Ve školním vzdělávacím programu pro předmět tělesová geometrie se nauka o trojrozměrných útvarech obvykle začíná jednoduchým geometrickým tělesem - hranolovým mnohostěnem. Roli jeho základen plní 2 stejné polygony ležící v rovnoběžných rovinách. Zvláštním případem je pravidelný čtyřboký hranol. Jeho podstavy jsou 2 stejné pravidelné čtyřúhelníky, k nimž jsou strany kolmé, mající tvar rovnoběžníků (nebo obdélníků, není-li hranol nakloněn).

Jak vypadá hranol

Pravidelný čtyřboký hranol je šestistěn, jehož základny jsou 2 čtverce a boční plochy reprezentované obdélníky. Jiný název pro toto geometrický obrazec- rovný rovnoběžnostěn.

Nákres znázorňující čtyřúhelníkový hranol je uveden níže.

Můžete také vidět na obrázku nejdůležitější prvky, které tvoří geometrické těleso. Jsou běžně označovány jako:

Někdy v úlohách v geometrii můžete najít koncept řezu. Definice bude znít takto: řezem jsou všechny body objemového tělesa, které patří do roviny řezu. Řez je kolmý (přetíná okraje obrázku pod úhlem 90 stupňů). U pravoúhlého hranolu je uvažován i diagonální řez (maximální počet sekcí, které lze postavit jsou 2), procházející 2 hranami a úhlopříčkami podstavy.

Pokud je řez nakreslen tak, že rovina řezu není rovnoběžná ani se základnami, ani s bočními plochami, výsledkem je komolý hranol.

K nalezení redukovaných prizmatických prvků se používají různé poměry a vzorce. Některé z nich jsou známy z průběhu planimetrie (například k nalezení oblasti základny hranolu stačí vyvolat vzorec pro plochu čtverce).

Plocha a objem

Chcete-li určit objem hranolu pomocí vzorce, musíte znát plochu jeho základny a výšku:

V = Sprim h

Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec se stranou A, Vzorec můžete napsat v podrobnější podobě:

V = a² h

Pokud mluvíme o krychli - pravidelném hranolu s stejnou délku, šířka a výška, objem se vypočítá takto:

Abyste pochopili, jak najít boční povrch hranolu, musíte si představit jeho zatáčení.

Z výkresu je patrné, že boční plocha je tvořena 4 stejnými obdélníky. Jeho plocha se vypočítá jako součin obvodu základny a výšky postavy:

Strana = Poz. h

Protože obvod čtverce je P = 4a, vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pro kostku:

Strana strany = 4a²

Chcete-li vypočítat celkovou plochu hranolu, přidejte 2 základní plochy k boční ploše:

Plná = Sstrana + 2Száklad

Při použití na čtyřboký pravidelný hranol má vzorec tvar:

Plný = 4a h + 2a²

Pro povrchovou plochu krychle:

Plný = 6a²

Znáte-li objem nebo plochu povrchu, můžete vypočítat jednotlivé prvky geometrického tělesa.

Nalezení hranolových prvků

Často se vyskytují problémy, ve kterých je dán objem nebo je známa hodnota boční plochy, kde je nutné určit délku strany základny nebo výšku. V takových případech lze odvodit vzorce:

• délka základní strany: a = strana S/4h = √(V/h);
• výška nebo délka bočního žebra: h = S strana / 4a = V / a2;
• základní plocha: Sprim = V/h;
• oblast bočního obličeje: Boční gr = Sstrana / 4.

Chcete-li určit, jakou plochu má diagonální část, musíte znát délku úhlopříčky a výšku postavy. Pro čtverec d = a√2. Proto:

Sdiag = ah√2

Pro výpočet úhlopříčky hranolu se používá vzorec:

cena = √(2a² + h²)

Abyste pochopili, jak použít výše uvedené poměry, můžete si procvičit a vyřešit několik jednoduchých úkolů.

Příklady problémů s řešením

Zde jsou některé z úloh, které se objevují u státních závěrečných zkoušek z matematiky.

Cvičení 1.

Písek se nasype do krabice ve tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Jaká bude hladina písku, když jej přemístíte do nádoby stejného tvaru, ale s délkou základny 2x delší?

