Definice. Hranol je mnohostěn, jehož všechny vrcholy jsou umístěny ve dvou rovnoběžných rovinách a v těchto stejných dvou rovinách leží dvě plochy hranolu, což jsou stejné mnohoúhelníky s příslušně rovnoběžnými stranami, a všechny hrany, které neleží v těchto rovinách, jsou rovnoběžné.

Jsou volány dvě stejné tváře hranolové základny(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Všechny ostatní plochy hranolu se nazývají boční plochy(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Všechny boční plochy tvoří boční povrch hranolu .

Všechny boční strany hranolu jsou rovnoběžníky .

Hrany, které neleží na základnách, se nazývají boční hrany hranolu ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Úhlopříčka hranolu je segment, jehož konce jsou dva vrcholy hranolu, které neleží na stejné ploše (AD 1).

Délka úsečky spojující podstavy hranolu a kolmé k oběma podstavám zároveň se nazývá výška hranolu .

Označení:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Nejprve jsou v příčném pořadí označeny vrcholy jedné základny a poté ve stejném pořadí vrcholy druhé; konce každé boční hrany jsou označeny stejnými písmeny, jsou označeny pouze vrcholy ležící v jedné základně písmeny bez indexu a ve druhém - s indexem)

Název hranolu je spojen s počtem úhlů na obrázku ležícím u jeho základny, např. na obrázku 1 je u základny pětiúhelník, takže hranol je tzv. pětiboký hranol. Ale protože takový hranol má 7 stran, pak to sedmistěn(2 strany - základny hranolu, 5 stran - rovnoběžníky, - jeho boční strany)

Mezi rovnými hranoly vyniká konkrétní typ: pravidelné hranoly.

Přímý hranol se nazývá opravit, pokud jsou jeho základny pravidelné mnohoúhelníky.

Rovnoběžné

Obdélníkový rovnoběžnostěn- pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník.

Vlastnosti a věty:

,

kde d je úhlopříčka čtverce;
a je strana čtverce.

Představa hranolu je dána:

• různé architektonické struktury;
• Dětské hračky;
• krabice na balení;
• designové předměty atd.

Plocha celkového a bočního povrchu hranolu

S plný = S strana + 2S hlavní,

Kde S plný- celková plocha, S strana- boční plocha, S základna- základní plocha

Boční plocha rovného hranolu se rovná součinu obvodu základny a výšky hranolu.

S strana= P základní * h,

Kde S strana- plocha boční plochy rovného hranolu,

P hlavní - obvod základny přímého hranolu,

h je výška přímého hranolu, rovna boční hraně.

Objem hranolu

Objem hranolu se rovná součinu plochy základny a výšky.

Videokurz „Získejte A“ obsahuje všechna témata nezbytná k úspěchu složení jednotné státní zkoušky v matematice za 60-65 bodů. Úplně všechny problémy 1-13 Jednotná státní zkouška profilu matematika. Vhodné i pro složení Základní jednotné státní zkoušky z matematiky. Pokud chcete složit jednotnou státní zkoušku s 90-100 body, musíte část 1 vyřešit za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz k jednotné státní zkoušce pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části jednotné státní zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je více než 70 bodů na Jednotnou státní zkoušku a bez nich se neobejde ani stobodový student, ani student humanitních oborů.

Všechny potřebné teorie. Rychlé způsobyřešení, úskalí a tajemství jednotné státní zkoušky. Byly analyzovány všechny aktuální úkoly části 1 z FIPI Task Bank. Kurz plně odpovídá požadavkům jednotné státní zkoušky 2018.

Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.

Stovky úkolů jednotné státní zkoušky. Slovní úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy pro řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů úkolů jednotné státní zkoušky. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, vývoj prostorová představivost. Trigonometrie od nuly k problému 13. Porozumění místo nacpávání. Jasné vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Základ pro řešení složité úkoly 2 části jednotné státní zkoušky.

