Výkonové vzorce používané v procesu redukce a zjednodušení složité výrazy, při řešení rovnic a nerovnic.

Číslo C je n-tá mocnina čísla A Když:

Operace se stupni.

1. Vynásobením stupňů se stejným základem se jejich ukazatele sečtou:

a ma n = a m + n.

2. Při dělení stupňů se stejným základem se jejich ukazatele odečítají:

3. Stupeň součinu 2 nebo více faktorů se rovná součinu stupňů těchto faktorů:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Stupeň zlomku se rovná poměru stupňů dividendy a dělitele:

(a/b) n = a n/bn.

5. Zvýšením mocniny na mocninu se exponenty vynásobí:

(am) n = a m n .

Každý výše uvedený vzorec je správný ve směru zleva doprava a naopak.

Například. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operace s kořeny.

1. Kořen součinu několika faktorů se rovná součinu kořenů těchto faktorů:

2. Kořen vztahu se rovná poměru dělitel a dělitel odmocnin:

3. Při zvýšení odmocniny na mocninu stačí zvýšit odmocninu na tuto mocninu:

4. Zvýšíme-li stupeň kořene v n jednou a zároveň zvýšit na n mocnina je číslo odmocniny, pak se hodnota odmocniny nezmění:

5. Pokud snížíme stupeň kořene v n root ve stejnou dobu n stupně od radikálního čísla, pak se hodnota odmocniny nezmění:

Stupeň se záporným exponentem. Stupeň čísla s nekladným (celočíselným) exponentem je definován jako jeden dělený stupněm stejného čísla s exponentem rovným absolutní hodnotě nekladného exponentu:

Vzorec a m:a n = a m - n lze použít nejen pro m> n, ale také na m< n.

Například. A4:a7 = a4-7 = a-3.

Formulovat a m:a n = a m - n se stal spravedlivým m=n, potřebujete přítomnost nultého stupně.

Stupeň s nulovým exponentem. Mocnina libovolného nenulového čísla s nulovým exponentem je rovna jedné.

Například. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stupeň se zlomkovým exponentem. Chcete-li zvýšit skutečné číslo A do určité míry m/n, musíte extrahovat kořen n tý stupeň m mocninu tohoto čísla A.

Každá aritmetická operace se někdy stává příliš těžkopádnou na zaznamenávání a snaží se ji zjednodušit. S operací sčítání to bývalo stejné. Bylo nutné, aby lidé prováděli opakované doplňování stejného typu, například spočítali náklady na sto perských koberců, jejichž cena za každý je 3 zlaté. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. Kvůli objemnosti se uvažovalo o redukci zápisu na 3 * 100 = 300. Ve skutečnosti zápis „třikrát sto“ znamená, že je třeba vzít sto trojic a sečíst je dohromady. Násobení zakořenilo, získalo všeobecnou oblibu. Svět však nestojí a ve středověku bylo nutné provádět opakované množení stejného typu. Vzpomínám si na starou indiánskou hádanku o mudrci, který jako odměnu za vykonanou práci žádal pšeničná zrna v následujícím množství: za první buňku šachovnice žádal jedno zrnko, za druhou dvě, třetí čtyři, pátou osm a tak dále. Tak se objevilo první násobení mocnin, protože počet zrnek byl roven dvěma mocninám počtu buněk. Například v poslední buňce by bylo 2*2*2*…*2 = 2^63 grainů, což se rovná číslu dlouhému 18 znaků, což je ve skutečnosti význam hádanky.

Operace zvyšování na mocninu se zakořenila poměrně rychle a také se rychle stalo nutností provádět sčítání, odčítání, dělení a násobení stupňů. To druhé stojí za zvážení podrobněji. Vzorce pro sčítání mocnin jsou jednoduché a snadno zapamatovatelné. Kromě toho je velmi snadné pochopit, odkud pocházejí, pokud je výkonová operace nahrazena násobením. Nejprve však musíte pochopit základní terminologii. Výraz a^b (čti „a na mocninu b“) znamená, že číslo a by mělo být samo sebou vynásobeno bkrát a „a“ se nazývá základ stupně a „b“ je exponent. Pokud jsou základy mocnin stejné, pak jsou vzorce odvozeny zcela jednoduše. Konkrétní příklad: najděte hodnotu výrazu 2^3 * 2^4. Abyste věděli, co by se mělo stát, měli byste před zahájením řešení zjistit odpověď na počítači. Po vložení tohoto výrazu do jakékoli online kalkulačky, vyhledávače, zadáním „násobení stupňů pomocí různé důvody a stejný" nebo matematický balíček, výstup bude 128. Nyní napíšeme tento výraz: 2^3 = 2*2*2 a 2^4 = 2*2*2*2. Ukáže se, že 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^2 = 2^7 = 2^(3+4) se rovná součinu se stejným výkonem. na součet dvou předchozích stupňů.

