Slovníček pojmů planimetrie- Zde jsou shromážděny definice pojmů z planimetrie. Odkazy na termíny v tomto slovníku (na této stránce) jsou uvedeny kurzívou. # A B C D E F F G I K L M N O P R S ... Wikipedie

kolineární body

Přímá konkurence- Zde jsou shromážděny definice pojmů z planimetrie. Odkazy na termíny v tomto slovníku (na této stránce) jsou uvedeny kurzívou. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedie

Apolloniův obvod- Zde jsou shromážděny definice pojmů z planimetrie. Odkazy na termíny v tomto slovníku (na této stránce) jsou uvedeny kurzívou. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedie

Rovinná transformace- Zde jsou shromážděny definice pojmů z planimetrie. Odkazy na termíny v tomto slovníku (na této stránce) jsou uvedeny kurzívou. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedie

Cheviana- Zde jsou shromážděny definice pojmů z planimetrie. Odkazy na termíny v tomto slovníku (na této stránce) jsou uvedeny kurzívou. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U V ... Wikipedie

Glosář planimetrie- Tato stránka je glosář. Viz také hlavní článek: Planimetrie Zde jsou shromážděné definice pojmů z planimetrie. Odkazy na termíny v tomto slovníku (na této stránce) jsou psány kurzívou ... Wikipedie

Apolloniův problém- Úkolem Apollonia je sestrojit kružnici tečnou ke třem daným kružnicím pomocí kružítka a pravítka. Podle legendy problém zformuloval Apollonius z Pergy kolem roku 220 před Kristem. E. v knize "Dotek", která se ztratila ... Wikipedie

Apolloniův problém- Úkolem Apollonia je sestrojit kružnici tečnou ke třem daným kružnicím pomocí kružítka a pravítka. Podle legendy problém zformuloval Apollonius z Pergy kolem roku 220 před Kristem. E. v knize "Touch", která byla ztracena, ale byla ... ... Wikipedie

Voronoiův diagram- náhodná množina bodů v rovině Voronoiův diagram konečné množiny bodů S v rovině představuje takové rozdělení roviny, ve kterém ka ... Wikipedia

V předchozí lekci jsme uvažovali o vlastnostech osy úhlu, uzavřeného v trojúhelníku i volné. Trojúhelník obsahuje tři úhly a pro každý z nich jsou zachovány uvažované vlastnosti ose.

Teorém:

Osy AA 1, BB 1, CC 1 trojúhelníku se protínají v jednom bodě O (obr. 1).

Rýže. 1. Ilustrace k větě

Důkaz:

Uvažujme první dvě osy BB 1 a СС 1 . Protínají se, průsečík O existuje. Abychom to dokázali, předpokládejme opak: nechť se dané osy neprotínají, v tom případě jsou rovnoběžné. Potom přímka BC je sečna a součet úhlů , to je v rozporu s tím, že v celém trojúhelníku je součet úhlů .

Existuje tedy bod O průsečíku dvou os. Zvažte jeho vlastnosti:

Bod O leží na ose úhlu , což znamená, že je stejně vzdálený od svých stran BA a BC. Pokud je OK kolmá k BC, OL je kolmá k BA, pak jsou délky těchto kolmiček rovny -. Také bod O leží na osnici úhlu a je stejně vzdálený od jeho stran CB a CA, kolmice OM a OK jsou stejné.

Dostali jsme následující rovnosti:

, to znamená, že všechny tři kolmice spadlé z bodu O ke stranám trojúhelníku jsou si navzájem rovny.

Zajímá nás rovnost kolmiček OL a OM. Tato rovnost říká, že bod O je stejně vzdálený od stran úhlu, proto leží na jeho ose AA 1.

Tím jsme dokázali, že všechny tři osy trojúhelníku se protínají v jednom bodě.

Navíc se trojúhelník skládá ze tří segmentů, což znamená, že bychom měli zvážit vlastnosti jednoho segmentu.

Je uveden segment AB. Libovolný segment má střed a lze jím protáhnout kolmici - označujeme ji p. P je tedy odvěsna.

