Při provádění trigonometrických transformací se řiďte těmito tipy:
- Nesnažte se okamžitě vymyslet schéma řešení příkladu od začátku do konce.
- Nesnažte se převést celý příklad najednou. Pohybujte se vpřed po malých krocích.
- Pamatujte, že kromě goniometrických vzorců v trigonometrii můžete stále použít všechny spravedlivé algebraické transformace (závorky, redukující zlomky, zkrácené vzorce pro násobení atd.).
- Věřte, že vše bude v pořádku.
Základní goniometrické vzorce
Většina vzorců v trigonometrii se často používá jak zprava doleva, tak zleva doprava, takže se musíte tyto vzorce naučit tak dobře, abyste mohli snadno aplikovat některé vzorce v obou směrech. Pro začátek si zapíšeme definice goniometrické funkce. Nech to být pravoúhlý trojuhelník:
Pak definice sinu je:
Definice kosinu:
Definice tečny:
Definice kotangens:
Hlavní trigonometrická identita:
Nejjednodušší důsledky ze základní goniometrické identity:
Vzorce s dvojitým úhlem. Sinus dvojitého úhlu:
Kosinus dvojitého úhlu:
Dvojitý úhel tangens:
Kotangens s dvojitým úhlem:
Další trigonometrické vzorce
Goniometrické sčítací vzorce. Sinus součtu:
Sinus rozdílu:
Kosinus součtu:
Kosinus rozdílu:
Tangenta součtu:
Rozdílová tečna:
Kotangens součtu:
Rozdíl kotangens:
Goniometrické vzorce pro převod součtu na součin. Součet sinů:
Sinusový rozdíl:
Součet kosinů:
Rozdíl kosinu:
součet tečen:
Rozdíl tečny:
Součet kotangens:
Rozdíl kotangens:
Goniometrické vzorce pro převod součinu na součet. Součin sinů:
Součin sinu a kosinu:
Produkt kosiny:
Vzorce pro snížení stupně.
Vzorce polovičního úhlu.
Goniometrické redukční vzorce
Zavolá se funkce kosinus kofunkce funkce sinus a naopak. Podobně funkce tangens a kotangens jsou kofunkcemi. Redukční vzorce lze formulovat jako následující pravidlo:
- Jestliže se v redukčním vzorci úhel odečte (přičte) od 90 stupňů nebo 270 stupňů, pak se redukovatelná funkce změní na kofunkci;
- Pokud je v redukčním vzorci úhel odečten (přidán) od 180 stupňů nebo 360 stupňů, pak je název redukované funkce zachován;
- Redukované funkci v tomto případě předchází znaménko, které má redukovaná (tj. původní) funkce v příslušné čtvrtině, považujeme-li odečtený (sčítaný) úhel za ostrý.
Odlévat vzorce jsou uvedeny ve formě tabulky:
Podle trigonometrický kruh je snadné určit tabulkové hodnoty goniometrických funkcí:
Goniometrické rovnice
K vyřešení určité goniometrické rovnice je třeba ji zredukovat na jednu z nejjednodušších goniometrické rovnice, o kterém bude řeč níže. Pro tohle:
- Můžete použít výše uvedené trigonometrické vzorce. V tomto případě není nutné zkoušet převádět celý příklad najednou, ale je třeba postupovat vpřed po malých krocích.
- Nesmíme zapomenout na možnost transformace nějakého výrazu a použití algebraické metody, tj. například dát něco ze závorek nebo naopak otevřít závorky, zmenšit zlomek, použít vzorec pro zkrácené násobení, uvést zlomky na společného jmenovatele a tak dále.
- Při řešení goniometrických rovnic můžete aplikovat seskupovací metoda. Je třeba mít na paměti, že k tomu, aby se součin několika faktorů rovnal nule, stačí, aby se kterýkoli z nich rovnal nule, a zbytek existoval.
- Podání žádosti variabilní metoda náhrady, jako obvykle by se rovnice po zavedení náhrady měla zjednodušit a neobsahovat původní proměnnou. Musíte také pamatovat na provedení obrácené substituce.
- Pamatujte, že homogenní rovnice se často vyskytují i v trigonometrii.
- Při otevírání modulů nebo řešení iracionálních rovnic s goniometrickými funkcemi je třeba pamatovat a brát v úvahu všechny jemnosti řešení odpovídajících rovnic s obyčejnými funkcemi.
- Pamatujte na ODZ (v goniometrických rovnicích se omezení ODZ v podstatě scvrkají na to, že nelze dělit nulou, ale nezapomeňte na další omezení, zejména na pozitivitu výrazů v racionálních mocninách a pod odmocninami sudých stupňů). Pamatujte také, že hodnoty sinus a kosinus mohou ležet pouze mezi mínus jedna a plus jedna včetně.
Hlavní věc je, že pokud nevíte, co dělat, udělejte alespoň něco, zatímco hlavní věcí je správně používat trigonometrické vzorce. Pokud se to, co získáte, zlepšuje a zlepšuje, pokračujte v řešení, a pokud se to zhorší, vraťte se na začátek a zkuste použít jiné vzorce, tak to dělejte, dokud nenarazíte na správné řešení.