Mnohostěn

Hlavním předmětem studia stereometrie jsou prostorová tělesa. Tělo představuje část prostoru ohraničenou určitou plochou.

Mnohostěn je těleso, jehož povrch se skládá z konečného počtu plochých mnohoúhelníků. Mnohostěn se nazývá konvexní, pokud je umístěn na jedné straně roviny každého rovinného mnohoúhelníku na jeho povrchu. Společná část takové roviny a plocha mnohostěnu se nazývá okraj. Plochy konvexního mnohostěnu jsou ploché konvexní mnohoúhelníky. Strany tváří se nazývají okraje mnohostěnu, a vrcholy jsou vrcholy mnohostěnu.

Například krychle se skládá ze šesti čtverců, které jsou jejími plochami. Obsahuje 12 hran (strany čtverců) a 8 vrcholů (horní části čtverců).

Nejjednoduššími mnohostěny jsou hranoly a jehlany, které budeme dále studovat.

Hranol

Definice a vlastnosti hranolu

Hranol je mnohostěn sestávající ze dvou plochých mnohoúhelníků ležících v rovnoběžných rovinách kombinovaných paralelním posunem a všech segmentů spojujících odpovídající body těchto mnohoúhelníků. Polygony se nazývají hranolové základny, a segmenty spojující odpovídající vrcholy polygonů jsou boční hrany hranolu.

Výška hranolu se nazývá vzdálenost mezi rovinami jejích základen (). Úsek spojující dva vrcholy hranolu, které nepatří ke stejné ploše, se nazývá hranolová úhlopříčka(). Hranol se nazývá n-uhlík, pokud jeho základna obsahuje n-úhelník.

Každý hranol má následující vlastnosti, které vyplývají ze skutečnosti, že základny hranolu jsou spojeny paralelním posunem:

1. Základny hranolu jsou stejné.

2. Boční okraje hranolu jsou rovnoběžné a stejné.

Povrch hranolu tvoří základny a boční povrch. Boční plochu hranolu tvoří rovnoběžníky (vyplývá to z vlastností hranolu). Plocha boční plochy hranolu je součtem ploch bočních ploch.

Přímý hranol

Hranol se nazývá rovný, jsou-li jeho boční hrany kolmé k podstavám. Jinak se nazývá hranol nakloněný.

Plochy pravého hranolu jsou obdélníky. Výška rovného hranolu se rovná jeho bočním plochám.

Plný hranolový povrch se nazývá součet plochy bočního povrchu a ploch základen.

Se správným hranolem nazývaný přímý hranol s pravidelný mnohoúhelník na základně.

Věta 13.1. Plocha boční plochy rovného hranolu se rovná součinu obvodu a výšky hranolu (nebo, která je stejná, boční hrany).

Důkaz. Boční strany pravého hranolu jsou obdélníky, jejichž základnami jsou strany mnohoúhelníků na základnách hranolu a výškami jsou boční hrany hranolu. Potom, podle definice, plocha bočního povrchu je:

,

kde je obvod podstavy přímého hranolu.

Rovnoběžné

Leží-li rovnoběžníky na základnách hranolu, pak se nazývá rovnoběžnostěn. Všechny strany kvádru jsou rovnoběžníky. V tomto případě jsou protilehlé strany rovnoběžnostěnu rovnoběžné a stejné.

Věta 13.2. Úhlopříčky rovnoběžnostěnu se protínají v jednom bodě a jsou rozděleny na polovinu průsečíkem.

Důkaz. Uvažujme například dvě libovolné úhlopříčky a . Protože strany rovnoběžnostěnu jsou rovnoběžníky, pak a , což znamená, že podle To jsou dvě přímky rovnoběžné s třetí. Navíc to znamená, že přímky a leží ve stejné rovině (rovině). Tato rovina protíná rovnoběžné roviny a podél rovnoběžných čar a . Čtyřúhelník je tedy rovnoběžník a vlastností rovnoběžníku se jeho úhlopříčky protínají a dělí na polovinu průsečíkem, což bylo potřeba dokázat.