Rýže. 2. Ilustrace k větě

Jakýkoli bod ležící na kolmici je ve stejné vzdálenosti od konců úsečky.

Dokažte to (obr. 2).

Důkaz:

Zvažte trojúhelníky a . Jsou pravoúhlé a rovné, protože mají společnou nohu OM a nohy AO a OB jsou si rovny podle podmínky, takže máme dva pravoúhlé trojúhelníky, které jsou stejné ve dvou nohách. Z toho plyne, že přepony trojúhelníků jsou si také rovny, tedy, což mělo být dokázáno.

Opačná věta je pravdivá.

Každý bod stejně vzdálený od konců segmentu leží na ose kolmice k tomuto segmentu.

Úsečka AB je dána, odvěsna k ní je p, bod M je stejně vzdálen od konců úsečky. Dokažte, že bod M leží na ose kolmice k úsečce (obr. 3).

Rýže. 3. Ilustrace k větě

Důkaz:

Uvažujme trojúhelník. Je rovnoramenný, jako podle stavu. Uvažujme střed trojúhelníku: bod O je střed základny AB, OM je střed. Podle vlastnosti rovnoramenného trojúhelníku je medián k jeho základně jak výška, tak osa. Z toho plyne, že . Ale přímka p je také kolmá k AB. Víme, že jedinou kolmici k úsečce AB lze vést k bodu O, což znamená, že přímky OM a p se shodují, z toho plyne, že bod M patří k přímce p, kterou bylo třeba dokázat.

Přímé a inverzní věty lze zobecnit.

Bod leží na kolmici úsečky právě tehdy, když je ve stejné vzdálenosti od konců této úsečky.

Takže zopakujeme, že v trojúhelníku jsou tři úsečky a vlastnost odvěsny platí pro každý z nich.

Teorém:

Odvěsny trojúhelníku se protínají v jednom bodě.

Je dán trojúhelník. Kolmo na jeho strany: P 1 na stranu BC, P 2 na stranu AC, P 3 na stranu AB.

Dokažte, že se kolmice Р 1 , Р 2 a Р 3 protínají v bodě O (obr. 4).

Rýže. 4. Ilustrace k větě

Důkaz:

Uvažujme dvě středodvislice P 2 a P 3, protínají se, průsečík O existuje. Dokažme tuto skutečnost kontradikcí - kolmice P 2 a P 3 nechť jsou rovnoběžné. Pak je úhel rovný, což je v rozporu s tím, že součet tří úhlů trojúhelníku je . Existuje tedy bod O průsečíku dvou ze tří kolmých os. Vlastnosti bodu O: leží na odvěsně ke straně AB, což znamená, že je stejně vzdálen od konců úsečky AB:. Leží také na kolmici na stranu AC, takže . Získali jsme následující rovnosti.

V trojúhelníku jsou takzvané čtyři pozoruhodné body: průsečík střednic. Průsečík os, průsečík výšek a průsečík odvěsnic. Podívejme se na každou z nich.

Průsečík střednic trojúhelníku

Věta 1

Na průsečíku střednic trojúhelníku: Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě a rozdělují průsečík v poměru $2:1$ počínaje vrcholem.

Důkaz.

Uvažujme trojúhelník $ABC$, kde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ je jeho medián. Protože mediány rozdělují strany na polovinu. Uvažujme střední čáru $A_1B_1$ (obr. 1).

Obrázek 1. Mediány trojúhelníku

Podle věty 1, $AB||A_1B_1$ a $AB=2A_1B_1$, tedy $\úhel ABB_1=\úhel BB_1A_1,\ \úhel BAA_1=\úhel AA_1B_1$. Trojúhelníky $ABM$ a $A_1B_1M$ jsou tedy podobné podle prvního kritéria podobnosti trojúhelníků. Pak

Podobně je dokázáno, že

Věta byla prokázána.

Průsečík os trojúhelníku

Věta 2

Na průsečíku os trojúhelníku: Osy trojúhelníku se protínají v jednom bodě.

Důkaz.

Uvažujme trojúhelník $ABC$, kde $AM,\ BP,\ CK$ jsou jeho osy. Nechť bod $O$ je průsečíkem os $AM\ a\ BP$. Nakreslete z tohoto bodu kolmo ke stranám trojúhelníku (obr. 2).

Obrázek 2. Osy trojúhelníku

Věta 3

Každý bod osy neroztaženého úhlu je stejně vzdálený od jeho stran.

Podle věty 3 máme: $OX=OZ,\ OX=OY$. Proto $OY=OZ$. Bod $O$ je tedy stejně vzdálený od stran úhlu $ACB$, a proto leží na jeho ose $CK$.

Věta byla prokázána.

Průsečík odvěsných os trojúhelníku

Věta 4

Odvěsny stran trojúhelníku se protínají v jednom bodě.

Důkaz.

Nechť je dán trojúhelník $ABC$, $n,\ m,\ p$ jeho odvěsny. Nechť bod $O$ je průsečíkem odvěsnic $n\ a\ m$ (obr. 3).

Obrázek 3. Odvěsny trojúhelníku

K důkazu potřebujeme následující větu.

Věta 5

Každý bod kolmice k úsečce je stejně vzdálen od konců tento segment.

Podle věty 3 máme: $OB=OC,\ OB=OA$. Proto $OA=OC$. To znamená, že bod $O$ je stejně vzdálen od konců úsečky $AC$, a tedy leží na její odvěsně $p$.

Věta byla prokázána.

Průsečík výšek trojúhelníku

Věta 6

Výšky trojúhelníku nebo jejich prodloužení se protínají v jednom bodě.

Důkaz.

Uvažujme trojúhelník $ABC$, kde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ je jeho výška. Každým vrcholem trojúhelníku nakreslete čáru rovnoběžnou se stranou protilehlou k vrcholu. Dostaneme nový trojúhelník $A_2B_2C_2$ (obr. 4).

Obrázek 4. Výšky trojúhelníku

Protože $AC_2BC$ a $B_2ABC$ jsou rovnoběžníky se společnou stranou, pak $AC_2=AB_2$, tj. bod $A$ je středem strany $C_2B_2$. Podobně dostaneme, že bod $B$ je středem strany $C_2A_2$ a bod $C$ je středem strany $A_2B_2$. Z konstrukce máme, že $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ jsou tedy odvěsny trojúhelníku $A_2B_2C_2$. Pak podle věty 4 máme, že výšky $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ se protínají v jednom bodě.

Důkazy vět o vlastnostech kružnice opsané trojúhelníku

Středově kolmo k segmentu

Definice 1. Středově kolmo k segmentu zvaná, přímka kolmá k tomuto segmentu a procházející jeho středem (obr. 1).

Věta 1. Každý bod kolmice k úsečce je ve stejné vzdálenosti od konců tento segment.

Důkaz . Uvažujme libovolný bod D ležící na odvěsně k úsečce AB (obr. 2) a dokažte, že trojúhelníky ADC a BDC jsou si rovny.

Tyto trojúhelníky jsou ve skutečnosti pravoúhlé trojúhelníky, jejichž nohy AC a BC jsou stejné, zatímco nohy DC jsou společné. Z rovnosti trojúhelníků ADC a BDC vyplývá rovnost úseček AD a DB. Věta 1 je dokázána.

Věta 2 (obrácená věta 1). Pokud je bod ve stejné vzdálenosti od konců úsečky, pak leží na ose kolmice k této úsečce.

Důkaz . Dokažme Větu 2 metodou „sporem“. Za tímto účelem předpokládejme, že nějaký bod E je ve stejné vzdálenosti od konců úsečky, ale neleží na ose kolmice k této úsečce. Uveďme tento předpoklad do rozporu. Uvažujme nejprve případ, kdy body E a A leží na opačných stranách odvěsny (obr. 3). V tomto případě úsečka EA protíná v nějakém bodě kolmici, kterou označíme písmenem D.

Dokažme, že segment AE je delší než segment EB. Opravdu,

Tedy v případě, kdy body E a A leží na opačných stranách odvěsny, dostali jsme rozpor.

Nyní zvažte případ, kdy body E a A leží na stejné straně odvěsny (obr. 4). Dokažme, že segment EB je delší než segment AE. Opravdu,

Výsledný rozpor doplňuje důkaz věty 2

Kružnice opsané trojúhelníku

Definice 2 . Kružnice opsané trojúhelníku, nazvěme kružnici procházející všemi třemi vrcholy trojúhelníku (obr. 5). V tomto případě se nazývá trojúhelník trojúhelník vepsaný do kruhu nebo vepsaný trojúhelník.

Vlastnosti kružnice opsané trojúhelníku. Sinusová věta

Postava	Výkres	Vlastnictví
Střední kolmice ke stranám trojúhelníku		protínají v jednom bodě .
Centrum opsané kolem ostrého trojúhelníku kružnice		Centrum popsáno o ostroúhlý uvnitř trojúhelník.
Centrum popsáno o pravoúhlý trojuhelník kruhy		Střed popsaných o obdélníkový střed přepony .
Centrum opsané kolem tupého trojúhelníku kružnice		Centrum popsáno o tupý kruh trojúhelník leží mimo trojúhelník.
		,
Náměstí trojúhelník		S= 2R 2 hřích A hřích B hřích C ,
Poloměr kružnice opsané		Pro jakýkoli trojúhelník platí rovnost:

Středodvislice ke stranám trojúhelníku

Všechny kolmice nakreslený ke stranám libovolného trojúhelníku, protínají v jednom bodě .

Kružnice opsané trojúhelníku

Jakýkoli trojúhelník může být opsán kružnicí. . Střed kružnice opsané trojúhelníku je bod, kde se protínají všechny odvěsny nakreslené ke stranám trojúhelníku.

Střed kružnice opsané ostroúhlému trojúhelníku

Centrum popsáno o ostroúhlý kruh trojúhelník leží uvnitř trojúhelník.

Střed kružnice opsané pravoúhlému trojúhelníku

Střed popsaných o obdélníkový kruhový trojúhelník je střed přepony .

Střed kružnice opsané kolem tupého trojúhelníku

Centrum popsáno o tupý kruh trojúhelník leží mimo trojúhelník.

Pro jakýkoli trojúhelník platí rovnosti (sinusová věta): , kde a, b, c jsou strany trojúhelníku, A, B, C jsou úhly trojúhelníku, R je poloměr kružnice opsané.

Oblast trojúhelníku

Pro jakýkoli trojúhelník platí rovnost: S= 2R 2 hřích A hřích B hřích C , kde A, B, C jsou úhly trojúhelníku, S je plocha trojúhelníku, R je poloměr opsané kružnice.

Poloměr kružnice opsané

Pro jakýkoli trojúhelník platí rovnost: kde a, b, c jsou strany trojúhelníku, S je plocha trojúhelníku, R je poloměr opsané kružnice.

Důkazy vět o vlastnostech kružnice opsané trojúhelníku

Věta 3. Všechny střední odvěsny nakreslené ke stranám libovolného trojúhelníku se protínají v jednom bodě.

Důkaz . Uvažujme dvě odvěsny nakreslené ke stranám AC a AB trojúhelníku ABC a bod jejich průsečíku označíme písmenem O (obr. 6).

Protože bod O leží na ose k úsečce AC , pak na základě věty 1 platí rovnost.

Poskytněte představu o nové třídě problémů - konstrukci geometrické tvary pomocí kružítka a pravítka bez dílků stupnice.

Představte koncept GMT.

Uveďte definici odvěsny, naučte se ji postavit a dokažte pojem o odvěsně i její inverzní ose.

Pomocí počítačového kreslicího systému Compass-3D provádějte geometrické konstrukce, které se doporučuje provádět v kurzu geometrie pomocí kružítka a pravítka.

Pracovní list (příloha č. 1)

Problémy se stavbou pomocí kompasu a pravítka bez dělení se nejčastěji řeší podle určitého schématu:

já Analýza: Nakreslete schematicky požadovaný obrázek a vytvořte vazby mezi daty problému a požadovanými prvky.

II. Budova: Podle plánu staví kružítkem a pravítkem.

III. Důkaz: Dokažte, že sestrojený obrazec splňuje podmínky problému.

IV. Studie: Proveďte studii pro jakákoli data, zda má problém řešení, a pokud ano, kolik řešení (neprovádět všechny problémy).

Zde je několik příkladů základních konstrukčních úloh, které budeme zvažovat:

1. Odložte část rovnající se této (studované dříve).

2. Konstrukce kolmice k úsečce:

• sestrojte střed daného segmentu;
• sestrojte přímku procházející daným bodem a kolmou k dané přímce (bod může, ale nemusí ležet na dané přímce).

3. Konstrukce osy úhlu.

4. Konstrukce úhlu rovného danému.

Medián kolmý k segmentu.

Definice: Kolmice úsečky je přímka procházející středem úsečky a kolmá k ní.

Úkol: "Sestrojte kolmici na úsečku." Prezentace

O - střed AB

Popis konstrukce ( snímek číslo 4):

Paprsek a; A - začátek paprsku

Obvod (A; r = m)

Kruh a = B; AB = m

Kruh 1 (A; r 1 > m/2)

Kruh 2 (B; r 1)

Kruh 1 Kruh 2 =

MN; MN AB = 0, (MN = L)

kde MN AB, O je střed AB

III. Důkaz(snímek číslo 5, 6)

1. Zvažte AMN a BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2 , tedy AM = BN , AN = BM MN je společná strana

(Obrázek 3)

Proto AMN = BNM (na 3 stranách),

Proto

1 = 2 (podle definice se rovná)

3 = 4 (podle definice se rovná)

2. MAN a NBM jsou rovnoramenné (podle definice) ->

1 \u003d 4 a 3 \u003d 2 (vlastností rovnoramenných)

3. Z bodů 1 a 2 -> 1 = 3 je tedy MO sečna rovnoramenného AMB

4. Tím jsme dokázali, že MN je kolmice na úsečku AB

IV. Studie

Tento problém má jedinečné řešení, protože každý segment má pouze jeden střed a skrz daný bod kolmá k dané přímce je pouze jedna.

Definice: Geometrický soubor bodů (GMT) je soubor bodů, které mají nějakou vlastnost. (Příloha č. 2)

Známe GMT:

1. Kolmice úsečky je množina bodů stejně vzdálených od konců úsečky.
2. Osa úhlu - množina bodů stejně vzdálených od stran úhlu

Pojďme tedy dokázat větu:

Věta: "Každý bod kolmice na úsečku je stejně vzdálený od konců této úsečky."

(Obrázek 4)

Dáno: AB; MO - kolmice

Dokázat: AM = VM

Důkaz: 1. MO - kolmice (podle podmínky) -> O - střed segmentu AB, MOAB 2. Uvažujme AMO a WMO - obdélníkové MO - společná noha

AO \u003d VO (O - střed AB) -\u003e AMO \u003d BMO (na 2 nohách) -\u003e AM \u003d VM (podle definice rovné trojúhelníky jako příslušné strany) Q.E.D

Domácí úkol: „Dokažte inverzní větu k dané“

Věta: „Každý bod stejně vzdálený od konců segmentu leží na kolmici k tomuto segmentu.

(Obrázek 5)

Dáno: AB; MA = MV

Dokázat: Bod M leží na ose kolmice

Důkaz:

Že. MO - kolmice obsahující všechny body stejně vzdálené od konců úsečky.

Vlastnost odvěsnic ke stranám trojúhelníku

Protínají se v jednom bodě a tento bod je středem opsané kružnice kolem trojúhelníku, budeme se učit v osmé třídě.

Dílna

Materiální a technické vybavení:

Distribuce: 29 574 KB

OS: Windows 9x/2000/XP

Webové stránky: http://www.ascon.ru

Nyní konstrukci přeneseme do grafického prostředí počítače (snímek číslo 7)

Dříve získané znalosti a dovednosti je nutné aplikovat na konkrétní úkol. Uvidíte, že stavba vám nezabere více času než stavba v notebooku. Mimo jiné je zajímavé sledovat, jak počítačové prostředí vykonává lidské příkazy ke stavbě rovinných obrazců. Před vámi je příloha č. 3, ve které jsou podrobně popsány vaše stavební kroky. Načtěte program a otevřete nový výkres ( snímek číslo 8, 9).

Nakreslete geometrické objekty zadané v podmínce problému: paprsek A počínaje bodem A a segment je stejný m- libovolná délka ( snímek číslo 10).

Označení nosníku, segmentu, začátku nosníku zadejte do výkresu pomocí záložky "Nástroje" text.

Sestrojte kružnici s poloměrem rovným úsečce m se středem ve vrcholu daným bodem A (snímek číslo 11).

m se středem ve vrcholu daného bodu A ( snímek №12, 13).

Sestrojte kružnici s poloměrem rovným segmentu větším než 1/2 m Chcete-li to provést, vyberte položku „ Mezi 2 body“ (snímek №14, 15, 16).

Přes průsečíky kružnic M a N Nakresli čáru ( snímek №17,18).

Použité knihy:

1. Ugrinovič N.D. „Informatika. Základní kurz“ 7. třída. - M.: BINOM - 2008 - 175 s.
2. Ugrinovič N.D. „Workshop o informatice a informační technologie". Tutorial. - M.: BINOM, 2004-2006. -
3. Ugrinovič N.D. „Výuka kurzu „Informatika a ICT“ pro ročníky 8-11 ZŠ a SŠ: BINOM Knowledge Laboratory, 2008. - 180 s.
4. Ugrinovič ND Počítačový workshop na CD-ROM. - M.: BINOM, 2004-2006.
5. Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. "Kompas - 3D v 5.11-8.0 Workshop pro začátečníky" - M .: SOLON - PRESS, 2006 - 272 s.
6. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a kol „Geometrie 7-9. Učebnice pro střední školy "- M: Vzdělávání 2006 - 384 s.
7. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al „Study of geometry grades 7-9. Pokyny k učebnici "- M: Education 1997 - 255 s.
8. Afanas'eva T.L., Tapilina L.A. "Plány lekce pro učebnici Atanasyan L.S." - Volgograd "Učitel" 2010, 166 s.

Přihláška č. 1

Plán řešení problémů na konstrukci kružítka a pravítka.

1. Analýza.
2. Konstrukce.
3. Důkaz.
4. Studie.

Vysvětlení

1. Při provádění analýzy se schematicky nakreslí požadovaný obrazec a vytvoří se spojení mezi daty zakázky a požadovanými prvky.
2. Stavba se podle plánu provádí kružítkem a pravítkem.
3. Dokazují, že sestrojený obrazec splňuje podmínky problému.
4. Proveďte studii: pro nějaká data má problém řešení, a pokud ano, kolik řešení?

Příklady elementárních konstrukčních úloh

1. Oddělte část rovnající se danému.
2. Sestrojte kolmici na úsečku.
3. Sestrojte střed segmentu.
4. Sestrojte přímku procházející daným bodem, kolmou k dané přímce (Bod může, ale nemusí ležet na dané přímce).
5. Sestrojte sečnu úhlu.
6. Sestrojte úhel rovný danému.

Aplikace č. 2

Lokus bodů (GMT) je množina bodů, které mají nějakou vlastnost.

Příklady GMT:

1. Kolmice úsečky je množina bodů stejně vzdálených od konců úsečky.
2. Kružnice je množina bodů stejně vzdálených od daného bodu – středu kružnice.
3. Osa úhlu je množina bodů stejně vzdálených od stran úhlu.

Každý bod kolmice k úsečce je stejně vzdálen od konců této úsečky.