Jak víte, při násobení výrazů mocninami se jejich exponenty vždy sčítají (a b * a c = a b + c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a později, v 8. století, vytvořil matematik Virasen tabulku celočíselných ukazatelů. Právě oni sloužili k dalšímu objevování logaritmů. Příklady použití této funkce najdeme téměř všude tam, kde je potřeba zjednodušit těžkopádné násobení na jednoduché sčítání. Pokud strávíte 10 minut čtením tohoto článku, vysvětlíme vám, co jsou to logaritmy a jak s nimi pracovat. Jednoduchý a přístupný jazyk.

Definice v matematice

Logaritmus je vyjádřením následujícího tvaru: log a b=c, tedy logaritmus libovolného nezáporného čísla (tedy libovolného kladného) "b" podle jeho základu "a" se považuje za mocninu "c". ", na který je nutné zvednout základ "a", aby nakonec dostal hodnotu "b". Analyzujme logaritmus na příkladech, řekněme, že existuje výraz log 2 8. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít takový stupeň, abyste od 2 do požadovaného stupně dostali 8. Když jsme si v duchu udělali nějaké výpočty, dostaneme číslo 3! A právem, protože 2 na 3 dává v odpovědi číslo 8.

Varianty logaritmů

Pro mnoho žáků a studentů se toto téma zdá složité a nesrozumitelné, ale ve skutečnosti logaritmy nejsou tak děsivé, hlavní je pochopit jejich obecný význam a zapamatovat si jejich vlastnosti a některá pravidla. Tam jsou tři určité typy logaritmické výrazy:

1. Přirozený logaritmus ln a, kde základem je Eulerovo číslo (e = 2,7).
2. Desetinné a, kde základ je 10.
3. Logaritmus libovolného čísla b k základu a>1.

Každá z nich je řešena standardním způsobem, včetně zjednodušení, redukce a následné redukce na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, měli byste si pamatovat jejich vlastnosti a pořadí akcí při jejich rozhodování.

Pravidla a některá omezení

V matematice existuje několik pravidel-omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že nejsou předmětem diskuse a jsou pravdivá. Nemůžete například dělit čísla nulou a také není možné extrahovat kořen sudý stupeň ze záporných čísel. Logaritmy mají také svá pravidla, podle kterých se snadno naučíte pracovat i s dlouhými a prostornými logaritmickými výrazy:

• základ "a" musí být vždy větší než nula a zároveň nesmí být roven 1, jinak výraz ztratí svůj význam, protože "1" a "0" se v jakémkoliv stupni vždy rovnají svým hodnotám;
• pokud a > 0, pak a b > 0, ukáže se, že "c" musí být větší než nula.

Jak řešit logaritmy?

Například byl zadán úkol najít odpověď na rovnici 10 x \u003d 100. Je to velmi snadné, musíte si vybrat takovou moc, zvýšit číslo deset, na které dostaneme 100. To je samozřejmě 10 2 \u003d 100.

Nyní znázorněme tento výraz jako logaritmický. Dostaneme log 10 100 = 2. Při řešení logaritmů všechny akce prakticky konvergují k nalezení míry, do jaké musí být zadán základ logaritmu, abychom získali dané číslo.

Chcete-li přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:

Jak vidíte, některé exponenty lze uhodnout intuitivně, pokud máte technické myšlení a znalost násobilky. Větší hodnoty však budou vyžadovat tabulku výkonu. Využít ho mohou i ti, kteří ve složitých matematických tématech nerozumí vůbec ničemu. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řada čísel je hodnota mocniny c, na kterou je číslo a umocněno. Na průsečíku v buňkách jsou určeny hodnoty čísel, které jsou odpovědí (a c = b). Vezměme si například úplně první buňku s číslem 10 a odmocnime ji, dostaneme hodnotu 100, která je naznačena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že to pochopí i ten nejskutečnější humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje se, že za určitých podmínek je exponentem logaritmus. Proto lze jakékoli matematické číselné výrazy zapsat jako logaritmickou rovnici. Například 3 4 = 81 lze zapsat jako logaritmus 81 k základu 3, což je čtyři (log 3 81 = 4). Pro negativní síly pravidla jsou stejná: 2 -5 \u003d 1/32 zapíšeme ve formě logaritmu, dostaneme log 2 (1/32) \u003d -5. Jednou z nejvíce fascinujících částí matematiky je téma „logaritmů“. Příklady a řešení rovnic budeme uvažovat o něco níže, hned po prostudování jejich vlastností. Nyní se podívejme, jak vypadají nerovnosti a jak je odlišit od rovnic.