Mělo by se argumentovat následovně. Množství písku v první a druhé nádobě se nezměnilo, to znamená, že jeho objem v nich je stejný. Délku základny můžete definovat jako A. V tomto případě pro první krabici bude objem látky:

V1 = ha2 = 10a2

U druhé krabice je délka základny 2a, ale výška hladiny písku není známa:

V2 = h(2a)2 = 4ha2

Protože V1 = V2, výrazy lze postavit rovnítko:

10a² = 4ha²

Po zmenšení obou stran rovnice o a² dostaneme:

V důsledku toho bude nová hladina písku h = 10/4 = 2,5 cm.

Úkol 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravidelný hranol. Je známo, že BD = AB₁ = 6√2. Najděte celkový povrch těla.

Abyste snáze pochopili, které prvky jsou známé, můžete nakreslit obrázek.

Protože mluvíme o pravidelném hranolu, můžeme usoudit, že základna je čtverec s úhlopříčkou 6√2. Úhlopříčka boční plochy má stejnou hodnotu, proto má také boční plocha tvar čtverce rovného základně. Ukazuje se, že všechny tři rozměry – délka, šířka a výška – jsou stejné. Můžeme dojít k závěru, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je krychle.

Délka libovolné hrany je určena pomocí známé úhlopříčky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch se zjistí podle vzorce pro krychli:

Plný = 6a² = 6 6² = 216

Úkol 3.

Místnost je v rekonstrukci. Je známo, že jeho podlaha má tvar čtverce o ploše 9 m². Výška místnosti je 2,5 m. Jaké jsou nejnižší náklady na tapetování místnosti, pokud 1 m² stojí 50 rublů?

Protože podlaha a strop jsou čtverce, tedy pravidelné čtyřúhelníky, a její stěny jsou kolmé k vodorovným plochám, můžeme usoudit, že jde o pravidelný hranol. Je nutné určit plochu jeho bočního povrchu.

Délka místnosti je a = √9 = 3 m

Náměstí bude pokryto tapetami Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Nejnižší náklady na tapety pro tuto místnost budou 50 30 = 1500 rublů.

K řešení úloh pro pravoúhlý hranol tedy stačí umět spočítat obsah a obvod čtverce a obdélníku a také znát vzorce pro zjištění objemu a povrchu.

Jak najít plochu krychle

Oblast bočního povrchu hranolu. Ahoj! V této publikaci budeme analyzovat skupinu úloh ze stereometrie. Uvažujme kombinaci těles – hranol a válec. Tento článek v tuto chvíli završuje celou sérii článků souvisejících s úvahami o typech úloh ve stereometrii.

Pokud se v bance úkolů objeví nové úkoly, pak samozřejmě budou na blogu v budoucnu přibývat. Ale co už je, je docela dost na to, abyste se v rámci zkoušky naučili řešit všechny problémy s krátkou odpovědí. Materiálu vystačí na roky dopředu (program v matematice je statický).

Uvedené úlohy se týkají výpočtu plochy hranolu. Podotýkám, že níže uvažujeme přímý hranol (a podle toho i přímý válec).

Aniž bychom znali nějaké vzorce, chápeme, že boční povrch hranolu jsou všechny jeho boční strany. V přímém hranolu jsou boční plochy obdélníky.

Boční plocha takového hranolu se rovná součtu ploch všech jeho bočních ploch (tj. obdélníků). Pokud mluvíme o pravidelném hranolu, do kterého je vepsán válec, pak je jasné, že všechny plochy tohoto hranolu jsou ROVNÉ obdélníky.

Formálně oblast bočního povrchu pravý hranol lze vyjádřit takto:

27064. Pravidelný čtyřboký hranol je opsán kolem válce, jehož základní poloměr a výška se rovná 1. Najděte plochu bočního povrchu hranolu.

Boční plocha tohoto hranolu se skládá ze čtyř obdélníků o stejné ploše. Výška čela je 1, hrana základny hranolu je 2 (to jsou dva poloměry válce), takže plocha bočního čela je:

Boční povrch:

73023. Najděte plochu bočního povrchu pravidelného trojúhelníkového hranolu opsaného kolem válce, jehož základní poloměr je √0,12 a jehož výška je 3.

Boční plocha daného hranolu se rovná součtu tři boční plochy (obdélníky). Chcete-li najít oblast boční plochy, musíte znát její výšku a délku základní hrany. Výška je tři. Najděte délku okraje základny. Zvažte projekci (pohled shora):

Máme pravidelný trojúhelník, do kterého je vepsána kružnice o poloměru √0,12. Z pravoúhlého trojúhelníku AOC najdeme AC. A pak AD (AD=2AC). Podle definice tečny:

Takže AD \u003d 2AC \u003d 1.2. Plocha bočního povrchu se tedy rovná:

27066. Najděte plochu bočního povrchu pravidelného šestibokého hranolu opsaného kolem válce, jehož základní poloměr je √75 a jehož výška je 1.