Vzorce pro řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. Pro sinus existují dvě ekvivalentní formy zápisu řešení:
Pro ostatní goniometrické funkce je zápis jedinečný. Pro kosinus:
Pro tečnu:
Pro kotangens:
Řešení goniometrických rovnic v některých speciálních případech:
Úspěšná, pečlivá a zodpovědná implementace těchto tří bodů vám umožní předvést na CT vynikající výsledek, maximum toho, čeho jste schopni.
Našli jste chybu?
Pokud si myslíte, že jste našli chybu v školicí materiály, pak o tom prosím napište poštou. Můžete také nahlásit chybu sociální síť(). V dopise uveďte předmět (fyziku nebo matematiku), název nebo číslo tématu nebo testu, číslo úkolu, případně místo v textu (stránce), kde je podle vás chyba. Popište také, co je údajná chyba. Váš dopis nezůstane bez povšimnutí, chyba bude buď opravena, nebo vám bude vysvětleno, proč se nejedná o chybu.
Sinus, kosinus, tangens – při vyslovení těchto slov v přítomnosti středoškoláků si můžete být jisti, že dvě třetiny z nich ztratí zájem o další rozhovor. Důvod spočívá v tom, že základy trigonometrie se ve škole vyučují zcela izolovaně od reality, a proto studenti nevidí smysl ve studiu vzorců a vět.
Ve skutečnosti se tato oblast vědění při bližším zkoumání ukazuje jako velmi zajímavá, stejně jako aplikovaná - trigonometrie se používá v astronomii, stavebnictví, fyzice, hudbě a mnoha dalších oblastech.
Pojďme se seznámit se základními pojmy a jmenujme několik důvodů, proč tuto část studovat. matematická věda.
Příběh
Není známo, kdy lidstvo začalo vytvářet budoucí trigonometrii od nuly. Je však doloženo, že již ve druhém tisíciletí př. n. l. byli Egypťané obeznámeni se základy této vědy: archeologové našli papyrus s úkolem, ve kterém je třeba najít úhel sklonu pyramidy na dvou známých stranách.
Vědci starověkého Babylonu dosáhli vážnějších úspěchů. Protože se po staletí zabývali astronomií, zvládli řadu teorémů, zavedli speciální metody měření úhlů, které mimochodem používáme dnes: stupně, minuty a sekundy si evropská věda vypůjčila v řecko-římské kultuře, ve které tyto jednotky pocházely od Babyloňanů.
Předpokládá se, že slavnou Pythagorovu větu, vztahující se k základům trigonometrie, znali Babyloňané před téměř čtyřmi tisíci lety.
název
Doslova výraz „trigonometrie“ lze přeložit jako „měření trojúhelníků“. Hlavním předmětem studia v této části vědy byl po mnoho staletí pravoúhlý trojúhelník, nebo spíše vztah mezi velikostmi úhlů a délkami jeho stran (dnes studium trigonometrie začíná od této části od nuly). V životě nejsou výjimečné situace, kdy nelze prakticky změřit všechny požadované parametry objektu (resp. vzdálenost k objektu) a pak je nutné chybějící data získat výpočtem.
Například v minulosti člověk nemohl změřit vzdálenost k vesmírným objektům, ale pokusy vypočítat tyto vzdálenosti se objevují dávno před naším letopočtem. kritická role trigonometrie hrála i v navigaci: s jistými znalostmi mohl kapitán vždy navigovat v noci podle hvězd a korigovat kurz.
Základní pojmy
Abyste zvládli trigonometrii od začátku, musíte pochopit a zapamatovat si několik základních pojmů.
Sinus úhlu je poměr protější větve k přeponě. Ujasněme si, že protilehlá noha je strana ležící proti úhlu, který uvažujeme. Pokud je tedy úhel 30 stupňů, sinus tohoto úhlu bude vždy pro jakoukoli velikost trojúhelníku roven ½. Kosinus úhlu je poměr přilehlé větve k přeponě.
Tangenta je poměr protější větve k sousední větvi (nebo ekvivalentně poměr sinusu ke kosinusu). Kotangens je jednotka dělená tečnou.
Za zmínku stojí slavné číslo Pi (3,14 ...), což je polovina délky kružnice o poloměru jedné jednotky.
Populární chyby
Lidé, kteří se trigonometrii učí od nuly, dělají řadu chyb – většinou kvůli nepozornosti.
Za prvé, při řešení úloh v geometrii je třeba mít na paměti, že použití sinů a kosinus je možné pouze v pravoúhlém trojúhelníku. Stává se, že student „na stroji“ vezme za přeponu nejdelší stranu trojúhelníku a dostane nesprávné výsledky výpočtu.
Za druhé, nejprve je snadné zaměnit hodnoty sinus a kosinus pro zvolený úhel: připomeňme, že sinus 30 stupňů je číselně roven kosinu 60 a naopak. Pokud dosadíte nesprávné číslo, všechny další výpočty budou špatné.