Je dán výraz v následujícím tvaru: log 2 (x-1) > 3 - jedná se o logaritmickou nerovnost, protože neznámá hodnota "x" je pod znaménkem logaritmu. A také ve výrazu se porovnávají dvě veličiny: logaritmus požadovaného čísla v základu dvě je větší než číslo tři.

Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmickými rovnicemi a nerovnicemi je v tom, že rovnice s logaritmy (například logaritmus 2 x = √9) implikují jednu nebo více konkrétních číselných hodnot v odpovědi, zatímco při řešení nerovnosti oba rozsah přijatelné hodnoty a body porušující tuto funkci. V důsledku toho není odpovědí jednoduchá množina jednotlivých čísel jako v odpovědi rovnice, ale souvislá řada nebo množina čísel.

Základní věty o logaritmech

Při řešení primitivních úloh při hledání hodnot logaritmu nemusí být jeho vlastnosti známy. Pokud však jde o logaritmické rovnice nebo nerovnice, je nejprve nutné jasně pochopit a prakticky aplikovat všechny základní vlastnosti logaritmů. S příklady rovnic se seznámíme později, rozeberme si nejprve každou vlastnost podrobněji.

1. Základní identita vypadá takto: a logaB =B. Platí pouze v případě, že a je větší než 0, nerovná se jedné a B je větší než nula.
2. Logaritmus součinu může být reprezentován následujícím vzorcem: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. V tomto případě je předpokladem: d, s 1 as 2 > 0; a≠1. Tento vzorec logaritmů můžete doložit příklady a řešením. Nechť log a s 1 = f 1 a log a s 2 = f 2, pak a f1 = s 1, a f2 = s 2. Dostaneme, že s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (vlastnosti stupňů ), a dále podle definice: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, což mělo být prokázáno.
3. Logaritmus podílu vypadá takto: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Věta ve formě vzorce má tento tvar: log a q b n = n/q log a b.

Tento vzorec se nazývá "vlastnost stupně logaritmu". Připomíná vlastnosti běžných stupňů a není se čemu divit, protože veškerá matematika spočívá na pravidelných postulátech. Podívejme se na důkaz.

Nechte log a b \u003d t, ukáže se t \u003d b. Zvednete-li obě části na mocninu m: a tn = b n ;

ale protože a tn = (a q) nt/q = b n , tudíž log a q b n = (n*t)/t, pak log a q b n = n/q log a b. Věta byla prokázána.

Příklady problémů a nerovností

Nejběžnějšími typy logaritmických úloh jsou příklady rovnic a nerovnic. Nacházejí se téměř ve všech problémových knihách a jsou také součástí povinné části zkoušek z matematiky. Pro vstup na vysokou školu nebo složení vstupních testů z matematiky je potřeba vědět, jak takové úlohy správně řešit.

Bohužel, jediný plán nebo schéma řešit a určit neznámá hodnota neexistuje žádný logaritmus, nicméně na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici lze aplikovat určitá pravidla. Nejprve byste měli zjistit, zda lze výraz zjednodušit nebo zredukovat obecný pohled. Pokud správně použijete jejich vlastnosti, můžete dlouhé logaritmické výrazy zjednodušit. Pojďme se s nimi brzy seznámit.

Při řešení logaritmických rovnic je nutné určit, jaký logaritmus máme před sebou: příklad výrazu může obsahovat přirozený logaritmus nebo dekadický.

Zde jsou příklady ln100, ln1026. Jejich řešení se scvrkává na skutečnost, že musíte určit, do jaké míry bude základna 10 rovna 100 a 1026. Pro řešení přirozených logaritmů je třeba použít logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických úloh různých typů.

