāli uzzīmēju divus gandrīz identiskus attēlus. Aplis mums parāda leņķi X pēc tā kosinusa. Tas ir tabulas kosinuss, vai ne - aplis nezina. Kāds ir šis leņķis, π / 3, vai kāds loka kosinuss ir mūsu ziņā.

Ar sinusu tā pati dziesma. Piemēram:

Atkal mēs zīmējam apli, atzīmējam sinusu, kas vienāds ar 1/3, zīmējam stūrus. Izrādās šis attēls:

Un atkal attēls ir gandrīz tāds pats kā vienādojumam sinx = 0,5. Atkal sākam no stūra pirmajā ceturtdaļā. Ar ko x ir vienāds, ja tā sinuss ir 1/3? Nekādu problēmu!

Tātad pirmais sakņu iepakojums ir gatavs:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Apskatīsim otro leņķi. Piemērā ar tabulas vērtību 0,5 tas bija vienāds ar:

π - x

Tātad šeit būs tieši tāpat! Tikai x ir atšķirīgs, arcsin 1/3. Nu ko!? Jūs varat droši uzrakstīt otro sakņu iepakojumu:

x 2 = π - loksns 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir pilnīgi pareiza atbilde. Lai gan tas neizskatās īpaši pazīstami. Bet tas ir saprotams, es ceru.)

Šādi tiek atrisināti trigonometriskie vienādojumi, izmantojot apli. Šis ceļš ir skaidrs un saprotams. Tieši viņš ietaupa trigonometriskajos vienādojumos ar sakņu izvēli noteiktā intervālā, trigonometriskajās nevienādībās - tās parasti gandrīz vienmēr tiek atrisinātas aplī. Īsāk sakot, visos uzdevumos, kas ir nedaudz sarežģītāki par standarta.

Pielietot zināšanas praksē?

Atrisiniet trigonometriskos vienādojumus:

Sākumā tas ir vienkāršāk, tieši šajā nodarbībā.

Tagad ir grūtāk.

Padoms: šeit ir jādomā par apli. Personīgi.)

Un tagad ārēji nepretenciozi ... Tos sauc arī par īpašiem gadījumiem.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Padoms: šeit jums ir jānoskaidro aplī, kur ir divas atbilžu sērijas un kur ir viena ... Un kā pierakstīt vienu, nevis divas atbilžu sērijas. Jā, lai nezaudētu nevienu sakni no bezgalīga skaita!)

Nu, pavisam vienkārši):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Padoms: šeit jums jāzina, kas ir arkosīns, arkosīns? Kas ir loka tangenss, loka tangenss? Vienkāršākās definīcijas. Bet jums nav jāatceras nekādas tabulas vērtības!)

Atbildes, protams, ir nesakārtotas):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Vai viss neizdodas? Notiek. Izlasiet nodarbību vēlreiz. Tikai pārdomāti(ir tāds novecojis vārds...) Un seko linkiem. Galvenās saites ir par apli. Bez tā trigonometrijā - kā šķērsot ceļu ar aizsietām acīm. Dažreiz tas darbojas.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Video kursā "Saņem A" ir iekļautas visas veiksmīgai veiksmei nepieciešamās tēmas nokārtojot eksāmenu matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visi uzdevumi 1-13 profila eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas pamatizmantošanas kursa nokārtošanai. Ja gribi nokārtot eksāmenu ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmās 12 problēmas) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne simt ballu students, ne humānists.

Visa nepieciešamā teorija. Ātrie veidi eksāmena risinājumi, lamatas un noslēpumi. Analizēti visi būtiskie FIPI bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst USE-2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem eksāmenu uzdevumu. Teksta problēmas un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami problēmu risināšanas algoritmi. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu USE uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas apkrāpšanas lapas, izstrāde telpiskā iztēle. Trigonometrija no nulles - līdz 13. uzdevumam. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu vizuāls skaidrojums. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamatne risinājumam izaicinošus uzdevumus 2 eksāmena daļas.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, adresi E-pasts utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Gadījumā, ja tas ir nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas rīkojumu, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valsts iestāžu pieprasījumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrības interešu mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visus materiālus pārbauda pretvīrusu programma.