Za třetí, dokud není problém zcela vyřešen, nemá cenu zaokrouhlovat žádné hodnoty, extrahovat kořeny, zapisovat společný zlomek jako desetinné číslo. Studenti se často snaží získat „krásné“ číslo v trigonometrické úloze a okamžitě extrahovat odmocninu ze tří, ačkoli přesně po jedné akci lze tento kořen snížit.
Etymologie slova "sinus"
Historie slova „sinus“ je skutečně neobvyklá. Faktem je, že doslovný překlad tohoto slova z latiny znamená „dutý“. Při překladu z jednoho jazyka do druhého se totiž ztratilo správné pochopení slova.
Názvy základních goniometrických funkcí pocházejí z Indie, kde se pojem sinus v sanskrtu označoval slovem „struna“ – faktem je, že segment spolu s obloukem kruhu, na kterém spočíval, vypadal jako luk. Během rozkvětu arabské civilizace byly indické úspěchy v oblasti trigonometrie vypůjčeny a termín přešel do arabština ve formě transkripce. Stalo se, že tento jazyk již měl podobné slovo pro depresi, a pokud Arabové pochopili fonetický rozdíl mezi původním a přejatým slovem, pak Evropané, překládající vědecká pojednání do latiny, omylem doslova přeložili arabské slovo, které nemá nic společného s pojmem sinus. Používáme je dodnes.
Tabulky hodnot
Existují tabulky, které obsahují číselné hodnoty pro sinus, kosinus a tangens všech možných úhlů. Níže uvádíme údaje pro úhly 0, 30, 45, 60 a 90 stupňů, které se musí naučit jako povinná část trigonometrie pro "figuríny", protože je docela snadné si je zapamatovat.
Pokud by se tak stalo, že mi „vyletěla z hlavy“ číselná hodnota sinus nebo kosinus úhlu, existuje způsob, jak si to odvodit sami.
Geometrické znázornění
Nakreslíme kružnici, narýsujeme úsečku a ordinační osy jejím středem. Osa úsečky je vodorovná, osa pořadnice je svislá. Obvykle jsou označeny jako "X" a "Y". Nyní nakreslíme přímku ze středu kružnice tak, abychom mezi ní a osou X získali potřebný úhel. Nakonec z bodu, kde přímka protíná kružnici, snížíme kolmici na osu X. Délka výsledného segmentu bude rovna číselné hodnotě sinusu našeho úhlu.
Tato metoda je velmi relevantní, pokud jste zapomněli požadovanou hodnotu, například u zkoušky, a nemáte po ruce žádnou učebnici trigonometrie. Tímto způsobem nezískáte přesné číslo, ale určitě uvidíte rozdíl mezi ½ a 1,73 / 2 (sinus a kosinus úhlu 30 stupňů).
aplikace
Jedním z prvních specialistů, kteří používali trigonometrii, byli námořníci, kteří neměli na volném moři jiný referenční bod než oblohu nad hlavou. Dnes kapitáni lodí (letadel a jiných druhů dopravy) nehledají nejkratší cestu mezi hvězdami, ale aktivně se uchylují k pomoci GPS navigace, což by bez použití trigonometrie nebylo možné.
Téměř v každém úseku fyziky najdete výpočty pomocí sinů a kosinus: ať už je to aplikace síly v mechanice, výpočty dráhy objektů v kinematice, vibrace, šíření vln, lom světla – bez základní trigonometrie se ve vzorcích prostě neobejdete.
Další profesí, která je bez trigonometrie nemyslitelná, je geodet. Pomocí teodolitu a vodováhy, případně sofistikovanějšího přístroje – tachometru, tito lidé měří výškový rozdíl mezi různými body zemského povrchu.
Opakovatelnost
Trigonometrie se zabývá nejen úhly a stranami trojúhelníku, i když zde začala jeho existence. Ve všech oblastech, kde je přítomna cykličnost (biologie, medicína, fyzika, hudba atd.), se setkáte s grafem, jehož název je vám pravděpodobně povědomý – jedná se o sinusoidu.
Takový graf je kruh rozvinutý podél časové osy a vypadá jako vlna. Pokud jste někdy v hodině fyziky pracovali s osciloskopem, víte, o čem mluvím. Hudební ekvalizér i měřič srdečního tepu využívají při své práci vzorce trigonometrie.
Konečně
Při přemýšlení o tom, jak se trigonometrii naučit, ji většina středoškoláků a středoškoláků začne považovat za obtížnou a nepraktickou vědu, protože se seznamují jen s nudnými učebnicovými informacemi.
Pokud jde o nepraktičnost, již jsme viděli, že v té či oné míře je schopnost zvládnout sinus a tečny vyžadována téměř v jakékoli oblasti činnosti. A pokud jde o složitost... Přemýšlejte: pokud lidé používali tyto znalosti před více než dvěma tisíci lety, kdy měl dospělý méně znalostí než dnešní středoškolák, je reálné studovat tuto oblast vědy na základní úroveň tobě osobně? Pár hodin promyšleného cvičení s řešením problémů – a svého cíle dosáhnete nastudováním základního kurzu, tzv. trigonometrie pro „dummy“.
