Oblasť trojuholníka - vzorce a príklady riešenia problémov

Nižšie sú uvedené vzorce na nájdenie oblasti ľubovoľného trojuholníka ktoré sú vhodné na nájdenie plochy akéhokoľvek trojuholníka bez ohľadu na jeho vlastnosti, uhly alebo rozmery. Vzorce sú prezentované vo forme obrázka, tu sú vysvetlivky k aplikácii alebo zdôvodnenie ich správnosti. Na samostatnom obrázku je tiež znázornená zhoda písmenových symbolov vo vzorcoch a grafických symbolov na výkrese.

Poznámka . Ak má trojuholník špeciálne vlastnosti(rovnoramenný, pravouhlý, rovnostranný), môžete použiť nižšie uvedené vzorce, ako aj ďalšie špeciálne vzorce, ktoré sú platné len pre trojuholníky s týmito vlastnosťami:

• "Vzorce pre oblasť rovnostranného trojuholníka"

Vzorce oblasti trojuholníka

Vysvetlivky k vzorcom:
a, b, c- dĺžky strán trojuholníka, ktorého obsah chceme nájsť
r- polomer kružnice vpísanej do trojuholníka
R- polomer kružnice opísanej okolo trojuholníka
h- výška trojuholníka, zníženého na stranu
p- polobvod trojuholníka, 1/2 súčtu jeho strán (obvod)
α - uhol opačnej strany a trojuholníka
β - uhol protiľahlej strany b trojuholníka
γ - uhol protiľahlej strany c trojuholníka
h a, h b , h c- výška trojuholníka, zníženého na stranu a, b, c

Upozorňujeme, že uvedený zápis zodpovedá obrázku vyššie, takže pri riešení skutočného problému v geometrii by bolo pre vás vizuálne jednoduchšie nahradiť správne hodnoty na správnych miestach vo vzorci.

• Plocha trojuholníka je polovica súčinu výšky trojuholníka a dĺžky strany, na ktorej je táto výška znížená(Formula 1). Správnosť tohto vzorca možno pochopiť logicky. Výška znížená na základňu rozdelí ľubovoľný trojuholník na dva pravouhlé. Ak doplníme každý z nich do obdĺžnika s rozmermi b a h, potom sa, samozrejme, plocha týchto trojuholníkov bude rovnať presne polovici plochy obdĺžnika (Spr = bh)
• Plocha trojuholníka je polovičný súčin jeho dvoch strán a sínus uhla medzi nimi(Vzorec 2) (pozri príklad riešenia problému pomocou tohto vzorca nižšie). Napriek tomu, že sa zdá byť iná ako tá predchádzajúca, dá sa na ňu ľahko premeniť. Ak znížime výšku z uhla B na stranu b, ukáže sa, že súčin strany a a sínusu uhla γ sa podľa vlastností sínusu v pravouhlom trojuholníku rovná výške trojuholníka nakresleného nám, čím získame predchádzajúci vzorec
• Je možné nájsť oblasť ľubovoľného trojuholníka cez práca polovica polomeru kružnice, ktorá je do nej vpísaná súčtom dĺžok všetkých jej strán(Vzorec 3), inými slovami, musíte vynásobiť polovicu obvodu trojuholníka polomerom vpísanej kružnice (takto si to ľahšie zapamätáte)
• Oblasť ľubovoľného trojuholníka možno nájsť vydelením súčinu všetkých jeho strán 4 polomermi kružnice opísanej okolo neho (vzorec 4)
• Formula 5 hľadá obsah trojuholníka z hľadiska dĺžok jeho strán a jeho polobvodu (polovičný súčet všetkých jeho strán)
• Heronov vzorec(6) je znázornením toho istého vzorca bez použitia pojmu semiperimeter, iba cez dĺžky strán
• Plocha ľubovoľného trojuholníka sa rovná súčinu štvorca strany trojuholníka a sínusov uhlov susediacich s touto stranou vydeleného dvojitým sínusom uhla oproti tejto strane (vzorec 7)
• Oblasť ľubovoľného trojuholníka možno nájsť ako súčin dvoch štvorcov kruhu opísaných okolo neho a sínusov každého z jeho uhlov. (Formula 8)
• Ak je známa dĺžka jednej strany a veľkosť dvoch susedných uhlov, potom sa plocha trojuholníka dá nájsť ako štvorec tejto strany vydelený dvojnásobným súčtom kotangens týchto strán. uhly (Formula 9)
• Ak je známa iba dĺžka každej z výšok trojuholníka (vzorec 10), potom je plocha takéhoto trojuholníka nepriamo úmerná dĺžkam týchto výšok, ako podľa Heronovho vzorca
• Vzorec 11 vám umožňuje vypočítať oblasť trojuholníka podľa súradníc jeho vrcholov, ktoré sú uvedené ako (x;y) hodnoty pre každý z vrcholov. Upozorňujeme, že výsledná hodnota sa musí brať modulo, pretože súradnice jednotlivých (alebo dokonca všetkých) vrcholov môžu byť v oblasti záporných hodnôt

