Objem rotačného telesa okolo osi x je parametrický. Výpočet plochy obrazca ohraničeného parametricky definovanou krivkou. Výpočet objemu telesa vytvoreného rotáciou plochého útvaru okolo osi

Sekcie: Matematika

Typ lekcie: kombinovaná.

Účel lekcie: naučiť sa počítať objemy rotačných telies pomocou integrálov.

Úlohy:

upevniť schopnosť vybrať krivočiare lichobežníky z množstva geometrických tvarov a rozvíjať zručnosť výpočtu plôch krivočiarych lichobežníkov;
zoznámiť sa s pojmom trojrozmerná postava;
naučiť sa počítať objemy rotačných telies;
prispieť k rozvoju logické myslenie, kompetentná matematická reč, presnosť pri konštrukcii výkresov;
pestovať záujem o predmet, pracovať s matematickými pojmami a obrazmi, pestovať vôľu, samostatnosť, vytrvalosť pri dosahovaní konečného výsledku.

Počas vyučovania

I. Organizačný moment.

Skupinový pozdrav. Komunikácia študentov o cieľoch vyučovacej hodiny.

Reflexia. Pokojná melódia.

Dnešnú lekciu by som chcel začať podobenstvom. „Bol jeden múdry muž, ktorý vedel všetko. Jedna osoba chcela dokázať, že mudrc nevie všetko. Chytil motýľa v rukách a spýtal sa: „Povedz mi, mudrc, ktorý motýľ je v mojich rukách: mŕtvy alebo živý? A on sám si myslí: Ak povie živá, zabijem ju, ak povie mŕtva, pustím ju von. Mudrc zamyslený odpovedal: „Všetko vo vašich rukách“. (Prezentácia.Šmykľavka)

- Pracujme preto dnes plodne, získajme novú zásobáreň vedomostí a nadobudnuté zručnosti a schopnosti uplatníme v neskoršom veku a v praktickej činnosti. „Všetko vo vašich rukách“.

II. Opakovanie predtým naučeného učiva.

Pozrime sa na hlavné body predtým študovaného materiálu. Aby sme to urobili, urobme úlohu "Odstráň nadbytočné slovo."(Šmykľavka.)

(Študent ide do I.D. pomocou gumy odstráni nadbytočné slovo.)

- Správny "Diferenciálny". Pokúste sa pomenovať zostávajúce slová jedným bežným slovom. (Integrovaný počet.)

- Pripomeňme si hlavné fázy a koncepty súvisiace s integrálnym počtom ..

"Matematická partia".

Cvičenie. Obnoviť preukazy. (Študent vyjde a perom napíše potrebné slová.)

- Neskôr si vypočujeme správu o aplikácii integrálov.

Práca v zošitoch.

– Newtonov-Leibnizov vzorec vyvinuli anglický fyzik Isaac Newton (1643–1727) a nemecký filozof Gottfried Leibniz (1646–1716). A to nie je prekvapujúce, pretože matematika je jazyk, ktorým hovorí samotná príroda.

– Zvážte, ako sa tento vzorec používa pri riešení praktických úloh.

Príklad 1: Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami

Riešenie: Stavte na súradnicová rovina funkčné grafy . Vyberte oblasť obrázku, ktorú chcete nájsť.

III. Učenie sa nového materiálu.

- Venujte pozornosť obrazovke. Čo je zobrazené na prvom obrázku? (Šmykľavka) (Obrázok znázorňuje plochý obrázok.)

Čo je zobrazené na druhom obrázku? Je toto číslo ploché? (Šmykľavka) (Obrázok zobrazuje trojrozmerný obrázok.)

vo vesmíre, na zemi a vo vnútri Každodenný život stretávame sa nielen s plochými postavami, ale aj s trojrozmernými, ale ako vypočítať objem takýchto telies? Napríklad objem planéty, kométy, meteoritu atď.

