Zjistili jsme, co je to vlastně mocnina čísla. Nyní musíme pochopit, jak to správně vypočítat, tzn. zvýšit čísla k pravomocím. V tomto materiálu rozebereme základní pravidla pro výpočet stupňů v případě celočíselných, přirozených, zlomkových, racionálních a iracionálních exponentů. Všechny definice budou ilustrovány příklady.

Pojem umocňování

Začněme formulací základních definic.

Definice 1

Umocňování- jedná se o výpočet hodnoty mocniny určitého čísla.

To znamená, že slova „vypočítat hodnotu moci“ a „pozvednout k moci“ znamenají totéž. Pokud tedy problém říká „Zvyšte číslo 0, 5 na pátou mocninu“, mělo by to být chápáno jako „vypočítejte hodnotu mocniny (0, 5) 5.

Nyní uvádíme základní pravidla, která je třeba při provádění takových výpočtů dodržovat.

Připomeňme si, co je mocnina čísla s přirozeným exponentem. Pro mocninu se základem a a exponentem n to bude součin n-tého počtu faktorů, z nichž každý je roven a. Dá se to napsat takto:

Chcete-li vypočítat hodnotu stupně, musíte provést akci násobení, to znamená vynásobit základy stupně zadaným počtem. Samotný koncept titulu s přirozeným exponentem je založen na schopnosti rychle se množit. Uveďme příklady.

Příklad 1

Podmínka: zvýšení - 2 na výkon 4.

Řešení

Pomocí výše uvedené definice zapíšeme: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Dále musíme provést tyto kroky a získat 16.

Vezměme si složitější příklad.

Příklad 2

Vypočítejte hodnotu 3 2 7 2

Řešení

Tento záznam lze přepsat jako 3 2 7 · 3 2 7 . Dříve jsme se podívali na to, jak správně vynásobit smíšená čísla uvedená v podmínce.

Proveďme tyto kroky a získáme odpověď: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Pokud problém ukazuje na potřebu zvýšit iracionální čísla na přirozenou mocninu, budeme muset nejprve zaokrouhlit jejich základy na číslici, která nám umožní získat odpověď s požadovanou přesností. Podívejme se na příklad.

Příklad 3

Proveďte druhou mocninu π.

Řešení

Nejprve to zaokrouhlíme na setiny. Potom π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Pokud π ≈ 3. 14159, pak dostaneme přesnější výsledek: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Všimněte si, že potřeba počítat mocniny iracionálních čísel se v praxi objevuje poměrně zřídka. Odpověď pak můžeme napsat jako mocninu (ln 6) 3 samotnou, nebo pokud možno převést: 5 7 = 125 5 .

Samostatně by mělo být uvedeno, jaká je první mocnina čísla. Zde si můžete jednoduše zapamatovat, že jakékoli číslo umocněné na první mocninu zůstane samo sebou:

To je zřejmé ze záznamu .

Nezáleží na stupni.

Příklad 4

Takže (− 9) 1 = − 9 a 7 3 umocněné na první mocninu zůstanou rovné 7 3.

Pro usnadnění prozkoumáme tři případy zvlášť: je-li exponent kladné celé číslo, je-li nula a je-li záporné celé číslo.

V prvním případě je to stejné jako zvýšení na přirozenou mocninu: kladná celá čísla totiž patří do množiny přirozených čísel. O tom, jak s takovými tituly pracovat, jsme již hovořili výše.

Nyní se podívejme, jak správně zvýšit na nulový výkon. Pro jiný základ než nula tento výpočet vždy vydá 1. Dříve jsme vysvětlili, že nulovou mocninu a lze definovat pro jakékoli reálné číslo, které se nerovná 0, a a 0 = 1.

Příklad 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - není definováno.

Zůstane nám pouze případ stupně s celočíselným záporným exponentem. Již jsme diskutovali, že takové stupně lze zapsat jako zlomek 1 az, kde a je libovolné číslo a z je záporné celé číslo. Vidíme, že jmenovatel tohoto zlomku není nic jiného než obyčejná mocnina s kladným celočíselným exponentem, a už jsme se ho naučili vypočítat. Uveďme příklady úkolů.

Příklad 6

Zvyšte 2 na sílu - 3.