Poznámka. Nasledujú príklady riešenia problémov v geometrii na nájdenie oblasti trojuholníka. Ak potrebujete vyriešiť problém v geometrii, ktorý tu nie je, napíšte o ňom do fóra. V riešeniach namiesto symbolu " Odmocnina" možno použiť funkciu sqrt(), v ktorej sqrt je symbol druhej odmocniny a radikálny výraz je uvedený v zátvorkách.Niekedy sa tento symbol môže použiť na jednoduché radikálne výrazy √

Úloha. Nájdite oblasť, ktorú majú dve strany, a uhol medzi nimi

Strany trojuholníka sú 5 a 6 cm, uhol medzi nimi je 60 stupňov. Nájdite oblasť trojuholníka.

Riešenie.

Na vyriešenie tohto problému použijeme vzorec číslo dva z teoretickej časti lekcie.
Oblasť trojuholníka možno nájsť cez dĺžky dvoch strán a sínus uhla medzi nimi a bude sa rovnať
S = 1/2 ab sin γ

Keďže máme všetky potrebné údaje na riešenie (podľa vzorca), môžeme do vzorca nahradiť iba hodnoty z problémového príkazu:
S=1/2*5*6*sin60

V tabuľke hodnôt goniometrické funkcie nájdite a dosaďte do výrazu hodnotu sínusu 60 stupňov. Bude sa rovnať odmocnine troch krát dva.
S = 15 √3 / 2

Odpoveď: 7,5 √3 (v závislosti od požiadaviek vyučujúceho je pravdepodobne možné nechať 15 √3/2)

Úloha. Nájdite obsah rovnostranného trojuholníka

Nájdite obsah rovnostranného trojuholníka so stranou 3 cm.

Riešenie .

Oblasť trojuholníka možno nájsť pomocou Heronovho vzorca:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Pretože a \u003d b \u003d c, vzorec pre oblasť rovnostranného trojuholníka bude mať tvar:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odpoveď: 9 √3 / 4.

Úloha. Zmena plochy pri zmene dĺžky strán

Koľkokrát sa plocha trojuholníka zväčší, ak sa strany zoštvornásobia?

Riešenie.

Keďže rozmery strán trojuholníka sú nám neznáme, na vyriešenie problému budeme predpokladať, že dĺžky strán sa rovnajú ľubovoľným číslam a, b, c. Potom, aby sme odpovedali na otázku problému, nájdeme oblasť tohto trojuholníka a potom nájdeme oblasť trojuholníka, ktorého strany sú štyrikrát väčšie. Pomer plôch týchto trojuholníkov nám dá odpoveď na problém.

Ďalej uvádzame textové vysvetlenie riešenia problému v krokoch. Na samom konci je však rovnaké riešenie prezentované v grafickej podobe, ktorá je pre vnímanie vhodnejšia. Tí, ktorí si želajú, môžu okamžite rozbaliť riešenie.

Na riešenie používame Heronov vzorec (pozri vyššie v teoretickej časti lekcie). Vyzerá to takto:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pozri prvý riadok na obrázku nižšie)

Dĺžky strán ľubovoľného trojuholníka sú dané premennými a, b, c.
Ak sa strany zväčšia 4-krát, potom bude plocha nového trojuholníka c:

S2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pozri druhý riadok na obrázku nižšie)

Ako môžete vidieť, 4 je spoločný faktor, ktorý možno zo všetkých štyroch výrazov oddeliť podľa všeobecných pravidiel matematiky.
Potom

S2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)) - v treťom riadku obrázku
S2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)) - štvrtý riadok

Z čísla 256 je odmocnina dokonale vytiahnutá, takže ju vyberieme spod odmocniny
S2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c))
S2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pozri piaty riadok na obrázku nižšie)

Aby sme odpovedali na otázku položenú v probléme, stačí, aby sme rozdelili plochu výsledného trojuholníka plochou pôvodného trojuholníka.
Plošné pomery určíme rozdelením výrazov na seba a zmenšením výsledného zlomku.