– Zamyslite sa nad objemom a stavbou domov a prelievaním vody z jednej nádoby do druhej. Pravidlá a metódy na výpočet objemov mali vzniknúť, iná vec je, nakoľko boli presné a opodstatnené.

Študentská správa. (Tyurina Vera.)

Rok 1612 bol pre obyvateľov rakúskeho mesta Linz, kde žil vtedy slávny astronóm Johannes Kepler, veľmi plodný najmä na hrozno. Ľudia pripravovali sudy na víno a chceli vedieť prakticky určiť ich objemy. (Snímka 2)

- Uvažované Keplerove diela tak znamenali začiatok celého prúdu bádania, ktorý vyvrcholil v poslednej štvrtine 17. storočia. dizajn v dielach I. Newtona a G.V. Leibnizov diferenciálny a integrálny počet. Od tej doby matematika magnitúdových premenných zaujala popredné miesto v systéme matematických vedomostí.

- Dnes sa teda budeme venovať takým praktickým činnostiam,

Téma našej lekcie: "Výpočet objemov rotačných telies pomocou určitého integrálu." (Šmykľavka)

- Definíciu revolučného telesa sa naučíte splnením nasledujúcej úlohy.

"Labyrint".

Labyrint (grécke slovo) znamená prechod do žalára. Labyrint je zložitá sieť ciest, priechodov, miestností, ktoré spolu komunikujú.

Ale definícia „havarovala“, existovali rady vo forme šípok.

Cvičenie. Nájdite východisko z neprehľadnej situácie a zapíšte si definíciu.

Šmykľavka. „Karta s pokynmi“ Výpočet objemov.

Pomocou určitého integrálu môžete vypočítať objem telesa, najmä rotačného telesa.

Rotačné teleso je teleso získané otáčaním krivočiareho lichobežníka okolo jeho základne (obr. 1, 2)

Objem rotačného telesa sa vypočíta podľa jedného zo vzorcov:

1. okolo osi x.

2. , ak rotácia krivočiareho lichobežníka okolo osi y.

Každý študent dostane kartičku s pokynmi. Učiteľ zdôrazňuje hlavné body.

Učiteľ vysvetlí riešenie príkladov na tabuli.

Zoberme si úryvok zo slávnej rozprávky A. S. Puškina „Príbeh cára Saltana, jeho slávneho a mocného syna princa Gvidona Saltanoviča a krásnej princeznej Lebed“ (Snímka 4):

…..
A priniesol opitého posla
V ten istý deň je objednávka:
„Cár prikazuje svojim bojarom,
Nestrácajte čas,
A kráľovná a potomstvo
Tajne hodený do priepasti vôd."
Nie je čo robiť: bojari,
Smútiac za panovníkom
A mladá kráľovná
Do jej spálne prišiel dav.
Vyhlásil kráľovskú vôľu -
Ona a jej syn majú zlý osud,
Prečítajte si vyhlášku nahlas
A zároveň kráľovná
Dali ma do suda s mojím synom,
Vymodlené, vyvalené
A pustili ma do Okianu -
Tak nariadil de Tsar Saltan.

Aký by mal byť objem suda, aby sa doň vošla kráľovná aj jej syn?

– Zvážte nasledujúce úlohy

1. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi y krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Odpoveď: 1163 cm 3 .

Nájdite objem telesa získaný rotáciou parabolického lichobežníka okolo úsečky y = , x = 4, y = 0.

IV. Fixácia nového materiálu

Príklad 2. Vypočítajte objem telesa vytvoreného rotáciou okvetného lístka okolo osi x y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Nakreslíme grafy funkcie. y=x2, y2=x. Rozvrh y2 = x transformovať do formy r= .

Máme V \u003d V 1 – V 2 Vypočítajme objem každej funkcie

- Teraz sa pozrime na vežu pre rozhlasovú stanicu v Moskve na Šabolovke, postavenú podľa projektu úžasného ruského inžiniera, čestného akademika V. G. Shukhova. Skladá sa z častí - hyperboloidov revolúcie. Každý z nich je navyše vyrobený z priamočiarych kovových tyčí spájajúcich susedné kruhy (obr. 8, 9).