Historie trigonometrie je nerozlučně spjata s astronomií, protože právě k vyřešení problémů této vědy začali starověcí vědci studovat poměry různých veličin v trojúhelníku.
Dnes je trigonometrie mikrosekcí matematiky, která studuje vztah mezi hodnotami úhlů a délek stran trojúhelníků a také analyzuje algebraické identity goniometrických funkcí.
Termín "trigonometrie"
Samotný termín, který dal jméno tomuto odvětví matematiky, byl poprvé objeven v názvu knihy německého matematika Pitisca v roce 1505. Slovo „trigonometrie“ je řeckého původu a znamená „měřím trojúhelník“. Přesněji řečeno, nemluvíme o doslovném měření tohoto obrázku, ale o jeho řešení, to znamená stanovení hodnot jeho neznámých prvků pomocí známých.
Obecné informace o trigonometrii
Historie trigonometrie začala před více než dvěma tisíciletími. Zpočátku byl jeho výskyt spojen s potřebou ujasnit si poměr úhlů a stran trojúhelníku. V průběhu výzkumu se ukázalo, že matematický výraz Tyto vztahy vyžadují zavedení speciálních goniometrických funkcí, které byly původně sestaveny jako numerické tabulky.
Pro mnoho věd souvisejících s matematikou to byla historie trigonometrie, která se stala impulsem pro rozvoj. Původ jednotek měření úhlů (stupňů), spojený s výzkumem vědců starověkého Babylonu, je založen na šestinásobném počtu, který dal vzniknout moderní desítkové soustavě, používané v mnoha aplikovaných vědách.
Předpokládá se, že trigonometrie původně existovala jako součást astronomie. Poté se začal používat v architektuře. A v průběhu času, účelnost použití této vědy v různé obory lidské aktivity. Jedná se zejména o astronomii, námořní a leteckou navigaci, akustiku, optiku, elektroniku, architekturu a další.
Trigonometrie v prvních stoletích
Vedeni údaji o přežívajících vědeckých památkách došli vědci k závěru, že historie vzniku trigonometrie je spojena s prací řeckého astronoma Hipparcha, který jako první přemýšlel o hledání způsobů, jak vyřešit (kulové) trojúhelníky. Jeho spisy pocházejí z 2. století před naším letopočtem.
Také jeden z hlavní úspěchy ty časy je definice poměru noh a přepony v pravoúhlých trojúhelníkech, která se později stala známou jako Pythagorova věta.
Historie vývoje trigonometrie v Starověké Řecko spojené se jménem astronoma Ptolemaia - autora geocentrické dominující před Koperníkem.
Řečtí astronomové neznali sinus, kosinus a tangens. Pomocí tabulek zjistili hodnotu tětivy kruhu pomocí subtraktivního oblouku. Jednotkami pro měření tětivy byly stupně, minuty a sekundy. Jeden stupeň se rovnal jedné šedesátině poloměru.
Také studie starověkých Řeků pokročily ve vývoji sférické trigonometrie. Zejména Euclid ve svých „Principech“ uvádí větu o zákonitostech poměrů objemů kuliček různých průměrů. Jeho práce v této oblasti se staly jakýmsi impulsem v rozvoji příbuzných oborů poznání. Jedná se zejména o technologii astronomických přístrojů, teorii kartografických projekcí, systém nebeských souřadnic atd.
Středověk: Studie indických učenců
Středověcí indičtí astronomové dosáhli významného úspěchu. Smrt starověké vědy ve 4. století vedla k přesunu centra rozvoje matematiky do Indie.
Historie vzniku trigonometrie jako samostatné části matematické doktríny začala ve středověku. Tehdy vědci nahradili akordy siny. Tento objev umožnil zavést funkce související se studiem stran a úhlů.To znamená, že právě tehdy se trigonometrie začala oddělovat od astronomie a stala se odvětvím matematiky.
První tabulky sinus byly v Aryabhatě, byly taženy přes 3 o, 4 o, 5 o. Později se objevily podrobné verze tabulek: konkrétně Bhaskara dal tabulku sinů přes 1 o.
První specializované pojednání o trigonometrii se objevilo v 10.–11. století. Jeho autorem byl středoasijský vědec Al-Biruni. A ve svém hlavním díle „Canon Masud“ (kniha III) jde středověký autor ještě hlouběji do trigonometrie a uvádí tabulku sinů (v krocích po 15") a tabulku tečen (v krocích po 1°).
Historie vývoje trigonometrie v Evropě
Po překladu arabských pojednání do latiny (XII-XIII století) byla většina myšlenek indických a perských vědců vypůjčena evropskou vědou. První zmínky o trigonometrii v Evropě pocházejí z 12. století.
Podle badatelů je historie trigonometrie v Evropě spojena se jménem Angličana Richarda Wallingforda, který se stal autorem díla „Čtyři pojednání o přímých a obrácených akordech“. Právě jeho dílo se stalo prvním dílem, které se celé věnuje trigonometrii. V 15. století mnoho autorů ve svých spisech zmiňuje goniometrické funkce.
