Docela často, v úkolech se zvýšenou složitostí, tam jsou goniometrické rovnice obsahující modul. Většina z nich vyžaduje heuristický přístup k řešení, který většině studentů vůbec není známý.
Níže uvedené úlohy vám mají představit nejtypičtější metody řešení goniometrických rovnic obsahujících modul.
Úkol 1. Najděte rozdíl (ve stupních) nejmenšího kladného a největšího negativní kořeny rovnice 1 + 2sin x · |cos x| = 0.
Řešení.
Rozšiřme modul:
1) Pokud cos x ≥ 0, pak původní rovnice bude mít tvar 1 + 2sin x cos x = 0.
Použijeme vzorec pro sinus dvojitého úhlu, dostaneme:
1 + sin2x = 0; sin2x = -1;
2x = -π/2 + 2πn, n € Z;
x = -π/4 + πn, n € Z. Protože cos x ≥ 0, pak x = -π/4 + 2πk, k € Z.
2) Pokud cos x< 0, то daná rovnice má tvar 1 - 2sin x cos x = 0. Podle vzorce dvojitý úhel sinus máme:
1 – sin2x = 0; sin2x = 1;
2x = π/2 + 2πn, n ∈ Z;
x = π/4 + πn, n € Z. Protože cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.
3) Největší záporný kořen rovnice: -π / 4; nejmenší kladný kořen rovnice: 5π/4.
Požadovaný rozdíl: 5π/4 - (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.
Odpověď: 270°.
Úloha 2. Najděte (ve stupních) nejmenší kladný kořen rovnice |tg x| + 1/cos x = tg x.
Řešení.
Rozšiřme modul:
1) Pokud tg x ≥ 0, pak
tg x + 1/cos x = tg x;
Ve výsledné rovnici nejsou žádné kořeny.
2) Pokud tg x< 0, тогда
Tg x + 1/cos x = tg x;
1/cos x – 2tg x = 0;
1/cos x - 2sin x / cos x = 0;
(1 – 2sin x) / cos x = 0;
1 – 2sin x = 0 a cos x ≠ 0.
Pomocí obrázku 1 a podmínky tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.
3) Nejmenší kladný kořen rovnice 5π/6. Převeďte tuto hodnotu na stupně:
5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.
Odpověď: 150°.
Úkol 3. Najděte počet různých kořenů rovnice sin |2x| = cos 2x na intervalu [-π/2; π/2].
Řešení.
Zapišme rovnici jako sin|2x| – cos 2x = 0 a uvažujme funkci y = sin |2x| – co 2x. Protože je funkce sudá, najdeme její nuly pro x ≥ 0.
sin 2x – cos 2x = 0; vydělíme obě strany rovnice cos 2x ≠ 0, dostaneme:
tg 2x – 1 = 0;
2x = π/4 + πn, n ∈ Z;
x = π/8 + πn/2, n ∈ Z.
Pomocí parity funkce dostaneme, že kořeny původní rovnice jsou čísla tvaru
± (π/8 + πn/2), kde n ∈ Z.
Interval [-π/2; π/2] čísla patří: -π/8; π/8.
Dva kořeny rovnice tedy patří do daného intervalu.
Odpověď: 2.
Tuto rovnici lze také vyřešit rozšířením modulu.
Úkol 4. Najděte počet kořenů rovnice sin x - (|2cos x - 1|) / (2cos x - 1) sin 2 x = sin 2 x na intervalu [-π; 2π].
Řešení.
1) Uvažujme případ, kdy 2cos x – 1 > 0, tzn. cos x > 1/2, pak rovnice bude:
hřích x - hřích 2 x \u003d hřích 2 x;
hřích x - 2 sin 2 x \u003d 0;
sinx(1 - 2sinx) = 0;
sinx = 0 nebo 1 - 2sinx = 0;
sin x = 0 nebo sin x = 1/2.