Řešení

Pomocí výše uvedené definice zapíšeme: 2 - 3 = 1 2 3

Vypočítejme jmenovatele tohoto zlomku a dostaneme 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Pak odpověď zní: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Příklad 7

Zvyšte 1,43 na -2.

Řešení

Přeformulujme: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Vypočteme druhou mocninu ve jmenovateli: 1,43·1,43. Desetinná čísla lze násobit tímto způsobem:

Ve výsledku jsme dostali (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Tento výsledek nám stačí zapsat do formuláře společný zlomek, u kterého je potřeba jej vynásobit 10 tisíci (viz materiál o převodu zlomků).

Odpověď: (1, 43) - 2 = 10 000 20449

Zvláštním případem je zvýšení čísla na mínus první mocninu. Hodnota tohoto stupně je rovna převrácené hodnotě původní hodnoty základu: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Příklad 8

Příklad: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Jak zvýšit číslo na zlomkovou mocninu

K provedení takové operace si musíme zapamatovat základní definici stupně se zlomkovým exponentem: a m n = a m n pro libovolné kladné a, celé číslo m a přirozené n.

Definice 2

Výpočet zlomkové mocniny tedy musí být proveden ve dvou krocích: zvýšení na celočíselnou mocninu a nalezení odmocniny n-té mocniny.

Máme rovnost a m n = a m n , která se s přihlédnutím k vlastnostem kořenů obvykle používá k řešení úloh ve tvaru a m n = a n m . To znamená, že pokud umocníme číslo a na zlomkovou mocninu m/n, pak nejprve vezmeme n-tou odmocninu z a, pak výsledek umocníme na mocninu s celočíselným exponentem m.

Ukažme si to na příkladu.

Příklad 9

Vypočítejte 8 - 2 3 .

Řešení

Metoda 1: Podle základní definice to můžeme reprezentovat jako: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Nyní vypočítejme stupeň pod odmocninou a z výsledku extrahujeme třetí odmocninu: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Transformujte základní rovnost: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Poté vyjmeme odmocninu 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 a výsledek odmocnime: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vidíme, že řešení jsou totožná. Můžete jej použít, jak chcete.

Existují případy, kdy má stupeň ukazatel vyjádřený jako smíšené číslo nebo desetinný zlomek. Pro usnadnění výpočtů je lepší jej vyměnit obyčejný zlomek a počítat jako výše.

Příklad 10

Zvyšte 44, 89 na mocninu 2, 5.

Řešení

Převeďme hodnotu ukazatele na obyčejný zlomek: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.

Nyní provedeme všechny výše uvedené akce v pořadí: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 130701 = 130701 501, 25107

Odpověď: 13 501, 25107.

Pokud čitatel a jmenovatel zlomkového exponentu obsahuje velká čísla, pak vypočítat takové mocniny s racionálními exponenty je docela obtížná práce. Obvykle to vyžaduje výpočetní techniku.

Zastavme se samostatně u mocnin s nulovým základem a zlomkovým exponentem. Výraz ve tvaru 0 m n může mít následující význam: pokud m n > 0, pak 0 m n = 0 m n = 0; pokud m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Jak zvýšit číslo na iracionální mocninu

Potřeba vypočítat hodnotu mocniny, jejíž exponent je iracionální číslo, nevzniká tak často. V praxi se úloha obvykle omezuje na výpočet přibližné hodnoty (do určitého počtu desetinných míst). To se obvykle počítá na počítači kvůli složitosti takových výpočtů, takže se tím nebudeme podrobně zabývat, pouze naznačíme hlavní ustanovení.

Pokud potřebujeme vypočítat hodnotu mocniny a s iracionálním exponentem a, tak vezmeme desetinnou aproximaci exponentu a počítáme z ní. Výsledkem bude přibližná odpověď. Čím přesnější je desetinná aproximace, tím přesnější je odpověď. Ukažme si to na příkladu:

Příklad 11

Vypočítejte aproximaci 2 k mocnině 1,174367....