Historie trigonometrie: Moderní doba
V moderní době si většina vědců začala uvědomovat mimořádný význam trigonometrie nejen v astronomii a astrologii, ale i v jiných oblastech života. Jedná se především o dělostřelectvo, optiku a navigaci na dálkových námořních cestách. Proto toto téma v druhé polovině 16. století zajímalo mnoho významných osobností té doby, včetně Mikuláše Koperníka, Františka Viety. Koperník věnoval několik kapitol trigonometrii ve svém pojednání O revolucích nebeských sfér (1543). O něco později, v 60. letech 16. století, cituje Retik, student Koperníka, patnáctimístné trigonometrické tabulky ve svém díle „Optická část astronomie“.
V „Matematickém kánonu“ (1579) podává podrobnou a systematickou, i když neprokázanou charakteristiku rovinné a sférické trigonometrie. A Albrecht Dürer se stal tím, díky komu se zrodila sinusoida.
Zásluhy Leonharda Eulera
Leonhard Euler se zasloužil o to, že dal trigonometrii moderní obsah a formu. Jeho pojednání Úvod do analýzy nekonečna (1748) obsahuje definici termínu „trigonometrické funkce“, která je ekvivalentní té moderní. Tomuto vědci se tedy podařilo určit Ale a to není vše.
Definice goniometrických funkcí na celé číselné ose byla možná díky Eulerovým studiím nejen přípustných záporných úhlů, ale také úhlů větších než 360°. Byl to on, kdo ve svých dílech poprvé dokázal, že kosinus a tangens pravý úhel negativní. Zásluhou tohoto vědce se stalo i rozšíření celočíselných mocnin kosinu a sinu. Obecná teorie trigonometrické řady a studium konvergence výsledných řad nebyly předmětem Eulerova výzkumu. Při práci na řešení souvisejících problémů však v této oblasti učinil mnoho objevů. Právě díky jeho práci pokračovala historie trigonometrie. Krátce se ve svých spisech dotkl i problematiky sférické trigonometrie.
Aplikace trigonometrie
Trigonometrie se ve skutečnosti nevztahuje na aplikované vědy Každodenní život jeho úkoly se uplatňují jen zřídka. Tato skutečnost však nesnižuje její význam. Velmi důležitá je například technika triangulace, která astronomům umožňuje přesně měřit vzdálenost k blízkým hvězdám a ovládat satelitní navigační systémy.
Trigonometrie se také používá v navigaci, hudební teorii, akustice, optice, analýze finančního trhu, elektronice, teorii pravděpodobnosti, statistice, biologii, medicíně (například při dešifrování ultrazvukových vyšetření ultrazvukem a počítačovou tomografií), farmacii, chemii, teorii čísel, seismologii, meteorologii, oceánologii, kartografii, mnoha sekcích fyziky, topografie a geodézie, ekonomii, elektronickém inženýrství, fonetice počítačová grafika, krystalografie aj. Historie trigonometrie a její role ve studiu přírodních a matematických věd se studují dodnes. Snad v budoucnu bude ještě více oblastí jeho uplatnění.
Historie vzniku základních pojmů
Historie vzniku a vývoje trigonometrie má více než jedno století. Zavedení pojmů, které tvoří základ této části matematické vědy, také nebylo okamžité.
Takže pojem "sinus" má velmi dlouhá historie. Zmínky o různých poměrech segmentů trojúhelníků a kruhů se nacházejí ve vědeckých pracích pocházejících již ze 3. století před naším letopočtem. Práce takových velkých starověkých vědců jako Euklides, Archimedes, Apollonius z Pergy již obsahují první studie těchto vztahů. Nové objevy vyžadovaly určitá terminologická upřesnění. Takže indický vědec Aryabhata dává akordu jméno „jiva“, což znamená „tětiva“. Když byly arabské matematické texty přeloženy do latiny, termín byl nahrazen sinusem (tj. „ohyb“), který byl významově blízký.
Slovo "kosinus" se objevilo mnohem později. Tento termín je zkrácenou verzí latinského výrazu „additional sine“.
Vznik tečen je spojen s dekódováním problému určení délky stínu. Termín „tangens“ zavedl v 10. století arabský matematik Abul-Wafa, který sestavil první tabulky pro určování tečen a kotangens. Evropští vědci však o těchto úspěších nevěděli. Německý matematik a astronom Regimontan znovuobjevil tyto pojmy v roce 1467. Důkazem teorému je jeho zásluha. A tento výraz se překládá jako „týkající se“.
- -
Obvykle, když chtějí někoho vyděsit HROZNOU MATEMATIKOU, jsou jako příklad uvedeny nejrůznější sinusy a kosinusy, jako něco velmi složitého a ošklivého. Ale ve skutečnosti je to krásný a zajímavý úsek, který se dá pochopit a vyřešit.
Téma se začíná odehrávat v 9. třídě a ne vždy je vše jasné napoprvé, je tam mnoho jemností a triků. Snažil jsem se k tématu něco říct.
Úvod do světa trigonometrie:
Než se bezhlavě vrhnete do vzorců, musíte z geometrie pochopit, co je sinus, kosinus atd.