Pomocí obrázku 2 a podmínky cos x > 1/2 najdeme kořeny rovnice:
x = π/6 + 2πn nebo x = 2πn, n ∈ Z.
2) Zvažte případ, kdy 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:
sin x + sin 2 x = hřích 2 x;
x = 2πn, n ∈ Z.
Pomocí obrázku 2 a podmínky cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.
Spojením těchto dvou případů dostaneme:
x = π/6 + 2πn nebo x = πn.
3) Interval [-π; 2π] patří ke kořenům: π/6; -π; 0; π; 2π.
Do daného intervalu tedy patří pět kořenů rovnice.
Odpověď: 5.
Úkol 5. Najděte počet kořenů rovnice (x - 0,7) 2 |sin x| + sin x = 0 na intervalu [-π; 2π].
Řešení.
1) Je-li sin x ≥ 0, pak má původní rovnice tvar (x - 0,7) 2 sin x + sin x = 0. Po vyjmutí společného činitele sin x ze závorek dostaneme:
sin x((x - 0,7) 2 + 1) = 0; protože (x - 0,7) 2 + 1 > 0 pro všechna reálná x, pak sinx = 0, tzn. x = πn, n ∈ Z.
2) Je-li hřích x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;
sin x((x - 0,7) 2 - 1) = 0;
sinx \u003d 0 nebo (x - 0,7) 2 + 1 \u003d 0. Protože sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем Odmocnina z levé a pravé strany poslední rovnice dostaneme:
x - 0,7 \u003d 1 nebo x - 0,7 \u003d -1, což znamená x \u003d 1,7 nebo x \u003d -0,3.
S přihlédnutím ke stavu sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0 znamená, že pouze číslo -0,3 je kořenem původní rovnice.
3) Interval [-π; 2π] patří k číslům: -π; 0; π; 2π; -0,3.
Rovnice má tedy pět kořenů na daném intervalu.
Odpověď: 5.
Na lekce nebo zkoušky se můžete připravit pomocí různých vzdělávacích zdrojů, které jsou dostupné na síti. V současnosti kdokoli 
člověk prostě potřebuje používat nové informační technologie jejich správná a hlavně vhodná aplikace totiž pomůže zvýšit motivaci ke studiu předmětu, zvýší zájem a pomůže lépe si osvojit potřebnou látku. Nezapomínejte ale, že počítač neučí myslet, přijaté informace je třeba zpracovat, pochopit a zapamatovat si. Proto můžete vyhledat pomoc u našich online lektorů, kteří vám pomohou vypořádat se s řešením problémů, které vás zajímají.
Máte nějaké dotazy? Nevíte, jak řešit goniometrické rovnice?
Chcete-li získat pomoc tutora - zaregistrujte se.
První lekce je zdarma!
stránky, s úplným nebo částečným zkopírováním materiálu, je vyžadován odkaz na zdroj.
Úkol 1
Logika je jednoduchá: uděláme to jako dříve, přestože goniometrické funkce mají nyní složitější argument!
Pokud bychom měli řešit rovnici ve tvaru:
Pak bychom napsali následující odpověď:
Nebo (protože)
Ale teď hrajeme následující výraz:
Pak můžete napsat:
Naším cílem s vámi je udělat to tak, abyste nalevo stáli jednoduše, bez jakýchkoliv „nečistot“!
Pojďme se jich zbavit!
Nejprve odstraňte jmenovatele na: Chcete-li to provést, vynásobte naši rovnost:
Nyní se toho zbavíme tím, že jím vydělíme obě části:
Nyní se zbavíme osmi:
Výsledný výraz lze zapsat jako 2 řady řešení (analogicky s kvadratickou rovnicí, kde diskriminant buď sčítáme, nebo odečítáme)
Musíme najít největší záporný kořen! Je jasné, že je potřeba třídit.
Podívejme se nejprve na první sérii:
Je jasné, že když vezmeme, tak ve výsledku dostaneme kladná čísla, ale ty nás nezajímají.
