Lineární závislost a lineární nezávislost vektorů.
Základy vektorů. Afinní souřadnicový systém

V hledišti je vozík s čokoládami a každý dnešní návštěvník dostane sladkou dvojici - analytickou geometrii s lineární algebrou. Tento článek se dotkne dvou částí vyšší matematiky najednou a uvidíme, jak koexistují v jednom obalu. Dejte si pauzu, snězte Twix! ...sakra, jaká snůška nesmyslů. I když, dobře, nebudu bodovat, nakonec byste měli mít ke studiu pozitivní vztah.

Lineární závislost vektorů, lineární vektorová nezávislost, základ vektorů a další pojmy mají nejen geometrický výklad, ale především algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohledu lineární algebry není vždy „obyčejným“ vektorem, který můžeme zobrazit v rovině nebo v prostoru. Důkaz nemusíte hledat daleko, zkuste nakreslit vektor pětirozměrného prostoru . Nebo vektor počasí, pro který jsem právě šel do Gismetea: teplota, respektive atmosférický tlak. Příklad je samozřejmě nesprávný z hlediska vlastností vektorového prostoru, ale přesto nikdo nezakazuje formalizovat tyto parametry jako vektor. Dech podzimu...

Ne, nebudu vás nudit teorií, lineární vektorové prostory, úkolem je rozumět definice a věty. Nové pojmy (lineární závislost, nezávislost, lineární kombinace, báze atd.) platí pro všechny vektory z algebraického hlediska, ale budou uvedeny geometrické příklady. Vše je tedy jednoduché, dostupné a přehledné. Kromě problémů analytické geometrie se budeme zabývat také některými typickými problémy algebry. Pro zvládnutí látky je vhodné seznámit se s lekcemi Vektory pro figuríny A Jak vypočítat determinant?

Lineární závislost a nezávislost rovinných vektorů.
Rovinná báze a afinní souřadnicový systém

Vezměme si rovinu vašeho počítačového stolu (stačí stůl, noční stolek, podlaha, strop, cokoli chcete). Úkol se bude skládat z následujících akcí:

1) Vyberte základ roviny. Zhruba řečeno, deska má délku a šířku, takže je intuitivní, že k sestavení základny budou zapotřebí dva vektory. Jeden vektor zjevně nestačí, tři vektory jsou příliš mnoho.

2) Na základě zvoleného základu nastavit souřadnicový systém(souřadnicová mřížka) pro přiřazení souřadnic všem objektům v tabulce.

Nedivte se, zpočátku budou vysvětlení na prstech. Navíc na vašem. Umístěte prosím levý ukazováček na okraj desky stolu tak, aby se díval na monitor. Toto bude vektor. Nyní místo pravý malíček na hranu stolu stejným způsobem – tak, aby směřoval na obrazovku monitoru. Toto bude vektor. Usmívej se, vypadáš skvěle! Co můžeme říci o vektorech? Datové vektory kolineární, což znamená lineární vyjádřili jeden přes druhého:
, no, nebo naopak: , kde je nějaké číslo odlišné od nuly.

Můžete vidět obrázek této akce ve třídě. Vektory pro figuríny, kde jsem vysvětlil pravidlo pro násobení vektoru číslem.

Postaví vaše prsty základ v rovině počítačového stolu? Očividně ne. Kolineární vektory se pohybují tam a zpět napříč sama směr a rovina má délku a šířku.

Takové vektory se nazývají lineárně závislé.

Odkaz: Slova „lineární“, „lineární“ označují skutečnost, že v matematických rovnicích a výrazech nejsou žádné čtverce, krychle, jiné mocniny, logaritmy, siny atd. Existují pouze lineární (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárně závislé právě tehdy, jsou-li kolineární.

Překřížte prsty na stole tak, aby mezi nimi byl jiný úhel než 0 nebo 180 stupňů. Dva rovinné vektorylineární Ne závislé právě tehdy, pokud nejsou kolineární. Takže základ je získán. Není třeba se stydět, že základ se ukázal jako „zkosený“ nekolmými vektory různých délek. Velmi brzy uvidíme, že pro jeho konstrukci je vhodný nejen úhel 90 stupňů, ale nejen jednotkové vektory stejné délky.

Žádný rovinný vektor jediná možnost se rozšiřuje podle základu:
, kde jsou reálná čísla. Čísla se volají vektorové souřadnice v tomto základu.

Taky se to říká vektorprezentovány jako lineární kombinace základní vektory. To znamená, že výraz se nazývá vektorový rozkladpodle základu nebo lineární kombinace základní vektory.

Například můžeme říci, že vektor je rozložen podél ortonormální báze roviny, nebo můžeme říci, že je reprezentován jako lineární kombinace vektorů.