Požadovaná plocha se rovná součtu ploch všech bočních ploch. U pravidelného šestibokého hranolu jsou boční plochy stejné obdélníky.

Chcete-li najít oblast obličeje, musíte znát jeho výšku a délku základní hrany. Výška je známá, rovná se 1.

Najděte délku okraje základny. Zvažte projekci (pohled shora):

Máme pravidelný šestiúhelník, do kterého je vepsána kružnice o poloměru √75.

Uvažujme pravoúhlý trojúhelník ABO. Známe nohu OB (to je poloměr válce). můžeme určit i úhel AOB, je roven 300 (trojúhelník AOC je rovnostranný, OB je osa).

Použijeme definici tečny v pravoúhlý trojuhelník:

AC \u003d 2AB, protože OB je medián, to znamená, že dělí AC na polovinu, což znamená AC \u003d 10.

Plocha boční plochy je tedy 1∙10=10 a plocha boční plochy je:

76485. Najděte plochu bočního povrchu pravidelného trojúhelníkového hranolu vepsaného do válce, jehož základní poloměr je 8√3 a jehož výška je 6.

Plocha bočního povrchu zadaného hranolu tří stejně velkých ploch (obdélníků). Pro zjištění plochy je potřeba znát délku hrany podstavy hranolu (známe výšku). Pokud vezmeme v úvahu projekci (půdorys), pak máme pravidelný trojúhelník vepsaný do kruhu. Strana tohoto trojúhelníku je vyjádřena poloměrem jako:

Podrobnosti tohoto vztahu. Takže se to bude rovnat

Potom je plocha boční plochy rovna: 24∙6=144. A požadovaná oblast:

245354. Pravidelný čtyřboký hranol je opsán poblíž válce, jehož základní poloměr je 2. Boční povrch hranolu je 48. Najděte výšku válce.

Všechno je jednoduché. Máme čtyři boční plochy se stejnou plochou, takže plocha jedné plochy je 48:4=12. Protože poloměr základny válce je 2, pak hrana základny hranolu bude brzy 4 - rovná se průměru válce (to jsou dva rádiusy). Známe plochu obličeje a jednoho okraje, druhý je výška bude rovna 12:4=3.

27065. Najděte plochu bočního povrchu pravidelného trojúhelníkového hranolu opsaného kolem válce, jehož základní poloměr je √3 a jehož výška je 2.

S pozdravem, Alexander.

Mnohostěn

Hlavním předmětem studia stereometrie jsou trojrozměrná tělesa. Tělo je část prostoru ohraničená nějakou plochou.

mnohostěn Těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu rovinných mnohoúhelníků, se nazývá. Mnohostěn se nazývá konvexní, pokud leží na jedné straně roviny každého plochého mnohoúhelníku na jeho povrchu. Společná část takové roviny a plocha mnohostěnu se nazývá okraj. Plochy konvexního mnohostěnu jsou ploché konvexní mnohoúhelníky. Strany tváří se nazývají okraje mnohostěnu a vrcholy vrcholy mnohostěnu.

Například krychle se skládá ze šesti čtverců, které jsou jejími plochami. Obsahuje 12 hran (strany čtverců) a 8 vrcholů (vrcholy čtverců).

Nejjednoduššími mnohostěny jsou hranoly a jehlany, které budeme dále studovat.

Hranol

Definice a vlastnosti hranolu

hranol se nazývá mnohostěn sestávající ze dvou plochých mnohoúhelníků ležících v rovnoběžných rovinách kombinovaných paralelním posunem a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto mnohoúhelníků. Polygony se nazývají hranolové základny, a segmenty spojující odpovídající vrcholy polygonů jsou boční hrany hranolu.

Výška hranolu nazývá vzdálenost mezi rovinami jejích základen (). Úsek spojující dva vrcholy hranolu, které nepatří ke stejné ploše, se nazývá hranolová úhlopříčka(). Hranol se nazývá n-uhlí je-li jeho základna n-úhelník.