Musí se to tedy brát negativně. Nech být.
Když už bude kořen:
A musíme najít největší záporák!! Takže jít zde negativním směrem už nemá smysl. A největší záporná odmocnina pro tuto řadu bude stejná.
Nyní zvažte druhou sérii:
A znovu nahradíme: , pak:
Nemám zájem!
Pak už to nemá smysl zvyšovat! Pojďme snížit! Nechte tedy:
Hodí se!
Nech být. Pak
Pak - největší záporný kořen!
Odpovědět:
Úkol #2
Opět řešíme, bez ohledu na složitý kosinusový argument:
Nyní vyjádříme znovu vlevo:
Vynásobte obě strany
Rozdělte obě strany
Zbývá jej posunout doprava a změnit jeho znaménko z mínus na plus.
Opět dostaneme 2 řady kořenů, jednu s a druhou s.
Musíme najít největší záporný kořen. Zvažte první sérii:
Je jasné, že dostaneme první zápornou odmocninu at, bude se rovnat a bude to největší záporná odmocnina v řadě 1.
Pro druhou sérii
První záporná odmocnina bude také získána na a bude se rovnat. Protože, pak je největší záporný kořen rovnice.
Odpovědět: .
Úkol #3
Rozhodneme se bez ohledu na složitý argument tečny.
Zdá se, že to není nic složitého, že?
Stejně jako dříve vyjádříme na levé straně:
No, to je skvělé, obecně existuje pouze jedna řada kořenů! Opět najděte největší zápor.
Je jasné, že to dopadne, pokud dáme . A tento kořen je rovný.
Odpovědět:
Nyní se pokuste sami vyřešit následující problémy.
Domácí úkol nebo 3 úkoly k samostatnému řešení.
- Re-shi-te rovnice.
- Re-shi-te rovnice.
V from-ve-te on-pi-shi-te nejmenší kořen in-lo-zhi-tel-ny. - Re-shi-te rovnice.
V from-ve-te on-pi-shi-te nejmenší kořen in-lo-zhi-tel-ny.
Připraveni? Kontrolujeme. Nebudu podrobně popisovat celý algoritmus řešení, zdá se mi, že mu již byla věnována dostatečná pozornost výše.
Dobře, je všechno v pořádku? Ach, ty ošklivé dutiny, s nimi jsou vždycky nějaké potíže!
Nyní můžete vyřešit nejjednodušší goniometrické rovnice!
Podívejte se na řešení a odpovědi:
Úkol 1
Vyjádřit
Nejmenší kladný kořen získáme, pokud dáme, since, then
Odpovědět:
Úkol #2
Nejmenší kladná odmocnina bude získána při.
Bude rovný.
Odpovědět: .
Úkol #3
Když dostaneme, když máme.
Odpovědět: .
Tyto znalosti vám pomohou vyřešit mnoho problémů, se kterými se u zkoušky setkáte.
Pokud žádáte o hodnocení „5“, pak stačí přejít ke čtení článku pro střední úroveň, který bude věnován řešení složitějších goniometrických rovnic (úloha C1).
PRŮMĚRNÁ ÚROVEŇ
V tomto článku popíšu řešení goniometrických rovnic složitějšího typu a jak vybrat jejich kořeny. Zde se zaměřím na následující témata:
- Goniometrické rovnice pro vstupní úroveň (viz výše).
Složitější goniometrické rovnice jsou základem problémů se zvýšenou složitostí. Vyžadují, jak vyřešit samotnou rovnici obecný pohled a najděte kořeny této rovnice, které patří do nějakého daného intervalu.
Řešení goniometrických rovnic je redukováno na dva dílčí úkoly:
- Řešení rovnice
- Výběr kořene
Je třeba poznamenat, že druhý není vždy vyžadován, ale ve většině příkladů je stále nutné provést výběr. A pokud to není vyžadováno, pak můžete spíše sympatizovat - to znamená, že rovnice je sama o sobě poměrně komplikovaná.
