Když se použije znamení d'Alembert. Číselné řady: definice, vlastnosti, kritéria konvergence, příklady, řešení. Základní definice a pojmy

d'Alembertovo konvergenční kritérium Cauchyho radikální konvergenční kritérium Cauchyho integrální konvergenční kritérium

Jedním z běžných srovnávacích znaků, které se vyskytují v praktických příkladech, je d'Alembertův znak. Cauchyho znamení jsou méně častá, ale také velmi oblíbená. Jako vždy se pokusím materiál podat jednoduchým, přístupným a srozumitelným způsobem. Téma není nejtěžší a všechny úkoly jsou do jisté míry stereotypní.

Jean Léron d'Alembert je slavný francouzský matematik 18. století. Obecně se d'Alembert specializoval na diferenciální rovnice a na základě svých výzkumů studoval balistiku, aby dělové koule Jeho Veličenstva lépe létaly. Přitom jsem nezapomněl na číselnou řadu, ne nadarmo se řady napoleonských vojsk tak zřetelně sbližovaly a rozcházely.

Než formulujeme samotný znak, zvažte důležitou otázku:
Kdy by se mělo použít d'Alembertovo konvergenční kritérium?

Začněme nejprve opakováním. Připomeňte si případy, kdy potřebujete použít nejoblíbenější marginální srovnávací kritérium. Limitní srovnávací kritérium se použije, když je společný člen řady:
1) Jmenovatel obsahuje polynom.
2) Polynomy jsou v čitateli i ve jmenovateli.
3) Jeden nebo oba polynomy mohou být pod kořenem.

Hlavní předpoklady pro použití znamení d'Alembert jsou následující:

1) Společný člen řady („vycpávka“ řady) obsahuje nějaké číslo ve stupni, například , a tak dále. Navíc vůbec nezáleží na tom, kde se tato věc nachází, v čitateli nebo ve jmenovateli – důležité je, aby tam byla přítomna.

2) Společný termín řady zahrnuje faktoriál. S faktoriály jsme v lekci zkřížili meče Číselná posloupnost a její limita. Neuškodí však znovu rozložit samoskládací ubrus:

…

…

! Při použití d'Alembertova testu musíme faktoriál vybarvit do detailu. Stejně jako v předchozím odstavci může být faktoriál umístěn v horní nebo dolní části zlomku.

3) Pokud ve společném termínu řady existuje „řetězec faktorů“, například . Tento případ je vzácný, ale! Při studiu takové řady často dochází k chybě – viz příklad 6.

Spolu s mocninami a (a) faktoriály se polynomy často vyskytují ve výplni řady, to na věci nic nemění - musíte použít d'Alembertův test.

Navíc se v obecném členu řady může současně vyskytovat stupeň i faktoriál; mohou existovat dva faktoriály, dva stupně, je důležité, aby existovaly alespoň některé uvažované body – a to je jen předpoklad pro použití d'Alembertova znamení.

Znamení d'Alemberta: Zvážit kladná číselná řada. Pokud existuje limit poměru dalšího členu k předchozímu: , pak:
a) V řadě konverguje. Zejména řada konverguje pro .
b) V řadě se rozchází. Zejména se série liší v .
c) Kdy značka nereaguje. Musíte použít jiný znak. Nejčastěji se jednotka získá, když se pokusí aplikovat d'Alembertův test tam, kde je nutné použít limitní srovnávací test.

Pokud máte stále problémy s limity nebo nepochopení limitů, podívejte se prosím na lekci Limity. Příklady řešení. Bez pochopení limitu a schopnosti dále odhalovat nejistotu se bohužel nelze posunout vpřed.

A nyní dlouho očekávané příklady.

Příklad 1

Vidíme, že ve společném termínu řady máme , a to je správný předpoklad, že musíme použít d'Alembertův test. Nejprve kompletní řešení a ukázka návrhu, komentáře níže.

Používáme znak d'Alembert:

konverguje.

(1) Sestavte poměr dalšího člena řady k předchozímu: . Z podmínky vidíme, že společný termín řady . Abyste získali dalšího člena série, je to nutné nahradit místo toho: .
(2) Zbavte se čtyřpatrového zlomku. S určitými zkušenostmi s řešením tohoto kroku jej můžete přeskočit.
(3) Otevřete závorky v čitateli. Ve jmenovateli vyjmeme čtyřku ze stupně.
(4) Snížit o . Vyjmeme konstantu za znaménkem limitu. V čitateli dáváme podobné pojmy v závorkách.
(5) Nejistota se odstraňuje standardním způsobem - dělením čitatele a jmenovatele "en" na nejvyšší stupeň.
(6) Vydělte čitatele jmenovateli po členech a označte členy, které mají sklon k nule.
(7) Zjednodušíme odpověď a poznamenáme, že se závěrem, že podle d'Alembertova kritéria sledovaná řada konverguje.

V uvažovaném příkladu jsme v obecném členu řady narazili na polynom 2. stupně. Co když existuje polynom 3., 4. nebo vyššího stupně? Faktem je, že pokud je zadán polynom vyššího stupně, nastanou potíže s otevíráním závorek. V tomto případě můžete použít metodu řešení "turbo".

Příklad 2

Vezměte podobnou řadu a prozkoumejte její konvergenci

Nejprve úplné řešení, poté komentáře:

Používáme znak d'Alembert:

Tedy studovaná série konverguje.

(1) Sestavte poměr .
(2) Zbavte se čtyřpatrového zlomku.
(3) Uvažujme výraz v čitateli a výraz ve jmenovateli. Vidíme, že v čitateli musíte otevřít závorky a zvýšit na čtvrtou mocninu: , což vůbec nechcete dělat. Také pro ty, kteří nejsou obeznámeni s Newtonovým binomem, daný úkol nemusí být vůbec proveditelné. Pojďme analyzovat nejvyšší stupně: pokud otevřeme závorky nahoře, dostaneme nejvyšší stupeň. Níže máme stejný vyšší titul: . Analogicky s předchozím příkladem je zřejmé, že členěním čitatele a jmenovatele po členech dostaneme v limitě jedničku. Nebo, jak říkají matematici, polynomy a - jeden řád růstu. Je tedy docela možné zakroužkovat poměr jednoduchou tužkou a okamžitě naznačit, že tato věc směřuje k jednotě. Podobně se zabýváme druhou dvojicí polynomů: a , oni také jeden řád růstu a jejich poměr směřuje k jednotě.

Ve skutečnosti se takový „hack“ mohl udělat v příkladu č. 1, ale pro polynom 2. stupně takové řešení stále vypadá jaksi nedůstojně. Osobně to dělám takto: pokud existuje polynom (nebo polynomy) prvního nebo druhého stupně, použiji "dlouhou" metodu řešení příkladu 1. Pokud narazí polynom 3. a více vysoké stupně, používám metodu "turbo" podobnou příkladu 2.

Příklad 3

Prozkoumejte konvergenci řady

Kompletní řešení a ukázka návrhu na konci lekce o číselných řadách.
(4) Snižte vše, co lze snížit.
(5) Konstantu posuneme za znaménko limity. Otevřete závorky v čitateli.
(6) Nejistota se odstraňuje standardním způsobem - dělením čitatele a jmenovatele "en" na nejvyšší stupeň.

Příklad 5

Prozkoumejte konvergenci řady

Kompletní řešení a ukázka návrhu na konci lekce

Příklad 6

Prozkoumejte konvergenci řady

Někdy se vyskytují řádky, které obsahují ve své náplni „řetězec“ multiplikátorů, s tímto typem řádků jsme zatím neuvažovali. Jak prozkoumat sérii s „řetězcem“ faktorů? Použijte znamení d'Alemberta. Ale nejprve, abychom pochopili, co se děje, napíšeme podrobně sérii:

Z rozkladu vidíme, že pro každý další člen řady se do jmenovatele přidává další faktor, takže pokud je společný člen řady , pak další člen řady:
. Zde často automaticky dělají chybu a formálně zapisují podle algoritmu, který

Příklad řešení může vypadat takto:

Používáme znak d'Alembert:

Tedy studovaná série konverguje.

Než se pustíte do práce s tímto tématem, doporučuji nahlédnout do sekce s terminologií pro číselné řady. Zvláště stojí za to věnovat pozornost konceptu společného termínu řady. Pokud máte pochybnosti o správné volbě znaménka konvergence, doporučuji podívat se na téma "Volba znaménka konvergence číselných řad".