Pojďme formulovat definice základu formálně: Základ letadla se nazývá dvojice lineárně nezávislých (nekolineárních) vektorů, , kde žádný rovinný vektor je lineární kombinací základních vektorů.

Podstatným bodem definice je fakt, že se berou vektory v určitém pořadí. Základny – to jsou dvě zcela odlišné základny! Jak se říká, nemůžete nahradit malíček své levé ruky místo malíčku pravé ruky.

Na základ jsme přišli, ale nestačí nastavit souřadnicovou mřížku a přiřadit souřadnice každé položce na vašem počítači. Proč to nestačí? Vektory jsou volné a putují po celé rovině. Jak tedy přiřadit souřadnice těm malým špinavým místům na stole, která zbyla z divokého víkendu? Je potřeba výchozí bod. A takovým orientačním bodem je každému známý bod – počátek souřadnic. Pojďme pochopit souřadnicový systém:

Začnu „školním“ systémem. Již v úvodní lekci Vektory pro figuríny Zdůraznil jsem některé rozdíly mezi pravoúhlým souřadnicovým systémem a ortonormální bází. Zde je standardní obrázek:

Když mluví o pravoúhlý souřadnicový systém, pak nejčastěji znamenají počátek, souřadnicové osy a měřítko podél os. Zkuste do vyhledávače zadat „pravoúhlý souřadnicový systém“ a uvidíte, že mnoho zdrojů vám řekne o souřadnicových osách známých z 5.–6. ročníku a o tom, jak zakreslit body do roviny.

Na druhou stranu se zdá, že pravoúhlý souřadnicový systém lze zcela definovat z hlediska ortonormální báze. A to je skoro pravda. Znění je následující:

původ, A ortonormální základ je nastaven Kartézský pravoúhlý rovinný souřadnicový systém . Tedy pravoúhlý souřadnicový systém rozhodně je definována jedním bodem a dvěma jednotkovými ortogonálními vektory. Proto vidíte výkres, který jsem uvedl výše - v geometrických úlohách se často (ale ne vždy) kreslí vektory i souřadné osy.

Myslím, že každý chápe, že pomocí bodu (původu) a ortonormálního základu JAKÝKOLI BOD v rovině a JAKÝKOLI VEKTOR v rovině lze přiřadit souřadnice. Obrazně řečeno, „všechno v letadle se dá očíslovat“.

Musí být souřadnicové vektory jednotkové? Ne, mohou mít libovolnou nenulovou délku. Uvažujme bod a dva ortogonální vektory libovolné nenulové délky:

Takový základ je tzv ortogonální. Počátek souřadnic s vektory je definován souřadnicovou sítí a jakýkoli bod v rovině, jakýkoli vektor má své souřadnice v dané bázi. Například, nebo. Zjevná nepříjemnost spočívá v tom, že vektory souřadnic obecně mají jiné délky než jednota. Jsou-li délky rovny jednotě, pak se získá obvyklý ortonormální základ.

! Poznámka : v ortogonální bázi, stejně jako níže v afinních základech roviny a prostoru, jsou uvažovány jednotky podél os PODMIŇOVACÍ ZPŮSOB. Například jedna jednotka podél osy x obsahuje 4 cm, jedna jednotka podél osy 2 cm Tato informace je dostatečná k tomu, abychom v případě potřeby převedli „nestandardní“ souřadnice na „naše obvyklé centimetry“.

A druhá otázka, která již byla vlastně zodpovězena, je, zda úhel mezi základními vektory musí být roven 90 stupňům? Ne! Jak uvádí definice, základní vektory musí být pouze nekolineární. Úhel tedy může být jakýkoli kromě 0 a 180 stupňů.

Volal se bod v letadle původ, A nekolineární vektory, , set afinní rovinný souřadnicový systém :

Někdy se takový souřadnicový systém nazývá šikmý Systém. Jako příklady výkres ukazuje body a vektory:

Jak jste pochopili, afinní souřadnicový systém je ještě méně pohodlný, vzorce pro délky vektorů a segmentů, o kterých jsme hovořili ve druhé části lekce, v něm nefungují; Vektory pro figuríny, mnoho lahodných vzorců souvisejících skalární součin vektorů. Ale platí pravidla pro sčítání vektorů a násobení vektoru číslem, vzorce pro dělení segmentu v tomto vztahu, stejně jako některé další typy problémů, které budeme brzy zvažovat.

A závěr je ten, že nejpříhodnějším speciálním případem afinního souřadnicového systému je kartézský pravoúhlý systém. Proto ji musíš nejčastěji vidět, má drahá. ...Všechno v tomto životě je však relativní - existuje mnoho situací, ve kterých šikmý úhel (nebo nějaký jiný, např. polární) souřadnicový systém. A humanoidům by se takové systémy mohly líbit =)

Přejděme k praktické části. Všechny problémy v této lekci platí jak pro pravoúhlý souřadný systém, tak pro obecný afinní případ. Není zde nic složitého, veškerý materiál je dostupný i pro školáka.