- Zvážte problém.

Nájdite objem telesa získaný otáčaním oblúkov hyperboly okolo svojej pomyselnej osi, ako je znázornené na obr. 8, kde

kocka Jednotky

Skupinové úlohy. Žiaci losujú úlohy, kreslia sa na papier Whatman, prácu obhajuje jeden zo zástupcov skupiny.

1. skupina.

Hit! Hit! Ďalší zásah!
Lopta letí do brány - LOPTA!
A toto je melónová guľa
Zelené, okrúhle, chutné.
Vyzerajte lepšie - aká lopta!
Skladá sa z kruhov.
Vodový melón nakrájame na kolieska
A ochutnajte ich.

Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi OX funkcie ohraničenej o

Chyba! Záložka nie je definovaná.

- Povedzte mi, prosím, kde sa stretávame s touto postavou?

Dom. úloha pre skupinu 1. VALEC (šmykľavka) .

"Valec - čo to je?" spýtal som sa otca.
Otec sa zasmial: Cylindr je klobúk.
Mať reprezentácia je správna,
Valec, povedzme, je plechovka.
Rúrka parníka je valec,
Aj potrubie na našej streche,

Všetky potrubia sú podobné valcom.
A dal som takýto príklad -
Môj milovaný kaleidoskop
Nemôžeš z neho spustiť oči.
Vyzerá tiež ako valec.

- Cvičenie. Domáca úloha nakreslite funkciu a vypočítajte objem.

2. skupina. KUŽEL (šmykľavka).

Mama povedala: A teraz
O kornútku bude môj príbeh.
Stargazer vo vysokej čiapke
Počíta hviezdy po celý rok.
KUŽEL - hviezdny klobúk.
Taký je. pochopené? To je všetko.
Mama bola pri stole
Naliala olej do fliaš.
- Kde je lievik? Žiadny lievik.
Pozri. Nestojte na okraji.
- Mami, nepohnem sa z miesta,
Povedz mi viac o kuželi.
- Lievik má tvar kužeľa napájadla.
Poď, rýchlo ma nájdi.
Nevedel som nájsť lievik
Ale mama urobila tašku,
Omotajte si lepenku okolo prsta
A šikovne upevnené sponkou.
Olej sa leje, mama sa teší
Kužeľ vyšiel tak akurát.

Cvičenie. Vypočítajte objem telesa získaný rotáciou okolo osi x

Dom. úloha pre 2. skupinu. PYRAMÍDA(šmykľavka).

Videl som obrázok. Na tomto obrázku
V piesočnatej púšti je PYRAMÍDA.
Všetko v pyramíde je výnimočné,
Je v tom akési tajomno a tajomno.
Spasská veža na Červenom námestí
Známe sú deti aj dospelí.
Pozrite sa na vežu - obyčajný vzhľad,
Čo je na nej? Pyramída!

Cvičenie. Domáca úloha nakreslite funkciu a vypočítajte objem pyramídy

- Objemy rôznych telies sme vypočítali na základe základného vzorca pre objemy telies pomocou integrálu.

Toto je ďalšie potvrdenie, že určitý integrál je určitým základom pre štúdium matematiky.

"Teraz si poďme odpočinúť."

Nájdite pár.

Hraje sa matematická domino melódia.

"Cesta, ktorú on sám hľadal, nikdy nebude zabudnutá ..."

Výskumná práca. Aplikácia integrálu v ekonomike a technike.

Testy pre silných študentov a matematický futbal.

Simulátor matematiky.

2. Volá sa množina všetkých primitívnych prvkov danej funkcie

A) neurčitý integrál

B) funkcia,

B) diferenciácia.