Moje zkušenost s analýzou úloh C1 ukazuje, že jsou obvykle rozděleny do následujících kategorií.
Čtyři kategorie úloh se zvýšenou složitostí (dříve C1)
- Rovnice redukující na faktorizaci.
- Rovnice, které se redukují do tvaru.
- Rovnice řešené změnou proměnné.
- Rovnice vyžadující dodatečný výběr kořenů kvůli iracionalitě nebo jmenovateli.
Jednoduše řečeno: pokud dostanete jeden z prvních tří typů rovnic pak se považujte za šťastného. Pro ně je zpravidla nutné navíc vybrat kořeny patřící do určitého intervalu.
Pokud narazíte na rovnici typu 4, pak máte menší štěstí: musíte se s ní déle a pečlivěji potýkat, ale často to nevyžaduje další výběr kořenů. Přesto tento typ rovnic rozeberu v příštím článku a tento budu věnovat řešení rovnic prvních tří typů.
Rovnice redukce na faktoring
Nejdůležitější věc, kterou si musíte zapamatovat, abyste mohli řešit rovnice tohoto typu, je
Jak ukazuje praxe, tato znalost zpravidla stačí. Podívejme se na několik příkladů:
Příklad 1. Rovnice, která redukuje na faktorizaci pomocí vzorců redukce a sinusu dvojitého úhlu
- Re-shi-te rovnice
- Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice
Zde, jak jsem slíbil, licí vzorce fungují:
Pak bude moje rovnice vypadat takto:
Pak bude moje rovnice mít následující tvar:
Krátkozraký student by mohl říci: a teď zmenším obě části o, dostanu nejjednodušší rovnici a užijte si života! A bude se hořce mýlit!
| PAMATUJTE: NIKDY NESNIŽUJTE OBĚ ČÁSTI TRIGONOMETRICKÉ ROVNICE PRO FUNKCI OBSAHUJÍCÍ NEZNÁMÉ! TAKTO ZTRATÍTE KOŘENY! |
Tak co dělat? Ano, vše je jednoduché, přeneste vše jedním směrem a vyjměte společný faktor:
Tak jsme to započítali, hurá! Nyní se rozhodujeme:
První rovnice má kořeny:
A druhý:
Tím je první část problému hotová. Nyní musíme vybrat kořeny:
Mezera je taková:
Nebo se to dá napsat i takto:
No, vezměme kořeny:
Nejprve pracujme s první sérií (a je to přinejmenším jednodušší!)
Protože náš interval je zcela záporný, není třeba brát nezáporné, stále budou dávat nezáporné kořeny.
Vezměme to tedy - trochu moc, nehodí se to.
Nechte tedy - opět netrefil.
Ještě jeden pokus - pak - tam, hit! První kořen nalezen!
Znovu vystřelím: pak - znovu udeř!
Tak ještě jednou: - to už je úlet.
Takže z první řady patří 2 kořeny do intervalu: .
Pracujeme s druhou sérií (budujeme k moci podle pravidla):
Podstřelit!
Opět chybí!
Opět nedostatek!
Mám to!
Let!
Do mého rozsahu tedy patří následující kořeny:
Tento algoritmus použijeme k řešení všech ostatních příkladů. Pojďme si společně procvičit ještě jeden příklad.
Příklad 2. Rovnice, která redukuje na faktorizaci pomocí redukčních vzorců
- Vyřešte rovnici
Řešení:
Opět notoricky známé herecké vzorce:
Opět se nepokoušejte řezat!
První rovnice má kořeny:
A druhý:
Nyní opět hledání kořenů.
Začnu druhou sérií, o ní už vím vše z předchozí ukázky! Podívejte se a ujistěte se, že kořeny patřící k mezeře jsou následující:
Nyní první série a je to jednodušší:
Pokud - vhodné
Pokud - také dobré
Pokud - již let.
