Ve fyzice se ke studiu spektra často používá trojúhelníkový hranol vyrobený ze skla bílé světlo, protože je schopen ji rozložit na jednotlivé složky. V tomto článku se budeme zabývat objemovým vzorcem

Co je to trojúhelníkový hranol?

Než uvedeme objemový vzorec, podívejme se na vlastnosti tohoto obrázku.

Abyste toho dosáhli, musíte vzít trojúhelník jakéhokoli tvaru a posunout jej rovnoběžně k sobě do určité vzdálenosti. Vrcholy trojúhelníku v počáteční a konečné poloze by měly být spojeny přímými segmenty. Výsledný objemový obrazec se nazývá trojúhelníkový hranol. Skládá se z pěti stran. Dvě z nich se nazývají základny: jsou rovnoběžné a navzájem si rovné. Základy dotyčného hranolu jsou trojúhelníky. Zbývající tři strany jsou rovnoběžníky.

Kromě stran je dotyčný hranol charakterizován šesti vrcholy (tři pro každou podstavu) a devíti hranami (6 hran leží v rovinách podstav a 3 hrany jsou tvořeny průsečíkem stran). Li boční žebra kolmo k podstavám, pak se takový hranol nazývá pravoúhlý.

Rozdíl mezi trojúhelníkovým hranolem a všemi ostatními figurami této třídy je v tom, že je vždy konvexní (čtyř-, pěti-, ..., n-hranné hranoly mohou být také konkávní).

Jedná se o obdélníkový obrazec s rovnostranným trojúhelníkem na jeho základně.

Objem obecného trojúhelníkového hranolu

Jak zjistit objem trojúhelníkového hranolu? Formule v obecný pohled podobně jako u jakéhokoli typu hranolu. Má následující matematický zápis:

Zde h je výška obrázku, to znamená vzdálenost mezi jeho základnami, S o je plocha trojúhelníku.

Hodnotu S o lze zjistit, pokud jsou známy některé parametry trojúhelníku, například jedna strana a dva úhly nebo dvě strany a jeden úhel. Plocha trojúhelníku se rovná polovině součinu jeho výšky a délky strany, o kterou je tato výška snížena.

Pokud jde o výšku h obrazce, nejsnáze ji najdete pro pravoúhlý hranol. V druhém případě se h shoduje s délkou boční hrany.

Objem pravidelného trojbokého hranolu

Obecný vzorec pro objem trojbokého hranolu, který je uveden v předchozí části článku, lze použít pro výpočet odpovídající hodnoty pro pravidelný trojboký hranol. Protože jeho základna je rovnostranný trojúhelník, jeho obsah je roven:

Každý může získat tento vzorec, pokud si pamatuje, že v rovnostranném trojúhelníku jsou všechny úhly navzájem stejné a mají velikost 60 o. Symbol a je zde délka strany trojúhelníku.

Výška h je délka hrany. S nadací to nemá nic společného správný hranol a může nabývat libovolných hodnot. Výsledkem je, že vzorec pro objem trojúhelníkového hranolu správného typu vypadá takto:

Po výpočtu kořene můžete tento vzorec přepsat takto:

Tedy najít objem pravidelného hranolu s trojúhelníková základna, je nutné odmocnit stranu základny, tuto hodnotu vynásobit výškou a výslednou hodnotu vynásobit 0,433.

Ve školních osnovách pro kurz stereometrie začíná studium trojrozměrných obrazců obvykle jednoduchým geometrickým tělesem - mnohostěnem hranolu. Roli jeho základen plní 2 stejné polygony ležící v rovnoběžných rovinách. Zvláštním případem je pravidelný čtyřboký hranol. Jeho základnou jsou 2 stejné pravidelné čtyřúhelníky, k nimž jsou strany kolmé, mající tvar rovnoběžníků (nebo obdélníků, není-li hranol nakloněn).

Jak vypadá hranol?

Pravidelný čtyřboký hranol je šestiúhelník, jehož základny jsou 2 čtverce a boční plochy reprezentované obdélníky. Jiný název pro toto geometrický obrazec- rovný rovnoběžnostěn.

Nákres znázorňující čtyřúhelníkový hranol je uveden níže.