D'Alembertův test (nebo d'Alembertův test) se používá ke studiu konvergence řad, jejichž společný člen je přísně větší než nula, tj. $u_n > 0$. Takové řady se nazývají přísně pozitivní. Ve standardních příkladech se v omezujícím tvaru používá znak D "Alembert.

Značka D "Alamber (v omezující podobě)

Pokud je řada $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ striktně pozitivní a $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ poté za $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (a pro $L=\infty$) se řada liší.

Formulace je poměrně jednoduchá, ale zůstává otevřená další otázka: co se stane, když $L=1$? Znak D "Alembert není schopen na tuto otázku odpovědět. Pokud $L \u003d 1 $, pak řada může konvergovat i divergovat.

Nejčastěji se ve standardních příkladech používá znaménko D "Alembert, pokud výraz společného členu řady obsahuje polynom v $n$ (polynom může být i pod kořenem) a stupeň tvaru $a ^n$ nebo $n!$. Například $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (viz příklad č. 1) nebo $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "!} vizitka"Znamení D" Alamber.

Co znamená výraz „n!“? zobrazit/skrýt

Nahrávání "n!" (čti "en faktoriál") označuje součin všech přirozená čísla od 1 do n, tj.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Podle definice se předpokládá, že $0!=1!=1$. Najdeme například 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Kromě toho se D "Alembertův test často používá k určení konvergence řady, jejíž společný člen obsahuje součin následující struktury: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n) +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

Příklad #1

Prozkoumejte řadu $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ pro konvergenci.

Vzhledem k tomu, že spodní součtový limit je roven 1, zapíše se společný člen řady pod znaménko součtu: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. Protože pro $n≥ 1$ máme $3n+7 > 0$, $5^n>0$ a $2n^3-1 > 0$, pak $u_n > 0$. Proto je naše série přísně pozitivní.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\left(2n^3-1\right))(\left(2(n+1)^3-1\vpravo )(3n+7))=\left|\frac(\infty)(\infty)\vpravo|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\left (2n^3-1\right))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\right)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2( n+1)^3-1\vpravo))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ left(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\right)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10) (n)\vpravo)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\vpravo))(\left(2\left(1+\frac(1)(n)\vpravo)^3 -\frac(1)(n^3)\right)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\right))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

Vzhledem k tomu, že $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$, pak podle dané řady diverguje.

Abych byl upřímný, znak D "Alembert není v této situaci jedinou možností. Můžete použít například radikální Cauchyho znamení. Použití radikálního Cauchyho znamení však bude vyžadovat znalost (nebo důkaz) doplňkové vzorce. Proto je použití znaku D „Alembert v této situaci pohodlnější.

Odpovědět: série se rozchází.

Příklad č. 2

Prozkoumejte sérii $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ на сходимость.!}

Protože spodní součtový limit je 1, společný člen řady se zapisuje pod znaménko součtu: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Společný člen řady obsahuje pod kořenem polynom, tzn. $\sqrt(4n+5)$ a faktoriál $(3n-2)!$. Přítomnost faktoriálu ve standardním příkladu je téměř stoprocentní zárukou aplikace znaku D "Alembert.

Abychom tuto vlastnost mohli aplikovat, musíme najít limitu vztahu $\frac(u_(n+1))(u_n)$. Chcete-li napsat $u_(n+1)$, musíte použít vzorec $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Protože $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$, vzorec pro $u_(n+1)$ lze napsat jinak :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Toto zadání je vhodné pro další řešení, když musíme zlomek snížit pod limit. Pokud rovnost s faktoriály vyžaduje vyjasnění, rozbalte prosím poznámku níže.

Jak jsme získali $(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$? zobrazit/skrýt

Zápis $(3n+1)!$ znamená součin všech přirozených čísel od 1 do $3n+1$. Tito. tento výraz lze napsat takto:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

Bezprostředně před číslem $3n+1$ je o číslo jedna méně, tzn. číslo $3n+1-1=3n$. A těsně před číslem $3n$ je číslo $3n-1$. Těsně před číslem $3n-1$ máme číslo $3n-1-1=3n-2$. Přepišme vzorec pro $(3n+1)!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

Jaký je součin $1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$? Tento produkt se rovná $(3n-2)!$. Proto výraz pro $(3n+1)!$ lze přepsat do tohoto tvaru:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Toto zadání je vhodné pro další řešení, když musíme zlomek snížit pod limit.

Vypočítejte hodnotu $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Protože $\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0<1$, то согласно

Než formulujeme samotný znak, zvažte důležitou otázku:
Kdy by se mělo použít d'Alembertovo konvergenční kritérium?

Hlavní předpoklady pro uplatnění d'Alembertova testu jsou následující:

1) Společný člen řady („vycpávka“ řady) obsahuje nějaké číslo ve stupni, například , a tak dále. Navíc vůbec nezáleží na tom, kde se tyto funkce nacházejí, v čitateli nebo ve jmenovateli – důležité je, aby tam byly.

2) Společný termín řady zahrnuje faktoriál. Co je faktoriál?

…

…

! Při použití d'Alembertova testu musíme faktoriál vybarvit do detailu. Stejně jako v předchozím odstavci může být faktoriál umístěn v horní nebo dolní části zlomku.

3) Pokud ve společném termínu řady existuje „řetězec faktorů“, např. . Tento případ je vzácný.

Spolu s mocninami a (a) faktoriály se polynomy často vyskytují ve výplni řady, to na věci nic nemění - musíte použít d'Alembertův test.

Navíc se v obecném členu řady může současně vyskytovat stupeň i faktoriál; mohou existovat dva faktoriály, dva stupně, je důležité, aby existovaly alespoň něco z uvažovaných bodů - a to je pouze předpoklad pro použití d'Alembertova znamení.

Znamení d'Alemberta: Zvážit kladná číselná řada. Pokud existuje limit poměru dalšího členu k předchozímu: , pak:
a) V řadě konverguje
b) V řadě se rozchází
c) Kdy značka nereaguje. Musíte použít jiný znak. Nejčastěji se jednotka získá, když se pokusí aplikovat d'Alembertův test tam, kde je nutné použít limitní srovnávací test.

Bez pochopení limitu a schopnosti dále odhalovat nejistotu se bohužel nelze posunout vpřed.

Příklad:
Řešení: Vidíme, že ve společném termínu řady máme , a to je správný předpoklad, že musíme použít d'Alembertův test.

Používáme znak d'Alembert:

konverguje.

Cauchyho radikální znamení.

Cauchyho test konvergence pro pozitivní číselné řady je poněkud podobný právě uvažovanému d'Alembertovu testu.

! Je zajímavé poznamenat, že pokud nám Cauchyho test nedá odpověď na otázku konvergence řady, nedá nám odpověď ani d'Alembertův test. Ale pokud d'Alembertovo znamení nedává odpověď, pak Cauchyho znamení může dobře "fungovat". To znamená, že Cauchyho znamení je v tomto smyslu silnější znamení.

!!! Kdy byste měli použít Cauchyho radikální znamení? Radikální Cauchyho test se obvykle používá v případech, kdy je společný termín řady PLNĚ je ve stupni závislý na "en". Nebo když je kořen "dobrý" extrahován ze společného člena řady. Stále existují exotické případy, ale nebudeme si s nimi tlouci hlavu.

Příklad: Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení: Vidíme, že společný termín řady je zcela pod stupněm v závislosti na , což znamená, že musíme použít radikální Cauchyho test:

Tedy studovaná série se rozchází.

Integrální Cauchyho test.

Aby bylo možné použít integrální Cauchyho kritérium, je nutné více či méně jistě umět najít derivace, integrály a také umět počítat nevlastní integrál první druh.

Budu formulovat vlastními slovy (pro snadnější pochopení).

Integrální Cauchyho test: Zvážit kladná číselná řada. Tato řada konverguje nebo diverguje spolu s odpovídajícím nevlastním integrálem.

! !! Hlavní předpoklad pro použití integrálního Cauchyho testu je skutečnost, že společný člen řady obsahuje nějakou funkci a její derivaci.

Příklad: Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení: Z tématu Derivát pravděpodobně si pamatujete nejjednodušší tabulkovou věc: , a máme právě takový kanonický případ.

Jak používat znaménko integrálu? Nejprve vezmeme ikonu integrálu a přepíšeme horní a dolní mez z „počítadla“ řádku: . Potom pod integrál přepíšeme „náplň“ řady písmenem „x“:.

Nyní musíme vypočítat nevlastní integrál. V tomto případě jsou možné dva případy:

1) Pokud se ukáže, že integrál konverguje, pak bude konvergovat i naše řada.

2) Pokud se ukáže, že integrál diverguje, bude divergovat i naše řada.