Každý hranol má následující vlastnosti, které vyplývají ze skutečnosti, že základny hranolu jsou spojeny paralelním posunem:

1. Základny hranolu jsou stejné.

2. Boční hrany hranolu jsou rovnoběžné a stejné.

Povrch hranolu je tvořen podstavci a boční povrch. Boční plochu hranolu tvoří rovnoběžníky (vyplývá to z vlastností hranolu). Plocha boční plochy hranolu je součtem ploch bočních ploch.

rovný hranol

Hranol se nazývá rovný jsou-li jeho boční hrany kolmé k podstavám. Jinak se nazývá hranol šikmý.

Plochy rovného hranolu jsou obdélníky. Výška rovného hranolu se rovná jeho bočním plochám.

plný hranolový povrch je součet plochy bočního povrchu a ploch základen.

Správný hranol nazývaný přímý hranol pravidelný mnohoúhelník na základně.

Věta 13.1. Plocha boční plochy rovného hranolu se rovná součinu obvodu a výšky hranolu (nebo ekvivalentně boční hraně).

Důkaz. Boční plochy rovného hranolu jsou obdélníky, jejichž základnami jsou strany mnohoúhelníků na základnách hranolu a výškami jsou boční hrany hranolu. Potom, podle definice, plocha bočního povrchu je:

,

kde je obvod podstavy přímého hranolu.

Rovnoběžné

Leží-li rovnoběžníky na základnách hranolu, pak se nazývá rovnoběžnostěn. Všechny strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžníky. V tomto případě jsou protilehlé strany rovnoběžnostěnu rovnoběžné a stejné.

Věta 13.2. Úhlopříčky kvádru se protínají v jednom bodě a průsečík je rozdělen na polovinu.

Důkaz. Uvažujme například dvě libovolné úhlopříčky a . Protože strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžníky, pak a , což znamená, že podle T asi dvě přímky rovnoběžné s třetím . Navíc to znamená, že přímky a leží ve stejné rovině (rovině). Tato rovina protíná rovnoběžné roviny a podél rovnoběžných čar a . Čtyřúhelník je tedy rovnoběžník a podle vlastnosti rovnoběžníku se jeho úhlopříčky a protínají a průsečík je rozdělen na polovinu, což bylo potřeba dokázat.

Pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník, se nazývá kvádr. Všechny plochy kvádru jsou obdélníky. Délky nerovnoběžných hran pravoúhlého rovnoběžnostěnu se nazývají jeho lineární rozměry (měření). K dispozici jsou tři velikosti (šířka, výška, délka).

Věta 13.3. V kvádru se čtverec libovolné úhlopříčky rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů (prokázáno dvojitou aplikací pythagorejského T).

kvádr, ve kterém jsou všechny hrany stejné, se nazývá krychle.

Úkoly

13.1 Kolik úhlopříček dělá n- uhlíkový hranol

13.2 V nakloněném trojúhelníkovém hranolu jsou vzdálenosti mezi bočními hranami 37, 13 a 40. Najděte vzdálenost mezi větší boční plochou a protilehlou boční hranou.

13.3 Bokou spodní základny pravidelného trojúhelníkového hranolu je vedena rovina, která protíná boční plochy podél segmentů, jejichž úhel je . Najděte úhel sklonu této roviny k základně hranolu.

Definice. Hranol- jedná se o mnohostěn, jehož všechny vrcholy jsou umístěny ve dvou rovnoběžných rovinách a ve stejných dvou rovinách jsou dvě plochy hranolu, které jsou stejnými polygony s resp. rovnoběžné strany a všechny hrany neležící v těchto rovinách jsou rovnoběžné.

Jsou volány dvě stejné tváře hranolové základny(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Všechny ostatní plochy hranolu se nazývají boční plochy(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Všechny boční plochy tvoří boční povrch hranoly .

Všechny boční strany hranolu jsou rovnoběžníky .

Hrany, které neleží na základnách, se nazývají boční hrany hranolu ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Diagonální hranol nazývá se segment, jehož konce jsou dva vrcholy hranolu, které neleží na jedné z jeho ploch (AD 1).

Délka úsečky spojující podstavy hranolu a kolmé k oběma podstavám zároveň se nazývá výška hranolu .