7. Nájdite objem telesa získaný rotáciou okolo osi x krivočiareho lichobežníka ohraničeného priamkami:

D/Z. Vypočítajte objemy rotačných telies.

Reflexia.

Prijatie odrazu vo forme cinquain(päť riadkov).

1. riadok - názov témy (jedno podstatné meno).

2. riadok - popis témy v skratke, dve prídavné mená.

3. riadok - popis akcie v rámci tejto témy v troch slovách.

4. riadok - fráza zo štyroch slov, ukazuje postoj k téme (celá veta).

5. riadok je synonymum, ktoré opakuje podstatu témy.

Objem.
Určitý integrál, integrovateľná funkcia.
Staviame, otáčame, počítame.
Teleso získané otáčaním krivočiareho lichobežníka (okolo jeho základne).
Rotačné teleso (3D geometrické teleso).

Záver (šmykľavka).

Určitý integrál je akýmsi základom pre štúdium matematiky, ktorý je nevyhnutným príspevkom k riešeniu problémov praktického obsahu.
Téma „Integrál“ názorne demonštruje prepojenie matematiky a fyziky, biológie, ekonómie a techniky.
rozvoj moderná veda nemysliteľné bez použitia integrálu. V tomto smere je potrebné začať ju študovať v rámci stredného odborného vzdelávania!

Klasifikácia. (S komentárom.)

Veľký Omar Khayyam je matematik, básnik a filozof. Volá byť pánmi svojho osudu. Vypočujte si úryvok z jeho tvorby:

Hovoríš, že tento život je len okamih.
Vážte si to, čerpajte z toho inšpiráciu.
Ako to miniete, tak to prejde.
Nezabudnite: ona je vaším výtvorom.

Nájdime objem telesa vytvorený rotáciou cykloidného oblúka okolo jeho základne. Roberval ho našiel tak, že výsledné vajcovité teleso (obr. 5.1) rozbil na nekonečne tenké vrstvy, do týchto vrstiev vpísal valce a sčítal ich objemy. Dôkaz je dlhý, únavný a nie úplne prísny. Na jej výpočet sa preto obrátime na vyššiu matematiku. Stanovme cykloidnú rovnicu parametricky.

V integrálnom počte pri štúdiu zväzkov používa nasledujúcu poznámku:

Ak krivka ohraničujúca krivočiary lichobežník je daná parametrickými rovnicami a funkcie v týchto rovniciach spĺňajú podmienky vety o zmene premennej v určitom integráli, potom objem rotujúceho telesa lichobežníka okolo osi Ox bude vypočíta sa podľa vzorca:

Pomocou tohto vzorca nájdeme objem, ktorý potrebujeme.

Rovnakým spôsobom vypočítame povrch tohto telesa.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - cena), 0 ? t ? 2R)

V integrálnom počte existuje nasledujúci vzorec na nájdenie plochy povrchu rotačného telesa okolo osi x krivky špecifikovanej na segmente parametricky (t 0 ? t ? t 1):

Aplikovaním tohto vzorca na našu cykloidnú rovnicu dostaneme:

Zvážte aj iný povrch vytvorený rotáciou cykloidného oblúka. K tomu postavíme zrkadlový odraz cykloidného oblúka vzhľadom na jeho základňu a oválnu postavu tvorenú cykloidou a jej odrazom otočíme okolo osi KT (obr. 5.2)

Najprv nájdime objem telesa, ktorý vznikol rotáciou cykloidného oblúka okolo osi KT. Jeho objem sa vypočíta podľa vzorca (*):

Takto sme vypočítali objem polovice tohto tela repy. Potom bude celkový objem

Zvážte príklady použitia získaného vzorca, ktorý vám umožňuje vypočítať plochy obrázkov ohraničené parametricky špecifikovanými čiarami.

Príklad.

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarou, ktorej parametrické rovnice vyzerajú ako .

Riešenie.

V našom príklade je parametricky definovaná čiara elipsa s poloosami 2 a 3 jednotky. Poďme si to postaviť.