Jak používat logaritmické vzorce: s příklady a řešeními

Podívejme se tedy na příklady použití hlavních vět o logaritmech.

1. Vlastnost logaritmu součinu se dá využít v úlohách, kde je potřeba expandovat velká důležitostčísla b do jednodušších faktorů. Například log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpověď je 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak vidíte, pomocí čtvrté vlastnosti stupně logaritmu se nám podařilo vyřešit na první pohled složitý a neřešitelný výraz. Je nutné pouze faktorizovat základ a poté vyjmout hodnoty exponentů ze znaménka logaritmu.

Úkoly ze zkoušky

Logaritmy se často vyskytují u přijímacích zkoušek, zejména mnoho logaritmických problémů u zkoušky ( Státní zkouška pro všechny absolventy středních škol). Obvykle jsou tyto úlohy přítomny nejen v části A (nejjednodušší testová část zkoušky), ale také v části C (nejobtížnější a nejobsáhlejší úlohy). Zkouška předpokládá přesnou a dokonalou znalost tématu "Přirozené logaritmy".

Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních POUŽÍVEJTE možnosti. Podívejme se, jak se takové úkoly řeší.

Je dán log 2 (2x-1) = 4. Řešení:
přepišme výraz, trochu jej zjednodušíme log 2 (2x-1) = 2 2 , definicí logaritmu dostaneme, že 2x-1 = 2 4 , tedy 2x = 17; x = 8,5.

• Všechny logaritmy je nejlépe zredukovat na stejný základ, aby řešení nebylo těžkopádné a matoucí.
• Všechny výrazy pod znaménkem logaritmu jsou označeny jako kladné, proto při vyjímání exponentu exponentu výrazu, který je pod znaménkem logaritmu a jako jeho základ, musí být výraz zbývající pod logaritmem kladný.

(z řeckého λόγος - "slovo", "vztah" a ἀριθμός - "číslo") b podle rozumu A(log α b) se nazývá takové číslo C, A b= a c, tedy log α b=C A b=aC jsou ekvivalentní. Logaritmus má smysl, pokud a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Jinými slovy logaritmusčísla b podle rozumu A formulován jako exponent, na který musí být číslo zvýšeno A získat číslo b(logaritmus existuje pouze pro kladná čísla).

Z této formulace vyplývá, že výpočet x= log α b, je ekvivalentní řešení rovnice a x =b.

Například:

log 2 8 = 3 protože 8=2 3 .

Upozorňujeme, že uvedená formulace logaritmu umožňuje okamžitě určit logaritmickou hodnotu když číslo pod znaménkem logaritmu je určitá mocnina základu. Formulace logaritmu skutečně umožňuje ospravedlnit, že pokud b=a c, pak logaritmus čísla b podle rozumu A rovná se S. Je také zřejmé, že téma logaritmu s tématem úzce souvisí stupeň čísla.

Odkazuje se na výpočet logaritmu logaritmus. Logaritmus je matematická operace logaritmu. Při logaritmování se součiny faktorů převádějí na součty členů.

Zesilování je matematická operace inverzní k logaritmu. Při potenciaci je daný základ povýšen na sílu výrazu, na kterém je potenciace provedena. V tomto případě se součty členů transformují na součin faktorů.

Poměrně často se používají reálné logaritmy se základy 2 (binární), e Eulerovým číslem e ≈ 2,718 (přirozený logaritmus) a 10 (desítkový).

Na tuto fázi vhodné zvážit ukázky logaritmů log 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

A položky lg (-3), log -3 3,2, log -1 -4,3 nedávají smysl, protože v prvním z nich je pod znaménkem logaritmu umístěno záporné číslo, ve druhém - záporné číslo v základu a ve třetím - a záporné číslo pod znaménkem logaritmu a jednotky v základu.

Podmínky pro určení logaritmu.

Samostatně stojí za zvážení podmínek a > 0, a ≠ 1, b > 0. definice logaritmu. Podívejme se, proč jsou tato omezení přijata. To nám pomůže s rovností tvaru x = log α b, nazývaná základní logaritmická identita, která přímo vyplývá z výše uvedené definice logaritmu.