Řešení

Omezme se na desetinnou aproximaci a n = 1, 17. Proveďte výpočty pomocí tohoto čísla: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Vezmeme-li například aproximaci a n = 1, 1743, pak bude odpověď o něco přesnější: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Pokračujeme-li v rozhovoru o síle čísla, je logické přijít na to, jak zjistit hodnotu síly. Tento proces se nazývá umocňování. V tomto článku budeme studovat, jak se umocňování provádí, přičemž se dotkneme všech možných exponentů – přirozeného, ​​celočíselného, ​​racionálního i iracionálního. A podle tradice podrobně zvážíme řešení příkladů zvyšování čísel na různé síly.

Navigace na stránce.

Co znamená "umocnění"?

Začněme vysvětlením toho, co se nazývá umocňování. Zde je příslušná definice.

Definice.

Umocňování- to je zjištění hodnoty mocniny čísla.

Najít hodnotu mocniny čísla a s exponentem r a zvýšit číslo a na mocninu r je tedy totéž. Pokud je například úkolem „vypočítat hodnotu mocniny (0,5) 5“, lze ji přeformulovat takto: „Zvyšte číslo 0,5 na mocninu 5“.

Nyní můžete přejít přímo k pravidlům, podle kterých se umocňování provádí.

Zvyšování čísla na přirozenou sílu

V praxi se rovnost založená na se obvykle uplatňuje ve formě . To znamená, že při umocnění čísla a na zlomkovou mocninu m/n se nejprve vezme n-tá odmocnina čísla a, načež se výsledný výsledek zvýší na celočíselnou mocninu m.

Podívejme se na řešení příkladů zvýšení na zlomkovou mocninu.

Příklad.

Vypočítejte hodnotu stupně.

Řešení.

Ukážeme si dvě řešení.

První způsob. Podle definice stupně se zlomkovým exponentem. Vypočítáme hodnotu stupně pod kořenovým znakem a poté extrahujeme odmocninu krychle: .

Druhý způsob. Podle definice stupně se zlomkovým exponentem a na základě vlastností kořenů platí následující rovnosti: . Nyní vyjmeme kořen , nakonec jej zvýšíme na celočíselnou mocninu .

Je zřejmé, že získané výsledky zvýšení na zlomkovou mocninu se shodují.

Odpovědět:

Všimněte si, že zlomkový exponent lze zapsat jako desetinný nebo smíšené číslo, v těchto případech by mělo být nahrazeno odpovídajícím obyčejným zlomkem a poté zvýšeno na mocninu.

Příklad.

Vypočítejte (44,89) 2,5.

Řešení.

Zapišme exponent ve tvaru obyčejného zlomku (pokud je to nutné, viz článek): . Nyní provedeme zvýšení na zlomkovou mocninu:

Odpovědět:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Je třeba také říci, že zvyšování čísel na racionální mocniny je poměrně pracný proces (zvláště když čitatel a jmenovatel zlomkového exponentu obsahují dostatečně velká čísla), který se obvykle provádí pomocí počítačová technologie.

Na závěr tohoto bodu se zastavme u zvýšení čísla nula na zlomkovou mocninu. Zlomkové mocnině nuly ve tvaru jsme dali následující význam: když máme a při nule k m/n výkon není definován. Takže nula až zlomková kladná mocnina je nula, např. . A nula ve zlomkové záporné mocnině nedává smysl, například výrazy 0 -4,3 nedávají smysl.

Povznesení k iracionální síle

Někdy je nutné zjistit hodnotu mocniny čísla s iracionálním exponentem. Zároveň v praktické účely Obvykle stačí získat hodnotu stupně do určitého znaménka. Okamžitě poznamenejme, že v praxi se tato hodnota vypočítává pomocí elektronických počítačů, protože její ruční zvýšení na iracionální výkon vyžaduje velké množství těžkopádných výpočtů. Ale přesto popíšeme obecně podstatu akcí.

Pro získání přibližné hodnoty mocniny čísla a s iracionálním exponentem se vezme nějaká desítková aproximace exponentu a hodnota mocniny se vypočítá. Tato hodnota je přibližnou hodnotou mocniny čísla a s iracionálním exponentem. Čím přesnější je zpočátku desetinná aproximace čísla, tím přesnější bude nakonec hodnota stupně.