Nájdite oblasť štvrtiny elipsy umiestnenej v prvom kvadrante. Táto oblasť leží v intervale . Plochu celého obrázku vypočítame vynásobením výslednej hodnoty štyrmi.

Čo máme:

Pre k = 0 dostaneme interval . Na tomto intervale je funkcia monotónne klesá (pozri časť ). Použijeme vzorec na výpočet plochy a nájdeme určitý integrál pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca:

Takže plocha pôvodnej postavy je .

Komentujte.

Vzniká logická otázka: prečo sme vzali štvrtinu elipsy a nie polovicu? Bolo možné uvažovať o hornej (alebo dolnej) polovici postavy. Je v dosahu . Pre tento prípad by sme mali

To znamená, že pre k = 0 dostaneme interval . Na tomto intervale je funkcia monotónne klesá.

Potom je plocha polovice elipsy daná

Ale pravá alebo ľavá polovica elipsy sa nedá vziať.

Parametrická reprezentácia elipsy so stredom v počiatku a poloosi aab má tvar . Ak budeme konať rovnakým spôsobom ako v analyzovanom príklade, dostaneme vzorec na výpočet plochy elipsy .

Kružnica so stredom v počiatku súradníc polomeru R cez parameter t je daná sústavou rovníc. Ak použijeme získaný vzorec pre oblasť elipsy, môžeme okamžite písať vzorec na nájdenie oblasti kruhu polomer R:.

Vyriešme ešte jeden príklad.

Príklad.

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú parametricky zadanou krivkou.

Riešenie.

Pri pohľade trochu dopredu je krivka „predĺžený“ astroid. (Astroid má nasledujúce parametrické znázornenie).

Zastavme sa podrobne pri konštrukcii krivky ohraničujúcej postavu. Postavíme ho bod po bode. Zvyčajne takáto konštrukcia postačuje na vyriešenie väčšiny problémov. Vo viac ťažké prípady, nepochybne podrobná štúdia parametrických danú funkciu pomocou diferenciálneho počtu.

V našom príklade.

Tieto funkcie sú definované pre všetky reálne hodnoty parametra t a z vlastností sínusu a kosínusu vieme, že sú periodické s periódou dvoch pi. Teda výpočet hodnôt funkcií pre niektorých (Napríklad ), získame množinu bodov .

Pre pohodlie zadáme hodnoty do tabuľky:

Označíme body na rovine a POSTUPNE ich spojíme čiarou.

Vypočítajme plochu oblasti umiestnenú v prvom súradnicovom štvrťroku. Pre túto oblasť .

O k=0 dostaneme interval , na ktorom je funkcia klesá monotónne. Na nájdenie oblasti použijeme vzorec:

Prijaté určité integrály vypočítame pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca a nájdeme primitívne deriváty pre Newtonov-Leibnizov vzorec pomocou rekurzívneho vzorca v tvare , Kde .

Preto je plocha štvrtiny obrázku , potom sa plocha celej postavy rovná .

Podobne sa to dá ukázať astroidná oblasť nachádza sa ako a plocha obrázku ohraničená čiarou sa vypočíta podľa vzorca .

Zdravím vás, milí študenti Argemony University!

Trochu viac - a kurz bude dokončený a teraz to urobíme.

Zhouli mierne mávla rukou – a vo vzduchu sa objavila postava. Alebo skôr, bol to obdĺžnikový lichobežník. Jednoducho visel vo vzduchu, vytváral ho magická energia, ktorá prúdila po jeho bokoch, a víril aj vnútri samotného lichobežníka, vďaka čomu sa trblietal a trblietal.
Potom učiteľka mierne nápadne urobila kruhový pohyb prstami - a lichobežník sa začal otáčať okolo neviditeľnej osi. Najprv pomaly, potom rýchlejšie a rýchlejšie - takže sa vo vzduchu začala jasne objavovať objemová postava. Mala pocit, akoby ňou prúdila magická energia.