Rokasgrāmatas un simulatori interneta veikalā "Integral" 10. klasei no 1C
Mēs risinām uzdevumus ģeometrijā. Interaktīvi uzdevumi veidošanai telpā
Programmatūras vide "1C: Mathematical constructor 6.1"

Ko mēs pētīsim:
1. Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

3. Divas galvenās metodes trigonometrisko vienādojumu risināšanai.
4. Homogēni trigonometriskie vienādojumi.
5. Piemēri.

Kas ir trigonometriskie vienādojumi?

Puiši, mēs jau esam izpētījuši arkosīnu, arkosīnu, arktangensu un arkotangensu. Tagad aplūkosim trigonometriskos vienādojumus kopumā.

Trigonometriskie vienādojumi - vienādojumi, kuros mainīgais atrodas zem trigonometriskās funkcijas zīmes.

Mēs atkārtojam vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanas formu:

1) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam cos(x) = a ir risinājums:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ja |а|≤ 1, tad vienādojumam sin(x) = a ir risinājums:

3) Ja |a| > 1, tad vienādojumam sin(x) = a un cos(x) = a nav atrisinājumu 4) Vienādojumam tg(x)=a ir risinājums: x=arctg(a)+ πk

5) Vienādojumam ctg(x)=a ir risinājums: x=arcctg(a)+ πk

Visām formulām k ir vesels skaitlis

Vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem ir šāda forma: Т(kx+m)=a, T- jebkura trigonometriskā funkcija.

Piemērs.

Atrisiniet vienādojumus: a) sin(3x)= √3/2

Risinājums:

A) Apzīmēsim 3x=t, tad pārrakstīsim mūsu vienādojumu formā:

Šī vienādojuma risinājums būs: t=((-1)^n)arcsin(√3/2)+ πn.

No vērtību tabulas mēs iegūstam: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Atgriezīsimies pie mainīgā: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tad x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atbilde: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n ir vesels skaitlis. (-1)^n — mīnus viens līdz pakāpei n.

Vairāk trigonometrisko vienādojumu piemēru.

Atrisiniet vienādojumus: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Risinājums:

A) Šoreiz mēs pāriesim tieši uz vienādojuma sakņu aprēķināšanu:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tad x/5= πk => x=5πk

Atbilde: x=5πk, kur k ir vesels skaitlis.

B) Rakstām formā: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Mēs zinām, ka: arctg(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atbilde: x=2π/9 + πk/3, kur k ir vesels skaitlis.

Atrisiniet vienādojumus: cos(4x)= √2/2. Un atrodiet visas saknes segmentā.

Risinājums:

Mēs izlemsim iekšā vispārējs skats mūsu vienādojums: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Tagad redzēsim, kādas saknes attiecas uz mūsu segmentu. Ja k Ja k=0, x= π/16, mēs atrodamies dotajā segmentā .
Ja k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, viņi trāpa vēlreiz.
Ja k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet šeit mēs netrāpījām, kas nozīmē, ka netrāpīsim arī lielajam k.

Atbilde: x= π/16, x= 9π/16

Divas galvenās risināšanas metodes.

Mēs esam apsvēruši vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, taču ir arī sarežģītāki. To risināšanai tiek izmantota jauna mainīgā ieviešanas metode un faktorizēšanas metode. Apskatīsim piemērus.

Atrisināsim vienādojumu:

Risinājums:
Lai atrisinātu mūsu vienādojumu, mēs izmantojam jauna mainīgā ievadīšanas metodi, ko apzīmē: t=tg(x).