Inštrukcia

strany a rohy sú považované za základné prvky A. Trojuholník je úplne definovaný ktorýmkoľvek z nasledujúcich základných prvkov: buď tri strany, alebo jedna strana a dva uhly, alebo dve strany a uhol medzi nimi. Pre existenciu trojuholník definované tromi stranami a, b, c, je potrebné a postačujúce, aby sa nerovnosti, nazývané nerovnosti trojuholník:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

Na stavbu trojuholník na troch stranách a, b, c je potrebné z bodu C úsečky CB=a kružidlom nakresliť kružnicu s polomerom b. Potom podobným spôsobom nakreslite kružnicu z bodu B s polomerom rovná strane c. Ich priesečník A je tretím vrcholom požadovaného trojuholník ABC, kde AB=c, CB=a, CA=b - strany trojuholník. Problém má, ak strany a, b, c vyhovujú nerovnostiam trojuholníkšpecifikované v kroku 1.

Plocha S je postavená týmto spôsobom trojuholník ABC s známe strany a, b, c sa vypočíta podľa Heronovho vzorca:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kde a, b, c sú strany trojuholník, p je semiperimeter.
p = (a+b+c)/2

Ak je trojuholník rovnostranný, to znamená, že všetky jeho strany sú rovnaké (a=b=c). trojuholník vypočítané podľa vzorca:
S=(a^2 v3)/4

Ak je trojuholník pravouhlý, to znamená, že jeden z jeho uhlov je 90 ° a strany, ktoré ho tvoria, sú nohy, tretia strana je prepona. V tomto prípade námestie sa rovná súčinu nôh deleného dvoma.
S = ab/2

Nájsť námestie trojuholník, môžete použiť jeden z mnohých vzorcov. Vyberte vzorec v závislosti od toho, aké údaje sú už známe.

Budete potrebovať

• znalosť vzorcov na nájdenie oblasti trojuholníka

Inštrukcia

Ak poznáte hodnotu jednej zo strán a hodnotu výšky zníženej na túto stranu z opačného rohu, potom môžete nájsť plochu pomocou nasledujúceho: S = a*h/2, kde S je plocha ​trojuholník, a je jedna zo strán trojuholníka a h - výška na stranu a.

Existuje známy spôsob, ako určiť plochu trojuholníka, ak sú známe tri jeho strany. Ona je Heronin vzorec. Na zjednodušenie jeho zaznamenávania sa zavádza stredná hodnota - polobvod: p \u003d (a + b + c) / 2, kde a, b, c - . Potom je Heronov vzorec nasledujúci: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ umocnenie.

Predpokladajme, že poznáte jednu zo strán trojuholníka a tri uhly. Potom je ľahké nájsť oblasť trojuholníka: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kde β je uhol opačnej strany a a α a γ sú uhly susediace so stranou.

Podobné videá

Poznámka

Najvšeobecnejší vzorec, ktorý je vhodný pre všetky prípady, je Heronov vzorec.

Zdroje:

Tip 3: Ako nájsť obsah trojuholníka s tromi stranami

Nájdenie oblasti trojuholníka je jednou z najbežnejších úloh v školskej planimetrii. Na určenie plochy akéhokoľvek trojuholníka stačí poznať tri strany trojuholníka. V špeciálnych prípadoch a rovnostranných trojuholníkoch stačí poznať dĺžky dvoch a jednej strany.

Budete potrebovať

• dĺžky strán trojuholníkov, Heronov vzorec, kosínusová veta

Inštrukcia

Heronov vzorec pre oblasť trojuholníka je nasledujúci: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ak nakreslíte semiperimeter p, dostanete: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Vzorec pre oblasť trojuholníka môžete odvodiť aj z úvah, napríklad použitím kosínusovej vety.

Podľa kosínusového zákona AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Pomocou zavedeného zápisu môžu byť tieto aj v tvare: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Preto cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Oblasť trojuholníka sa tiež nachádza podľa vzorca S = a*c*sin(ABC)/2 cez dve strany a uhol medzi nimi. Sínus uhla ABC je možné vyjadriť pomocou zákl trigonometrická identita: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Nahradením sínusu do vzorca pre oblasť a jeho vymaľovaním môžeme dospieť k vzorcu pre oblasť trojuholníka ABC.

Podobné videá

Pri opravách môže byť potrebné merať námestie steny. Je jednoduchšie vypočítať požadované množstvo farby alebo tapety. Na meranie je najlepšie použiť zvinovací meter alebo centimetrovú pásku. Merania by sa mali vykonať po steny boli zarovnané.