Jako příklad si spočítejme přibližnou hodnotu mocniny 2 1,174367... . Vezměme si následující desetinnou aproximaci iracionálního exponentu: . Nyní zvýšíme 2 na racionální mocninu 1,17 (podstatu tohoto procesu jsme popsali v předchozím odstavci), dostaneme 2 1,17 ≈2,250116. Tím pádem, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Vezmeme-li například přesnější desetinnou aproximaci iracionálního exponentu, získáme přesnější hodnotu původního exponentu: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Učebnice matematiky pro 5. ročník. vzdělávací instituce.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 7. ročník. vzdělávací instituce.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 8. ročník. vzdělávací instituce.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnice pro 9. ročník. vzdělávací instituce.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a další Algebra a počátky analýzy: Učebnice pro 10. - 11. ročník všeobecně vzdělávacích institucí.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (příručka pro studenty technických škol).

Připomínáme, že v této lekci budeme rozumět vlastnosti stupňů s přirozenými ukazateli a nulou. Mocniny s racionálními exponenty a jejich vlastnosti budou probírány v hodinách pro 8. ročník.

Mocnina s přirozeným exponentem má několik důležitých vlastností, které nám umožňují zjednodušit výpočty v příkladech s mocninami.

Nemovitost č. 1
Součin sil

Pamatovat si!

Při násobení mocnin s ze stejných důvodů základ zůstane nezměněn a exponenty se přidají.

a m · a n = a m + n, kde „a“ je libovolné číslo a „m“, „n“ jsou jakákoli přirozená čísla.

Tato vlastnost mocnin platí i pro součin tří a více mocnin.

• Zjednodušte výraz.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Prezentujte to jako diplom.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Prezentujte to jako diplom.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Důležité!

Upozorňujeme, že v uvedené vlastnosti jsme mluvili pouze o násobení mocnin s ze stejných důvodů . Nevztahuje se na jejich sčítání.

Součet (3 3 + 3 2) nelze nahradit 3 5. To je pochopitelné, pokud
vypočítat (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243

Nemovitost č. 2
Dílčí stupně

Pamatovat si!

Při dělení mocnin se stejnými základy zůstane základ nezměněn a exponent dělitele se odečte od exponentu děliče.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Příklad. Vyřešte rovnici. Využíváme vlastnosti podílových mocnin.
38: t = 34

T = 3 8 − 4

Odpověď: t = 3 4 = 81

Pomocí vlastností č. 1 a č. 2 můžete snadno zjednodušit výrazy a provádět výpočty.

• Příklad. Zjednodušte výraz.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
• Příklad. Najděte hodnotu výrazu pomocí vlastností exponentů.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Důležité!

  Vezměte prosím na vědomí, že v Property 2 jsme mluvili pouze o dělení mocností se stejnými základy.

  Rozdíl (4 3 −4 2) nemůžete nahradit 4 1. To je pochopitelné, pokud počítáte (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 41 = 4

  Buď opatrný!

  Nemovitost č. 3
  Zvyšování stupně k moci

  Pamatovat si!

  Při zvýšení stupně na mocninu zůstává základ stupně nezměněn a exponenty se násobí.

  (a n) m = a n · m, kde „a“ je libovolné číslo a „m“, „n“ jsou jakákoli přirozená čísla.

  
  

  Vlastnosti 4
  Výkon produktu

  Pamatovat si!

  Při zvyšování výkonu produktu je každý z faktorů povýšen na sílu. Získané výsledky se pak násobí.

  (a b) n = a n b n, kde „a“, „b“ jsou jakákoli racionální čísla; "n" je libovolné přirozené číslo.

  • Příklad 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Příklad 2
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Důležité!

  Vezměte prosím na vědomí, že vlastnost č. 4 se stejně jako ostatní vlastnosti stupňů aplikuje také v obráceném pořadí.

  (a n · b n) = (a · b) n

  To znamená, že pro násobení mocnin se stejnými exponenty můžete násobit základy, ale exponent ponechat beze změny.

  • Příklad. Vypočítat.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Příklad. Vypočítat.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Ve složitějších příkladech mohou nastat případy, kdy násobení a dělení musí být provedeno přes mocniny s z různých důvodů a různé ukazatele. V tomto případě vám doporučujeme provést následující.

  Například, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Příklad zvýšení desetinné čárky na mocninu.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Vlastnosti 5
  Mocnina kvocientu (zlomek)

  Pamatovat si!