Kořeny pak budou:
Samostatná práce. 3 rovnice.
No, rozumíte technice? Řešení goniometrických rovnic se již nezdá tak obtížné? Potom sami rychle vyřešte následující problémy a vy a já vyřešíme další příklady:
- Vyřešte rovnici
Najděte všechny kořeny této rovnice, které jsou připojeny k mezeře. - Re-shi-te rovnice
Uveďte kořeny rovnice, které jsou připojeny k řezu - Re-shi-te rovnice
Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, at-nad-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Rovnice 1
A opět licí vzorec:
První řada kořenů:
Druhá řada kořenů:
Zahájíme výběr pro interval
Odpovědět: , .
Rovnice 2 Kontrola samostatné práce.
Docela složité seskupování do faktorů (použiji vzorec pro sinus dvojitého úhlu):
pak nebo
Toto je obecné řešení. Nyní musíme zakořenit. Problém je v tom, že nemůžeme říct přesnou hodnotu úhlu, jehož kosinus je roven jedné čtvrtině. Proto se nemohu jen tak zbavit arccosinu - taková nepříjemnost!
Co mohu udělat, je zjistit, že od té doby.
Udělejme tabulku: interval:
Bolestným hledáním jsme došli k neuspokojivému závěru, že naše rovnice má jeden kořen v uvedeném intervalu: \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi
Rovnice 3. Ověření samostatné práce.
Děsivá rovnice. Řeší se to však docela jednoduše použitím vzorce pro sinus dvojitého úhlu:
Zkrátíme to o 2:
Seskupujeme první termín s druhým a třetí se čtvrtým a vyjmeme společné faktory:
Je jasné, že první rovnice nemá kořeny, a nyní zvažte druhou:
Obecně jsem se chtěl zabývat řešením takových rovnic o něco později, ale protože se ukázalo, nedalo se nic dělat, museli jsme se rozhodnout ...
Rovnice formuláře:
Tato rovnice je vyřešena dělením obou stran:
Naše rovnice má tedy jedinou řadu kořenů:
Musíte najít ty z nich, které patří do intervalu: .
Znovu sestavíme tabulku, jako jsem to udělal předtím:
Odpovědět: .
Rovnice, které se redukují do tvaru:
No a teď je čas přejít k druhé části rovnic, zvlášť když už jsem vyhrkl, v čem spočívá řešení nového typu goniometrických rovnic. Ale nebude zbytečné opakovat rovnici tvaru
Řeší se dělením obou částí kosinusem:
- Re-shi-te rovnice
Označte kořeny rovnice, které jsou připojeny k cut-off. - Re-shi-te rovnice
Uveďte kořeny rovnice, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Příklad 1
První je docela jednoduchý. Přesuňte se doprava a použijte vzorec dvojitého úhlu kosinus:
Aha! Typ rovnice: . Obě části rozděluji na
Provádíme odstranění kořenů:
Mezera:
Odpovědět:
Příklad 2
Vše je také docela triviální: otevřeme závorky vpravo:
Základní trigonometrická identita:
Sinus dvojitého úhlu:
Nakonec dostaneme:
Třídění kořenů: mezera.
Odpovědět: .
No, jak se vám líbí technika, není příliš složitá? Doufám, že ne. Okamžitě můžeme provést výhradu: v čisté formě jsou rovnice, které se okamžitě redukují na rovnici pro tečnu, poměrně vzácné. Tento přechod (dělení kosinusem) je zpravidla pouze částí většího náročný úkol. Zde je příklad k procvičení:
- Re-shi-te rovnice
- Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, v-nad-le-zha-schie z-řez.
Pojďme zkontrolovat:
Rovnice je vyřešena okamžitě, stačí obě části vydělit:
Prosévání kořenů:
Odpovědět: .
Tak či onak jsme se ještě nesetkali s rovnicemi toho druhu, o kterém jsme právě hovořili. Na závěr je však ještě příliš brzy: existuje ještě jedna „vrstva“ rovnic, kterou jsme neanalyzovali. Tak:
Řešení goniometrických rovnic změnou proměnné
Vše je zde transparentní: rovnici se podíváme pozorně, maximálně ji zjednodušíme, provedeme náhradu, vyřešíme, provedeme inverzní náhradu! Slovy, všechno je velmi snadné. Podívejme se na to v akci:
Příklad.
- Řešte rovnici: .
- Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, v-nad-le-zha-schie z-řez.
No a zde se nám samotná výměna navrhuje do rukou!
Pak naše rovnice zní takto:
První rovnice má kořeny:
A ta druhá je taková:
Nyní najdeme kořeny, které patří do intervalu
Odpovědět: .
Pojďme se společně podívat na trochu složitější příklad:
- Re-shi-te rovnice
- Uveďte kořeny dané rovnice, at-above-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Zde není náhrada hned vidět, navíc není příliš patrná. Nejprve se zamysleme: co můžeme dělat?
Můžeme si např. představit
A současně
Pak moje rovnice zní:
A teď pozornost, soustřeďte se:
Rozdělme obě strany rovnice na:
Najednou jsme ty a já dostali kvadratická rovnice poměrně! Udělejme substituci, pak dostaneme:
Rovnice má následující kořeny:
Nepříjemná druhá řada kořenů, ale nedá se nic dělat! Provádíme výběr kořenů na intervalu.
I to musíme vzít v úvahu
Od té doby
Odpovědět:
Chcete-li se upevnit, než problémy vyřešíte sami, je zde pro vás další cvičení:
- Re-shi-te rovnice
- Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, at-nad-le-zha-shchi pro-inter-zhut-ku.
Zde je třeba mít oči otevřené: máme jmenovatele, kteří mohou být nula! Proto musíte být obzvláště pozorní ke kořenům!
Nejprve musím rovnici transformovat, abych mohl provést vhodnou substituci. Momentálně mě nenapadá nic lepšího, než přepsat tečnu na sinus a kosinus:
Nyní půjdu od kosinu k sinu podle základní trigonometrické identity:
A nakonec vše přivedu ke společnému jmenovateli:
Nyní mohu přejít k rovnici:
Ale u (tj. u).
Nyní je vše připraveno k výměně:
Pak buď
Pozor však, když, tak zároveň!
Kdo tím trpí? Problém je s tečnou, ta není definována, když je kosinus nula (nastává dělení nulou).
Kořeny rovnice jsou tedy:
Nyní vyloučíme kořeny v intervalu:
| - sedí | |
| - Vyhledávání |
Naše rovnice má tedy jeden kořen na intervalu a ten se rovná.
Vidíte: vzhled jmenovatele (stejně jako tečna vede k určitým potížím s kořeny! Zde musíte být opatrnější!).
Rozbor goniometrických rovnic už máme skoro hotový, zbývá už jen velmi málo - samostatně vyřešit dva problémy. Zde jsou.
- Vyřešte rovnici
Najděte-di-ty všechny kořeny této rovnice, v-nad-le-zha-schie z-řez. - Re-shi-te rovnice
Uveďte kořeny této rovnice, které jsou připojeny k řezu.
Rozhodnuto? Ne moc těžké? Pojďme zkontrolovat:
- Pracujeme podle redukčních vzorců:
Dosadíme do rovnice:
Pojďme si vše přepsat na kosinus, aby bylo pohodlnější provést náhradu:
Nyní je snadné provést náhradu:
Je jasné, že jde o cizí kořen, protože rovnice nemá řešení. Pak:
Na intervalu hledáme kořeny, které potřebujeme
Odpovědět: .
Zde je náhrada okamžitě viditelná:Pak buď
- sedí! - sedí! - sedí! - sedí! - hodně! - taky hodně! Odpovědět:
Tak a teď všechno! Tím ale řešení goniometrických rovnic nekončí, nejvíce jsme toho nechali těžké případy: když je v rovnicích iracionalita nebo různé druhy "složitých jmenovatelů". Jak takové úkoly vyřešit, zvážíme v článku pro pokročilou úroveň.
POKROČILÁ ÚROVEŇ
Kromě goniometrických rovnic uvažovaných v předchozích dvou článcích uvažujeme o další třídě rovnic, které vyžadují ještě pečlivější analýzu. Tyto trigonometrické příklady obsahují buď iracionalitu, nebo jmenovatele, což ztěžuje jejich analýzu.. Na tyto rovnice však můžete v části C narazit. zkušební práce. Každý mrak má však stříbro: u takových rovnic se již zpravidla neklade otázka, který z jeho kořenů patří do daného intervalu. Netlučme se, ale jen trigonometrické příklady.
Příklad 1
Vyřešte rovnici a najděte ty kořeny, které patří do segmentu.
Řešení:
Máme jmenovatele, který by se neměl rovnat nule! Pak řešení této rovnice je stejné jako řešení soustavy
Pojďme vyřešit každou z rovnic:
A teď to druhé:
Nyní se podívejme na seriál:
Je jasné, že tato možnost nám nevyhovuje, protože v tomto případě je jmenovatel nastaven na nulu (viz vzorec pro kořeny druhé rovnice)
Pokud - pak je vše v pořádku a jmenovatel se nerovná nule! Potom kořeny rovnice jsou: , .
Nyní vybereme kořeny patřící do intervalu.
| - není vhodné | - sedí | |
| - sedí | - sedí | |
| výčet | výčet |
Pak kořeny jsou:
Vidíte, že i výskyt malé interference ve formě jmenovatele významně ovlivnil řešení rovnice: zavrhli jsme řadu kořenů, které jmenovatele anulují. Věci se mohou ještě zkomplikovat, pokud narazíte na trigonometrické příklady, které mají iracionalitu.
Příklad 2
Řešte rovnici:
Řešení:
No, alespoň nemusíte vybírat kořeny, a to je dobře! Pojďme nejprve vyřešit rovnici, bez ohledu na iracionalitu:
A co, to je vše? Ne, bohužel, to by bylo příliš snadné! Je třeba si uvědomit, že pod odmocninou mohou stát pouze nezáporná čísla. Pak:
Řešení této nerovnosti:
Nyní zbývá zjistit, zda část kořenů první rovnice nedopatřením nespadla do místa, kde nerovnost neplatí.
K tomu můžete znovu použít tabulku:
| : , Ale | Ne! | |
| Ano! | ||
| Ano! |
Tak mi jeden z kořenů „vypadl“! Ukázalo se, že pokud dáte . Pak lze odpověď napsat takto:
Odpovědět:
Vidíte, kořen vyžaduje ještě větší pozornost! Komplikujeme: teď to nech stát pod mým kořenem goniometrická funkce.
Příklad 3
Jako předtím: nejprve vyřešíme každý zvlášť, a pak se zamyslíme nad tím, co jsme udělali.
Nyní druhá rovnice:
Nyní je nejtěžší zjistit, zda jsou pod aritmetickým kořenem získány záporné hodnoty, pokud tam dosadíme kořeny z první rovnice:
Číslo je třeba chápat jako radiány. Protože radián je přibližně stupňů, radiány jsou přibližně stupňů. Tohle je roh druhé čtvrtiny. Jaké je znaménko kosinusu druhého čtvrtletí? Mínus. A co sinus? Plus. Tak co ten výraz:
Je to méně než nula!
Takže - není kořen rovnice.
Nyní se otočte.
Porovnejme toto číslo s nulou.
Kotangens je funkce klesající o 1 čtvrtinu (čím menší argument, tím větší kotangens). radiány jsou přibližně stupňů. Ve stejný čas
od té doby a proto
,
Odpovědět: .