Budete potrebovať

• - ruleta;
• -rebrík.

Inštrukcia

Počítať námestie steny, musíte poznať presnú výšku stropov, ako aj zmerať dĺžku pozdĺž podlahy. Robí sa to takto: vezmite centimeter, položte ho cez sokel. Zvyčajne na celú dĺžku nestačí centimeter, preto ho zafixujte v rohu, potom rozviňte na maximálnu dĺžku. V tomto bode si ceruzkou zaznačte, zapíšte výsledok a rovnakým spôsobom vykonajte ďalšie meranie, začínajúc od posledného bodu merania.

Štandardné stropy v typických - 2 metre 80 centimetrov, 3 metre a 3 metre 20 centimetrov, v závislosti od domu. Ak bol dom postavený pred 50-tymi rokmi, potom je s najväčšou pravdepodobnosťou skutočná výška o niečo nižšia, ako je uvedené. Ak počítate námestie pre opravy, potom malá rezerva neublíži - zvážte na základe normy. Ak stále potrebujete poznať skutočnú výšku - vykonajte merania. Princíp je podobný ako pri meraní dĺžky, ale budete potrebovať rebrík.

Vynásobte výsledné čísla - to je námestie tvoj steny. Pravda, za maliarske práce alebo za to je potrebné ubrať námestie dverné a okenné otvory. Za týmto účelom položte centimeter pozdĺž otvoru. Ak hovoríme o dverách, ktoré sa chystáte neskôr meniť, potom to urobte s odstránenou zárubňou, len zvážte námestie samotné otvorenie. Plocha okna sa vypočíta pozdĺž obvodu jeho rámu. Po námestie vypočítané okno a dvere, odpočítajte výsledok od celkovej získanej plochy miestnosti.

Upozorňujeme, že merania dĺžky a šírky miestnosti sa vykonávajú spoločne, je jednoduchšie opraviť centimeter alebo pásku a podľa toho získať presnejší výsledok. Vykonajte rovnaké meranie niekoľkokrát, aby ste sa uistili, že získané čísla sú presné.

Podobné videá

Nájsť objem trojuholníka je skutočne netriviálna úloha. Faktom je, že trojuholník je dvojrozmerný obrazec, t.j. leží celý v jednej rovine, čo znamená, že jednoducho nemá objem. Samozrejme, nemôžete nájsť niečo, čo neexistuje. Ale nevzdávajme sa! Môžeme urobiť nasledujúci predpoklad - objem dvojrozmerného útvaru, toto je jeho plocha. Hľadáme oblasť trojuholníka.

Budete potrebovať

• list papiera, ceruzka, pravítko, kalkulačka

Inštrukcia

Nakreslite na list papiera pomocou pravítka a ceruzky. Starostlivým skúmaním trojuholníka sa môžete uistiť, že skutočne nemá, pretože je nakreslený v rovine. Označte strany trojuholníka: nech je jedna strana stranou „a“, druhá strana „b“ a tretia strana „c“. Označte vrcholy trojuholníka písmenami "A", "B" a "C".

Odmerajte ľubovoľnú stranu trojuholníka pomocou pravítka a zapíšte výsledok. Potom obnovte kolmicu na meranú stranu z opačného vrcholu, takáto kolmica bude výška trojuholníka. V prípade znázornenom na obrázku je kolmé "h" obnovené na stranu "c" z vrcholu "A". Zmerajte výslednú výšku pravítkom a zaznamenajte výsledok merania.

Môže sa stať, že len ťažko obnovíte presnú kolmicu. V tomto prípade by ste mali použiť iný vzorec. Zmerajte všetky strany trojuholníka pomocou pravítka. Potom vypočítajte polovicu obvodu trojuholníka "p" sčítaním výsledných dĺžok strán a delením ich súčtu na polovicu. Ak máte k dispozícii hodnotu polobvodu, môžete použiť vzorec Heron. Aby ste to dosiahli, musíte vziať druhú odmocninu z nasledujúceho: p(p-a)(p-b)(p-c).

Získali ste požadovanú oblasť trojuholníka. Problém nájdenia objemu trojuholníka nebol vyriešený, ale ako bolo uvedené vyššie, objem nie je . V 3D svete môžete nájsť objem, ktorý je v podstate trojuholníkom. Ak si predstavíme, že náš pôvodný trojuholník sa stal trojrozmernou pyramídou, potom bude objem takejto pyramídy súčinom dĺžky jej základne a plochy trojuholníka, ktorý sme dostali.