  Chcete-li zvýšit podíl na mocninu, můžete zvýšit dividendu a dělitele zvlášť na tuto mocninu a vydělit první výsledek druhým.

  (a: b) n = a n: b n, kde „a“, „b“ jsou libovolná racionální čísla, b ≠ 0, n je libovolné přirozené číslo.

  • Příklad. Uveďte výraz jako podíl mocnin.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Připomínáme, že kvocient může být reprezentován jako zlomek. Proto se tématu umocnění zlomku budeme věnovat podrobněji na další straně.

primární cíl

Seznámit studenty s vlastnostmi stupňů s přirozenými exponenty a naučit je provádět operace se stupni.

Téma "Stupeň a jeho vlastnosti" obsahuje tři otázky:

• Stanovení stupně přirozeným ukazatelem.
• Násobení a dělení pravomocí.
• Umocnění součinu a stupně.

Kontrolní otázky

1. Formulujte definici stupně s přirozeným exponentem větším než 1. Uveďte příklad.
2. Formulujte definici stupně s exponentem 1. Uveďte příklad.
3. Jaké je pořadí operací při výpočtu hodnoty výrazu obsahujícího mocniny?
4. Formulujte hlavní vlastnost stupně. Uveďte příklad.
5. Formulujte pravidlo pro násobení mocnin se stejnými základy. Uveďte příklad.
6. Formulujte pravidlo pro dělení mocnin se stejnými základy. Uveďte příklad.
7. Formulujte pravidlo pro umocňování součinu. Uveďte příklad. Dokažte totožnost (ab) n = a n b n .
8. Formulujte pravidlo pro povýšení moci na moc. Uveďte příklad. Dokažte totožnost (a m) n = a m n .

Definice stupně.

Síla čísla A s přirozeným indikátorem n, větší než 1, je součin n faktorů, z nichž každý je stejný A. Síla čísla A s exponentem 1 je samotné číslo A.

Stupeň se základnou A a indikátor n se píše takto: a n. Píše se tam „ A do určité míry n“; “ n-tá mocnina čísla A ”.

Podle definice stupně:

a 4 = a a a a

. . . . . . . . . . . .

Zjištění hodnoty mocniny se nazývá umocňováním .

1. Příklady umocňování:

3 3 = 3 3 3 = 27

0 4 = 0 0 0 0 = 0

(-5) 3 = (-5) (-5) (-5) = -125

25 ; 0,09 ;

25 = 5 2 ; 0,09 = (0,3) 2 ; .

27 ; 0,001 ; 8 .

27 = 3 3 ; 0,001 = (0,1) 3 ; 8 = 2 3 .

4. Najděte významy výrazů:

a) 3 10 3 = 3 10 10 10 = 3 1 000 = 3 000

b) -24 + (-3)2 = 7
2 4 = 16
(-3) 2 = 9
-16 + 9 = 7

Možnost 1

a) 0,3 0,3 0,3

c) b b b b b b b

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Uveďte číslo jako čtverec:

3. Prezentujte čísla jako krychli:

4. Najděte významy výrazů:

c) -14 + (-2) 3

d) -4 3 + (-3) 2

e) 100 - 5 2 4

Násobení mocnin.

Pro libovolné číslo a a libovolná čísla m a n platí:

a m a n = a m + n .

Důkaz:

Pravidlo : Při násobení mocnin se stejnými základy se základy ponechávají stejné a exponenty mocnin se sčítají.

a m a n a k = a m + n a k = a (m + n) + k = a m + n + k

a) x 5 x 4 = x 5 + 4 = x 9

b) y y 6 = y 1 y 6 = y 1 + 6 = y 7

c) b 2 b 5 b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11

d) 3 4 9 = 3 4 3 2 = 3 6

e) 0,01 0,1 3 = 0,1 2 0,1 3 = 0,1 5

a) 2 3 2 = 2 4 = 16

b) 3 2 3 5 = 3 7 = 2187

Možnost 1

1. Prezentujte jako diplom:

a) x 3 x 4 e) x 2 x 3 x 4

b) a 6 a 2 g) 3 3 9

c) y 4 y h) 7 4 49

d) a a 8 i) 16 2 7

e) 2 3 2 4 j) 0,3 3 0,09

2. Prezentujte jako stupeň a najděte hodnotu z tabulky:

a) 2 2 2 3 c) 8 2 5

b) 3 4 3 2 d) 27 243

Dělení stupňů.