Vezměte podmínku a≠1. Protože jedna se rovná jedné jakékoli mocnině, pak rovnost x=log α b může existovat pouze tehdy b=1, ale log 1 1 bude libovolné reálné číslo. Abychom tuto nejednoznačnost odstranili, bereme a≠1.

Dokažme nezbytnost podmínky a>0. Na a=0 podle formulace logaritmu může existovat pouze tehdy, když b=0. A pak podle toho log 0 0 může být libovolné nenulové reálné číslo, protože nula až jakákoli nenulová mocnina je nula. K odstranění této nejednoznačnosti podmínka a≠0. A kdy A<0 museli bychom odmítnout analýzu racionálních a iracionálních hodnot logaritmu, protože exponent s racionálním a iracionálním exponentem je definován pouze pro nezáporné základy. Právě z tohoto důvodu je podmínka a>0.

A poslední podmínka b>0 vyplývá z nerovnosti a>0, protože x=log α b, a hodnotu stupně s kladným základem A vždy pozitivní.

Vlastnosti logaritmů.

Logaritmy vyznačující se výrazným funkce, což vedlo k jejich širokému použití k výraznému usnadnění pečlivých výpočtů. Při přechodu „do světa logaritmů“ se násobení promění v mnohem snazší sčítání, dělení na odčítání a umocňování a odmocňování se mění v násobení a dělení exponentem.

Formulace logaritmů a tabulka jejich hodnot (např goniometrické funkce) poprvé publikoval v roce 1614 skotský matematik John Napier. Logaritmické tabulky, zvětšené a podrobné jinými vědci, byly široce používány ve vědeckých a inženýrských výpočtech a zůstaly relevantní, dokud se nezačaly používat elektronické kalkulačky a počítače.

Začněme s vlastnosti logaritmu jednoty. Jeho formulace je následující: logaritmus jednoty je roven nule, tj. log a 1=0 pro libovolné a>0, a≠1. Důkaz je přímočarý: protože a 0 =1 pro jakékoli a, které splňuje výše uvedené podmínky a>0 a a≠1 , pak dokázaná rovnost log a 1=0 okamžitě vyplývá z definice logaritmu.

Uveďme příklady použití uvažované vlastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 a .

Pojďme k další vlastnosti: logaritmus čísla rovného základu je roven jedné, to znamená, log a a=1 pro a>0, a≠1. Protože a 1 =a pro libovolné a , pak podle definice logaritmu log a a=1 .

Příklady použití této vlastnosti logaritmů jsou log 5 5=1 , log 5,6 5,6 a lne=1 .

Například log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus součinu dvou kladných čísel x a y se rovná součinu logaritmů těchto čísel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Dokažme vlastnost logaritmu součinu. Vzhledem k vlastnostem stupně a log a x+log a y =a log a x a log a y a protože podle hlavní logaritmické identity log a x =x a log a y = y , pak log a x a log a y =x y . Tedy log a x+log a y =x y , odkud požadovaná rovnost vyplývá z definice logaritmu.

Ukažme si příklady použití vlastnosti logaritmu součinu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnost logaritmu součinu lze zobecnit na součin konečného počtu n kladných čísel x 1 , x 2 , …, x n jako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Tato rovnost se dá snadno dokázat.

Například přirozený logaritmus součinu lze nahradit součtem tří přirozených logaritmů čísel 4 , e a .

Logaritmus podílu dvou kladných čísel x a y se rovná rozdílu mezi logaritmy těchto čísel. Vlastnost logaritmus podílu odpovídá vzorci ve tvaru , kde a>0 , a≠1 , x a y jsou kladná čísla. Platnost tohoto vzorce je dokázána jako vzorec pro logaritmus součinu: od , pak podle definice logaritmu .

Zde je příklad použití této vlastnosti logaritmu: .