Poznámka

Výpočty budú presnejšie, čím starostlivejšie budete merania vykonávať.

Zdroje:

• All-to-All Calculator - Referenčný portál
• objem trojuholníka v roku 2019

Tri body, ktoré jednoznačne definujú trojuholník v karteziánskom súradnicovom systéme, sú jeho vrcholy. Keď poznáte ich polohu vzhľadom na každú zo súradnicových osí, môžete vypočítať akékoľvek jej parametre plochá postava, vrátane a ohraničené jej obvodom námestie. Dá sa to urobiť niekoľkými spôsobmi.

Inštrukcia

Na výpočet plochy použite Heronov vzorec trojuholník. Zahŕňa rozmery troch strán obrázku, takže začnite s výpočtami. Dĺžka každej strany sa musí rovnať odmocnine súčtu štvorcov dĺžok jej priemetov na súradnicových osiach. Ak označíme súradnice A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) a C(X₃,Y₃,Z₃), dĺžky ich strán môžeme vyjadriť takto: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z3)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2).

Pre zjednodušenie výpočtov zadajte pomocnú premennú - polobvod (P). Z toho je polovica súčtu dĺžok všetkých strán: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z3)²) + √((X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z₃) ²).

Ak chcete nájsť oblasť trojuholníka, môžete použiť rôzne vzorce. Zo všetkých metód je najjednoduchšie a najčastejšie používané vynásobenie výšky dĺžkou základne a následné delenie výsledku dvomi. Táto metóda však zďaleka nie je jediná. Nižšie si môžete prečítať, ako nájsť oblasť trojuholníka pomocou rôznych vzorcov.

Samostatne zvážime metódy na výpočet plochy špecifických typov trojuholníka - obdĺžnikového, rovnoramenného a rovnostranného. Každý vzorec sprevádzame krátkym vysvetlením, ktoré vám pomôže pochopiť jeho podstatu.

Univerzálne spôsoby, ako nájsť oblasť trojuholníka

Vzorce uvedené nižšie používajú špeciálnu notáciu. Rozlúštime každý z nich:

• a, b, c sú dĺžky troch strán obrazca, ktorý uvažujeme;
• r je polomer kruhu, ktorý možno vpísať do nášho trojuholníka;
• R je polomer kružnice, ktorú možno okolo nej opísať;
• α - hodnota uhla, ktorý zvierajú strany b a c;
• β je uhol medzi a a c;
• γ - hodnota uhla, ktorý zvierajú strany a a b;
• h je výška nášho trojuholníka zníženého z uhla α na stranu a;
• p je polovica súčtu strán a, b a c.

Je logicky jasné, prečo môžete týmto spôsobom nájsť oblasť trojuholníka. Trojuholník sa dá ľahko doplniť na rovnobežník, v ktorom jedna strana trojuholníka bude pôsobiť ako uhlopriečka. Plocha rovnobežníka sa zistí vynásobením dĺžky jednej z jeho strán hodnotou výšky, ktorá je k nemu nakreslená. Uhlopriečka rozdeľuje tento podmienený rovnobežník na 2 rovnaké trojuholníky. Preto je celkom zrejmé, že plocha nášho pôvodného trojuholníka by sa mala rovnať polovici plochy tohto pomocného rovnobežníka.

S = ½ a b sin γ

Podľa tohto vzorca sa plocha trojuholníka zistí vynásobením dĺžok jeho dvoch strán, to znamená a a b, sínusom uhla, ktorý zvierajú. Tento vzorec je logicky odvodený od predchádzajúceho. Ak znížime výšku z uhla β na stranu b, potom podľa vlastností pravouhlého trojuholníka pri vynásobení dĺžky strany a sínusom uhla γ dostaneme výšku trojuholníka, teda h.

Oblasť uvažovaného obrázku sa zistí vynásobením polovice polomeru kruhu, ktorý môže byť vpísaný, jeho obvodom. Inými slovami, nájdeme súčin semiperimetra a polomeru spomínanej kružnice.

S = abc/4R

Podľa tohto vzorca hodnotu, ktorú potrebujeme, nájdeme vydelením súčinu strán obrazca 4 polomermi kružnice, ktorá je okolo neho opísaná.

Tieto vzorce sú univerzálne, pretože umožňujú určiť plochu akéhokoľvek trojuholníka (scalene, rovnoramenný, rovnostranný, pravouhlý). Dá sa to urobiť pomocou zložitejších výpočtov, ktorými sa nebudeme podrobne zaoberať.