Potom sa stalo toto: trblietavé kontúry postavy a jej vnútro sa začali napĺňať nejakou hmotou, žiara bola čoraz menej nápadná, ale samotná postava vyzerala čoraz viac ako niečo hmatateľné. Zrná materiálu boli rovnomerne rozložené na obrázku. A teraz je po všetkom: rotácia aj žiara. Vo vzduchu visel predmet pripomínajúci lievik. Zhouli ho jemne presunul na stôl.

Nech sa páči. Niečo také dokáže zhmotniť mnohé predmety – otáčaním niektorých plochých figúrok okolo pomyselných čiar. Samozrejme, na materializáciu je potrebné určité množstvo hmoty, ktorá vyplní celý vytvorený a dočasne držaný objem pomocou magickej energie. Ale aby ste presne vypočítali, koľko látky je potrebné, musíte poznať aj objem výsledného telesa. V opačnom prípade, ak je látka malá, nevyplní celý objem a telo sa môže ukázať ako krehké, s chybami. A zhmotniť a ešte udržať veľký prebytok hmoty je zbytočným výdajom magickej energie.
Ale čo keď máme obmedzené množstvo látky? Potom, keď vieme, ako vypočítať objemy tiel, môžeme odhadnúť, aké veľké telo dokážeme vyrobiť bez veľkého vynaloženia magickej energie.
Čo sa týka prebytku priťahovaného materiálu, je tu ešte jedna myšlienka. Kam ide prebytočná hmota? Rozpadajú sa, keď sa nepoužívajú? Alebo sa aj tak držať pri tele?
Vo všeobecnosti je stále o čom premýšľať. Ak máte nejaké myšlienky, rád si ich vypočujem. Medzitým prejdime k výpočtu objemov takto získaných telies.
Tu sa uvažuje o niekoľkých prípadoch.

Prípad 1

Oblasť, ktorú budeme otáčať, je najklasickejší krivočiary lichobežník.

Prirodzene ho môžeme otáčať len okolo osi OX. Ak sa tento lichobežník posunie vodorovne doprava tak, aby nepretínal os OY, potom sa môže otáčať okolo tejto osi. Zaklínacie vzorce pre oba prípady sú nasledovné:

Základné magické efekty na funkcie sme si už celkom dobre osvojili, takže si myslím, že pre vás nebude ťažké v prípade potreby posunúť figúrku v súradnicových osiach tak, aby bola umiestnená vhodne na prácu s ňou. .

Prípad 2

Môžete otáčať nielen klasický krivočiary lichobežník, ale aj postavu ako je táto:

Pri otáčaní dostaneme akýsi prsteň. A posunutím figúrky do kladnej oblasti ju môžeme aj otáčať okolo osi OY. Dostaneme aj prsteň alebo nie. Všetko závisí od toho, ako bude obrázok umiestnený: ak jeho ľavý okraj prechádza presne pozdĺž osi OY, krúžok nebude fungovať. Objemy takýchto rotačných telies môžete vypočítať pomocou nasledujúcich kúziel:

Prípad 3

Pripomeňme, že máme nádherné krivky, ale nie sú nastavené bežným spôsobom, ale v parametrickej forme. Takéto krivky sú často uzavreté. Parameter t je potrebné zmeniť tak, aby uzavretý obrazec zostal pri jeho prechádzaní po krivke (hranici) vľavo.

Potom na výpočet objemov rotačných telies vzhľadom na os OX alebo OY musíte použiť nasledujúce kúzla:

Rovnaké vzorce možno použiť aj v prípade neuzavretých kriviek: keď oba konce ležia na osi OX alebo na osi OY. Obrázok sa nejako ukáže ako uzavretý: konce sú uzavreté segmentom osi.