Můžete také vidět na obrázku nejdůležitější prvky, které tvoří geometrické těleso. Tyto zahrnují:

Někdy se v geometrických úlohách můžete setkat s konceptem řezu. Definice bude znít takto: řezem jsou všechny body objemového tělesa patřící do roviny řezu. Řez může být kolmý (protíná okraje obrázku pod úhlem 90 stupňů). U pravoúhlého hranolu se uvažuje i s diagonálním řezem (maximálně lze sestrojit 2 řezy), procházející 2 hranami a úhlopříčkami podstavy.

Pokud je řez nakreslen tak, že rovina řezu není rovnoběžná ani se základnami, ani s bočními plochami, výsledkem je komolý hranol.

K nalezení redukovaných prizmatických prvků se používají různé vztahy a vzorce. Některé z nich jsou známy z kurzu planimetrie (například k nalezení oblasti základny hranolu stačí vyvolat vzorec pro plochu čtverce).

Plocha a objem

Chcete-li určit objem hranolu pomocí vzorce, musíte znát plochu jeho základny a výšku:

V = Sbas h

Protože základna pravidelného čtyřbokého hranolu je čtverec se stranou A, Vzorec můžete napsat v podrobnější podobě:

V = a²·h

Pokud mluvíme o krychli - pravidelném hranolu s stejnou délku, šířka a výška, objem se vypočítá takto:

Abyste pochopili, jak najít boční povrch hranolu, musíte si představit jeho vývoj.

Z výkresu je vidět, že boční plocha je tvořena 4 stejnými obdélníky. Jeho plocha se vypočítá jako součin obvodu základny a výšky postavy:

Sstrana = Posn h

S přihlédnutím k tomu, že obvod čtverce se rovná P = 4a, vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pro kostku:

Strana strany = 4a²

Chcete-li vypočítat celkovou plochu hranolu, musíte k boční ploše přidat 2 základní plochy:

Plný = vedlejší + 2 hlavní

Ve vztahu ke čtvercovému pravidelnému hranolu vzorec vypadá takto:

Celkem = 4a h + 2a²

Pro povrchovou plochu krychle:

Plný = 6a²

Znáte-li objem nebo plochu povrchu, můžete vypočítat jednotlivé prvky geometrického tělesa.

Nalezení hranolových prvků

Často se vyskytují problémy, ve kterých je dán objem nebo je známa hodnota boční plochy, kde je nutné určit délku strany základny nebo výšku. V takových případech lze vzorce odvodit:

• délka základní strany: a = strana S/4h = √(V/h);
• výška nebo délka bočního žebra: h = S strana / 4a = V / a2;
• základní plocha: Sbas = V/h;
• oblast bočního obličeje: Boční gr = Sstrana / 4.

Chcete-li určit, jakou plochu má diagonální část, musíte znát délku úhlopříčky a výšku postavy. Pro čtverec d = a√2. Proto:

Sdiag = ah√2

Pro výpočet úhlopříčky hranolu použijte vzorec:

cena = √(2a² + h²)

Abyste pochopili, jak dané vztahy aplikovat, můžete si procvičit a vyřešit několik jednoduchých úloh.

Příklady problémů s řešením

Zde jsou některé úlohy ke státní závěrečné zkoušce z matematiky.

Cvičení 1.

Písek se nasype do krabice ve tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu. Výška jeho hladiny je 10 cm Jaká bude hladina písku, když jej přemístíte do nádoby stejného tvaru, ale s dvakrát delším podstavcem?

Mělo by být zdůvodněno následovně. Množství písku v první a druhé nádobě se nezměnilo, tj. jeho objem v nich je stejný. Délku základny můžete označit pomocí A. V tomto případě bude pro první krabici objem látky:

V1 = ha2 = 10a2

U druhé krabice je délka základny 2a, ale výška hladiny písku není známa:

V2 = h (2a)2 = 4 ha2

Protože V1 = V2, můžeme dát rovnítko mezi výrazy:

10a² = 4ha²

Po zmenšení obou stran rovnice o a² dostaneme:

V důsledku toho bude nová hladina písku h = 10/4 = 2,5 cm.

Úkol 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je správný hranol. Je známo, že BD = AB₁ = 6√2. Najděte celkový povrch těla.

Abyste snáze pochopili, které prvky jsou známé, můžete nakreslit obrázek.