Jak určit kolinearitu rovinných vektorů?

Typická věc. Aby byly dva rovinné vektory byly kolineární, je nutné a postačující, aby jejich odpovídající souřadnice byly proporcionální V podstatě se jedná o podrobný popis souřadnic po souřadnicích zřejmého vztahu.

Příklad 1

a) Zkontrolujte, zda jsou vektory kolineární .
b) Tvoří vektory základ? ?

Řešení:
a) Zjistěme, zda existuje pro vektory koeficient proporcionality tak, aby byly splněny rovnosti:

Určitě vám řeknu o „fupské“ verzi použití tohoto pravidla, která v praxi funguje docela dobře. Cílem je okamžitě vytvořit poměr a zjistit, zda je správný:

Udělejme poměr z poměrů odpovídajících souřadnic vektorů:

Zkrátíme:
, takže odpovídající souřadnice jsou úměrné,

Vztah by mohl být vytvořen obráceně, toto je ekvivalentní možnost:

Pro autotest můžete využít skutečnost, že kolineární vektory jsou lineárně vyjádřeny přes sebe. V tomto případě dochází k rovnosti . Jejich platnost lze snadno ověřit pomocí elementárních operací s vektory:

b) Dva rovinné vektory tvoří základ, pokud nejsou kolineární (lineárně nezávislé). Zkoumáme kolinearitu vektorů . Vytvořme systém:

Z první rovnice vyplývá, že , z druhé rovnice vyplývá, že , což znamená systém je nekonzistentní(žádná řešení). Odpovídající souřadnice vektorů tedy nejsou proporcionální.

Závěr: vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Zjednodušená verze řešení vypadá takto:

Udělejme poměr z odpovídajících souřadnic vektorů :
, což znamená, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Obvykle tuto možnost recenzenti neodmítají, ale problém nastává v případech, kdy se některé souřadnice rovnají nule. Takhle: . Nebo takhle: . Nebo takhle: . Jak se zde dopracovat k proporci? (ve skutečnosti nelze dělit nulou). Z tohoto důvodu jsem zjednodušené řešení nazval „foppish“.

Odpovědět: a) , b) formulář.

Malý kreativní příklad pro vaše vlastní řešení:

Příklad 2

Na jaké hodnotě parametru jsou vektory budou kolineární?

Ve vzorovém řešení je parametr nalezen prostřednictvím podílu.

Existuje elegantní algebraický způsob, jak zkontrolovat kolinearitu vektorů, systematizujme naše znalosti a přidejte je jako pátý bod:

Pro dva rovinné vektory jsou následující tvrzení ekvivalentní:

2) vektory tvoří základ;
3) vektory nejsou kolineární;

+ 5) determinant složený ze souřadnic těchto vektorů je nenulový.

resp. následující opačné výroky jsou ekvivalentní:
1) vektory jsou lineárně závislé;
2) vektory netvoří základ;
3) vektory jsou kolineární;
4) vektory mohou být lineárně vyjádřeny navzájem;
+ 5) determinant složený ze souřadnic těchto vektorů je roven nule.

Opravdu, opravdu doufám, že již rozumíte všem termínům a prohlášením, se kterými jste se setkali.

Podívejme se blíže na nový, pátý bod: dva rovinné vektory jsou kolineární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic daných vektorů roven nule:. Chcete-li tuto funkci použít, samozřejmě musíte být schopni najít determinanty.

Pojďme se rozhodnout Příklad 1 druhým způsobem:

a) Vypočítejme determinant tvořený souřadnicemi vektorů :
, což znamená, že tyto vektory jsou kolineární.

b) Dva rovinné vektory tvoří základ, pokud nejsou kolineární (lineárně nezávislé). Vypočítejme determinant tvořený vektorovými souřadnicemi :
, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ.

Odpovědět: a) , b) formulář.

Vypadá mnohem kompaktněji a hezčí než řešení s proporcemi.

Pomocí uvažovaného materiálu je možné stanovit nejen kolinearitu vektorů, ale také dokázat rovnoběžnost úseček a přímek. Podívejme se na několik problémů se specifickými geometrickými tvary.

Příklad 3

Jsou dány vrcholy čtyřúhelníku. Dokažte, že čtyřúhelník je rovnoběžník.

Důkaz: V problému není potřeba vytvářet výkres, protože řešení bude čistě analytické. Připomeňme si definici rovnoběžníku:
Rovnoběžník Čtyřúhelník, jehož protilehlé strany jsou rovnoběžné ve dvojicích, se nazývá.