Možná si myslíte, že jde o nehodu, ale ne: jakýkoli jiný příklad může toto pravidlo jen potvrdit. Tedy v obecný pohled vzorec vypadá takto: a^n * a^m = a^(n+m) . Existuje také pravidlo, že jakékoli číslo s nulovou mocninou se rovná jedné. Zde bychom měli pamatovat na pravidlo záporných mocnin: a^(-n) = 1 / a^n. To znamená, že pokud 2^3 = 8, pak 2^(-3) = 1/8. Pomocí tohoto pravidla můžeme dokázat rovnost a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^(n) lze snížit a jedno zůstane. Z toho je odvozeno pravidlo, že podíl mocnin se stejnými základy je roven tomuto základu do stupně rovného podílu děliče a dělitele: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . Příklad: Zjednodušte výraz 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . Násobení je komutativní operace, takže exponenty násobení je třeba nejprve sečíst: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. Dalším krokem je vypořádat se s rozdělením na negativní stupeň. Od dělitele je nutné odečíst exponent dělitele: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. Ukazuje se, že operace dělení zápornou mocninou je totožná s operací násobení podobným kladným exponentem. Takže konečná odpověď je 8.

Existují příklady, kdy dochází k nekanonickému násobení pravomocí. Násobení mocnin s různými základy je velmi často mnohem obtížnější a někdy dokonce nemožné. Je třeba uvést několik příkladů různých možných přístupů. Příklad: zjednodušte výraz 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. Je zřejmé, že dochází k násobení mocnin s různými základy. Je však třeba poznamenat, že všechny báze jsou různé mocniny trojice. 9 = 3^2,1 = 3^4,3 = 3^5,9 = 3^6. Pomocí pravidla (a^n) ^m = a^(n*m) , byste měli výraz přepsat do pohodlnějšího tvaru: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^6 = 3-12* 3^6 = 3-12) 10+ 6) = 3^(11) . Odpověď: 3^11. V případech, kdy různé důvody, na stejný výkon pravidlo a^n * b^n = (a*b) ^n funguje. Například 3^3 * 7^3 = 21^3. V opačném případě, když existují různé základy a ukazatele, není možné provést úplné násobení. Někdy můžete částečně zjednodušit nebo se uchýlit k pomoci výpočetní techniky.

Pojem diplom z matematiky se zavádí již v 7. ročníku v hodině algebry. A v budoucnu, v průběhu studia matematiky, je tento koncept aktivně používán v různých podobách. Stupně jsou poměrně obtížné téma, které vyžaduje zapamatování hodnot a schopnost správně a rychle počítat. Pro rychlejší a lepší práci s matematickými tituly přišli s vlastnostmi titulu. Pomáhají omezit velké výpočty, do určité míry převést obrovský příklad do jediného čísla. Vlastností není tolik a všechny jsou snadno zapamatovatelné a aplikovatelné v praxi. Proto článek pojednává o hlavních vlastnostech stupně a také o tom, kde se uplatňují.

stupně vlastnosti

Budeme uvažovat 12 vlastností stupně, včetně vlastností mocnin se stejným základem, a ke každé vlastnosti uvedeme příklad. Každá z těchto vlastností vám pomůže rychleji řešit problémy se stupni a také vás ušetří četných chyb ve výpočtu.

1. nemovitost.

Mnoho lidí na tuto vlastnost velmi často zapomíná, dělá chyby a představuje číslo na nulový stupeň jako nulu.

2. nemovitost.

3. nemovitost.

Je třeba pamatovat na to, že tuto vlastnost lze použít pouze při násobení čísel, nepracuje se součtem! A nesmíme zapomenout, že tato a následující vlastnosti platí pouze pro mocniny se stejným základem.

4. nemovitost.

Pokud je číslo ve jmenovateli umocněno na zápornou mocninu, pak při odečítání se stupeň jmenovatele bere v závorkách, aby se znaménko správně nahradilo v dalších výpočtech.

Vlastnost funguje pouze při dělení, nikoli při odečítání!

5. nemovitost.

6. nemovitost.

Tuto vlastnost lze také použít opačná strana. Jednotka dělená číslem do určité míry je toto číslo na zápornou mocninu.

7. nemovitost.

Tuto vlastnost nelze použít na součet a rozdíl! Při zvýšení součtu nebo rozdílu na mocninu se používají zkrácené vzorce pro násobení, nikoli vlastnosti mocniny.

8. nemovitost.

9. nemovitost.

Tato vlastnost funguje pro všechny zlomkový stupeň s čitatelem rovným jedné bude vzorec stejný, pouze se bude měnit stupeň odmocniny v závislosti na jmenovateli stupně.

Tato vlastnost se také často používá v opačném pořadí. Odmocnina jakékoli mocniny čísla může být reprezentována jako číslo k mocnině jedničky dělené mocninou odmocniny. Tato vlastnost je velmi užitečná v případech, kdy není extrahován kořen čísla.

10. nemovitost.

Tato vlastnost funguje nejen s odmocnina a druhého stupně. Pokud je stupeň kořene a stupeň, do kterého je tento kořen vyvýšen, stejný, pak bude odpovědí radikální výraz.

11. nemovitost.

Tuto vlastnost musíte mít při řešení včas vidět, abyste se ušetřili obrovských výpočtů.

12. nemovitost.

Každá z těchto vlastností vás v úkolech potká vícekrát, může být uvedena v čisté podobě, nebo může vyžadovat nějaké transformace a použití jiných vzorců. Pro správné řešení tedy nestačí znát pouze vlastnosti, je potřeba procvičit a propojit zbytek matematických znalostí.

Aplikace stupňů a jejich vlastnosti

Aktivně se používají v algebře a geometrii. Tituly v matematice mají samostatné, důležité místo. S jejich pomocí se řeší exponenciální rovnice a nerovnice, stejně jako mocniny často komplikují rovnice a příklady související s jinými úseky matematiky. Exponenty pomáhají vyhnout se velkým a dlouhým výpočtům, je snazší zmenšovat a počítat exponenty. Ale pracovat s velkými stupni, nebo s tituly velká čísla, musíte znát nejen vlastnosti stupně, ale také kompetentně pracovat s bázemi, umět je rozložit, abyste si usnadnili svůj úkol. Pro větší pohodlí byste také měli znát význam čísel umocněných. To zkrátí váš čas na řešení tím, že eliminuje potřebu dlouhých výpočtů.

Koncept stupně hraje v logaritmech zvláštní roli. Protože logaritmus je v podstatě mocninou čísla.

Dalším příkladem použití mocnin jsou vzorce pro zkrácené násobení. Nemohou využívat vlastnosti stupňů, rozkládají se podle zvláštní pravidla, ale každá formule zkráceného násobení vždy obsahuje mocniny.

Tituly se také aktivně používají ve fyzice a informatice. Všechny překlady do soustavy SI jsou prováděny pomocí stupňů a v budoucnu se při řešení úloh uplatňují vlastnosti stupně. V informatice se mocniny dvou aktivně používají pro pohodlí počítání a zjednodušení vnímání čísel. Další výpočty pro převody měrných jednotek nebo výpočty problémů, stejně jako ve fyzice, probíhají pomocí vlastností stupně.

Stupně jsou velmi užitečné i v astronomii, kde jen zřídka najdete využití vlastností stupně, ale stupně samy o sobě se aktivně využívají ke zkrácení záznamu různých veličin a vzdáleností.

Stupně se používají i v každodenním životě, při výpočtu ploch, objemů, vzdáleností.

S pomocí stupňů jsou velmi velké a velmi malé hodnoty napsány v jakékoli oblasti vědy.

exponenciální rovnice a nerovnice

Vlastnosti stupně zaujímají zvláštní místo právě v exponenciální rovnice a nerovnosti. Tyto úkoly jsou velmi časté, jako např školní kurz stejně jako u zkoušek. Všechny jsou řešeny aplikací vlastností stupně. Neznámá je vždy ve stupni samotném, proto, když známe všechny vlastnosti, nebude těžké takovou rovnici nebo nerovnici vyřešit.

Čísla s mocninami lze samozřejmě sčítat jako jiné veličiny , a to tak, že je jeden po druhém přidáte se svými znaky.

Takže součet a 3 a b 2 je a 3 + b 2 .
Součet a3-bn ah5-d4 je a3-bn+h5-d4.

Kurzy stejné mocniny stejných proměnných lze přidat nebo odečíst.

Takže součet 2a2 a 3a2 je 5a2.

Je také zřejmé, že když vezmeme dvě pole a, nebo tři pole a, nebo pět polí a.

Ale stupně různé proměnné A různé stupně identické proměnné, musí být přidáno jejich přidáním k jejich znaménkům.

Takže součet a 2 a a 3 je součet a 2 + a 3 .