Používáme integrální funkci:

Integrand nepřetržitě zapnuto

Tedy studovaná série se rozchází spolu s odpovídajícím nevlastním integrálem.

Příklad: Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení: Nejprve zkontrolujeme nezbytné kritérium pro konvergenci řady. Nejedná se o formalitu, ale o velkou šanci vypořádat se s příkladem „malého krveprolití“.

Číselná posloupnost vyšší pořadí růstu než tedy , to znamená, že je splněno nezbytné kritérium pro konvergenci a řada může konvergovat i divergovat.

Musí se tedy použít nějaké znamení. Ale co? Mezní znak srovnání zjevně nesedí, protože logaritmus byl zastrčen do běžného termínu řady, znaky d'Alemberta a Cauchyho také nevedou k výsledkům. Kdybychom měli, pak by bylo přinejmenším možné se vykroutit integrální vlastnost.

"Inspekce scény" naznačuje divergentní řadu (případ zobecněné harmonické řady), ale opět vyvstává otázka, jak vzít v úvahu logaritmus v čitateli?

Zůstává tu úplně první známka porovnávání založená na nerovnostech, která se často nebere v úvahu a zapadá prach na vzdálenější polici. Pojďme napsat sérii podrobněji:

Připomínám, že - neomezené pěstování číselná posloupnost:

A počínaje číslem bude nerovnost splněna:

to znamená, že členové série budou ještě více příslušných členů divergentní řádek .

Ve výsledku tak sérii nezbývá nic jiného, než se také rozcházet.

Konvergence či divergence číselné řady závisí na jejím „nekonečném chvostu“ (zbytku). V našem případě můžeme ignorovat fakt, že nerovnost neplatí pro první dvě čísla – závěr to neovlivňuje.

Čistý design příkladu by měl vypadat nějak takto:

Porovnejte tuto řadu s divergentní řadou.
Pro všechna čísla počínaje , je nerovnost splněna, tedy pro srovnání studovaná řada se rozchází.

Střídání řádků. Leibnizův znak. Příklady řešení.

Co je to střídavá řada? To je jasné nebo téměř jasné již ze samotného názvu. Jen ten nejjednodušší příklad.

Zvažte sérii a napište ji podrobněji:

Střídání poskytuje násobitel: pokud je sudé, bude znaménko plus, pokud je liché, bude znaménko mínus

V praktických příkladech může střídání členů řady poskytnout nejen faktor , ale také jeho bratry: , , , …. Například:

Úskalím jsou "triky":,, atd. jsou takové násobitele neposkytujte změnu znamení. Je zcela jasné, že pro jakékoli přírodní : , , .

Jak zkoumat konvergenci střídavé řady? Použijte Leibnizův znak.

Leibnizův znak: Jsou-li ve střídavé řadě splněny dvě podmínky: 1) členy řady monotónně klesají v absolutní hodnotě. 2) limit společného členu je rovna nule v absolutní hodnotě, pak řada konverguje a modul součtu této řady nepřesahuje modul prvního členu.

Stručné informace o modulu:

Co znamená „modulo“? Modul, jak si pamatujeme ze školy, „žere“ znaménko mínus. Vraťme se k seriálu . Mentálně vymažte všechny znaky pomocí gumy a podívejte se na čísla. To uvidíme každý dalšíčlen řady méně než předchozí.

Teď trochu o monotónnosti.

Členové řady přísně monotónní snížit modulo, pokud KAŽDÝ DALŠÍ člen série modulo MÉNĚ než předchozí: . Za číslo přísná monotonie snižování je splněna, lze ji podrobně popsat:

A můžeme říci ve zkratce: každý další člen série modulo méně než předchozí: .

Členové řady ne vyloženě monotónní pokles modulu, pokud KAŽDÝ DALŠÍ člen řady modulo NENÍ VĚTŠÍ NEŽ předchozí: . Uvažujme řadu s faktoriálem: Zde dochází k nepřísné monotónnosti, protože první dva členy řady jsou identické v absolutní hodnotě. Tedy každý další člen série modulo ne více než předchozí: .

Za podmínek Leibnizovy věty musí být splněna monotónnost poklesu (je jedno, zda je přísný nebo nepřísný). V tomto případě mohou členové série dokonce na nějakou dobu zvýšit modulo, ale „ocásek“ řady musí nutně monotónně klesat.

Příklad: Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení: Společný termín řady zahrnuje faktor , což znamená, že musíte použít Leibnizův test

1) Kontrola řady na monotónní pokles.

1<2<3<…, т.е. n+1>n není splněna první podmínka

2) – není splněna ani druhá podmínka.

Závěr: série se rozchází.

Definice: Pokud řada konverguje podle Leibnizova kritéria a řada složená z modulů také konverguje, pak říkáme, že řada absolutně konverguje.

Pokud řada konverguje podle Leibnizova kritéria a řada složená z modulů diverguje, pak se řada považuje za podmíněně konverguje.

Konverguje-li řada složená z modulů, konverguje i tato řada.

Proto musí být střídavé konvergentní řady zkoumány na absolutní nebo podmíněnou konvergenci.

Příklad:

Řešení: Používáme Leibnizův znak:

1) Každý další člen řady má menší modul než předchozí: – je splněna první podmínka.

2) – je splněna i druhá podmínka.

Závěr: řada konverguje.

Zkontrolujte podmíněnou nebo absolutní konvergenci.

Udělejme řadu modulů - opět jen odstraníme násobič, který zajistí střídání:
- diverguje (harmonická řada).

Tedy náš seriál není absolutně konvergentní.
Studijní řada podmíněně konverguje.

Příklad: Prozkoumejte řadu pro podmíněnou nebo absolutní konvergenci

Řešení: Používáme Leibnizův znak:
1) Zkusme sepsat prvních několik termínů série:

…?!

Faktem je, že na řešení takových limitů neexistují žádné standardní každodenní triky. Kam tento limit sahá? Na nulu, do nekonečna? Zde je důležité, že CO roste rychleji v nekonečnu- čitatel nebo jmenovatel.

Pokud čitatel at roste rychleji než faktoriál, pak . Pokud v nekonečnu faktoriál roste rychleji než čitatel, pak naopak „stáhne“ limit na nulu: . Nebo se možná tato hranice rovná nějakému nenulovému číslu? nebo . Místo toho můžete dosadit nějaký polynom tisícového stupně, to opět nezmění situaci - dříve nebo později faktoriál stejně „předběhne“ tak hrozný polynom. Faktorový vyšší řád růstu.

– Faktorial roste rychleji než produkt v libovolném množství exponenciální a mocninné posloupnosti(náš případ).

– Žádný exponenciální posloupnost roste rychleji než jakákoli mocninná posloupnost, například: , . exponenciální posloupnost vyšší řád růstu než jakákoli mocenská sekvence. Podobně jako u faktoriálu exponenciální posloupnost „vytáhne“ součin libovolného počtu libovolných mocninných posloupností nebo polynomů: .

– Existuje něco „silnějšího“ než faktoriál? Jíst! Exponenciální posloupnost („en“ na mocninu „en“) roste rychleji než faktoriál. V praxi je to vzácné, ale informace nebudou zbytečné.

Konec pomoci

Druhý bod studie lze tedy napsat takto:
2) , protože vyšší řád růstu než .
Členy řady snižují modulo, počínaje nějakým číslem, zároveň je každý další člen řady v absolutní hodnotě menší než předchozí, takže pokles je monotónní.

Závěr: řada konverguje.

Zde je právě ten kuriózní případ, kdy podmínky řady poprvé rostou v absolutní hodnotě, a proto máme mylný počáteční názor na limit. Ale, počínaje nějakým číslem "en", faktoriál předběhne čitatel a „chvost“ řady se stává monotónně klesajícím, což je zásadně důležité pro splnění podmínky Leibnizovy věty. Co je to vlastně za "en" je docela těžké zjistit.

Zkoumáme řadu na absolutní nebo podmíněnou konvergenci:

A zde d'Alembertův znak již funguje:

Používáme znak d'Alembert:

Řada tedy konverguje.

Studijní řada absolutně konverguje.

Analyzovaný příklad lze řešit i jinak (použijeme dostatečné kritérium pro konvergenci střídavé řady).

Dostatečným kritériem pro konvergenci střídavé řady je: Konverguje-li řada složená z absolutních hodnot členů dané řady, konverguje i daná řada.