Pro libovolné číslo a0 a libovolné přirozená čísla m a n, takže m>n platí:

a m: a n = a m - n

Důkaz:

a m - n a n = a (m - n) + n = a m - n + n = a m

podle definice kvocientu:

a m: a n = a m - n .

Pravidlo: Při dělení mocnin se stejným základem se základ ponechá stejný a exponent dělitele se odečte od exponentu děliče.

Definice: Mocnina čísla a, které se nerovná nule, s nulovým exponentem je rovna jedné:

protože a n: a n = 1 v a0.

a) x 4: x 2 = x 4 - 2 = x 2

b) y 8: y 3 = y 8 - 3 = y 5

c) a 7:a = a 7:a 1 = a 7 - 1 = a 6

d) od 5:od 0 = od 5:1 = od 5

a) 5 7:5 5 = 5 2 = 25

b) 10 20:10 17 = 10 3 = 1000

PROTI)

G)

d)

Možnost 1

1. Prezentujte podíl jako mocninu:

2. Najděte významy výrazů:

Povýšení na sílu produktu.

Pro libovolné a a b a libovolné přirozené číslo n:

(ab) n = a n b n

Důkaz:

Podle definice stupně

(ab)n=

Seskupením faktorů a a faktorů b dostaneme:

=

Prokázaná vlastnost síly produktu se rozšiřuje na sílu produktu tří nebo více faktorů.

Například:

(a b c) n = a n b n c n;

(a b c d) n = a n b n c n d n .

Pravidlo: Při zvýšení produktu na mocninu se každý faktor zvýší na tuto moc a výsledek se vynásobí.

1. Zvyšte na sílu:

a) (a b) 4 = a 4 b 4

b) (2 x y) 3 = 2 3 x 3 y 3 = 8 x 3 y 3

c) (3 a) 4 = 3 4 a 4 = 81 a 4

d) (-5 y) 3 = (-5) 3 y 3 = -125 y 3

e) (-0,2 x y) 2 = (-0,2) 2 x 2 y 2 = 0,04 x 2 y 2

e) (-3 a b c) 4 = (-3) 4 a 4 b 4 c 4 = 81 a 4 b 4 c 4

2. Najděte hodnotu výrazu:

a) (2 10) 4 = 2 4 10 4 = 16 1 000 = 16 000

b) (3 5 20) 2 = 3 2 100 2 = 9 10 000 = 90 000

c) 2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

d) 0,25 11 4 11 = (0,25 4) 11 = 1 11 = 1

d)

Možnost 1

1. Zvyšte na sílu:

b) (2 a c) 4

e) (-0,1 x y) 3

2. Najděte hodnotu výrazu:

b) (5 7 20) 2

Povýšení na sílu moci.

Pro libovolné číslo a a libovolná přirozená čísla ma n:

(a m) n = a m n

Důkaz:

Podle definice stupně

(a m) n =

Pravidlo: Při zvýšení mocniny na mocninu je základ ponechán stejný a exponenty se násobí.

1. Zvyšte na sílu:

(a 3) 2 = a 6 (x 5) 4 = x 20

(y 5) 2 = y 10 (b 3) 3 = b 9

2. Zjednodušte výrazy:

a) a 3 (a 2) 5 = a 3 a 10 = a 13

b) (b 3) 2 b 7 = b 6 b 7 = b 13

c) (x 3) 2 (x 2) 4 = x 6 x 8 = x 14

d) (y 7) 3 = (y 8) 3 = y 24

A)

b)

Možnost 1

1. Zvyšte na sílu:

a) (a 4) 2 b) (x 4) 5

c) (y 3) 2 d) (b 4) 4

2. Zjednodušte výrazy:

a) a 4 (a 3) 2

b) (b 4) 3 b 5+

c) (x 2) 4 (x 4) 3

d) (y 9) 2

3. Najděte význam výrazů:

aplikace

Definice stupně.