Protože mluvíme o pravidelném hranolu, můžeme usoudit, že na základně je čtverec s úhlopříčkou 6√2. Úhlopříčka boční plochy má stejnou velikost, proto má boční plocha také tvar čtverce rovného základně. Ukazuje se, že všechny tři rozměry – délka, šířka a výška – jsou stejné. Můžeme dojít k závěru, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je krychle.

Délka libovolné hrany je určena pomocí známé úhlopříčky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch se zjistí pomocí vzorce pro krychli:

Plný = 6a² = 6 6² = 216

Úkol 3.

Místnost je v rekonstrukci. Je známo, že jeho podlaha má tvar čtverce o ploše 9 m². Výška místnosti je 2,5 m. Jaké jsou nejnižší náklady na tapetování místnosti, pokud 1 m² stojí 50 rublů?

Protože podlaha a strop jsou čtverce, tedy pravidelné čtyřúhelníky a její stěny jsou kolmé k vodorovným plochám, můžeme usoudit, že jde o pravidelný hranol. Je nutné určit plochu jeho bočního povrchu.

Délka místnosti je a = √9 = 3 m

Plocha bude pokryta tapetami Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Nejnižší náklady na tapety pro tuto místnost budou 50,30 = 1500 rublů

K řešení úloh týkajících se pravoúhlého hranolu tedy stačí umět vypočítat plochu a obvod čtverce a obdélníku a také znát vzorce pro zjištění objemu a plochy povrchu.

Jak najít plochu krychle

Jaký je objem hranolu a jak jej zjistit

Objem hranolu je součin plochy jeho základny a jeho výšky.

Víme však, že na základně hranolu může být trojúhelník, čtverec nebo nějaký jiný mnohostěn.

Proto, abyste našli objem hranolu, musíte jednoduše vypočítat plochu základny hranolu a poté tuto plochu vynásobit její výškou.

To znamená, že pokud je na základně hranolu trojúhelník, musíte nejprve najít oblast trojúhelníku. Pokud je základna hranolu čtverec nebo jiný mnohoúhelník, musíte nejprve hledat oblast čtverce nebo jiného mnohoúhelníku.

Je třeba si uvědomit, že výška hranolu je kolmice nakreslená k základnám hranolu.

Co je hranol

Nyní si připomeňme definici hranolu.

Hranol je mnohoúhelník, jehož dvě plochy (základny) jsou v rovnoběžných rovinách a všechny hrany umístěné mimo tyto plochy jsou rovnoběžné.

Zjednodušeně řečeno:

Hranol je jakýkoli geometrický obrazec, který má dvě stejné základny a ploché plochy.

Název hranolu závisí na tvaru jeho základny. Když je základna hranolu trojúhelník, pak se takový hranol nazývá trojúhelníkový. Polyedrický hranol je geometrický útvar, jehož základnou je mnohostěn. Také hranol je typ válce.

Jaké typy hranolů existují?

Když se podíváme na obrázek výše, uvidíme, že hranoly jsou rovné, pravidelné a šikmé.

Cvičení

1. Který hranol se nazývá správný?
2. Proč se tomu tak říká?
3. Jak se nazývá hranol, jehož podstavy jsou pravidelné mnohoúhelníky?
4. Jaká je výška této postavy?
5. Jak se nazývá hranol, jehož hrany nejsou kolmé?
6. Definujte trojúhelníkový hranol.
7. Může být hranol rovnoběžnostěn?
8. Jaký geometrický útvar se nazývá polopravidelný mnohoúhelník?

Z jakých prvků se hranol skládá?

Hranol se skládá z prvků, jako je spodní a horní základna, boční plochy, hrany a vrcholy.

Obě základny hranolu leží v rovinách a jsou vzájemně rovnoběžné.
Boční strany pyramidy jsou rovnoběžníky.
Boční povrch pyramida je součet bočních ploch.
Společné strany bočních ploch nejsou nic jiného než boční hrany daného obrázku.
Výška pyramidy je segment spojující roviny základen a kolmý k nim.

Vlastnosti hranolu

Geometrický obrazec, stejně jako hranol, má řadu vlastností. Podívejme se blíže na tyto vlastnosti:

Za prvé, základny hranolu jsou stejné mnohoúhelníky;
Za druhé, boční strany hranolu jsou prezentovány ve formě rovnoběžníku;
Za třetí, tento geometrický obrazec má rovnoběžné a stejné hrany;
Za čtvrté, celkový povrch hranolu je:

Nyní se podívejme na větu, která poskytuje vzorec použitý k výpočtu boční plochy a důkazu.