Druhý způsob:

Prozkoumejte řadu pro podmíněnou nebo absolutní konvergenci

Řešení : Zkoumáme řadu pro absolutní konvergenci:

Používáme znak d'Alembert:

Řada tedy konverguje.
Na základě dostatečného kritéria pro konvergenci střídavé řady pak samotná řada konverguje.

Závěr: Studijní řada absolutně konverguje.

Vypočítat součet řady s danou přesností použijeme následující větu:

Nechte střídavé série splňuje podmínky Leibnizova testu a nechá - jeho n-tý dílčí součet. Pak řada konverguje a chyba v přibližném výpočtu jejího součtu S v absolutní hodnotě nepřekročí modul prvního vyřazeného členu:

funkční řádky. Mocninná řada.
Oblast konvergence řady.

Pro úspěšné zvládnutí tématu je potřeba se dobře orientovat v běžných číselných řadách.

Tento článek shromáždil a strukturoval informace potřebné k vyřešení téměř jakéhokoli příkladu na téma číselných řad, od nalezení součtu řady po zkoumání její konvergence.

Recenze článku.

Začněme definicemi kladných znamének, řad se střídavým znaménkem a konceptem konvergence. Dále zvažte standardní řady, jako je harmonická řada, zobecněná harmonická řada, vzpomeňte si na vzorec pro nalezení součtu nekonečně klesajících geometrická progrese. Poté přejdeme k vlastnostem konvergenčních řad, zastavíme se u nutné podmínky pro konvergenci řady a uvedeme dostatečné podmínky pro konvergenci řady. Teorii rozředíme řešením typických příkladů s podrobným vysvětlením.

Navigace na stránce.

Základní definice a pojmy.

Mějme číselnou posloupnost , kde .

Zde je příklad číselné sekvence: .

Číselná řada je součet členů číselné posloupnosti formuláře .

Jako příklad číselné řady můžeme uvést součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti se jmenovatelem q = -0,5: .

jsou nazývány společný člen číselné řady nebo k-tý člen řady.

V předchozím příkladu je společný výraz číselné řady .

Částečný součet číselné řady je součet tvaru , kde n je nějaké přirozené číslo. nazývá se také n-tý dílčí součet číselné řady.

Například čtvrtý dílčí součet řady Tady je .

Dílčí sumy tvoří nekonečnou posloupnost dílčích součtů číselné řady.

Pro naši řadu je n-tý dílčí součet nalezen vzorcem pro součet prvních n členů geometrické posloupnosti , to znamená, že budeme mít následující posloupnost dílčích součtů: .

Zavolá se číselná řada konvergující, pokud existuje konečná limita posloupnosti dílčích součtů . Pokud limita posloupnosti dílčích součtů číselné řady neexistuje nebo je nekonečná, pak se řada nazývá divergentní.

Součet konvergentní číselné řady se nazývá limita posloupnosti jeho dílčích součtů, tzn. .

V našem příkladu tedy řada konverguje a jeho součet se rovná šestnácti třetinám: .

Příkladem divergentní řady je součet geometrické posloupnosti se jmenovatelem větším než jedna: . N-tý dílčí součet je dán vztahem a limit částečných součtů je nekonečný: .

Dalším příkladem divergentní číselné řady je součet tvaru . V tomto případě lze n-tý dílčí součet vypočítat jako . Hranice dílčích součtů je nekonečná .

Součtový pohled volal harmonická číselná řada.

Součtový pohled , kde s je nějaké reálné číslo, se nazývá zobecněná harmonická číselná řada.

Výše uvedené definice jsou dostatečné pro doložení následujících velmi často používaných tvrzení, doporučujeme si je zapamatovat.

HARMONICKÁ ŘADA JE Divergentní.

Dokažme divergenci harmonické řady.

Předpokládejme, že řada konverguje. Pak existuje konečná hranice jeho dílčích součtů. V tomto případě můžeme napsat a , což nás vede k rovnosti .

Na druhé straně,

O následujících nerovnostech nelze pochybovat. Tím pádem, . Výsledná nerovnost nám říká, že rovnost nelze dosáhnout, což je v rozporu s naším předpokladem o konvergenci harmonické řady.

Závěr: harmonická řada diverguje.

SOUČET GEOMETRICKÉ PROGRESE TYPU SE JMENOVATELEM q JE KONVERGENČNÍ ČÍSELNÁ ŘADA IF A DIVERGENTNÍ ŘADA AT .

Pojďme to dokázat.

Víme, že součet prvních n členů geometrické posloupnosti najdeme vzorcem .

Když spravedlivé

což udává konvergenci číselné řady.

Pro q = 1 máme číselnou řadu . Jeho částečné součty se nalézají jako , a limit částečných součtů je nekonečný , což v tomto případě ukazuje na divergenci řady.

Pokud q \u003d -1, číselná řada bude mít tvar . Dílčí součty nabývají hodnoty pro liché n a pro sudé n . Z toho můžeme usoudit, že limita dílčích součtů neexistuje a řada diverguje.

Když spravedlivé

což udává divergenci číselné řady.

GENERALIZOVANÁ HARMONICKÁ ŘADA SE KONVERGUJE PRO s > 1 A POTÁPÁ SE PRO .

Důkaz.

Pro s = 1 dostaneme harmonickou řadu a výše jsme stanovili její divergenci.

Na s nerovnost platí pro všechny přirozené k . Vzhledem k divergenci harmonické řady lze tvrdit, že posloupnost jejích dílčích součtů je neomezená (protože neexistuje žádná konečná hranice). Potom je posloupnost dílčích součtů číselné řady o to neomezenější (každý člen této řady je větší než příslušný člen harmonické řady), proto se zobecněná harmonická řada v s rozchází.

Zbývá dokázat konvergenci řady pro s > 1 .

Napišme rozdíl:

Tedy očividně

Zapišme výslednou nerovnost pro n = 2, 4, 8, 16, …

Pomocí těchto výsledků lze s původní číselnou řadou provádět následující akce:

Výraz je součet geometrické posloupnosti, jejíž jmenovatel je . Protože uvažujeme případ pro s > 1, pak . Proto
. Posloupnost dílčích součtů zobecněné harmonické řady pro s > 1 je tedy rostoucí a zároveň shora ohraničená hodnotou , má tedy limitu, která udává konvergenci řady . Důkaz je kompletní.

Zavolá se číselná řada znaménkově pozitivní pokud jsou všechny jeho podmínky kladné, tzn. .

Zavolá se číselná řada střídavé pokud jsou znaménka jeho sousedních členů odlišná. Střídavou číselnou řadu lze zapsat jako nebo , Kde .

Zavolá se číselná řada střídavé pokud obsahuje nekonečný počet kladných i záporných členů.

Střídavá číselná řada je zvláštní případ střídavé řady.

řadách

jsou znaménko-pozitivní, znaménkové střídavé a znaménkové alternující.

Pro střídavé řady existuje koncept absolutní a podmíněné konvergence.

absolutně konvergentní, pokud konverguje řada absolutních hodnot jejích členů, tedy konverguje číselná řada s kladným znaménkem.

Například číselné řady A absolutně konvergovat, protože řada konverguje , což je součet nekonečně klesající geometrické progrese.

Střídavá řada se nazývá podmíněně konvergentní pokud řada diverguje a řada konverguje.

Příkladem podmíněně konvergentní číselné řady je řada . Číselná řada , složený z absolutních hodnot členů původní řady, divergentní, protože je harmonický. Původní řada je zároveň konvergentní, což lze snadno stanovit pomocí . Tedy číselné znaménko-střídavá řada podmíněně konvergentní.

Vlastnosti konvergentních číselných řad.

Příklad.

Dokažte konvergenci číselné řady.

Řešení.

Pojďme napsat seriál v jiné podobě . Číselná řada konverguje, protože zobecněná harmonická řada je konvergentní pro s > 1 a díky druhé vlastnosti konvergentní číselné řady bude konvergovat i řada s číselným koeficientem.

Příklad.

Konverguje číselná řada?

Řešení.

Pojďme transformovat původní sérii: . Tak jsme dostali součet dvou číselných řad a , a každá z nich konverguje (viz předchozí příklad). Kvůli třetí vlastnosti konvergentních číselných řad tedy konverguje i původní řada.

Příklad.

Dokažte konvergenci číselné řady a vypočítat jeho součet.

Řešení.

Tato číselná řada může být reprezentována jako rozdíl dvou řad:

Každá z těchto řad je součtem nekonečně klesající geometrické progrese, proto je konvergentní. Třetí vlastnost konvergentní řady nám umožňuje tvrdit, že původní číselná řada konverguje. Vypočítejme jeho součet.