Prípad 4

Niektoré z nádherných kriviek, ktoré máme, sú dané polárnymi súradnicami (r=r(fi)). Potom je možné postavu otočiť okolo polárnej osi. V tomto prípade sa kartézsky súradnicový systém kombinuje s polárnym a predpokladá sa
x=r(fi)*cos(fi)
y=r(fi)*sin(fi)
Dostávame sa teda k parametrickej podobe krivky, kde sa parameter fi musí zmeniť tak, aby pri prechode krivkou zostala plocha vľavo.
A používame zaklínacie vzorce z prípadu 3.

V prípade polárnych súradníc však existuje aj vzorec kúzla:

Rovinné figúry je samozrejme možné otáčať aj okolo akýchkoľvek iných čiar, nielen okolo osí OX a OY, ale tieto manipulácie sú už zložitejšie, preto sa obmedzíme na prípady, ktoré boli zvažované v prednáške.

A teraz domáca úloha . Konkrétne čísla vám nepoviem. Už sme sa naučili veľa funkcií a bol by som rád, keby ste si sami zostrojili niečo, čo možno budete potrebovať v magickej praxi. Myslím, že štyri príklady na všetky prípady spomenuté v prednáške budú stačiť.

Predtým, ako prejdeme k vzorcom pre oblasť rotačnej plochy, uvedieme stručnú formuláciu samotnej rotačnej plochy. Rotačná plocha, alebo, čo je to isté, plocha rotačného telesa je priestorový útvar vytvorený rotáciou segmentu. AB zakrivenie okolo osi Vôl(obrázok nižšie).

Predstavme si krivočiary lichobežník ohraničený zhora spomínaným segmentom krivky. Teleso vytvorené rotáciou tohto lichobežníka okolo rovnakej osi Vôl a je tu revolúcia. A povrchová plocha rotácie alebo plocha rotačného telesa je jeho vonkajší plášť, nepočítajúc kruhy vytvorené rotáciou okolo osi čiar X = a A X = b .

Všimnite si, že rotačné teleso, a teda aj jeho povrch, možno vytvoriť aj otáčaním figúry nie okolo osi Vôl a okolo osi Oj.

Výpočet plochy rotačnej plochy uvedenej v pravouhlých súradniciach

Vpustiť pravouhlé súradnice v rovine rovnicou r = f(X) je daná krivka, ktorej rotácia okolo súradnicovej osi tvorí rotačné teleso.

Vzorec na výpočet povrchovej plochy revolúcie je nasledujúci:

(1).

Príklad 1 Nájdite povrchovú plochu paraboloidu vytvorenú rotáciou okolo osi Vôl oblúk paraboly zodpovedajúci zmene X od X= 0 až X = a .

Riešenie. Explicitne vyjadrujeme funkciu, ktorá definuje oblúk paraboly:

Poďme nájsť deriváciu tejto funkcie:

Pred použitím vzorca na nájdenie plochy rotačnej plochy napíšme časť jeho integrandu, ktorá je koreňom, a dosaďte deriváciu, ktorú sme tam práve našli:

Odpoveď: Dĺžka oblúka krivky je

Príklad 2 Nájdite plochu povrchu vytvorenú rotáciou okolo osi Vôl astroidov.

Riešenie. Stačí vypočítať plochu povrchu vyplývajúcu z rotácie jednej vetvy astroidea nachádzajúceho sa v prvej štvrtine a vynásobiť ho 2. Z rovnice astroidea explicitne vyjadríme funkciu, ktorú budeme musieť vo vzorci dosadiť nájsť plochu rotácie:

Vykonávame integráciu od 0 do a:

Výpočet rotačnej plochy zadanej parametricky

Uvažujme prípad, keď krivka tvoriaca rotačnú plochu je daná parametrickými rovnicami

Potom sa plocha rotačnej plochy vypočíta podľa vzorca

(2).

Príklad 3 Nájdite oblasť rotačnej plochy vytvorenej rotáciou okolo osi Oj obrazec ohraničený cykloidou a priamkou r = a. Cykloida je daná parametrickými rovnicami