Sinus úhlu- poměr protilehlé (úhlové) strany k přeponě.
Kosinus je poměr přilehlého k přeponě.
Tečna- protilehlá strana na sousední straně
Kotangens- sousedící s protějším.
Nyní zvažte kruh o poloměru jednotky souřadnicová rovina a označte na něm nějaký alfa úhel: (na obrázky lze kliknout, alespoň na některé)
- 
-
Tenké červené čáry jsou kolmice od průsečíku kružnice a pravý úhel na osách x a y. Červené x a y jsou hodnoty souřadnic x a y na osách (šedé x a y pouze označují, že se jedná o souřadnicové osy a nikoli pouze čáry).
Je třeba poznamenat, že úhly se počítají od kladného směru osy x proti směru hodinových ručiček.
Najdeme pro něj sinus, kosinus a tak dále.
sin a: opačná strana je y, přepona je 1.
sin a = y / 1 = y
Aby bylo úplně jasné, odkud beru y a 1, pro názornost uspořádejme písmena a uvažujme trojúhelníky.
- -
AF = AE = 1 - poloměr kružnice.
Proto AB = 1 jako poloměr. AB je přepona.
BD = CA = y - jako hodnota pro oh.
AD \u003d CB \u003d x - jako hodnota pro oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Další kosinus:
cos a: sousední strana - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x
Také dedukujeme tečna a kotangensa.
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Už najednou jsme odvodili vzorec tečny a kotangens.
No, pojďme se podívat, jak je to řešeno s konkrétními úhly.
Například a = 45 stupňů.
Dostaneme pravoúhlý trojúhelník s jedním úhlem 45 stupňů. Někomu je hned jasné, že se jedná o trojúhelník s různými stranami, ale i tak se pod to podepíšu.
Najděte třetí roh trojúhelníku (první 90, druhý 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Pokud jsou dva úhly stejné, pak jsou strany stejné, jak to znělo.
Ukazuje se tedy, že když přidáme dva takové trojúhelníky na sebe, dostaneme čtverec s úhlopříčkou rovnou poloměru \u003d 1. Podle Pythagorovy věty víme, že úhlopříčka čtverce se stranou a je rovna kořenům dvou.
Teď přemýšlíme. Pokud se 1 (přepona neboli úhlopříčka) rovná straně druhé mocniny krát odmocnina z 2, pak se strana čtverce musí rovnat 1/sqrt(2), a pokud vynásobíme čitatel a jmenovatel tohoto zlomku odmocninou ze 2, dostaneme sqrt(2)/2. A protože je trojúhelník rovnoramenný, pak AD = AC => x = y
Nalezení našich goniometrických funkcí:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Se zbytkem úhlů musíte pracovat stejným způsobem. Jen trojúhelníky nebudou rovnoramenné, ale strany se stejně snadno najdou pomocí Pythagorovy věty.
Tímto způsobem získáme tabulku hodnot goniometrických funkcí z různých úhlů:
- 
-
Navíc je tento stůl podvodný a velmi pohodlný.
Jak to udělat sami bez problémů: nakreslíte si takovou tabulku a do buněk zapíšete čísla 1 2 3.
- 
-
Nyní z těchto 1 2 3 vyjmete kořen a vydělíte 2. Dopadne to takto:
- 
-
Nyní škrtneme sinus a napíšeme kosinus. Jeho hodnoty jsou zrcadlený sinus:
- 
-
Stejně snadné je odvodit tečnu - musíte vydělit hodnotu sinusové čáry hodnotou kosinusové čáry:
- 
-
Hodnota kotangens je převrácená hodnota tečny. Ve výsledku dostaneme něco takového:
- 
-
Poznámkaže tečna neexistuje například v P/2. Přemýšlejte proč. (Nelze dělit nulou.)
Co si zapamatovat zde: sinus je hodnota y, kosinus je hodnota x. Tangenta je poměr y ku x a kotangens je naopak. takže pro určení hodnot sinů / kosinus stačí nakreslit desku, kterou jsem popsal výše, a kružnici se souřadnicovými osami (vhodné je podívat se na hodnoty úhlů 0, 90, 180, 360).
- 
-
No, doufám, že to můžeš říct čtvrtletí:
- 
-
Znaménko jeho sinus, kosinus atd. závisí na tom, ve které čtvrtině je úhel. I když, naprosto primitivní logické myšlení vás dovede ke správné odpovědi, pokud vezmete v úvahu, že x je záporné ve druhém a třetím čtvrtletí a y je záporné ve třetím a čtvrtém. Nic hrozného nebo děsivého.
Myslím, že by nebylo zbytečné to zmiňovat redukční vzorce ala duchové, jak všichni slyší, což má zrnko pravdy. Neexistují žádné vzorce jako takové, pro zbytečnost. Samotný význam celé této akce: Snadno najdeme hodnoty úhlů pouze pro první čtvrtletí (30 stupňů, 45, 60). Goniometrické funkce jsou periodické, takže do prvního kvadrantu můžeme přetáhnout libovolný velký úhel. Pak hned najdeme jeho význam. Pouhé přetažení však nestačí - musíte si pamatovat na znamení. K tomu slouží licí formule.