První člen řady je jedna a jmenovatel příslušné geometrické posloupnosti je 0,5, tedy .

První člen řady je 3 a jmenovatel odpovídající nekonečně klesající geometrické posloupnosti je 1/3, takže .

Použijme získané výsledky k nalezení součtu původní číselné řady:

Nezbytná podmínka pro konvergenci řady.

Pokud číselná řada konverguje, pak je limita jejího k-tého členu rovna nule: .

Při studiu jakékoliv číselné řady pro konvergenci je v první řadě nutné zkontrolovat splnění nezbytné podmínky pro konvergenci. Nesplnění této podmínky ukazuje na divergenci číselné řady, tedy pokud , pak se řada diverguje.

Na druhou stranu je třeba si uvědomit, že tato podmínka není dostatečná. To znamená, že splnění rovnosti neindikuje konvergenci číselné řady. Například pro harmonickou řadu je splněna nezbytná podmínka konvergence a řada diverguje.

Příklad.

Prozkoumejte konvergenci číselné řady.

Řešení.

Zkontrolujeme nezbytnou podmínku pro konvergenci číselné řady:

Omezit n-tý člen číselné řady není roven nule, proto řada diverguje.

Dostatečné podmínky pro konvergenci kladné znaménkové řady.

Při použití dostatečných funkcí pro studium číselných řad pro konvergenci se neustále musíte potýkat s , takže v případě potíží doporučujeme nahlédnout do této části.

Nutná a postačující podmínka pro konvergenci kladné číselné řady.

Pro konvergenci znaménko-kladné číselné řady je nutné a postačující, aby posloupnost jeho dílčích součtů byla ohraničena.

Začněme s funkcemi srovnání řad. Jejich podstata spočívá v porovnání studovaných číselných řad s řadou, jejíž konvergence či divergence je známa.

První, druhý a třetí znak srovnání.

První známka srovnání řádků.

Nechť a být dvě číselné řady s kladným znaménkem a nerovnost platí pro všechna k = 1, 2, 3, ... Pak konvergence řady implikuje konvergenci , a divergence řady implikuje divergenci .

První srovnávací kritérium se používá velmi často a je velmi silným nástrojem pro studium číselných řad pro konvergenci. Hlavním problémem je výběr vhodné řady pro srovnání. Řady pro srovnání se obvykle (ale ne vždy) volí tak, aby exponent jejího k-tého členu byl roven rozdílu mezi exponenty čitatele a jmenovatele k-tého členu zkoumané číselné řady. Nechť je například rozdíl mezi exponenty v čitateli a jmenovateli 2 - 3 = -1, proto pro srovnání vybereme řadu s k-tým členem, tedy řadu harmonickou. Podívejme se na pár příkladů.

Příklad.

Nastavte konvergenci nebo divergenci řady.

Řešení.

Protože limita společného členu řady je rovna nule, je splněna nezbytná podmínka pro konvergenci řady.

Je snadné vidět, že nerovnost platí pro všechny přirozené k . Víme, že harmonická řada diverguje, proto je podle prvního znaku srovnání divergentní i původní řada.

Příklad.

Prozkoumejte konvergenci číselné řady.

Řešení.

Nutná podmínka konvergence číselné řady je splněna, protože . Je zřejmé, že nerovnost pro jakoukoli přirozenou hodnotu k. Řada konverguje, protože zobecněná harmonická řada konverguje pro s > 1. První znak porovnání řad nám tedy umožňuje konvergenci původní číselné řady.

Příklad.

Určete konvergenci nebo divergenci číselné řady.

Řešení.

, je tedy splněna nutná podmínka pro konvergenci číselné řady. Který řádek vybrat pro srovnání? Číselná řada se navrhuje sama, a abychom mohli určit s, pečlivě prozkoumáme číselnou posloupnost. Členy číselné posloupnosti rostou směrem k nekonečnu. Tedy počínaje od nějakého čísla N (jmenovitě od N = 1619 ), členy této posloupnosti budou větší než 2 . Počínaje tímto číslem N platí nerovnost. Číselná řada konverguje díky první vlastnosti konvergentní řady, protože se získá z konvergentní řady vyřazením prvních N - 1 členů. Řada je tedy podle prvního znaku srovnání konvergentní a díky první vlastnosti konvergentní číselné řady bude řada také konvergovat.

Druhý znak srovnání.

Nechť a být znaménko-kladná číselná řada. Jestliže , pak konvergence řady implikuje konvergenci . Jestliže , pak divergence číselné řady implikuje divergenci .

Následek.

Jestliže a , pak konvergence jedné řady implikuje konvergenci druhé řady a divergence implikuje divergenci.

Zkoumáme konvergenci řady pomocí druhého srovnávacího kritéria. Vezměme konvergentní řadu jako řadu. Najdeme limitu poměru k-tých členů číselné řady:

Podle druhého srovnávacího kritéria tedy konvergence číselné řady implikuje konvergenci původní řady.

Příklad.

Prozkoumejte konvergenci číselné řady.

Řešení.

Zkontrolujme nezbytnou podmínku pro konvergenci řady . Podmínka je splněna. Chcete-li použít druhý znak srovnání, vezměme harmonickou řadu. Najdeme limitu poměru k-tých členů:

V důsledku toho divergence původní řady vyplývá z divergence harmonické řady podle druhého srovnávacího kritéria.

Pro informaci uvádíme třetí kritérium pro porovnávání řad.

Třetí znak srovnání.

Nechť a být znaménko-kladná číselná řada. Pokud je podmínka splněna od určitého počtu N, pak konvergence řady implikuje konvergenci a divergence řady implikuje divergenci.

Znamení d'Alemberta.

Komentář.

d'Alembertovo znamení platí, pokud je limita nekonečná, tedy pokud , pak řada konverguje, jestliže , pak se řada rozchází.

Pokud , pak d'Alembertův test neposkytuje informace o konvergenci nebo divergenci řad a je vyžadován další výzkum.

Příklad.

Prozkoumejte konvergenci číselné řady na základě d'Alemberta.

Řešení.

Zkontrolujme splnění nutné podmínky pro konvergenci číselné řady, limitu vypočítáme podle:

Podmínka je splněna.

Použijme d'Alembertovo znamení:

Řada tedy konverguje.

Cauchyho radikální znamení.

Dovolit být kladné znaménko číselné řady. Jestliže , pak řada konverguje, jestliže , pak řada diverguje.

Komentář.

Cauchyho radikální test je platný, je-li limita nekonečná, tedy jestliže , pak řada konverguje, jestliže , pak se řada rozchází.

Pokud , pak Cauchyho radikální test neposkytuje informace o konvergenci nebo divergenci řad a je nutný další výzkum.

Obvykle je dostatečně snadné vidět případy, kdy je nejlepší použít radikální Cauchyho test. Charakteristický je případ, kdy je společný člen číselné řady exponenciálně mocenský výraz. Podívejme se na pár příkladů.

Příklad.

Prozkoumejte číselnou řadu s kladným znaménkem pro konvergenci pomocí radikálního Cauchyho testu.

Řešení.

. Radikálním Cauchyho testem dostáváme .

Proto řada konverguje.

Příklad.

Konverguje číselná řada? .

Řešení.

Použijme radikální Cauchyho test , tedy číselná řada konverguje.

Integrální Cauchyho test.

Dovolit být kladné znaménko číselné řady. Sestavme funkci spojitého argumentu y = f(x) , podobnou funkci . Nechť je funkce y = f(x) kladná, spojitá a klesající na intervalu , kde ). Pak v případě konvergence nevlastní integrál konverguje studované číselné řady. Diverguje-li nevlastní integrál, diverguje i původní řada.

Při kontrole rozpadu funkce y = f(x) v intervalu vám může být užitečná teorie v části.

Příklad.

Prozkoumejte číselnou řadu s kladnými členy pro konvergenci.

Řešení.

Nezbytná podmínka pro konvergenci řady je splněna, protože . Uvažujme funkci. Je kladný, spojitý a na intervalu klesající. O návaznosti a pozitivitě této funkce není pochyb, ale zastavme se u poklesu trochu podrobněji. Pojďme najít derivát:
. Na intervalu je záporná, proto funkce na tomto intervalu klesá.

Jean Léron d'Alembert je slavný francouzský matematik 18. století. Obecně se d'Alembert specializoval na diferenciální rovnice a na základě svých výzkumů se zabýval balistikou, aby dělové koule Jeho Veličenstva lépe létaly. Přitom jsem nezapomněl na číselnou řadu, ne nadarmo se řady napoleonských vojsk tak zřetelně sbližovaly a rozcházely.