Je tedy nutné prokázat:
1) rovnoběžnost protilehlých stran a;
2) rovnoběžnost protilehlých stran a.

dokazujeme:

1) Najděte vektory:

2) Najděte vektory:

Výsledkem je stejný vektor („podle školy“ – stejné vektory). Kolinearita je zcela zřejmá, ale je lepší formalizovat rozhodnutí jasně, s uspořádáním. Vypočítejme determinant tvořený vektorovými souřadnicemi:
, což znamená, že tyto vektory jsou kolineární, a .

Závěr: Protilehlé strany čtyřúhelníku jsou rovnoběžné ve dvojicích, což znamená, že jde podle definice o rovnoběžník. Q.E.D.

Více dobrých a jiných čísel:

Příklad 4

Jsou dány vrcholy čtyřúhelníku. Dokažte, že čtyřúhelník je lichoběžník.

Pro přesnější formulaci důkazu je samozřejmě lepší získat definici lichoběžníku, ale stačí si jednoduše zapamatovat, jak vypadá.

Toto je úkol, který musíte vyřešit sami. Kompletní řešení na konci lekce.

A nyní je čas se pomalu přesunout z letadla do vesmíru:

Jak určit kolinearitu prostorových vektorů?

Pravidlo je velmi podobné. Aby byly dva prostorové vektory kolineární, je nutné a postačující, aby jejich odpovídající souřadnice byly proporcionální.

Příklad 5

Zjistěte, zda jsou následující prostorové vektory kolineární:

A);
b)
PROTI)

Řešení:
a) Zkontrolujeme, zda pro odpovídající souřadnice vektorů existuje koeficient úměrnosti:

Systém nemá žádné řešení, což znamená, že vektory nejsou kolineární.

„Zjednodušené“ je formalizováno kontrolou poměru. V tomto případě:
– odpovídající souřadnice nejsou proporcionální, což znamená, že vektory nejsou kolineární.

Odpovědět: vektory nejsou kolineární.

b-c) Jedná se o body pro nezávislé rozhodnutí. Vyzkoušejte to dvěma způsoby.

Existuje metoda pro kontrolu kolinearity prostorových vektorů prostřednictvím determinantu třetího řádu, tato metoda je popsána v článku Vektorový součin vektorů.

Podobně jako v případě roviny lze uvažované nástroje použít ke studiu rovnoběžnosti prostorových segmentů a přímek.

Vítejte v druhé sekci:

Lineární závislost a nezávislost vektorů v trojrozměrném prostoru.
Prostorová báze a afinní souřadnicový systém

Mnoho vzorů, které jsme zkoumali v letadle, bude platit pro vesmír. Snažil jsem se minimalizovat teoretické poznámky, protože lví podíl informací už byl přežvýkaný. Doporučuji si však pozorně přečíst úvodní část, protože se objeví nové termíny a pojmy.

Nyní místo roviny počítačového stolu zkoumáme trojrozměrný prostor. Nejprve si vytvoříme jeho základ. Někdo je teď uvnitř, někdo venku, ale v žádném případě nemůžeme uniknout třem rozměrům: šířce, délce a výšce. Pro konstrukci základny tedy budou zapotřebí tři prostorové vektory. Jeden nebo dva vektory nestačí, čtvrtý je nadbytečný.

A opět se zahříváme na prstech. Zvedněte prosím ruku a roztáhněte ji různými směry palec, ukazováček a prostředníček. Budou to vektory, dívají se různými směry, mají různé délky a různé úhly mezi sebou. Gratulujeme, základ trojrozměrného prostoru je připraven! Mimochodem, není potřeba to učitelům demonstrovat, ať kroutíte prsty sebevíc, ale z definic není úniku =)

Dále si položme důležitou otázku: tvoří jakékoli tři vektory základ trojrozměrného prostoru? Zatlačte pevně třemi prsty na horní část stolu počítače. Co se stalo? Tři vektory jsou umístěny ve stejné rovině a zhruba řečeno, ztratili jsme jeden z rozměrů - výšku. Takové vektory jsou koplanární a je zcela zřejmé, že základ trojrozměrného prostoru není vytvořen.

Je třeba poznamenat, že koplanární vektory nemusí ležet ve stejné rovině, mohou být v rovnoběžných rovinách (jen to nedělejte prsty, to udělal pouze Salvador Dalí =)).

Definice: volají se vektory koplanární, pokud existuje rovina, se kterou jsou rovnoběžné. Zde je logické dodat, že pokud taková rovina neexistuje, pak vektory nebudou koplanární.