Přemýšlel jsi někdy o tom zajímavý faktže hranolem může být nejen geometrické těleso, ale i další objekty kolem nás. I obyčejná sněhová vločka se v závislosti na teplotě může proměnit v ledový hranol, který má tvar šestiúhelníkového tvaru.

Ale krystaly kalcitu mají tak jedinečný jev, jako je rozbití na fragmenty a získání tvaru rovnoběžnostěnu. A co je nejúžasnější je, že bez ohledu na to, jak malé jsou krystaly kalcitu rozdrceny, výsledek je vždy stejný: změní se na drobné rovnoběžnostěny.

Ukazuje se, že hranol si získal oblibu nejen v matematice, demonstrující jeho geometrické tělo, ale také v oblasti umění, protože je základem obrazů vytvořených takovými velkými umělci, jako jsou P. Picasso, Braque, Griss a další.

Videokurz „Získejte A“ obsahuje všechna témata nezbytná k úspěchu složení jednotné státní zkoušky v matematice za 60-65 bodů. Úplně všechny problémy 1-13 Jednotná státní zkouška profilu matematika. Vhodné i pro složení Základní jednotné státní zkoušky z matematiky. Pokud chcete složit jednotnou státní zkoušku s 90-100 body, musíte část 1 vyřešit za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz k jednotné státní zkoušce pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části jednotné státní zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je více než 70 bodů na Jednotnou státní zkoušku a bez nich se neobejde ani stobodový student, ani student humanitních oborů.

Všechny potřebné teorie. Rychlé způsobyřešení, úskalí a tajemství jednotné státní zkoušky. Byly analyzovány všechny aktuální úkoly části 1 z FIPI Task Bank. Kurz plně odpovídá požadavkům jednotné státní zkoušky 2018.

Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.

Stovky úkolů jednotné státní zkoušky. Slovní úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy pro řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů úkolů jednotné státní zkoušky. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, vývoj prostorová představivost. Trigonometrie od nuly k problému 13. Porozumění místo nacpávání. Jasné vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Základ pro řešení složité úkoly 2 části jednotné státní zkoušky.

Různé hranoly se od sebe liší. Přitom mají hodně společného. Chcete-li najít oblast základny hranolu, musíte pochopit, jaký typ má.

Obecná teorie

Hranol je jakýkoli mnohostěn, jehož strany mají tvar rovnoběžníku. Navíc jeho základnou může být jakýkoli mnohostěn - od trojúhelníku po n-úhelník. Navíc jsou základny hranolu vždy stejné. Co neplatí pro boční plochy je, že se mohou výrazně lišit ve velikosti.

Při řešení problémů se setkáváme nejen s oblastí základny hranolu. Může vyžadovat znalost bočního povrchu, to znamená všech ploch, které nejsou základny. Plná plocha již dojde ke spojení všech tváří, které tvoří hranol.

Někdy se problémy týkají výšky. Je kolmá k základnám. Úhlopříčka mnohostěnu je segment, který v párech spojuje libovolné dva vrcholy, které nepatří do stejné plochy.

Je třeba poznamenat, že základní plocha přímého nebo nakloněného hranolu nezávisí na úhlu mezi nimi a bočními plochami. Pokud mají stejné postavy na horní a spodní straně, budou jejich plochy stejné.

Trojúhelníkový hranol

Ve své základně má postavu se třemi vrcholy, tedy trojúhelník. Jak víte, může to být jinak. Pokud ano, stačí si pamatovat, že jeho plocha je určena polovičním součinem nohou.

Matematický zápis vypadá takto: S = ½ prům.

Chcete-li zjistit plochu základny obecně, jsou užitečné vzorce: Heron a ten, ve kterém je polovina strany zaujata výškou, která je k ní přivedena.

První vzorec by měl být napsán takto: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Tento zápis obsahuje semi-obvod (p), tedy součet tří stran dělený dvěma.

Za druhé: S = ½ n a * a.

Pokud chcete zjistit plochu základny trojúhelníkového hranolu, která je pravidelná, pak se trojúhelník ukáže jako rovnostranný. Existuje na to vzorec: S = ¼ a 2 * √3.

Čtyřhranný hranol

Jeho základna je některý ze známých čtyřúhelníků. Může to být obdélník nebo čtverec, rovnoběžnostěn nebo kosočtverec. V každém případě, abyste mohli vypočítat plochu základny hranolu, budete potřebovat svůj vlastní vzorec.