Než formulujeme samotný znak, zvažte důležitou otázku:
Kdy by se mělo použít d'Alembertovo konvergenční kritérium?

Hlavní předpoklady pro použití znamení d'Alembert jsou následující:

2) Společný termín řady zahrnuje faktoriál. Co je faktoriál? Nic složitého, faktoriál je jen složený záznam produktu:

…

…

! Při použití d'Alembertova testu musíme faktoriál vybarvit do detailu. Stejně jako v předchozím odstavci může být faktoriál umístěn v horní nebo dolní části zlomku.

3) Pokud ve společném termínu řady existuje „řetězec faktorů“, například . Tento případ je vzácný, ale! Při studiu takové řady často dochází k chybě – viz příklad 6.

Spolu s mocninami a (a) faktoriály se polynomy často vyskytují ve výplni řady, to na věci nic nemění - musíte použít d'Alembertův test.

Pro ty, kteří mají stále problémy s limity nebo je nepochopili, přejděte k tématu Limity. Příklady řešení. Bez pochopení limitu a schopnosti dále odhalovat nejistotu se bohužel nelze posunout vpřed. A nyní dlouho očekávané příklady.

Příklad 1
Vidíme, že ve společném termínu řady máme , a to je správný předpoklad, že musíme použít d'Alembertův test. Nejprve kompletní řešení a ukázka návrhu, komentáře níže.

Používáme znak d'Alembert:

konverguje.

Příklad 2 Vezměte podobnou řadu a prozkoumejte její konvergenci
Nejprve úplné řešení, poté komentáře:

Používáme znak d'Alembert:

Tedy studovaná série konverguje.

(1) Sestavte poměr .
(2) Zbavte se čtyřpatrového zlomku.
(3) Uvažujme výraz v čitateli a výraz ve jmenovateli. Vidíme, že v čitateli musíte otevřít závorky a zvýšit na čtvrtou mocninu: , což vůbec nechcete dělat. Navíc pro ty, kteří neznají Newtonův binom, tento úkol nemusí být vůbec proveditelný. Pojďme analyzovat nejvyšší stupně: pokud otevřeme závorky nahoře, dostaneme nejvyšší stupeň. Níže máme stejný vyšší titul: . Analogicky s předchozím příkladem je zřejmé, že členěním čitatele a jmenovatele po členech dostaneme v limitě jedničku. Nebo, jak říkají matematici, polynomy a - jeden řád růstu. Je tedy docela možné zakroužkovat poměr jednoduchou tužkou a okamžitě naznačit, že tato věc směřuje k jednotě. Podobně se zabýváme druhou dvojicí polynomů: a , oni také jeden řád růstu a jejich poměr směřuje k jednotě.

Ve skutečnosti se takový „hack“ mohl udělat v příkladu č. 1, ale pro polynom 2. stupně takové řešení stále vypadá jaksi nedůstojně. Osobně to dělám takto: pokud existuje polynom (nebo polynomy) prvního nebo druhého stupně, použiji "dlouhou" metodu řešení příkladu 1. Pokud narazí na polynom 3. nebo vyšších stupňů, použiji "turbo" "způsob podobný příkladu 2.

Příklad 3 .

Zvažte typické příklady s faktoriály:

Příklad 4 Prozkoumejte konvergenci řady

Společný termín řady zahrnuje jak stupeň, tak faktoriál. Za denního světla je jasné, že se zde musí použít d'Alembertovo znamení. rozhodujeme se.

Tedy studovaná série se rozchází.

(1) Sestavte poměr . Znovu opakujeme. Podle podmínky společný termín řady: . Chcete-li získat dalšího člena série, by měly být nahrazeny, Tím pádem: .
(2) Zbavte se čtyřpatrového zlomku.
(3) Odštípneme sedmičku ze stupně. Faktoriály jsou podrobně popsány. Jak na to - viz začátek lekce.
(4) Snižte vše, co lze snížit.
(5) Konstantu posuneme za znaménko limity. Otevřete závorky v čitateli.
(6) Nejistota se odstraňuje standardním způsobem - dělením čitatele a jmenovatele "en" na nejvyšší stupeň.

Příklad 5 Prozkoumejte konvergenci řady Úplné řešení je uvedeno níže.

Příklad 6 Prozkoumejte konvergenci řady

Příklad řešení může vypadat takto: Použití d'Alembertova testu:
Tedy studovaná série konverguje.
RADIKÁLNÍ CAUCHYHO ZNAMENÍ

Augustin Louis Cauchy je ještě slavnější francouzský matematik. Každý student technického oboru vám může říct Cauchyho životopis. V těch nejkrásnějších barvách. Ne náhodou je toto příjmení vytesáno v prvním patře Eiffelovy věže.

Cauchyho test konvergence pro pozitivní číselné řady je poněkud podobný právě uvažovanému d'Alembertovu testu.

Cauchyho radikální znamení: Zvážit kladná číselná řada. Pokud existuje limit: , pak:
a) V řadě konverguje. Zejména řada konverguje pro .
b) V řadě se rozchází. Zejména se série liší v .
c) Kdy značka nereaguje. Musíte použít jiný znak. Je zajímavé poznamenat, že pokud nám Cauchyho test nedá odpověď na otázku konvergence řady, nedá nám odpověď ani d'Alembertův test. Ale pokud d'Alembertovo znamení nedává odpověď, pak Cauchyho znamení může dobře "fungovat". To znamená, že Cauchyho znamení je v tomto smyslu silnější znamení.

Kdy byste měli použít Cauchyho radikální znamení? Radikální Cauchyho test se obvykle používá v případech, kdy je společný termín řady PLNĚ je ve stupni závislý na "en". Nebo když je kořen "dobrý" extrahován ze společného člena řady. Stále existují exotické případy, ale nebudeme si s nimi tlouci hlavu.

Příklad 7 Prozkoumejte konvergenci řady

Vidíme, že společný termín řady je zcela pod stupněm v závislosti na , což znamená, že musíme použít radikální Cauchyho test:

Tedy studovaná série se rozchází.

(1) Rozlišujeme společný člen řady pod kořenem.
(2) Přepíšeme totéž, jen bez kořene, pomocí vlastnosti stupňů.
(3) V exponentu dělíme čitatele jmenovatelem člen po člen, což znamená
(4) V důsledku toho máme nejistotu . Zde byste mohli jít daleko: krychle, krychle, pak vydělte čitatele a jmenovatele „en“ v nejvyšším stupni. Ale v tomto případě existuje efektivnější řešení: můžete rozdělit čitatel a jmenovatel člen po členu přímo pod konstantou stupně. Abychom eliminovali nejistotu, dělíme čitatel a jmenovatel (nejvyšší mocninou).
(5) Ve skutečnosti provádíme dělení podle členů a označujeme členy, které mají tendenci k nule.
(6) Připomeneme si odpověď, označíme ji a dojdeme k závěru, že řada diverguje.

A zde je jednodušší příklad pro nezávislé rozhodnutí:

Příklad 8 Prozkoumejte konvergenci řady

A ještě pár typických příkladů.

Úplné řešení a vzorový návrh je níže.

Příklad 9 Prozkoumejte konvergenci řady
Používáme radikální Cauchyho test:

Tedy studovaná série konverguje.

(1) Umístěte společný termín řady pod kořen.
(2) Přepíšeme totéž, ale bez kořene, přičemž závorky otevřeme pomocí zkráceného vzorce pro násobení: .
(3) V exponentu dělíme čitatele jmenovatelem člen člen a označíme, že .
(4) Získá se nejistota formy. Zde můžete vydělit čitatele jmenovatelem "en" na nejvyšší stupeň přímo v závorce. S něčím podobným jsme se setkali při studiu druhá pozoruhodná hranice. Zde je ale situace jiná. Pokud by koeficienty při vyšších výkonech byly stejný, např.: , pak by trik s dělením po semestrech neprošel a bylo by nutné použít druhý parádní limitka. Ale máme tyto koeficienty odlišný(5 a 6), proto je možné (a nutné) členit člen po členu (mimochodem, naopak - druhá úžasná hranice pro odlišný koeficienty při vyšších výkonech již nefunguje).
(5) Ve skutečnosti provádíme dělení po členech a ukazujeme, které členy mají v našem případě tendenci k nule.
(6) Nejistota je odstraněna, zůstává nejjednodušší limit: Proč dovnitř nekonečně velký stupeň má tendenci k nule? Protože základ stupně splňuje nerovnost . Pokud má někdo pochybnosti o spravedlivosti limitu, tak nebudu líný, vezmu do ruky kalkulačku:
Pokud, pak
Pokud, pak
Pokud, pak
Pokud, pak
Pokud, pak
… atd. do nekonečna - tedy v limitu:
(7) Označíme to a dojdeme k závěru, že řada konverguje.