Tři koplanární vektory jsou vždy lineárně závislé, to znamená, že jsou lineárně vyjádřeny přes sebe. Pro jednoduchost si opět představme, že leží ve stejné rovině. Za prvé, vektory nejsou pouze koplanární, mohou být také kolineární, potom může být jakýkoli vektor vyjádřen prostřednictvím jakéhokoli vektoru. Ve druhém případě, pokud například vektory nejsou kolineární, pak je třetí vektor vyjádřen přes ně jedinečným způsobem: (a proč je snadné uhodnout z materiálů v předchozí části).

Opak je také pravdou: tři nekoplanární vektory jsou vždy lineárně nezávislé, to znamená, že se navzájem nevyjadřují. A samozřejmě pouze takové vektory mohou tvořit základ trojrozměrného prostoru.

Definice: Základ trojrozměrného prostoru se nazývá trojice lineárně nezávislých (nekoplanárních) vektorů, odebrané v určitém pořadí a libovolný vektor prostoru jediná možnost je rozložena na danou bázi, kde jsou souřadnice vektoru v této bázi

Připomínám, že můžeme také říci, že vektor je reprezentován ve tvaru lineární kombinace základní vektory.

Pojem souřadnicového systému je zaveden úplně stejně jako v případě roviny stačí jeden bod a libovolné tři lineárně nezávislé vektory:

původ, A nekoplanární vektory, odebrané v určitém pořadí, set afinní souřadnicový systém trojrozměrného prostoru :

Samozřejmě, že souřadnicová síť je „šikmá“ a nepohodlná, ale přesto nám vytvořený souřadnicový systém umožňuje rozhodně určit souřadnice libovolného vektoru a souřadnice libovolného bodu v prostoru. Podobně jako v rovině nebudou některé vzorce, které jsem již zmínil, fungovat v afinním souřadnicovém systému prostoru.

Nejznámější a nejpohodlnější speciální případ afinního souřadnicového systému, jak každý tuší, je pravoúhlý prostorový souřadnicový systém:

Bod ve vesmíru tzv původ, A ortonormální základ je nastaven Kartézský pravoúhlý prostorový souřadnicový systém . Známý obrázek:

Než přejdeme k praktickým úkolům, znovu systematizujeme informace:

Pro tři prostorové vektory jsou následující tvrzení ekvivalentní:
1) vektory jsou lineárně nezávislé;
2) vektory tvoří základ;
3) vektory nejsou koplanární;
4) vektory nelze vzájemně lineárně vyjádřit;
5) determinant, složený ze souřadnic těchto vektorů, je odlišný od nuly.

Myslím, že opačná tvrzení jsou pochopitelná.

Lineární závislost/nezávislost prostorových vektorů se tradičně kontroluje pomocí determinantu (bod 5). Zbývající praktické úlohy budou mít výrazně algebraický charakter. Je čas pověsit geometrickou hůl a ovládat baseballovou pálkou lineární algebry:

Tři vektory prostoru jsou koplanární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic daných vektorů roven nule: .

Upozorňuji na drobnou technickou nuanci: souřadnice vektorů lze zapisovat nejen do sloupců, ale i do řádků (hodnota determinantu se kvůli tomu nezmění - viz vlastnosti determinantů). Ale mnohem lepší je to ve sloupcích, protože je to výhodnější pro řešení některých praktických problémů.

Pro ty čtenáře, kteří trochu zapomněli na metody výpočtu determinantů, nebo jim možná vůbec málo rozumějí, doporučuji jednu ze svých nejstarších lekcí: Jak vypočítat determinant?

Příklad 6

Zkontrolujte, zda následující vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru:

Řešení: Ve skutečnosti celé řešení spočívá ve výpočtu determinantu.

a) Vypočítejme determinant složený z vektorových souřadnic (determinant je uveden v prvním řádku):

, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé (nikoli koplanární) a tvoří základ trojrozměrného prostoru.

Odpovědět: tyto vektory tvoří základ

b) Toto je bod pro nezávislé rozhodnutí. Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Nechybí ani kreativní úkoly:

Příklad 7

Při jaké hodnotě parametru budou vektory koplanární?

Řešení: Vektory jsou koplanární právě tehdy, když je determinant složený ze souřadnic těchto vektorů roven nule:

V podstatě potřebujete vyřešit rovnici s determinantem. Snášíme nuly jako draci na jerboa - nejlepší je otevřít determinant ve druhém řádku a okamžitě se zbavit mínusů:

Provádíme další zjednodušení a redukujeme záležitost na nejjednodušší lineární rovnici:

Odpovědět: na

Zde je snadné zkontrolovat, abyste to udělali, musíte nahradit výslednou hodnotu do původního determinantu a ujistit se , znovu jej otevřete.