Je zřejmé, že druhá mocnina a a krychle a nejsou ani dvojnásobkem druhé mocniny a, ale dvojnásobkem krychle a.

Součet a 3 b n a 3a 5 b 6 je a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Odčítání pravomoci se provádějí stejným způsobem jako sčítání, s tím rozdílem, že znaky subtrahendu je třeba odpovídajícím způsobem změnit.

Nebo:
2a4 - (-6a4) = 8a4
3h 2 b 6 - 4 h 2 b 6 = -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 = 3 (a - h) 6

Násobení moci

Čísla s mocninami lze násobit jako jiné veličiny tak, že je napíšete za sebou, s násobícím znaménkem nebo bez něj.

Takže výsledek vynásobení a 3 b 2 je a 3 b 2 nebo aaabb.

Nebo:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Výsledek v posledním příkladu lze seřadit přidáním stejných proměnných.
Výraz bude mít tvar: a 5 b 5 y 3 .

Porovnáním několika čísel (proměnných) s mocninami můžeme vidět, že pokud se kterákoli dvě z nich vynásobí, pak výsledkem je číslo (proměnná) s mocninou rovnou součet stupně termínů.

Takže a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Zde 5 je mocnina výsledku násobení, rovna 2 + 3, součet mocnin členů.

Takže a n .a m = a m+n .

Pro a n se a bere jako faktor tolikrát, kolikrát je mocnina n;

A a m se bere jako faktor tolikrát, kolikrát je stupeň m roven;

Proto, mocniny se stejnými základy lze násobit sečtením exponentů.

Takže a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . A x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Nebo:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Vynásobte (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Odpověď: x 4 - y 4.
Vynásobte (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Toto pravidlo platí i pro čísla, jejichž exponenty jsou - negativní.

1. Takže a-2.a-3 = a-5. To lze zapsat jako (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Pokud a + b vynásobíme a - b, výsledkem bude a 2 - b 2: tzn

Výsledek vynásobení součtu nebo rozdílu dvou čísel se rovná součtu nebo rozdílu jejich druhých mocnin.

Pokud se součet a rozdíl dvou čísel zvýší na náměstí, výsledek se bude rovnat součtu nebo rozdílu těchto čísel v Čtvrtý stupeň.

Takže (a - y). (a + y) = a 2 - y2.
(a2-y2)⋅(a2 + y2) = a4-y4.
(a 4 - y 4)⋅ (a 4 + y 4) = a 8 - y8.

Dělba pravomocí

Čísla s mocninami lze dělit jako ostatní čísla odečtením od dělitele nebo jejich umístěním ve tvaru zlomku.

Takže a 3 b 2 děleno b 2 je a 3 .

Nebo:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Zápis 5 děleno 3 vypadá jako $\frac(a^5)(a^3)$. Ale to se rovná 2. V řadě čísel
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
libovolné číslo lze vydělit jiným a exponent bude roven rozdíl ukazatele dělitelných čísel.

Při dělení mocnin se stejným základem se jejich exponenty odečítají..

Takže y3:y2 = y3-2 = y1. To znamená, $\frac(yyy)(yy) = y$.

A a n+1:a = a n+1-1 = a n . To znamená, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Nebo:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Pravidlo platí i pro čísla s negativní stupně.
Výsledkem dělení -5 a -3 je -2 .
Také $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac(1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 nebo $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Násobení a dělení mocnin je nutné velmi dobře ovládat, protože takové operace jsou v algebře velmi rozšířené.

Příklady řešení příkladů se zlomky obsahujícími čísla s mocninami

1. Zmenšete exponenty v $\frac(5a^4)(3a^2)$ Odpověď: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Zmenšete exponenty v $\frac(6x^6)(3x^5)$. Odpověď: $\frac(2x)(1)$ nebo 2x.

3. Zmenšete exponenty a 2 / a 3 a a -3 / a -4 a přiveďte na společného jmenovatele.
a 2 .a -4 je -2 první čitatel.
a 3 .a -3 je a 0 = 1, druhý čitatel.
a 3 .a -4 je a -1 , společný čitatel.
Po zjednodušení: a-2/a-1 a 1/a-1.

4. Zmenšete exponenty 2a 4 /5a 3 a 2 /a 4 a přiveďte na společného jmenovatele.
Odpověď: 2a 3 / 5a 7 a 5a 5 / 5a 7 nebo 2a 3 / 5a 2 a 5/5a 2.

5. Vynásobte (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3.

6. Vynásobte (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a).

7. Vynásobte b4/a-2 h-3/x a a n/y-3.

8. Vydělte a 4 /y 3 a 3 /y 2 . Odpověď: a/y.

9. Vydělte (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h.