Příklad 10 Prozkoumejte konvergenci řady

Toto je příklad typu „udělej si sám“.

Někdy se k řešení nabízí provokativní příklad, např.:. Zde v exponentu žádné "en", pouze konstanta. Zde musíte odmocnit čitatele a jmenovatele (vyjdou polynomy) a poté postupujte podle algoritmu z článku Řady na čajové konvice. V takovém příkladu by mělo fungovat buď nezbytné kritérium pro konvergenci řady, nebo limitní kritérium pro srovnání.
INTEGRÁLNÍ CAUCHYHO TEST

Zklamu ty, kteří se špatně naučili látku prvního kurzu. Aby bylo možné použít integrální Cauchyho kritérium, je nutné více či méně jistě umět najít derivace, integrály a také umět počítat nevlastní integrál první druh. V učebnicích pro matematická analýza Cauchyho integrální kritérium je dáno matematicky rigorózně, formulujme kritérium celkem primitivně, ale srozumitelně. A hned příklady pro upřesnění.

Integrální Cauchyho test: Zvážit kladná číselná řada. Tato řada konverguje nebo diverguje

Příklad 11 Prozkoumejte konvergenci řady

Téměř klasika. Přirozený logaritmus a nějaké kecy.

Hlavní předpoklad pro použití integrálního Cauchyho testu je skutečnost, že společný člen řady obsahuje nějakou funkci a její derivaci. Z tématu Derivát pravděpodobně si pamatujete nejjednodušší tabulkovou věc: , a máme právě takový kanonický případ.

Jak používat znaménko integrálu? Nejprve vezmeme ikonu integrálu a přepíšeme horní a dolní mez z „počítadla“ řádku: . Potom pod integrál přepíšeme „náplň“ řádku písmenem „he“:. Něco chybí ..., ano, také musíte do čitatele vložit ikonu diferenciálu: .

Nyní musíme vypočítat nevlastní integrál. V tomto případě jsou možné dva případy:

1) Pokud se ukáže, že integrál konverguje, pak bude konvergovat i naše řada.

2) Pokud se ukáže, že integrál diverguje, bude divergovat i naše řada.

Opakuji, pokud materiál běží, pak bude čtení odstavce obtížné a nejasné, protože použití této funkce se v podstatě scvrkává na výpočet nevlastní integrál první druh.

Kompletní řešení a návrh příkladu by měl vypadat nějak takto:

Používáme integrální funkci:

Tedy studovaná série se rozchází spolu s odpovídajícím nevlastním integrálem.

Příklad 12 Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení a vzorový návrh na konci lekce

V uvažovaných příkladech by logaritmus mohl být také pod kořenem, to by nezměnilo metodu řešení.

A ještě dva příklady ke svačině

Příklad 13 Prozkoumejte konvergenci řady

Podle společných „parametrů“ se společný termín řady zdá být vhodný pro použití limitního srovnávacího kritéria. Stačí otevřít závorky a ihned předat kandidátovi, aby tuto řadu co nejvíce porovnal s konvergentní řadou. Byl jsem však trochu mazaný, závorky se možná nedají otevřít, ale stejně bude řešení přes kritérium srovnání limitů vypadat dost okázale.

Proto používáme integrální Cauchyho test:

Integrand je nepřetržitě zapnutý

konverguje spolu s odpovídajícím nevlastním integrálem.

! Poznámka:přijaté číslo -není součet série!

Příklad 14 Prozkoumejte konvergenci řady

Šablona řešení a návrhu na konci části, která končí.

Za účelem konečné a nezvratné asimilace tématu číselné řady navštivte témata.

Řešení a odpovědi:

Příklad 3:Používáme znak d'Alembert:

Tedy studovaná série se rozchází.
Poznámka: Můžete také použít metodu "turbo" řešení: okamžitě zakroužkujte poměr tužkou, naznačte, že má tendenci k jednotě a poznamenejte si: "stejného řádu růstu."

Příklad 5: Použití d'Alembertova testu: Tedy studovaná řada konverguje.

Příklad 8:

Tedy studovaná série konverguje.

Příklad 10:
Používáme radikální Cauchyho test.

Tedy studovaná série se rozchází.
Poznámka: Zde je základ stupně, takže

Příklad 12: Používáme integrální funkci.

Získá se konečné číslo, což znamená, že studovaná řada konverguje

Příklad 14: Používáme znak integrálu
Integrand je spojitý na .

Tedy studovaná série se rozchází spolu s odpovídajícím nevlastním integrálem.
Poznámka: Sérii lze také prozkoumat pomocíLimitní srovnávací kritérium . Chcete-li to provést, musíte otevřít závorky pod kořenem a porovnat studovanou řadu s divergentní řadou.

Střídání řádků. Leibnizův znak. Příklady řešení

Abychom porozuměli příkladům této lekce, je nutné se dobře orientovat v kladných číselných řadách: porozumět tomu, co je řada, znát potřebné znaménko konvergence řady, umět použít srovnávací znaménka, d' Alembertovo znamení, Cauchyho znamení. Postupným prostudováním článků lze téma otevřít téměř od nuly Řady na čajové konvice A Znamení d'Alemberta. Známky Cauchy. Logicky je tato lekce třetí v řadě a umožní nejen porozumět střídavým řadám, ale také upevnit již probranou látku! Novinek bude málo a nebude těžké zvládnout střídavé řady. Vše je jednoduché a cenově dostupné.

Co je to střídavá řada? To je jasné nebo téměř jasné již ze samotného názvu. Okamžitě nejjednodušší příklad. Zvažte sérii a napište ji podrobněji:

Nyní k zabijáckému komentáři. Členové střídavé řady střídají znaménka: plus, mínus, plus, mínus, plus, mínus atd. do nekonečna.
Prokládání poskytuje násobitel: pokud je sudý, pak bude znaménko plus, pokud je liché, bude znaménko mínus. V matematickém žargonu se tato vychytávka nazývá blikačka. Střídavá řada je tedy "identifikována" mínus jedna k mocnině "en".

V praktických příkladech může střídání členů řady poskytnout nejen faktor , ale také jeho bratry: , , , …. Například:

Úskalím jsou "triky":,, atd. jsou takové násobitele neposkytujte změnu znamení. Je zcela jasné, že pro jakékoli přírodní : , , . Řady s triky jsou podsouvány nejen zvláště nadaným studentům, ale občas se objeví „sami“ při řešení funkční řádky.

Jak zkoumat konvergenci střídavé řady? Použijte Leibnizův znak. Nechci mluvit o německém myšlenkovém velikánovi Gottfriedu Wilhelmu Leibnizovi, protože kromě matematických prací vypustil několik svazků o filozofii. Nebezpečné pro mozek.

Leibnizův znak: Jsou-li členy střídavé řady jednotvárně snížit modulo, pak řada konverguje. Nebo ve dvou odstavcích:

2) Členy modulo poklesu řady: . Navíc se monotónně snižují.

Pokud je splněno oba podmínek, pak řada konverguje.

Stručné informace o modulu jsou uvedeny v návoduHorké formule školní kurz matematika , ale opět pro pohodlí:

Co znamená „modulo“? Modul, jak si pamatujeme ze školy, „žere“ znaménko mínus. Vraťme se k seriálu. Mentálně vymažte všechny znaky pomocí gumy a podívejte se na čísla. To uvidíme každý dalšíčlen řady méně než předchozí. Následující fráze tedy znamenají totéž:

– Členové řady bez znamení pokles.
– Počet členů seriálu ubývá modulo.
– Počet členů seriálu ubývá v absolutní hodnotě.
– Modul společný termín řady má tendenci k nule: Konec pomoci

Nyní si povíme něco o monotónnosti. Monotónnost je nudná stálost.

Členové řady přísně monotónní snížit modulo, pokud KAŽDÝ DALŠÍ člen série modulo MÉNĚ než předchozí: . U série se provádí přísná monotónnost snižování, lze ji podrobně napsat:

A můžeme říci ve zkratce: každý další člen série modulo méně než předchozí: .

Členové řady ne vyloženě monotónní pokles modulu, pokud KAŽDÝ DALŠÍ člen řady modulo NENÍ VĚTŠÍ NEŽ předchozí: . Uvažujme řadu s faktoriálem: Zde dochází k nepřísné monotónnosti, protože první dva členy řady mají stejný modul. Tedy každý další člen série modulo ne více než předchozí: .