Oblasti trojuholníkov so špecifickými vlastnosťami

Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka? Charakteristickým rysom tohto obrázku je, že jeho dve strany sú súčasne jeho výškami. Ak a a b sú nohy a c sa stane preponou, potom sa oblasť nájde takto:

Ako nájsť oblasť rovnoramenného trojuholníka? Má dve strany s dĺžkou a a jednu stranu s dĺžkou b. Preto jeho obsah možno určiť vydelením 2 súčinu druhej mocniny strany a sínusom uhla γ.

Ako nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka? V ňom je dĺžka všetkých strán a a hodnota všetkých uhlov je α. Jeho výška je polovicou súčinu dĺžky strany krát odmocnina z 3. Ak chcete nájsť obsah pravidelného trojuholníka, potrebujete druhú mocninu strany a vynásobenú druhou odmocninou z 3 a vydelenú 4.

Trojuholník je známa postava. A to aj napriek bohatej rozmanitosti jeho foriem. Obdĺžnikové, rovnostranné, ostré, rovnoramenné, tupé. Každý z nich je niečím iný. Ale pre každého je potrebné poznať oblasť trojuholníka.

Spoločné vzorce pre všetky trojuholníky, ktoré používajú dĺžky strán alebo výšky

Označenia prijaté v nich: strany - a, b, c; výšky na zodpovedajúcich stranách na a, n in, n s.

1. Plocha trojuholníka sa vypočíta ako súčin ½, strany a výšky naň spustenej. S = ½ * a * n a. Podobne by sa mali napísať vzorce pre ďalšie dve strany.

2. Heronov vzorec, v ktorom vystupuje polobvod (je zvykom ho označovať malým písmenom p, na rozdiel od celého obvodu). Polobvod sa musí vypočítať takto: spočítajte všetky strany a vydeľte ich 2. Vzorec polobvodu: p \u003d (a + b + c) / 2. Potom rovnosť pre oblasť \ Obrázok vyzerá takto: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Ak nechcete použiť polobvod, bude sa vám hodiť takýto vzorec, v ktorom sú prítomné iba dĺžky strán: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( b + c - a) * (a + c - c) * (a + b - c)). Je o niečo dlhší ako predchádzajúci, ale pomôže vám, ak ste zabudli nájsť polobvod.

Všeobecné vzorce, v ktorých sa objavujú uhly trojuholníka

Zápis, ktorý je potrebný na čítanie vzorcov: α, β, γ - uhly. Ležia na opačných stranách a, b, c.

1. Podľa neho sa polovica súčinu dvoch strán a sínus uhla medzi nimi rovná ploche trojuholníka. To znamená: S = ½ a * b * sin γ. Vzorce pre ďalšie dva prípady by mali byť napísané podobným spôsobom.

2. Plochu trojuholníka je možné vypočítať z jednej strany a troch známych uhlov. S \u003d (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Existuje aj vzorec s jednou známou stranou a dvoma uhlami, ktoré k nej priliehajú. Vyzerá to takto: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Posledné dva vzorce nie sú najjednoduchšie. Je dosť ťažké si ich zapamätať.

Všeobecné vzorce pre situáciu, keď sú známe polomery vpísaných alebo opísaných kružníc

Ďalšie označenia: r, R — polomery. Prvý sa používa pre polomer vpísanej kružnice. Druhá je pre tú opísanú.

1. Prvý vzorec, podľa ktorého sa vypočítava plocha trojuholníka, súvisí s polobvodom. S = r * r. Iným spôsobom to možno napísať takto: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. V druhom prípade budete musieť vynásobiť všetky strany trojuholníka a rozdeliť ich štvornásobným polomerom opísanej kružnice. Doslovne to vyzerá takto: S \u003d (a * b * c) / (4R).

3. Tretia situácia vám umožňuje robiť bez znalosti strán, ale potrebujete hodnoty všetkých troch uhlov. S \u003d 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Špeciálny prípad: pravouhlý trojuholník

Toto je najjednoduchšia situácia, pretože je potrebná iba dĺžka oboch nôh. Označujú sa latinskými písmenami a a b. Plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici plochy pridaného obdĺžnika.

Matematicky to vyzerá takto: S = ½ a * b. Je najľahšie zapamätateľná. Pretože to vyzerá ako vzorec pre oblasť obdĺžnika, zobrazí sa iba zlomok, ktorý označuje polovicu.