Pravý rovnoběžnostěn, jehož základna je obdélník, se nazývá pravoúhlý rovnoběžnostěn. Všechny plochy pravoúhlého rovnoběžnostěnu jsou obdélníky. Délky nerovnoběžných hran pravoúhlého rovnoběžnostěnu se nazývají jeho lineární rozměry (kóty). Existují tři takové velikosti (šířka, výška, délka).

Věta 13.3. V pravoúhlém rovnoběžnostěnu se čtverec jakékoli úhlopříčky rovná součtu čtverců jeho tří rozměrů (prokázáno dvojitou aplikací pythagorejského T).

Nazývá se pravoúhlý rovnoběžnostěn se všemi hranami stejnými krychle.

Úkoly

13.1 Kolik má úhlopříček? n-uhlíkový hranol

13.2 V nakloněném trojúhelníkovém hranolu jsou vzdálenosti mezi bočními hranami 37, 13 a 40. Najděte vzdálenost mezi větší boční hranou a protilehlou boční hranou.

13.3 Stranou spodní základny pravidelného trojúhelníkového hranolu je nakreslena rovina, která protíná boční plochy podél segmentů pod úhlem mezi nimi. Najděte úhel sklonu této roviny k základně hranolu.

V školní osnovy studium kurzu stereometrie objemové údaje obvykle začíná jednoduchým geometrickým tělesem – hranolovým mnohostěnem. Roli jeho základen plní 2 stejné polygony ležící v rovnoběžných rovinách. Zvláštním případem je pravidelný čtyřboký hranol. Jeho základnou jsou 2 stejné pravidelné čtyřúhelníky, k nimž jsou strany kolmé, mající tvar rovnoběžníků (nebo obdélníků, není-li hranol nakloněn).

Jak vypadá hranol?

Pravidelný čtyřboký hranol je šestiúhelník, jehož základny jsou 2 čtverce a boční plochy jsou znázorněny obdélníky. Jiný název pro toto geometrický obrazec- rovný rovnoběžnostěn.

Nákres znázorňující čtyřúhelníkový hranol je uveden níže.

Můžete také vidět na obrázku nejdůležitější prvky, které tvoří geometrické těleso. Tyto zahrnují:

Někdy se v geometrických úlohách můžete setkat s konceptem řezu. Definice bude znít takto: řezem jsou všechny body objemového tělesa patřící do roviny řezu. Řez může být kolmý (protíná okraje obrázku pod úhlem 90 stupňů). U pravoúhlého hranolu se uvažuje i s diagonálním řezem (maximálně lze sestrojit 2 řezy), procházející 2 hranami a úhlopříčkami podstavy.

Pokud je řez nakreslen tak, že rovina řezu není rovnoběžná ani se základnami, ani s bočními plochami, výsledkem je komolý hranol.

K nalezení redukovaných prizmatických prvků se používají různé vztahy a vzorce. Některé z nich jsou známy z kurzu planimetrie (například k nalezení oblasti základny hranolu stačí vyvolat vzorec pro plochu čtverce).

Plocha a objem

Chcete-li určit objem hranolu pomocí vzorce, musíte znát plochu jeho základny a výšku:

V = Sbas h

Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec se stranou A, Vzorec můžete napsat v podrobnější podobě:

V = a²·h

Pokud mluvíme o krychli - pravidelném hranolu s stejnou délku, šířka a výška, objem se vypočítá takto:

Abyste pochopili, jak najít boční povrch hranolu, musíte si představit jeho vývoj.