Na závěr se zamyslíme nad dalším typickým problémem, který má spíše algebraický charakter a je tradičně zahrnut do kurzu lineární algebry. Je to tak běžné, že si zaslouží vlastní téma:

Dokažte, že 3 vektory tvoří základ trojrozměrného prostoru
a najít souřadnice 4. vektoru v tomto základu

Příklad 8

Jsou uvedeny vektory. Ukažte, že vektory tvoří základ v trojrozměrném prostoru a najděte v tomto základu souřadnice vektoru.

Řešení: Nejprve se vypořádejme s podmínkou. Podle podmínky jsou dány čtyři vektory, a jak vidíte, v nějakém základu již mají souřadnice. Jaký je tento základ, nás nezajímá. A následující věc je zajímavá: tři vektory mohou dobře tvořit nový základ. A první stupeň se zcela shoduje s řešením příkladu 6, je nutné ověřit, zda jsou vektory skutečně lineárně nezávislé:

Vypočítejme determinant tvořený vektorovými souřadnicemi:

, což znamená, že vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří základ trojrozměrného prostoru.

! Důležité : vektorové souřadnice Nezbytně zapsat do sloupců determinant, nikoli v řetězcích. V opačném případě nastane zmatek v dalším algoritmu řešení.

Vyjádření formy volal lineární kombinace vektorů A 1, A 2,..., A n s šancemi λ 1, λ 2,...,λ n.

Určení lineární závislosti soustavy vektorů

Vektorový systém A 1, A 2,..., A n volal lineárně závislé, pokud existuje nenulová množina čísel λ 1, λ 2,...,λ n, ve kterém lineární kombinace vektorů λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n rovna nulovému vektoru, tedy soustava rovnic: má nenulové řešení.
Sada čísel λ 1, λ 2,...,λ n je nenulové, pokud alespoň jedno z čísel λ 1, λ 2,...,λ n odlišný od nuly.

Určení lineární nezávislosti soustavy vektorů

Vektorový systém A 1, A 2,..., A n volal lineárně nezávislé, pokud lineární kombinace těchto vektorů λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n rovna nulovému vektoru pouze pro nulovou sadu čísel λ 1, λ 2,...,λ n , tedy soustava rovnic: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ má unikátní nulové řešení.

Příklad 29.1

Zkontrolujte, zda je systém vektorů lineárně závislý

Řešení:

1. Sestavíme soustavu rovnic:

2. Řešíme to pomocí Gaussovy metody. Jordananovy transformace systému jsou uvedeny v tabulce 29.1. Při výpočtu se nezapisují pravé strany soustavy, protože se rovnají nule a během Jordanových transformací se nemění.

3. Z posledních tří řádků tabulky zapište vyřešený systém ekvivalentní původnímu Systém:

4. Získáme obecné řešení systému:

5. Po nastavení hodnoty volné proměnné x 3 =1 dle vašeho uvážení, získáme konkrétní nenulové řešení X=(-3,2,1).

Odpověď: Pro nenulovou množinu čísel (-3,2,1) se tedy lineární kombinace vektorů rovná nulovému vektoru -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Proto, vektorový systém lineárně závislý.

Vlastnosti vektorových systémů

Nemovitost (1)
Je-li soustava vektorů lineárně závislá, pak je alespoň jeden z vektorů rozšířen z hlediska ostatních a naopak, je-li alespoň jeden z vektorů soustavy rozšířen z hlediska ostatních, pak soustava vektorů je lineárně závislá.

Nemovitost (2)
Je-li některý podsystém vektorů lineárně závislý, pak je lineárně závislý celý systém.

Nemovitost (3)
Pokud je systém vektorů lineárně nezávislý, pak je lineárně nezávislý kterýkoli z jeho podsystémů.

Nemovitost (4)
Jakýkoli systém vektorů obsahující nulový vektor je lineárně závislý.

Nemovitost (5)
Systém m-rozměrných vektorů je vždy lineárně závislý, pokud je počet vektorů n větší než jejich rozměr (n>m)

Základy vektorového systému

Základ vektorového systému A 1 , A 2 ,..., A n takový podsystém B 1 , B 2 ,...,B r se nazývá(každý z vektorů B 1,B 2,...,B r je jedním z vektorů A 1, A 2,..., A n), který splňuje následující podmínky:
1. B1,B2,...,Br lineárně nezávislý systém vektorů;
2. libovolný vektor Aj systém A 1 , A 2 ,..., A n je lineárně vyjádřen prostřednictvím vektorů B 1 , B 2 ,..., B r

r— počet vektorů zahrnutých do základu.

Věta 29.1 Na jednotkové bázi soustavy vektorů.

Pokud systém m-rozměrných vektorů obsahuje m různých jednotkových vektorů E 1 E 2 ,..., E m , pak tvoří základ systému.