Máme tedy velký úhel, nebo spíše více než 90 stupňů: a \u003d 120. A musíte najít jeho sinus a kosinus. Abychom to udělali, rozložíme 120 na takové úhly, se kterými můžeme pracovat:
hřích a = hřích 120 = hřích (90 + 30)
Vidíme, že tento úhel leží ve druhé čtvrtině, sinus je tam kladný, proto je znaménko + před sinem zachováno.
Abychom se zbavili 90 stupňů, změníme sinus na kosinus. No, tady je pravidlo k zapamatování:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
A můžete si to představit jinak:
hřích 120 = hřích (180 - 60)
Abychom se zbavili 180 stupňů, funkci neměníme.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Máme stejnou hodnotu, takže je vše správně. Nyní kosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Kosinus ve druhé čtvrtině je záporný, takže dáme znaménko mínus. A změníme funkci na opačnou, protože potřebujeme odstranit 90 stupňů.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1/2
Nebo:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2
Co potřebujete vědět, umět a dělat, abyste mohli překládat rohy v prvním čtvrtletí:
-rozložit úhel na stravitelné termíny;
- vzít v úvahu, ve které čtvrtině se úhel nachází, a dát příslušné znaménko, je-li funkce v této čtvrtině záporná nebo kladná;
- zbavit se přebytku
*pokud se potřebujete zbavit 90, 270, 450 a zbytku 90+180n, kde n je libovolné celé číslo, pak se funkce obrátí (sinus na kosinus, tečna na kotangens a naopak);
*pokud se potřebujete zbavit 180 a zbývajících 180+180n, kde n je libovolné celé číslo, pak se funkce nezmění. (Je tu jedna vlastnost, ale je těžké ji vysvětlit slovy, dobře, dobře).
To je vše. Nepovažuji za nutné učit se nazpaměť samotné vzorce, když si pár pravidel zapamatujete a snadno je použijete. Mimochodem, tyto vzorce lze velmi snadno dokázat:
- 
-
A tvoří objemné tabulky, pak víme:
- 
-
Základní trigonometrické rovnice: je třeba je znát velmi, velmi dobře, nazpaměť.
Základní trigonometrická identita(rovnost):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Pokud mi nevěříte, přesvědčte se sami a přesvědčte se sami. Nahraďte hodnoty různých úhlů.
Tento vzorec je velmi, velmi užitečný, vždy si ho pamatujte. s ním můžete vyjádřit sinus přes kosinus a naopak, což je někdy velmi užitečné. Ale stejně jako u každého jiného vzorce, musíte to umět zvládnout. Vždy pamatujte, že znaménko goniometrické funkce závisí na čtvrtině, ve které se úhel nachází. Proto při extrakci kořene je třeba znát čtvrtinu.
Tangenta a kotangensa: tyto vzorce jsme již odvodili na samém začátku.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a
Součin tečny a kotangens:
tg a * ctg a = 1
Protože:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - zlomky ruš.
Jak vidíte, všechny vzorce jsou hra a kombinace.
Zde jsou další dva, získané dělením kosinusovou druhou mocninou a sinusovou druhou mocninou prvního vzorce:
- 
-
Upozorňujeme, že poslední dva vzorce lze použít s omezením na hodnotu úhlu a, protože nelze dělit nulou.
Sčítací vzorce: jsou dokázány pomocí vektorové algebry.
- 
-
Používají se zřídka, ale výstižně. Na skenu jsou vzorce, ale mohou být nečitelné nebo je digitální forma snáze vnímatelná:
- -
Vzorce s dvojitým úhlem:
Získávají se na základě sčítacích vzorců, například: kosinus dvojitého úhlu je cos 2a = cos (a + a) - připomíná vám to něco? Jen nahradili beta verzi alfou.
- 
-
Následující dva vzorce jsou odvozeny z první substituce sin^2(a) = 1 - cos^2(a) a cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Se sinem dvojitého úhlu je to jednodušší a používá se mnohem častěji:
- 
-
A speciální zvrhlíci mohou odvodit tangens a kotangens dvojitého úhlu, vzhledem k tomu, že tg a \u003d sin a / cos a atd.
- 
-
Pro výše uvedené osoby Vzorce s trojitým úhlem: jsou odvozeny sečtením úhlů 2a a a, protože již známe vzorce pro dvojitý úhel.
- 
-
Vzorce polovičního úhlu:
- 
-
Nevím, jak jsou odvozeny, nebo spíše jak to vysvětlit ... Pokud napíšete tyto vzorce a dosadíte základní goniometrickou identitu za / 2, odpověď bude konvergovat.
Vzorce pro sčítání a odčítání goniometrických funkcí:
- 
-
Získávají se z adičních vzorců, ale nikoho to nezajímá. Setkávejte se ne často.