Označení:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Nejprve jsou v pořadí obchvatu označeny vrcholy jedné základny a pak ve stejném pořadí vrcholy druhé; konce každé boční hrany jsou označeny stejnými písmeny, pouze vrcholy ležící v jedna základna je označena písmeny bez indexu a ve druhé - s indexem)

Název hranolu je spojen s počtem úhlů na obrázku ležícím u jeho základny, například na obrázku 1 je základna pětiúhelník, takže hranol je tzv. pětiboký hranol. Ale od takový hranol má 7 stran, pak to sedmistěn(2 strany jsou základny hranolu, 5 stran jsou rovnoběžníky, jsou jeho boční strany)

Mezi rovnými hranoly vyniká konkrétní typ: pravidelné hranoly.

Přímý hranol se nazývá opravit, pokud jsou jeho základny pravidelné mnohoúhelníky.

Pravidelný hranol má všechny boční strany stejné obdélníky. Zvláštním případem hranolu je rovnoběžnostěn.

Rovnoběžné

Rovnoběžné- Jedná se o čtyřboký hranol, na jehož základně leží rovnoběžník (šikmý rovnoběžnostěn). Pravý rovnoběžnostěn- rovnoběžnostěn, jehož boční okraje jsou kolmé k rovinám základny.

kvádr- pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník.

Vlastnosti a věty:

Některé vlastnosti rovnoběžnostěnu jsou podobné známým vlastnostem rovnoběžníku. Obdélníkový rovnoběžnostěn se stejnými rozměry se nazývá krychle .Krychle má všechny stěny stejné čtverce. Druhá mocnina úhlopříčky se rovná součtu čtverců jejích tří rozměrů

,

kde d je úhlopříčka čtverce;
a - strana náměstí.

Myšlenka hranolu je dána:

• různé architektonické struktury;
• Dětské hračky;
• krabice na balení;
• designové předměty atd.

Celková a boční plocha hranolu

Celková plocha hranolu je součtem ploch všech jejích ploch Boční plocha povrchu se nazývá součet ploch jeho bočních ploch. základny hranolu jsou stejné mnohoúhelníky, pak jsou jejich plochy stejné. Proto

S plná \u003d S strana + 2S hlavní,

Kde S plný- celková plocha, S strana- boční plocha, S hlavní- základní plocha

Plocha boční plochy rovného hranolu se rovná součinu obvodu základny a výšky hranolu.

S strana\u003d P hlavní * h,

Kde S strana je plocha bočního povrchu přímého hranolu,

P hlavní - obvod základny přímého hranolu,

h je výška přímého hranolu, rovna boční žebro.

Objem hranolu

Objem hranolu se rovná součinu plochy základny a výšky.

"Lekce Pythagorovy věty" - Pythagorova věta. Určete typ čtyřúhelníku KMNP. Zahřát se. Úvod do věty. Určete typ trojúhelníku: Plán lekce: Historická odbočka. Řešení jednoduchých problémů. A najděte žebřík dlouhý 125 stop. Vypočítejte výšku CF lichoběžníku ABCD. Důkaz. Zobrazení obrázků. Důkaz věty.

"Objem hranolu" - Pojem hranol. přímý hranol. Objem původního hranolu je roven součinu S · h. Jak zjistit objem přímého hranolu? Hranol lze rozdělit na přímky trojboké hranoly s výškou h. Nakreslete výšku trojúhelníku ABC. Řešení problému. Cíle lekce. Základní kroky při dokazování věty o přímém hranolu? Studium věty o objemu hranolu.

"Prism polyhedra" - Definice mnohostěnu. DABC je čtyřstěn, konvexní mnohostěn. Použití hranolů. Kde se používají hranoly? ABCDMP je osmistěn složený z osmi trojúhelníků. ABCDA1B1C1D1 je rovnoběžnostěn, konvexní mnohostěn. Konvexní mnohostěn. Koncept mnohostěnu. Mnohostěn A1A2..AnB1B2..Bn je hranol.

"Prism class 10" - Hranol je mnohostěn, jehož plochy jsou v rovnoběžných rovinách. Použití hranolu v každodenním životě. Sside = Pbased. + h Pro přímý hranol: Sp.p = Pmain. h + 2Smain. Nakloněný. Opravit. Rovný. Hranol. Vzorce pro nalezení oblasti. Využití hranolu v architektuře. Sp.p \u003d strana S + na základě 2 S.

"Důkaz Pythagorovy věty" - Geometrický důkaz. Význam Pythagorovy věty. Pythagorova věta. Euklidův důkaz. "V pravoúhlém trojúhelníku se druhá mocnina přepony rovná součtu čtverců nohou." Důkazy věty. Význam věty spočívá v tom, že z ní nebo s její pomocí lze odvodit většinu vět o geometrii.