Z výkresu je vidět, že boční plocha je tvořena 4 stejnými obdélníky. Jeho plocha se vypočítá jako součin obvodu základny a výšky postavy:

Sstrana = Posn h

S přihlédnutím k tomu, že obvod čtverce se rovná P = 4a, vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pro kostku:

Strana strany = 4a²

Chcete-li vypočítat celkovou plochu hranolu, musíte k boční ploše přidat 2 základní plochy:

Plný = vedlejší + 2 hlavní

Ve vztahu ke čtvercovému pravidelnému hranolu vzorec vypadá takto:

Celkem = 4a h + 2a²

Pro povrchovou plochu krychle:

Plný = 6a²

Znáte-li objem nebo plochu povrchu, můžete vypočítat jednotlivé prvky geometrického tělesa.

Nalezení hranolových prvků

Často se vyskytují problémy, ve kterých je dán objem nebo je známa hodnota boční plochy, kde je nutné určit délku strany základny nebo výšku. V takových případech lze vzorce odvodit:

• délka základní strany: a = strana S/4h = √(V/h);
• výška nebo délka bočního žebra: h = S strana / 4a = V / a2;
• základní plocha: Sbas = V/h;
• oblast bočního obličeje: Boční gr = Sstrana / 4.

Chcete-li určit, jakou plochu má diagonální část, musíte znát délku úhlopříčky a výšku postavy. Pro čtverec d = a√2. Proto:

Sdiag = ah√2

Pro výpočet úhlopříčky hranolu použijte vzorec:

cena = √(2a² + h²)

Abyste pochopili, jak dané vztahy aplikovat, můžete si procvičit a vyřešit několik jednoduchých úloh.

Příklady problémů s řešením

Zde jsou některé úlohy ke státní závěrečné zkoušce z matematiky.

Cvičení 1.

Písek se nasype do krabice ve tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Jaká bude hladina písku, když jej přemístíte do nádoby stejného tvaru, ale s dvakrát delším podstavcem?

Mělo by být zdůvodněno následovně. Množství písku v první a druhé nádobě se nezměnilo, tj. jeho objem v nich je stejný. Délku základny můžete označit pomocí A. V tomto případě bude pro první krabici objem látky:

V1 = ha2 = 10a2

U druhé krabice je délka základny 2a, ale výška hladiny písku není známa:

V2 = h (2a)2 = 4 ha2

Protože V1 = V2, můžeme dát rovnítko mezi výrazy:

10a² = 4ha²

Po zmenšení obou stran rovnice o a² dostaneme:

V důsledku toho bude nová hladina písku h = 10/4 = 2,5 cm.

Úkol 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je správný hranol. Je známo, že BD = AB₁ = 6√2. Najděte celkový povrch těla.

Pro snazší pochopení, které prvky jsou známé, můžete nakreslit obrázek.

Protože mluvíme o pravidelném hranolu, můžeme usoudit, že na základně je čtverec s úhlopříčkou 6√2. Úhlopříčka boční plochy má stejnou velikost, proto boční hrana má také tvar čtverce, rovného základně. Ukazuje se, že všechny tři rozměry – délka, šířka a výška – jsou stejné. Můžeme dojít k závěru, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je krychle.

Délka libovolné hrany je určena pomocí známé úhlopříčky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch se zjistí pomocí vzorce pro krychli:

Plný = 6a² = 6 6² = 216

Úkol 3.

Místnost je v rekonstrukci. Je známo, že jeho podlaha má tvar čtverce o ploše 9 m². Výška místnosti je 2,5 m. Jaké jsou nejnižší náklady na tapetování místnosti, pokud 1 m² stojí 50 rublů?

Protože podlaha a strop jsou čtverce, tedy pravidelné čtyřúhelníky a její stěny jsou kolmé k vodorovným plochám, můžeme usoudit, že jde o pravidelný hranol. Je nutné určit plochu jeho bočního povrchu.

Délka místnosti je a = √9 = 3 m

Plocha bude pokryta tapetami Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Nejnižší náklady na tapety pro tuto místnost budou 50,30 = 1500 rublů

K řešení úloh týkajících se pravoúhlého hranolu tedy stačí umět vypočítat plochu a obvod čtverce a obdélníku a také znát vzorce pro zjištění objemu a plochy povrchu.

Jak najít plochu krychle