Jak chápete, stále existuje hromada vzorců, jejichž výčet je prostě nesmyslný, protože o nich nebudu schopen napsat něco adekvátního a suché vzorce lze najít kdekoli a jsou to hra s předchozími existujícími vzorci. Všechno je strašně logické a přesné. Řeknu ti to naposled o metodě pomocného úhlu:
Převedení výrazu a cosx + b sinx do tvaru Acos(x+) nebo Asin(x+) se nazývá metoda zavedení pomocného úhlu (nebo doplňkového argumentu). Metoda se používá při řešení goniometrických rovnic, při odhadu hodnot funkcí, v extrémních úlohách a co je důležité si uvědomit, některé úlohy nelze vyřešit bez zavedení pomocného úhlu.
Jako vy jsem se nesnažil tuto metodu vysvětlit, nic z toho nepřišlo, takže to musíte udělat sami:
- 
-
Je to děsivé, ale užitečné. Pokud řešíte problémy, mělo by to fungovat.
Odtud například: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm
Dále jsou v kurzu grafy goniometrických funkcí. Jedna lekce ale stačí. Vzhledem k tomu, že se to ve škole učí šest měsíců.
Pište své otázky, řešte problémy, požádejte o skeny některých úkolů, zjistěte to, zkuste to.
Vždy tvůj, Dane Faradayi.
Obor matematiky, který se zabývá studiem goniometrických funkcí a také jejich využitím v geometrii, se nazývá trigonometrie. V překladu z řečtiny se tento termín překládá jako „měření trojúhelníků“ („trigonon“ - trojúhelník a „metreo“ - měření). Již ve starověkém Řecku byla technika tětiv používána pro měření a konstrukce související s měřením kruhových oblouků. Dokonce i v dílech Euklida a Archiméda byly věty prezentovány v geometrické formě podobné moderním trigonometrickým vzorcům.
Matematika: Trigonometrie
Začátek trigonometrie
Podle historiků sestavil úplně první trigonometrické tabulky Hipparchos z Nikáje, který žil v letech 180-125 před naším letopočtem. Tento starověký řecký matematik jako první ze svých kolegů sestavil tabulky, které korelují velikosti oblouků kružnice a tětiv odpovídající řadě úhlů. Rozdělení kruhu, které použil, již nebylo nové, protože již dřívější Hypsicles navrhoval rozdělit den na 360 částí a něco podobného bylo nalezeno také mezi babylonskými astronomy.
V roce 100 př.n.l. Minelaus Alexandrijský napsal pojednání „Sphere“, skládající se ze tří částí. První třetina pojednání byla věnována studiu základů kulových trojúhelníků, podobně jako Euklidova práce o rovinných trojúhelníkech. A o nějaký čas později Claudius Ptolemaios ve svém díle „Almagest“ rozšířil Hipparchovy „Akordy v kruhu“. Almagest sestávající ze 13 knih lze právem považovat za nejúplnější a nejznámější dílo v oboru trigonometrie od starověku. A přestože se Hipparchovy a Ptolemaiovy tabulky bohužel do naší doby nedochovaly, dokazují jejich existenci díla jiných antických autorů.
K rozvoji trigonometrie významně přispěli i indičtí myslitelé. Takže ve 4.-5. století se ve spisech Aribhaty (slavného indického astronoma té doby) nachází termín „ardhajiva“ (přeloženo z indického „ardha“ - polovina a „jiva“ - tětiva luku). Následně byla přeměněna na „jiva“ a mezi Araby se stala známou jako „jaib“ (boule). Při překladu vědeckých prací z arabštiny do latiny obecně přijímané v Evropě byl tento termín nahrazen slovem „sinus“ (ohyb, zakřivení). Aribhata také sestavil podrobnou tabulku sinus, která byla umístěna v jeho slavném díle Surya Siddhanta.
Když v VIII-IX století začali arabští vědci překládat studie indických matematiků a astronomů do arabštiny. Ibrahim Al-Fazari, považovaný za prvního arabského astronoma a matematika, spolu se svým synem Muhammadem a dalším vědcem Yakubem ibn Tariqem přeložil Brahma-sphuta-siddhanta (autorem pojednání byl indický matematik a astronom Brahmagupta). Přeložené pojednání bylo nazváno „Velký Sindhind“ a stalo se základem mnoha vědeckých prací středověku.
Arabské pojednání
A úplně první vlastní práce o trigonometrii patří peru al-Khwarizmiho, který složil pojednání „Kniha komplementace a opozice“ („Al-kitab al mukhtasar fi hisab al-jabr wa-l-muqabala“), z něhož pochází název vědy „algebra“. V této době se také objevily nové termíny trigonometrie: tečna a kotangens, sečna a kosekans. Arabští matematici rozvinuli myšlenky indických vědců a doplnili je vlastními teorémy a novými řešeními různých goniometrických problémů.
Evropští vědci, kteří studovali principy trigonometrie z arabských pojednání přeložených do latinský jazyk po křížových výpravách ve století XII-XII významně přispěli k rozvoji trigonometrie jako aplikované vědy nejen pro astronomii, ale také pro vojenské záležitosti. Samotný termín „trigonometrie“ byl zaveden v r vědecký svět Němec B. Pitikus, který vydal r. 1595 sv pojednání s názvem Trigonometrie aneb Krátké a jasné pojednání o řešení trojúhelníků.