Algoritmus pro nalezení základu systému vektorů

K nalezení základu soustavy vektorů A 1 ,A 2 ,...,A n je nutné:

• Vytvořte homogenní soustavu rovnic odpovídající soustavě vektorů A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Přineste tento systém

Nechat L je libovolný lineární prostor, a i Î L,- jeho prvky (vektory).

Definice 3.3.1. Výraz , kde , - libovolná reálná čísla, nazývaná lineární kombinace vektory a 1, a 2,…, a n.

Pokud je vektor R = , pak to říkají R rozložené na vektory a 1, a 2,…, a n.

Definice 3.3.2. Nazývá se lineární kombinace vektorů netriviální, pokud je mezi čísly alespoň jedno nenulové. Jinak se nazývá lineární kombinace triviální.

Definice 3.3.3 . Vektory a 1 , a 2 ,…, a n se nazývají lineárně závislé, pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace taková, že

= 0 .

Definice 3.3.4. Vektory a 1 ,a 2 ,…, a n se nazývají lineárně nezávislé, pokud rovnost = 0 je možné pouze v případě, že všechna čísla l 1, l 2,…, l n jsou současně rovny nule.

Všimněte si, že každý nenulový prvek a 1 může být považován za lineárně nezávislý systém, protože rovnost l a 1 = 0 možné pouze pokud l= 0.

Věta 3.3.1. Nutná a postačující podmínka pro lineární závislost a 1 , a 2 ,…, a n je možnost rozložit alespoň jeden z těchto prvků na zbytek.

Důkaz. Nutnost. Nechť prvky a 1 , a 2 ,…, a n lineárně závislé. Znamená to, že = 0 a alespoň jedno z čísel l 1, l 2,…, l n odlišný od nuly. Nechte pro jistotu l 1 ¹ 0. Potom

tj. prvek a 1 se rozloží na prvky a 2 , a 3 , …, a n.

Přiměřenost. Nechť prvek a 1 rozložíme na prvky a 2 , a 3 , …, a n, tj. a 1 = . Pak = 0 , proto existuje netriviální lineární kombinace vektorů a 1 , a 2 ,…, a n, rovná 0 , takže jsou lineárně závislé .

Věta 3.3.2. Pokud alespoň jeden z prvků a 1 , a 2 ,…, a n nula, pak jsou tyto vektory lineárně závislé.

Důkaz . Nechat A n= 0 , pak = 0 , což znamená lineární závislost těchto prvků.

Věta 3.3.3. Pokud mezi n vektory nějaké p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Důkaz. Nechť pro jistotu prvky a 1 , a 2 ,…, a p lineárně závislé. To znamená, že existuje netriviální lineární kombinace taková, že = 0 . Zadaná rovnost zůstane zachována, pokud prvek přidáme do obou jeho částí. Pak + = 0 a alespoň jedno z čísel l 1, l 2,…, lp odlišný od nuly. Proto vektory a 1 , a 2 ,…, a n jsou lineárně závislé.

Důsledek 3.3.1. Pokud je n prvků lineárně nezávislých, pak kterékoli k z nich jsou lineárně nezávislé (k< n).

Věta 3.3.4. Pokud vektory a 1, a 2,…, a n- 1 jsou lineárně nezávislé a prvky a 1, a 2,…, a n- 1,a n jsou lineárně závislé, pak vektor A n lze rozšířit do vektorů a 1, a 2,…, a n- 1 .

Důkaz. Protože podle podmínky a 1 , a 2 ,…, a n- 1,a n jsou lineárně závislé, pak existuje jejich netriviální lineární kombinace = 0 , a (jinak se ukáže, že vektory a 1 , a 2 ,…, a jsou lineárně závislé n- 1). Ale pak ten vektor

Q.E.D.

V tomto článku se budeme zabývat:

• co jsou kolineární vektory;
• jaké jsou podmínky pro kolinearitu vektorů;
• jaké vlastnosti kolineárních vektorů existují;
• jaká je lineární závislost kolineárních vektorů.

Definice 1

Kolineární vektory jsou vektory, které jsou rovnoběžné s jednou přímkou ​​nebo leží na jedné přímce.

Příklad 1

Podmínky pro kolinearitu vektorů

Dva vektory jsou kolineární, pokud platí některá z následujících podmínek:

• podmínka 1 . Vektory a a b jsou kolineární, pokud existuje číslo λ takové, že a = λ b;
• stav 2 . Vektory a a b jsou kolineární se stejnými poměry souřadnic:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• stav 3 . Vektory a a b jsou kolineární za předpokladu, že křížový součin a nulový vektor jsou stejné:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Poznámka 1

Podmínka 2 nelze použít, pokud je jedna z vektorových souřadnic nulová.