Je-li základnou obdélník, pak se jeho obsah určí takto: S = ab, kde a, b jsou strany obdélníku.

Pokud jde o čtyřúhelníkový hranol, plocha základny pravidelného hranolu se vypočítá pomocí vzorce pro čtverec. Protože je to on, kdo leží v základu. S = a 2.

V případě, že základna je rovnoběžnostěn, bude zapotřebí následující rovnost: S = a * n a. Stává se, že je dána strana rovnoběžnostěnu a jeden z úhlů. Poté pro výpočet výšky budete muset použít doplňkový vzorec: na = b * sin A. Navíc úhel A sousedí se stranou „b“ a výška na je opačná k tomuto úhlu.

Pokud je na základně hranolu kosočtverec, pak k určení jeho plochy budete potřebovat stejný vzorec jako pro rovnoběžník (protože jde o jeho speciální případ). Ale můžete také použít toto: S = ½ d 1 d 2. Zde d 1 a d 2 jsou dvě úhlopříčky kosočtverce.

Pravidelný pětiboký hranol

V tomto případě jde o rozdělení mnohoúhelníku na trojúhelníky, jejichž oblasti lze snadněji zjistit. I když se stává, že obrazce mohou mít různý počet vrcholů.

Jelikož základna hranolu je pravidelný pětiúhelník, pak jej lze rozdělit na pět rovnostranných trojúhelníků. Pak se plocha základny hranolu rovná ploše jednoho takového trojúhelníku (vzorec je vidět výše), vynásobené pěti.

Pravidelný šestihranný hranol

Pomocí principu popsaného u pětibokého hranolu je možné rozdělit šestiúhelník podstavy na 6 rovnostranných trojúhelníků. Vzorec pro základní plochu takového hranolu je podobný předchozímu. Pouze by se měl vynásobit šesti.

Vzorec bude vypadat takto: S = 3/2 a 2 * √3.

Úkoly

č. 1. Je-li daná pravidelná přímka, její úhlopříčka je 22 cm, výška mnohostěnu je 14 cm.. Vypočítejte plochu základny hranolu a celého povrchu.

Řešení. Základna hranolu je čtverec, ale jeho strana není známa. Jeho hodnotu zjistíte z úhlopříčky čtverce (x), která souvisí s úhlopříčkou hranolu (d) a jeho výškou (h). x2 = d2 - n2. Na druhou stranu, tento segment „x“ je přepona v trojúhelníku, jehož nohy se rovnají straně čtverce. To znamená, že x 2 = a 2 + a 2. Ukazuje se tedy, že a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Nahraďte číslo 22 místo d a nahraďte „n“ jeho hodnotou - 14, ukáže se, že strana čtverce je 12 cm. Nyní zjistěte plochu základny: 12 * 12 = 144 cm 2.

Chcete-li zjistit plochu celého povrchu, musíte přidat dvojnásobek základní plochy a zčtyřnásobit boční plochu. Ten lze snadno najít pomocí vzorce pro obdélník: vynásobte výšku mnohostěnu a stranu základny. To znamená, že 14 a 12, toto číslo se bude rovnat 168 cm2. Celková plocha hranolu je 960 cm2.

Odpovědět. Plocha základny hranolu je 144 cm2. Celková plocha je 960 cm2.

č. 2. Dáno Na základně je trojúhelník o straně 6 cm V tomto případě je úhlopříčka boční plochy 10 cm Vypočítejte plochy: základna a boční plocha.

Řešení. Protože je hranol pravidelný, jeho základna je rovnostranný trojúhelník. Jeho plocha se tedy rovná 6 na druhou, vynásobené ¼ a druhou odmocninou ze 3. Jednoduchý výpočet vede k výsledku: 9√3 cm2. Toto je plocha jedné základny hranolu.

Všechny boční plochy jsou stejné a jsou to obdélníky se stranami 6 a 10 cm.Pro výpočet jejich plochy stačí tato čísla vynásobit. Pak je vynásobte třemi, protože hranol má přesně tolik bočních ploch. Pak se plocha bočního povrchu rány ukáže jako 180 cm 2.

Odpovědět. Plochy: základna - 9√3 cm 2, boční plocha hranolu - 180 cm 2.