Možnost 2

1. Napište produkt jako mocninu:

a) 0,4 0,4 ​​0,4

c) a a a a a a a

d) (-y) (-y) (-y) (-y)

e) (bс) (bс) (bс)

2. Uveďte číslo jako čtverec:

3. Prezentujte čísla jako krychli:

4. Najděte významy výrazů:

c) -13 + (-2)4

d) -6 2 + (-3) 2

e) 4 5 2 – 100

Možnost 3

1. Napište produkt jako mocninu:

a) 0,5 0,5 0,5

c) with with with with with with with with with with with

d) (-x) (-x) (-x) (-x)

e) (ab) (ab) (ab)

2. Uveďte číslo jako čtverec: 100; 0,49; .

3. Prezentujte čísla jako krychli:

4. Najděte významy výrazů:

c) -15 + (-3) 2

d) -5 3 + (-4) 2

e) 5 4 2 - 100

Možnost 4

1. Napište produkt jako mocninu:

a) 0,7 0,7 0,7

c) x x x x x x

d) (-a) (-a) (-a)

e) (bс) (bс) (bс) (bc)

2. Uveďte číslo jako čtverec:

3. Prezentujte čísla jako krychli:

4. Najděte významy výrazů:

c) -14 + (-3) 3

d) -3 4 + (-5) 2

e) 100 - 3 2 5

Násobení mocnin.

Možnost 2

1. Prezentujte jako diplom:

a) x 4 x 5 e) x 3 x 4 x 5

b) a 7 a 3 g) 2 3 4

c) y 5 y h) 4 3 16

d) a a 7 i) 4 2 5

e) 2 2 2 5 j) 0,2 3 0,04

2. Prezentujte jako stupeň a najděte hodnotu z tabulky:

a) 3 2 3 3 c) 16 2 3

b) 2 4 2 5 d) 9 81

Možnost 3

1. Prezentujte jako diplom:

a) a 3 a 5 f) y 2 y 4 y 6

b) x 4 x 7 g) 3 5 9

c) b 6 b h) 5 3 25

d) y 8 i) 49 7 4

e) 2 3 2 6 j) 0,3 4 0,27

2. Prezentujte jako stupeň a najděte hodnotu z tabulky:

a) 3 3 3 4 c) 27 3 4

b) 2 4 2 6 d) 16 64

Možnost 4

1. Prezentujte jako diplom:

a) a 6 a 2 e) x 4 x x 6

b) x 7 x 8 g) 3 4 27

c) y 6 y h) 4 3 16

d) x x 10 i) 36 6 3

e) 2 4 2 5 j) 0,2 2 0,008

2. Prezentujte jako stupeň a najděte hodnotu z tabulky:

a) 2 6 2 3 c) 64 2 4

b) 3 5 3 2 d) 81 27

Dělení stupňů.

Možnost 2

1. Prezentujte podíl jako mocninu:

2. Najděte významy výrazů:

Umocňování je operace úzce související s násobením; tato operace je výsledkem opakovaného násobení čísla samo sebou. Představme si to vzorcem: a1 * a2 * … * an = an.

Například a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Obecně se umocňování často používá v různých vzorcích v matematice a fyzice. Tato funkce má více vědecký účel než čtyři hlavní: sčítání, odčítání, násobení, dělení.

Zvyšování čísla na mocninu

Zvýšení čísla na mocninu není složitá operace. S násobením souvisí podobně jako vztah mezi násobením a sčítáním. Zápis an je krátký zápis n-tého počtu čísel „a“ vynásobených navzájem.

Zvažte maximálně umocnění jednoduché příklady, přecházíme ke složitějším.

Například 42. 42 = 4 * 4 = 16. Čtyři na druhou (na druhou mocninu) se rovná šestnácti. Pokud nerozumíte násobení 4 * 4, přečtěte si náš článek o násobení.

Podívejme se na další příklad: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pět krychlových (na třetí mocninu) se rovná sto dvaceti pěti.

Další příklad: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devět krychlových se rovná sedm set dvacet devět.

Umocňovací vzorce

Abyste správně zvýšili na moc, musíte si zapamatovat a znát níže uvedené vzorce. Není v tom nic extra přirozeného, ​​hlavní je pochopit podstatu a pak se nejen zapamatují, ale budou se i zdát snadné.

Povýšení monomiálu na moc

Co je to monomial? Jedná se o součin čísel a proměnných v libovolném množství. Například dvojka je jednočlenný. A tento článek je právě o povýšení takových monomií na mocnosti.