Poznámka 2

Podmínka 3 platí pouze pro ty vektory, které jsou specifikovány v prostoru.

Příklady úloh ke studiu kolinearity vektorů

Příklad 1

Zkoumáme kolinearitu vektorů a = (1; 3) ab = (2; 1).

Jak vyřešit?

V tomto případě je nutné použít podmínku 2. kolinearity. Pro dané vektory to vypadá takto:

Rovnost je falešná. Z toho můžeme usoudit, že vektory aab jsou nekolineární.

Odpovědět : a | | b

Příklad 2

Jaká hodnota m vektoru a = (1; 2) ab = (- 1; m) je nutná, aby vektory byly kolineární?

Jak vyřešit?

Pomocí druhé podmínky kolinearity budou vektory kolineární, pokud jsou jejich souřadnice proporcionální:

To ukazuje, že m = - 2.

Odpovědět: m = -2.

Kritéria pro lineární závislost a lineární nezávislost vektorových systémů

Teorém

Systém vektorů ve vektorovém prostoru je lineárně závislý pouze v případě, že jeden z vektorů systému lze vyjádřit pomocí zbývajících vektorů tohoto systému.

Důkaz

Nechť soustavu e 1 , e 2 , . . . , e n je lineárně závislá. Napišme lineární kombinaci tohoto systému rovnou nulovému vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

ve kterém alespoň jeden z kombinačních koeficientů není roven nule.

Nechť a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Obě strany rovnosti dělíme nenulovým koeficientem:

a k - 1 (ak - 1 a 1) e 1 + (ak - 1 a k) ek +. . . + (ak - 1 a n) e n = 0

Označme:

Ak - 1 a m , kde m ∈ 1 , 2 , . . . , k-1, k + 1, n

V tomto případě:

p1e1+. . . + βk - 1 ek - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + pn e n = 0

nebo ek = (- p 1) e 1 +. . . + (- β k - 1) ek - 1 + (- β k + 1) e k + 1 +. . . + (- β n) a n

Z toho vyplývá, že jeden z vektorů systému je vyjádřen prostřednictvím všech ostatních vektorů systému. Což bylo potřeba dokázat (atd.).

Přiměřenost

Nechť je jeden z vektorů lineárně vyjádřen všemi ostatními vektory systému:

e k = y 1 e 1 +. . . + γ k - 1 ek - 1 + y k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Přesuneme vektor e k na pravou stranu této rovnosti:

0 = y 1 e 1 +. . . + γ k - 1 ek - 1 - ek + y k + 1 ek + 1 + . . . + γ n e n

Protože koeficient vektoru e k je roven - 1 ≠ 0, dostaneme netriviální reprezentaci nuly soustavou vektorů e 1, e 2, . . . , e n , a to zase znamená, že tento systém vektorů je lineárně závislý. Což bylo potřeba dokázat (atd.).

Následek:

• Systém vektorů je lineárně nezávislý, když žádný z jeho vektorů nemůže být vyjádřen v termínech všech ostatních vektorů systému.
• Systém vektorů, který obsahuje nulový vektor nebo dva stejné vektory, je lineárně závislý.

Vlastnosti lineárně závislých vektorů

1. Pro 2- a 3-rozměrné vektory je splněna následující podmínka: dva lineárně závislé vektory jsou kolineární. Dva kolineární vektory jsou lineárně závislé.
2. Pro 3-rozměrné vektory je splněna následující podmínka: tři lineárně závislé vektory jsou koplanární. (3 koplanární vektory jsou lineárně závislé).
3. Pro n-rozměrné vektory je splněna následující podmínka: n + 1 vektorů je vždy lineárně závislých.

Příklady řešení úloh lineární závislosti nebo lineární nezávislosti vektorů

Příklad 3

Zkontrolujme vektory a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0 pro lineární nezávislost.

Řešení. Vektory jsou lineárně závislé, protože rozměr vektorů je menší než počet vektorů.

Příklad 4

Zkontrolujme vektory a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1 pro lineární nezávislost.

Řešení. Najdeme hodnoty koeficientů, při kterých bude lineární kombinace rovna nulovému vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorovou rovnici napíšeme v lineárním tvaru:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Tento systém řešíme pomocí Gaussovy metody:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. řádku odečteme 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od 1. řádku odečteme 2., ke 3. přičteme 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Z řešení vyplývá, že systém má mnoho řešení. To znamená, že existuje nenulová kombinace hodnot takových čísel x 1, x 2, x 3, pro kterou se lineární kombinace a, b, c rovná nulovému vektoru. Proto vektory a, b, c jsou lineárně závislé. ​​​​​​​

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter