Po usilovné práci jsem si najednou všiml, že velikosti webových stránek jsou poměrně velké a pokud to takto půjde dál, můžete se v klidu stát brutálním =) Proto vám dávám do pozornosti malou esej na velmi častý geometrický problém - o rozdělení segmentu v tomto ohledu a jako zvláštní případ, o rozdělení segmentu na polovinu.

Z toho či onoho důvodu se tento úkol nevešel do jiných lekcí, ale nyní je skvělá příležitost se nad ním podrobně a pomalu zamyslet. Dobrou zprávou je, že si od vektorů na chvíli odpočineme a zaměříme se na body a úsečky.

Vzorce dělení sekcí v tomto ohledu

Koncepce segmentového rozdělení v tomto ohledu

Často nemusíte vůbec čekat na to, co bylo slíbeno, okamžitě zvážíme několik bodů a, samozřejmě neuvěřitelné, segment:

Uvažovaný problém platí jak pro segmenty roviny, tak pro segmenty prostoru. To znamená, že demonstrační segment může být umístěn jakýmkoli způsobem v rovině nebo v prostoru. Pro snazší vysvětlení jsem to nakreslil vodorovně.

Co s tímto segmentem uděláme? Tentokrát viděl. Někdo řeže rozpočet, někdo řeže manžela, někdo řeže dříví a my začneme řezat segment na dvě části. Segment je rozdělen na dvě části pomocí nějakého bodu, který je samozřejmě umístěn přímo na něm:

V tomto příkladu bod rozděluje segment takovým způsobem, že segment je dvakrát kratší než segment . STÁLE můžeme říci, že bod rozděluje segment ve vztahu („jedna ku dvěma“), počítáno shora.

Na suchu matematický jazyk tato skutečnost se zapisuje takto: , nebo častěji ve tvaru obvyklého poměru: . Poměr segmentů se obvykle označuje řeckým písmenem "lambda", v tomto případě: .

Je snadné sestavit podíl v jiném pořadí: - tento záznam znamená, že segment je dvakrát delší než segment, ale to nemá zásadní význam pro řešení problémů. Může to tak být a může to tak být.

Samozřejmě, že segment lze snadno rozdělit v jiném ohledu a jako posílení konceptu druhý příklad:

Zde platí poměr: . Pokud proporce uděláme obráceně, pak dostaneme: .

Poté, co jsme přišli na to, co v tomto ohledu znamená rozdělení segmentu, přejděme k úvahám o praktických problémech.

Pokud jsou známy dva body roviny, pak souřadnice bodu, který rozděluje segment ve vztahu k, jsou vyjádřeny vzorcem:

Kde se vzaly tyto vzorce? V průběhu analytické geometrie jsou tyto vzorce striktně odvozeny pomocí vektorů (kde bychom bez nich byli? =)). Navíc platí nejen pro kartézský souřadnicový systém, ale i pro libovolný afinní systém souřadnice (viz lekce Lineární (ne)závislost vektorů. Vektorový základ). Takový je univerzální úkol.

Příklad 1

Najděte souřadnice bodu, který rozděluje segment ve vztahu k , pokud jsou body známy

Řešení: V tomto problému. Podle vzorců pro rozdělení segmentu v tomto ohledu najdeme bod:

Odpovědět:

Věnujte pozornost technice výpočtu: nejprve musíte samostatně vypočítat čitatel a samostatně jmenovatel. Výsledkem je často (ale zdaleka ne vždy) tří- nebo čtyřpatrový zlomek. Poté se zbavíme vícepodlažní frakce a provedeme konečná zjednodušení.

Úkol nevyžaduje výkres, ale vždy je užitečné jej dokončit na konceptu:

Ve skutečnosti je vztah splněn, to znamená, že segment je třikrát kratší než segment . Pokud poměr není zřejmý, pak lze segmenty vždy hloupě změřit obyčejným pravítkem.

Ekvivalent druhý způsob řešení: v něm odpočítávání začíná od bodu a vztah je spravedlivý: (lidská slova, segment je třikrát delší než segment ). Podle vzorců pro rozdělení segmentu v tomto ohledu:

Odpovědět:

Všimněte si, že ve vzorcích je nutné posunout souřadnice bodu na první místo, protože tím začal malý thriller.

Je také vidět, že druhý způsob je racionálnější díky více jednoduché výpočty. Ale stejně tento úkolčastěji rozhodováno v „tradičním“ pořadí. Pokud je například segment dán podmínkou, pak se předpokládá, že vytvoříte proporci, pokud je segment dán, pak „tacitly“ znamená poměr.

A druhou metodu jsem uvedl z toho důvodu, že se často snaží záměrně zaměnit stav problému. Proto je velmi důležité provést návrh výkresu, aby se za prvé správně analyzoval stav a za druhé pro účely ověření. Je škoda dělat chyby v tak jednoduchém úkolu.

Příklad 2

Dané body . Nalézt:

a) bod rozdělující segment vzhledem k ;
b) bod rozdělující segment ve vztahu k .

Toto je příklad pro nezávislé řešení. Kompletní řešení a odpověď na konci lekce.

Někdy nastanou problémy, kdy jeden z konců segmentu není znám:

Příklad 3

Bod patří do segmentu . Je známo, že segment je dvakrát delší než segment. Najděte bod, pokud .

Řešení: Z podmínky vyplývá, že bod rozděluje úsečku ve vztahu k , počítáno shora, to znamená, že podíl platí: . Podle vzorců pro rozdělení segmentu v tomto ohledu:

Nyní neznáme souřadnice bodu : , ale to není zvláštní problém, protože je lze snadno vyjádřit z výše uvedených vzorců. V obecný pohled její vyjádření nestojí nic, je mnohem jednodušší dosadit konkrétní čísla a pečlivě se zabývat výpočty:

Odpovědět:

Chcete-li zkontrolovat, můžete vzít konce segmentu a pomocí vzorců v přímém pořadí se ujistit, že poměr se skutečně ukáže jako bod. A samozřejmě, samozřejmě, kresba nebude zbytečná. A abych vás konečně přesvědčil o výhodách kostkovaného sešitu, jednoduché tužky a pravítka, navrhuji záludný úkol pro samostatné řešení:

Příklad 4

tečka . Segment je jedenapůlkrát kratší než segment . Najděte bod, pokud jsou známy souřadnice bodů .

Řešení na konci lekce. Mimochodem, není to jediné, pokud půjdete jinou cestou než vzorek, tak to nebude chyba, hlavní je, že se odpovědi shodují.

U prostorových segmentů bude vše úplně stejné, jen se přidá ještě jedna souřadnice.

Pokud jsou známy dva body v prostoru, pak souřadnice bodu, který rozděluje segment ve vztahu k, jsou vyjádřeny vzorcem:
.

Příklad 5

Body se dávají. Najděte souřadnice bodu patřícího do segmentu, pokud je to známo .

Řešení: Vztah vyplývá z podmínky: . Tento příklad je převzatý z reálného testu a jeho autor si dovolil malou hříčku (najednou někdo klopýtne) - racionálnější by bylo zapsat proporci do podmínky takto: .

Podle vzorců pro souřadnice středu segmentu:

Odpovědět:

Provedení trojrozměrných výkresů pro účely ověření je mnohem obtížnější. Vždy si však můžete udělat schematický nákres, abyste pochopili alespoň podmínku – které segmenty je třeba korelovat.

Co se týče zlomků v odpovědi, nedivte se, je to běžné. Řekl jsem to mnohokrát, ale opakuji: ve vyšší matematice je zvykem ovládat obyčejné pravidelné a nevlastní zlomky. Odpovězte ve formuláři bude stačit, ale varianta s nesprávnými zlomky je standardnější.

Zahřívací úloha pro nezávislé řešení:

Příklad 6

Body se dávají. Najděte souřadnice bodu, pokud je známo, že rozděluje segment vzhledem k .

Řešení a odpověď na konci lekce. Pokud je obtížné orientovat se v proporcích, vytvořte schematický nákres.

V nezávislých a kontrolní práce uvažované příklady se vyskytují jak samostatně, tak jako nedílná součást větších problémů. V tomto smyslu je typický problém hledání těžiště trojúhelníku.

Nevidím velký smysl analyzovat druh úkolu, kde je jeden z konců segmentu neznámý, protože vše bude vypadat jako plochý případ, až na to, že existuje trochu více výpočtů. Raději si vzpomeňte na školní léta:

Vzorce pro souřadnice středu segmentu

Dokonce i nepřipravení čtenáři si mohou pamatovat, jak rozdělit segment na polovinu. Úloha rozdělení segmentu na dvě stejné části je v tomto ohledu speciálním případem rozdělení segmentu. Obouruční pila funguje tím nejdemokratičtějším způsobem a každý soused u stolu dostane stejnou hůl:

V tuto slavnostní hodinu bubny tloukly a zdravily významnou část. A obecné vzorce zázračně proměněno v něco známého a jednoduchého:

Vhodným momentem je skutečnost, že souřadnice konců segmentu lze bezbolestně přeskupit:

V obecných vzorcích takové luxusní číslo, jak chápete, nefunguje. Ano, a tady to není zvláštní potřeba, takže příjemná maličkost.

Pro prostorový případ platí zřejmá analogie. Pokud jsou uvedeny konce segmentu, pak souřadnice jeho středu jsou vyjádřeny vzorcem:

Příklad 7

Rovnoběžník je dán souřadnicemi jeho vrcholů. Najděte průsečík jeho úhlopříček.

Řešení: Kdo si přeje, může dokreslit. Graffiti doporučuji především těm, kteří úplně zapomněli na školní kurz geometrie.

Podle známé vlastnosti jsou úhlopříčky rovnoběžníku rozděleny na polovinu svým průsečíkem, takže problém lze vyřešit dvěma způsoby.

Metoda jedna: Zvažte opačné vrcholy . Pomocí vzorců pro rozdělení segmentu na polovinu najdeme střed úhlopříčky:

Počáteční geometrické informace

Pojem úsečka, stejně jako pojem bodu, přímky, paprsku a úhlu, se vztahuje k počáteční geometrické informaci. Studium geometrie začíná těmito pojmy.

Pod pojmem "výchozí informace" se obvykle rozumí něco elementárního a jednoduchého. Pochopitelně, možná je to tak. S tak jednoduchými pojmy se však setkáváme často a jsou nezbytné nejen u nás Každodenní život ale také ve výrobě, stavebnictví a dalších oblastech našeho života.

Začněme definicemi.

Definice 1

Úsek je část přímky ohraničená dvěma body (konci).

Pokud jsou konce segmentu body $A$ a $B$, pak se vytvořený segment zapíše jako $AB$ nebo $BA$. Do takového segmentu patří body $A$ a $B$, stejně jako všechny body přímky ležící mezi těmito body.

Definice 2

Střed segmentu je bod na segmentu, který jej půlí na dva stejné segmenty.

Pokud je to bod $C$, pak $AC=CB$.

Segment se měří porovnáním s určitým segmentem, který se bere jako měrná jednotka. Nejčastěji se používá centimetr. Pokud se centimetr vejde přesně čtyřikrát do daného segmentu, pak to znamená, že délka tohoto segmentu je rovna $4$ cm.

Uveďme si jednoduchý postřeh. Pokud bod rozděluje segment na dva segmenty, pak je délka celého segmentu rovna součtu délek těchto segmentů.

Vzorec pro nalezení souřadnice středu segmentu

Vzorec pro nalezení souřadnice středu segmentu se vztahuje k průběhu analytické geometrie v rovině.

Definujme souřadnice.

Definice 3

Souřadnice jsou definovaná (nebo uspořádaná) čísla, která udávají polohu bodu v rovině, na povrchu nebo v prostoru.

V našem případě jsou souřadnice vyznačeny na rovině definované souřadnicovými osami.

Obrázek 3 Souřadnicová rovina. Author24 - online výměna studentských prací

Pojďme si obrázek popsat. V rovině je vybrán bod, který se nazývá počátek souřadnic. Označuje se písmenem $O$. Dvě přímky (souřadnicové osy) jsou nakresleny počátkem souřadnic a protínají se v pravých úhlech, jedna z nich je přísně horizontální a druhá je vertikální. Tato situace je považována za normální. Vodorovná čára se nazývá osa úsečky a označuje se $OX$, svislá osa ordináta $OY$.

Osy tedy definují rovinu $XOY$.

Souřadnice bodů v takovém systému jsou určeny dvěma čísly.

Existovat různé vzorce(rovnice), které určují určité souřadnice. Obvykle v rámci analytické geometrie studují různé vzorce pro úsečky, úhly, délky úsečky a další.

Pojďme rovnou ke vzorci pro souřadnici středu segmentu.

Definice 4

Pokud jsou souřadnice bodu $E(x,y)$ středem segmentu $M_1M_2$, pak:

Obrázek 4. Vzorec pro zjištění souřadnice středu segmentu. Author24 - online výměna studentských prací

Praktická část

Příklady z školní kurz geometrie jsou docela jednoduché. Podívejme se na několik hlavních.

Pro lepší pochopení začněme elementárním názorným příkladem.

Příklad 1

Máme nákres:

Na obrázku jsou segmenty $AC, CD, DE, EB$ stejné.

1. Středem kterých segmentů je bod $D$?
2. Jaký bod je středem segmentu $DB$?

1. bod $D$ je středem segmentů $AB$ a $CE$;
2. bod $E$.

Podívejme se na další jednoduchý příklad, ve kterém potřebujeme vypočítat délku.

Příklad 2

Bod $B$ je středem segmentu $AC$. $AB = 9$ cm Jaká je délka $AC$?

Protože m. $B$ půlí $AC$, pak $AB = BC= 9$ cm. Takže $AC = 9+9=18$ cm.

Odpověď: 18 cm.

Další podobné příklady jsou obvykle totožné a zaměřené na schopnost porovnávat hodnoty délky a jejich reprezentaci algebraické operace. V úlohách se často vyskytují případy, kdy se centimetr nevejde sudý počet časů do segmentu. Poté se měrná jednotka rozdělí na stejné části. V našem případě se centimetr dělí na 10 milimetrů. Samostatně změřte zbytek a porovnejte s milimetrem. Uveďme příklad demonstrující takový případ.

Velmi často je v problému C2 potřeba pracovat s body, které rozdělují segment na polovinu. Souřadnice takových bodů lze snadno vypočítat, pokud jsou známy souřadnice konců segmentu.

Nechť je tedy segment dán jeho konci - body A \u003d (x a; y a; za) a B \u003d (x b; y b; z b). Souřadnice středu úsečky - označíme ho bodem H - pak zjistíme podle vzorce:

Jinými slovy, souřadnice středu segmentu jsou aritmetickým průměrem souřadnic jeho konců.

· Úkol . Jednotková krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umístěna v souřadnicovém systému tak, aby osy x, y a z směřovaly podél hran AB, AD a AA 1 a počátek se kryl s bodem A. Bod K je střed hrany A 1 B 1 . Najděte souřadnice tohoto bodu.

Řešení. Protože bod K je středem úsečky A 1 B 1, jsou jeho souřadnice rovny aritmetickému průměru souřadnic konců. Zapišme si souřadnice konců: A 1 = (0; 0; 1) a B 1 = (1; 0; 1). Nyní najdeme souřadnice bodu K:

Odpovědět: K = (0,5; 0; 1)

· Úkol . Jednotková krychle ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 je umístěna v souřadnicovém systému tak, aby osy x, y a z směřovaly podél hran AB, AD a AA 1 v tomto pořadí a počátek se shodoval s bodem A. Najděte souřadnice bodu L, kde protínají úhlopříčky čtverce A 1 B 1 C 1 D 1 .

Řešení. Z průběhu planimetrie je známo, že průsečík úhlopříček čtverce je stejně vzdálený od všech jeho vrcholů. Konkrétně A1L = C1L, tzn. bod L je středem úsečky A 1 C 1 . Ale A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), takže máme:

Odpovědět: L = (0,5; 0,5; 1)

Nejjednodušší problémy analytické geometrie.
Akce s vektory v souřadnicích

Úkoly, které budou zvažovány, je velmi žádoucí naučit se je řešit plně automaticky a vzorce memorovat, schválně si to ani nepamatujte, oni si to zapamatují sami =) To je velmi důležité, protože ostatní problémy analytické geometrie jsou založeny na nejjednodušších elementárních příkladech a bude otravné trávit čas navíc pojídáním pěšců. Na košili si nemusíte zapínat vrchní knoflíky, spoustu věcí znáte ze školy.

Prezentace materiálu bude mít paralelní průběh - jak pro rovinu, tak pro vesmír. Z toho důvodu, že všechny vzorce ... uvidíte sami.

Jak zjistit souřadnice středu segmentu
Nejprve zjistíme, co je střed segmentu.
Střed segmentu je bod, kterému náleží tento segment a je ve stejné vzdálenosti od jeho konců.

Souřadnice takového bodu lze snadno zjistit, pokud jsou známy souřadnice konců tohoto segmentu. V tomto případě se souřadnice středu segmentu budou rovnat polovině součtu odpovídajících souřadnic konců segmentu.
Souřadnice středu segmentu se často nacházejí řešením problémů na střední, střední čáře atd.
Uvažujme výpočet souřadnic středu segmentu pro dva případy: když je segment dán v rovině a dán v prostoru.
Nechť je úsečka na rovině dána dvěma body se souřadnicemi a . Potom se souřadnice středu segmentu PH vypočítají podle vzorce:

Nechť je segment dán v prostoru dvěma body se souřadnicemi a . Potom se souřadnice středu segmentu PH vypočítají podle vzorce:

Příklad.
Najděte souřadnice bodu K - středu MO, pokud M (-1; 6) a O (8; 5).

Řešení.
Protože body mají dvě souřadnice, znamená to, že segment je dán v rovině. Používáme odpovídající vzorce:

V důsledku toho bude mít střed MO souřadnice K (3,5; 5,5).

Odpovědět. K (3,5; 5,5).