Špeciálny prípad: rovnoramenný trojuholník

Keďže jeho dve strany sú rovnaké, niektoré vzorce pre jeho plochu vyzerajú trochu zjednodušene. Napríklad Heronov vzorec, ktorý vypočítava plochu rovnoramenného trojuholníka, má nasledujúcu formu:

S = ½ palca √((a + ½ palca)*(a - ½ palca)).

Ak ho prevediete, skráti sa. V tomto prípade je Heronov vzorec pre rovnoramenný trojuholník napísaný takto:

S = ¼ v √(4 * a 2 - b 2).

Plošný vzorec vyzerá o niečo jednoduchšie ako pre ľubovoľný trojuholník, ak sú známe strany a uhol medzi nimi. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Špeciálny prípad: rovnostranný trojuholník

Zvyčajne je v problémoch o ňom strana známa alebo môže byť nejako rozpoznaná. Potom vzorec na nájdenie oblasti takéhoto trojuholníka je nasledujúci:

S = (a 2 √3) / 4.

Úlohy na nájdenie oblasti, ak je trojuholník zobrazený na kockovanom papieri

Najjednoduchšia situácia je, keď je pravouhlý trojuholník nakreslený tak, že jeho nohy sa zhodujú s čiarami papiera. Potom stačí spočítať počet buniek, ktoré sa zmestia do nôh. Potom ich vynásobte a vydeľte dvoma.

Keď je trojuholník ostrý alebo tupý, musí byť nakreslený do obdĺžnika. Potom na výslednom obrázku budú 3 trojuholníky. Jeden je ten, ktorý je uvedený v úlohe. A ďalšie dva sú pomocné a obdĺžnikové. Plochy posledných dvoch sa musia určiť vyššie opísanou metódou. Potom vypočítajte plochu obdĺžnika a odpočítajte od nej hodnoty vypočítané pre pomocné. Oblasť trojuholníka je určená.

Oveľa zložitejšia je situácia, v ktorej sa žiadna zo strán trojuholníka nezhoduje s čiarami papiera. Potom musí byť vpísaný do obdĺžnika tak, aby vrcholy pôvodného obrázku ležali na jeho stranách. V tomto prípade budú tri pomocné pravouhlé trojuholníky.

Príklad problému na Heronovom vzorci

Podmienka. Niektorý trojuholník má strany. Sú rovné 3, 5 a 6 cm.Je potrebné zistiť jeho plochu.

Teraz môžete vypočítať plochu trojuholníka pomocou vyššie uvedeného vzorca. Pod druhou odmocninou je súčin štyroch čísel: 7, 4, 2 a 1. To znamená, že plocha je √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Ak nepotrebujete väčšiu presnosť, môžete použiť druhú odmocninu zo 14. Je to 3,74. Potom sa plocha bude rovnať 7,48.

Odpoveď. S \u003d 2 √14 cm 2 alebo 7,48 cm 2.

Príklad problému s pravouhlým trojuholníkom

Podmienka. Jedna vetva pravouhlého trojuholníka je o 31 cm dlhšia ako druhá. Ak je plocha trojuholníka 180 cm 2, je potrebné zistiť ich dĺžku.
Riešenie. Musíte vyriešiť systém dvoch rovníc. Prvý súvisí s oblasťou. Druhý je s pomerom nôh, ktorý je daný v úlohe.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Po prvé, hodnota "a" musí byť dosadená do prvej rovnice. Ukazuje sa: 180 \u003d ½ (v + 31) * palcov. Má len jednu neznámu veličinu, takže je ľahké ho vyriešiť. Po otvorení zátvoriek dostaneme kvadratická rovnica: v 2 + 31 in - 360 = 0. Pre "in" dáva dve hodnoty: 9 a - 40. Druhé číslo nie je vhodné ako odpoveď, pretože dĺžka strany trojuholníka nemôže byť záporná hodnotu.

Zostáva vypočítať druhú časť: k výslednému číslu pridajte 31. Ukáže sa 40. Toto sú množstvá, ktoré sa hľadajú v úlohe.

Odpoveď. Nohy trojuholníka sú 9 a 40 cm.

Úlohou nájsť stranu cez plochu, stranu a uhol trojuholníka

Podmienka. Plocha niektorého trojuholníka je 60 cm2. Je potrebné vypočítať jednu z jej strán, ak je druhá strana 15 cm a uhol medzi nimi je 30 °.

Riešenie. Na základe prijatých označení požadovaná strana "a", známa "b", vopred určený uhol"γ". Potom je možné vzorec oblasti prepísať takto:

60 \u003d ½ a * 15 * sin 30º. Tu je sínus 30 stupňov 0,5.

Po transformáciách sa "a" rovná 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odpoveď. Požadovaná strana je 16 cm.

Problém štvorca vpísaného do pravouhlého trojuholníka

Podmienka. Vrchol štvorca so stranou 24 cm sa zhoduje s pravým uhlom trojuholníka. Ďalšie dve ležia na nohách. Tretia patrí prepone. Dĺžka jednej z nôh je 42 cm. Aká je plocha pravouhlého trojuholníka?

Riešenie. Zvážte dve správny trojuholník. Prvý je špecifikovaný v úlohe. Druhý je založený na známej nohe pôvodného trojuholníka. Sú podobné, pretože majú spoločný uhol a sú tvorené rovnobežnými čiarami.

Potom sú pomery ich nôh rovnaké. Nohy menšieho trojuholníka sú 24 cm (strana štvorca) a 18 cm (daná noha 42 cm mínus strana štvorca 24 cm). Zodpovedajúce nohy veľkého trojuholníka sú 42 cm a x cm. Práve toto "x" je potrebné na výpočet plochy trojuholníka.

18/42 \u003d 24 / x, to znamená x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Potom sa plocha rovná súčinu 56 a 42, delené dvoma, to znamená 1176 cm2.

Odpoveď. Požadovaná plocha je 1176 cm2.

Pojem oblasti

Pojem plochy akéhokoľvek geometrického útvaru, najmä trojuholníka, bude spojený s takým útvarom ako štvorec. Pre jednotku plochy akéhokoľvek geometrického útvaru vezmeme plochu štvorca, ktorého strana sa rovná jednej. Pre úplnosť pripomíname dve základné vlastnosti pre pojem plochy geometrických útvarov.

Vlastnosť 1: Ak geometrické obrazce sú rovnaké, ich plochy sú tiež rovnaké.

Vlastnosť 2: Akákoľvek figúrka sa dá rozdeliť na niekoľko figúrok. Okrem toho sa plocha pôvodnej figúry rovná súčtu hodnôt plôch všetkých figúrok, ktoré ju tvoria.

Zvážte príklad.

Príklad 1

Je zrejmé, že jedna zo strán trojuholníka je uhlopriečka obdĺžnika , ktorý má jednu stranu dĺžku $5$ (od $5$ buniek) a druhú $6$ (od $6$ buniek). Preto sa plocha tohto trojuholníka bude rovnať polovici takého obdĺžnika. Plocha obdĺžnika je

Potom je plocha trojuholníka

Odpoveď: 15 $.

Ďalej zvážte niekoľko metód na nájdenie oblastí trojuholníkov, konkrétne pomocou výšky a základne, pomocou Heronovho vzorca a plochy rovnostranného trojuholníka.

Ako nájsť oblasť trojuholníka pomocou výšky a základne

Veta 1

Plochu trojuholníka možno nájsť ako polovicu súčinu dĺžky strany krát výšky nakreslenej na túto stranu.

Matematicky to vyzerá takto

$S=\frac(1)(2)αh$

kde $a$ je dĺžka strany, $h$ je výška k nej nakreslená.

Dôkaz.

Uvažujme trojuholník $ABC$, kde $AC=α$. Výška $BH$ je nakreslená na túto stranu a rovná sa $h$. Postavme to do štvorca $AXYC$ ako na obrázku 2.

Plocha obdĺžnika $AXBH$ je $h\cdot AH$ a plocha obdĺžnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Potom

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Preto sa požadovaná oblasť trojuholníka podľa vlastnosti 2 rovná

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Veta bola dokázaná.

Príklad 2

Nájdite oblasť trojuholníka na obrázku nižšie, ak má bunka plochu rovnú jednej

Základňa tohto trojuholníka je 9 $ (pretože 9 $ sú bunky 9 $). Výška je tiež 9 $. Potom podľa vety 1 dostaneme

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odpoveď: 40,5 $.

Heronov vzorec

Veta 2

Ak dostaneme tri strany trojuholníka $α$, $β$ a $γ$, potom jeho obsah možno nájsť takto

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tu $ρ$ znamená polovicu obvodu tohto trojuholníka.

Dôkaz.

Zvážte nasledujúci obrázok:

Pytagorovou vetou získame z trojuholníka $ABH$

Z trojuholníka $CBH$ podľa Pytagorovej vety máme

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Z týchto dvoch vzťahov získame rovnosť

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Keďže $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potom $α+β+γ=2ρ$, teda

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Podľa vety 1 dostaneme

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$