Může to být ještě těžší? Prosím! Bude to obtížnější, pokud bude kořenem stále goniometrická funkce a druhá část rovnice bude opět goniometrická funkce.
Čím více trigonometrických příkladů, tím lépe, podívejte se dále:
Příklad 4
Kořen není vhodný, kvůli omezenému kosinusu
Teď ten druhý:
Zároveň podle definice kořene:
Musíme si pamatovat jednotkovou kružnici: jmenovitě ty čtvrtiny, kde je sinus menší než nula. Co jsou tyto ubikace? Třetí a čtvrtý. Pak nás budou zajímat ta řešení první rovnice, která leží ve třetím nebo čtvrtém kvadrantu.
První řada dává kořeny ležící na průsečíku třetí a čtvrté čtvrtiny. Druhá řada je od ní diametrálně odlišná a dává vzniknout kořenům ležícím na pomezí první a druhé čtvrtiny. Proto nám tato série nevyhovuje.
Odpovědět: ,
A znovu trigonometrické příklady s "obtížnou iracionalitou". Nejen, že máme opět goniometrickou funkci pod kořenem, ale nyní je i ve jmenovateli!
Příklad 5
No, nedá se nic dělat – chováme se jako předtím.
Nyní pracujeme se jmenovatelem:
Nechci řešit goniometrickou nerovnost, a proto to udělám záludně: vezmu a dosadím svou řadu kořenů do nerovnosti:
Pokud je sudá, pak máme:
protože pak všechny úhly pohledu leží ve čtvrté čtvrtině. A opět posvátná otázka: jaké je znamení sinusu ve čtvrté čtvrtině? Negativní. Pak ta nerovnost
Pokud je liché, pak:
V jaké čtvrtině je úhel? Tohle je roh druhé čtvrtiny. Pak jsou všechny rohy opět rohy druhé čtvrtiny. Sinus je kladný. Přesně to, co potřebujete! Seriál je tedy:
Hodí se!
S druhou řadou kořenů nakládáme stejným způsobem:
Dosaďte do naší nerovnosti:
Pokud je sudý, pak
Rohy první čtvrtiny. Sinus je tam kladný, takže řada je vhodná. Nyní, pokud je to liché, pak:
taky sedí!
Tak a teď zapíšeme odpověď!
Odpovědět:
No, tohle byl možná nejpracnější případ. Nyní vám nabízím úkoly k samostatnému řešení.
Výcvik
- Vyřešte a najděte všechny kořeny rovnice, které patří do segmentu.
Řešení:
První rovnice:
nebo
Kořen ODZ:Druhá rovnice:
Výběr kořenů, které patří do intervalu
Odpovědět:
Nebo
nebo
Ale
Zvážit: . Pokud je sudý, pak
- nesedí!
Pokud - liché, : - sedí!
Naše rovnice má tedy následující řadu kořenů:
nebo
Výběr kořenů na intervalu:
| - není vhodné | - sedí | |
| - sedí | - hodně | |
| - sedí | hodně |
Odpovědět: , .
Nebo
Od té doby, když tečna není definována. Okamžitě zahoďte tuto sérii kořenů!
Druhá část:
To přitom ODZ požaduje
Zkontrolujeme kořeny nalezené v první rovnici:
Pokud podepíšete:
Úhly první čtvrtiny, kde je tečna kladná. Není vhodné!
Pokud podepíšete:
Roh čtvrté čtvrtiny. Tam je tečna záporná. Vyhovuje. Napište odpověď:
Odpovědět: , .
V tomto článku jsme společně rozebrali složité goniometrické příklady, ale rovnice byste měli být schopni vyřešit sami.
SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE
Goniometrická rovnice je rovnice, ve které je neznámá přísně pod znaménkem goniometrické funkce.
Existují dva způsoby, jak řešit trigonometrické rovnice:
Prvním způsobem je použití vzorců.
Druhý způsob je přes trigonometrický kruh.
Umožňuje měřit úhly, najít jejich sinus, kosinus a další.