Aizstāšanas rezultātā mēs iegūstam: t 2 + 2t -1 = 0

Meklēsim saknes kvadrātvienādojums: t=-1 un t=1/3

Tad tg(x)=-1 un tg(x)=1/3, ieguvām vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu, atrodam tā saknes.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atbilde: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Vienādojuma risināšanas piemērs

Atrisiniet vienādojumus: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Risinājums:

Izmantosim identitāti: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsu vienādojums kļūst: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Ieviesīsim aizstāšanu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums ir saknes: t=2 un t=-1/2

Tad cos(x)=2 un cos(x)=-1/2.

Jo kosinuss nevar pieņemt vērtības, kas lielākas par vienu, tad cos(x)=2 nav sakņu.

Ja cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atbilde: x= ±2π/3 + 2πk

Homogēni trigonometriskie vienādojumi.

Definīcija. Vienādojumu formā a sin(x)+b cos(x) sauc par homogēniem pirmās pakāpes trigonometriskajiem vienādojumiem.

Formas vienādojumi

otrās pakāpes homogēnie trigonometriskie vienādojumi.

Lai atrisinātu homogēnu pirmās pakāpes trigonometrisko vienādojumu, mēs to sadalām ar cos(x): Nav iespējams dalīt ar kosinusu, ja tas ir vienāds ar nulli, pārliecināsimies, ka tas tā nav:
Lai cos(x)=0, tad asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinuss un kosinuss nav vienādi ar nulli vienlaikus, sanāca pretruna, tāpēc varam droši dalīt par nulli.

Atrisiniet vienādojumu:
Piemērs: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Risinājums:

Izņemiet kopējo koeficientu: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tad mums jāatrisina divi vienādojumi:

cos(x)=0 un cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, ja x= π/2 + πk;

Apsveriet vienādojumu cos(x)+sin(x)=0 Sadaliet mūsu vienādojumu ar cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atbilde: x= π/2 + πk un x= -π/4+πk

Kā atrisināt homogēnus otrās pakāpes trigonometriskos vienādojumus?
Puiši, vienmēr ievērojiet šos noteikumus!

1. Skatiet, ar ko ir vienāds koeficients a, ja a \u003d 0, tad mūsu vienādojums būs formā cos (x) (bsin (x) + ccos (x)), kura risinājuma piemērs ir iepriekšējā. slidkalniņš

2. Ja a≠0, tad abas vienādojuma daļas jādala ar kosinusu kvadrātā, iegūstam:

Veicam mainīgā t=tg(x) maiņu, iegūstam vienādojumu:

Atrisiniet piemēru #:3

Atrisiniet vienādojumu:
Risinājums:

Sadaliet abas vienādojuma puses ar kosinusa kvadrātu:

Mēs veicam mainīgā t=tg(x) izmaiņas: t 2 + 2 t - 3 = 0

Atrodi kvadrātvienādojuma saknes: t=-3 un t=1

Tad: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atbilde: x=-arctg(3) + πk un x= π/4+ πk

Atrisiniet piemēru #:4

Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs varam atrisināt šādus vienādojumus: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atbilde: x= - π/4 + 2πk un x=5π/4 + 2πk

Atrisiniet piemēru #:5

Atrisiniet vienādojumu:

Risinājums:
Pārveidosim savu izteiksmi:

Mēs ieviešam aizvietotāju tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsu kvadrātvienādojuma risinājums būs saknes: t=-2 un t=1/2

Tad mēs iegūstam: tg(2x)=-2 un tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atbilde: x=-arctg(2)/2 + πk/2 un x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam.

1) Atrisiniet vienādojumu

A) grēks(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 e) ctg(0,5x) = -1,7

2) Atrisiniet vienādojumus: sin(3x)= √3/2. Un atrodiet visas saknes segmentā [π/2; π].

3) Atrisiniet vienādojumu: ctg 2 (x) + 2 ctg (x) + 1 =0

4) Atrisiniet vienādojumu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Atrisiniet vienādojumu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Atrisiniet vienādojumu: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)