Pomocí vzorců pro umocňování nebude obtížné vypočítat umocnění monomiu.

Například, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Pokud umocníte jednočlen na mocninu, pak se každá složka jednočlenu zvýší na mocninu.

Zvýšením proměnné, která již má mocninu na mocninu, se mocniny násobí. Například (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Povýšení na negativní sílu

Záporná mocnina je převrácená hodnota čísla. Jaké je reciproční číslo? Převrácená hodnota libovolného čísla X je 1/X. To znamená, že X-1=1/X. To je podstata negativního stupně.

Zvažte příklad (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

proč tomu tak je? Protože je ve stupni mínus, jednoduše převedeme tento výraz do jmenovatele a poté jej zvýšíme na třetí mocninu. Jednoduché, že?

Zvýšení na zlomkovou moc

Začněme zvažovat problém na konkrétní příklad. 43/2. Co znamená stupeň 3/2? 3 – čitatel, znamená zvýšení čísla (v tomto případě 4) na kostku. Číslo 2 je jmenovatel, jedná se o extrakci druhé odmocniny čísla (v tomto případě 4).

Pak dostaneme druhou odmocninu z 43 = 2^3 = 8. Odpověď: 8.

Takže jmenovatel zlomkového stupně může být buď 3 nebo 4 nebo jakékoli číslo do nekonečna, a toto číslo určuje stupeň odmocnina, extrahováno z dané číslo. Jmenovatel samozřejmě nemůže být nula.

Pozvednout kořen k moci

Pokud je odmocnina zvýšena na stupeň rovnající se stupni samotné odmocniny, pak bude odpovědí radikální výraz. Například (√x)2 = x. A tak je v každém případě stupeň kořene a stupeň zvednutí kořene stejné.

Pokud (√x)^4. Potom (√x)^4=x^2. Pro kontrolu řešení přeložíme výraz na výraz s zlomkový výkon. Protože je odmocnina čtvercová, jmenovatel je 2. A pokud je odmocnina zvýšena na čtvrtou mocninu, pak je čitatel 4. Dostaneme 4/2=2. Odpověď: x = 2.

Tak jako tak nejlepší možnost jednoduše převeďte výraz na výraz se zlomkovou mocninou. Pokud se zlomek neruší, pak je to odpověď za předpokladu, že kořen daného čísla není izolovaný.

Zvýšení komplexního čísla na mocninu

Co je komplexní číslo? Komplexní číslo– výraz mající vzorec a + b * i; a, b jsou reálná čísla. i je číslo, které po umocnění dává číslo -1.

Podívejme se na příklad. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i + (3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Přihlaste se do kurzu „Urychlete mentální aritmetiku, NE mentální aritmetiku“, abyste se naučili rychle a správně sčítat, odčítat, násobit, dělit, odmocňovat čísla a dokonce extrahovat odmocniny. Za 30 dní se naučíte používat jednoduché triky ke zjednodušení aritmetických operací. Každá lekce obsahuje nové techniky, jasné příklady a užitečné úkoly.

Umocňování online

Pomocí naší kalkulačky můžete vypočítat zvýšení čísla na mocninu:

Umocňování 7. třída

Školáci se začínají zvyšovat až v sedmé třídě.

Umocňování je operace úzce související s násobením; tato operace je výsledkem opakovaného násobení čísla samo sebou. Představme si to vzorcem: a1 * a2 * … * an=an.

Například, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Příklady řešení:

Prezentace umocňování

Prezentace o zvyšování k pravomocím, určená pro žáky sedmých tříd. Prezentace může objasnit některé nejasné body, ale tyto body se díky našemu článku pravděpodobně nevyjasní.

Sečteno a podtrženo

Podívali jsme se pouze na špičku ledovce, abychom lépe porozuměli matematice - přihlaste se do našeho kurzu: Zrychlení mentální aritmetiky - NE mentální aritmetiky.

Z kurzu se nejen naučíte desítky technik pro zjednodušené a rychlé násobení, sčítání, násobení, dělení a počítání procent, ale také si je procvičíte ve speciálních úkolech a výukových hrách! Mentální aritmetika také vyžaduje hodně pozornosti a soustředění, které se aktivně trénují při řešení zajímavých problémů.