Příklad 1 Prozkoumejte konvergenci řady

Společný termín řady zahrnuje faktor , což znamená, že musíte použít Leibnizův test

1) Kontrola střídání řádku. Obvykle se v tomto bodě rozhodování série podrobně popíše a padne verdikt „Série se střídá ve znamení“.

2) Snižují členy řady modulo? Je potřeba vyřešit limit, který je nejčastěji velmi jednoduchý.

– podmínky řady nesnižují modulo. Mimochodem, o monotónnosti poklesu není třeba uvažovat. Závěr: série se rozchází.

Jak zjistit, co se rovná? Velmi jednoduché. Jak víte, modul ničí minusy, takže k vyrovnání stačí sundat blikající maják ze střechy. V tomto případě je společný termín řady . Hloupě vyjměte "blikačku":.

Příklad 2 Prozkoumejte konvergenci řady

Používáme Leibnizův znak:

1) Řada je střídavá.

2) - členy řady klesají v absolutní hodnotě. Každý další člen řady má menší modul než předchozí, takže pokles je monotónní.

Závěr: řada konverguje.

Všechno by bylo velmi jednoduché - ale tím řešení nekončí!

Pokud řada konverguje podle Leibnizova testu, pak se o řadě také říká, že je podmíněně konverguje.

Pokud řada složená z modulů také konverguje: , pak říkáme, že řada absolutně konverguje.

Na pořadu dne je proto druhá etapa řešení typické úlohy - studium střídavé řady pro absolutní konvergenci.

Nejsem vinen - taková teorie číselných řad =)

Zkoumáme naši řadu na absolutní konvergenci.
Sestavme řadu modulů - opět jednoduše odstraníme faktor, který zajišťuje střídání znamének: - diverguje (harmonická řada).

Tedy náš seriál není absolutně konvergentní.
Studijní řada konverguje pouze podmíněně.

Všimněte si, že v příkladu č. 1 není nutné provádět studii neabsolutní konvergence, protože v prvním kroku se dospělo k závěru, že řada diverguje.

Sbíráme kbelíky, lopaty, auta a opouštíme pískoviště, abychom se na svět dívali s vykulenýma očima z kabiny mého bagru:

Příklad 3 Prozkoumejte konvergenci řady Použijeme Leibnizův test:

1)
Tato řada je střídavá.

2) - členy řady klesají v absolutní hodnotě. Každý další člen řady má menší modul než předchozí: , což znamená, že pokles je monotónní. Závěr: Řada konverguje.

Analýzou naplnění řady dojdeme k závěru, že zde je nutné použít limitní znak srovnání. Je pohodlnější otevřít závorky ve jmenovateli:

Porovnejte tuto řadu s konvergentní řadou. Používáme limitní test srovnání.

Získá se konečné číslo jiné než nula, což znamená, že řada konverguje společně s řadou . Studijní řada absolutně konverguje.

Příklad 4 Prozkoumejte konvergenci řady

Příklad 5 Prozkoumejte konvergenci řady

Toto jsou svépomocné příklady. Kompletní řešení a vzorový návrh na konci sekce.

Jak můžete vidět, střídání řad je jednoduché a nudné! S zavřením stránky však nespěchejte, na několika obrazovkách zvážíme případ, který mnohé zmátl. Mezitím pár příkladů k procvičení a zopakování.

Příklad 6 Prozkoumejte konvergenci řady

Používáme Leibnizův test.
1) Řada je střídavá.
2)
Členy řady snižují modulo. Každý další člen řady má menší modul než předchozí, což znamená, že pokles je monotónní. Závěr: řada konverguje.

Upozorňujeme, že jsem podrobně nepopisoval členy série. Malovat je je vždy žádoucí, ale z nepřekonatelné lenosti v "těžkých" případech se lze omezit na frázi "Řada se střídá ve znamení." Mimochodem, tento bod nemusíte brát formálně, vždy zkontrolovat(alespoň mentálně), že série opravdu střídá. Letmý pohled selže a chyba se udělá „na stroji“. Pamatujte na "triky" , , , pokud existují, pak se jich musíte zbavit tím, že si pořídíte "normální" sérii s kladnými členy.

Druhá jemnost se týká fráze o monotónnosti, kterou jsem také maximálně zredukoval. Můžete to udělat a téměř vždy bude váš úkol uznán. Řeknu velmi špatnou věc - osobně o monotónnosti často mlčím a takové číslo přejde. Buďte ale připraveni namalovat vše do detailu, až po detailní řetězce nerovností (viz ukázka na začátku lekce). Navíc někdy není monotónnost přísná, a to je také třeba sledovat, aby bylo možné nahradit slovo „méně“ slovem „ne více“.

Zkoumáme řadu pro absolutní konvergenci:

Je zřejmé, že musíte použít radikální Cauchyho test:

Řada tedy konverguje. Studijní řada absolutně konverguje.

Příklad 7 Prozkoumejte konvergenci řady

Toto je příklad samostatného řešení Často se vyskytují střídavé řady, které způsobují potíže.

Příklad 8 Prozkoumejte konvergenci řady

Používáme Leibnizův znak:
1) Řada je střídavá.

POZNÁMKA: Koncept pořadí růstu funkce je podrobně popsán v článkuMetody limitního řešení . My máme limity sekvence, ale to nic nemění na pointě.

Pokud čitatel at roste rychleji než faktoriál, pak . Pokud v nekonečnu roste faktoriál rychleji než čitatel, pak naopak limitu „stáhne“ k nule: . Nebo se možná tato hranice rovná nějakému nenulovému číslu?

Zkusme sepsat prvních pár termínů série:
můžete dosadit nějaký polynom tisícového stupně, to opět nezmění situaci - dříve nebo později faktoriál stejně „předběhne“ tak hrozný polynom. Faktorový vyšší řád růstu než jakákoli mocenská sekvence.

– Faktorial roste rychleji než produkt v libovolném množství exponenciální a mocninné posloupnosti (náš případ).

– Existuje něco „chladnějšího“ než faktoriál? Jíst! Exponenciální posloupnost („en“ na mocninu „en“) roste rychleji než faktoriál. V praxi je to vzácné, ale informace nebudou zbytečné. Konec pomoci

Druhý bod studie (pamatujete si to ještě? =)) lze tedy napsat takto:
2) z důvodu vyššího řádu růstu než .
Členy řady snižují modulo, počínaje nějakým číslem, zároveň je každý další člen řady v absolutní hodnotě menší než předchozí, takže pokles je monotónní.

Závěr: řada konverguje.

Zde je právě ten kuriózní případ, kdy podmínky řady poprvé rostou v absolutní hodnotě, a proto máme mylný počáteční názor na limit. Ale, počínaje nějakým číslem "en", faktoriál je překonán čitatelem a „chvost“ řady se stává monotónně klesající, což je zásadně důležité pro splnění podmínek Leibnizovy věty. Je poměrně obtížné zjistit, čemu přesně se toto „en“ rovná.

Podle příslušné věty absolutní konvergence řady implikuje podmíněnou konvergenci řady. Závěr: Studijní řada absolutně konverguje.

A na závěr pár příkladů pro nezávislé řešení. Jedna ze stejné opery (přečtěte si znovu nápovědu), ale jednodušší. Dalším pro labužníky je zafixovat integrální znak konvergence.

Příklad 9 Prozkoumejte konvergenci řady

Příklad 10 Prozkoumejte konvergenci řady

Po kvalitativním studiu číselných kladných a střídavých řad s čistým svědomím můžete přejít na funkční řádky, které jsou neméně jednotvárné a jednotné.

Řešení a odpovědi:

Příklad 4: Používáme Leibnizův znak:

1) Tato řada se střídá.
2)
Podmínky řady nesnižují modulo. Závěr: Série se rozchází.. , zároveň je každý další člen řady v absolutní hodnotě menší než předchozí, takže pokles je monotónní.

Řada tedy diverguje spolu s odpovídajícím nevlastním integrálem. Studijní řada konverguje pouze podmíněně.

Základní definice a pojmy.

Vlastnosti konvergentních číselných řad.

Nezbytná podmínka pro konvergenci řady.

Dostatečné podmínky pro konvergenci kladné znaménkové řady.

Nutná a postačující podmínka pro konvergenci kladné číselné řady.

První, druhý a třetí znak srovnání.

Znamení d'Alemberta.

Cauchyho radikální znamení.

Integrální Cauchyho test.

Možná vás to bude zajímat