Pojďme k vlastnost logaritmu stupně. Logaritmus stupně se rovná součinu exponentu a logaritmu modulu báze tohoto stupně. Tuto vlastnost logaritmu stupně zapíšeme ve formě vzorce: log a b p =p log a |b|, kde a>0, a≠1, b a p jsou čísla taková, že stupeň b p dává smysl a b p >0 .

Tuto vlastnost nejprve prokážeme pro kladné b . Základní logaritmická identita nám umožňuje reprezentovat číslo b jako log a b , pak b p = (a log a b) p a výsledný výraz je díky mocninné vlastnosti roven a p log a b . Dostáváme se tedy k rovnosti b p =a p log a b , z čehož podle definice logaritmu usuzujeme, že log a b p =p log a b .

Zbývá dokázat tuto vlastnost pro záporné b . Zde si všimneme, že výraz log a b p pro záporné b má smysl pouze pro sudé exponenty p (protože hodnota stupně b p musí být větší než nula, jinak logaritmus nedává smysl) a v tomto případě b p =|b| p . Pak b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odkud log a b p =p log a |b| .

Například, a ln(-3)4=4ln|-3|=4ln3.

Vyplývá to z předchozí vlastnosti vlastnost logaritmu od kořene: logaritmus odmocniny n-tého stupně se rovná součinu zlomku 1/n a logaritmu kořenového výrazu, tzn. , kde a>0 , a≠1 , n – přirozené číslo, větší než jedna, b>0 .

Důkaz je založen na rovnosti (viz ), která platí pro každé kladné b , a na vlastnosti logaritmu stupně: .

Zde je příklad použití této vlastnosti: .

Nyní dokažme převodní vzorec na nový základ logaritmu druh . K tomu stačí dokázat platnost logu rovnosti c b=log a b log c a . Základní logaritmická identita nám umožňuje reprezentovat číslo b jako log a b , pak log c b=log c a log a b . Zbývá použít vlastnost logaritmu stupně: log c a log a b = log a b log c a. Tím je dokázána rovnost log c b=log a b log c a, což znamená, že je dokázán i vzorec pro přechod na nový základ logaritmu.

Ukažme si několik příkladů použití této vlastnosti logaritmů: a .

Vzorec pro přechod na nový základ vám umožňuje přejít k práci s logaritmy, které mají „pohodlný“ základ. Například s jeho pomocí můžete přejít na přírodní resp dekadické logaritmy abyste mohli vypočítat hodnotu logaritmu z tabulky logaritmů. Vzorec pro přechod na nový základ logaritmu také umožňuje v některých případech najít hodnotu daného logaritmu, když jsou známy hodnoty některých logaritmů s jinými základy.

Často se používá speciální případ vzorce pro přechod na nový základ logaritmu pro c=b tvaru . To ukazuje, že log a b a log b a – . Např, .

Často se také používá vzorec , což je užitečné pro nalezení logaritmických hodnot. Pro potvrzení našich slov si ukážeme, jak se pomocí něj vypočítá hodnota logaritmu formuláře. My máme . Dokázat vzorec stačí použít přechodový vzorec na nový základ logaritmu a: .

Zbývá dokázat srovnávací vlastnosti logaritmů.

Dokažme, že pro všechna kladná čísla b 1 a b 2 platí b 1 log a b 2 a pro a> 1 nerovnost log a b 1

Nakonec zbývá dokázat poslední z uvedených vlastností logaritmů. Omezíme se na důkaz jeho první části, to znamená, že dokážeme, že pokud a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 je true log a 1 b>log a 2 b . Zbývající tvrzení této vlastnosti logaritmů jsou dokázána podobným principem.

Použijme opačnou metodu. Předpokládejme, že pro a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je pravda. Pomocí vlastností logaritmů lze tyto nerovnosti přepsat jako A v uvedeném pořadí a z nich vyplývá, že log b a 1 ≤ log b a 2 a log b a 1 ≥ log b a 2, v tomto pořadí. Potom vlastnostmi mocnin se stejnými bázemi musí být splněny rovnosti b log b a 1 ≥b log b a 2 a b log b a 1 ≥b log b a 2, tedy a 1 ≥a 2 . Tím jsme dospěli k rozporu s podmínkou a 1

Bibliografie.